CURSO DE HIDRÁULICA 2010 LECCIÓN 2. ECUACIÓN DE LA DINÁMICA EN FLUIDOS PERFECTOS (HIDRODINÁMICA). ECUACIÓN DE LA DINÁMICA PARA FLUIDOS REALES: ECUACIONES DE NAVIER-STOKES. CONCEPTO DE PENDIENTE HIDRÁULICA. FLUJO LAMINAR. FLUJO TURBULENTO. CAPA LÍMITE.

Ecuación de la dinámica para fluidos perfectos La Hidrodinámica define las posiciones de las partículas en función del tiempo, considerando las fuerzas actuantes. Si se trata de fluidos perfectos, no se tiene en cuenta la viscosidad, luego no existen tensiones tangenciales. Todas las fuerzas son normales. Analíticamente y utilizando coordenadas cartesianas el problema se plantea como un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas: Las 5 ecuaciones son: a) las tres de la aplicación del principio de D’Alambert b) la ecuación de continuidad

;

c) la ecuación de estado, que al tratarse de un líquido es: ρ = Cte Las 5 incógnitas son: las coordenadas de posición (x, y, z); el tiempo t y la masa específica ρ. Sea una partícula en forma de cubo de dimensiones dx·dy·dz; fluido perfecto e incompresible ρ = Cte.

Figura 1. Sea la presión p función de punto (x, y, z) Sea la velocidad 1

Fuerzas actuantes; exteriores y de inercia son respectivamente:

Fuerzas interiores (de presión):

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio, aplicando el principio de D’Alambert:

Operando y simplificando:

ρ = Cte Ecuación de estado de los líquidos Operando del siguiente modo: multiplicando por dx la primera ecuación; por dy la segunda y por dz la tercera en el sistema inmediatamente anterior resulta:

2

Y sumando miembro a miembro:

Dado que:

Asimismo:

Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta:

Operando:

Ecuación General de la Hidrodinámica para fluidos perfectos en el movimiento permanente.

3

Ecuación de Bernoulli (para fluidos perfectos) Si existe función potencial, X, Y, Z derivan de un potencial –U. En este caso existe una función potencial porque ρ = Cte; luego:

Sustituyendo la ecuación (5) en la (4) resulta:

Integrando entre 1 y 2 resulta:

Si el potencial es el campo gravitatorio: U = g·z; que sustituyendo en (6) resulta finalmente:

Ecuación de Bernoulli para fluidos perfectos, que representa la invarianza a lo largo de una trayectoria o línea de corriente (el movimiento es permanente) de la energía por unidad de peso (Figura 2). En efecto: Energía potencial: (m·g·z); por unidad de peso: z Energía cinética: ½ (m·v2); por unidad de peso: v2/(2·g) Energía de presión: (p·S·l) ; por unidad de peso: p/γ

Figura 2

4

La ecuación de Bernoulli se puede generalizar a una corriente. Se define como corriente a un flujo en el cual las velocidades en todos sus puntos son paralelas entre sí (una corriente tiene una dirección preferencial). Si el movimiento es permanente y uniforme, la presión se transmite igual que en hidrostática y la energía cinética (en el caso de utilizar la velocidad media en lugar de la instantánea) se vería afectada por un coeficiente α (conocido como coeficiente de Coriolis), que cuando el flujo es turbulento es muy próximo a la unidad; por tanto es posible realizar la generalización. Ecuación de la dinámica para fluidos reales En los fluidos reales existe rozamiento en el movimiento de las capas contiguas, por tanto aparecen los esfuerzos cortantes, que son proporcionales a las deformaciones que generan (que pueden ser lineales o angulares). En consecuencia las fuerzas de presión sobre cada una de las caras del cubo de la Figura 3, se pueden descomponer en tensiones normales σ y tangenciales τ a la superficie correspondiente.

