CURSO DE

TEORÍA DE GALOIS

Nieves Rodríguez González Puri…cación López López Emilio Villanueva Nóvoa Santiago de Compostela 2013

Índice general 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 1.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW . . . . . 1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES . . 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 5 14 28 40

2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS 2.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . 2.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . 2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

45 45 51 58 61 75

3. EXTENSIONES DE CUERPOS 3.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS . . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 . 79 . 83 . 90 . 97

4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES. CLAUSURA ALGEBRAICA. 103 4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 116 4.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 133 4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 136 i

ii 4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. TEORÍA DE GALOIS 5.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA . . . . . . 5.3. CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS CICLOTÓMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . 5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . 5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 . 145 . 152 . . . .

154 163 183 194

6. Complementos 197 6.1. Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel. 197 6.2. La trascendencia de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 207 Bibliografía

219

PROLOGO Salvo en lo concerniente a resolubilidad en característica positiva, el material utilizado para la elaboración de este manual está constituido esencialmente por las notas de clase utilizadas por los autores en los últimos años para el desarrollo de la docencia de la asignatura Álgebra de la Licenciatura en Matemáticas de la USC. El objetivo …nal es la obtención del Gran Teorema de Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas, y con estas notas se pretende facilitar el acceso al contenido del curso. Para seguirlo es muy recomendable haber cursado previamente una materia introductoria de Álgebra en la que hayan sido tratados con el detalle necesario gran parte de los tópicos fundamentales contemplados sucintamente en el Capítulo 2, y cuya presencia en este manual se justi…ca por la intención de los autores de facilitar la lectura del mismo. La de…citaria formación algebraica de los alumnos en temas de naturaleza más elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio de grupos …nitos que incluya la necesaria teoría de Sylow, algunos detalles sobre los grupos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el capítulo 1. El tratamiento de las generalidades de las teorías de grupos y anillos, que hacemos a lo largo de los dos primeros capítulos, es muy esquemático y re‡eja también la recomendable actitud de brevedad necesaria en el desarrollo docente de la materia para poder abarcar el contenido de la misma en el tiempo asignado, ya que el plan de estudios con…na a esta asignatura en un cuatrimestre de docencia. Esta exigua duración del curso y el tiempo que es necesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones básicas constituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto la idea de presentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, en característica arbitraria. También se ha pretendido que, de algún modo, estas notas sean testimonio de lo realizado a lo largo de los últimos años en la docencia de esta materia 1

2 y por ello presentamos por separado la resolubilidad en característica cero, ya que en ninguna ocasión, durante el período de referencia, ha habido la opción de desarrollarla en característica positiva. No obstante alguna vez, y de modo esporádico, se ha podido esbozar un estudio de separabilidad en característica p; y el mencionado carácter testimonial nos ha llevado a incluir ese material, habida cuenta de la enorme importancia que tienen las peculiaridades de dicha teoría para la formación de un matemático. Una vez hecho esto, la resolubilidad en característica positiva se obtiene con un pequeño esfuerzo adicional y ésta es la razón por la que, …nalmente, se ha decidido incluirla con el quizá desmesurado optimismo de que alguna vez sea posible incorporarla al curso, lo que, sin duda, no sería utópico en una materia con docencia anual. No hemos sabido resistir la tentación de completar el manual con los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, obtenidos a partir de la teoría general, y de añadir además un apéndice dedicado a una prueba relativamente sencilla de la trascendencia de (sección 6.2), que completa el estudio del problema de la cuadratura del círculo (3.3.8) ya tratado en el capítulo 2. Quien esté interesado solamente en la versión en característica cero puede pasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el párrafo de resolubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de característica positiva, amén de la nota 4.6.6, …nalizando la teoría con el teorema de Abel (5.4.19). Por coherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuación general de grado n se verá entonces restringido al caso de característica nula. Cada capítulo termina con una colección de ejercicios y al …nal del texto hay una sección con indicaciones para resolverlos. La bibliografía contiene algunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido más próximo al tratamiento que se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a la opinión de que una formación matemática de calidad es connatural con la consulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en ésta como en otras materias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temas tratados, y la resolución de los problemas allí propuestos. Estas notas, que nacieron con vocación de ser una referencia sobre las exigencias mínimas de contenido de un curso cuatrimestral -objetivo estrictamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a característica cero-, han sido …nalmente completadas hasta lo que se puede considerar una declaración de principios sobre lo que los autores estiman imprescindible para un cur-

3 so obligatorio de Álgebra, dedicado a Teoría de Galois, en una Titulación Superior de Matemáticas.

4

Capítulo 1 COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS El teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomor…smo de retículos entre el de subgrupos de un grupo de automor…smos de un cuerpo y el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo …jo de dicho grupo. Esta biyección es usada sistemáticamente en la obtención del gran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de la ecuación algebraica f (X) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Esta resolubilidad quedará establecida en términos de las propiedades algebraicas del grupo de automor…smos del cuerpo de escisión de f sobre su cuerpo de coe…cientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivación de este capítulo.

1.1.

GENERALIDADES

Aunque los conocimientos básicos necesarios forman parte del contenido de asignaturas de Álgebra previas (Álgebra Lineal, Introducción al Álgebra), con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de su…ciencia para el seguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera sección a la exposición sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestiones de la teoría de grupos. De…nición 1.1.1 Un grupo (G; :) es un conjunto no vacío G en el que existe una operación : G G!G 5

6

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

que satisface las siguientes propiedades: i) La operación es asociativa, (x:y):z = x:(y:z); cualesquiera que sean x; y; z elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribirá (x:y):z = x:(y:z) = x:y:z. También, cuando ello no suponga ambigüedad, se suprimirá el : para designar la operación, es decir, se pondrá xy en lugar de x:y;(en concordancia con ello, diremos también que G es un grupo en lugar de: (G; :) es un grupo). ii) Existe un elemento neutro e 2 G: Es decir, 9 e 2 G j ex = xe = x; 8x 2 G (el elemento neutro es único, pues si e0 es neutro también, se tiene e = ee0 = e0 ) iii) Para cada x 2 G existe un x 1 2 G tal que xx 1 = x 1 x = e. El elemento x 1 se denomina inverso (u opuesto) de x: (Tal inverso es único pues si xy = e se tiene y = x 1 xy = x 1 e = x 1 por la propiedad asociativa). Recuérdese que si x; y 2 G entonces (xy) 1 = y 1 x 1 (ya que, por la unicidad del inverso, de y 1 x 1 xy = y 1 y = e se deduce (xy) 1 = y 1 x 1 ). Se dirá que un grupo G es abeliano si satisface la propiedad conmutativa, es decir, si xy = yx; 8x; y 2 G: Frecuentemente se reserva para estos grupos el símbolo + para denotar la operación, y con x se indicará el opuesto de x. Nota 1.1.2 Si en un conjunto G está de…nida una operación asociativa, se dirá que un elemento x 2 G es idempotente si x2 := x:x = x (con lo cual uno tiene veces x = x para todo número natural n): Pues bien, si G es un xn := x n ::: grupo, el único elemento idempotente de G es el neutro (x = xx =) e = x 1 x = x 1 xx = ex = x): De…nición 1.1.3 Un subconjunto no vacío H de un grupo G se dirá que es un subgrupo de G si la operación de G induce en H una estructura de grupo con el mismo elemento neutro. Es decir, i) xy 2 H; 8x; y 2 H. ii) e 2 H iii) x 1 2 H; 8x 2 H.

1.1. GENERALIDADES

7

Nota 1.1.4 Un subconjunto no vacío H de un grupo G es un subgrupo de G si, y sólo si, se satisface la propiedad x; y 2 H =) x 1 y 2 H: En efecto, si H es subgrupo de G es evidente que la condición se cumple. Recíprocamente, para x 2 H 6= ; se tiene x; x 2 H y por tanto e = x 1 x 2 H: Entonces para x 2 H; se tiene x; e 2 H y así x 1 = x 1 e 2 H: Finalmente, para x; y 2 H se tiene x 1 ; y 2 H por lo ya demostrado, y entonces xy = 1 (x 1 ) y 2 H: T Si fHi j i 2 Ig es una familia de subgrupos del grupo G entonces Hi es i2I T también subgrupo de G: En efecto, de x; y 2 Hi se deduce inmediatamente i2I T x 1y 2 Hi ya que, para cada i 2 Hi ; se tiene x 1 y 2 Hi al ser cada Hi un i2I

subgrupo de G: La noción de subgrupo está íntimamente ligada a la de relación de equivalencia compatible (por un lado) con la operación del grupo. Con la determinación de la naturaleza de los subgrupos de (Z; +) se inicia la teoría de divisibilidad en Z. Si H 6= 0 es un tal subgrupo y si s 6= 0 es el menor entero positivo perteneciente a H entonces H = sZ; es decir H consiste en el conjunto de los múltiplos de s (Si t 2 H; el algoritmo de Euclides proporciona enteros q; r con 0 r < s tales que t = q:s + r; y así r = t q:s 2 H ya que q:s 2 H; de ello se deduce que r = 0 por la selección de s) De…nición 1.1.5 Si G es un grupo y v es una relación binaria en G, se dirá que v es compatible por la izquierda con la operación de G si x v y =) zx v zy; 8z 2 G: De modo análogo se de…ne relación binaria en G compatible por la derecha con la operación de G: Proposición 1.1.6 Sea G un grupo. i) Si H es un subgrupo de G la relación binaria en G, xH v y :, x 1 y 2 H

H

v de…nida por

8

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

es de equivalencia y compatible por la izquierda con la operación de G: Análogamente, la relación x vH y :, xy 1 2 H

es de equivalencia y compatible por la derecha con la operación del grupo. La clase de equivalencia de cada x 2 G módulo la relación H v (respectivamente, la relación vH ) es la clase [x]H v = xH (respect. [x]vH = Hx): ii) Si v es una relación de equivalencia en G; compatible por un lado con la operación del grupo, entonces la clase de equivalencia Hv = [e]v del elemento neutro e es un subgrupo. iii) HH v = H; y Hv v=v (Y también HvH = H; y vHv =v)

Demostración. i) xH v y; z 2 G =) (zx) 1 zy = x 1 z 1 zy = x 1 y 2 H , zxH v zy: Además y 2 [x]H v () xH v y , x 1 y 2 H () y 2 xH: Para la prueba de ii) obsérvese que de x; y 2 Hv = [e]v ; es decir, de x v e; y y v e se obtiene x 1 y v x 1 e v x 1 x = e por la compatibilidad por la izquierda de v con la operación del grupo, y por tanto Hv es un subgrupo de G (1.1.4). Además x 2 HH v () xH v e , x 2 eH = H por lo ya demostrado. También xHv v y , x 1 y 2 Hv , x 1 y s e , y v x , x v y; con lo que queda probado iii) también. Nota 1.1.7 Designaremos con y con

G H = fxH j x 2 Gg H G = fHx j x 2 Gg

las particiones de G correspondientes a las anteriores relaciones de equivalencia. tx Como #H = #xH, 8x 2 G (la aplicación H ! xH de…nida por ` tx (h) = xh es biyectiva) y como G = xH se tiene que #G = xH diferentes

#H:# (G H) : De modo análogo se obtiene #G = #H:# (H G) :

De…nición 1.1.8 Pondremos (G : H) = # (G H) y se denominará índice (por la izquierda) de H en G a este número, que será divisor del orden de G si éste es …nito.

1.1. GENERALIDADES

9

De…nición 1.1.9 Si (G; :) y (L; ) son grupos, una aplicación f : G ! L es un homomor…smo de grupos si f (x:y) = f (x) f (y); 8x; y 2 G: Un homomor…smo biyectivo se llamará isomor…smo. Así, el homomor…smo f : G ! L es un isomor…smo si, y sólo si, existe una aplicación inversa f 1 : L ! G (que resulta ser también homomor…smo de grupos). Con la notación L = G se indicará que L y G son grupos isomorfos, es decir que existe un isomor…smo entre ellos. Nota 1.1.10 Si f : G ! L es un homomor…smo de grupos y eG y eL son los correspondientes neutros entonces f (eG ) = eL (f (eG ) = f (eG :eG ) = f (eG ) f (eG ) =) f (eG ) = eL por 1.1.2), y entonces, f (x 1 ) = [f (x)] 1 , para todo x 2 G (eL = f (eG ) = f (x:x 1 ) = f (x) f (x 1 ) y se aplica la unicidad del inverso): También, si H es un subgrupo de G, entonces f (H) es subgrupo de L (x = f (h); y = f (k) con h; k 2 H =) x 1 y = [f (h)] 1 f (k) = f (x 1 :y) 2 H); y si K es subgrupo de L entonces f 1 (K) = fx 2 G j f (x) 2 Kg es subgrupo de G: (x; y 2 f 1 (K) () f (x); f (y) 2 K =) [f (x)] 1 f (y) = f (x 1 :y) 2 K =) x 1 :y 2 f 1 (K)) (1.1.4). De…nición 1.1.11 Para el homomor…smo f : G ! L se de…nen: i) Imagen de f , el subgrupo f (G) de L y se escribirá Im(f ) = f (G): ii) Núcleo de f; denotado con ker(f ); de…nido como ker(f ) = f 1 (feL g) (obsérvese que feL g es subgrupo de L y se aplica (1.1.10)) Además ker(f ) es un subgrupo de G con la siguiente propiedad adicional: si x 2 G e y 2 ker(f ) entonces f (x:y:x 1 ) = f (x) f (y) f (x 1 ) = f (x) eL [f (x)] 1 = eL =) x:y:x 1 2 ker(f ): La importancia de esta propiedad merece distinguir con un nombre especial a los subgrupos de un grupo que la satisfacen. De…nición 1.1.12 Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, se dice que H es subgrupo normal (o invariante) de G si satisface cualquiera de las propiedades equivalentes siguientes

10

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

i) xHx 1 H; 8x 2 G ii) xHx 1 = H; 8x 2 G iii) xH = Hx; 8x 2 G iv) H v=vH La prueba de la equivalencia de las anteriores condiciones es fácil. i) =) ii) Si i) se satisface para todo elemento de G; se tiene también 1 x 1 H (x 1 ) = x 1 Hx H; y por tanto x (x 1 Hx) x 1 = H x 1 Hx: ii) =) iii) En virtud de la hipótesis, dado un x 2 G, 8h 2 H 9k 2 H tal que xhx 1 = k; y por tanto xh = kx; con lo que se obtiene xH Hx: También, usando que x 1 Hx = H; se tiene que 8h 2 H 9k 2 H tal que x 1 hx = k y, entonces, Hx xH: iii) () iv) Es evidente, pues dos relaciones son iguales si, y sólo si, determinan la misma clase de equivalencia para cada elemento, es decir, si, y sólo si, determinan la misma partición en el conjunto donde están de…nidas. iii) =) i) Si x 2 G y h 2 H existe un k 2 H tal que xh = kx; y por tanto tal que xhx 1 = k: Resulta así xHx 1 H: De…nición 1.1.13 Si G es un grupo se de…ne el centro de G; ZG como el conjunto de elementos de G que conmutan con todos los elementos de G; ZG := fa 2 G j ab = ba; 8b 2 Gg: Es muy fácil comprobar que el centro de G es un grupo abeliano, y que todo subgrupo de ZG es normal en G. Si G es un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales. Por ejemplo todos los subgrupos de (Z; +) son normales. Existen grupos en los que sucede precisamente lo contrario: De…nición 1.1.14 Se dice que un grupo G es simple si no posee otros subgrupos normales que feg y el propio G: Nota 1.1.15 Si H es un subgrupo de G de índice 2 entonces H es normal en G (G=H = fH; xH; con xH = yH para cualquier par x; y 2 = H, x; y 2 Gg ya que (G : H) = 2; y por la misma razón HnG = fH; Hx; con Hx = Hy para cualquier par x; y 2 = H; x; y 2 Gg; por lo tanto xH = Hx; 8x 2 G; pues G = H t xH = H t Hx si x 2 = H ).

1.1. GENERALIDADES

11

Si H es subgrupo normal de G, el conjunto cociente G H := fxH j x 2 Gg adquiere estructura de grupo con la operación (xH):(yH) := xyH; cuyo elemento neutro es eH = H; y que la aplicación 'H : G ! G H de…nida por 'H (x) = xH es homomor…smo de grupos al que llamaremos homomor…smo canónico de paso al cociente módulo H. El núcleo de 'H es el grupo H, y así es evidente la siguiente a…rmación: H es subgrupo normal de G si, y sólo si, existe un grupo L y un homomor…smo de grupos f : G ! L cuyo núcleo es H. Se recordará que una aplicación si f : G ! L admite siempre una descomposición f = f3 f2 f1 G # f1

G

f

! f2

L " f3 ;

vf ! f (G)

(descomposición canónica) en donde vf es la relación de equivalencia en G de…nida por x vf y :() f (x) = f (y); y G vf denota, como es habitual, el conjunto cociente, es decir aquél cuyos elementos son las clases de equivalencia de los de G para la relación vf ; la aplicación f2 es la biyección de…nida por f2 [x]vf = f (x); y, …nalmente, f3 es la inclusión. Supongamos ahora que f : G ! L es un homomor…smo de grupos. Entonces, si H = ker (f ) ; resulta x vf y :() f (x) = f (y) () eL = [f (x)] 1 f (x) = [f (x)] 1 f (y) = f (x 1 y) () x 1 y 2 H () xH v y; es decir, vf =H v=vH ; ya que H es subgrupo normal de G: Por tanto G vf = G H y además f1 : G ! G H es el homomor…smo canónico de paso al cociente módulo H, pues f1 (x) = [x]vf = [x]H v = xH = 'H (x) cualquiera que sea x 2 G. La biyección f2 es ahora un isomor…smo de grupos pues es biyectiva y además f2 ((xH)(yH)) = f2 (xyH) = f (xy) = f (x) f (y) = f2 (xH) f2 (yH): La inclusión f3 es evidentemente homomor…smo. Así, los términos que intervienen en la factorización canónica de un homomor…smo de grupos son grupos u homomor…smos de grupos. Los teoremas de isomorfía de grupos serán consecuencia de la existencia del isomor…smo f2 :

12

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Nota 1.1.16 Si f : G ! L es un homomor…smo de grupos (el símbolo de operación será obviado en ambos grupos de acuerdo con lo anunciado en (1.1.1,apartado i)) y si H es un subgrupo normal de G entonces f (H) es un subgrupo normal de f (G) (f (H) es subgrupo de f (G) (1.1.10), y dado f (x) 2 f (G) y f (h) 2 f (H) se tiene f (x) f (h) [f (x)] 1 = f (xhx 1 ) 2 f (H)) También, si K es un subgrupo normal de L entonces f 1 (K) es subgrupo normal de G (f 1 (K) es subgrupo de G (1.1.10), y si x 2 G e y 2 f 1 (K), entonces f (y) 2 K y f (x)f (y) [f (x)] 1 = f (xhx 1 ) 2 K =) xhx 1 2 f 1 (K)): Teorema 1.1.17 Sea G un grupo y H; K subgrupos normales de G tales que H K: Entonces se tiene i) K H es subgrupo normal de G H ii) (G H) (K H) = G K: Demostración. i) K H = 'H (K) donde 'H : G ! G H es el homomor…smo canónico (que es sobreyectivo) y se aplica (1.1.16). ii) Existe un homomor…smo sobreyectivo f : G H ! G K que está de…nido mediante f (xH) = xK para cada x 2 G: Ahora Ker(f ) = fxH 2 G H j f (xH) = Kg = fxH 2 G H j xK = Kg = fxH 2 G H j x 2 Kg = K H; y la descomposición canónica de f proporciona el isomor…smo anunciado ya que f es sobreyectiva. De…nición 1.1.18 Si G es un grupo y H un subgrupo de G, se de…ne el subgrupo normalizador de H en G como NG (H) := fx 2 G j xH = Hxg; que es el mayor subgrupo de G en el que H es normal. Es fácil comprobar que NG (H) es un subgrupo de G que contiene a H (x; y 2 NG (H) =) x 1 ; y 2 NG (H) =) x 1 yH = x 1 Hy = Hx 1 y; además hH = Hh = H para todo h 2 H):

1.1. GENERALIDADES

13

Teorema 1.1.19 Sea G un grupo y H; K subgrupos de G tales que K NG (H): Entonces i) HK := fxy j x 2 H; y 2 Kg es un subgrupo de G en el que H es normal ii) H \ K es subgrupo normal de K y existe un isomor…smo HK H = K H \ K: Demostración. i) Es evidente que H KH: Ahora, para x1 ; x2 2 H 1 1 e y1 ; y2 2 K se tiene (x1 y1 ) x2 y2 = y1 x1 1 x2 y2 = x3 y1 1 y2 (para un cierto x3 2 H; pues y1 1 H = Hy1 1 al ser y1 1 2 K NG (H)): Por tanto (x1 y1 ) 1 x2 y2 2 HK y así HK es subgrupo de G: Además de H; K NG (H) resulta de modo evidente HK NG (H): ii) Para x 2 H \ K y k 2 K se tiene kxk 1 2 H \ K; pues H es normal en NG (H): Para la obtención del isomor…smo anunciado sea i

'

H f := K ! HK ! HK H;

donde i es la inclusión y 'H el homomor…smo canónico de paso al cociente. El homomor…smo f está entonces de…nido por f (k) = kH; y, para cualquier xyH 2 HK H (con x 2 H e y 2 K); se tiene xyH = yH (pues de K NG (H) resulta la existencia de un x0 2 H tal que xy = yx0 ; y así xyH = yx0 H = yH): Por lo tanto f es sobreyectivo y además ker(f ) = H \ K (f (k) = kH = H con k 2 K () k 2 H \ K) De la descomposición canónica de f resulta el isomor…smo buscado. Para H = rZ Z; el grupo cociente Z rZ es el de las clases de restos de enteros módulo r: Es buen ejercicio comprobar que si r y s son enteros, d es su máximo común divisor y m su mínimo común múltiplo, entonces rZ\sZ =mZ; y rZ+sZ =dZ. Por aplicación del segundo teorema de isomorfía se obtiene dZ sZ = (rZ+sZ)

sZ = rZ

(rZ\sZ) =rZ mZ:

Teorema 1.1.20 (En lo sucesivo nos referiremos a este teorema como: "Teorema de la correspondencia") Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G: Existe una biyección que conserva las inclusiones entre el retículo de subgrupos (resp. subgrupos normales) de G H y el de subgrupos (resp. subgrupos normales) de G que contienen a H.

14

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Demostración. Sean S = fK 0 j K 0 es subgrupo de G Hg y T = fK j K es subgrupo de G que contiene a Hg: Si 'H : G ! G H designa el homomor…smo canónico de paso al cociente la aplicación : S ! T de…nida por (K 0 ) = 'H1 (K 0 ) (1.1.10) tiene por inversa a la aplicación : T ! S dada por (K) = 'H (K) (1.1.10): Como consecuencia de (1.1.16) se obtiene que K 0 es subgrupo normal de G H si, y sólo si, (K 0 ) es subgrupo normal de G que contiene a H: Si (Gi )i2I es Quna familia de grupos, es muy fácil comprobar que el producto cartesiano Gi es un grupo con la operación (xi )i2I : (yi )i2I := (xi :yi )i2I ; i2I

de…nida componente a componente. Para cada j 2 I; la proyección j : Q Gi ! Gj , j ((xi )i2I ) = xj; es homomor…smo sobreyectivo de grupos. Se i2I

satisface además la siguiente propiedad universal:

Proposición 1.1.21 Si H es otro grupo y para cada i 2 I está de…nido un homomor…smo de grupos Q fi : H ! Gi , entonces existe un único homomor…smo de grupos f : H ! Gi tal que j f = fj ; para cada j 2 J. i2I

Demostración. La única aplicación f : H !

