CURSO: 1º BACH. MATERÍA: MAT.AP.CC.SS.I TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

CALIFICACIÓN

NOMBRE: ______________________________________

FECHA: V-06/11/15

APELLIDOS: ___________________________________

1. Calcula cuántos años deben pasar para que un cierto dinero se triplique al ingresarlo en un depósito al 8 % de interés simple. (0´75 puntos) 2. El precio de un inmueble situado en Colmenar Viejo es de 150 000 €. Nos piden de inicio que depositemos el 15% del capital antes de la firma de la hipoteca. La hipoteca se firma con las siguientes condiciones: Pagos mensuales a un 3 % durante los próximos 25 años. ¿A cuánto asciende cada mensualidad de la hipoteca?, ¿cuánto estamos pagando de más por el inmueble al cabo de los 25 años, respecto del precio inicial? (1´5 puntos) 3. Calcula el número de años que debo tener un montante de 6 000 € al 3 % de interés compuesto anual para obtener un interés de 1 000 €. (1´25 puntos) 4. He contratado hoy un plan de jubilación en el que me garantizan, al jubilarme, un montante total de 50 000 €. Si se establecen cuotas anuales de 1 200 € con un interés del 2 %, ¿Cuántos años tendré que estar pagando esas cuotas de capitalización? (1´5 puntos) 5. El banco IMG lanza un producto financiero de ahorro mensual al 9´57 %; el banco CLOSEBANK oferta un producto de ahorro cuatrimestral al 9´6 %; el banco BAMPIA contraoferta a los anteriores con un depósito de ahorro con un rédito anual al 9´95 %. Calcula la TAE de cada producto y muestra cuál es mejor producto de ahorro de entre los tres bancos. (1 punto) 6. En la siguiente tabla aparecen los 12 grupos que forman el IPC base de un país. A ellos se acompañan las ponderaciones y gastos medios anuales de una familia media en 2014 y 2015.

Calcula el IPC de 2015 respecto a 2014 y muestra si ha bajado o ha subido la cesta de la compra básica. ¿Qué porcentaje ha subido o ha bajado la cesta base? (1 punto)

Sectores cesta compra básica Alimentación Bebidas alcohólicas y tabaco Vestido y calzado Vivienda Menaje Medicina Transporte Comunicaciones Ocio y cultura Enseñanza Hoteles y restaurantes Otros

2014

2015

1200 900 1000 800 600 700 1000 900 700 500 800 300

1100 1050 800 900 750 750 800 1100 600 700 1000 400

Ponderaciones (Sobre 100 %) 20 % 3% 9% 10 % 6% 3% 15 % 3% 8% 2% 12 % 9%

7. El IBEX35, principal índice español que engloba las 35 principales empresas de este país, tiene las siguientes variaciones porcentuales a lo largo de cinco días consecutivos. Día % de variación

Lunes + 2´31 %

Martes – 0´99 %

Miércoles +0´91 %

Jueves – 0´62 %

Viernes – 0´13 %

a) Calcular los índices de variación de cada día de la semana.

(0´5 puntos)

b) Calcular el índice de variación semanal y el porcentaje semanal de aumento o de descenso. (0´5 puntos) c) Si el IBEX35 marca el viernes al finalizar la sesión 10277 puntos, ¿qué puntuación tenía el lunes a primera hora de la mañana? (0´5 puntos) 8. En el primer apartado toma logaritmos decimales y desarrolla al máximo y en el segundo elimina los logaritmos aplicando las propiedades de los logaritmos. (0´75 +0´75 puntos)

𝑥2 √ 𝑎) 𝐴 = 𝑦 3

𝑏)

𝑙𝑜𝑔𝐴 = 3 −

𝑙𝑜𝑔𝑥 2

CURSO: 1ºBACHILLERATO

MATERÍA: MATEMÁTICAS AP.CC.SS.I

TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

FECHA: L-30/11/15

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 3 DE MAT.AP.CC.SS.I

1. Calcula cuántos años deben pasar para que un cierto dinero se triplique al ingresarlo en un depósito al 8 % de interés simple. (0´75 puntos) Solución. Puesto que el capital inicial es C = x y los intereses son I = 2x, con un rédito anual del 8 %, entonces, aplicando la fórmula del interés simple tendremos que, 𝐼=