Figura 2. Para definir el movimiento de los fluidos reales se parte de las condiciones siguientes: Medio continuo Partícula cúbica de volumen dx·dy·dz Viscosidad; µ Velocidad: Fuerzas exteriores por unidad de masa: X, Y, Z Masa específica: ρ 5

Presión media en las caras: p (pero descompuesta en esfuerzos normales y tangenciales) Para establecer las fuerzas interiores se definen las fuerzas de tracción, las que realiza la partícula sobre el fluido que lo rodea (esto difiere respecto a lo planteado en la Figura 1, pero la cuestión se tiene en cuenta cuando finalmente se plantean las ecuaciones de Navier-Stokes). Fuerzas actuantes: Exteriores y de inercia

Interiores (de presión) Eje OX:

Simplificando

Eje OY:

Eje OZ:

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio

El sistema (8) representa las Ecuaciones del movimiento en los fluidos reales. Ecuaciones de Navier-Stokes (N/S) En las ecuaciones de N/S se sustituyen las tensiones por sus efectos, las deformaciones. En la Lección 1 se establecieron dos tipos de deformaciones: Lineales y angulares (Figura 4). 6

Figura 4 Sobre la cara B1C1 actúa la tensión τyx, que es proporcional a la deformación angular dβ tal que:

Sobre la cara D1C1 actúa la tensión τxy proporcional a la deformación angular dα tal que:

Considerando ambos efectos conjuntamente:

Como se demostró en Lección 1

Entonces

Las tensiones τyx y τxy son simultáneas con las deformaciones dβ y dα. Al estudiar las deformaciones angulares, se comenta que: Siendo θz la deformación angular en el plano perpendicular al eje OZ, se puede escribir:

Definiendo como módulo de elasticidad transversal como:

7

Operando de idéntica forma para los planos perpendiculares a los ejes OY y OX, y agrupando todos los resultados:

Relación entre las tensiones tangenciales y las deformaciones. Relación entre las tensiones normales y las deformaciones Se parte de las premisas siguientes: a) Recordar que se trata de un fluido incompresible (líquido) y que verifica la ecuación de continuidad

b) Se considera el estado de tensiones de un sólido elástico, cuya forma y comportamiento coincide con la del fluido que se analiza en el instante t; cuyas tensiones son nulas en dicho instante (se equilibran las tensiones del sólido elástico con las del fluido que se analiza) y cuyos desplazamientos sean en el instante (t+dt) los siguientes:

Se puede demostrar que las tensiones tangenciales del sólido elástico coinciden con las del líquido. Las tensiones tangenciales del sólido elástico son:

8

Para deducir las tensiones normales del sólido elástico se utiliza la fórmula de Lamé

Donde

λ, el módulo de elasticidad de Lamé Como el sólido elástico y el fluido que se analiza tiene el mismo comportamiento, al tratarse éste último de un fluido incompresible e = 0 por la ecuación de continuidad de Euler. Luego la fórmula de Lamé se reduce a:

Tensiones normales del sólido elástico. Al superponer el sólido elástico con el fluido incompresible, dado que la presión total a que está sometido el fluido incompresible es p, se tiene: a) Las tensiones tangenciales del sólido elástico y del fluido coinciden; luego se anulan. b) Las tensiones normales del sólido elástico son: c) Como en el instante t las tensiones sólido-fluido están en equilibrio, las tensiones normales del fluido serán:

El signo (-) en la p responde a las notaciones habituales en elasticidad, para representar a las compresiones

Sustituyendo los resultados de los sistemas de ecuaciones de (9) y (10) en el sistema de ecuaciones (8) se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes.

9

En el sentido del eje OX

Operando:

Siendo el laplaciano de u

En consecuencia

El sistema (11) representa las Ecuaciones de Navier-Stokes. En forma vectorial la ecuación de N/S toma la expresión:

Desarrollando el término

Sustituyendo (12) en (11 bis)

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Ecuación de Bernoulli (para fluidos reales) Como las fuerzas exteriores proceden de un potencial

Sustituyendo este valor en la ecuación (13) y reordenando la ecuación resulta:

Dado que

Sustituyendo en la ecuación (15) y reordenando la ecuación resulta:

Considerando el movimiento permanente

Si el campo potencial es el gravitatorio; U = g·z La ecuación (15 bis) se transforma en:

La pendiente motriz o pendiente hidráulica (adimensional) viene representada por

Las pérdidas de carga unitarias debidas a la viscosidad (adimensional) vienen representadas por

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Las pérdidas de carga debidas a la turbulencia (adimensional) viene representadas por

Luego, la ecuación de Bernoulli para fluidos reales queda definida por:

Su representación gráfica se muestra en la Figura 5

Figura 5 El término

es la pérdida de carga en el tramo l, siendo la J es la pendiente hidráulica; que es debida a la fricción de las partículas de fluido entre sí; pero sobre todo a la fricción entre el fluido y las paredes de la conducción. Un modo sencillo de presentar la pendiente hidráulica J es el siguiente:

12

Se considera el movimiento permanente y uniforme de un fluido por una conducción de sección constante S en un tramo de longitud l (Figura 6). Sobre dicho fluido actúan las siguientes fuerzas: a) El peso del fluido (aplicado en el centro de gravedad): P = S·l·γ b) Fuerza de rozamiento (dirigida según el eje de la conducción y en sentido contrario al movimiento): F c) Fuerzas de superficie debido a la presión en las secciones 1 y 2, aplicado en el centro de gravedad de las mismas: (p1·S) y (p2·S).

Figura 6 Proyectando las fuerzas sobre el eje de la conducción:

Geométricamente:

Luego:

Dividiendo toda la ecuación anterior por (γ·S) resulta:

Y dividiendo la ecuación anterior por l

Si el movimiento no es uniforme (aunque siga siendo permanente): 13

Un concepto a tener en cuenta, que se plantea tanto en conducciones cerradas como en cauces abiertos, dentro del contexto de la pendiente hidráulica es el siguiente: El cociente entre la fuerza de rozamiento F y la superficie de contacto fluidoconducción (χ·l; siendo χ, el perímetro mojado y l, la longitud de la conducción) es la tensión de corte.

Dado que F = l·S·γ (Ec. 19 bis)

La tensión de arrastre del agua es:

La ecuación (22) tiene un significado relevante en la Hidráulica de sedimentos como se muestra más adelante. Flujo laminar Se produce cuando el fluido se mueve como en láminas que deslizan suavemente unas sobre otras. Existe únicamente intercambio de cantidad de movimiento molecular entre ellas. Cualquier síntoma de inestabilidad o turbulencia se amortigua por acción de las fuerzas cortantes viscosas, que se oponen al movimiento relativo de las láminas de fluido en contacto. Fue definido por Reynolds (1883) a través de su conocido experimento con el aparato cuyo esquema se representa en la Figura 7.

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Figura 7 Experiencias de Reynolds: a) Con el depósito en total estado de reposo, abriendo lentamente la válvula de entrada del agua en la tubería, se produjo en ésta un flujo tan constante y estable, que el filamento coloreado paso a través del tubo como una lámina claramente definida. b) Cuando la cantidad del escurrimiento fue aumentando progresivamente en el tubo, el flujo aumentó de velocidad y el filamento coloreado comenzó a ondularse. c) Los incrementos posteriores en velocidad contribuyeron a la dispersión total del colorante en la tubería. d) Reynolds asoció estos cambios a un coeficiente que recibe su nombre número de Reynolds.

ρ, densidad del fluido u, velocidad del flujo D, diámetro de la tubería µ, coeficiente de viscosidad del fluido e) Comprobó que la dispersión total del colorante en la tubería se verificaba para Re=12.000, lo que interpretó como punto de paso del movimiento laminar a turbulento. Posteriormente se han alcanzado valores de hasta Re=40.000. Estos valores se denominan números críticos superiores de Reynolds. f) Procediendo de manera inversa, el regreso al movimiento laminar procedente del movimiento turbulento se producía en torno a Re = 2000. Este valor conocido también número de Reynolds crítico inferior, es el que tiene una verdadera significación. En la práctica se establece que existe régimen laminar cuando

y régimen turbulento cuando

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Se aclara con un ejemplo el significado de Re < 2000. La viscosidad cinemática del agua ν=µ/ρ, es del orden de 10-6 m2s-1. Si la conducción tiene 1 pulgada (D=0,025 m)

u es menor que 0,1 m s-1 Esto demuestra que el movimiento laminar es propio del escurrimiento en medios porosos; pero, tratándose de cauces abiertos, su incidencia se reduce al interior de la capa límite. Análisis del movimiento laminar: Ecuación de Hagen-Poiseuille Se considera a un fluido en movimiento permanente y uniforme, en régimen laminar. Las líneas de corriente son rectas paralelas al eje de la tubería y a lo largo de ellas la velocidad es constante. La distribución espacial de la velocidad en todas las secciones normales es la misma. El eje del tubo es el eje OX. El eje OZ es perpendicular a la tubería (Figura 8). El eje OY es perpendicular al plano del papel.