Q

Gi que satisface la

i2I

condición j f = fj para cada j 2 J; está de…nida por la fórmula f (h) = (fi (h))i2I , y es muy fácil comprobar que f es homomor…smo de grupos. Q De…nición 1.1.22 El grupo Gi será llamado grupo producto directo de la i2I Q familia de grupos (Gi )i2I y los homomor…smos j : Gi ! Gj recibirán el i2I

nombre de proyecciones canónicas.

1.2.

GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

El conocimiento de la estructura de un grupo pasa por el estudio del retículo de sus subgrupos, y, para un grupo …nito, una cuestión fundamental consiste en averiguar el número de subgrupos de un cierto orden. Las técnicas necesarias para iniciar este estudio comenzarán con el Teorema 1.2.1 (Teorema de Lagrange). Si G es un grupo …nito y H es un subgrupo de G; entonces el orden de H divide al orden de G: Además #G = #H:(G : H);

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

15

en donde (G : H) indica el índice de H en G; es decir el número de clases de traslación de H en G: Demostración. Es el contenido de la nota 1.1.7. Corolario 1.2.2 Si K y H son subgrupos de G y además K

H, entonces

(G : K) = (G : H):(H : K): Demostración. La expresión se obtiene fácilmente mediante la aplicación del teorema de Lagrange a los pares K H; H G; y K G: Como caso particular, si r y s son enteros, m = m:c:m(r; s) y d = m:c:d(r; s), del isomor…smo dZ sZ = rZ mZ ya mencionado antes, se obtiene el conocido teorema m:d = r:s: En efecto, por aplicación del anterior corolario a las inclusiones sZ

dZ

Z, y mZ

rZ

Z;

resulta (Z : sZ) = (Z : dZ):(dZ : sZ) y (Z : mZ) = (Z : rZ):(rZ : mZ); y entonces m s = (rZ : mZ) = # (rZ mZ) = # (dZ sZ) = (dZ : sZ) = : r d Si G es un grupo y x 2 G consideraremos frecuentemente el homomor…smo de grupos 'x : Z !G de…nido por 'x (n) = xn : La imagen 'x (Z)= es el subgrupo de G generado por x: De…nición 1.2.3 El grupo G es cíclico si existe algún x 2 G tal que =G: Se dirá que x genera el grupo G; y también que x es generador de G: El núcleo de 'x es un subgrupo de Z y por lo tanto Ker ('x ) = nZ para algún n 2 Z: Entonces < x >= 'x (Z) = Z nZ y por lo tanto todo grupo cíclico es isomorfo a algún Zn = Z nZ (con n 6= 0 en el caso …nito) o a Z (que corresponde al caso n = 0).

16

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

De…nición 1.2.4 El entero n = # < x > recibe los nombres de orden o período de x denotado aquí con n = jxj : Obsérvese que el período de x es también el menor entero positivo n tal que xn = e; cada entero m tal que xm = e es un elemento de Ker('x ); y por lo tanto es múltiplo de jxj. Una aplicación inmediata del teorema de Lagrange proporciona: Proposición 1.2.5 Todo grupo …nito de orden primo es cíclico y cada elemento diferente del neutro genera el grupo. Proposición 1.2.6 Todo subgrupo y todo grupo cociente de un grupo cíclico son cíclicos. Demostración. Si S G es un conjunto generador de G es decir, si todo elemento x de G es un producto …nito de elementos del conjunto S [ S 1 ; y si f : G ! G0 es un homomor…smo de grupos, es evidente que todo elemento de f (G) es un producto …nito de elementos de f (S)[f (S) 1 . Es decir, la imagen mediante un homomor…smo de un sistema de generadores es un sistema de generadores de la imagen. En particular es grupo cíclico la imagen de un grupo cíclico mediante un homomor…smo. También, si H es un subgrupo de G, y si G =< x >= 'x (Z); entonces H = 'x ('x 1 (H)) es un grupo cíclico ya que lo es 'x 1 (H) al ser subgrupo de Z: Proposición 1.2.7 Si G =< x > es un grupo cíclico de orden n; un elemento y = xr 2 G (1 < r < n) genera G si, y solo si, r es primo con n: Demostración. En efecto r y n son coprimos si, y sólo si, existen t; q 2 Z tales que 1 = tr + qn: Entonces x = xtr+qn = (xr )t = y t si r y n son primos entre sí, y en ese caso se tiene < x > < y > < x > : Recíprocamente, si < y >=< x > se tiene x = y t para algún entero t; y entonces x = xrt con lo que resulta x1 rt = e; es decir 1 rt 2 Ker ('x ) = nZ: Por lo tanto r y n son coprimos si y = xr genera < x > : Grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos, los in…nitos son isomorfos a Z, y los …nitos de orden n lo son a Z=nZ. La anterior proposición establece que si n y m son primos entre si, entonces Z=mnZ = Z=nZ Z=mZ. este isomor…smo de grupos abelianos es también de anillos y, como tal, es un caso particular del torema chino de los restos.

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

17

Nota 1.2.8 Por lo tanto, si G es cíclico de orden n; el número de generadores de G es el entero '(n) = # fr 2 N j 1

r < n; y mcd(r; n) = 1g :

La aplicación ' : Nn f0g ! Nn f0g es conocida con el nombre de "función phi de Euler". Proposición 1.2.9 Si G y H son grupos …nitos, #G = n y #H = m; entonces el producto directo G H es cíclico si, y sólo si, G y H son cíclicos y n y m son primos entre sí. Demostración. En efecto, si (a; b) genera el grupo G H entonces a es generador de G y b lo es de H (1.2.6). Como j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj ; necesariamente n = jaj y m = jbj son primos entre sí. Recíprocamente, si < a >= G y < b >= H; el orden j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj al ser jaj y jbj primos entre sí, y por lo tanto G H =< (a; b) > : Nota 1.2.10 Nótese que si G y H son cíclicos de órdenes respectivos m y n primos entre si, un par (x; y) es generador del grupo producto G H si, y sólo si, x es generador de G e y lo es de H: Por lo tanto '(mn) = '(n)'(n): Proposición 1.2.11 Si G =< x > es cíclico de orden n y d es divisor de n entonces existe un único subgrupo de G de orden d: Demostración. Ciertamente, si n = d:r el elemento xr es de período d y por tanto # < xr >= d: Si H es subgrupo de G de orden d entonces H es cíclico 1.2.6 generado por algún h = xt 2 H con 1 t n: Como jxt j = d se tiene xtd = e; y entonces td 2 nZ: Pero td = ns =) t = rs con lo que h = xt = (xr )s y así resulta H =< h > < xr >. Por lo tanto H =< xr >; al ser ambos grupos del mismo orden d: Teorema 1.2.12 (Teorema de Cauchy para grupos abelianos) Si G es un grupo abeliano …nito de orden n y p es un número primo divisor de n; entonces G contiene un elemento de orden p, o equivalentemente, G tiene algún subgrupo de orden p:

18

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Demostración. La prueba será realizada por inducción en n = #G, siendo p divisor primo de n: El caso n = p es trivial, pues por el teorema de Lagrange, G es necesariamente cíclico y cualquier elemento (diferente del elemento neutro) es un generador de G: Sea n > p y supóngase que el teorema es válido para todos los grupos abelianos de orden t < n; con p j t: Si a 2 G feg ; entonces m = jaj > 1; y por el teorema de Lagrange m j n; es decir existe r 2 Z tal que n = mr: Como p es divisor primo de n deberá ser p j m o p j r: Si m = kp; entonces b = ak 2 G tiene período p y el resultado estaría probado en ese caso. Si p j r considérese el grupo G0 = G < a > de orden r < n: Por inducción, existe un elemento b = b < a >2 G0 de período p: Si s s es el período de b 2 G se tiene que b = bs < a >= e < a >=< a > y por lo tanto p j s: Como s = jbj nos encontramos en el caso anterior, es decir, el s p elemento c = b 2 G es de período p: Corolario 1.2.13 Si p es número primo, r 1 un entero, y pr divide al orden del grupo …nito abeliano G; entonces G tiene un subgrupo de orden pr Demostración. Por el teorema de Cauchy anterior (1.2.12), G admite un subgrupo H de orden p y a partir de aquí se procede por inducción en r. Sea r > 1 y supóngase que los grupos …nitos abelianos cuyo orden es divisible por pr 1 admiten un subgrupo de orden pr 1 : El grupo cociente G=H tiene orden np y por tanto admite un subgrupo K 0 de orden pr 1 : Por el teorema de la correspondencia (1.1.20) existe un subgrupo K de G que contiene a H y tal que K=H = K 0 : El teorema de Lagrange permite a…rmar ahora que K es de orden pr : Corolario 1.2.14 Si m es divisor del orden de un grupo …nito abeliano G entonces G admite un subgrupo de orden m: Demostración. Si m = pr11 pr22 :::prt t es la factorización de m en potencias de primos y si Hi es subgrupo de G de orden pri i ; entonces el subgrupo H1 H2 es de orden pr11 pr22 : En efecto H1 H2 es subgrupo de G al ser G abeliano y H1 H2 H2 = H1 H1 \ H2 :Teniendo en cuenta que H1 \ H2 = feg al ser dos subgrupos de órdenes primos entre sí, resulta H1 H2 H2 = H1 , con lo cual se obtiene #(H1 H2 ) = pr11 pr22 ; en virtud del teorema de Lagrange. Con argumentación similar, y usando recurrencia en j; resulta #(H1 H2 :::Hj ) = r pr11 pr22 :::pj j para cada j = 1; 2; :::t . Nota 1.2.15

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

19

Obsérvese que tomando m = n = #G en la prueba del corolario anterior resulta el teorema de estructura de los grupos abelianos …nitos que, en esencia, a…rma que G = H1 H2 :::Ht : El grupo G = H1 H2 :::Ht es isomorfo al producto directo H1 H2 ::: Ht , pues la aplicación f : H1 H2 ::: Ht ! H1 H2 :::Ht de…nida por f (x1 ; x2 ; :::; xt ) = x1 :x2 :::xt es un homomor…smo (G es abeliano) sobreyectivo y por tanto isomor…smo al ser ambos grupos …nitos del mismo orden. La unicidad de los subgrupos H1 ; H2 ; :::; Ht puede ser obtenida como consecuencia de consideraciones posteriores (1.2.32). Nota 1.2.16 t Y

Si el grupo …nito G es cíclico de orden n = pr11 :::prt t entonces '(n) = '(pri i ) (1.2.10).

1

Si G es un grupo no abeliano, la condición d j #G no es su…ciente, en general, para que exista un subgrupo de G de orden d: Por ejemplo el grupo alternado A5 tiene orden 60 pero no tiene ningún subgrupo de orden 30 pues cualquier tal subgrupo debería ser normal en A5 pues tendría índice 2 en dicho grupo (1.1.15), lo cual es imposible ya que el grupo A5 es simple (véase el ejercicio 28 de este capítulo). Para grupos …nitos no necesariamente conmutativos será probado un resultado análogo al teorema de Cauchy utilizando la teoría de G-conjuntos, : De…nición 1.2.17 Una acción u operación (por la izquierda) de un grupo G sobre un conjunto A es cualquier aplicación G (g; a)

A!A g a

que satisfaga las condiciones: 1) (gg 0 ) a = g (g 0 a); 8g; g 0 2 G y 8a 2 A 2) e a = a; 8a 2 A: También se dirá que A es un G conjunto por la izquierda. De modo análogo se de…ne acción por la derecha : A G ! A; (a; g) a g; con las obvias propiedades análogas a las 1) y 2) anteriores. En lo sucesivo, salvo mención expresa de otra cosa, G-conjunto será sinónimo de G-conjunto por la izquierda.

20

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Nota 1.2.18 A es un G-conjunto si, y sólo si, existe un homomor…smo de grupos G ! SA ; en donde SA denota el grupo de permutaciones de A (i.e. biyecciones A ! A): En efecto, para la acción de G sobre A se de…ne la aplicación T : G ! SA mediante T (g)(a) := g a, pues para cada g 2 G; la aplicación T (g) : A ! A es biyectiva con inversa T (g 1 ); y se comprueba fácilmente que T es homomor…smo de grupos como consecuencia de las propiedades 1) y 2) de la anterior de…nición. Recíprocamente, es fácil comprobar que si T : G ! SA es un homomor…smo de grupos, la aplicación *T : G A ! A de…nida por *T (g; a) := T (g)(a) dota a A de estructura de G-conjunto. Es fácil también obtener que *T = , y que T T = T: Cada homomor…smo T : G ! SA se denomina también una representación de G por un grupo de automor…smos de A; y por tanto, para cada conjunto A; existen tantas de tales representaciones como acciones diferentes de G sobre A: Ejemplos 1.- Sea G un grupo y A un conjunto cualquiera. La aplicación : G A ! A de…nida por g a = a; 8a 2 A y 8g 2 G es una acción de G sobre A que se denomina acción trivial. 2.- La acción de un grupo G sobre sí mismo : G G ! G de…nida por g g 0 := gg 0 se denomina traslación por la izquierda y se dice entonces que G actúa por la izquierda sobre sí mismo por traslación. 3.- Otra acción : G G ! G de cualquier grupo G sobre sí mismo, y que tendrá especial importancia en lo que sigue, es la conjugación, de…nida mediante g a := gag 1 : 4.- Si G es un grupo y H un subgrupo de G entonces G actúa por la izquierda (resp. derecha) sobre el conjunto de las clases G=H := fgH=g 2 Gg; (resp. HnG := fHg=g 2 Gg) mediante g (g 0 H) := gg 0 H (resp.(Hg 0 ) g := Hg 0 g): Esta acción recibe también el nombre de traslación por la izquierda (resp. derecha). 5.- Si G es un grupo y designamos con SG el conjunto de subgrupos de G; entonces la aplicación : G SG ! SG dada por g H := gHg 1 está bien de…nida y constituye una acción (por la izquierda) de G sobre SG : En efecto si H es subgrupo de G también lo es el subconjunto gHg 1 ; pues para x = 1 ghg 1 , e y = gkg 1 con h; k 2 H y g 2 G; resulta xy 1 = ghg 1 (gkg 1 ) = ghg 1 gk 1 g 1 = ghk 1 g 1 2 gHg 1 pues hk 1 2 H ya que H es subgrupo de G: Además las condiciones 1) y 2) de la de…nición anterior se satisfacen como

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW consecuencia de las igualdades gg 0 H = (gg 0 ) H (gg 0 ) 1 = gg 0 Hg 0 1 g g (g 0 Hg 0 1 ) g 1 = g (g 0 H); y de e H = eHe 1 = H: Usaremos el ejemplo 2 anterior para la prueba del

21 1

=

Teorema 1.2.19 (Teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo SG de sus permutaciones. Demostración. La representación T : G ! SG de…nida por T (a)(g) = ag; correspondiente (1.2.18) a la acción de traslación por la izquierda de G sobre sí mismo es homomor…smo inyectivo. En efecto a 2 KerT () T (a) = idG : G ! G () T (a)(g) = ag = g; 8g 2 G; () a = e: Por lo tanto T establece así un isomor…smo de G con T (G): Según este resultado, para conocer la estructura de todos los grupos …nitos sería su…ciente con estudiar el retículo de subgrupos de los grupos de permutaciones. Sin embargo ello no constituye ninguna ventaja en la práctica pues el orden del grupo de permutaciones es el factorial del orden del grupo objeto de estudio y ello supone, en general, una mayor di…cultad a la hora de establecer la naturaleza del retículo de sus subgrupos. Por ello es necesario desarrollar técnicas y herramientas algo más so…sticadas. Proposición 1.2.20 Sea G un grupo …nito y H un subgrupo cuyo índice en G es el menor número primo p que divide al orden de G. Entonces H es normal en G: Demostración. Como el conjunto de las clases por la izquierda G=H tiene p = (G : H) elementos su grupo de permutaciones es Sp cuyo orden es p!: La acción de traslación de G por la izquierda sobre G=H (ejemplo 4 anterior) determina un homomor…smo de grupos T : G ! Sp (1.2.18) cuyo núcleo deberá tener a un divisor de p! como índice en G; ya que G=KerT ' Im T que es subgrupo de Sp : Además KerT H G; puesto que x 2 KerT () xgH = gH; 8g 2 G; y por tanto, xH = H (es decir x 2 H) si x es un elemento de KerT: Entonces (G : H) : (H : KerT ) = (G : KerT ) ; y así p.(H : KerT ) es divisor de p!; lo cual signi…ca que (H : KerT ) es divisor de (p 1)!: Por lo tanto, o bien (H : KerT ) = 1, en cuyo caso H = KerT

22

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

ya sería subgrupo normal de G, o bien cada divisor primo q de (H : KerT ) será también divisor de (p 1)! y por lo tanto q < p: Estos divisores primos de (H : KerT ) lo son también del orden de G y ello contradice la hipótesis de minimalidad de p entre tales divisores. Por lo tanto necesariamente se tiene (H : KerT ) = 1; es decir H = KerT: El concepto de órbita será muy utilizado en lo que sigue. De…nición 1.2.21 Sea : G A ! A una acción del grupo G sobre el conjunto A; y sea a 2 A: Se denominará G-orbita de a (o simplemente orbita de a si la referencia a G es innecesaria) al conjunto OG (a) := fx a 2 Ajx 2 Gg: También se de…ne el subgrupo de isotropía (o estabilizador) de a 2 A mediante Ga := fx 2 Gjx a = ag que es efectivamente un subgrupo de G (comprobación elemental). Usaremos frecuentemente la siguiente proposición. Proposición 1.2.22 Si A es un G

conjunto y a 2 A entonces

#OG (a) = (G : Ga ) : Además la relación binaria en A de…nida por a s b :() 9x 2 G tal que b = x a es de equivalencia y por lo tanto establece una partición de A en clases de equivalencia que son precisamente las diferentes G órbitas de elementos de A por la acción de G. Demostración. Si x; y 2 G se tiene: x a = y a () y 1 x a = a () y 1 x 2 Ga () xGa = yGa Por lo tanto se puede a…rmar que hay tantos elementos diferentes y a como clases distintas yGa ; lo que justi…ca la primera a…rmación de la proposición. Para probar la segunda bastará con demostrar que las órbitas constituyen una partición de A: Es evidente que cada elemento a = e a pertenece a alguna

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

23

órbita (la suya), y por lo tanto A = [a2A OG (a): Además OG (a) \ OG (b) 6= ; si, y solamente si, existen x; y 2 G tales x a = y b; lo cual equivale, a su vez, a que exista un z 2 G tal que a = z b; y por lo tanto a que a 2 OG (b) (y también un z 0 2 G tal que b = z 0 a; o sea b 2 OG (a)): Ahora bien a 2 OG (b) () OG (a)

OG (b);

ya que x a = x (z b) = xz b 2 OG (b); si a = z b 2 OG (b): Entonces se tiene OG (a) \ OG (b) 6= ; () OG (a) = OG (b): Así

G

A=

OG (a)

OG (a) dif erentes

es decir, A es la unión disjunta de las diferentes órbitas de sus elementos. En el ejemplo 5 anterior, si H es un subgrupo de G, el grupo de isotropía de H es GH = fa 2 G j aHa 1 = Hg que se conoce ya como subgrupo normalizador de H, es decir, el mayor subgrupo de G en el que H es normal (1.1.18). Por lo tanto, a la vista de la proposición 1.2.22, se tiene #OG (H) = (G : GH ) = 1 si, y solamente si, H es normal en G: La acción de G sobre sí mismo por conjugación (ejemplo 3 anterior) proporcionará una fórmula muy útil en relación con el orden de un grupo …nito G: Para la acción G G!G (x; a)

x a := xax 1 ;

el grupo de isotropía de un elemento a 2 G es Ga = fx 2 Gjxax

1

= ag = fx 2 Gjxa = axg

que se denomina también el normalizador de fag en G: Nótese que las órbitas no son vacías (a 2 OG (a), 8a 2 G): Nótese también que una órbita OG (a) contiene solamente un elemento precisamente si OG (a) = fag; es decir, si, y sólo si, x a = xax 1 = a; 8x 2 G; es decir, OG (a) = fag () a 2 ZG : Cada órbita OG (a) se denominará clase de conjugación del elemento a; y cualquier elemento de OG (a) será un representante de la clase de conjugación de a:

24

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Se ha probado así la siguiente proposición que establece la que conoceremos desde ahora como fórmula de las clases para el orden de un grupo …nito. Proposición 1.2.23 Si G es un grupo …nito entonces #G = #ZG +

r X

(G : Gai ) ;

i=1

donde fa1 ; a2 ; :::; ar g es un conjunto de representantes de las diferentes clases de conjugación que tienen más de un elemento y solamente de ellas. Corolario 1.2.24 Si p es un número primo y G es un grupo de orden pn para algún n 1; entonces p j #ZG 6= pn 1 . Demostración. En la fórmula de las clases, los sumandos correspondientes a representantes de clases de conjugación que tienen más de un elemento son todos divisores de pn y por tanto múltiplos de p: Como #G = pn resulta p j #ZG ; que constituye la primera a…rmación del corolario. Para obtener la segunda, si #ZG = pn 1 sea a 2 G r ZG . Entonces ZG & Ga & G; ya que, por la selección que se ha hecho de a; existe un g 2 G tal que ag 6= ga lo que proporciona g 2 G r Ga , y a 2 Ga r ZG : Ello es imposible pues, por el teorema de Lagrange, el orden de Ga , que ahora es estrictamente mayor que pn 1 = #ZG ; deberá ser una potencia de p (al ser divisor de pn ) estrictamente menor que pn : Corolario 1.2.25 Si p es número primo todo grupo de orden p2 es abeliano. Se puede proceder ahora a la prueba de la anunciada generalización, para grupos no abelianos, del teorema de Cauchy. Teorema 1.2.26 Sea G un grupo …nito y p un número primo. Si pm divide al orden de G entonces existe un subgrupo de G de orden pm : Demostración. Sea n = #G que es divisible por pm ; y procedamos inductivamente en n: Para n = 1 el resultado es trivial. Sea n > 1 y supóngase válido el resultado para todos los grupos de orden menor que n. Distingamos las dos posibilidades: p j #ZG y p - #ZG : En el primer caso el teorema de Cauchy para grupos abelianos proporciona la existencia de un subgrupo H

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

25

de ZG que es de orden p (y normal en G al ser subgrupo de ZG ): El grupo cociente G=H es de orden np < n y, por inducción, admitirá un subgrupo K 0 de orden pm 1 : El teorema de la correspondencia proporciona ahora un subgrupo K de G que contiene a H tal que K=H = K 0 : Por lo tanto #K = pm y el resultado estaría probado en este caso. Si p - #ZG ; por la fórmula de las clases existe un elemento a 2 G con (G : Ga ) no divisible por p. Para este elemento a se tiene Ga $ G (inclusión estricta ya que (G : Ga ) > 1) y por el teorema de Lagrange #G = #Ga : (G : Ga ) ; lo que signi…ca que pm es divisor del orden de Ga que, a su vez, es estrictamente menor que el de G: La hipótesis de inducción proporciona ya un subgrupo de Ga de orden pm : De…nición 1.2.27 Sea G un grupo …nito y p un número primo. 1) Se dirá que G es un p-grupo si el orden de G es una potencia de p: 2) Si H es un subgrupo de G de orden una potencia de p se dirá que H es un p-subgrupo de G: Si pm es la mayor potencia de p que divide al orden de G y si H es un subgrupo de G que tiene orden pm se dirá que H es un p-subgrupo de Sylow de G: Es decir los p-subgrupos de Sylow de G son los p-subgrupos de G de orden mayor posible. Nota 1.2.28 Si H es p subgrupo de Sylow de G entonces lo son también todos sus conjugados xHx 1 (x 2 G); y por lo tanto G actúa por conjugación en el conjunto de sus p-subgrupos de Sylow, para cada primo p que divide al orden de G: Por lo tanto si G tiene un único p-subgrupo de Sylow H; necesariamente H es normal en G: Proposición 1.2.29 Si p es un número primo y G es un p-grupo de orden pr existe entonces una cadena de subgrupos G0 = feg