𝐶·𝑟·𝑡 100

⇔ 2𝑥 =

𝑥·8·𝑡 2𝑥 · 100 200 ⇔ =𝑡 ⇔ 𝑡= = 25 𝑎ñ𝑜𝑠 100 𝑥·8 8

Por lo tanto, tendrán que pasar 25 años. 2. El precio de un inmueble situado en Colmenar Viejo es de 150 000 €. Nos piden de inicio que depositemos el 15% del capital antes de la firma de la hipoteca. La hipoteca se firma con las siguientes condiciones: Pagos mensuales a un 3 % durante los próximos 25 años. ¿A cuánto asciende cada mensualidad de la hipoteca?, ¿cuánto estamos pagando de más por el inmueble al cabo de los 25 años, respecto del precio inicial? (1´5 puntos) Solución. Observamos primeramente que la hipoteca se firma sobre un total de 150.000 € menos el 10 % que depositamos inicialmente, esto es, 15 % de 150.000 € = 22 500 € Por tanto, la hipoteca es sobre 150.000 – 22500 = 127 500 € Se trata de un problema de anualidad de amortización. Los datos que nos facilitan son C = 127 500 €, t = 25, r = 3 % con k = 12. Se nos pide primeramente la mensualidad. Utilizando la fórmula de las anualidades de amortización, 𝑘·𝑡 𝑟 𝑟 · (1 + ) 𝑘 · 100 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐶𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 · 𝑘 · 100 𝑘·𝑡 𝑟 (1 + ) −1 𝑘 · 100

obtenemos: 12·25 3 3 3 3 300 · (1 + ) · (1 + 12 · 100 1200 1200) 𝐶 = 127 500 · 12 · 100 = 127 500 · = 12·25 3 300 3 (1 + 1200) −1 (1 + 12 · 100) −1

0´0025 · (1´0025)300 127 500 · = 604´62 € (1´0025)300 − 1 La mensualidad será entonces de 604´62 €. 2

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Por lo tanto, si queremos saber cuánto pagaremos de más respecto al precio inicial del inmueble, haremos: 604´62 · 25 · 12 = 181 385´83 € Y restamos: 181 385´83 € – 127 500 € = 53 885´83 € Por lo tanto, estamos pagando de más 53 885´83 € 3. Calcula el número de años que debo tener un montante de 6 000 € al 3 % de interés compuesto anual para obtener un interés de 1 000 €. (1´25 puntos) Solución. Se trata de un interés compuesto. Los datos que nos facilitan son CI = 6 000 €, CF = 7 000 €, r = 3 % y se nos pide t. Utilizando la fórmula del interés compuesto obtenemos: 𝑟 𝑡 𝐶𝐹 = 𝐶𝐹 · (1 + ) 100

3 𝑡 7000 = 6000 · (1 + ) 100

⇔

7000 = (1´03)𝑡 6000

⇔

⇔

⇔

1´16̂ = (1´03)𝑡

Tomamos logaritmos decimales y despejamos t, log(1´16̂) = 𝑙𝑜𝑔(1´03)𝑡 ⇔

⇔

log(1´16̂) =𝑡 log(1,03)

log(1´16̂) = 𝑡 · log(1,03) ⇔ ⇔

𝑡 = 5´22 𝑎ñ𝑜𝑠

4. He contratado hoy un plan de jubilación en el que me garantizan, al jubilarme, un montante total de 50 000 €. Si se establecen cuotas anuales de 1 200 € con un interés del 2 %, ¿Cuántos años tendré que estar pagando esas cuotas de capitalización?(1´5puntos) Solución. Teniendo en cuenta que C = 50 000 €; a = 1200 € y r = 2 % aplicamos los datos a la fórmula del cálculo de mensualidades de capitalización: 𝑟 𝑡+1 𝑟 (1 + 100) − (1 + 100) 𝐶 = 𝐶𝐼 · 𝑟 100 Sustituyendo las cifras del enunciado:

50 000 = 1 200 ·

2 𝑡+1 2 (1 + 100) − (1 + 100) 2 100 3

= 1 200 ·

(1´02)𝑡+1 − (1´02) 0´02

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MATERÍA: MATEMÁTICAS AP.CC.SS.I

TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

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Despejando la potencia: (1´02)𝑡+1 − (1´02) 50 000 = 1 200 · 0´02 ⇔

⇔

50 000 · 0´02 = (1´02)𝑡+1 − (1´02) 1 200

⇔

(1´02)𝑡+1 − (1´02) 50 000 = 1 200 0´02

⇔

0´83̂ + 1´02 = (1´02)𝑡+1

⇔

⇔

50 000 · 0´02 + 1´02 = (1´02)𝑡+1 1 200

1´853̂ = (1´02)𝑡+1

Para calcular el tiempo, tomamos logaritmos decimales y, mediante la propiedad de la potencia, despejamos t: 1´853̂ = (1´02)𝑡+1 ⇔

