´ Cuestiones de Algebra Lineal September 29, 2002

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Espacios vectoriales 1. Prueba que cada uno de 1os siguientes conjuntos no tiene estructura de espacio vectorial a) El subconjunto de R2 de parejas (x, y) con x ≥ y b) El conjunto de parejas (x, y), en donde la suma se define como en R2 , pero el producto se define λ(x, y) := (λx, y) c) El conjunto de polinomios de grado, a lo sumo 1 , en donde suma y producto se definen de la forma siguiente: (P + Q)(x) := (a0 + b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 )x ; (λP )(x) := (λa0 ) + (λa1 )x. d) El subconjunto de R3 de puntos (x, y, z) con x2 + y 2 + z 2 ≤ 1. e) El subconjunto de R3 de puntos (x, y, z) con x + y + z = 1 f) El subconjunto de R3 de puntos (x, y, z) con x ≥ y ≥ z. 2. Sea E e.v.s. K. Entonces a) {x + y | x ∈ E, y ∈ E} = E × E b) {x + y | x ∈ E, y ∈ E} = E c) {λx | x ∈ E} = K × E. 3. La multiplicaci´on por un escalar en un e.v.s. K es una aplicaci´on a) E × E → K

b) K × K → K

c) K × E → E.

4. Averiguar si los siguientes conjuntos tienen estructura de e.v.s. R a) {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x4 = 0}, b) el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, c) el conjunto de las funciones reales de una variable derivables. 5. Un subespacio siempre contiene a1 vector 0 del espacio vectoria1. 6. El subconjunto de R2 de los puntos (x, y) tales que x2 − y 2 = 1 es un subespacio. 7. Si F es un subespacio de E, entonces F + F = F .

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8. Si el subconjunto F genera E, entonces todo vector de E puede ser escrito de forma u ´nica como combinacion lineal de elementos de F . 9. Si F y G son subespacios de E, probar que F ∪ G es subespacio de E si y solo si, F ⊆ G o G ⊆ F y que si F ∪ G es subespacio de E, entonces F ⊂ G o G ⊂ F. 10. Probar que F = [1, x2 , x4 , . . . , x2n ] es el subespacio de R2n+1 (x) de los polinomios pares y que G = [x, x3 , x5 , . . . , x2n+1 ] es el subespacio de R2n+1 (x) de los polinomios impares. Probar que F + G = R2n+1 (x). ¿Es F ⊕ G = R2n+1 (x)?. 11. Sea F el subconjunto de R3 (x) de todos los polinomios P (x) tales que P (1) = 0. Probar que F es un subespacio y hallar tres polinomios que generen F . 12. Si F, G, H son subespacios y G ⊂ F , entonces F ∩(G+H) = G+(F ∩H). 13. Sea E e.v.s. K, F un subespacio de E y E − F = {x ∈ E | x ∈ / E ∩ F }. Entonces a) existe un subespacio G tal que E − G es subespacio, pero E − F no es, en general, subespacio, b) E − F es un subespacio de E, c) E − F nunca es subespacio. 14. Sean F y G subespacios de un E e.v.s. K. ¿Son los siguientes subconjuntos subespacios de E? a) F ∩ G

b) (F + G) ∪ (F ∩ G)

c) F ∪ G.

15. Sea F el e.v.s. R generado por los vectores u= cos2 x , v = sin2 x. Uno de los siguientes vectores pertenece a F : a) cos 2x

b) 3 + x2

c) sin x.

16. Sean F y G subespacios de E e.v.s. K. Entonces, F ∪ G a) es siempre subespacio de E, b) es subespacio si F ∩ G = 0, 3

c) es subespacio si, y s´olo si, F ⊆ G o G ⊆ F . 17. Averiguar si es cierto o falso que si V es un espacio vectorial y W un subconjunto de V , entonces W es subespacio de V . 18. Averiguar si es cierto o falso que si V es un espacio vectorial y W1 y W2 son subespacios de V , entonces W1 ∩ W2 , W1 ∪ W2 y W1 + W2 son subespacios de V . 19. Averiguar si es cierto o falso que si u, v, w ∈ R3 tales que v 6= w, entonces [u,v ] 6= [u,w ]. 20. Averiguar si es cierto o falso que si u, v y w son tres vectores cualesquiera de R2 , entonces {u, v, w} es un conjunto generador de R2 . 21. Si 0 es uno de los vectores del subconjunto {x1 , . . . , xk }, entonces, {x1 , . . . , xk } es l.d.. 22. Si {x1 , x2 , x3 } ⊆ R4 es l.d., entonces xi es m´ ultiplo de xj para algunos i, j tales que i 6= j. 23. Si {x1 , . . . , xk } es l.d., entonces existe un i tal que xi = 0. 24. Si F es un subconjunto l.d., entonces todo elemento de F es combinaci´on lineal de los dem´as. 25. Subconjuntos de conjuntos l.d. son tambien l.d.. 26. Subconjuntos de conjuntos l.i. son tambien l.i.. 27. Probar que si {x, y} es l.i., tambi´en lo es {x + y, x − y}. 28. Probar que si αx+βy+γz = 0 con αγ 6= 0 es l.i., entonces [x, y] = [y, z]. 29. Si 0 ∈ A = {x1 , . . . , xn }, entonces A a) es l.i.

b) es l.d.

c) puede ser l.i..

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30. Si {x1 , x2 , x3 } es un conjunto l.i. de E e.v.s. K, entonces a) {x1 , x2 } es necesariamente l.d., b) {x1 , x2 } puede ser l.d., c) {x1 , x2 } es necesariamente l.i.. 31. Un subconjunto {x1 , . . . , xk } es l.i. si a) λ1 = . . . = λk = 0 ⇒ λ1 x1 + . . . + λk xk = 0, b) λ1 x1 + . . . + λk xk = 0 ⇒ λ1 = . . . = λk = 0, c) λ1 x1 + . . . + λk xk = 0 para toda n-pla (λ, . . . , λk ). 32. Averiguar si las siguientes aflrmaciones son v´alidas: a) si {u1 , u2 , u3 } es l.i., entonces {u3 , u1 } es l.i., b ) si {u1 , u2 , u3 } es l.d., entonces {u1 , u2 , u3 , x} es l.d. para cualquier vector x del espacio vectorial, c) si {u1 , u2 } es l.i. y si u ∈ / [u1 , u3 ], entonces {u1 , u2 , u3 } es l.d.. 33. Un subconjunto de una base es siempre l.i.. 34. Si F es un subespacio de E y si dim(F ) = dim(E), entonces F = E. 35. Si F es un subconjunto l.i. de E y si dim(E) = n, entonces F no puede tener m´as de n elementos. 36. Si F y G son subespacios de E y si dim(F + G) = dim(F )+dim(G), entonces F ∩ G = {0}. 37. Un espacio vectorial no puede tener m´as de una base. 38. Si un espacio vectorial tiene dimension finita, todas sus bases tienen el mismo n´ umero de vectores. 39. La dimension de Rn (x) es n. 40. Si E tiene dimension n, entonces E posee exactamente un subespacio de dimension 0 y un subespacio de dimension n. 5

41. Si F y G son subespacios de E, entonces, dim(F + G) = dim(F ) + dim(G). 42. Un espacio de dimensi´on n, no puede tener un conjunto generador con m´as de n elementos. 43. Si n vectores generan un espacio de dimensi´on n, entonces forman un conjunto l.i.. 44. El vector 0 es el u ´nico vector de un espacio vectorial cuya expresi´on como combinaci´on lineal de los elementos de cualquier base tiene todos los coeficientes nulos. 45. Dado un vector x 6= 0, siempre podemos hallar una base del espacio vectorial de forma que sus coordenadas respecto de esa base sean 0,0,. . . y 0. 46. Hallar una base, lo m´as simple posible, para los subespacios generados por los conjuntos de vectores (i) [(1,1,1,-2),(2,4,3,3),(0,4,2,2)] (ii) [(2,-1,1),(4,-2,-1),(-2,1,-3),(6,-3,5)] (iii) [(2,-1,2,-1),(1,1,-1,2),(1,2,1,7),(1,3,-2,7)]. 47. Si (x,y,z ) es una base de R3 y u = 2x + 7y − 3z v = x − 2y + 5z w = 4x + 3y + 7z demostrar que no es posible expresar x, y y z como combinaciones lineales de u, v y w. ¿Qu´e significa ese hecho sobre (u,v,w )?. 48. Determinar cuales de 1os siguientes subconjuntos de R3 son bases a) (1,0,-1) , (2,5,1) , (0,-4,3) b) (2,-4,1) , (0,3,-1) , (6,0,-1) c) (1,-3,-2) , (-3,1,3) , (-2,-10,-2)

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49. Determinar cuales de 1os siguientes subconjuntos de R2 (x) son bases a) {−1 − x + 2x2 , 2 + x − 2x2 , 1 − 2x + 4x2 } b) {1 + 2x + x2 , 3 + x2 , x + x2 }. 50. Los vectores (2,-3,1), (1,4,-2), (-8,12,-4), (1,37,-17) y ( -3,-5,8) generan R3 . Hallar un subconjunto del anterior que sea base. 51. Los vectores (1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1) y (0,0,0,1) son una base de R4 . Expresar cualquier vector de R4 como combinaci´on lineal de la base anterior. 52. Hallar una base para los siguientes subespacios de R4 : a) Todos los vectores cuyas dos primeras coordenadas son nulas b) Los vectores de la forma (a, b, a, b) c) El conjunto de vectores (x, y, z, u) tales que x + y + z + u = 0. 53. Hallar la dimensi´on del subespacio de R3 de todos los vectores x = (x1 , x2 , x3 ) tales que x2 = 0. 54. Sean F y G subespacios de E e.v.s.K de dimensiones m y r respectivamente con m ≥ r. Probar que dim(F ∩ G) ≤ r y que dim(F + G) ≤ m + r. Construir subespacios de R3 en donde las desigualdades se conviertan en igualdades. 55. Probar que si (x, y) es una base de E, tambi´en lo es (x + y, x − y). 56. Probar que si (x, y, z) es una base de E, tambi´en lo es (x+y+z, y+z, z). 57. El conjunto de soluciones del sistema x − 2y + z = 0

2x − 3y + z = 0

es un subespacio de R3 . Hallar una base de este subespacio. 58. Completa (1, 2 − x, x2 + 1) a una base de R4 (x) y expresa P (x) = 2 − 3x + x2 + 4x3 en funcion de esta base.