Figura 8. La velocidad depende únicamente del radio de la tubería

Aplicando las Ecuaciones de Navier-Stokes

Desarrollando

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Luego se reduce a:

Si

deriva del potencial gravitatorio, siendo h la altura sobre el plano de comparación:

En consecuencia, la ecuación (23) se transforma en:

Multiplicando todos los miembros de la ecuación (24) por µ y desarrollando en los tres ejes cartesianos, se obtiene el siguiente sistema:

En consecuencia:

Tomando:

El término de la izquierda dividido por γ representa la pendiente hidráulica, ya que la velocidad es constante y

; luego

Tomando

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Pasándolo a coordenadas polares

Como u no depende de θ

Integrando

Cuando u toma el valor correspondiente al centro de la conducción, la velocidad en la ecuación anterior resulta infinita, lo que no es posible; auque sea máxima. Por otro lado:

un valor finito. En consecuencia C2=0

Integrando nuevamente:

Para calcular C3

En consecuencia:

Lo que pone de manifiesto que la distribución de velocidades viene dada por un paraboloide de revolución. Introduciendo el valor de C1 en la ecuación (25) en la ecuación (26)

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Puede observarse que la tensión tangencial varía linealmente con el radio.

Refiriendo a la velocidad media

la función de la ecuación (27)

Como la velocidad media es:

La expresión (28) es la ecuación de Hagen-Poiseuille, que establece que la pendiente motriz en el movimiento laminar y es proporcional a la velocidad. Flujo turbulento En el movimiento laminar se verifica la Ley de Newton de la viscosidad

Para el movimiento turbulento Bousinesq introdujo un nuevo coeficiente conocido como viscosidad molar o de remolino η, de manera que se verifica:

Sin embargo, cuando el flujo tiene lugar en la proximidad de la superficie sólida; es decir si y (distancia entre la superficie sólida y la partícula de fluido) es menor o igual que δ (espesor de la capa límite), el valor de η tiende a 0 y solo interviene la viscosidad dinámica del fluido; en cuyo caso τ=τo y se verifica que:

Dividiendo por ρ ambos miembros de la ecuación (29)

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El término se le conoce como velocidad de corte (tiene dimensiones de velocidad), en consecuencia:

La distribución de la velocidad dentro de la capa límite es lineal entre u e y. Si y>δ; entonces µ tiende a 0, pero el coeficiente de viscosidad molar η resulta predominante. Para la determinación de η, se aplica la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento a través de un elemento de superficie ∆A de los siguientes elementos: u’ y v’ (velocidades en el sentido de la corriente y transversal a ella)

Donde: (ρv’)∆A, es la masa por unidad de tiempo de un fluido que cambia su cantidad de movimiento. u’, es la velocidad final menos la velocidad inicial en la dirección del movimiento. Operando:

Que constituye el esfuerzo cortante debido a la turbulencia. Dado que el esfuerzo cortante debido a la viscosidad es:

El cociente entre ambos es:

Para establecer los valores de u’ y v’, Prandtl estableció la teoría de la longitud de mezcla, que supone que una partícula de fluido se desplaza una distancia l, antes de que

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su cantidad de movimiento se vea afectada por las partículas en su nueva posición. Según Prandtl:

Entre u’ y v’ admitió la existencia de la correlación:

Luego

y el coeficiente molar de Bousinesq resulta:

Partiendo de la ecuación:

l, tiene dimensiones de longitud, luego es proporcional a y; pudiéndose escribir en una primera aproximación l=k·y

Operando:

Integrando la ecuación (31) resulta:

Distribución de la velocidad fuera de la capa límite que resulta exponencial entre u e y. Bakhmeteff estableció un procedimiento para determinar la contante C de la ecuación (32). Según el autor en el extremo de la capa límite y = δ; u=uw. Luego:

En el resto de la conducción:

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Particularizando la ecuación general para la situación extrema de la capa límite en y=δ