⇔

log 1´853̂ = 𝑙𝑜𝑔(1´02)𝑡+1 ⇔ log 1´853̂ = (𝑡 + 1) · 𝑙𝑜𝑔1´02

log 1´853̂ = (𝑡 + 1) 𝑙𝑜𝑔1´02

⇔

log 1´853̂ = (𝑡 + 1) 𝑙𝑜𝑔1´02

⇔ 31´16 − 1 = 𝑡

⇔ 31´16 = (𝑡 + 1)

⇔ 30´16 = 𝑡

Por lo tanto, pasarán 30´16 años para tener ese capital para jubilarse.

5. El banco IMG lanza un producto financiero de ahorro mensual al 9´57 %; el banco CLOSEBANK oferta un producto de ahorro cuatrimestral al 9´6 %; el banco BAMPIA contraoferta a los anteriores con un depósito de ahorro con un rédito anual al 9´95 %. Calcula la TAE de cada producto y muestra cuál es mejor producto de ahorro de entre los tres bancos. (1 punto) Solución. Calculamos la T.A.E. para los tres bancos: Para el banco IMG tendremos que r = 9´57 % con ahorro mensual (k=12) entonces la TAE es, 𝑘 𝑟 9´57 12 𝑇. 𝐴. 𝐸. (𝐼𝑀𝐺) = [(1 + ) − 1] · 100 = [(1 + ) − 1] · 100 = 𝑘 · 100 12 · 100

= [1´00797512 − 1] · 100 ≈ 10 % Para el banco CLOSEBANK tendremos que r = 9´6 % con ahorro cuatrimestral (k=3) entonces la TAE es, 𝑘 𝑟 9´6 3 𝑇. 𝐴. 𝐸. (𝐶𝐿𝑂𝑆𝐸𝐵𝐴𝑁𝐾) = [(1 + ) − 1] · 100 = [(1 + ) − 1] · 100 = 𝑘 · 100 3 · 100

= [1´0323 − 1] · 100 ≈ 9´91 % 4

CURSO: 1ºBACHILLERATO

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TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

FECHA: L-30/11/15

Para el banco Bampia tendremos que r = 9´95 % con ahorro cuatrimestral (k=1) entonces la TAE es, 𝑘 𝑟 9´95 1 𝑇. 𝐴. 𝐸. (𝐵𝑎𝑚𝑝𝑖𝑎) = [(1 + ) − 1] · 100 = [(1 + ) − 1] · 100 = 𝑘 · 100 1 · 100 = [1´09951 − 1] · 100 ≈ 9´95 % Puesto que el producto de inversión con la T.A.E. más elevada es el del banco BAMPIA, este es la mejor opción de inversión. El peor T.A.E. es para el banco CLOSEBANK por lo que es la peor opción de inversión. Sectores cesta 6. En la siguiente tabla aparecen compra básica los 12 grupos que forman el Alimentación IPC base de un país. A ellos se acompañan las ponderaciones y Bebidas alcohólicas y tabaco Vestido y calzado gastos medios anuales de una Vivienda familia media en 2014 y 2015.

Calcula el IPC de 2015 respecto a 2014 y muestra si ha bajado o ha subido la cesta de la compra básica. ¿Qué porcentaje ha subido o ha bajado la cesta base? (1 punto)

2014

2015

Menaje Medicina Transporte Comunicaciones Ocio y cultura Enseñanza Hoteles y restaurantes

1200 900 1000 800 600 700 1000 900 700 500 800

1100 1050 800 900 750 750 800 1100 600 700 1000

Ponderaciones (Sobre 100 %) 20 % 3% 9% 10 % 6% 3% 15 % 3% 8% 2% 12 %

Otros

300

400

9%

Solución. Aplicando la fórmula del IPC obtenemos que, 𝑰. 𝑷. 𝑪. =

=

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕

𝒑𝟏𝟏 · 𝒒𝟏𝟏 + 𝒑𝟐𝟏 · 𝒒𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒑𝒏𝟏 · 𝒒𝒏𝟏 𝒑𝟏𝟎 · 𝒒𝟏𝟎 + 𝒑𝟐𝟎 · 𝒒𝟐𝟎 + ⋯ + 𝒑𝒏𝟎 · 𝒒𝒏𝟎