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59. Hallar una base de R4 (x) que incluya los polinomios 1 y x + x3 . 60. Sea F = {(x, y, z) | y − z = 0}. Hallar un subespacio G de R3 tal que F ∩ G = {0} y F + G = R3 . 61. Se considera el conjunto F de vectores {x, y, z, u} que verifican x+2y = z + 2u. Probar que A = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} es l.i. y est´a contenido en F y extender A a una base de F . 62. Extender a una base de R4 los siguientes conjuntos l.i.: a) (1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1) b) (1, 0, 1, 1), (−1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0). 63. Hallar una base de los siguientes subespacios de R3 : a) {(x, y, z) | 3x − 4y + z = 0} b) {(x, y, z) | x + y − z = 0, 2x − y + z = 0}. 64. Si F y G son subespacios de un espacio vectorial E tales que dim(F ) = dim(G) y F ⊆ G, probar que F = G. 65. Hallar una base del conjunto de soluciones del sistema x + 2y − z + 2t = 0 , x + y + 2z − t = 0 , x + 4y − 7z + 8t = 04 y prolongarla a una base de R4 . 66. Sea {x1 , . . . , xn } un conjunto l.d. de vectores de un e.v.s. K. Entonces a) contiene al vector 0, b) es tal que [x1 , . . . , xn ] tiene dimensi´on k, c) puede estar formada por vectores no nulos. 67. El e.v.s. R de todos 1os polinomios de grado, a lo sumo, n, tiene dimensi´on a) n + 1

b) n

c) n − 1.

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68. Sea A = {x1 , . . . , xk } un subconjunto de E e.v.s. K y sea C = {z1 , . . . , zm } un subconjunto l.i. de A. El teorema de Steinitz permite asegurar que a) m ≤ k y que podemos reemplazar r vectores de A (con r ≤ m) por r vectores de C sin alterar [x1 , . . . , xk ], b ) m = k Y que podemos reemplazar todos 1os vectores de A por los de C para obtener [x1 , . . . , xk ], c) m > k y que [z1 , . . . , zm ] ⊃ [x1 , . . . , xk ]. 69. Sea Sea A = (x1 , . . . , xk ) una base de E e.v.s.K y sean los escalares α1 , . . . , αk . Entonces, a) (α1 x1 , . . . , αk xk ) no es base para ninguna elecci´on de los αi salvo α1 = . . . = αk = 1, b) puede no ser base de E, aunque todos los αi sean no nulos, c) es base de E, si todos los αi son no nulos. 70. Sea F el e.v.s. R generado por los vectores u= cos2 x , v = sin2 x y w = cos 2x. Entonces a) (u,v,w ) no es base de F , b) {u, v, w} es l.i., c) dim(F ) = 3. 71. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) el subespacio F = {(a, b, c, 0) ∈ R4 | a, b, c ∈ R} tiene dimensi´on 3, b) el subespacio F = {(a, b, c, d) ∈ R4 | d = a + b, c = ab, a, b, c, d ∈ R} tiene dimensi´on 2, c) el subespacio F = {(a, b, c, d) ∈ R4 | a = b = c = d, a, b, c, d ∈ R} tiene dimensi´on 2, 72. Sean F = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] y G = [(1, 1, 0)]. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) dim(F ) = 2 y dim(G) = 1. Como F ∩ G = G, entonces dim(F ∩ G) = 1, b) F + G = R3 , con lo que dim(F + G) = dim(F )+dim(G), c) dim(F ∩ G) < dim(G). 9

73. Sea {1, 2 − x, x2 + 1} un conjunto de vectores l.i. de R4 (x). Uno de los siguientes conjuntos es base de R4 (x) a) {1, 2 − x, x2 + 1, x3 − 7, x3 − 5x + 1}, b) {1, 2 − x, x2 + 1, x3 , x4 }, c) {1, 2 − x, x2 + 1, x2 + x + 1, x4 }. 74. Sean F y G subespacios de E e.v.s. K. Si dim(F +G) = dim(F )+dim(G), entonces a) F + G = F ∪ G, b) dim(F ∩ G) = 1, c) F ∩ G = { 0 }. 75. Averiguar si es cierto o falso que si B = (u, v) es una base de V e.v.s.R, entonces para todo w ∈ V se tiene que w = αu + βv. 76. Averiguar si es cierto o falso que si V es un espacio vectorial de dimensi´on 3, entonces los conjuntos de vectores B = (u1 , u2 , u3 , u4 ) y A = (v1 , v2 ) no son bases de V . 77. Averiguar si es cierto o falso que si u, v y w son tres vectores l.i. de R3 , entonces B = (u, v, u + v + w) es una base de R3 . 78. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n y sea S = {v1 , v2 , . . . , vp } un conjuto de vectores de V . Entonces a) Si p < n, el conjunto S es l.i. b) Si p ≥ n, el conjunto S es generador de V . c) Si [v1 , v2 , . . . , vp ] 6= V y p = n, el conjunto S es l.d. c) Si [v1 , v2 , . . . , vp ] = V , es p ≥ n. 79. Sea W un subespacio vectorial de R3 definido por W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | ax1 + bx2 + x3 = 0 , x1 + x2 + x3 = 0} Se tiene que a) Si a = b, entonces dim(S) = 2. b) Si a 6= b, entonces dim(S) = 1. 10

a) Si a = b = 1, entonces ((1, −1, 0), (0, 1, −1)) es una base de W . 80. Dado V e.v.s R, sean u, v, w ∈ V , W1 = [u, v] y W2 = [u, v, w]. Emtonces si dim(W1 ) = 1 y w no es combinaci´on lineal de u y v se verifica que dim(W2 ) = 3. a) Verdadero pues como el conjunto {u, v, w} es l.i. y adem´as genera W2 , entonces es una base de W2 por lo que dim(W2 ) = 3. b) Falso pues al ser dim(W1 ) = 1, entonces u y v son l.d. Por tanto el rango de {u, v, w} es 2, de donde se deduce que dim(W2 ) = 2. c) Falso ya que si u = (1, 1, 0), v = (2, 2, 0) y w = (0, 1, 1), entonces se cumplen todas las condiciones del enunciado y, sin embargo, dim(W2 ) = dim([{(x, y, z) ∈ R3 | x + z = y}] = 2. 81. Sea S = {u1 , u2 , . . . , um } un conjunto de m vectores l.d. de un espacio vectorial V . Entonces se verifica que suprimiendo alg´ un vector de S puede encontrarse un subconjunto B ⊂ S que es base de S. a) Verdadero porque todo conjunto de vectores l.d. contiene un subconjunto l.i. que es, por tanto, base del espacio vectorial V . b) Falso pues si S no es generador de V , tampocio lo ser´a ning´ un subconjunto B de S. c) Falso ya que si, por ejemplo, V = R2 y S = {u, 2u, 3u}, con u 6= 0, es claro que S es l.d. pero ning´ un subconjunto de S es una base de R2 . d) En general es falso, aunque ser´a verdadero si m ≥ dim(V ). 82. El conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0 , 2x − y = a} es un subespacio vectorial de dimensi´on 1. a) En general es falso aunque es verdadero si a = 0 pues, en este caso, todo vector u ∈ W verifica que u = α(1, 2, 3), con α ∈ R, por lo que W = [(1, 2, 3)] b) Falso pues si a = 3, entonces v = (1, −1, 0) ∈ W pero 2v ∈ / W. 83. Sea W el subespacio de Rn generado por tres vectores v1 , v2 , v3 ∈ Rn y sea u ∈ Rn tal que u = v1 + v2 + v3 y u = 2v1 + 3v3 . Entonces se verifica que dim(W ) ≤ 2. 11

a) Verdadero pues como v1 +v2 +v3 = 2v1 +3v3 , entonces v1 −v2 +2v3 = 0, de donde se deduce que {v1 , v2 , v3 } es l.d.. Luego cualquier base de W tiene menos de tres vectores. b) Verdadero pues si fuese dim(W ) = 3, entonces el conjunto {v1 , v2 , v3 } es base de W y todo vector de W se expresa de forma u ´nica como combinaci´on lineal de v1 , v2 y v3 . c) Falso pues por ser W un subespacio vectorial generado por tres vectores, su dimensi´on es 3.

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Aplicaciones lineales 84. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicaci´on de R3 en R3 tal que f (x = 3x, entonces f es lineal. 85. Si f es un endomorfismo de E y dim(Im(f )) = dim(Nuc(f ), entonces dim(E) es un n´ umero par. 86. Toda aplicaci´on lineal f transforma el cero del espacio inicial en el cero del espacio imagen, es decir, f (0) = 0. Toda aplicaci´on lineal transforma conjuntos l.i. en conjuntos l.i.. 87. La aplicaci´on f de R3 en R2 definida por f (x, y, z) = (|x|, y − z) es lineal. La aplicaci´on g de R3 en R2 definida por g(x, y, z) = (0, z) es lineal. 88. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicaci´on lineal de R2 en R3 , entonces Im(f ) es un subespacio de R3 de dimensi´on menor o igual que 2. 89. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicaci´on lineal de Rn en Rm tal que Nuc(f )={0}, entonces m ≥ n. 90. Si f es una aplicaci´on lineal, conserva sumas y productos por escalares. 91. Si f es una aplicaci´on lineal, f es inyectiva si y s´olo si Nuc(f ) = 0. 92. Si f es una aplicaci´on lineal, dim(Nuc(f )) + dim(Im(f )) = dim(E), siendo E el espacio final. 93. Si f es una aplicaci´on lineal, tal que Nuc(f ) 6= 0, existen vectores x e y distintos tales que f (x) = f (y). 94. Averiguar si es cierto o falso que si f es una aplicaci´on de Rn en Rm y {x1 , . . . , xn } es un conjunto l.i., entonces {f (x1 ), . . . , f (xn )} es un conjunto l.i. cuando m ≥ n y l.d. cuando m < n.