G1

G2

:::

Gr = G;

de tal modo que cada Gi es subgrupo normal de Gi+1 ; y Gi+1 Gi es cíclico de orden p; para todo i = 0; 1; 2; :::; r 1: Demostración. Es consecuencia del teorema anterior ya que basta tomar Gr 1 subgrupo de G de orden pr 1 y, recurrentemente, Gi subgrupo de Gi+1 de orden pi para i = 0; 1; 2; :::; r 1: Por el teorema de Lagrange el índice (Gi + 1 : Gi ) = p; que es el menor número primo que divide al orden de Gi+1

26

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

y, por lo tanto Gi es normal en Gi+1 (1.2.20): Todos los cocientes Gi+1 =Gi son grupos de orden primo y por lo tanto cíclicos. La proposición anterior establece que todo p-grupo es resoluble, concepto que será de…nido en la próxima sección. Teorema 1.2.30 (Teorema de Sylow) Sea p un número primo y G un grupo …nito de orden n = pm r; con r no divisible por p: Entonces a) Existen p-subgrupos de Sylow de G: b) Todo p-subgrupo de G está contenido en un p-subgrupo de Sylow de G: c) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados. d) El número sp de p-subgrupos de Sylow de G es divisor de r; y, por tanto, del orden de G: Además sp es congruente con 1 módulo p (sp 1(mod p)); es decir sp = 1 + kp para algún entero k: Demostración. Del teorema anterior se sigue a) si allí se toma pm como la mayor potencia de p que divide al orden de G: Para la demostración de las restantes a…rmaciones sea P := fP j P es p subgrupo de Sylow de Gg: Por la nota 1.2.28 se puede considerar a G actuando por conjugación en P: Sea P 2 P …jado arbitrariamente y GP = fx 2 G j xP x 1 = P g su grupo de isotropía, que resulta ser el normalizador de P en G. El orden de la G órbita de P es el índice de GP en G; es decir #OG (P ) = (G : GP ) (1.2.22): Se tienen las inclusiones de grupos feg

P

GP

G

y, por aplicación reiterada del teorema de Lagrange, las igualdades pm r = #G = #GP : (G : GP ) = #P: (GP : P ) : (G : GP ) = = pm : (GP : P ) : (G : GP ) ; es decir (GP : P ) : (G : GP ) = (GP : P ) :#OG (P ) = r; de lo que se deduce que p no es divisor de #OG (P ) (en otro caso p dividiría a r); y además que #OG (P ) es divisor de r y también de #G: Para la prueba de b), sea H un p-subgrupo de G y sea p = #H (obviamente m): El subgrupo H actúa también por conjugación en la G-órbita de P H OG (P ) ! OG (P )

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW hQh 1 ;

(h; Q) ya que si Q = xP x 1 entonces hQh OG (P ): Se tiene ahora que

27

1

= h (xP x 1 ) h

1

= (hx) P (hx)

1

2

OG (P ) = OH (P1 ) t OH (P2 ) t ::: t OH (Pt ); en donde fP1 ; P2 ; :::; Pt g OG (P ) es un conjunto de representantes de las diferentes H-órbitas OH (Pi ) de elementos de OG (P ); y por lo tanto #OG (P ) =

t X

#OH (Pi ) =

i=1

t X

(H : HPi ) ; ( )

i=1

donde HPi denota el grupo de isotropía de Pi para la acción de H (HPi = fh 2 H=hPi h 1 = Pi g). Por el teorema de Lagrange #H = #HPi : (H : HP i ) y por tanto (H : HP i ) j p = #H; es decir (H : HP i ) = p i ;

( )

con i para cada i = 1; 2; :::; t: Puesto que p - #OG (P ); de ( ) y ( ) se deduce que existe algún sumando en la ( ) no divisible por p; o sea, 9i 2 f1; 2; :::; tg tal que i = 0; o, lo que es lo mismo, tal que H = HPi : Obviamente HPi es un subgrupo de GPi (GPi es el normalizador en G del grupo Pi ); y por lo tanto HPi es subgrupo de G y existe un isomor…smo de grupos (1.1.19) HPi Pi = H H \ Pi : De esto se obtiene que # (HPi ) =

#H:#Pi ; #(H \ Pi )

en virtud del teorema de Lagrange, de lo que resulta que HPi es un p subgrupo de G al ser potencias de p todos los términos del segundo miembro de la igualdad anterior. Como Pi HPi , de la maximalidad del orden dePi resulta Pi = HPi que admite a H como subgrupo y la a…rmación b) queda probada. La prueba de c) se puede obtener de lo ya demostrado. En efecto, si P y Q son dos p subgrupos de Sylow de G hágase jugar a Q el papel que ha jugado H en la prueba de b); se encontrará un Pi 2 OG (P ) tal que Q Pi ; y por lo tanto Q = Pi por ser ambos grupos …nitos del mismo orden.

28

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

La demostración de d) es también consecuencia de lo ya dicho. Ahora sabemos que OG (P ) = P para cualquier P (por el apartado b)). También se ha visto que sp = #P es divisor de r. Haciendo H = P en la prueba de b) se tiene t X sp = (P : PPi ) ; i=1

en donde fP1 ; P2 ; :::; Pt g es un conjunto de representantes de las P -órbitas OP (Pi ) diferentes de elementos de P; y además existe algún sumando (P : PP i ) = p i de valor 1; lo cual sucede solamente si P = Pi (que corresponde al caso, H = P Pi de la prueba de b)). Por lo tanto en la suma anterior solamente hay un sumando que vale 1 y los restantes son potencias de p; con lo que la a…rmación d) queda demostrada.

Nota 1.2.31 Ahora se puede a…rmar: sp = 1 () P = fP g () P es subgrupo normal de G: Corolario 1.2.32 (Teorema de estructura de grupos abelianos …nitos) Si G es un grupo abeliano de orden n = pr11 pr22 :::prt t con p1 ; p2 ; ::; pt primos diferentes, entonces G = H1 H2 :::Ht = H1 H2 ::: Ht en donde cada Hi es el único pi -subgrupo de Sylow de G, para cada i = 1; 2; :::; t. Demostración. La existencia de los grupos Hi (para cada i = 1; 2; :::; t) puede obtenerse como consecuencia inmediata del teorema de Sylow anterior (aunque en el caso abeliano no es necesario recurrir a herramientas tan so…sticadas (véase (1.2.15)), y su unicidad de la conmutatividad de G y de la nota 1.2.31. El resto de la prueba es el contenido de la nota 1.2.15.

1.3.

GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

Uno de los resultados …nales de estas notas - y su principal objetivo - lo constituye el teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas. Este teorema establece que dicha resolubilidad es posible para una tal ecuación si, y sólo si, un cierto grupo asociado a la misma es un grupo resoluble. Por ello es importante dedicar nuestra atención al examen

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

29

de algunos resultados básicos de la teoría de grupos resolubles. La no resolubilidad de los grupos de permutaciones Sn ; si n 5; será de…nitiva para la prueba del teorema de Abel sobre la no resolubilidad por radicales de la ecuación general de grado n 5. Dedicaremos unas líneas a recordar las principales cuestiones y notaciones de la teoría de grupos de permutaciones. Recuérdese que si X es un conjunto, el grupo SX de las permutaciones de X es el conjunto de las biyecciones X ! X: La operación de SX es la composición de aplicaciones. De…nición 1.3.1 Si X = f1; 2; :::; ng es el conjunto de n elementos se designará con Sn el grupo de sus permutaciones, que recibe el nombre de grupo simétrico de n elementos. Sn es un grupo de orden n!; y no es abeliano si n sencilla). Si 2 Sn se escribirá =

1 (1)

2 ::: (2) :::

n (n)

3 (comprobación muy

:

Si un elemento j 2 f1; 2; :::; ng es …jo para ; es decir tal que (j) = j; el símbolo j será suprimido en la expresión anterior. Por ejemplo para n = 5 la permutación (1) = 3; (2) = 1; (3) = 5; (4) = 4; (5) = 2 se escribirá =

1 2 3 5 3 1 5 2

:

Con esta notación es fácil obtener que si m n entonces Sm se identi…ca con el subgrupo de aquellos 2 Sn que dejan …jos n m elementos determinados. De…nición 1.3.2 Si 2 Sn es tal que existen a1 ; a2 ; :::; ar 2 f1; 2; :::; ng de forma que (ai ) = ai+1 para i = 1; 2; :::; r 1 y (ar ) = a1 ; y además (j) = j; 8j 2 f1; 2; :::; ng fa1 ; a2 ; :::; ar g ; se dirá que es un r-ciclo y se escribirá = (a1 a2 :::ar ) : Los 2-ciclos se denominan trasposiciones Obsérvese que si

es un r-ciclo su período es r:

30

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

De…nición 1.3.3 Dos permutaciones ; 2 Sn se dice que son disjuntas si, para cada j 2 f1; 2; :::; ng; (j) 6= j =) (j) = j (o, lo que es equivalente, (j) 6= j =) (j) = j). Es muy fácil comprobar que permutaciones disjuntas conmutan. Proposición 1.3.4 Toda permutación tos.

2 Sn es producto de ciclos disjun-

Demostración. Tómese k 2 f1; 2; :::; ng y fórmese el conjunto f i (k) j i 0g. Se observará que, como nuestro conjunto f1; 2; :::; ng es …nito y es biyectiva, existe un entero m 0 tal que m (k) = i (k) ; para algún 0 i < m: Si r es el menor de tales enteros, necesariamente se tiene r (k) = k; pues de la igualdad r (k) = j (k) ; para algún 0 j < r; resultaría r j (k) = k, contradiciendo la minimalidad de r si 0 < j: A continuación, para obtener la descomposición anunciada, comenzamos escribiendo 1

=

a (a)

(a) ::: 2 (a) :::

r1 1 r1

(a) (a) = a

=

a

r1 1

(a) :::

(a)

;

que es un r1 -ciclo, donde a es el primer elemento, según el orden natural en f1; 2; :::; ng; que no es …jo para . Se procede a construir 2

=

b (b)

2

(b) ::: (b) :::

r2 1 r2

(b) (b) = b

=

b

(b) :::

r2 1

(b)

;

tomando b el primer elemento, según el orden mencionado; que no pertenezca al conjunto de elementos fa; (a) ; 2 (a) ; :::; r1 1 (a)g y que no es …jo para . Recursivamente se construyen sucesivas 3 ; :::; t 1 ; t ; ::: donde t

=

k (k)

2

(k) ::: (k) :::

rt 1 rt

(k) (k) = k

=

k

(k) :::

rt 1

(k)

;

siendo k el primer elemento de f1; 2; :::; ng; según el consabido orden natural, que no ha sido movido por ninguno de los ciclos ya construidos 3 ; :::; t 1 ; y que no es …jo para : Los sucesivos conjuntos a; (a) ; :::;

r1 1

(a) ; b; (b) ; :::;

r2 1

(b) ; :::; k; (k) ; :::;

rt 1

(k) ; :::

son disjuntos. El proceso se detendrá cuando se hayan agotado los elementos de f1; 2; :::; ng que no son …jos para . Es obvio que = l ::: 2 1 donde l es el último ciclo que es posible construir con el proceso anteriormente descrito.

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

31

Nota 1.3.5 Cada ciclo es un producto de trasposiciones aunque no de modo único: = (a1 a2 :::ar ) = (a1 ar ) (a1 ar 1 ) ::: (a1 a3 ) (a1 a2 ) = = (a1 a2 ) (a2 a3 ) ::: (ar

2

ar 1 ) (ar

1

ar ) :

Por lo tanto, cada permutación 2 Sn admite al menos una factorización en trasposiciones. El número de tales trasposiciones no está determinado de modo único pero sí lo está su paridad, tal y como se establece en la siguiente Proposición 1.3.6 Si Id es el elemento neutro de Sn y si Id = 1 2 ::: r es una descomposición de Id como producto de trasposiciones entonces r es par. Como consecuencia, la paridad del número de trasposiciones en que se puede descomponer una permutación 2 Sn está determinada por y se denominará paridad de . Q Demostración. Para cada entero B de la forma B = (j i) y cada (i;j)2 Q permutación 2 Sn se de…ne B := ( (j) (i)); en donde designa (i;j)2

un subconjunto arbitrario de f1; 2; :::; ng f1; 2; :::; ng ; y es fácil comprobar que B = (B ) : También ( B) = B , cualquiera que sea 2 Sn ; pues la expresión B (respect. B ) se puede obtener a partir de la de B (respect. B ) modi…cando sólo el signo de uno de sus factores, p.ej. el k r (respect. (k) (r)):La mayor di…cultadQde la prueba consiste en demostrar que si es una trasposición y A = (j i); entonces A = A. Para ello 1 i :

El subgrupo G(1) recibe el nombre de subgrupo conmutador o subgrupo derivado de G; y también abelianizador de G: Recursivamente se de…ne la serie derivada de un grupo G que está formada por la cadena de subgrupos ::::

G(i+1) := G(i) : G(i)

:::

G(2) := G(1) : G(1)

G(1)

G =: G(0)

Nótese que en la anterior de…nición todo se trivializa si el grupo G es conmutativo pues en ese caso [x; y] = e; 8x; y 2 G: Lema 1.3.15 Sea G un grupo. Entonces a) G(1) es subgrupo normal de G y el cociente G G(1) es abeliano. b) Si H es un subgrupo normal de G son equivalentes i) El cociente G H es abeliano. ii) G(1) H: Demostración. a) G(1) :=< f[x; y] =x; y 2 Gg > : Nótese que [x; y] 1 = [y; x] y que, por lo tanto, cada elemento de G(1) se expresa como un producto …nito de conmutadores. Un pequeño truco de cálculo proporciona la normalidad de G(1) : g [a1 ; b1 ] ::: [an ; bn ] g

1

= ga1 g 1 ; gb1 g

1

::: gan g 1 ; gbn g

1

:

La conmutatividad de G G(1) resulta de que ba 2 abG(1) pues ab (ba) aba 1 b 1 2 G(1) ; y por lo tanto aG(1) :bG(1) = abG(1) = baG(1) = bG(1) :aG(1) : b) Para a; b 2 G se tiene aH:bH = abH = baH = bH:aH () ab(ba)

1

= [a; b] 2 H;

1

=

38

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

y por lo tanto G H es abeliano si, y sólo si, H contiene a todos los conmutadores. Como consecuencia del lema anterior, en la serie derivada de un grupo G cada subgrupo es normal en el siguiente y el cociente de ambos es abeliano. Por consiguiente, si existe un n tal que G(n) es conmutativo (o, equivalentemente, tal que G(n+1) = feg), la serie derivada termina en el grupo trivial después de un número …nito de pasos, y por tanto dicha serie es una cadena que establece la resolubilidad de G: El recíproco también es cierto ya que si G es un grupo resoluble y Gr = feg

Gr

1

Gr

2

:::

G1

G0 = G

es una torre abeliana, en virtud del apartado b) del lema 1.3.15 se tiene que (1) G(1) G1 y entonces G(2) G1 (pues es evidente que si H es subgrupo de L entonces H (1) es subgrupo de L(1) ). Como G1 G2 es abeliano, el lema (1) 1.3.15 nos permite a…rmar que G1 G2 ; con lo que resulta G(2) G2 : (i) De forma recurrente se obtiene que G Gi para todo i; y por tanto, necesariamente, G(r) = feg. Así hemos demostrado la Proposición 1.3.16 Un grupo G es resoluble si, y solamente si, su serie derivada alcanza el grupo trivial después de un número …nito de pasos, es decir, existe un número natural r tal que G(r) = feg : Obsérvese que para un grupo …nito G su serie derivada es necesariamente estacionaria, es decir existe un k 2 N tal que G(k) = G(k+1) (y por tanto G(i) = G(j) para todos i; j k). La no resolubilidad del grupo …nito G signi…ca, por lo tanto, que su serie derivada estaciona en un grupo G(k) 6= feg. Si G es in…nito no resoluble su serie derivada puede no ser estacionaria. Los últimos resultados de esta sección se dedican al estudio de la resolubilidad de los grupos de permutaciones. Proposición 1.3.17 S4 y A4 son grupos resolubles. Demostración. Ya que (S4 : A4 ) = 2 la resolubilidad de S4 es equivalente a la de A4 en virtud de la proposición 1.3.13, así que probaremos solamente que el grupo alternado A4 es resoluble: Sea V un 2-subgrupo de Sylow de A4 , es decir de orden 4 y (A4 : V ) = 3. Las trasposiciones y los 4-ciclos son permutaciones impares y por tanto no son elementos de V . Tampoco son

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

39

elementos de V los 3-ciclos ya que son de período 3 que no divide a #V = 4. Por tanto, como la descomposición de cada 2 V ( 6= id) en producto de ciclos disjuntos es = 1 2 con 1 y 2 trasposiciones (n = 4), solamente hay tres de tales elementos, a saber (12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23) : Por lo tanto V = fid; (12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23)g es el único 2-subgrupo de Sylow de A4 , que, entonces, es normal en A4 (1.2.31). Como A4 V es de orden 3 y V de orden 4 ambos son grupos abelianos. Por tanto A4 es un grupo resoluble. Este resultado, junto con la resolubilidad de S2 y S3 , nos permitirá a…rmar que existe una fórmula, que contiene solamente expresiones radicales y algebraicas de los datos, para resolver la ecuación algebraica general de grado n 4, sin necesidad de obtener dicha fórmula de modo explícito.

Proposición 1.3.18 Si n

5 el grupo Sn no es resoluble.

Demostración. La prueba se realizará por reducción al absurdo. Se probará, de modo recurrente, que si n 5 y fidg = Hm

:::

Hi+1

Hi

:::

H1

H0 = Sn

es una torre abeliana de Sn , cada subgrupo Hi contiene a todos los 3-ciclos. Esto es imposible pues fidg = Hm . Sea (abc) un 3-ciclo y elíjanse d; e 2 f1; 2; :::; ng fa; b; cg ; lo cual es posible al ser n 5. Sean = (cdb) y = 1 1 (bae) : Como H0 H1 es abeliano, el conmutador [ ; ] = = (abc) es un elemento de H1 (1.3.15). Sea ahora i > 1 y supóngase que todos los 3-ciclos son elementos de Hi . Procediendo de forma idéntica al caso i = 1 teniendo en cuenta que ; 2 Hi por ser 3-ciclos, resulta (abc) = [ ; ] 2 Hi+1 por ser Hi Hi+1 abeliano. La no resolubilidad de los grupos de permutaciones Sn para n 5 será crucial a la hora de probar la no resolubilidad por radicales de la ecuación general de grado n 5.

40

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

1.4.

Ejercicios

1.- Sea G un grupo, n un entero y a 2 G: De…nimos las potencias de a como sigue: A) a0 := e , el elemento neutro de G; n veces B) an = a::::::a si n > 0; n veces

C) an = a 1 :::::::a 1 si n < 0. Dados m; n 2 Z demuéstrese que n a) (an ) 1 = (a 1 ) = a n b) am an = am+n c)(am )n = amn . 2.- Realícense todos los detalles de las demostraciones de los resultados que han sido incluidos sin prueba en este primer capítulo. 3.- Sea H un subgrupo del grupo G. Demuéstrese que para cada a 2 G el conjunto aHa 1 := faha 1 jh 2 Hg es un subgrupo de G del mismo cardinal que H: 4.- Demuéstrese que si G es un grupo en el que para cada a 2 G se tiene a2 = e (elemento neutro de G) entonces G es abeliano. 5.- Dados H; K subgrupos de un grupo G se de…ne el conjunto HK := fhkjh 2 H; k 2 Kg : Demuéstrese que HK es subgrupo de G si, y sólo si, HK = KH: 6.- Sea V = fid; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g : a) Pruébese que V es subgrupo de A4 (V es el grupo de Klein Z2 Z2 ). b) V es subgrupo normal de A4 : c) Demuéstrese que W :=< (12)(34) > es subgrupo normal de V y que no es normal en A4 : 7.- Sean H subgrupo de G y K subgrupo de L. a) Demuéstrese que H K es subgrupo de G L b) Demuéstrese que H K es normal en G L si y sólo si H es normal en G y K es normal en L: 8.- Sean G y H grupos, a 2 G y b 2 H elementos de orden …nito. Demuéstrese que (a; b) 2 G H es un elemento de orden m:c:m(jaj ; jbj): 9.- Sea G un grupo y a; b 2 G tales que (jaj ; jbj) = 1: Demuéstrese que si ab = ba; entonces jabj = jaj jbj :

1.4. EJERCICIOS

41

0 1 0 1 y B = elementos de GL2 (R): 1 0 1 1 Demuéstrese que A tiene orden 4, que B es de orden 3 y que AB es de orden 0: 10.- Sean A =

11.- Sea G un grupo y a; b 2 G: Demuéstrense las siguientes identidades a) jaj = ja 1 j = jbab 1 j b) jabj = jbaj :

12.- Sea G =< a > un grupo cíclico de orden n: Demuéstrense los dos resultados siguientes n a) jaj j = (n;j) b) Si r es un entero positivo que divide a n entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden r: 13.-Sea G =< a > un grupo cíclico de orden 154. Sea H un subgrupo de G generado por fa28 ; a88 g : Pruébese que existe un entero k tal que H =< ak > :

14.- Sean G y H grupos cíclicos de órdenes m y n; respectivamente. Demuéstrese que el grupo G H es cíclico si, y sólo si (m; n) = 1: 15.- Sea G un grupo, G 6= feg. Pruébese que G no tiene otros subgrupos que G y feg si, y sólo si, G es cíclico de orden primo.

16.- Sea G un grupo abeliano …nito de orden n = pr :q con p primo no divisor de q y r 1: Demuéstrese que si H es el subgrupo de G de orden pr que existe, según lo establecido en (1.2.13), se tiene H = fx 2 G j jxj es una potencia de pg : 17.- Sea f : G ! H un homomor…smo de grupos y a 2 G un elemento de orden …nito. Demuéstrese que jf (a)j divide jaj ; y que si, además, f es inyectivo entonces jf (a)j = jaj : 18.- Sea G un grupo …nito. Demuéstrese : a) Si G es de orden 4 entonces G es isomorfo a Z4 o al grupo de Klein. b) Si #G 5 entonces G es abeliano.