=

1100 · 20 + 1050 · 3 + 800 · 9 + 900 · 10 + 750 · 6 + 750 · 3 + 800 · 15 + 1100 · 3 + 600 · 8 + 700 · 2 + 1000 · 12 + 400 · 9 = 1200 · 20 + 900 · 3 + 1000 · 9 + 800 · 10 + 600 · 6 + 700 · 3 + 1000 · 15 + 900 · 3 + 700 · 8 + 500 · 2 + 800 · 12 + 300 · 9

=

85200 = 0´990697674 86000

Puesto que el IPC es menor que 1 entonces la cesta de la compra es más barata. El porcentaje que ha bajado es, (1 − 0´990697674) · 100 = 0´93 %

5

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TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

FECHA: L-30/11/15

7. El IBEX35, principal índice español que engloba las 35 principales empresas de este país, tiene las siguientes variaciones porcentuales a lo largo de cinco días consecutivos.

Día % de variación

Lunes + 2´31 %

Martes – 0´99 %

Miércoles +0´91 %

Jueves – 0´62 %

Viernes – 0´13 %

a) Calcular los índices de variación de cada día de la semana.

(0´5 puntos)

b) Calcular el índice de variación semanal y el porcentaje semanal de aumento de descenso. (0´5 puntos) c) Si el IBEX35 marca el viernes al finalizar la sesión 10277 puntos, ¿qué puntuación tenía el lunes a primera hora de la mañana? (0´5 puntos) Solución. a) Calcular los índices de variación de cada día de la semana. Día

Lunes

Martes

Miércoles

% de variación

+ 2´31 %

– 0´99 %

+0´91 %

Índice de Variación

(1 +

2´31 )= 100

1´0231

(1 −

0´99 )= 100

0´9901

(1 +

0´91 )= 100

1´0091

(0´5 puntos) Jueves – 0´62 %

(1 −

0´62 )= 100

0´9938

Viernes – 0´13 %

(1 −

0´13 )= 100

0´9987

b) Calcular el índice de variación semanal y el porcentaje semanal de aumento de descenso. (0´5 puntos) Calculamos el Índice de Variación semanal multiplicando los índices de Variación de cada día: 1´0231 · 0´9901 · 1´0091 · 0´9938 · 0´9987 = 1´014531168 El porcentaje de variación será:

= (1´014531168 − 1) · 100 = 1´4531168 % c) Si el IBEX35 marca el viernes al finalizar la sesión 10277 puntos, ¿qué puntuación tenía el lunes a primera hora de la mañana? . (0´5 puntos)

Sabemos que, 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · 𝐼. 𝑉. = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 En ese caso, 𝑥 · 1´014531168 = 10277 Por lo tanto, despejamos “x” y obtenemos la puntuación del IBEX35 al comienzo de la semana, 𝑥=

10277 = 10129´8 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 1´014531168 6

CURSO: 1ºBACHILLERATO

MATERÍA: MATEMÁTICAS AP.CC.SS.I

TÍTULO: LOGARITMOS. MAT. FINANCIERA

FECHA: L-30/11/15

8. En el primer apartado toma logaritmos decimales y desarrolla al máximo y en el segundo elimina los logaritmos aplicando las propiedades de los logaritmos. (0´75 +0´75 puntos) 𝟑 𝒙𝟐 𝒂) 𝑨 = √ 𝒚

𝒃)

𝒍𝒐𝒈𝑨 = 𝟑 −

𝒍𝒐𝒈𝒙 𝟐

Solución 𝒙𝟐 √ 𝒂) 𝑨 = 𝒚 𝟑

1

𝑥2 𝑥2 3 1 𝑥2 1 √ ⇔ 𝑙𝑜𝑔𝐴 = 𝑙𝑜𝑔 = 𝑙𝑜𝑔 ( ) = · 𝑙𝑜𝑔 ( ) = · (𝑙𝑜𝑔𝑥 2 − 𝑙𝑜𝑔𝑦) = 𝑦 𝑦 3 𝑦 3 3

= 𝒃)

𝒍𝒐𝒈𝑨 = 𝟑 −

1 2 1 · (2 · 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑦 3 3 3

𝒍𝒐𝒈𝒙 ⇔ 𝑙𝑜𝑔𝐴 = 3𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔𝑥1/2 ⇔ 𝑙𝑜𝑔𝐴 = 𝑙𝑜𝑔103 − 𝑙𝑜𝑔√𝑥 𝟐

⇔ 𝑙𝑜𝑔𝐴 = 𝑙𝑜𝑔

103 √𝑥

7

⇔ 𝐴=

1 000 √𝑥