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95. Hallar Im(f ) y Nuc(f ) para las siguientes aplicaciones lineales de R4 en R5 : a) f (x, y, z, u) = (5x − y, x + y, z, u, x) b) f (x, y, z, u) = (x + y + 7z + u, 2z + u, x, y, x − y). 96. Sea f una aplicaci´on de E en F . Probar que: a) si dim(E) < dim(F ), f no puede ser sobreyectiva, b) si dim(E) > dim(F ), f no puede ser inyectiva. 97. Dar un ejemplo de endomorfismo f en R2 tal que Nuc(f ) = Im(f ). 98. Si {x1 , . . . , xn } es un sistema de generadores de E (pero no necesariamente una base), explica por que una aplicacion lineal f de E en F no viene definida al asignar imagenes mediante f a cada xi , (i = 1, . . . , n). 99. Si f es un endomorfismo en E tal que Im(f ) ∩ Nuc(f ) = 0, probar que f (f (x)) = 0 implica que f (x) = 0. 100. Sea f un endomorfismo en E y sea (x1 , . . . , xn ) una base de E. Si f es biyectivo, probar que (f (x1 ), . . . , f (xn )) es tambi´en una base de E. 101. Sea f un endomorfismo en E y F un subespacio de E. Si f es biyectivo, probar que dim(F ) = dim(f (F )). 102. Sea A = (x1 , x2 , . . . , xn ) una base de Rn y f un endomorfismo de Rn tal que f (xi ) = xi+1 y f (xn ) = 0. Entonces a) f es inyectivo. b) f es sobreyectivo. c) ninguna de las dos cosas. 103. Sea (x1 , x2 , . . . , xn ) una base de un espacio vectorial E y f un endomorfismo de E. Una de las siguientes afirmaciones no es correcta a) Si f (xi ) = 0, para todo i, entonces f = 0. b) (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )) es siempre base de E c) Si f (xi ) = xi , para todo i, entonces f = IE . 14

104. Sea f la aplicaci´on lineal de R2 (x) en R3 (x) definida por f (p(x)) = xp(x). Averiguar si siguientes polinomios pertenecen a Im(f ) a) 1 + x

b) 3 − x2

c) x + x2

105. Sea f la aplicaci´on lineal de Rn en Rn definida por f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (0, x1 , . . . , xn−1 ). Entonces a) f n−1 = 0Rn , b) f n = 0Rn , c) f n+1 = 0Rn . 106. Sea f la aplicaci´on lineal de R2 en R2 definida por f (x, y) = (ax + by, cx + dy), para a, b, c, d reales. Entonces a) f es biyectiva si y s´olo si ad 6= bc, b) f es biyectiva si y s´olo si ac 6= bd, c) f es biyectiva si y s´olo si ac = bd. 107. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E tal que Im(f ) 0 Nuc(f ). Entonces es cierto que a) no existe un endomorfismo verificando esa igualdad, b) dim(E) es par, c) f = 0E . 108. Sea f la aplicaci´on lineal de R3 (x) en R1 (x) definida por f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 ) − (2a1 + 3a2 )x. Su matriz respecto de las bases can´onicas es   1 0 a)  1 −2 . 0 −3 µ ¶ 1 1 0 b) . 0 −2 −3 µ ¶ 1 1 1 c) . 0 −2 −3 109. Toda matriz (2,3) define una aplicaci´on lineal de R2 en R3 .

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110. Si f es una aplicaci´on lineal de E en F , con dim(E) = n y dim(F ) = m, entonces su matriz asociada es del tipo (m, n). 111. Permutar el orden de dos vectores de la base la base produce una permutaci´on en el orden de las columnas de la matriz de la aplicaci´on. 112. Sea f un endomorfismo de R2 tal que f (1, 0) = (1, 4) y f (1, 1) = (2, 5). Hallar f (2, 3) y estudiar si f es inyectiva. 113. Sea f la aplicaci´on de R3 en R2 tal que f (x, y, z) = (x, y). Probar que es lineal y que f 2 = f . 114. Sea f la aplicaci´on de R3 en R2 tal que f (x, y, z) = (x + a, x − y + z), con a un cierto n´ umero real, entonces f es una aplicaci´on lineal para todo valor de a es a) verdadero pues f es la aplicaci´ on lineal cuya ¶ matriz asociada respecto µ 1+a 0 0 , de las bases can´onicas es 1 −1 1 b) verdadero pues la funci´on f verifica la condici´on de aplicaci´on lineal, c) falso ya que f (0, 0, 0) 6= (0, 0) si a 6= 0, d) falso ya que f es aplicaci´on lineal s´olamente si a = 0. 115. Sea f la aplicaci´on lineal de matriz asociada µ respecto ¶de las bases 1 0 0 can´onicas es de R3 y R2 , respectivamente y sean los 1 −1 0 subespacios F = {x ∈ R3 | f (x) = 0} G = {y ∈ R2 | (∃x ∈ R3 )y = f (x)}. Entonces dim(F ) = dim(G) = 2 es a) falso pues F y G no pueden tener la misma dimensi´on ya que F ⊆ R3 y G ⊆ R2 , b) falso ya que dim(G) = 2 y dim(F ) = 1, c) verdadero pues dim(F ) = dim(G) = rang(A) = 2.

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116. Sea f el endomorfismo de R(x) definido por f (P (x)) = Probar que f es inyectivo, pero no sobreyectivo.

Rx 0

P (s)ds.

117. Si f es un endomorfismo de R2 . Hallar la matriz de f respecto de la base can´onica en los siguientes casos: a) f (x) = 4x (una dilataci´on). b) f (x) = −x (una simetr´ıa respecto del origen). c) f (x, y) = (x, −y) (una simetr´ıa respecto de OX). d) f (x, y) = (−y, x) (una rotaci´on de ´angulo π/2). e) f (x, y) = (x, 0) (una proyecci´on sobre OX). 118. Sea f una aplicaci´on lineal de Rm en Rn tal que Im(f ) = Rn . Entonces a) m ≥ n, b) cualquier matriz asociada a f es de orden (m, n), c) cualquier matriz asociada a f es de rango m, d) si m 6= n, existe un vector no nulo x ∈ Rm tal que f (x) = 0, e) si m = n existe la funci´on inversa f −1 . 119. Si f es un endomorfismo de R3 . Hallar la matriz de f respecto de la base can´onica en los siguientes casos: a) f (x) = x/3 (una dilataci´on). b) f (x, y, z) = (x, y, −z) (una simetr´ıa respecto del plano XOY ). c) f (x, y, z) = (x, −z, y) (una rotaci´on de ´angulo π/2 en el plano XOY ). d) f (x, y) = (x, y, 0) (una proyecci´on sobre el plano XOY ). 120. Si f es un endomorfismo de R3 (x). Hallar la matriz de f respecto de la base can´onica en los siguientes casos: a) f (P (x)) = P 00 (x). b) f (P (x)) = P 000 (x). 121. Si f es un endomorfismo de R2 (x). Hallar la matriz de f respecto de la base (1, x + x2 , x2 ) en los siguientes casos: a) f (P (x)) = 3P 0 (x). 17

b) f (P (x)) = P 00 (x) + P (x). 122. Explicar porqu´e el endomorfismo nulo tiene a la matriz nula como matriz asociada, independientemente de las bases que se elijan.  2 1 0 123. Si  −1 2 0  es la matriz asociada a un endomorfismo f de R3 1 0 1 respecto e las bases can´onicas, calcular la matriz de f respecto de la base ((1, 1, 0), (1, 0, 1), ((0, 0, 1)). 

µ

¶ a b 124. Si es la matriz asociada a un endomorfismo f , probar que c d f − (a + b)f + (ad − bc)I = 0. 

 0 2 1 125. Sea f un endomorfismo de matriz  0 0 3 . Hallar Im(f ) y Nuc(f ) 0 0 0   0 1 0 y hallar una base tal que la matriz de f sea  0 0 1 . ¿Existe 0 0 0 alguna base tal que la matriz de f sea la matriz nula?. 126. Sean f y g los endomorfismos representados por las matrices     a 1 1 1 λ − 1 2 0  1 a 1 1     −1 λ + 1 0  respectivamiente. Hallar los  1 1 a 1 y 0 0 1 1 1 1 a valores de a y de λ para los que f y g son biyectivos. 127. Averiguar si son lineales las aplicaciones de M(2,2) (R) en R tales que si A = (aij ) ∈ M(2,2) (R), es a) f (A) = a11 a22 − a12 a21 , b) f (A) = a211 + a212 , c) f (A) = a11 + a22 ,

18

128. Sea f la aplicaci´on lineal de R3 (x) en R1 (x) definida por f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + a1 ) − (2a1 + 3a2 )x. Su matriz respecto de las bases can´onicas es   1 0 a)  1 −2 . 0 −3 µ ¶ 1 1 0 b) . 0 −2 −3 µ ¶ 1 1 1 c) . 0 −2 −3

19

Matrices 129. Si A es de orden (3,3) y antisim´etrica, entonces rang(A) < 3. 130. Si A es de orden (n, n) y antisim´etrica, entonces rang(A) < n. 131. 0 de orden (m, n) es la u ´nica matriz de rango 0. 132. Probar que si C es una matriz en forma escalonada por filas con r filas no nulas, entonces rang(C) = r. 

2  1 133. Probar que la matriz   2 −1

 1 3 0 0 1 1   tiene rango 2. 0 3 1  0 −1 −1

134. Si λ 6= 0, entonces rang(λA) = rang(A). 135. Probar que si A tiene alg´ un elemento no nulo, entonces rang(A) 6= 0. 136. Sea A una matriz (n, n). El n´ umero de elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal es a) n(n + 1), b) n(n + 1)/2, c) n(n − 1). 137. El rango de una matriz cuadrada A coincide con a) La dimensi´on del n´ ucleo de su endomorfismo asociado. b) El n´ umero de sus elementos de la diagonal no nulos. c) El n´ umero de filas no nulas de su forma escalonada. 138. Sea f una aplicaci´on lineal de R3 en R3 y sea A su matriz respecto de las bases can´onicas. Entonces a) f es un isomorfismo ⇔ rang(A) = 3. b) f nunca es un isomorfismo. 20

c) f es inyectiva ⇔ rang(A) = 4 139. Sean A, B ∈ M(m,n) (R). Entonces a) rang(A+B) ≤ rang(A) y rang(A+B) ≤ rang(B). b) rang(A+B) = max(rang(A),rang(B)). c) rang(A+B) = rang(A)+rang(B). 140. Sea A ∈ M(m,n) (R), con m ≤ n. Entonces a) m ≤ rang(A) ≤ n. b) n ≤ rang(A). c) rang(A) ≤ m. 141. La dimension del espacio vectorial M(m,n) (R) es m + n. 142. Sea f una aplicaci´on del espacio vectorial M(n,n) (R) en s´ı mismo tal que f (A) = P−1 AP, donde P es una matriz regular. Probar que es lineal. 143. Probar que el conjunto de todas las matrices triangulares superiormente forman un espacio vectorial. 144. Probar que el conjunto de todas las matrices antisim´etricas forman un espacio vectorial. 145. Hallar un conjunto l.i. de matrices diagonales que generen todas las matrices diagonales de M(n,n) (R). 146. Si A es una matriz escalonada, probar que sus filas son vectores l.i.. 147. Hallar una base del espacio vectorial de todas las matrices (n, n) que tienen traza cero y de todas las matrices antisim´etricas. 148. Averiguar si los siguientes tres conjuntos tienen estructura de e.v.s. R con las operaciones habituales a) el conjunto de las n-plas (x, x, . . . , x) con x real, 21

µ b) el conjunto de las matrices (2,2) del tipo

a 1 1 b

¶ con a y b reales,

c) el conjunto de las matrices (2,2) diagonales. 149. El conjunto de los n vectores fila de una matriz (n, n) regular a) puede ser l.d., b) no generan necesariamente Rn , c) forman una base de Rn . 150. En el espacio vectorial M(2,2) R se tiene que µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 a) { , } es l.d., 0 1 1 0 µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 b) α +β = 0 ⇒ α = β = 0, 0 1 1 0 c) existen cinco matrices que forman un conjunto l.i.. 151. Sean a, b, c reales cualesquiera F yG de M(2,2) (R) µy sean ¶ µ los subespacios ¶ a b 0 a de las matrices de la forma y , respectivamente. c a −a b Hallar las dimensiones de F , G, F + G y F ∩ G. µ 152. Si A =

0 1 0 0

¶ , entonces AA = 0. µ

1 0 1 1 1 1

¶

153. Probar que las aplicaciones lineales de matrices A = y   1 −1  −1 2  son no inyectiva y no sobreyectiva, respectivamente. B= 0 1 Comprobar que AB = I, mientras que BA 6= I e interpretar este resultado. µ 154. Las matrices A =

1 0 −1 −1

¶

µ yB=

1 0 0 2

¶ conmutan.