19.- Se consideran los subgrupos 5Z y 35Z de Z. Demuéstrese que 5Z=35Z = Z7 : 20.- Si G es un grupo …nito abeliano de orden n y m un entero positivo coprimo con n, entonces la aplicación f : G ! G de…nida por f (a) = am es un automor…smo de G:

42

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

21.- Demuéstrese que (Q; +) no es isomorfo a (Z; +).¿Es (Q ; :) isomorfo a (Z; +)? 22.- Sea G = S3 Z5 : ¿Es G un grupo cíclico?¿Cuántos 5-subgrupos de Sylow tiene G?¿Es cíclico todo 5-subgrupo de Sylow de G?¿Cuántos 3subgrupos de Sylow tiene G? 23.- Sea G un grupo. Dados A y B subgrupos de G se considera la aplicación : A B ! G de…nida por (a; b) = ab: Demuéstrese que son equivalentes las a…rmaciones: a) es isomor…smo. b) A y B son subgrupos normales de G y cada elemento x 2 G se expresa de forma única como x = ab con a 2 A y b 2 B: c) A y B son subgrupos normales de G; A \ B = feg y AB = G: 24.- Sea G un grupo de orden 65. Demuéstrese que existen subgrupos normales H y K de G tales que G = HK: Como consecuencia demuéstrese que G es cíclico. 25.- Demuéstrese que todo grupo de orden 35 es cíclico. 26.- Pruébese que un grupo de orden 56 o 132 no es simple. 27.- Sean H y K grupos y G = H si, y sólo si, son resolubles H y K:

K: Demuéstrese que G es resoluble

28.- Demuéstrese que un grupo G de orden 30 no es simple. ¿Es resoluble? Como consecuencia demuéstrese que si un grupo de orden 60 no es simple entonces es resoluble. Como aplicación obténgase que A5 es grupo simple. 29.- Sea G un grupo simple de orden 168. a) Calcúlense el número de 7-subgrupos de Sylow de G: b) Si P es un 7-subgrupo de Sylow de G; determínese el orden de NG (P ): c) Utilizando lo anterior, demuéstrese que G no tiene subgrupos de orden 14: 30.- Sean, p un número primo, G un grupo …nito, H un subgrupo normal de G y P un p subgrupo de Sylow de G. Demuéstrese que a) H \ P es p-subgrupo de Sylow de H: b) HP H es p-subgrupo de Sylow de G=H: 31.- a) Sean p; q enteros positivos, p primo y q < p: Demuéstrese que si G es un grupo de orden pq existe un único subgrupo H de G tal que #H = p y que H es subgrupo normal de G:

1.4. EJERCICIOS

43

b) Demuéstrese que si G es un grupo de orden 42, entonces G tiene un subgrupo normal de orden 21. 32.- Demuéstrese que si p 6= 2 es un número primo todo grupo de orden 2p es cíclico o bien isomorfo al grupo diedral D2p : Si p = 3 demostrar que D2p = S3 : 33.- Demuéstrese que todo grupo G de orden 12 es resoluble. 34.- Sean p; q números primos. a) Demuéstrese que todo grupo G de orden pq es resoluble. b) Demuéstrese que todo grupo de orden p2 q es resoluble. 35.- Se consideran los grupos Z2 Z2 Z2 ; D2;4 ; y Z4 Z2 : a) Justifíquese que cada dos de ellos no son isomorfos. b) Razónese cuáles son cíclicos y cuáles son resolubles. c)¿Alguno de estos grupos tiene subgrupos de orden 4? 36.- Sea G un grupo …nito y p un número primo. a) Demuéstrese que G es un p-grupo si, y sólo si, todo elemento de G tiene de período una potencia de p: b) Demuéstrese que existen, al menos, dos grupos no isomorfos de orden 2 p. 37.- Sea G un grupo de orden 10 a) Demuéstrese que G tiene un subgrupo normal H de orden 5 y al menos un subgrupo K de orden 2. b) Demuéstrese también que si G es abeliano entonces G es isomorfo a G=H G=K y que, como consecuencia, G es cíclico. 38.-a) Sean p; q números primos. Pruébese que un grupo G de orden pq es resoluble. ¿Es abeliano? b) Sea G un grupo tal que para cada par de subgrupos H; K de G se tiene H K o K H: Demuéstrese que G es un p-grupo para algún primo p: c) Si n es un entero positivo descríbase el grupo Aut(Zn ): 39.- a) Sea p un número primo. Demuéstrese i) Si G es un p-grupo entonces p divide al orden de ZG : ii) Como consecuencia de i) todo p-grupo tiene un subgrupo normal de orden p. b) Sea G = S3 Z4 . Justi…car razonadamente las a…rmaciones i) G es un grupo resoluble. ii) Existe un único 3-subgrupo de Sylow de G:

44

CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS iii) G tiene exactamente tres subgrupos de orden 8. 40.- Sea G un grupo de orden 440. Demuéstrese que a) G no es simple. b) G tiene un subgrupo normal de orden 55.

41.- Demuéstrese que si n los 3-ciclos.

3 el grupo alternado An está generado por

42.- Usando el ejercicio anterior demuéstrese que An es el subgrupo derivado de Sn ; si n 3.

Capítulo 2 COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS Se desarrollan aquí de forma muy esquemática los aspectos de la teoría de anillos que van a ser utilizados en lo que sigue. Una parte importante del contenido del capítulo debe ser conocido para quien haya estudiado un curso elemental de Álgebra.

2.1.

GENERALIDADES.

Se dedica esta primera sección a las nociones de anillo, módulo e ideal, los teoremas de isomor…smo para anillos y el teorema de la correspondencia en el contexto de anillos, módulos e ideales. De…nición 2.1.1 Un anillo A es un grupo abeliano (A; +) en el que hay de…nida una segunda operación : : A A ! A (multiplicación) de modo que se satisfacen las siguientes condiciones i)La multiplicación es asociativa (a:b):c = a:(b:c); 8a; b; c 2 A (a partir de ahora se pondrá abc = (a:b):c = a:(b:c); eliminando el : allí donde no exista ambigüedad) ii)Existe un elemento neutro 1 para la multiplicación (el üno"): 1a = a1 = a; 8a 2 A iii)La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a(b+c) = ab+ac; (a + b)c = ac + bc; 8a; b; c 2 A (de donde se obtiene a0 = 0; 8a 2 A; ya que a0 = a(o + o) = a0 + a0 =) a0 = 0 al ser a0 idempotente en el grupo (A; +); de forma análoga se obtiene 0a = 0; 8a 2 A): 45

46

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Se dirá que el anillo A es conmutativo si la operación de multiplicar es conmutativa: ab = ba; 8a; b 2 A. De…nición 2.1.2 Un elemento u 2 A se dirá que es una unidad si tiene inverso para la multiplicación. El conjunto de unidades de A se denotará con A o con U (A):Se dirá que el anillo A 6= 0 es un anillo de división si cada elemento no nulo tiene inverso para la multiplicación. Un cuerpo es un anillo de división conmutativo. A es un grupo respecto de la multiplicación de A:El anillo A es de división precisamente si A = A n f0g: De…nición 2.1.3 Si A es un anillo, un subanillo B de A es un subgrupo del grupo aditivo (A; +) tal que 1 2 B y tal que ab 2 B; 8a; b 2 B: En otras palabras B es anillo con las mismas operaciones de A y con el mismo neutro para la multiplicación. De…nición 2.1.4 Si A y B son anillos, una aplicación f : A ! B es un homomor…smo de anillos si lo es de los grupos abelianos (A; +) y (B; +) y además i)f (aa0 ) = f (a)f (a0 ); 8a; a0 2 A; y ii)f (1A ) = 1B : Un isomor…smo es un homomor…smo biyectivo. Son a…rmaciones de comprobación inmediata: Si f : A ! B es un homomor…smo de anillos y A0 es subanillo de A; entonces f (A0 ) es subanillo de B.. Si f : A ! B es un homomor…smo de anillos y B 0 es subanillo de B; entonces f 1 (B 0 ) es subanillo de A: De…nición 2.1.5 Sea A un anillo conmutativo. i)Un elemento no nulo a 2 A se dice que es un "divisor de cero"si existe un b 2 A, b 6= 0; tal que ab = ba = 0: ii)El anillo A se dirá que es un dominio de integridad (o simplemente un dominio) si no posee divisores de cero. Un cuerpo A es un dominio de integridad, pues si a; b 2 A son tales que ab = 0; y a 6= 0; entonces b = a 1 ab = a 1 0 = 0:

2.1.

GENERALIDADES.

47

De…nición 2.1.6 Si A es un anillo, un grupo abeliano M se dirá que es un A-módulo por la izquierda si existe una operación ::A

M !M

(a; m)

am

que satisface las siguientes condiciones i)1m = m; 8m 2 M ii)(ab)m = a(bm); 8a; b 2 A; 8m 2 M: iii)a(m + n) = am + an; 8a 2 A y 8m; n 2 M (a + b)m = am + bm; 8a; b 2 A y 8m 2 M: Como consecuencia, se tiene de modo inmediato que 0A m = 0M y a0M = 0M ; 8a 2 A y 8m 2 M; en donde se ha escrito 0A (resp. 0M ) para indicar el elemento neutro de la suma en A (resp. en M ). De…nición 2.1.7 N es un A submódulo del A módulo por la izquierda M si N es un subgrupo de (M; +) y tal que an 2 N; 8a 2 A y 8n 2 N: Es decir N es también un A módulo por la izquierda. Es muy fácil demostrar que N es un submódulo del A-módulo M si, y sólo si, ax + by 2 N , 8a; b 2 A y 8x; y 2 N: Si N es un A-submódulo del A módulo por la izquierda M el grupo abeliano M N adquiera estructura de A-módulo por la izquierda con la operación a(m + N ) := am + N (que está bien de…nida, pues para m + N = m0 + N se tiene m m0 2 N; y por tanto a(m m0 ) = am am0 2 N; es decir am + N = am0 + N; 8a 2 A) Análogas consideraciones para estructuras por la derecha. El propio anillo A es un ejemplo de A módulo por la derecha y por la izquierda. De…nición 2.1.8 Si A es un anillo, los A-submódulos del A-módulo por la izquierda (resp. derecha) de A serán denominados ideales por la izquierda (resp. derecha) de A: Los ideales biláteros (que llamaremos ideales) de A son los ideales por ambos lados Si f : A ! B es un homomor…smo de anillos el núcleo de f considerado como homomor…smo de grupos abelianos es ahora un ideal bilátero. Si I es un ideal bilátero de A la operación (a + I)(b + I) := ab + I está bien de…nida y dota al grupo abeliano cociente A I de estructura de

48

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

anillo, y el homomor…smo canónico de paso al cociente 'I : A ! A I es homomor…smo de anillos (comprobación elemental): Si f : A ! B es un homomor…smo de anillos el núcleo de f considerado como homomor…smo de grupos abelianos es ahora un ideal bilátero. De hecho un subconjunto I del anillo A es ideal bilátero de A si , y sólo si, I es núcleo de un homomor…smo de anillos f : A ! B; para algún anillo B: Para un homomor…smo de anillos f : A ! B los homomor…smos que aparecen en la descomposición canónica de f como homomor…smo de grupos abelianos son también homomor…smos de anillos. Un isomor…smo de anillos es un homomor…smo biyectivo. De…nición 2.1.9 Si M y M 0 son A-módulos por la izquierda una aplicación f : M ! M 0 es un homomor…smo de A módulos si lo es de grupos abelianos y además f (am) = af (m); 8a 2 A; 8m 2 M: Equivalentemente, la aplicación f : M ! M 0 es homomor…smo de A-módulos si f (ax + by) = af (x) + bf (y); 8a; b 2 A; y 8x; y 2 M: Si f : M ! M 0 es un homomor…smo de A módulos y N es un A submódulo de M entonces f (N ) lo es de M 0 : También, si N 0 es A submódulo de M 0 entonces f 1 (N 0 ) es A submódulo de M: Los conceptos de núcleo e imagen de f como homomor…smo de A módulos son los mismos que los correspondientes como homomor…smo de grupos abelianos, y las anteriores son a…rmaciones de comprobación inmediata, como lo es también que si f : A ! B es homomor…smo de A módulos, los homomor…smos que aparecen en la descomposición canónica de f como homomor…smo de grupos abelianos son también homomor…smos de A módulos. Un isomor…smo de A módulos es un homomor…smo biyectivo. Teorema 2.1.10 Sean A un anillo, M un A-módulo por la izquierda y N; L A-submódulos de M tales que L N: Entonces i)N L es un A submódulo de M N ii)Existe un isomor…smo de A-módulos por la izquierda Proposición 2.1.11 M N = (M L)

(N L)

Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor…smos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo de grupos son ahora también homomor…smos de A-módulos.

2.1.

GENERALIDADES.

49

Teorema 2.1.12 Sean A un anillo e I y J ideales de A tales que I Entonces i)J I es ideal del anillo A I ii)Existe un isomor…smo de anillos A J = (A I)

J:

(J I)

Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor…smos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo de grupos son ahora también homomor…smos de anillos. Si (Ni )i2I es una familia de submódulosP de un A módulo P por la izquierda M es fácil comprobar que \i2I Ni y que i2I Ni := f i2I xi j xi 2 Ni ; y xi = 0 para casi todo i 2 Ig son también submódulos de M: La intersección P es el mayor submódulo de M que está contenido en todos los Ni ; y i2I Ni el menor submódulo de M que contiene a todos los Ni : Teorema 2.1.13 Sean A un anillo, M un A módulo por la izquierda y N; L A submódulos de M . Entonces existe un isomor…smo (N + L)

N = L N \ L:

Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor…smos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo de grupos son ahora también homomor…smos de A-módulos. Teorema 2.1.14 (Teorema de la correspondencia) Sea A un anillo (respect. M un A-módulo) y J un ideal de A (resp. N un submódulo de M ): Existe una biyección que conserva las inclusiones entre el retículo de ideales de A J (resp. submódulo de M N ) y el de ideales de A que contienen a J (resp. submódulos de M que contienen a N ) Demostración. Para un homomor…smo de anillos f:A ! B el conjunto f (A) es un subanillo de B y son válidas consideraciones semejantes a las de la nota 1.1.10: si I es ideal de A el conjunto f (I) es ideal de f (A); la imagen inversa f 1 (J) de un ideal J de B es ideal de A que contiene al núcleo de f:También, si ' : M ! N es homomor…smo de A-módulos y L (resp.T ) es submódulo de M (resp N ) entonces '(L) (resp.' 1 (T )) es submódulo de N (resp.submódulo de M que contiene al núcleo de '). (Compárese con 1.1.20)

50

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Si M es un A módulo por la izquierda y S un subconjunto de M; el menor submódulo de M que contiene a S, que denotaremos con AS y denominaremos submódulo de M generado por S, está determinado por cualquiera de las dos propiedades: A) AS es la intersección de todos los submódulos de M que contienen a S: B) AS es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir AS =

x=

P i

ai xi j xi 2 S; y ai 2 A casi todos nulos :

Si S = fx1 ; x2 ; :::; xn g entonces AS = Ax1 + Ax2 + ::: + Axn en donde se ha escrito Axi en lugar de A fxi g : Si a1 ; a2 ; :::; an son elementos del anillo conmutativo A con (a1 ; a2 ; :::; an ) se indicará el ideal generado por el conjunto fa1 ; a2 ; :::; an g ; es decir el Asubmódulo de A generado por dicho conjunto. Se comprueba P fácilmente que si (Ni )i2I es una familia de submódulos de M entonces i2I Ni es el submódulo generado por el conjunto [i2I Ni : Para cada anillo A existe un único homomor…smo de anillos c : Z !A: En efecto, la condición c(1) = 1A determina la imagen de cualquier número n veces natural (c(n) = 1A +:::+ 1A ); y por lo tanto de cualquier número entero (c( n) = c(n)): El núcleo de este homomor…smo está generado (como subgrupo de Z que es) por el menor entero positivo que contiene: ker(c) = nZ = (n). De…nición 2.1.15 Con las notaciones anteriores si ker(c) = nZ, el número natural n recibe el nombre de característica de A (n = Caract(A)); y es n veces entonces el menor entero positivo n tal que n;1A := 1A +:::+1A = 0: Además, si m es un entero tal que m;1A = 0 entonces m es múltiplo de n: Nótese que Caract(A) = j1A j es el período de 1A en el grupo abeliano (A; +): Si A es un dominio de integridad entonces la característica de A es nula o un número primo. (Si n = Caract(A) 6= 0 y si n = ab con a 6= 1 6= b; entonces n;1A = (a;1A )(b;1A ) = 0 y así (a;1A ) = 0 o (b;1A ) = 0 contradiciendo la minimalidad de n respecto de la condición n;1A = 0): Si A es un dominio, A contiene (una réplica isomorfa) a Z o al cuerpo Z pZ, y si además A es cuerpo, entonces contiene (una réplica isomorfa) al

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

51

cuerpo Q o a Z pZ. El subanillo Im(c) es el menor subanillo de A (todos los subanillos contienen a 1A ). Si A es cuerpo, los cuerpos Q (si Caract(A) = 0) o Z pZ (si Caract(A) = p) son, en cada caso, el menor subcuerpo de A; que recibe el nombre de (sub)cuerpo primo de A.

2.2.

DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

A partir de ahora, y salvo mención explícita de otra cosa, los anillos considerados aquí serán siempre conmutativos En esta sección se revisan los elementos de la teoría de divisibilidad en dominios de ideales principales. Todo subanillo de un dominio de integridad es también un dominio de integridad, y en particular todo subanillo de un cuerpo es un dominio de integridad. Esto agota todas las posibilidades pues de hecho se tiene: Proposición 2.2.1 Un anillo conmutativo A es un dominio de integridad si, y sólo si, A es subanillo de un cuerpo. Cada dominio A es subanillo de un cuerpo Q(A); que se denomina cuerpo de fracciones de A y que satisface la siguiente propiedad universal: Si B es otro anillo conmutativo y f : A ! B es un homomor…smo de anillos tal que f (s) es unidad en B; para todo s 2 A r f0g ; entonces f se extiende de modo único a un homomor…smo f 0 : Q(A) ! B: Demostración. Si A es dominio se considera en el conjunto A (A r f0g) la relación binaria de…nida por (a; s)

(b; t) () at = bs,

que es de equivalencia (demostración elemental). El conjunto cociente Q(A) = [A (A r f0g)] es el cuerpo de fracciones. Cada clase de equivalencia [(a; s)] 2 Q(A) se escribirá ahora [(a; s)] = as y con esta notación se tiene 0 = 0s y 1 = ss cualquiera que sea s elemento no nulo de A: Es fácil comprobar ahora que con las operaciones de…nidas por at + bs a b + = s t st a b ab : = s t st

52

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

el conjunto Q(A) adquiere estructura de cuerpo (el inverso de as es as si as 6= 0s ; es decir, si a 6= 0). El dominio A se identi…ca ahora con el subanillo de Q(A) formado por los elementos x 2 Q(A) que admiten la expresión x = a1 : Cada elemento a 2 A se identi…ca con a1 : Si ahora f : A ! B es homomor…smo de anillos, de…nimos f 0 : Q(A) ! B mediante f 0 as := f (s) 1 f (a) (por hipótesis f (s) tiene inverso en B). Es fácil comprobar que la anterior es una buena de…nición para f 0 y que f 0 ( a1 ) = f (a). Para probar la unicidad de f 0 supóngase que g : Q(A) ! B satisface nuestros requerimientos. Entonces g( as ) = g( a1 : 1s ) = 1 g( a1 )g( 1s ) = g( a1 )g( 1s ) = g( a1 )(g 1s ) 1 = f (a):f (s) 1 = f 0 ( as ): En particular Q(A) es el menor cuerpo que contiene a A como subanillo. Es decir, si K es un cuerpo y f : A ! K es una inclusión (o un homomor…smo inyectivo de anillos ) entonces existe f 0 : Q(A) ! B cuya restricción a A es f0

f: Dicho de otro modo se tiene f = A ,! Q(A) ,! K:

De…nición 2.2.2 Sea A un dominio de integridad, se dice que A es un dominio de ideales principales (DIP en lo sucesivo) si todo ideal I de A es principal, es decir I = (a) = Aa = fxa j x 2 Ag para un cierto a 2 I: Ejemplos 1.- Si K es un cuerpo sus únicos ideales son 0 y K = (1): 2.- En el anillo Z de los enteros los ideales son precisamente los subgrupos y son todos de la forma nZ = fnr j r2 Zg, es decir el conjunto de los múltiplos de un entero n: De…nición 2.2.3 Sea A un dominio de integridad. Se dirá que A es un dominio euclídeo si existe una aplicación @ : A n f0g ! Z+ tal que 1.- @(a) @ (ab) ; 8a; b 2 A f0g 2.- (Algoritmo de la división euclídea) Dados a; b 2 A; con b 6= 0; existen q; r 2 A tales que a = bq + r en donde @ (r) < @ (b) si r 6= 0:

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

53

Ejemplos 1.- Z es dominio euclídeo con la aplicación @ : Z n f0g ! Z+ de…nida por @ (n) = jnj (valor absoluto). 2.- Si K es un cuerpo el anillo de polinomios K [X] es un dominio euclídeo con la aplicación @ : K [X] f0g ! Z+ de…nida por @(f ) = grado de f: Proposición 2.2.4 Todo dominio euclídeo es un DIP. Demostración. Sea I un ideal de A y sea t el menor entero positivo en el conjunto @ (I) N (recuérdese que el conjunto N está bien ordenado con su orden natural, es decir que cada subconjunto no vacío de N tiene primer elemento). Sea b 2 I tal que @ (b) = t y sea a cualquier elemento de I. Existen q; r 2 A tales que a = bq + r en donde @ (r) < @ (b) = t; si r 6= 0: Como r = a bq 2 I, r es necesariamente nulo pues en otro caso se entraría en contradicción con la selección de b: De…nición 2.2.5 Sea A un dominio de integridad. 1.- Si a; b 2 A; se dice que a divide a b (y se escribirá a j b) si existe un c 2 A tal que b = ac 2.- Si a; b 2 A f0g; se dirá que a y b son asociados si a j b y b j a: 3.- Un elemento a 2 A es irreducible si a 2 = A y además a = bc con b; c 2 A =) b 2 A o c 2 A Obsérvese que la relación de divisibilidad puede ser interpretada en términos de ideales: a j b () b 2 (a) () (b) (a) : Por lo tanto

a y b son asociados () (a) = (b)

Además a = ub; y b = va proporcionan a(1 uv) = 0; y, siendo A dominio de integridad, resulta u; v 2 A : Es decir que los elementos asociados a uno dado se obtienen multiplicándolo por unidades. Obsérvese también que la relación "ser asociado.es una relación de equivalencia en A; y que si a y b son asociados entonces a es irreducible si, y sólo si, b es irreducible. La irreducibilidad de un elemento depende del anillo en que se esté considerando. Es decir si A es subanillo de B un elemento a de A puede ser irreducible en A pero no en B (3 y 3 son irreducibles en Z pero no en Q).