Restando miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores:

La expresión (33) se define como la ecuación de Bankhmeteff y se puede escribir también de acuerdo con las siguientes expresiones

En la línea que se comenta, Nikuradse, para tuberías lisas con K=0,40 y R*e=5,5, estableció la siguiente relación de forma experimental

Cálculo de la pendiente hidráulica en el movimiento turbulento La complejidad del movimiento turbulento no permite realizar una determinación directa de la pendiente hidráulica a través de las ecuaciones de Navier-Stokes, sino que ésta se realiza a través de la Ecuación General de la Hidráulica, que de modo implícito resulta:

Operando:

Aplicando la Ecuación de Bernoulli al movimiento permanente y uniforme de un fluido entre dos secciones de una tubería resulta (Figura 10):

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Figura 10 En conducciones cerradas la Ecuación General de la Hidráulica no depende del peso, ni de la tensión superficial ni de la onda elástica, si además el movimiento es permanente, la ecuación inicial se simplifica como se muestra a continuación:

Despejando ∆h, de la ecuación anterior:

Como ∆h=J·L (J, es la pendiente hidráulica)

Se denomina f al coeficiente:

En establece la pendiente hidráulica J en el movimiento turbulento que viene dada por la ecuación de Darcy-Weisbach siguiente:

El coeficiente f de Darcy-Weisbach se determina a través del ábaco de Moody. Lógicamente este ábaco establece la relación entre el régimen de la corriente (incluida la distribución de la velocidad) en el movimiento turbulento y su pendiente hidráulica; aunque su comprobación no es directa, a continuación se plantean sus fundamentos: Fórmula de Colebrook Despejando la pendiente hidráulica en las ecuaciones (27’) y (34), en las que viene definida por I y por J respectivamente, se establece:

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Operando:

Sustituyendo en la ecuación de Nikuradse (33’)

Operando la ecuación anterior se transforma en

Sumando a ambos miembros de la ecuación anterior el término 0,86·L·(ε/D), resulta:

La ecuación (36) es el punto de partida para la confección del ábaco de Moody (Figura 11); aunque el desarrollo hasta llegar al mismo resulta bastante complejo.

Figura 11

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Teoría de la capa límite En los fluidos poco viscosos (aire, agua) la fuerzas tangenciales resultan con frecuencia muy inferiores a las de inercia o peso, por eso en la hidrodinámica clásica se ha prescindido de ellas. Pero esta consideración cuantitativa no autoriza a prescindir de los efectos viscosos, que en ocasiones ejercen una influencia considerable en la configuración del movimiento. Prandtl (1904) ideó el concepto de capa límite, según el cual un fluido de pequeña viscosidad se comporta como un fluido perfecto excepto en una capa límite próxima al contorno, donde se concentran los efectos de fricción por la viscosidad. En el exterior de la capa límite las tensiones tangenciales son despreciables, puesto que los gradientes transversales de velocidad son moderados y la viscosidad es pequeña, por lo que las fuerzas de inercia y peso predominan; pero en el interior de la capa límite (en la proximidad del contorno) el gradiente de velocidad normal al mismo (du/dy) es muy grande y por tanto la tensión tangencial τ=µ·(du/dy) resulta apreciable, del mismo orden que las fuerzas de inercia. Experimentalmente se ha comprobado que la distribución de la velocidad en la proximidad de la capa límite adopta una forma parabólica (Figura 12) y que tiene un desarrollo longitudinal, hasta un cierto valor crítico del número de Reynolds, 5·105 < Re < 3·106, en el que se desdobla (Figura 13).

Figura 12 u, velocidad en el interior de la capa límite vo, velocidad fuera de la capa límite δ, espesor de la capa límite

Figura 13 La capa límite se puede definir: a) Atendiendo a que la velocidad u para y=δ es próximo a vo. Entonces el gradiente du/dy es despreciable y por tanto también τ=µ·(du/dy). Su objetivo final es definir la ecuación de la capa límite y su cálculo posterior a través del desarrollo de Blasius. 25

b) El esfuerzo de fricción evaluado en la zona de espesor δ a lo largo del contorno mediante la ecuación de la cantidad de movimiento ha de coincidir: b-1) con el obtenido analíticamente mediante la relación τ=µ·(du/dy). b-2) con el obtenido experimentalmente en la capa turbulenta. Esta segunda definición se utiliza para establecer el espesor de la capa límite

Mientras el gradiente de presiones se mantiene en cero (a lo largo de una placa plana) la capa límite continúa su desarrollo agua abajo. Si disminuye la presión en la dirección de la corriente principal, el espesor de la δ se reduce y la velocidad aumenta, si la presión aumenta ocurre lo contrario.