155. Si A ∈ M(m,n) (R), B ∈ M(n,p) (R) y AB = 0, entonces A = 0 o B = 0. 22

156. Si A ∈ M(m,n) (R), B ∈ M(n,p) (R) y a y b son dos n´ umeros reales, entonces (aA)(bA) = (ab)AB. 157. Si A ∈ M(m,n) (R), B ∈ M(m,n) (R) y C ∈ M(n,p) (R), entonces (A − B)C = AC − BC. 158. Si A + A = 0, entonces A = 0. 159. Si p es un entero positivo impar, entonces (−A)p = −Ap . 160. A2 − B2 = (A + B)(A − B. 161. Si A es sim´etrica, tambi´en lo es Ak . 162. El producto de dos matrices triangulares es triangular. 163. Si A conmuta con B y B conmuta con C, entonces A conmuta con C. 164. Si BA = A, entonces B = I. 165. Si A es diagonal, entonces Ak es diagonal. 166. Si para alg´ un natural p tenemos que Ap = 0, entonces A = 0. 167. AD = DA si D es una matriz diagonal. 168. Hallar una matriz A ∈ M(2,2) (R) tal que A2 = I. µ 169. Probar que dos matrices que conmuten con

0 1 −1 0

¶ , deben conmu-

tar entre s´ı. 

 3 3 −1 2  como suma de una matriz sim´etrica 170. Expresar la matriz  0 3 −1 32 2 y de otra antisim´etrica.

23



0  1 171. Calcula las potencias sucesivas de   0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 0 0  . 0  0

172. Hallar matrices B y C tales que AB = I2 y CA = I2 siendo A = µ ¶ 1 −1 y comparar ambas matrices. 1 0 µ

¶ 1 1 173. Si A = hallar, si es posible, una matriz B tal que AB = I2 . 1 1 Qu´e es lo que no funciona? ¿Se puede hallar una matriz C tal que AC = 02 ?. 174. Probar que si A es antisim´etrica, entonces A2 es sim´etrica. 175. ¿Es cierto que la matriz inversa de una matriz triangular inferior con 1 en la diagonal se obtiene manteniendo la diagonal y cambiando de signo los dem´as elementos? 176. Si A−1 y B−1 existen y conmutan, entonces AB conmutan. 177. Sean A, B y C matrices (n, n), con C 6= 0 y rang(A) > rang(B), entonces rang(AC) > rang(BC). 178. rang(A + B) ≤ rang(A)+rang(B). 179. rang(λA) = λ rang(A). 180. rang(AB) ≤ rang(A) rang(B). 181. Hallar rang(A),  0 0 0  1 0 0 A=  0 1 0 0 0 1

rang(A2 ), rang(A3 ) y rang(A4 ), para la matriz  0 0  . 0  0

24

µ 182. La potencia n-´esima de H = µ a) µ

an 1 0 av

¶

a 1 0 a

¶ . con a real es

¶ an n b) 0 an µ ¶ a n n−1 c) a 0 a 183. Sean A y B matrices tales que AB = 0. Entonces, a) A = 0 o B = 0, b) A = 0 y B = 0, c) puede ocurrir que A 6= 0 y B 6= 0. 184. Sean A una matriz (n, n) tal que A+A = 0. Entonces, a) A es antisim´etrica, b) puede ocurrir que A 6= 0, c) con seguridad A = 0. 185. Una de las siguientes tres matrices A satisface AB = BA = I para cualquier matriz B del tipo (3,3):   0 0 1 a)  0 1 0 , 1 0 0   1 1 1 b)  1 1 1 , 1 1 1   1 0 0 c)  0 1 0 . 0 0 1 186. La multiplicaci´on entre matrices no tiene la propiedad a) asociativa

b ) distributiva

25

c) conmutativa

187. Hallar una base del espacio vectorial de todas las matrices (n, n) que tienen traza cero y del espacio vectorial de todas las matrices antisim´etricas. 188. Averiguar si es cierto que si p es impar y A es cuadrada, entonces a) (−A)p = −Ap , b) si A y B son matrices (m, n), entonces A − AB = −(B − A), c) si A y B son cuadradas, entonces A2 − B2 = (A + B)(A − B). µ 189. Sea A =

1 1 1 1

¶ . Entonces

a) AB = A para cualquier matriz B de orden (2,2), b ) la ecuaci´on AX = I nunca tiene soluci´on, µ ¶ −1 −1 c) B = verifica AB = I. −1 −1 190. Averiguar si los siguientes resultados son correctos: ¶ ¶n µ µ 1 na 1 a , = a) 0 1 0 1 ¶ ¶n µ µ 1 2n 1 2 = , b) 0 3n 0 3  n   1 0 a 1 0 na c)  0 1 b  =  0 1 nb . 0 0 1 0 0 1 µ 191. Si A =

cos x − sin x sin x cos x

¶ , entonces An es igual a

a) I, µ ¶ cosn x − sinn x b) , sinn x cosn x µ ¶ cos(nx) − sin(nx) c) . sin nx) cos(nx)

26

µ 192. El conjunto de matrices que conmutan con A = µ ¶ x 1 a) , 0 y µ ¶ 0 x b) , y 0 µ ¶ x 0 c) . 0 y µ 193. El conjunto de matrices que conmutan con A = µ a)

x y 0 x

¶

1 0 0 −1

1 1 0 1

¶n , es

¶n , es

, µ ¶ x x b) , 0 x ¶ µ x x . c) 0 y 194. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) si existe AB, entonces existe BA, b) si existe AB y AC, entonces A(B+C) = AB + AC, c) si AB = 0, entonces A=0 o A=0. 195. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) si AB = AC, entonces existe B = C, b) si existe A2 = I, entonces A = I o A = −I, c) si An = 0, entonces Ap = 0 para todo p ≥ n. 196. Si las matrices A, B y C satisfacen las igualdades AB = 0 y CA = I, entonces a) A = B

b) B = 0

c) B = I.

µ

cos x sin x 197. Sean las matrices A = − sin x cos x Para qu´e ´angulo α conmutan A y B 27

¶

µ yB=

cos x sin x sin x − cos x

¶ .

a) para ninguno

b) α = kπ/2, k ∈ Z

c) α = kπ, k ∈ Z

198. Sean A ∈ M(m,n) (R) y B ∈ M(n,m) (R) tales que BA = I ∈ M(n,n) (R) y f y g sus respectivas aplicaciones lineales asociadas. Entonces a) m = n, f es biyectivo y g es biyectivo. b) m ≤ n, f es sobreyectivo y g es inyectivo. a) m ≥ n, f es inyectivo y g es sobreyectivo. 199. AA> siempre es sim´etrica. 200. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) dos matrices diagonales conmutan siempre, b) si A es antisim´etrica, entonces B> AB es antisim´etrica , c) si A y B son sim´etricas, entonces AB es sim´etrica. 201. Si f es un endomorfismo de M(2,2) R definido por f (A) = A> , hallar la matriz de f respecto de la base can´onica. 202. Prueba que si A + 2A> = 0 , entonces aii = 0 para todo i. 203. Probar que si A y B conmutan equivale a que A> y B> conmutan. 204. Probar que si A es sim´etrica, tambi´en lo es P> AP para cualquier elecci´on de P. 205. Hallar todas las matrices de M(2,2) (R) que satisfagan A> A = 0. 206. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas: a) Si A es (m, n) y tiene sus elementos enteros, entonces AA> no tiene necesariamente sus elementos enteros, b ) Si A es cuadrada y si A + 2A> = 0, entonces alg´ un elemento de la diagonal de A puede ser no nulo, c) Si A y B son matrices (m, n) y si A + B = −A, entonces A = B/2.

28

207. Sea A una matriz real triangular. Si AA> = A> A, entonces a) A es una matriz escalar

b) A = I

c) A es diagonal

208. Averiguar si las siguientes igualdades son correctas: a) (ABC)t = A> B> C>

b) (A> B> )t = BA

c) (λA)t = λA> .

209. Sean A, B ∈ M(n,n) (R). Entonces a) rang(AB) = rang(A)rang(B). b) rang(AB) = rang(BA). c) rang(AB) = rang(B> A> ). 210. La traza tr(A) de una matriz cuadrada se define como la suma de todas sus entradas diagonales. Probar que tr(A+AB) = tr(A)+tr(B) y que tr(λA = λtr(A). 211. El producto de dos matrices elementales es una matriz elemental. 212. La inversa de una matriz elemental es elemental. 213. La traspuesta de una matriz elemental es elemental. 214. La suma de dos matrices elementales es elemental. 215. Si B es obtiene efectuando una operaci´on elemental por filas en A, entonces B puede ser obtenida tambi´en efectuando una operaci´on elemental por columnas en A. 216. El aplicar operaciones elementales sobre filas a la matriz ampliada A|b de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b para obtener otra matriz C|d, hace que el sistema Cx = d tenga las mismas soluciones que el anterior. 217. Se˜ nalar qu´e tipo de operaciones elementales de filas hay que efectuar sobre I para obtener las siguientes matrices elementales         0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1  1 0 0   0 1 0   0 3 0   0 1 0 . 0 0 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 29

218. Sea A una matriz (3, m). Indica a qu´e operaci´on elemental sobre filas de A corresponde el acto de premultiplicar A por cada una de las siguientes matrices         1/2 0 0 1 0 0 1 −4 0 1 0 0  0 1 0   −4 1 0   0 1 0   0 1 0 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 −3 0 1 219. Comprueba que una matriz elemental es distinta de I en, a lo sumo, dos filas. 

0 220. Probar que  0 1 2 P 6= I pero que elementales.

 0 1  no es una matriz elemental. Prueba que 0 = I y escribe P como producto de dos matrices

1 0 0 P3

221. Una matriz diagonal es no regular si y s´olo si a11 a22 · · · ann = 0. 222. Toda matriz elemental es regular. 223. Si A es producto de matrices elementales, A es regular. 224. Si A y B es regular, A + B es regular. 225. Si A es regular y AB = 0, B = 0. µ 226. La matriz adjunta de

a b c d

¶

µ es

d −c −b a

¶

227. Suponiendo que todas las matrices que intervienen son regulares, despeja D en cada una de las siguientes ecuaciones matriciales: a) ADB = C −1

d) (AB) AD = I

b) ACDB = C

c) CADB = C

e) A(B + D) = (B−1 )−1 .