54

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

De…nición 2.2.6 i)Un ideal p de un anillo conmutativo A se dice que es primo si es propio (es decir p 6=A) y para a; b 2 A p se tiene ab 2 = p: ii)Un ideal propio m de un anillo conmutativo A se dice que es maximal si es elemento maximal del conjunto de ideales propios de A respecto del orden de…nido por la inclusión. Proposición 2.2.7 En un anillo conmutativo A son equivalentes i)p es un ideal primo de A ii)El anillo A p es un dominio de integridad. Demostración. \i) =) ii)" Sean a = a + p;b = b + p elementos no nulos de A p;o, lo que es equivalente, a; b elementos de A que no están en p: Entonces, por la de…nición de ideal primo, se tiene ab 2 = p; es decir ab 6= 0 en A p \ii) =) i)" A p 6=0 (es decir p es ideal propio) y si a; b son elementos de A que no están en p se tiene que a = a + p y b = b + p son elementos no = p: nulos de A p; y como A p es un dominio se tiene ab 6= 0; es decir ab 2 Proposición 2.2.8 En un anillo conmutativo A son equivalentes i)m es ideal maximal de A ii)El anillo A m es un cuerpo. Demostración. \i) =) ii)" Si a = a + m es no nulo en A m; es decir, si a 2 = m, se tiene m $ m+Aa y por tanto m+Aa = A; es decir que para un cierto b 2 A y un cierto m 2 m se tiene 1 = m+ab; y entonces 1 ab = m 2 m, es decir ab = 1: \ii) =) i)" A m 6=0 (es decir,m es ideal propio). Si además I es un ideal de A que contiene propiamente a m existirá un a 2 I tal que a 2 = m: El elemento a = a + m no es nulo y tiene entonces un inverso b = b + m para la multiplicación. Como 1 ab 2 m se tiene 1 ab 2 I y entonces 1 2 I ya que ab 2 I: Es decir, necesariamente I = A: Como consecuencia de ambas proposiciones se obtiene de forma inmediata que todo ideal maximal de un anillo conmutativo es un ideal primo. De…nición 2.2.9 Un dominio de integridad A es un dominio de factorización única (DFU en lo sucesivo) si a) Cada elemento no nulo a 2 A admite una factorización a = upr11 pr22 :::prt t

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

55

en donde u es una unidad en A y p1 ; p2 ; :::; pt son irreducibles, cada dos no asociados (en lo sucesivo "factorización en irreducibles de a"); y b) Tal factorización es esencialmente única; es decir, si a = vq1s1 q2s2 :::qlsl es otra factorización en irreducibles de a entonces l = t y, después de una reordenación, pi y qi son asociados y ri = si ; para cada i = 1; 2; :::; t: La siguiente proposición establece un resultado fundamental. Proposición 2.2.10 Si A es un DIP, y 0 6= a 2 A; son equivalentes i) (a) es ideal primo de A ii) a es irreducible en A iii) (a) es ideal maximal de A: Demostración. \i) =) ii)" El elemento a no es unidad pues el ideal (a) es propio por ser primo, y si a = bc 2 (a) entonces b 2 (a) o c 2 (a) : En el caso b 2 (a) se tiene b = u:a para algún u 2 A y así a = b:c = a:u:c; de lo que resulta a(1 uc) = 0 y por tanto 1 = uc al ser A dominio de integridad. Similar resultado se obtiene si se supone c 2 (a) : \ii) =) iii)" Sea I un ideal de A estrictamente mayor que (a): Como A es un DIP existe un b 2 A tal que I = (b) y de (a) $ (b) resulta a = bc para un cierto c 2 A: Como a es irreducible y (a) 6= (b) resulta que b es unidad en A y así I = A: \iii) =) i)" Todo ideal maximal es primo. Por ejemplo en el anillo Z si p 2 Z+ se tiene que p es número primo () (p) es ideal primo de Z () (p) es ideal maximal de Z. Proposición 2.2.11 Todo DIP es un DFU. Demostración. Se probará en primer lugar que todo elemento no nulo de A admite una tal factorización. Si a; b 2 A son asociados a admite una factorización en irreducibles si, y sólo si, b la admite también. Así el conjunto S = f(a) $ A j 0 6= a no admite factorización en irreduciblesg está bien de…nido. Supongamos que S 6= ; y que (a1 )

(a2 )

:::

(ai )

:::

56

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

es una cadena de ideales en S: Entonces [i (ai ) es un ideal propio de A (en otro caso 1 sería un elemento de algún (ai )) y por lo tanto [i (ai ) = (b) ya que A es un DIP. Por tanto b 2 (ai ) para algún i y así (b) = (ai ) 2 S con lo cual S resulta un conjunto inductivo si no es vacío y, en ese caso, existen elementos maximales en S en virtud del lema de Zorn : Sea (a) maximal en S: Entonces a no es irreducible y existe por tanto una factorización a = bc en donde ni b ni c son unidades. Ahora (a) $ (b) y (a) $ (c); y por la maximalidad de (a) los elementos b y c admiten sendas factorizaciones en irreducibles cuyo producto es una factorización en irreducibles para a: Por lo tanto S = ; necesariamente, y cada elemento no nulo a 2 A admite una factorización en irreducibles. Sean a = upr11 pr22 :::prt t = vq1s1 q2s2 :::qlsl (*) dos factorizaciones en irreducibles de a: Como (p1 ) es un ideal primo de A (2.2.10), algún qi es elemento de (p1 ) : Después de una reordenación, se puede suponer q1 2 (p1 ) y por tanto (q1 ) = (p1 ) ; por la maximalidad de (q1 ) : Así p1 y q1 son asociados y si r1 s1 resulta upr11 s1 pr22 :::prt t = v 0 q2s2 :::qlsl al ser A dominio de integridad, en donde v 0 es una unidad. Si r1 > s1 ; de la anterior igualdad se deduce como antes que p1 es asociado a algún qj con j 2 f2; 3; :::; lg ; resultando así asociados los irreducibles q1 y qj lo cual es contrario a la naturaleza de las factorizaciones. Si r1 < s1 se tiene upr22 :::prt t = v 00 q1s1 r1 q2s2 :::qlsl (con v 00 unidad de A) y de forma análoga se deduce que p1 es asociado a otro pi , i 2 f2; 3; :::; tg. Por lo tanto r1 = s1 y así se obtiene upr22 :::prt t = v 0 q2s2 :::qlsl : Repitiendo el proceso para irreducibles sucesivos se llega a una expresión en la que han desaparecido todos los irreducibles de uno de los dos miembros de la igualdad inicial (*). Ese es el momento …nal de la prueba ya que ello es solamente posible en el caso de que hayan desaparecido también todos los irreducibles del otro miembro de dicha igualdad, pues de otro modo resultaría que un producto de irreducibles es una unidad. Entonces el número de factores que son potencia de irreducibles es el mismo en las dos factorizaciones y, como se ha visto, los factores irreducibles de una de ellas son asociados a los correspondientes de la otra que aparecen además con los mismos exponentes. De…nición 2.2.12 Si A es un dominio de integridad y a1;:: ; an 2 A se dice que d es un máximo común divisor de los elementos a1 ,..., an , y se escribirá d = m:c:d(a1 ; :::; an ) si 1)d j ai ; 8i 2 f1; 2; :::; ng ; y además

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

57

2)Si c 2 A es tal que c j ai 8i 2 f1; 2; :::; ng ; entonces c j d . Se dirá que a,b 2 A son primos entre sí (o que a y b son coprimos) si 1 = m:c:d(a; b) Obsérvese que un máximo común divisor, si existe, está de…nido salvo unidades, es decir que d = m:c:d(a1 ; :::; an ) () d:u = m:c:d(a1 ; :::; an ); 8u 2 A: Proposición 2.2.13 Si A es un DIP, a1 ; :::; an 2 A y d = m:c:d(a1 ; :::; an ); entonces (d) = (a1 ) + ::: + (an ) = (a1 ; :::; an ). Demostración. El ideal (a1 )+:::+(an ) = (a1 ; :::; an ) está generado por un elemento d 2 A ya que el anillo A es un DIP, y entonces (a1 ); :::; (an ) (d) o, lo que es lo mismo, ai 2 (d); 8i 2 f1; 2; :::; ng ; es decir d j ai 8i 2 f1; 2; :::; ng : Si c 2 A; la condición c j ai 8i 2 f1; 2; :::; ng se escribe ai 2 (c) 8i 2 f1; 2; :::; ng ; y en ese caso se tiene (d) = (a1 ) + ::: + (an ) (c); es decir c j d: Corolario 2.2.14 (Teorema de Bézout) Si A es un DIP y a; b 2 A; entonces a y b son coprimos si, y sólo si, existen r; s 2 A tales que 1 = ra + sb: De…nición 2.2.15 Si A es un dominio de integridad y a1 ; :::; an 2 A se dice que m es un mínimo común múltiplo de a1 ; :::; an ; y se escribirá m = m:c:m(a1 ; :::; an ); si 1) ai j m; 8i 2 f1; 2; :::; ng ; y además, 2) Si c 2 A es tal que ai j c 8i 2 f1; 2; :::; ng ; entonces m j c Proposición 2.2.16 Si A es un DIP, a1 ; :::; an 2 A y si m = m:c:m(a; b); entonces (m) = \ni=1 (ai ): Demostración. El ideal \ni=1 (ai ) está generado por un elemento m 2 A ya que el anillo A es un DIP. Además \ni=1 (ai ) está constituido por los elementos de A que son múltiplos de ai 8i 2 f1; 2; :::; ng ; por lo que un elemento de A es múltiplo de ai ; 8i 2 f1; 2; :::; ng si, y sólo si, es múltiplo de m: Obsérvese que, como en el caso del máximo común divisor, el mínimo común múltiplo está determinado salvo unidades. Recuérdese que si A es un dominio euclídeo con aplicación euclídea @ : A f0g ! Z+ ; existe un algoritmo para el cálculo del máximo común divisor

58

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

de D; d 2 A: Se pone D = dq + d1 con @ (d1 ) < @ (d) o bien d1 = 0; en cuyo caso m:c:d(D; d) = d y se habrá …nalizado ya. Si no es así, se pone otra vez d = d1 q1 + d2 con @ (d2 ) < @ (d1 ) < @ (d). Recurrentemente se construyen di 1 = di qi + di+1 con @ (di+1 ) < @ (di ) < ::: < @ (d1 ) < @ (d) y existe entonces un t tal que dt = 0: Si dt es el primer resto nulo entonces dt 1 = m:c:d(D; d): La prueba consiste en observar que (D; d) = (d; d1 ) = (d1 ; d2 ) = ::: = (dt 2 ; dt 1 ) = (dt 1 ):

2.3.

ANILLOS DE POLINOMIOS

Dedicaremos ahora nuestra atención a recordar algunas cuestiones de teoría de anillos de polinomios. No se darán demostraciones de resultados que supondremos ya conocidos. Si S es un conjunto (el conjunto de indeterminadas) denotaremos con N hSi el monoide conmutativo libre sobre S cuyos elementos son las aplicaciones : S ! N de soporte …nito (es decir, tales que (X) = 0 para casi todo X 2 S). En el monoide N hSi la operación (multiplicación) está de…nida por ( : ) (X) := (X) + (X) ; 8X 2 S; y si X 2 S y n es un número natural, se denota con X n 2 N hSi la aplicación :S ! N tal que (X) = n y (Y ) = 0 para todo Y 2 S fXg : Con esta notación, y con la de…nición de producto en N hSi , se tiene que X n :X m = X n+m ; y que X 0 = e; 8X 2 S; donde e es el elemento neutro de N hSi ; es decir la aplicación constante e(X) = 0; 8X 2 S. Si X1 ; X2 ; :::; Xr 2 S; la aplicación = X1n1 :X2n2 :::Xrnr : S ! N es tal que (Xi ) = ni para i = 1; 2; :::; r y (Y ) = 0 para todo Y 2 = fX1 ; X2Q ; :::; Xr g : Obsérvese que cada 2 N hSi admite una única expresión = X2S X (X) (en la que casi todos los factores son iguales a e; los correspondientes a aquellos X 2 S para los cuales (X) = 0) como consecuencia de la …nitud del soporte de cada 2 N hSi. A los elementos de N hSi se les denominará monomios en S: Si ahora A es un anillo conmutativo y N un monoide (multiplicativo) conmutativo denotaremos con A [N ] el A-módulo libre de base N: Los elementos de A [N ] son las aplicaciones f : N ! A también de soporte …nito (es decir, tales que f ( ) = 0 para casi todo 2 N ): Si 2 N y a 2 A se denota con a: al elemento f 2 A [N ] tal que f ( ) = a y f ( ) = 0 para todo

2.3. ANILLOS DE POLINOMIOS

59

2 N; 6= : La suma en A [N ] ; que dota a A [N ] de estructura de grupo abeliano, está de…nida por (f + g) ( ) := f ( ) + g( ); y el producto por elementos de A mediante (a:f ) ( ) := a:f ( ) ; para a 2 A y

2 N:

Es fácil comprobar que con estas operaciones A [N ] satisface todas las condiciones necesarias para ser el A-módulo libre sobre N: Cada elemento f 2 A [N ] tiene una única expresión f=

X

f ( ):

2N

con solamente un número …nito de sumandos no nulos (es decir f ( ) = 0 para casi todo 2 N ):Nótese que el 0 de A [N ] es el elemento 0. para cualquier 2 N: El A módulo libre A [N ] tiene además estructura de anillo conmutativo como consecuencia de que N es monoide conmutativo. En efecto, se de…ne una multiplicación en A [N ] mediante: (f:g)( ) :=

X

f ( ) :g ( ) ;

: =

expresión en la que solamente hay un número …nito de sumandos no nulos, ya que casi todos los f ( ) y casi todos los g( ) son nulos. El elemento neutro de este producto es la aplicación de N ! A que con nuestra notación se escribirá 1:e (en donde e es el elemento neutro de N; y 1 es el de la multiplicación de A): Este elemento se denotará con 1 = 1:e: Se comprobará que A [N ] es un anillo conmutativo y que la aplicación ' : A ! A [N ] de…nida por '(a) = a:e es homomor…smo de anillos. Si ahora se toma N = N hSi, al anillo A [N hSi] se le denotará con A [S] y se le llamará anillo de polinomios con indeterminadas en S (o sobre S) y coe…cientes en A: Cada elemento tienen ahora una única expresión f=

X

2NhSi

a : =

X

2NhSi

a :

Y

X2S

X

(X)

(*);

60

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

en donde se ha puesto a = f ( ) ; y donde, por supuesto a = 0 para casi todo 2 N hSi. Esta expresión se puede hacer más explícita teniendo en cuenta que en ella solamente intervienen un número …nito de sumandos no nulos y un número …nito de expresiones X diferentes de e (ahora e = X 0 para cualquier X 2 S) X f= a 1 ; 2 ;:::; n :X1 1 :X2 2 :::Xn n (**): 2NhSi

Las X1 ; X2; ; :::; Xn 2 S son las variables que intervienen de modo efectivo (i.e. con algún exponente no nulo) en alguno de los sumandos de (*). En aquellos sumandos de (*) en las que no interviene, Xi aparecerá elevada a exponente 0 en el correspondiente sumando de (**). La expresión (**) es ya más familiar y el elemento f es un polinomio con coe…cientes en A con indeterminadas en S: Proposición 2.3.1 La aplicación : S ! A [S] de…nida por (X) = 1:X 1 ; y el homomor…smo ' : A ! A[S] de…nido por ' (a) = a:e veri…can la siguiente propiedad universal: si : A ! B es un homomor…smo de anillos conmutativos y : S ! B es otra aplicación, entonces existe un único homomor…smo de anillos : A [S] ! B tal que = y '= (propiedad universal del anillo de polinomios A [S] ). Demostración. Utilizando la naturaleza de monoide conmutativo libre de N hSi y la de A módulo libre de A[S] se encuentra el homomor…smo de A módulos : A [S] ! B de…nido mediante ! X Y X Y a : X (X) = (a ) : [ (X)] (X) ; 2N

X2S

2N

X2S

del que es muy fácil probar que es homomor…smo de anillos. El homomor…smo será denominado evaluación en : Si ahora S es el conjunto …nito S = fX1 ; X2 ; :::; Xn g se escribirá A[S] = A [X1 ; X2 ; :::; Xn ] y cada polinomio en las variables X1 ; X2 ; :::; Xn con coe…cientes en A; es decir cada f 2 A [X1 ; X2 ; :::; Xn ] tiene una expresión canónica X f= a 1 ; 2 ;:::; n X1 1 :X2 2 :::Xn n ( )=(

1 ; 2 ;:::; n )

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

61

con ( ) = ( 1 ; 2 ; :::; n ) 2 Nn y a 1 ; 2 ;:::; n 2 A casi todos nulos. Cada X1 1 :X2 2 :::Xn n es un monomio y la canonicidad de la expresión anterior indica que los coe…cientes están determinados de modo único por los monomios cuando se han escrito solamente monomios diferentes. No se olvide que el conjunto de los monomios es una base de A [X1 ; X2 ; :::; Xn ] como A módulo libre. Diferentes expresiones no canónicas de f pueden ser obtenidas a partir de la canónica descomponiendo uno o varios de sus coe…cientes en suma de nuevos elementos de A: De…nición 2.3.2 Para un monomio M( ) (X1 ; X2 ; :::; Xn ) = X1 1 :X2 2 :::Xn n se de…ne el grado P como el entero @(M( ) ) = 1 + 2 + ::: + n : Para el polinomio f = ( )=( 1 ; 2 ;:::; n ) a 1 ; 2 ;:::; n M( ) se de…ne el grado como @(f ) = maxa( )6=0 @ M( ) : Un polinomio se dice que es homogéneo si todos sus monomios (es decir aquellos que aparecen en su expresión canónica acompañados de coe…ciente no nulo) tienen el mismo grado. Nota 2.3.3 Si A es subanillo del anillo B se puede considerar A[S] como subanillo de B[S]: En efecto a partir de = idS y de : A ,! B la inclusión, el homomor…smo : A [S] ! B[S] obtenido como en (2.3.1) es inyectivo. Si S T es una inclusión de conjuntos y A es anillo conmutativo resulta también una inclusión de anillos A [S] A [T ] : Además si T = StL; entonces A [T ] = A [S] [L] : En particular A [X; Y ] = A [X] [Y ] :

2.4.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

La mayor parte de estas notas se dedicarán a estudiar cuestiones que conciernen a polinomios en una variable, es decir elementos de A [X] y, frecuentemente, A será además un cuerpo. De…nición 2.4.1 Si f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 2 A[X] con an 6= 0; entonces @(f ) = n es el grado de f y an es su coe…ciente principal; a0 será llamado término independiente de f: El polinomio f se dirá que es mónico si su coe…ciente principal es 1. Los polinomios no nulos de grado cero son identi…cados con las constantes, es decir, los elementos de A:

62

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS Si f =

s X

ai X i y g =

i=0

s X

bj X j son polinomios con coe…cientes en

j=0

cualquier dominio de integridad K con ar 6= 0 6= bs (es decir @ (f ) = r y @ (g) = s) entonces @ (f g) = r + s; pues ar :bs 6= 0 y ! r+s X X fg = ai :bj X k : k=o

i+j=k

Si K es un cuerpo y f = aX + b 2 K[X] es un polinomio lineal (es decir de grado 1) entonces f es irreducible. En efecto, las unidades de K[X] son los polinomios de grado 0, y una factorización f = gh; con g; h 2 K[X]; proporciona @ (g) = 0 o @ (h) = 0; en virtud de lo anterior Proposición 2.4.2 (Algoritmo de la división de polinomios) Si A es un anillo conmutativo, f; g 2 A [X] son polinomios no nulos y el coe…ciente principal de g es una unidad de A entonces existen únicos q; r 2 A [X] tales que f = gq + r con @r < @g; si r 6= 0: Se dice que q y r son, respectivamente, cociente y resto de la división del polinomio f entre el polinomio g: Demostración. Se puede suponer @(f ) @(g) pues de lo contrario bastará tomar q = 0 y r = f: Sea entonces f = an X n +an 1 X n 1 +:::+a1 X +a0 y g = bm X m + bm 1 X m 1 + ::: + b1 X + b0 con bm 2 A ; an 6= 0 y n m: 1 n m se tiene que el polinomio Poniendo h1 = an bm X f1 = f

gh1 = cr1 X r1 + terminos de grado menor

es de grado r1 < n o el polinomio nulo. Si f1 6= 0 y r1 h2 = cr1 bm1 X r1 m y pongamos f2 = f1

m tomemos

gh2 = dr2 X r2 + terminos de grado menor

que es de grado r2 < r1 si no es el polinomio nulo. Obsérvese que f = f1 + gh1 = f2 + gh2 + gh1 = g(h1 + h2 ) + f2 : Se reitera el proceso obteniendo polinomios fi de grados descendentes ri < ri 1 < ::: < r2 < r1 < n; proceso que se interrumpe al llegar a un polinomio ft = 0 o con @(ft ) < m. Se tiene f = g(h1 +h2 +:::+ht )+ft ; y así basta entonces con poner q = h1 +h2 +:::+ht y r = ft .

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

63

Si f = q 0 g+r0 = qg+r también con @(r0 ) @(g); se tiene (q q0)g = r r0 : Como g no es divisor de cero en A[X] al tener coe…ciente principal una unidad de A entonces q = q 0 si, y solo si, r = r0 . Si fuese q q0 = 6 0; se tendría; @(g) < @ [g(q q 0 )] = @(r r0 ) M axf@(r); @(r0 )g ya que el coe…ciente principal de g es una unidad. Resultaría así @(g) < M axf@(r); @(r0 )g; lo cual no es posible. Por tanto q = q0 y así también r = r0 . Si K es un cuerpo, la aplicación @ : K [X] r f0g ! Z+ ; que satisface las condiciones de (2.2.3), proporciona al anillo de polinomios K [X] la estructura de dominio euclídeo. Por lo tanto K [X] es un dominio de ideales principales (DIP) y entonces un dominio de factorización única (DFU) 2.2.11. Las unidades del anillo K [X] son los elementos no nulos de K y cada polinomio f (X) 2 K [X] admite una expresión f = pr11 :::prt t (esencialmente única) como producto de factores irreducibles en K[X]: Recíprocamente, si para un anillo conmutativo A el anillo de polinomios A[X] es un DIP, entonces A es un cuerpo. El homomor…smo h : A[X] ! A consistente en la evaluación en 0 2 A; es decir, h(f ) = f (0) para f 2 A[X]; es sobreyectivo (a = h(a), 8a 2 A) y tiene por núcleo el ideal (X) (h(f ) = f (0) = 0 () X divide a f ): Por lo tanto A = A[X]=(X): Ahora, en el caso de que A[X] es un DIP el anillo A es un cuerpo ya que el ideal (X) es maximal, pues X es irreducible y se aplica (2.2.10). Para probar la irreducibilidad de X obsérvese que A es dominio de integridad al ser subanillo de A[X] y, como ya se ha dicho, A = A[X]=(X): En particular Z [X] no es un DIP. De…nición 2.4.3 Los elementos irreducibles en el DFU K [X] se llamarán polinomios irreducibles en K [X] (también se dirá que son irreducibles sobre K): Los polinomios no irreducibles se dirá que son reducibles. Como K [X] es un DIP si K es un cuerpo, se obtiene de forma inmediata un importante Corolario 2.4.4 Si K es un cuerpo y f 2 K [X] ; son equivalentes las a…rmaciones i) (f ) es ideal primo de K [X] ii) f es irreducible en K [X] iii) (f ) es ideal maximal de K [X] : Demostración. Es consecuencia inmediata de (2.2.10)

64

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

De…nición 2.4.5 Si A es subanillo de B, b 2 B, : A ! B es la inclusión, y b : fXg ! B está de…nida por b (X) = b; el único homomor…smo b : A[X] ! B obtenido por la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1) se denominará evaluación en b; y para cada f 2 A[X] el elemento b (f ) =: f (b) será el valor numérico de f en b: Se dirá que b 2 B es un cero (o una raíz )de f 2 A[X] si f (b) = 0: Proposición 2.4.6 (Teorema del resto) Sean A un anillo conmutativo, f 2 A [X] un polinomio no nulo y 2 A: El resto de la división de f entre X es f ( ) : Demostración. Como el coe…ciente principal de X es unidad en A; existen únicos q; r 2 A [X] tales que f = (X )q+r; con @r < @ (X )=1 (si r 6= 0). Como la evaluación en es un homomor…smo A [X] ! A; se tiene que f ( ) = ( )q( ) + r( ) = r( ): Pero @r = 0, es decir r 2 A; y por lo tanto r( ) = r = f ( ): Corolario 2.4.7 (Teorema del factor) Sea A un anillo conmutativo, f 2 A [X] un polinomio no nulo y 2 A . Entonces X divide a f en A [X] si, y solamente si, es un cero de f: El anterior corolario admite una generalización en el caso de que A sea un dominio de integridad. Proposición 2.4.8 Si A es un dominio de integridad, f 2 A [X] es un polinomio no nulo, y si 1 ; 2 ; :::; r 2 A son ceros distintos de f , entonces r Y el polinomio (X i ) divide a f en A [X] : i=1

Demostración. Por inducción en r: Para r = 1 es el teorema del factor. Supuesto r > 1 y que el resultado es válido para r 1 el polinomio r 1 Y (X i ) divide a f en A [X] ; es decir i=1

f =q

r 1 Y i=1

(X

i)

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

65

para un q 2 A [X] : Como A es dominio de integridad f(

r)

= q(

r)

r 1 Y

(

i)

r

=0

i=1

implica q ( r ) = 0; que por el teorema del factor proporciona q = (X para un cierto h 2 A [X]. Se tiene así f =h

r Y

(X

r) h

i) :

i=1

Corolario 2.4.9 Si A es un dominio de integridad y f 2 A [X] es un polinomio no nulo de grado n; entonces 1) El número de ceros diferentes de f en A es a lo sumo n 2) Si f tiene n ceros diferentes 1 ; 2 ; :::; n 2 A; entonces f = c(X

1 ) (X

2 ) ::: (X

n)

en donde c 2 A es el coe…ciente principal def: Demostración. 1) Si

1;

2 ; :::;

f =h

r

r Y

2 A son los ceros distintos de f en A

(X

i) ;

i=1

con h 2 A [X] por el corolario anterior. Como A es dominio de integridad ! r Y n = @ (f ) = @ (h) + @ (X = @ (h) + r r: i) i=1

2) Como consecuencia de 1)

f =h

n Y

(X

i)

i=1

con @ (h) = 0; es decir h = c 2 A es el coe…ciente principal de f: Los anteriores resultados no son válidos si A no es un dominio de integridad. Por ejemplo, 1; 3; 5 2 Z6 son ceros del polinomio f = 3X + 3 2 Z6 [X].