En este segundo caso aparece el gradiente de presión adverso, que unido a la fuerza cortante en la placa son los causantes de que disminuya la cantidad de movimiento dentro de la capa límite y, si ambos actúan a distancia suficiente, el fluido contenido en la capa límite comienza a frenar hasta alcanzar el reposo. A este fenómeno se le conoce como separación de la capa límite (Figura 14).

Figura 14 Aguas debajo de la separación de la capa límite aparece un flujo en sentido contrario cerca de la pared y una pérdida de carga, fenómeno que se denomina estela. La capa límite ejerce una influencia notable en los coeficientes de arrastre y sustentación. Arrastre: es la componente en la dirección del flujo principal de la fuerza ejercida por el fluido sobre un cuerpo sumergido.

Figura 15 26

FA, es la fuerza de arrastre. S, superficie de la proyección del cuerpo sobre un plano perpendicular a la dirección del flujo. ρ, densidad del flujo. u, velocidad del flujo. CD, coeficiente de arrastre, función del número de Reynolds y de la geometría del cuerpo (Figura 15). Sustentación: es la componente en dirección perpendicular al flujo principal de la fuerza ejercida por un fluido sobre un cuerpo sumergido.

Figura 16 FS, fuerza de sustentación. CL, coeficiente de sustentación, función del número de Reynolds y de la geometría del cuerpo (Figura 16). Los restantes términos son conocidos Las razones expuestas son las que condicionan que los cuerpos aerodinámicos se diseñen de tal forma que el punto de separación de la capa límite se presente lo más alejado posible del frente del flujo (Figura 17).

Figura 17 Pérdidas de carga (energía) singulares o localizadas Las pérdidas de carga continuas se producen a lo largo de toda la conducción y su valor es el producto de la pendiente hidráulica (o pérdida de carga unitaria) por la longitud de la conducción ∆h=J·L Las pérdidas de carga singulares son debidas a alteraciones en el transcurso de la conducción que modifican la circulación de la corriente (tales como: cambios bruscos de dirección; ensanchamientos; estrechamientos; curvas; codos; bifurcaciones; válvulas; etc.). Su expresión más general es: Siendo K un coeficiente función de Re y ε/D. En situaciones de turbulencia plena solo dependen de ε/D. 27

Este coeficiente es empírico. Solo hay una situación de pérdida de carga singular que tiene una explicación teórica; se trata del ensanchamiento brusco, que da lugar a la fórmula de Belanger. Pérdida de carga por ensanchamiento brusco (fórmula de Belanger) Sea una conducción en la que en la sección AA’ se produce el ensanchamiento brusco, para establecerse la normalidad en la sección BB’ (Figura 18).

Figura 18 Dado que la distancia entre AA’ y BB’ es muy pequeña, la única pérdida de carga en el tramo se debe al ensanchamiento brusco. Aplicando la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía) entre AA’ y BB’

Como la tubería es horizontal z1 = z , luego

Aplicando la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento entre las secciones AA’ y BB’

Simplificando

Igualando el término

en las ecuaciones (39) y (40), resulta: 28

Operando:

La ecuación (42) constituye la pérdida de carga por ensanchamiento brusco según Belanger. Aplicando la ecuación de continuidad

y sustituyendo en la ecuación de Belanger se puede operar como sigue:

Normalmente a la ecuación de Belanger se le incorpora una constante K* para adecuarlo a los datos experimentales, adquiriendo la expresión final

O también:

Por último comentar que en los estrechamientos bruscos, mientras se produce el estrechamiento no existe pérdida de carga, pero si durante la expansión posterior de la corriente (Figura 19). Su expresión más general responde a la ecuación:

Figura 19 Siendo c = (Sc /S0), coeficiente de contracción y m = (S0 /S) el módulo de forma.

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