228. Suponiendo que una matriz B de orden (n, n) satisface la ecuaci´on B7 − 3B + I = 0, probar que B es regular y halla una f´ormula para B−1 en funci´on de B. 30

229. Suponiendo que una matriz A de orden (n, n) satisface la ecuaci´on Ap = 0 para alg´ un p, probar que A es no regular. µ 230. Si A =

2 3 −4 1

¶ , calcular A−2 y A−3 .



   2 −3 1 3 0 −1 1  resolver la ecuaci´on 231. Si A =  4 −5 3  y B =  −2 1 2 −2 1 −1 2 2 matricial AX + B = 0 232. Sean A y B matrices cuadradas. Probar que si AB es regular, entonces A y B son regulares. 233. Probar que si A es regular y sim´etrica, A−1 es sim´etrica. 234. Hallar una matriz regular P tal que PA = B siendo     2 3 4 1 2 −1 1 2  A= 4 3 1  B =  −1 1 2 4 2 −1 1 Hallar as´ımismo una matriz regular Q tal que AQ = B. 

 0 c b 235. Calcular la inversa de la matriz A =  c 0 a  b a 0 

 7 2 0 236. Comprobar que la matriz A =  3 5 −1  est´a dominada por sus 0 5 −6 elementos diagonales y concluir que A es regular. En la definici´on de matriz dominante en la diagonal, reemplazar > por ≥ y hallar una matriz con elemntos no nulos que cumpla esa condicion y que no sea regular 237. Probar que si A es no-singular y si AB = BA, entonces A−1 B = BA−1 .

31



 0 0 0 −1  0 0 −1 a  . 238. Calcular la inversa de la matriz H =   0 −1 a b  −1 a b c 239. Probar que si A es sim´etrica y regular, entonces A−1 es sim´etrica y regular. 240. Probar que si A y A son matrices regulares, entonces las siguientes f´ormulas son equivalentes AB = BA

AB−1 = B−1 A

A−1 B = BA−1

A−1 B−1 = B−1 A−1 . 

 1 1 1 241. Hallar la inversa de la matriz de Vandermonde  a b c . a2 b2 c2 242. Averiguar si es cierto que si A es regular y si a) A tiene todos sus elementos enteros, entonces A−1 tiene todos sus elementos enteros, b) A es diagona1, entonces A−1 es diagonal, c) A es sim´etrica, entonces A−1 es sim´etrica. 

 a 1 1 243. ¿Para qu´e valores de a es regular la matriz  1 a 1 . 1 1 a 

1  0 244. ¿Para qu´e valores de a es regular la matriz   0 0

 a a 2 a3 1 a a2  . 0 1 a  0 0 1

245. Si A es una matriz (n, n) regular que verifica A2 −4A+I = 0, entonces a) A−1 = 4I − A

b) A−1 = A − 4I

c) A−1 = 4I + A.

246. Averiguar si es cierto que para una matriz regular A a) (λA)k = λk Ak , para todo entero k, b) AB = AC ⇒ B = C, 32

c) (A + B)−1 = A−1 + B−1 , si B es regular. 247. Sean A y B dos bases de un espacio vectorial E y sea IE el endomorfismo id´entico sobre E. Entonces a) la matriz de IE en las bases A y B es una matriz no regular, b) la matriz de IE en las bases A y B puede ser la matriz unidad, c) la matriz de IE en las bases A y A es la matriz unidad. 248. Sea A ∈ M(n,n) (R), entonces a) rang(A) = n si y s´olo si A es regular. b) Si A es regular, rang(A) = n pero existen matrices de rango n que no son regulares. c) Si rang(A) = n, A es regular pero existen matrices regulares de rango n.

33

Cambios de base 249. Sean A, B y C bases de E un e.v.s. K y f y g endomorfismos de E. Entonces a) Matriz de f ◦ g respecto de las bases A y C es igual al producto de la matriz de f en las bases B y C por la matriz de g en las bases A y C. b) Matriz de f ◦ g respecto de las bases A y C es igual al producto de la matriz de f en las bases B y C por la matriz de g en las bases A y C. c) Matriz de f ◦ g respecto de las bases A y C es igual al producto de la matriz de f en las bases C y B por la matriz de g en las bases C y A. 250. Si A y B son matrices de un mismo endormorfismo (respecto a bases distintas), entonces existe una matriz regular P tal que A = P−1 BP. 251. Sea E un e.v.s. K referido a una base A y F otro e.v.s. K referido a una base B. Sea f una aplicaci´on lineal de E en F y sea el esquema IE

f

IF

E → E → F → F Sea B la matriz de la aplicaci´on f en las bases A y B y sea A la matriz de la aplicaci´on IF ◦ f ◦ IE en las bases A y B. Entonces a) A = I−1 BI, b) B = IAI−1 , c) A = IBI−1 .

34

Sistemas de ecuaciones lineales 252. Sean los sistemas: 2x + y − (3 + 2λ)z = 0

x + (1 + µ)z = 0

y x − y + (3 − λ)z = 0

(µ − 1)x + y + µ(µ − 1)z = 0

Obtener el conjunto de soluciones de ambos sistemas y calcular los valores de λ y µ que hacen los sistemas equivalentes. 253. Todo sistema tiene, al menos, una soluci´on. Todo sistema tiene, a lo sumo, una soluci´on. Todo sistema homog´eneo tiene, al menos, una soluci´on. 254. Cualquier sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas tiene, a lo sumo, una soluci´on. Cualquier sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas tiene, al menos, una soluci´on. 255. Si Ax = 0 tiene una soluci´on, entonces Ax = b tiene una soluci´on. 256. Si el sistema lineal Ax = 0 s´olo tiene laa soluci´on trivial, entonces Ax = b es compatible determinado para cualquier b. 257. Si A∈ M(m,n) (R), b∈ M(m,1) (R) y rang(A) = n, entonces Ax = b es compatible determinado. 258. Si A∈ M(4,3) (R), b∈ M(4,1) (R), rang(A) = 2 y el sistema Ax = b es compatible, entonces las infinitas soluciones del sistema dependen de un par´ametro. 259. Si A∈ M(4,3) (R), b∈ M(4,1) (R), rang(A) = 2, entonces el sistema Ax = b es equivalente al sistema formado por dos ecuaciones de Ax = b. 260. Si A,B∈ M(m,n) (R), b∈ M(m,1) (R) y x e y son soluciones de los ssitemas Ax = b y Bx = 0, respectivamente, entonces x+y es soluci´on de (A+B)z = b.

35

261. Si A∈ M(n,n) (R), b∈ M(n,1) (R) y det(A) = 8, entonces Ax = b tiene como u ´nica soluci´on x = A−1 b. 262. Sean A∈ M(m,n) (R), b∈ M(m,1) (R) . Si S es el conjunto de soluciones del sistema Ax = b, entonces entre las siguientes afirmaciones (1) (0, 0, . . . , 0) ∈ S, (2) S es usbespacio vectorial de Rn , (3) rang(A) = rang(A|b), se verifican las implicaciones (1) ⇒ (3)

(3) ⇒ (2).

a) Verdadero, pues (1), (2) y (3) son equivalentes. b) Verdadero, pues (1) ⇒ (3) ya que si (0, 0, . . . , 0) ∈ S, entonces b = 0 y rang(A) = rang(A|b); adem´as (3) ⇒ (2) pues si rang(A) = rang(A|b), entonces el sistema es compatible y el conjunto de soluciones de un sistema es siempre un espacio vectorial. c) Falso, pues la implicaci´on (3) ⇒ (2) s´olo es cierta si b = 0. 263. Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que el sistema homog´eneo Ax = 0 es compatible indeterminado. Entonces si b∈ M(n,1) (R), el sistema Ax = b es compatible indeterminado. a) Verdadero, pues rang(A) = rang(A|b). b) Falso, ya que si consideramos las matrices     1 1 1 1    0 0 1 1 , se cumple que Ax = 0 es compatible A= yb= 0 0 2 0 indeterminado y, sin embargo, Ax = b es incompatible. c) En general es falso, aunque ser´ıa cierto si b es el doble de la primera columna de la matriz A. 264. Sea f un endomorfismo de R3 de matriz A respecto de la base can´onica, cuyo subespacio imagen est´a dado por Im(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 , z = 0}.   1 Entonces se verifica que el sistema Ax =  −1  es compatible de0 terminado. 36

a) Verdadero, pues como (1, −1, 0) ∈ Im (f ) el sistema tiene soluci´on y dado que rang(A) = dim(Im(f )) = 3 la soluci´on es u ´nica. b) Falso, ya que como pues como (1, −1, 0) ∈ Im (f ) es rang(A) = rang(A|b) pero este rango com´ un no es igual al n´ umero de inc´ognitas sino menor. Por ello es sistema es compatible indeterminado. c) Falso, pues no disponemos de informaci´on suficiente para poder calcular rang(A). 265. Si A∈ M(n,n) (R), b∈ M(n,1) (R) sea el sistema, Ax = b. Entonces si b pertenece al subespacio generado por las columnas de la matriz A, el sistema es compatible determinado. a) Verdadero, pues la condici´on sobre b garantiza la compatibilidad y como el n´ umero de ecuaciones es igual al de inc´ognitas, es determinado. ¶ µ 1 2 3 es un conb) Falso, pues el sistema de matriz ampliada 3 6 9 traejemplo. c) Falso, pues lo u ´nico que podemos asegurar es que el sistema es compatible. d) Ser´ıa cierto si rang(A) = n. 266. Si el sistema lineal Ax = b es incompatible, entonces Ax = 0 es compatible indeterminado. 267. El rango de la matriz de coeficientes de un sistema lineal nunca es superior al rango de la matriz ampliada. 268. Si A0 |b0 se obtiene de A|b mediante transformaciones elementales de filas, 1os sistemas A0 x = b0 y Ax = b son equivalentes. 269. Un sistema Ax = b con matriz A del tipo (m, n) y rango m siempre tiene una soluci´on. 270. Un sistema de m ecuaciones con m+1 inc´ognitas siempre tiene una soluci´on. 271. Estudiar la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es 37



 1 3 5 −1 1  −1 −2 −5 4 2     0 1 1 −1 4  1 4 6 −2 5

 1  2   y del que resulta de reemplazar la u ´ltima columna por la   4 . 6 272. El sistema de  1 k −2  k 1 −2 2 2 −3



ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es  −1 −1  −1

verifica que a) no tiene soluci´on para k = 1, b) para cualquier k ∈ R es compatible, c) tiene soluci´on u ´nica para k > 1, d) tiene infinitas soluciones para k = 5/3, e) tiene exactamente dos soluciones distintas para k = 0. 273. El sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es   1 −1 −5 a  1 1 −1 a  1 −5 17 b verifica que a) si a = 1, tiene soluci´on u ´nica para cualquier b ∈ R, b) si a = b, es compatible, c) si a = b = 0, el conjunto de todas las soluciones es un espacio vectorial de dimensi´on 1, d) si b = 0, es compatible indeterminado para cualquier a ∈ R, e) no existen valores de a y b para los cuales sea incompatible. 274. Prueba que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es