66

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

En relación con la estructura de dominio euclídeo de K [X] es importante poder disponer de criterios que permitan averiguar si un polinomio dado es irreducible. Obsérvese, en primer lugar, que todo polinomio lineal f = aX + b 2 K[X] es irreducible en K[X]. El recíproco no es cierto en general como establece la siguiente proposición. Proposición 2.4.10 Si K es un cuerpo son equivalentes las a…rmaciones: i)Todo polinomio irreducible en K [X] es lineal. ii)Todo f 2 K [X] con @ (f ) 1 tiene al menos un cero en K: Demostración. \i) =) ii)" Sea f 2 K [X] con @ (f ) 1; y sea f = f1 :f2 :::fr la factorización de f en irreducibles (K [X] es un DFU), que por hipótesis son lineales. Cada fi = ai X + bi admite como cero a abii 2 K; que también es un cero de f: \ii) =) i)" Si f 2 K[X] y si @(f ) > 1, f admite un cero 2 K en virtud de la hipótesis, y por lo tanto es divisible por X en K[X] (2.4.7), es decir f = (X )g con @(g) = @(f ) 1 > 0: Los polinomios (X ); g no son unidades de K[X] al ser de grado mayor que cero, y entonces f no es irreducible. Los cuerpos que satisfacen las condiciones de la proposición anterior se dice que son algebraicamente cerrados. La naturaleza del cuerpo de coe…cientes también incide en la posible irreducibilidad de un polinomio. Se demostrará (5.2.4) que todo polinomio no constante con coe…cientes en C se descompone en factores lineales en C [X] : Según esto los únicos polinomios irreducibles en C [X] son los lineales, sin embargo un polinomio no lineal f 2 R [X] puede ser irreducible en R [X] (basta tomar f = aX 2 + bX + c con 4 (f ) = b2 4ac < 0 (2.4.11)) Proposición 2.4.11 Si K es un cuerpo y f 2 K [X] con @ (f ) = 2 o @ (f ) = 3 entonces f irreducible en K [X] si, y sólo si, f no tiene ceros en K: Demostración. Si f = g:h es una factorización en K[X] y ambos factores son no constantes entonces necesariamente alguno de ellos es lineal y por tanto tiene un cero en K. Recíprocamente si f tiene un cero en K; entonces f es divisible por X (2.4.7) y el cociente es de grado al menos 1, por lo que f resulta factorizado en no unidades de K[X]: Nota 2.4.12

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

67

Solamente con objeto de facilitar la formulación de ejemplos y ejercicios, admitiremos por el momento como verdadero el resultado que a…rma que todo polinomio no constante con coe…cientes números reales tiene al menos un cero complejo, consecuencia directa del teorema fundamental del Álgebra que será probado más adelante (5.2.4). Si f 2 R [X] y = a + bi 2 C r R es un cero de f entonces = a bi también lo es. La conjugación :C!C =a

= a + bi

bi

es un automor…smo y a = a para todo a 2 R: Ahora, si f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 2 R [X] ; se tiene f ( ) = an n + an 1 n 1 + ::: + a1 + a0 = 0; y entonces 0 = 0 = f ( ) = an = an = an

n

n

+ an

+ an

1

n

+ an

1 n 1

n 1

1

n 1

+ ::: + a1 + a0 =

+ ::: + a1 + a0 =

+ ::: + a1 + a0 = f ( ) :

Si f es irreducible en R [X] y no lineal entonces f es divisible en C [X] por un polinomio (X )(X ) pues f admite al menos un cero complejo (no real ya que en otro caso f no sería irreducible en R [X]). Como el polinomio ) = X 2 ( + )X+ tiene coe…cientes reales, se tiene (X )(X ) con c 2 R: Por lo tanto: necesariamente f = c(X )(X Los polinomios irreducibles en R [X] son de grado 1 o 2. Un polinomio f = aX 2 + bX + c 2 R [X] ; con a 6= 0; es irreducible en R [X] si, y sólo si, 4 (f ) = b2 4ac < 0. Nota 2.4.13 Admitiendo, como en la nota anterior, que todo polinomio no constante f 2 R [X] tiene al menos un cero complejo 2 C; se obtiene también: Si f 2 R [X] es de grado impar entonces f admite, al menos, un cero real En efecto, cada cero complejo no real 2 C R de f determina que f es divisible en C [X] por (X ) (X ) y, por tanto, existe un g 2 C [X] tal que f = g: (X ) (X ) : Como (X ) (X ) tiene sus coe…cientes reales lo mismo le sucede a g (unicidad del cociente y del resto de la división

68

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

euclídea en C [X](2.4.2)) Reiterando el proceso, resulta que si f no tiene ninguna raíz real entonces f =c

m Y

X2

(

i

+

i) X

+

i

i

;

i=1

donde c es el coe…ciente principal de f y los i son números complejos no reales. Por lo tanto, si f 2 R [X] no tiene ceros reales su grado es par. El estudio de la irreducibilidad en Q [X] es considerablemente más complicado. De hecho veremos que existen polinomios irreducibles de cualquier grado (2.4.26). Nuestro próximo objetivo es establecer ciertos criterios que permitirán reconocer la irreducibilidad de algunos polinomios con coe…cientes racionales. No serán criterios que permitan decidir sobre la irreducibilidad de cualquier polinomio, pero serán muy útiles en casos particulares importantes. P De…nición 2.4.14 Si f = n0 ai X i 2 Z [X] es no nulo, se de…ne el contenido de f como cont(f ) := m:c:d(a0 ; :::; an ): Se dirá que f es primitivo si cont(f ) = 1: Nota 2.4.15 Sea 0 6= f = an X n + an 1 X n A) Si 0 6= a 2 Z se tiene

1

+ ::: + a0 2 Z [X] : Entonces:

cont(af ) = a:cont(f ) B) Existe un polinomio primitivo g 2 Z [X] con @(f ) = @(g) tal que f = cont(f )g: En efecto basta con considerar que si f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X +a0 ; y c = cont(f ); el polinomio g = acn X n + anc 1 X n 1 +::: + ac1 X + ac0 2 Z [X] satisface los condiciones exigidas. Recíprocamente si 0 6= f 2 Z [X] es tal que f = cf1 , con f1 2 Z [X] primitivo, entonces c = cont(f ): C) Si p es un número primo y 'p : Z ! Zp es el homomor…smo canónico, la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1) permite obtener el Pn i homomor…smo 'p : Z [X] ! Zp [X] de…nido para h = a X mediante 0 i Pn i 'p (h) = h := 0 ai X : El homomor…smo 'p recibirá el nombre de reducción módulo p :

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

69

D) Obsérvese también quePtodo polinomio mónico f 2 Z [X] es primitivo. Como el polinomio h = n0 ai X i 2 Z [X] es primitivo si, y sólo si, sus coe…cientes ai no tienen ningún divisor primo común, entonces para cada número primo p existe un i 2 f0; 1; :::; ng tal que p no divide a ai : Se puede a…rmar así que h es primitivo si, y sólo si, 'p (h) 6= 0 para todo primo p: Proposición 2.4.16 (Lema de Gauss) Si f; g 2 Z [X] son polinomios primitivos entonces su producto f g es primitivo también. Demostración. Para cada primo p se tiene 'p (f g) = 'p (f ):'p (g) 6= 0 al ser primitivos f y g (2.4.15.C) y por ser Zp [X] un dominio de integridad. Corolario 2.4.17 Si f; g 2 Z [X] entonces cont(f g) = cont(f ):cont(g): Demostración. Por (2.4.15.B) Se puede escribir f = cont(f ):f1 ; g = cont(g):g1 con f1 y g1 polinomios primitivos, y por (2.4.15.A) se tiene cont(f g) = cont(f ):cont(g):cont(f1 :g1 ) = cont(f ):cont(g): en virtud del lema de Gauss. Corolario 2.4.18 Si h(X) 2 Z [X] es mónico y si f (X); g(X) 2 Q [X] son mónicos tales que h(X) = f (X):g(X) entonces f (X) y g(X) tienen coe…cientes enteros. Demostración. Si a; b 2 Z son , respectivamente, los productos de los denominadores de los coe…cientes de f y de g; poniendo c = ab se tiene ch(X) = af (X)bg(X) = f1 (X):g1 (X); con f1 (X) = af (X) y g1 (X) = bg(X) polinomios con coe…cientes enteros. Por el lema de Gauss (2.4.16) se tiene c:cont(h) = c = cont(f1 ):cont(g1 ): Además f1 = cont(f1 )f2 y g1 = cont(g1 )g2 , donde f2 ; g2 2 Z [X] son primitivos. Entonces se tiene h(X) = f2 (X)g2 (X) y por tanto f2 y g2 son también mónicos al serlo h:Además f (X) y f2 (X) son polinomios mónicos con coe…cientes en Q y se tiene af (X) = f1 = cont(f1 )f2 ; de lo que resulta a = cont(f1 ); y entonces f (X) = f2 (X). Con idéntico argumento se prueba g(X) = g2 (X). Lema 2.4.19 Sea f 2 Z [X] : Si f admite una factorización f = gh con g; h 2 Q [X] entonces existen g1 ; h1 2 Z [X] con @(g) = @(g1 ); @(h) = @(h1 ) y tales que f = g1 h1 .

70

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Demostración. Para la factorización f = gh con f; g 2 Q [X] seleccionamos c; d 2 Z tales que cg = g 0 ; dh = h0 son polinomios con coe…cientes enteros, y por lo tanto cdf = g 0 h0 ; y @(g) = @(g 0 ); @(h) = @(h0 ): Existe entonces un entero n 1 tal que nf = g 0 h0 con g 0 ; h0 2 Z [X] y con @(g) = @(g 0 ) y @(h) = @(h0 ): El conjunto de números naturales m para los cuales existen gm ; hm 2 Z [X] con @(g) = @(gm ), @(h) = @(hm ) y tales que mf = gm hm es, por tanto, no vacío y admite entonces un primer elemento (el orden natural es un buen orden para N). Sea t el menor número natural tal que existen gt ; ht 2 Z [X] con @(g) = @(gt ), @(h) = @(ht ); y con tf = gt ht . Probaremos que t = 1 con lo que el lema quedará demostrado. En efecto, si t 6= 1 existe un número primo p tal que t = pr; con r < t otro número natural. El número primo p no es divisor de todos los coe…cientes de gt ni de todos los coe…cientes de ht : En efecto, si p divide a todos los coe…cientes de gt existe un g 00 2 Z [X] con @(g 00 ) = @(gt ) y con gt = pg 00 ; con lo cual resulta prf = pg 00 ht ; y por tanto rf = g 00 ht ; lo que contradice la minimalidad de t: Lo mismo sucede si se supone que p divide a todos los coe…cientes de ht : Ahora, utilizando la reducción módulo p; se tiene 'p (tf ) = 'p (gt ):'p (ht ) = 0 en Zp [X] ya que tf tiene sus coe…cientes múltiplos de p: Como Zp [X] es dominio de integridad resulta 'p (gt ) = 0; o 'p (ht ) = 0; lo que contradice la a…rmación ya probada de que p no divide a todos los coe…cientes de gt ni a todos los coe…cientes de ht : Teorema 2.4.20 Sea f 2 Z [X] con @(f ) 1: Son equivalentes las a…rmaciones i) f es irreducible en Z [X] : ii) f es primitivo e irreducible en Q [X] Demostración. \i) =) ii) Si f es irreducible en Z [X], de f = cont(f ):f1 se obtiene cont(f ) = 1:Supongamos que f = g:h, siendo g; h 2 Q [X] : Por el lema (2.4.19) existen g1 ; h1 2 Z [X] con @(g) = @(g1 ); @(h) = @(h1 ) y tales que f = g1 :h1 . De la irreducibilidad de f en Z [X] se obtiene que g1 = 1 o h1 = 1; y así @(g) = @(g1 ) = 0 o bien @(h) = @(h1 ) = 0; es decir, uno de los factores g o h es una unidad en Q [X] : \ii) =) i) Si f es irreducible en Q [X] y si f = g:h con g; h 2 Z [X] Q [X] ; necesariamente uno de los factores g o h es una unidad en Q [X] y entonces un número entero. Si g = c 2 Z entonces f = c:h, y como 1 = cont(f ) =

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS cont(ch) = c:cont(h); resulta g = c =

71

1; es decir g es una unidad en Z [X] :

La condición de que f es primitivo es fundamental en la a…rmación anterior. El polinomio f = 2X + 4 es irreducible en Q [X] y no lo es en Z [X] : Aunque el anillo Z [X] no es un DIP, veremos que es un DFU como consecuencia del resultado anterior. Corolario 2.4.21 Z [X] es un DFU. Sus elementos irreducibles son números primos o polinomios primitivos que son irreducibles en Q [X] Demostración. De una hipotética factorización en Z [X] de un número primo, argumentando con los grados de los factores se obtendría una factorización en Z de dicho número primo. Por tanto todo número primo es un elemento irreducible en Z [X] : Además Z [X] es un dominio de integridad al serlo Z: Si f 2 Z [X] y f = cont(f ):f1 ; la factorización en irreducibles de Q [X] del polinomio primitivo f1 = u:pr11 :::prt t (en donde u es un número racional no nulo) proporciona - mediante su multiplicación por el producto de todos los denominadores de los polinomios pi y el de u-; una expresión cf1 = v:q1r1 :::qtrt en donde los qi (i = 1; :::; t) son ahora polinomios con coe…cientes enteros y c; v 2 Z, y donde, para cada i; se tiene Q @qi = @pi al ser qi y pi asociados en Q [X]. Se obtiene cont(cf1 ) = c = v: ri :cont(qi ) (2.4.15 , i

B) y 2.4.17), y también la igualdad

cf1 = v:q1r1 :::qtrt = v:

Q i

r

rt

ri :cont(qi ):q10 1 :::qt0 ;

en donde, para cada i, se ha puesto qi = cont(qi )qi0 con qi0 primitivo (e irreducible en Z [X] al ser asociado a pi en Q [X]): Por lo tanto resulta r r f1 = q10 1 :::qt0 t . La factorización de f es ahora el producto de la factorización de cont(f ) en primos en Z y la anterior factorización de f1 . La unicidad es consecuencia inmediata de la unicidad de la factorización en Q [X] : Es oportuno preguntarse acerca de la naturaleza de los ceros racionales de polinomios con coe…cientes enteros ya que ello está relacionado con su posible irreducibilidad. Proposición 2.4.22 Sea f = ar X r + ar 1 X r 1 + ::: + a1 X + a0 2 Z [X] n y sean n; m enteros primos entre sí. Si el número racional m es raíz de f entonces n divide a a0 y m divide a ar :

72

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS r

r 1

n n n n Demostración. f ( m ) = ar m + ar 1 m + ::: + a1 m + a0 = 0 =) r r 1 r r r m a0 + m na1 + ::: + ar n = 0 =) n j m a0 y m j ar n : Por tanto n j a0 y m j ar ya que n y m son primos entre sí.

Corolario 2.4.23 Los ceros racionales de un polinomio mónico con coe…cientes enteros son números enteros. A continuación usaremos los homomor…smos de reducción 'p para el reconocimiento de polinomios con coe…cientes enteros que son irreducibles sobre Q: Proposición 2.4.24 (Criterio de reducción) Sea f = an X n + an 1 X n 1 + :::+a1 X +a0 2 Z [X] con @(f ) 1; y sea p un número primo que no divide al coe…ciente principal an : Si 'p (f ) = an X n +an 1 X n 1 +:::+a1 X +a0 2 Zp [X] es irreducible sobre Zp ; entonces f es irreducible sobre Q. Demostración. Si f es reducible en Q [X] entonces existen g1 ; h1 2 Q [X] tales que f = g1 :h1 con @(g1 ) 1; y @(h1 ) 1: Por el lema 2.4.19 existen g; h 2 Z [X] con @(g) = @(g1 ) y @(h) = @(h1 ) tales que f = g:h: Ahora, si el número primo p no divide a an tampoco divide al coe…ciente principal de g ni al de h; y entonces se tiene que @(f ) = @('p (f )); @('p (g)) = @(g) 1 y @('p (h)) = @(h) 1, por lo que f resulta reducible en Zp [X]. Será muy usado también el siguiente criterio Proposición 2.4.25 (Criterio de Eisenstein) Sea f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 2 Z [X] con @(f ) 1: Si existe un número primo p tal que p j ai para i = 0; 1; :::; n 1; p - an y p2 - a0 entonces f es irreducible en Q [X] : Demostración. Como en la demostración de la proposición anterior, si f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 es reducible en Q [X] se pueden encontrar g; h 2 Z [X] con @ (g) = r 1 y @ (h) = s 1 tales que f = g:h: Ahora, por hipótesis, 'p (f ) = an X n = 'p (g):'p (h); y entonces @ 'p (g) = r; y @ 'p (h) = s: En el DFU Zp [X] el elemento X es irreducible y, por lo tanto, 'p (g) = br X r y 'p (h) = cs X s como consecuencia de la unicidad de la factorización en irreducibles de 'p (f ) (X es necesariamente, el único factor irreducible tanto de 'p (g) como de 'p (h)). Ahora, si b0 y c0 son los términos independientes respectivos de g y de

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

73

h; resulta que a0 = b0 c0 ha de ser múltiplo de p2 pues son nulas las clases de b0 y de c0 módulo p; ya que los polinomios 'p (g) y 'p (h) carecen de término independiente. Esto contradice la hipótesis y, por lo tanto, tal factorización de f no es posible.

Por lo tanto existen polinomios irreducibles de cualquier grado en Q [X] y en Z [X], pues, si p es un número primo, el polinomio X n + p es irreducible en ambos anillos para cualquier número natural n 1..

74

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Nota 2.4.26 Si A es anillo conmutativo y h 2 A[X] es un polinomio cualquiera, la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1) permite asegurar que existe un único homomor…smo de anillos h : A [X] ! A [X] tal que h (X) = h y tal que h (d) = d; 8d 2 A: Si a es una unidad de A; g = aX + b 2 A [X] y f = a 1 X a 1 b 2 A [X], entonces los homomor…smos g y f son isomor…smos mutuamente inversos. En efecto, bastará demostrar que ( g f ) (X) = X y que ( f g ) (X) = X; lo que resulta de cálculos elementales. Por ejemplo (

g

f ) (X)

=

=a

a 1X

a 1b = a 1g

(aX + b)

a 1 b = X:

g 1

a 1b =

Nótese que todo homomor…smo de anillos : A [X] ! A [X] tal que jA = idA está ligado a la selección de una imagen (X) = g 2 A [X] que determina dicha aplicación (2.3.1). Para f = an X n +an 1 X n 1 +:::+a1 X +a0 se tiene (f ) = an g n +an 1 g n 1 +:::+a1 g+a0 : Por lo tanto, si A es un dominio de integridad, para que sea sobreyectiva ha de ser necesariamente @(g) = 1, pues, en otro caso, ninguna de las imágenes (f ) 2 A [X] puede ser de grado 1: Además, si (X) = g = aX + b; para que exista 1 es necesario que a sea una unidad de A: En efecto, si 1 (X) = cX + d (también polinomio lineal para que 1 sea sobreyectiva), entonces ( 1 ) (X) = X = c(aX + b) + d; lo que proporciona ca = 1 y cb + d = 0. Por lo tanto, si A es un dominio de integridad, todo isomor…smo : A [X] ! A [X] tal que jA = idA está ligado a la elección de un polinomio lineal (X) = aX + b con a una unidad de A: Tales isomor…smos se denominarán cambios de variable. Nótese también que si ' : A ! B es un isomor…smo de anillos y a 2 A entonces ' (a) es unidad en B si, y sólo si, a es unidad en A: ' (a) :' (b) = ' (a:b) = 1B = ' (1A ) () ab = 1A Como consecuencia, para el mismo isomor…smo ' : A ! B se tiene también que ' (a) es irreducible en B si, y sólo si, a es irreducible en A: En efecto, si ' (a) = b1 b2 en B; y si a1 ; a2 2 A son tales que ' (a1 ) = b1 y ' (a2 ) = b2 ; entonces ' (a) = ' (a1 ) :' (a2 ) = ' (a1 :a2 ) ; por lo que a = a1 a2

2.5. EJERCICIOS

75

al ser ' un isomor…smo. Como a es irreducible en A; alguno de los factores a1 o a2 es unidad en A; y por lo tanto también es unidad en B alguno de los factores b1 o b2 : El recíproco se obtiene utilizando el isomor…smo inverso ' 1 : B ! A: Proposición 2.4.27 (Criterio de cambio de variable) Si g = aX + b 2 A[X] y a 2 A ; un polinomio f 2 A [X] es irreducible si, y sólo si, g (f ) lo es también. Corolario 2.4.28 Sea p un número primo. El polinomio f = X p ::: + X + 1 2 Z [X] es irreducible en Q [X] y en Z [X] : Demostración. X p g

[(X

(X + 1) =

1 = (X 1) f ] =

g

(f )

p p Xp + Xp 0 1 g

(f ) =

1

p Xp 0

g

g

1

+

+X p

2

+

1) f: Tomando g = X + 1 resulta (X p

1) lo que equivale a

(f ) = X

+ ::: +

1

g

p p

p Xp 1

1 2

(f ) = (X + 1)p X+

+ ::: +

p p

1; y ello implica p

p

1=

1

2 Z [X] ;

que es un polinomio irreducible en Q [X] por el criterio de Eisenstein (2.4.25), pues para i = 1; 2; :::; p 1 el número combinatorio pi = i!(pp! i)! es múltiplo de p; y p p 1 = p no lo es de p2 : Aplicando ahora el criterio de cambio de variable resulta que f = X p 1 + X p 2 + ::: + X + 1 es irreducible en Q [X] y en Z [X] ya que su contenido es 1.