38



 1 3 5 −1 1  −1 −2 −5 4 2     0 1 1 −1 4  1 4 6 −2 5 es compatible si, y s´olo si c − 2a + b = 0. 275. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices ampliadas son   1 −1 3 2  2 2 2 2     3 1 5 4  1 5 −3 −1   1 −1 3 −4 2 6  0 1 3 1 −1 2     1 1 −1 2 1 1  1 0 −1 0 1 1   2 5 −1 4 −1 −5  −6 1 3 2 4 9     −16 −8 8 −4 6 3  −4 6 2 6 3 5   1 2 −3 −1 1  2 −1 6 −2 3     4 9 −5 3 −2  3 7 −2 −1 −6   1 −5 3 3 −3 0  1 −3 2 4 −2 0     −2 6 −4 −3 2 0  −2 8 −5 −2 3 0   1 −2 3 5 −4 2  2 −5 7 7 −a −7     2 −4  6 5 2 −6    −1 1 −2 −3 5 −3  1 −3 4 2 7 −9 276. Sea el sistema Ax = b con b 6= 0 y su sistema homog´eneo asociado Ax = 0. Sean x e y dos soluciones cualesquiera de Ax = b. Entonces a) x − y es soluci´on de Ax = 0 pero no lo es x + y, 39

b) x−y y x+y son soluciones de Ax = 0 pues el conjunto de soluciones de Ax = 0 es un subespacio vectorial, c) x + y es soluci´on de Ax = 0 pero no lo es x − y. 277. Si b es una de las columnas de A, el sistema Ax = b es a) compatible determinado, b) compatible con m´as de una soluci´on, c) posiblemente incompatible. 278. Averiguar cu´ales de las siguientes afirmaciones son ciertas: el sistema Ax = b con A ∈ M(n,n) (R) es compatible determinado si a) dim(Nuc(A)) = 0, b) rang(A) = n, c) dim(Nuc(A)) = n. 279. Sea A ∈ M(n,n) (R) con det(A) = 0. Entonces el sistema Ax = b a) es compatible s´olo para alguna b, b) es compatible s´olo para b = 0, c) es compatible para toda b, pero no necesariamente determinado. 280. Sea A ∈ M(n,n) (R) y supongamos que el sistema el sistema Ax = b tiene dos soluciones l.i. Entonces a) rang(A) ≤ n y puede que rang(A) = n b) rang(A) ≤ n − 1 y puede que rang(A) = n − 1 c) rang(A) ≤ n − 2 y puede que rang(A) = n − 2 281. Sea A ∈ M(n,n) (R). Entonces el sistema el sistema Ax = 0 tiene soluci´on no trivial si y s´olo si a) rang(A) < n, b) rang(A) = n, c) A 6= 0.

40

282. Sea A ∈ M(37,38) (R). Entonces el sistema el sistema Ax = 0 a) no tiene soluci´on no trivial, b) es incompatible, c) debe tener soluci´on no trivial. 283. Sea A ∈ M(38,37) (R). Entonces el sistema el sistema Ax = 0 a) no tiene soluci´on no trivial, b) es incompatible, c) debe tener soluci´on no trivial.

41

Espacios euclideos 284. Todo polinomio de segundo grado es una forma cuadr´atica. Si q(x) = x> Ax, entonces A es una matriz sim´etrica. 285. Si q es una forma cuadr´atica definida positiva, entonces para todo x ∈ Rn es q(x) > 0. Si q es una forma cuadr´atica no definida, entonces para todo x ∈ Rn con x 6= 0es q(x) 6= 0. Si q es una forma cuadr´atica definida negativa, entonces αq(x) es definida negativa si α > 0 y definida positiva si α < 0 286. La f´ormula f (x, y) = −x2 − y 2 es una forma cuadr´atica indefinida. 

1  1 287. ¿Es definida positiva la forma cuadr´atica de matriz   0 2

 2 −1 1 3 2 1  ?. 0 −1 1  1 0 1

288. Estudiar el signo de las formas cuadr´aticas de matrices     ¶ µ 2 1 1 1 0 1 2 −2  1 1 0 ,  0 1 2 , . −2 5 1 0 1 1 2 5 289. Para qu´e valores del par´ametro son positivas las siguientes formas cuadr´aticas 3x2 − 4xy + 4ay 2 5x2 + y 2 + az 2 + 4xy − 2xz − 2yz 3x2 + y 2 + 3z 2 + 2axy + 2xz. 290. La forma cuadr´atica x2 + 3y 2 + z 2 + 4xy − 4yz se escribe matricialmente    1 4 0 x ¡ ¢    4 3 −4 y  a) x y z 0 −4 1 z    1 −2 0 x ¡ ¢ 3 2  y  b) x y z  −2 0 2 1 z

42

 c)

¡

x y z

¢

  1 2 0 x  2   3 −2 y  0 −2 1 z

291. Dada la forma cuadr´atica q(x, y) = ax2 + by 2 + cxy con a, b, c ∈ R, entonces µ ¶µ ¶ a 2c x a) q(x, y) = (x y) , −c b y µ ¶µ ¶ a/2 c/2 x b) q(x, y) = (x y) . c/2 b/2 y c) si a > 0, q no est´a definida, d) si ab < 0, q no est´a definida, e) si a + b + c > 0, q es definida positiva.  1 1 0 292. Dada la forma cuadr´atica q(y) = x> Ax con A =  1 a 0  , en0 0 a tonces 

a) si a < 1, q no est´a definida, b) si a = 1, existe un vector no nulo x ∈ R3 tal que q(x) = 0, c) si a < 0, q es definida negativa, d) si a = 2, q restringida al conjunto B1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0} es definida positiva, e) si a = 0, q restringida al conjunto B2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y , z = 0} es no definida. 293. Dada la forma cuadr´atica q(x1 , x2 , x3 , x4 ) = ax21 + bx22 + cx23 + dx24 con a, b, c, d ∈ R tales que a2 = bcd, se verifica que q es definida positiva o bien indefinida. a) Falso, ya que de la condici´on a2 = bcd s´olo puede deducirse que q no es definida negativa. b) Verdadero, pues si a2 = bcd, entonces o bien a, b, c, d son todos positivos o bien dos de ellos son positivos y los otros dos negativos. 43

294. La funci´on f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 + x2 y2 es un producto escalar en R2 . 295. Si < x, y >= 0 para todo y de E, entonces y = 0 296. Averiguar si f (x, y) = x1 y1 + 5xl y2 + 5yl x2 + 26x2 y2 define en R2 un producto escalar en R2 . Calcular su matriz en las bases (i) base can´onica

(ii) ((1, 1), (−1, 1))

(iii) ((1, 0), (−5, 1)).

R1 297. Averiguar si f (P (x), Q(x)) = −1 P (x)Q(x)dx define un producto escalar en R3 (x) y hallar su matriz respecto de la base can´onica. 298. Toda forma bilineal sim´etrica define un producto escalar. 299. Averiguar si las siguientes formas bilineales sobre R3 son productos escalares a) f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 + x2 + y1 + y2 b) f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + x2 y2 c) f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = 9x1 y1 + 3x1 y2 + 4x2 y2 + 3x2 y1 300. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas a) < (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) >= 1 ⇒ (y1 , y2 , y3 ) = (1/x1 , 1/x2 , 1/x3 ) b) < (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) >=< (x1 , x2 , x3 ), (z1 , z2 , z3 ) > ⇒ (y1 , y2 , y3 ) = (z1 , z2 , z3 ) c) < (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 ) > (x1 , x2 , x3 ) = (v1 , v2 , v3 ) ⇒ (x1 , x2 , x3 ) = (1/ < (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 ) >)(v1 , v2 , v3 ) 301. Sean los vectores x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ) de R2 . Avriguar si son producto escalar a) < x, y >= x1 + x2 + y1 + y2 . b) < x, y >= x1 y1 + x2 y2 . c) < x, y >= 9x1 y1 + 3x1 y2 + 4x2 y2 + 3x2 y1 .

44

302. Averiguar si es cierto que a) < x, y >= 1 ⇒ x = 1/y. b) < x, y >=< x, z >⇒ y = z. c) < y, z > x = v ⇒ x = (1/ < y, z >)v si

< y, z >6= 0.

303. Todo vector es ortogonal a 0. 304. Si x ∈ [y, z]⊥ , entonces {x, y, z} es l.i.. 305. Si ortogonalizamos por Gram-Schmidt una familia A de cinco vectores de un espacio eucl´ıdeo, de los cuales los tres primeros son ortogonales, entonces los tres primeros vectores producidos por el m´etodo coinciden con los tres primeros de A. 306. Si x ∈ E, entonces el ortogonal del ortogonal de [x ] es precisamente [x ]. 307. Si y es ortogonal a n vectores l.i. de un espacio euclideo E de dimensi´on n, entonces y = 0 308. Todo conjunto ortonormal es l.i.. 309. Todo espacio eucl´ıdeo tiene una base ortonormal. 310. Para todo subespacio F de E, la suma de F y su ortogonal es todo el espacio E. 311. Todo conjunto ortogonal es l.i.. R1 312. Probar que f (P (x), Q(x)) = −1 P (x)Q(x)dx define un producto escalar en R1 (x) y hallar su matriz respecto de la base can´onica. Averiguar si las bases siguientes son ortogonales u ortonormales: (i) base can´onica

(ii) (1, x − 2)

(iii) (x − 2/3, x/2).

313. En R2 con el producto escalar ordinario, sean x = (1,2), y = (6,4). Calcular kxk, kx − yk y el coseno del ´angulo que forman x e y. 45

R2 314. Sea el producto escalar f (P (x), Q(x)) = 0 P (x)Q(x)dx en R2 (x). Calcular kx2 k, kx2 − x + 2k, el coseno del ´angulo que forman x2 y x + 2 averiguando si son ortogonales. 315. Aplicar el m´etodo de Gram-Schmidt a la base de R3 ((1, 0, 1), (1, 0, −1), (1, 3, 4)) para obtener una base ortonormal, considerando el producto escalar ordinario. 316. Sea el producto escalar f (P (x), Q(x)) = Ortonormalizar la base can´onica.

R1 −1

P (x)Q(x)dx en R3 (x).