2.5.

Ejercicios

1.- Sea J un ideal del anillo conmutativo A: a) Demuéstrese que J [X] := ff = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 2 A [X] j an ; an 1 ; :::; a1 ; a0 2 Jg es un ideal de A[X] y que los anillos A [X] =J [X] y (A=J) [X] son isomorfos. b) Utilizando el apartado anterior demuéstrese que J es ideal primo de A si, y sólo si, J [X] es ideal primo de A [X] : c)¿Puede ser J [X] ideal maximal de A [X]?

76

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

2.- Demuéstrese que un polinomio f 2 Z [X] no tiene raíces enteras si f (0) y f (1) son números impares. 3.- Determínense todos los enteros positivos n para los que X 2 + 2 divide a X 5 10X + 12 en Zn [X] : 4.- Demuéstrese que los anillos Z [X] =(n; X) y Zn son isomorfos. 5.- a) Demuéstrese que si f (X) es irreducible en Z2 [X] y @(f ) > 1 entonces el número de coe…cientes no nulos de f es impar. b) Calcúlense todos los polinomios irreducibles en Z2 [X] de grado menor o igual que 4. 6.- Sea J = (X 3 + 2X + 1) Z3 [X] y sea F = Z3 [X] =J: a) Demuéstrese que todo elemento del anillo cociente F admite un único representante de grado 2: b) Demuéstrese que F es un cuerpo. c) Calcúlese el número de elementos de F: 7.- Factorícense en irreducibles el polinomio 7X 4 anillos Q [X] ; R [X] ; C [X] ; Z [X] y Z2 [X] :

28 en cada uno de los

8.- Imitando la prueba del criterio de Eisenstein pruébese el siguiente, que denominaremos de (Eisenstein) . Sea f = an X n +an 1 X n 1 +:::+a1 X +a0 2 Z [X] y p un número primo tal que p j an ; an 1 ; :::; a1 ; p - a0 , y p2 - an ; entonces f es irreducible en Q [X] : 9.- Factorícense en irreducibles en Q [X] los polinomios X 7 2X 5 +14X 2 8X + 22; 4X 3 X 2 + 7; X 4 + 4; X 5 2X 3 + X 2 4X + 3; X 4 3X 2 + 9; 3X 5 6X 3 21X 2 15X + 100; (X 2 7)(X 6 1); X 3 X + (3n + 2) con n 2 Z: 10.- Sea f = X 5 6X 4 + 2X 3 + 5X 2 X 2 2 Z [X] : a) Descompóngase en producto de irreducibles en Z2 [X] la reducción de f módulo 2: b) Utilizando el apartado anterior demuéstrese que f es irreducible en Z [X] : 11.- Sea f = 5X 6 + 12X 4 + 3X 2 18X + 7 2 Z [X] a) Descompóngase en producto de irreducibles en Z2 [X] la reducción de f módulo 2. b) Descompóngase en producto de irreducibles en Z3 [X] la reducción de f módulo 3. c) Descompóngase f en producto de irreducibles en Z [X] y en Q [X] :

2.5. EJERCICIOS

77

12.- a) Sea J = ff 2 Z [X] j f (0) = 0g: Demuéstrese que J es un ideal principal de Z [X] :¿Es J ideal primo de Z [X]?¿Es ideal maximal de Z [X]? b) Demuéstrese que el polinomio X 4 + 6X 2 + 7 es irreducible en Q [X] : Q?

13.- a)¿Para qué valores de n 2 Z es X 3 + X 2 + nX + 2 irreducible sobre

b) Pruébese que X 3 + mX + n es irreducible en Z [X] cuando m y n son impares. c) Sea f (X) 2 Z [X] un polinomio mónico tal que f (0) = p es un número primo. Pruébese que f (X) tiene a lo sumo tres raíces racionales. 14.- Sabiendo que 1+i es un cero del polinomio f (X) = X 4 X 3 +X 2 +2 2 R [X] descompóngase f en producto de irreducibles en R [X] y en C [X] :

78

CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Capítulo 3 EXTENSIONES DE CUERPOS 3.1.

EXTENSIONES FINITAS

De…nición 3.1.1 Sea K un cuerpo. Una extensión de K es un cuerpo F del cual K es subcuerpo que será denominado cuerpo base de la extensión. Con F : K se indicará que F es una extensión de K. En este caso F puede ser considerado como espacio vectorial sobre K. La dimensión de este K- espacio se denominará grado de la extensión y se denotará dimK F = [F : K]. La extensión se dirá que es …nita si dicha dimensión es …nita. Una torre de cuerpos (o de extensiones) es una familia de extensiones K1 : K2 ; K2 : K3 ; :::; Ki : Ki+1 ; :::; que más frecuentemente se indicará con K1

K2

K3

:::Ki

Ki+1

:::.

Ejemplos 1.- [C : R] = 2; ya que cada 2 C admite una única expresión = a + b:i con i2 = 1 y a; b 2 R, lo cual signi…ca que f1; ig constituye una base de C como R- espacio vectorial. 2.- C : Q y R : Q son extensiones no …nitas. Obviamente [R : Q] [C : Q] ; y si [R : Q] fuese …nito R resultaría numerable (al ser producto cartesiano de un número …nito de conjuntos numerables). 3.- Para una extensión F : K se tiene trivialmente que [F : K] = 1 si, y sólo si, F = K. 79

80

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Teorema 3.1.2 (Teorema del grado) Sea K F E una torre de cuerpos. Entonces son equivalentes las a…rmaciones i) F : K y E : F son …nitas. ii) E : K es …nita. Además, en ese caso se tiene [E : K] = [E : F ] : [F : K] : Demostración. \ii) =) i)" F es un K-subespacio de E; y por lo tanto [F : K] [E : K] : Además, una K-base fz1 ; ::::; zt g de E es también un sistema de generadores de E como F -espacio vectorial y por lo tanto E : F es …nita. \i) =) ii)" Sean fx1 ; ::::; xn g una K-base de F y fy1 ; :::; yr g una F -base de E: Entonces fxi :yj j 1 i n; 1 j rg es unaPK base de E: En efecto, para 2 E existen b1 ; :::; br 2 F tales que P= r1 bj yj : Para cada j 2 f1; :::; rg existen a1;j ; :::; an;j 2 K, tales que bj = n1 ai;j xi ; y por lo tanto =

r n X X j=1

i=1

!

ai;j xi yj =

X

aij (xi yj ) ;

i;j

lo cual quiere decir que fxi yj j 1 i n; 1 j rg es un sistema de generadores de E como K-espacio. Dicho conjunto P de generadores es además linealmente independiente sobre K, ya que si i;j aP i;j (xP i yj ) = 0 con ai;j 2 K; entonces los elementos ai;j xi 2 F son tales que j ( i P ai;j xi ) yj = 0: La F -independencia lineal de los yj proporciona entonces que i ai;j xi = 0 para cada j, y de la K-independencia lineal de los xi resulta ai;j = 0 para todo par i; j: Por lo tanto fxi yj j 1 i n; 1 j rg constituye una K-base de E: OBSERVACIONES 3.1) Nótese que la anterior demostración es constructiva en el sentido de que se obtiene directamente una K-base de E multiplicando los elementos de una F -base de E por los de una K-base de F: Este método constructivo será utilizado muy frecuentemente en lo que sigue. 3.2) Nótese también que la igualdad [E : K] = [E : F ] : [F : K] es válida en el caso de extensiones arbitrarias, en el sentido de que [E : K] no es …nito si, y sólo si, [E : F ] o [F : K] es no …nito, y que así ambos miembros de dicha igualdad son in…nitos.

3.1. EXTENSIONES FINITAS

81

3.3) Recuérdese que el teorema de Lagrange para grupos establece que si H L G es una torre de grupos entonces (G : H) = (G : L) : (L : H) ; lo que constituye una fórmula similar a la del teorema del grado. Esto no es algo casual, como se comprobará al estudiar el teorema fundamental de teoría de Galois para extensiones …nitas. 3.4) Nótese …nalmente que, por aplicación directa del teorema del grado, si E : K es …nita de grado primo no existen extensiones intermedias entre E y K: Sea F : K una extensión de cuerpos y sea A un subconjunto de F: Con K [A] se denotará el menor subanillo de F que contiene a A y a K; es decir la intersección de todos los subanillos de F que contienen a A y a K: Con K (A) se denotará el menor subcuerpo de F que contiene a A y a K: K(A) es, entonces, el menor subcuerpo de F que contiene al subanillo K [A] : Se tiene una torre K K(A) F y se dirá que K(A) es el subcuerpo de F generado por A sobre K: También se dirá que K(A) : K es la subextensión de F : K generada por A: En particular, si A = fx1 ; ::::; xn g ; se escribirá K(A) = K (x1 ; ::::; xn ) ; y también K [A] = K [x1 ; ::::; xn ] : El cuerpo K(A) es el cuerpo Q(K [A]) de fracciones de K [A] (2.2.1). De…nición 3.1.3 La extensión K (x1 ; ::::; xn ) : K es …nitamente generada, y fx1 ; ::::; xn g es un conjunto de generadores de dicha extensión. Se dirá que la extensión K(x) : K es simple, o que K(x) es una extensión simple de K: Proposición 3.1.4 Sea F : K una extensión de cuerpos y fx1 ; :::; xn g F: Sea 'x1 ;::::;xn : K [X1 ; :::; Xn ] ! F el único homomor…smo de anillos tal que 'x1 ;::::;xn =K = idK y tal que 'x1 ;::::;xn (Xi ) = xi para cada i = 1; 2; :::; n (evaluación en fx1 ; ::::; xn g (2.3.1)). Entonces K [x1 ; ::::; xn ] = ff (x1 ; ::::; xn ) j f 2 K [X1 ; :::; Xn ]g = Im 'x1 ;::::;xn , y cada elemento

2 K (x1 ; ::::; xn ) es de la forma =

f (x1 ; ::::; xn ) = f (x1 ; ::::; xn ) :g (x1 ; ::::; xn ) g (x1 ; ::::; xn )

1

con f; g 2 K [X1 ; :::; Xn ] y g (x1 ; ::::; xn ) 6= 0 Demostración. Si B es un subanillo de F que contiene a K y al conjunto A = fx1 ; ::::; xn g ; entonces el único homomor…smo de anillos :

82

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

K [X1 ; :::; Xn ] ! B tal que (a) = a; 8a 2 K; y tal que (Xi ) = xi ; para i = 1; 2; :::; n; (2.3.1) está de…nido por 1 0 X X @ ar1 ;r2 ;:::;rn xr11 xr22 :::xrnr : ar1 ;r2 ;:::;rn X1r1 X2r2 :::Xnrr A = r1; r2 ;:::;rn

r1; r2 ;:::;rn

Por la unicidad de , se tiene necesariamente que 'x1 ;::::;xn = j ; denotando B, y con j : B ,! F la inclusión. Así resulta que A; K Im 'x1 ;::::;xn por tanto, Im 'x1 ;::::;xn es el menor subanillo de F que contiene a A y a K: Por otra parte, es evidente que ff (x1 ; ::::; xn ) j f 2 K [X1 ; :::; Xn ]g = Im 'x1 ;::::;xn :

Si E es un subcuerpo de F que contiene a K y a A entonces E contiene a K [x1 ; ::::; xn ] y al inverso de cada uno de sus elementos no nulos. Por lo tanto, f (x1 ; ::::; xn ) g (x1 ; ::::; xn ) 1 2 E si f; g 2 K [X1 ; :::; Xn ] y g (x1 ; ::::; xn ) 6= 0: Así el conjunto de tales productos f (x1 ; ::::; xn ) g (x1 ; ::::; xn ) 1 está con(x1 ;::::;xn ) (x1 ;::::;xn ) tenido en E: Ahora, para = fg11 (x y = fg22 (x (con g1 (x1 ; ::::; xn ) 1 ;::::;xn ) 1 ;::::;xn ) y g2 (x1 ; ::::; xn ) no nulos) se tiene f1 (x1 ; ::::; xn ) g2 (x1 ; ::::; xn ) f2 (x1 ; ::::; xn ) g1 (x1 ; ::::; xn ) = g1 (x1 ; ::::; xn ) g2 (x1 ; ::::; xn ) (f1 g2 f2 g1 ) (x1 ; ::::; xn ) = ; (g1 g2 ) (x1 ; ::::; xn ) =

(f1 g2 )(x1 ;::::;xn ) 1 y = (g si 6= 0; es decir, dicho conjunto es subcuerpo de F 1: f2 )(x1 ;::::;xn ) y, por lo tanto, es el menor subcuerpo de F que contiene a K y a A: Obsérvese que una parte importante del razonamiento anterior puede ser obviada a la luz de la proposición 2.2.1. En particular si 2 F;

K [ ] = ff ( ) j f 2 K [X]g y K( )=

f( ) j f; g 2 K [X] y g ( ) 6= 0 : g( )

Si F : K es una extensión y si se denota con < x1 ; x2; :::; xn >K el Ksubespacio de F generado por los elementos x1 ; x2; :::; xn 2 F; es decir el

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

83

conjunto de las combinaciones lineales con coe…cientes en K de dichos elementos, entonces se tiene trivialmente que < x1 ; x2; :::; xn >K

K [x1 ; x2; :::; xn ]

F

ya que, si = a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn 2< x1 ; x2; :::; xn >K ; se tiene = 'x1 ;::::;xn (f ) 2 K [x1 ; x2; :::; xn ] ; en donde f = a1 X1 + a2 X2 + ::: + an Xn : Por lo tanto, si los elementos x1 ; x2 ; :::; xn 2 F generan F como K-espacio, también se tiene K [x1 ; x2; :::; xn ] = F: En particular, toda extensión …nita es …nitamente generada. Si K y F son subcuerpos de un mismo cuerpo E, entonces K [F ] = F [K] es el menorP subanillo de E que contiene a K y a F: Sus elementos son expresiones i ai bi con solamente un número …nito de sumandos no nulos, donde ai 2 K y bi 2 F , ya que el conjunto de tales expresiones es un subanillo de E que contiene a K y a F; y todo subanillo de E que contenga a K y a F debe contener también a dichas expresiones. El menor subcuerpo de E P que ab contiene a K y a F es ahora el conjunto de elementos de la forma = P i a0i bi0 j j j con numerador y denominador (éste último no nulo) elementos de F [K]. La comprobación es una simple aplicación de (2.2.1), pues de nuevo, KF es el cuerpo de fracciones de K [F ] = F [K]. De…nición 3.1.5 A dicho subcuerpo de E se le denotará con KF = F K y se le denominará composición de K y F: Nota 3.1.6 Sean F : K y E : K tales que E; F son subcuerpos de un cuerpo L; y tal que existe un subconjunto A de L con E = K(A): Entonces EF = F (A): En efecto F EF y A E EF; y así F (A) EF: También E = K(A) F (A) y F F (A) proporciona EF F (A): Esta propiedad será usada frecuentemente en el caso en que A es un conjunto …nito. En particular, si E y F son subcuerpos de un cuerpo L; ambos extensiones de K; y E = K( 1 ; 2 ; :::; n ); entonces EF = F ( 1 ; 2 ; :::; n ):

3.2.

EXTENSIONES ALGEBRAICAS

De…nición 3.2.1 Sea F : K una extensión de cuerpos. Un elemento 2 F se dice que es algebraico sobre K si existe un polinomio no nulo f 2 K [X]

84

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

tal que f ( ) = 0; es decir si es un cero de algún polinomio no nulo f con coe…cientes en K: Si 2 F no es algebraico sobre K se dirá que es trascendente sobre K: Se dirá que la extensión F : K es algebraica si todo elemento 2 F es algebraico sobre K; y se dirá que es trascendente en caso contrario. Ejemplos 1.- Cada 2 K es algebraico sobre K ya que dicho elemento es cero del polinomio X 2 K [X] : 2.- La extensión C : R es algebraica, pues si = a + bi 2 C; y = a bi denota el conjugado, entonces

= X2

f (X) = (X

)(X

( + )X +

= X2

)=

2aX + a2 + b2

es un polinomio no nulo con coe…cientes reales y f ( ) = 0: 3.- La extensión R : Q es trascendente. C. Hermite (1873) y F. von Lindemann (1882) probaron, respectivamente, que los números reales e y son transcendentes sobre Q: En la sección 6.2 daremos una prueba de la trascendencia de : p p 4.- i; 7; 3 5; son elementos de C algebraicos sobre Q , y por p lo tanto 2 sobre R (observación 3.6). En efecto, i es un cero de X + 1; 7 lo es de p 3 2 3 X 7; y 5 de X 5; todos ellos polinomios no nulos con coe…cientes racionales. p 5.- También = 2 + i 2 C, que sobre R (ejemplo 2), p es algebraico 2 lo es también sobre Q, pues i = 2 =) 2i 1 = 2 =) 2i = 2 2 3 =) 4 2 = ( 2 3) =) 4 2 2 + 9 = 0; es decir es un cero de X 4 2X 2 + 9 2 Q [X] : Sin embargo no todo elemento de C es algebraico sobre Q (e y son trascendentes sobre Q ya que lo son sobre R) 6.- Con K [X1 ; :::; Xn ] se denota el anillo de polinomios en las n variables (o indeterminadas) X1 ; :::; Xn ; y con K (X1 ; :::; Xn ) su cuerpo de fracciones que se conoce con el nombre de cuerpo de funciones racionales en dichas variables. Cada una de las indeterminadas Xi es trascendente sobre K: OBSERVACIONES. 3.5) Si ' : K [X] ! F es la evaluación en , entonces es algebraico sobre K si, y sólo si, Ker(' ) 6= 0; es decir, si y sólo si, ' no es inyectivo.

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

85

3.6) Si 2 F es algebraico sobre algún subcuerpo K 0 de K; entonces es también algebraico sobre K ya que K 0 [X] K [X] : 3.7) Si es un cero de f 2 K [X] lo es también de c 1 :f siendo c 2 K f0g : En particular, si se toma c =coe…ciente principal de f; existe un polinomio mónico (es decir de coe…ciente principal 1) del cual es un cero. 3.8) Sea F : K una extensión y 2 F: 3.8.A) es trascendente sobre K si, y sólo si, ker(' ) = 0 y entonces Im ' = K [ ] es isomorfo al anillo de polinomios K [X] : Obsérvese que K[X] no es cuerpo en ningún caso, y, como consecuencia, si K [ ] = K ( ) ; es decir, si K [ ] es un cuerpo, entonces necesariamente ker(' ) es un ideal no nulo (y maximal), con lo cual existe f 2 ker(' ); f 6= 0 tal que f ( ) = 0; es decir, es algebraico sobre K: 3.8.B) Si es algebraico sobre K; es decir, si ker(' ) 6= 0; entonces Im ' = K [ ] t K [X] = ker(' ) es un dominio de integridad al ser subanillo del cuerpo F y, por lo tanto, ker(' ) = fg 2 K [X] j g( ) = ' (g) = 0g es un ideal primo no nulo del anillo K [X]. Como K [X] es un DIP el ideal ker(' ) está generado por un elemento irreducible g (X) 2 K [X] ; es decir ker(' ) = (g). Ahora, si c es el coe…ciente principal de g entonces, poniendo f (X) = c 1 :g(X) resulta que (f ) = (g); y f tiene coe…ciente principal 1; es decir f es un polinomio mónico. Recuérdese que para un dominio de ideales principales A; dos elementos a y b del anillo A generan el mismo ideal si, y solamente si, a y b son asociados (2.2.5), es decir si existe una unidad u de A tal que a = u:b: En nuestro caso (A = K [X]) si dos polinomios mónicos f y h generan el mismo ideal de K [X] ; se tiene f = h; pues las unidades de K [X] son los elementos no nulos de K; al ser f y g asociados, deberá ser f = u:h con u 2 K; y así u = 1 por la igualdad entre los coe…cientes principales de los polinomios f y u:h: Por lo tanto, para nuestro elemento 2 F algebraico sobre K existe un único polinomio mónico f (X) 2 K [X] tal que ker(' ) = (f (X)) : Como el ideal ker(' ) es primo, nuestro polinomio f (X) es irreducible. Recuérdese que en un DIP A; un elemento p 2 A es irreducible si, y sólo si, el ideal (p) es primo (2.2.10). Recuérdese también que en dicho anillo A un ideal no nulo I es primo si, y solamente si, I es maximal (2.2.10). Conjugando 3.B) con lo anterior, para una extensión F : K y para un 2 F; podemos enunciar ahora " es algebraico sobre K si y sólo si K [ ] es cuerpo" Podemos probar ahora el siguiente

86

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Teorema 3.2.2 Sea F : K una extensión de cuerpos y 2 F un elemento algebraico sobre K: Entonces i) K [ ] = Im ' t K [X] =(f ) en donde f es un polinomio mónico irreducible de grado 1: ii) K [ ] = K ( ) : iii) Para un g 2 K [X] ; g( ) = 0 () f divide a g en K [X] : iv) f es el único polinomio mónico irreducible en K [X] tal que f ( ) = 0: v) f es el polinomio mónico de menor grado en K [X] tal que f ( ) = 0: Demostración. La a…rmación i) es inmediata consecuencia de nuestras consideraciones previas. La ii) es consecuencia de la Proposición 3.1.4 y del hecho de que, siendo ahora el anillo K [ ] t K [X] =(f ) un cuerpo (última parte de la observación 3.8.B), entonces K [ ] es el menor subcuerpo de F que contiene a K y a : Por lo tanto K [ ] = K ( ) : La iii) es inmediata, ya que un polinomio g 2 K [X] es tal que ' (g) = g( ) = 0 si, y solamente si, g 2 Ker(' ) = (f ); es decir si, y sólo si, g es múltiplo de f en K [X] : La a…rmación iv) resulta del hecho de que si, g es irreducible en K [X] y además g 2 (f ); necesariamente se tiene g = h:f con h una unidad de K [X] (es decir, con h 2 K ) ya que g es irreducible. Por tanto, si además g es mónico resulta h = 1 con lo cual f = g: La v) se obtiene de que g 2 (f ) =) @(f ) @(g) ya que el grado de un producto de polinomios (con coe…cientes en un dominio de integridad) es la suma de los grados de los factores. De…nición 3.2.3 Sea F : K una extensión de cuerpos y 2 F un elemento algebraico sobre K: El único polinomio mónico f (X) irreducible en K [X] tal que f ( ) = 0 se llamará el polinomio irreducible de sobre K y se denotará f = Irr( ; K): A la vista de v) anterior, a Irr( ; K) se le denomina también polinomio mínimo de sobre K. Proposición 3.2.4 Sea F : K una extensión de cuerpos y 2 F un elemento algebraico sobre K: Entonces i) [K ( ) : K] = @(Irr( ; K)): ii) Si @(Irr( ; K)) = n; el conjunto f1; ; 2 ; :::; n 1 g es una base de K ( ) como K-espacio vectorial.