317. Sea W el subespacio de R4 de todos los vectores ortogonales a (1, 0, −1, 1) y a (2, 3, −1, 2). Hallar una base ortonorrnal de W y extenderla a una base ortonormal de R4 . 318. En R3 , considera W = {(x, y, z)|3x + y − z = 0}. Hallar la proyecci´on ortogonal del vector (1,1,1) sobre W . 319. Hallar un vector ortogonal a (2, 1, −1) y (1, 2, l). 320. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas a) | k x k − k y k |≤ k x − y k b) k x k>k y k ⇒ x > y c) k x + y k=k x k ⇒ y = 0 321. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas a) k x k=k y k ⇔ x = y b) k x k=k y k ⇔ < x + y, x − y >= 0 c) k x + y k=k x − y k ⇔ < x, y >= 0 322. Averiguar si respecto del producto escalar ordinario son ortogonales los siguientes pares de vectores a) (5, −2, 3) y (2, −4, −6) b) (1, 1, 1) y (−1, −1, −1) c) (cos x cos y, − sin x sin y, sin y) y (cos x sin y, − sin x cos y, − cos y) 46

323. Averiguar si es o no cierto que: el ´angulo formado por los vectores x e y es de 90 para a) x = (5, −2, 3) e y = (2, −4, −6) b) x = (1, 1, 1) e y = (−1, −1, −1) c) x = (cos a cos b, − sin a sin b, sin b) e y = (cos a sin b, − sin a cos b, − cos b). 324. La proyecci´on de x = (2, −3, −1) sobre y = (−3, 5, −2)es a) −x/2. b) y/2. c) −y/2. 325. Para los vectores u = (x, 2, −y, 3, 1) y v = (1, −2x, 4y, x, −1) s´olo uno de los tres conjuntos es ortogonal: a) {u,v } b) {0,u,v } c) {u,0 }. 326. Si F es un subespacio de un espacio eucl´ıdeo E y F ⊥ su subespacio ortogonal, a) no existen vectores de E que pertenezcan a F y F ⊥, b) dim(F ) + dim(F ⊥) = dim (E) b) dim(F + F ⊥) = dim (E)

47

Determinantes 327. Sea A una matriz (3,3) con det(A) = 5. Entonces, no es cierto que a) det(2A−1 ) = 8/5

b) det( (2A)−1 ) = 1/40

c) det(3A) = 125.

328. Probar que no es posible que 1os seis sumandos que intervienen en el c´alculo de un determinante (3,3) sean todos ellos positivos. 329. Sin desarrollar los siguientes determinantes ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 15 16 17 ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a ¯ 18 19 20 ¯ b c ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b+c a+c a+b ¯ ¯ 21 22 23 ¯ ¯ ¯ x+a y+b z+c ¯ 2 3 330. Escribir ¯¯ 1 ¯ 4 1 2

probar que su valor es 0 ¯ ¯ ¯ x−y y−z z−x ¯ ¯ ¯ ¯ y − z z − x x − y ¯. ¯ ¯ ¯ z−x x−y y−z ¯

¯ ¯ ¯ ¯ como suma de dos determinantes. ¯ ¯



 0 (a − b)2 (a − c)2 0 (b − c)2  se puede 331. Sabiendo que la matriz A =  (b − a)2 (c − a)2 (c − b)2 0 escribir como el producto  2   a −2a 1 1 1 1  b2 −2b 1   a b c  c2 −2c 1 a2 b2 c2 calcular det(A). 332. Si A = A−1 ¿ Cu´ales son los posibles valores de det(A)? 333. Sea A una matriz (n, n) antisim´etrica. Si n es impar, prueba que det(A) = 0. ¿Qu´e se puede afirmar del determinante ¯ ¯ ¯ ¯ 0 x y ¯ ¯ ¯ −x 0 −z ¯? ¯ ¯ ¯ −y z 0 ¯ 334. Realizar el producto de matrices

48



   1 0 0 1 α α2 1 −α 0  0 0 1   α2 1 α   0 1 0  0 1 0 α α2 1 0 0 1 y hallar ¯ ¯ ¯ 1 α α2 ¯ ¯ ¯ 2 ¯ α 1 α ¯¯. ¯ ¯ α α2 1 ¯ 335. Para sucesivos valores de n Fibonacci de orden (n, n)  1 1 0 ... 0 0  −1 1 1 ... 0 0   0 −1 1 ... 0 0   ... ... ... ... ... ...   0 0 0 ... 1 1 0 0 0 ... −1 1

calcular el detenrminante de la matriz de        

y deducir que se obtiene como valor el t´ermino n-´esimo de la sucesi´on de Fibonacci (2,3,5,8,13,...). 336. Probar que todo polinomio an xn + . . . + a1 x + a0 puede expresarse como el determinante   x 0 0 ... 0 a0  −1 x 0 ... 0 a1     0 −1 x ...  0 a 2    ... ... ... ... ... ...     0 0 0 ... x an−1  0 0 0 ... −1 an 337. Si B se obtiene a partir de A del tipo (n, n)) mediante transformaciones elementales de filas, entonces es falso afirmar que a) det(A) = 0 ⇔ det(B) = 0, b) det(A) = det(B), c) det(A) = λ det(B). para un λ 6= 1 338. Si A, B y C son matrices (n, n)), entonces a) det(ABC) = det(BA) det(B) det(C), b) det(A+B) = det(A)+det(B), 49

c) det(λA) = λ det(A). 339. Si desarrollamos el determinante de una matriz A del tipo (n, n) por los elementos de la fila i-´esima, entonces P a) nj=1 (−1)i+j aij Aij P b) ni=1 (−1)i+j aij Aij P c) nj=1 (−1)i+j aij Aji los determinantes 340. calcular ¯ ¯ ¯ λ λ λ ¯ ¯ ¯ a) ¯¯ λ λ λ ¯¯ , ¯ λ λ λ ¯ ¯ ¯ ¯ sin2 x cos2 x ¯ ¯ , b) ¯¯ sin2 y cos2 y ¯ ¯ ¯ ¯ n! (n + 1)! ¯¯ ¯ c) ¯ . (n + 1)! (n + 2)! ¯ ¯ ¯ 1 sin x − sin x ¯ ¯ 1 0 341. Resolver la acuaci´on ¯ − sin x ¯ sin x 0 1

¯ ¯ ¯ ¯ = 3. ¯ ¯

342. Si A y B son matrices (n, n), entonces det(B−1 ABt ) es igual a a) det(A)

b) det(B2 ) det(A)

c) 1/det(A)

343. Si A y B son matrices del tipo (n, n), entonces det(A−1 ) = 1/det(A) y det(AB) = det(A) det(B). 344. Si A y B son matrices del tipo (n, n) invertibles, entonces det(AB> A−1 ) = det(B). 345. Si A y B son matrices del tipo (n, n) tales que det(AB) = 0, entonces det(A) = 0 o det(B) = 0. 346. El conjunto de vectores S = {u,v,w } es una base de R3 si y s´olo si el determinante de la matriz cuyas filas son los vectores de S es distinto de 0. 50

347. Sea f un endomorfismo de Rn cuya matriz asociada a la base can´onica tiene determinante no nulo. Entonces Nuc(f ) = {0 }. 348. La matriz adjunta de una matriz triangular es triangular. 349. Si A y B son matrices del tipo (n, n) tales que rang(A) = rang(B), entonces det(A) = det(B) y rec´ıprocamente. 

0  0 350. Dadas las matrices A =   0 α con α 6= 0, entonces

0 0 α 0

0 α 0 0

  α α 0  0 0 0   y B =   0 0 0  0 0 0

0 α α 0

 0 0   0  α

a) det(A) = α4 , b) det(A) = −det(B), c) det(A+B) = 0, d) la matriz A−1 B es sim´etrica, e) rang(A) = rang(B). µ

a b c d

¶

351. Dada la matriz A = tal que det(A) 6= 0, entonces la matriz µ ¶ 2b − d d B= tiene rango 2. 2a − c c a) Verdadero, pues det(B) = 2bc − 2ad = −2det(A) 6= 0. b) Falso, ya que rang(B) < 2 por ser sus columnas l.d. c) Verdadero, pues como B se obtiene haciendo combinaciones lineales a partir de las filas de A, entonces det(B) = detA 6= 0. 352. Dadas dos matrices A y B del tipo (n, n) tales que det(A) det(B) = 1, entonces B es la matriz inversa de A. a) Falso, pues lo u ´nico que se puede afirmar es que ambas matrices son inversibles. b) Verdadero, pues como det(B) = 1/det(A) = det(A−1 ), es B = A−1 . c) Falso, pues la firmaci´on del enunciado s´olo es cierta cuando B = A∗ /det(A). 51



a  0 353. Dada la matriz A =   3 1 para todo a ∈ R.

 0 2a 0 1 0 3   se verifica que rang(A) = 4 4 5 0  0 1 1

a) Verdadero, pues para todo a ∈ R es det(A) = 1. b) Falso, ya que si a = 0, entonces rang(A) = 3. c) Falso, rang(A) es siempre inferior a 4 cualquiera que sea el valor de a ya que det(A) = a det(B) con   1 0 2 0  0 1 0 3   B=  3 4 5 0  1 0 1 1 siendo det(B) = 0.

52

Formas can´onicas 354. Hallando los valores propios decidir si son definidas positivas las formas cuadr´aticas que tienen por matrices   µ ¶ 3/2 1/2 −1 10 −9  1/2 3/2 −1 , . −9 9 −1 −1 3 355. Una matriz es regular si tiene alg´ un valor propio no nulo. 356. La traza de una matriz es igual a la suma de sus valores propios. 357. Si A es no regular, entonces λ = 0 es un valor propio. 358. Si A es cuadrada, y λ = 5 es un valor propio, el sistema A − λI = 0 es compatible determinado. 359. Vectores propios asociados a un mismo valor propio son l.d. Vectores propios asociados distintos valores propios son l.i. El n´ umero de valores propios es menor o igual que el grado del polinomio caracter´ıstico. 360. Si A y B son matrices del tipo (n, n), entonces tr(A−1 ) = 1/tr(A) y tr(AB) = tr(BA).   361. Sea la matriz   actr´ıstico, hallar

0 0 0 3 α.

1 0 0 1 0 0 α −1

 0 0   . Si λ − 1 divide a su polinomio car1  1

362. Todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on n tiene n valores propios distintos. 363. Si A es una matriz cuadrada regular y λ es uno de sus valores propios y v es un vector no nulo asociado a λ, entonces a) 1/λ es un valor propio de A−1 asociado a v. b) λ3 es un valor propio de A3 asociado a v. 53

c) λ es un valor propio de 4A asociado a 4v. d) 1/λ es un valor propio de A> asociado a v. 364. Sea A es una matriz cuadrada de orden 3 tal que rang(A) = 1 y existe un vector v 6= 0 tal que Ax = x. Entonces a) λ = 0 es un valor propio de A. b) Nuc(f ) = V (0) y ambos subespacios tienen dimensi´on 2. c) A no es diagonalizable. d) v es ortogonal a cualquier soluci´on del sistema Ax = 0. e) Los valores propios de A son λ = 1 y λ = 0, doble. 365. Sea A es una matriz cuadrada de orden 3 y v1 , v2 , v3 vectores propios correspondientes a los valores propios λ1 , λ2 , λ3 , respectivamente. Entonces el vector α1 v1 +α2 v2 +α3 v3 es un vector propio de A cualesquiera que sean α1 , α2 , α3 . a) Falso, porque no existe ning´ un escalar λ que verifique Av = λv para cualesquiera que sean α1 , α2 , α3 . b) En general es falso, aunque es cierto cuando λ1 = λ2 = λ3 = λ ya que en este caso cualesquiera que sean α1 , α2 , α3 se tiene que Av = λv. c) Verdadero, pues una combinaci´on lineal de vectores propios de una matriz es siempre un vector propio de dicha matriz. 366. Si det(A) = 0, entonces A no es diagonalizable 367. Si det(A) 6= 0 y A es diagonalizable, entonces A−1 es diagonalizable. 368. Si A y B son diagonalizables, entonces A+B es diagonalizable. 369. Si A es diagonalizable, entonces Ak es diagonalizable y los valores propios de ambas matrices coinciden. 370. Todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´on n que tenga menos de n valores propios distintos no es diagonalizable.

54

371. Sea f un endomorfismo de R3 tal que para ciertos vectores u y v no nulos de R3 es f (u) = 2u y f (v) = 3v. Entonces si A es la matriz asociada a f respecto de una cierta base, se puede afirmar que A es diagonalizable. a) Falso, pues no tenemos datos suficientes para garantizarlo. b) En general es falso, aunque es cierto si det(A) = 0. c) Verdadero, pues los valores propios de f coinciden con los de su matriz asociada A y como, en este caso son distintos, A es diagonalizable. 372. Sea A una matriz sim´etrica de orden 3 tal que λ1 = 1 y λ2 = 1 − 2 son valores propios de A y tr(A) = 0. Entonces se verifica que det(A7 ) = (−2)7 . a) Verdadero, pues det(A) = (−2) y det(A7 ) = (det(A))7 = (−2)7 . b) Falso, pues no hay informaci´on suficiente para hallar A7 y, por tanto, no se puede calcular det(A7 ). c) Verdadero, ya que A es diagonalizable y, por tanto,   1 0 0 0  P−1 A7 = PD7 P−1 = P  0 1 0 0 (−2)7 de donde det(A7 ) = det(P)(−2)7 det(P−1 ) = (−2)7 . un espacio vectorial de dimensi´on n que tenga menos de n valores propios distintos no es diagonalizable. 373. Si λ y µ son valores propios de un endomorfismo f , entonces V (λ) ∩ V (µ) = {0}. 374. Todo endomorfismo diagonalizable tiene al menos un valor propio. 375. Toda matriz del tipo (n, n) es diagonalizable si tiene n valores propios distintos. 

 2 3 −2 3 0  es diagonalizable. 376. Averiguar si la matriz A =  2 6 −6 7

55

µ 377. Hallar los valores y vectores propios de la matriz A =

i 1 2 −i

¶ .

378. Probar que los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal. 379. Probar que una matriz diagonalizable con un u ´nico valor propio µ es de ¶ 1 1 la forma λI y concluir como consecuencia que la matriz A = 0 i no es diagonalizable. 380. Probar que el endomorfismo f de Mn,n (R) definido por f (A) = A> tiene solamente 1 y −1 como valores propios y hallar los correspondientes vectores propios  a 1 d 2 e  tal que admite como vectores pro381. Sea la matriz A =  b c −1 f pios (1,1,0), (0, 1, −1 y (−1, 0, 2) . Hallar A y su forma diagonal. 

382. Si (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0) y (0,0,1) son vectores propios de un endomorfismo f de R3 , hallar todos los vectores propios propios sabiendo que no todo vector es vector propio. 383. Sean λ1 , . . . , λn los valores propios (distintos o no) de una matriz A ∈ M(n,n) (R). Entonces la traza de A es a) La suma de todos ellos. b) La suma de todos los productos tomados dos a dos. c) El producto de todos ellos. 384. Sea A ∈ M(n,n) (R) y sea su polinomio caracter´ıstico pA (λ) = det(A − λI). Si B es la matriz transpuesta de A, entonces a) pA 6= pB , en general b) pA = pB , s´olo si n es impar. c) pA = pB .

56



 a b c 385. La matriz A =  b c a  tiene como valor propio c a b a) λ = a. b) λ = a + b + c. c) λ = abc. µ 386. Para qu´e valores reales de a y b la matriz

0 i−1 a + bi 2

¶ tiene

s´olamente valores propios reales. a) Para todo a y b. b) a = b = 1. c) a = b ≤ 1/2. 

 a b b 387. La matriz A =  b a b , con a y b reales, tiene como valores b b a propios a) a − 2b, a − b y a + b. b) a − 2b, a + b y a + b. c) a + 2b, a − b y a − b. 388. El polinomio caracter´ıstico de la matriz A = (aij ) ∈ M(n,n) (R), con ai,j = 1 si i 6= j y ai,j = 0 si i = j es a) (−1)n (λ − n + 1)(λ + 1)n−1 . b) (−1)n (λ − n + 1)(λ − 1)n−1 . c) (−1)n (λ + n − 1)(λ + 1)n−1 . 389. Averiguar cu´ales de las siguientes afirmaciones son correctas. a) 0 es valor propio de A ⇔ A es no regular. b) Toda matriz real tiene valores propios reales. c) La ecuaci´on caracter´ıstica de una matriz cuadrada de orden 2 es λ2 −tr(A)λ + det(A) = 0.

57



390. Dada la 

0 1  1 0 1 1

0 1  1 0 matriz A = 1 1    0 x 1 1  y = 0 0 z 0

 1 1 , la ecuaci´on matricial 0  

proporciona a) un s´olo vector l.i. como base de V (−1). b) dos vectores l.i. como base de V (−1). c) dos vectores l.i. como base de V (1). µ 391. Dada la matriz A =

i 1+i −1 + i 2i

¶ , su polinomio caracter´ıstico es

a) λ2 − 3λi b) −λ2 + 3λi c) λ2 − 3λ 392. Si A ∈ M(n,n) (R) averiguar cu´ales de las siguientes afirmaciones son correctas. a) A es regular si y s´olo si tiene alg´ un valor propio no nulo. b) A y A> pueden tener distinta ecuaci´on caracter´ıstica. c) la traza de A es la suma de sus valores propios. 393. Sea λ un valor propio de una matriz regular A. Entonces a) rang(A−λ I) = rang(A). b) rang(A−λ I) < rang(A). c) ninguna de las dos anteriores. 

 1 0 0 0 0  0 1 0 0 0    . Entonces para el valor propio 0 0 1 1 0 394. Dada la matriz A =     0 0 0 1 0  0 0 0 0 2 1 su orden de multiplicidad y la dimensi´on de V (1) son, respectivamente a) 4 y 3. 58

b) 3 y 3. c) 4 y 2. 395. Sea f una aplicaci´on lineal entre los espacios vectoriales E y F . Para poder hablar de los posibles valores propios de f a) f debe ser sobreyectiva. b) f debe ser endomorfismo. c) f debe ser inyectiva. 396. Sea f un endormorfismo de E e.v.s.K de dimensi´on n. Entonces f es diagonalizable s´olo si a) E tiene una base formada por vectores propios de f . b) f tiene n valores propios distintos. c) f tiene un s´olo valor propio de multiplicidad 1. 397. Sea f un endormorfismo biyectivo de E e.v.s.K. Si λ 6= 0 es un valor propio de f , entonces a) λ es valor propio de f −1 . b) −λ es valor propio de f −1 . c) 1/λ es valor propio de f −1 . 398. Un vector x 6= 0 es vector propio de un endormorfismo f asociado al valor propio λ si se cumple que f (x) = λx. Si en lugar de esta igualdad, se cumple que f (−x) = λx, entonces a) −x es vector propio de f asociado a λ. b) x es vector propio de f asociado a −λ. c) −x es vector propio de f asociado a −λ. 399. Un endomorfismo sobreyectivo a) no tiene un valor propio nulo, b) tiene a 0 como valor propio, c) puede tener a 0 como valor propio.

59

400. Si para un valor propio λ de un endomorfismo f con orden de multiplicidad 2 s´olo existe un vector propio asociado l.i., entonces a) f es diagonalizable, b) para saber si f es diagonalizable hay que estudiar los otros valores propios de f , c) f no es diagonalizable. 401. Sean x e y vectores propios de un endormorfismo f . Entonces a) x + y es tambi´en un vector propio si x + y 6= 0, b) x + y es tambi´en un vector propio, ac) x + y no es un vector propio pues {x, y, x + y} es l.d.. 402. Sea f un endomorfismo de E y λ un valor propio asociado. Entonces V (λ) es a) el conjunto de todos los vectores propios asociados a λ, b) el conjunto de todos los vectores propios asociados a λ junto con el vector 0, b) Nuc(λI). µ 403. Cu´al de los siguientes vectore es vector propio de la matriz

2 1 0 1

¶

a) (2, 1), b) (1, 1), c) (2, −2), µ 404. Sea la matriz A =

a b c d

¶ . Entonces

a) A es diagonalizable si (a − c)2 + 4dc > 0, b) A no es diagonalizable si (a − d)2 + 4bc < 0, c) A es diagonalizable si (a − d)2 − 4bc > 0, 405. Si A es una matriz cuadrada de orden n diagonalizable con un u ´nico valor propio k, entonces a) A es una matriz diagonal, no necesariamente escalar, 60

b) A es una matriz diagonal, c) como A = k(PIP−1 ), entonces A = kI. 406. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E. Entonces a) la matriz de f respecto de una cierta base B es diagonal si y s´olo si B est´a formada por vectores propios de f , b) f es diagonalizable si existe una base de E formada por vectores propios, c) f es diagonalizable si y s´olo si el polinomio caracter´ıstico es producto de factores de primer grado. 407. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensi´on n. a) si λ1 , . . . , λk son valores propios distintos de f y x1 , . . . , xk son vectores propios asociados a ellos, entonces {x1 , . . . , xk } es l.i., b) si el polinomio caracter´ıstico de f tiene n soluciones distintas, entonces f es diagonalizable c) si λ1 , . . . , λk son valores propios de f y x1 , . . . , xk son vectores propios asociados a ellos, entonces {x1 , . . . , xk } es l.i., 

 1 0 0 408. La matriz A =  0 −1 b  es diagonalizable para 3 0 a a) a = −1 , b = 0, b) a 6= 1, −1, c) a = 1 , b 6= 0. µ

¶ µ ¶ µ ¶ 4 3 1 3 409. Sean las matrices A = ,x= ,y= . Calcular 7 8 −1 7 Ax y Ay, deduce que x y y son vectores propios de A, hallando sus valores propios asociados, calcular el vector A100 x y hallar una f´ormula para An . 410. Probar que si A es diagonalizable y A2 = 0, entonces A = 0.

61



0  0 411. Hallar la forma de Jordan de la matriz A =   0 0

62

0 0 0 0

1 0 0 0

 0 1  . 0  0