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

87

Demostración. i) Es evidente consecuencia de ii): Para probar ii) obsérvese que si = g( ) 2 Im(' ) = K ( ) con g 2 K [X] ; entonces g = f:q + r donde q; r 2 K [X] y además r = 0 o bien @(r) < @(f ) = n (recuérdese que K [X] es un dominio euclídeo cuya norma euclídea es el grado). Se tiene así que = g( ) = f ( ):q( ) + r( ) = r( ); y como r = at X t + at 1 X t 1 + ::: + a1 X + a0 con las ai 2 K y t = @(r) < n, resulta = r( ) = at t +at 1 t 1 +:::+a1 +a0 : Por lo tanto f1; ; 2 ; :::; n 1 g es un sistema de generadores de K( ) como K-espacio. Para probar la independencia lineal sobre K de estos elementos, sea bn 1 n 1 +bn 2 n 2 +:::+b1 +b0 = 0; con b0 ; b1 ; :::; bn 2 ; bn 1 2 K: El polinomio h(X) = bn 1 X n 1 + bn 2 X n 2 + :::+b1 X +b0 2 K [X] es tal que h( ) = 0; y por lo tanto h 2 (f ); pero ello solamente es posible si h = 0; pues en otro caso sería n 1 @(h) @(f ) = n: Ejemplos p polinomio X 2 2 2 Q [X] 1.- 2 2 R es algebraico sobre Q pues p es cero del que es irreducible en Q [X]p; y así Irr( 2; Q) = X 2 2: Según lopque establece la Proposición 3.2.4, 1; 2 constituye una Q-base de Q 2 ; y por lo p p tanto, cada elemento 2 Q 2 admite una única expresión = a + b 2 con a; b 2 Q. p p 2.- Sea = 1 + 3 2 R. Entonces ( 2 1)2 = 3; y por lo tanto es un cero del polinomio X 4 2X 2 2 2 Q [X]. Este polinomio es irreducible Q [X] (criterio de Eisenstein para el primo p = p 2) y entonces p en p p 4 2 Q) = X 2X 2; con lo cual resulta que f1; 1 + 3; 1 + Irr( 1 + 3; p p p p p p 3; 1 + 3 1 + 3g constituye una Q-base de Q 1+ 3 :

3.- Sea ! la raíz cuarta real positiva de 2: Por el criterio de Eisenstein (para p = 2) el polinomio X 4 2 es irreducible en Q [X] y tiene a ! como raíz. Por tanto ! es algebraico sobre Q, Irr(!; Q) =X 4 2; y [Q (!) : Q] = 4: Entonces f1; !; ! 2 ; ! 3 g es una Q-base de Q (!) ; y cada elemento de Q (!) admite una única expresión = a + b! + c! 2 + d! 3 con a; b; c; d 2 Q ¿Cuál es la expresión de = 1 + ! 2! 6 2 Q (!) como Q combinación lineal de la citada base? El siguiente cálculo determina la respuesta. = 1 + ! 2! 6 = '! (1 + X 2X 6 ) = = '! X 4 2 2X 2 + 4X 2 + X + 1 = = '! X 4 2 '! 2X 2 + '! 4X 2 + X + 1 =

4! 2 + ! + 1:

88

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Una forma alternativa de proceder consiste en utilizar que ! 4 = 2 para reducir los exponentes en la expresión original de : Proposición 3.2.5 Toda extensión …nita es algebraica. Demostración. Sea F : K una extensión …nita. Se trata de probar que cada 2 F es algebraico sobre K: Se tiene K K ( ) F: En virtud del teorema del grado [K ( ) : K] es también …nito ya que divide a [F : K]. Si [K ( ) : K] = n; y si los n + 1 elementos 1; ; :::; n 2 K ( ) son diferentes, entonces son necesariamente K-linealmente dependientes, y por lo tanto existen a0 ; a1 ; :::an 2 K , no todos nulos, tales que a0 + a1 : + ::: + an : n = 0: El polinomio no nulo f (X) = an :X n + ::: + a1 :X + a0 2 K [X] es tal que f ( ) = 0: Si, por el contrario, existen i 6= j, con 0 i < j n; tales que i = j ; entonces j i = 1, lo que indica que es un cero del polinomio X j i 1 2 K [X]. En cualquier caso resulta que es algebraico sobre K. Corolario 3.2.6 Sea F : K una extensión y sea 2 F un elemento algebraico sobre K. Entonces la extensión K ( ) : K es algebraica. Demostración. Por la Proposición 3.2.4 la extensión K ( ) : K es …nita y por la Proposición 3.2.5 es, entonces, algebraica. Proposición 3.2.7 Para una extensión F : K son equivalentes las a…rmaciones i) F : K es …nita. ii) F : K es …nitamente generada por elementos algebraicos sobre K. Demostración. \i) =) ii)" Si fx1 ; x2; :::; xn g es una K base de F también se tiene F = K [x1 ; x2; :::; xn ] (véase el comentario posterior a la Proposición 3.1.4). Además, como consecuencia de la Proposición 3.2.5, cada xi es algebraico sobre K y F = K (x1 ; x2 ; :::; xn ) al ser F cuerpo. \ii) =) i)" Sea F = K ( 1 ; 2 ; :::; n ) con i algebraico sobre K; para cada i = 1; 2; :::; n, y por tanto sobre K ( 1 ; 2 ; :::; i 1 ). Se tiene así una torre K

K( K( K(

1)

K( 1 ; 2 ; :::; 1 ; 2 ; :::;

1; i n

2)

= K ( 1) ( 2) K ( 1 ; 2 ; :::; 1) K ( 1 ; 2 ; :::; 1)

K ( 1; i 1) ( i) n) = F

2) ( 3)

:::

:::

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

89

en la que cada paso es una extensión simple generada por un elemento algebraico y por lo tanto …nita, en virtud de la proposición 3.2.4. Ahora [F : K] es el producto de los grados de cada una de dichas extensiones (teorema del grado), y entonces F : K es una extensión …nita. Ya se ha dicho aquí que la extensión R : Q es trascendente y por tanto in…nita. Obsérvese que ello quizás resulte poco intuitivo si queremos pensar en la dimensión de espacios vectoriales como algo que tiene que ver única y exclusivamente con "lo ancho", "lo largo", "lo alto", etc. La naturaleza de la dimensión tiene mucho que ver también con la posibilidad de elegir coordenadas, es decir, con la naturaleza del cuerpo de coe…cientes. En particular todo espacio vectorial V de dimensión …nita sobre R es también espacio vectorial sobre Q por restricción de escalares, pero con esa estructura V no es …nito dimensional como Q espacio: Teorema 3.2.8 Para una torre K ciones i) F : K y E : F son algebraicas. ii) E : K es algebraica.

F

E son equivalentes las a…rma-

Demostración. \ii) =) i)" Es evidente usando la observación 3.6 y el hecho de que cada elemento de F es un elemento de E: \i) =) ii)" Sea 2 E y sea 0 6= f (X) 2 K [X] tal que f ( ) = 0. Entonces es algebraico sobre K (a0 ; :::; an ) ya que f (X) 2 K (a0 ; :::; an ) [X] : Así, en la torre K K (a0 ; :::; an ) K (a0 ; :::; an ) ( ) ; la extensión K (a0 ; :::; an ) : K es …nita por la proposición 3.2.7, al ser a0 ; :::; an 2 F y ser F : K algebraica, y K (a0 ; :::; an ) ( ) : K (a0 ; :::; an ) lo es también en virtud de la proposición 3.2.4. Por tanto K (a0 ; :::; an ) ( ) : K es …nita por el teorema 3.2.2, y entonces algebraica por la proposición 3.2.5. Cada elemento de K (a0 ; :::; an ) ( ) es algebraico sobre K y, en particular, también lo es. Por lo tanto E : K es algebraica. Corolario 3.2.9 Sea F : K una extensión y sea F

F

K := f 2 F j

es algebraico sobre Kg : F

F

Entonces K es cuerpo, la extensión K : K es algebraica y K contiene a cada cuerpo E tal que K E F y tal que E : K es algebraica. El cuerpo F K no tiene extensiones algebraicas propias dentro de F:

90

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS F

F

Demostración. Es evidente que K K F: Además si ; 2 K se tiene obviamente que ; y : 1 (si 6= 0) son elementos de K ( ; ) que es una extensión algebraica de K en virtud de las proposición 3.2.7. Por tanto dichos elementos de F son algebraicos sobre K y entonces pertenecen F F F a K : Por lo tanto K es cuerpo y la extensión K : K es obviamente algebraica. Es claro que cualquier subextensión de F : K constituida por F elementos algebraicos sobre K debe estar contenida en K por la propia F F F; resulta que de…nición de K : Además, si E : K es algebraica y E E : K es algebraica por el teorema 3.2.8, y en virtud de lo anterior se tiene F E K : F

De…nición 3.2.10 A K se le denominará clausura algebraica de K en F: Ejemplo R En la extensión R : Q el cuerpo Q es una extensión algebraica de Q R pero no …nita. De hecho, para cada n > 0 es posible elegir 2 Q tal que h i R R [Q ( ) : Q] = n; y por lo tanto Q ( ) Q y Q :Q [Q ( ) : Q] = n: En efecto, para cualquier número primo p > 0 el polinomio X n p 2 Q [X] p es irreducible en Q [X] (criterio de Eisenstein) y tomando = n p 2 R, que es algebraico sobre Q por ser un cerohde X n i p; se tiene [Q ( ) : Q] = R R @(Irr( ; Q)) =n. Por tanto 2 Q y así Q : Q n para todo n > 0:

3.3.

APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Finaliza este capítulo con la aplicación de los conocimientos hasta ahora adquiridos sobre extensiones de cuerpos a la solución de algunos problemas geométricos clásicos. Por ejemplo, se estudiará ahora la posibilidad de trisecar un ángulo utilizando solamente la regla y el compás, y se verá que el ángulo 3 no es trisecable, o, lo que es equivalente, que el polígono regular de dieciocho lados no se puede construir (con solamente los citados útiles de dibujo). La posibilidad de construir el polígono regular de n lados quedará establecida en su total generalidad con el teorema de Gauss-Wantzel que será probado en la parte …nal del curso. Los problemas geométricos que se resolverán en esta sección tienen su origen en el trabajo de los geómetras de la Grecia clásica, y dedicaremos

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

91

nuestra atención también a la duplicación del cubo y a la cuadratura del círculo, problemas que han llegado a ser famosos y que han permanecido sin resolver durante mucho tiempo. Nos gusta pensar que los geómetras griegos consideraban a la recta y a la circunferencia como las únicas …guras geométricas perfectas y que ese sería, quizás, el motivo por el cual todas sus argumentaciones geométricas eran consideradas (…losó…ca y estéticamente) perfectas si estaban realizadas con solamente dichas …guras básicas. En ello estaría el origen de las restricciones impuestas sobre el uso exclusivo de la regla (sin graduación) y el compás. Los griegos conocían que, en la medida que las restricciones se relajasen, ciertos problemas podrían ser resueltos. De todos modos la perfección estaba condicionada al uso de esos dos únicos útiles de dibujo. Utilizando solamente la regla y el compás pueden ser realizadas gran cantidad de construcciones geométricas. Por ejemplo, se puede trazar (construir) la mediatriz de un segmento dado o la bisectriz de un ángulo dado, y también la perpendicular o la paralela a una recta dada, que pasen por un punto dado. Estas construcciones son muy conocidas de los cursos elementales de geometría euclídea y no las detallaremos aquí. En lo que sigue, los términos construir o constructible serán sinónimos de construir o constructible con regla y compás. También conviene precisar en qué términos debe ser establecido lo que se entiende por que una determinada …gura sea constructible a partir de los datos. Por ejemplo, en la constructibilidad de la mediatriz de un segmento deberá ser considerado como dato el propio segmento, o, lo que es equivalente, los dos puntos que lo determinan; en el problema de la bisectriz de un ángulo los datos están constituidos por éste último o, equivalentemente, por el vértice y dos puntos, uno sobre cada lado. Por ello un problema de constructibilidad será planteado como el estudio de la posibilidad de obtener una …gura geométrica (o un conjunto de puntos que la determinen de modo único) a partir de un conjunto de puntos conocido. Con estas ideas intuitivas podemos plantear una FORMULACIÓN GEOMÉTRICA Sea P un conjunto de puntos del plano euclídeo R2 : Se supondrá siempre que #P 2: Las únicas operaciones elementales permitidas en un problema de constructibilidad son de dos tipos: T ipo I. Trazar la recta determinada por dos puntos de P:

92

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

T ipo II. Trazar una circunferencia con centro en un punto de P y cuyo radio es la distancia entre algún par de puntos de P. De…nición 3.3.1 Sea P R2 : A) Se dice que un punto A 2 R2 es constructible en un paso a partir de P si A está contenido en la intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias, todas ellas obtenidas a partir de P mediante operaciones elementales de los tipos I o II. B) Se dirá que un punto A 2 R2 es constructible a partir de P si existe una sucesión …nita de puntos A1 ; A2 ; :::; An = A del plano R2 tales que i) A1 es constructible en un paso a partir de P: ii) Ai es constructible en un paso a partir de P[ fA1 ; A2 ; :::; Ai 1 g ; para cada i = 2; :::; n: FORMULACIÓN ALGEBRAICA Procedemos ahora a dar una formulación algebraica de la constructibilidad que será utilizada para dar respuesta a los tres problemas clásicos. Como ya se ha dicho, consideraremos que el conjunto de datos P está constituido por al menos dos puntos, y que, tras una apropiada elección de coordenadas en R2 ; P f(0; 0) ; (1; 0)g : Ya que son constructibles la paralela y la perpendicular a una recta dada que pasan por un punto dado, es evidente que el punto (x; y) es constructible a partir de P si, y sólo si, son constructibles a partir de P los puntos (0; y) y (x; 0): Sea A 2 R2 constructible a partir de P R2 y sea A1; A2 ; :::; An = A una sucesión de puntos del plano que determine la constructibilidad de A (de…nición anterior). Para cada i = 1; 2; :::; n sea Ai = (xi ; yi ) y Ki = Ki 1 (xi ; yi ); llamando K0 = Q (P) al cuerpo generado …nitamente sobre Q por las coordenadas de todos los puntos de P:Resulta así una torre de cuerpos Q

K0 = Q(P) K1 = K0 (x1 ; y1 ) K2 = K1 (x2 ; y2 ) = K0 (x1 ; x2 ; :::; xn ; y1 ; y2 ; :::; yn ) ( )

:::

Kn =

Teorema 3.3.2 Con las notaciones anteriores se tiene [Kn : K0 ] = 2r para algún r 0:

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

93

La prueba del teorema 3.3.2 será consecuencia inmediata de la aplicación del teorema del grado (3.1.2) a la torre ( ) y del siguiente Lema 3.3.3 Con las notaciones anteriores, para cada i = 1; 2; :::; n se tiene [Ki

1

2 y [Ki

(xi ) : Ki 1 ]

1

(yi ) : Ki 1 ]

2:

Demostración. (del lema) La demostración consistirá en probar que si Ai = (xi ; yi ) es constructible en un paso a partir de P[ fA1 ; A2 ; :::; Ai 1 g ; entonces xi e yi son ceros de polinomios de grado 2 con coe…cientes en Ki 1 : Para ello deben ser estudiadas todas las posibilidades. Caso I. El punto Ai es la intersección de dos rectas diferentes r y r0 , determinadas ambas por pares de puntos de P[ fA1 ; A2 ; :::; Ai 1 g : Los coe…cientes de las ecuaciones de ambas rectas son elementos de Ki 1 ya que, por ejemplo, si r es la recta determinada por los puntos ( 1 ; 1 ), ( 2 ; 2 ) 2 P[ fA1 ; A2 ; :::; Ai 1 g ; entonces X

Y

1

1

2

2

es la ecuación de r: Ahora, si r aX + bY + c = 0; y r0

xi =

c c0 a a0

1 1 1

=0

a0 X + b0 Y + c0 = 0; se tiene

b b0 ; yi = b b0

a c 0 a c0 ; a b a0 b 0

y por lo tanto xi ; yi 2 Ki 1 en este caso (recuérdese que la oblicuidad de r y r0 proporciona ab0 a0 b 6= 0). Caso II. El punto Ai está en la intersección de una recta r aX +bY +c = 0 como la del caso I (a; b; c 2 Ki 1 ); y una circunferencia de ecuación 2 2 (X )2 + (Y )2 = 0 con ( ; ) como centro, 2 = ( 1 2) + 2 ( 1 2 ) ; y donde ( ; ) ; ( 1 ; 1 ) ; ( 2 ; 2 ) 2 P[ fA1 ; A2 ; :::; Ai 1 g ; con lo cual ; ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 2 Ki 1 : Las coordenadas xi ; yi del punto Ai deberán satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones, y si b 6= 0 se tiene yi = 2 b 1 c b 1 axi 2 Ki 1 (xi ) ; con lo que (xi )2 + ( b 1 c b 1 axi )

94

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

2

= 0; resultando así que xi es raíz de un polinomio de grado 2 con coe…cientes en Ki 1 . Se obtiene entonces [Ki 1 (xi ) : Ki 1 ] 2 y también [Ki 1 (yi ) : Ki 1 ] 2 pues Ki 1 (yi ) Ki 1 (xi ) : Si b = 0 necesariamente se tiene a 6= 0 y se puede proceder de modo más inmediato, pues en este caso 2 xi = a 1 c 2 Ki 1 ; y entonces ( a 1 c )2 (yi )2 = 0 resultando ahora [Ki 1 (yi ) : Ki 1 ] 2. Caso III. El punto Ai está en la intersección de dos circunferencias de ecuaciones fi (X; Y ) = 0; i = 1; 2; como la anterior. Este caso III se reduce al anterior observando que cada una de las circunferencias tiene la misma intersección con la otra que con el eje radical r de ambas, que es de ecuación f1 (X; Y ) f2 (X; Y ) = 0; y cuyos coe…cientes están en Ki 1 : Demostración. (del teorema) Basta con observar que [Ki

1

(xi ; yi ) : Ki

1

(yi )]

[Ki

1

(xi ) : Ki 1 ]

2;

como consecuencia del lema 3.3.3, y que, por lo tanto, [Ki = [Ki

1

1

(xi ; yi ) : Ki 1 ] =

(xi ; yi ) : Ki

1

(yi )] : [Ki

1

(yi ) : Ki 1 ]

es 1; 2 o 4: A partir de ahora supondremos que P=f(0; 0) ; (1; 0)g : También a partir de ahora, constructible (respectivamente, constructibilidad) será sinónimo de constructible a partir de P (respect. constructibilidad a partir de P). De…nición 3.3.4 Se dirá que un número real tructible el punto ( ; 0) 2 R2 :

es constructible si es cons-

Teorema 3.3.5 El conjunto C de números reales constructibles es una extensión algebraica de Q contenida en R y es cerrado para la extracción de raíces cuadradas de números constructibles positivos. Demostración. Ya que nuestro conjunto de datos P está constituido por los puntos (0; 0) y (1; 0) es inmediato obtener que todos los números enteros son constructibles. El número entero n es constructible ya que lo es el punto (n; 0) como se ve fácilmente utilizando el compás para yuxtaponer segmentos. Con el mismo método de obtiene que la suma y diferencia de

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

95

números constructibles es constructible, y el teorema de Thales permite construir cualquier número racional. También el teorema de Thales permite la construcción del producto de números constructibles y el inverso de cualquier número constructible no nulo. Por lo tanto C es una extensión de Q contenida en R. Además, si a 0 es constructible lo es también el número 1 + a; y son constructibles también la perpendicular r al eje de abscisas en el punto cuyo centro es el pie de la media(1; 0) y la circunferencia C de radio 1+a 2 triz (i.e. el punto medio) del segmento [(0; 0) ; (1 + a; 0)] : El teorema de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo establece p entonces que, si B 2 r \ C la distancia entre B y (1; 0) es a: Por lo tanto p a es también constructible y así C es cerrado para la extracción de raíces cuadradas de números constructibles positivos. Finalmente, si (x; 0) es constructible, el Teorema 3.3.2 permite obtener un cuerpo F; extensión …nita (y por tanto algebraica) de K0 = Q, que contiene al elemento x que será, entonces, algebraico sobre Q. Teorema 3.3.6 (Teorema fundamental sobre constructibilidad) Sea P= f(0; 0) ; (1; 0)g R2 : Un número real es constructible a partir de P si, y solamente si, existe una torre Q =K0

K1

:::

Km

de subcuerpos de R tales que 2 Km y [Ki : Ki 1 ] 2 para i = 1; 2; :::; m: En particular, si es un número real constructible [Q ( ) : Q] es una potencia de 2: Demostración. Si 2 R es constructible teniendo en cuenta que ahora Q (P) = K0 es el cuerpo Q al ser P= f(0; 0) ; (1; 0)g ; la aplicación del lema 3.3.3 al punto constructible A = ( ; 0) proporciona la torre de cuerpos anunciada, ya que, con las notaciones de la prueba de dicho lema, 2 Km : El recíproco será obtenido por inducción en m. Para m = 0 se tiene 2 Q por hipótesis, y todo número racional es constructible (3.3.5). Sea m > 0 y supongamos que son constructibles los elementos de Km 1 . Sea 2 Km del que se puede suponer 2 = Km 1 : Entonces, necesariamente, se tiene Km = Km 1 ( ) e Irr( ; Km 1 ) = X 2 + bX + c; en donde b; c son constructibles por ser elementos de pKm 1 . Como = b2 4c 2 Km 1 es 2 constructible, lo es también = b 2b 4c ; en virtud del teorema 3.3.5.

96

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

La última a…rmación es consecuencia de que Q ( ) Km y, por lo tanto, [Q ( ) : Q] divide a [Km : Q] que es una potencia de 2: DUPLICACIÓN DEL CUBO. Existe un mito según el cual, con ocasión de una plaga en Atenas, los atenienses recurrieron al Oráculo de Delos quien, a través de la Pitonisa, les comunicó que la solución de sus problemas pasaba por duplicar el tamaño del altar del templo de Apolo en aquella isla, el cual estaba formado por un roca tallada en forma cúbica ("Los males presentes de los delios y de los demás helenos terminarán cuando dupliquen el altar de Delos.”(Plutarco)). Pusieron manos a la obra aquellas buenas gentes y construyeron un nuevo altar cúbico, del mismo material, cuya arista era de longitud doble de la del antiguo. Como la plaga persistía, indignados, reclamaron al Oráculo el cual les dijo, a través de la habitual intermediaria, que no habían interpretado bien sus instrucciones, ya que aquellas consistían en construir un altar de la misma forma y con volumen doble del existente. Teorema 3.3.7 La duplicación del cubo es imposible utilizando solamente la regla y el compás. Demostración. Si (0; 0) y (1; 0) son extremos de una arista del cubo inicial, se trata de construir otro cubo cuya arista tenga porpextremos (0; 0) y (b;p0) tal que b3 = 2 o, lo que es equivalente, que b = 3 2: Ahora bien p 3 3 Q 2 : Q = 3 ya que Irr( 2; Q) =X 3 2, y así, por el teorema funp damental sobre constructibilidad, 3 2 no es constructible pues 3 no es una potencia de 2. CUADRATURA DEL CÍRCULO Teorema 3.3.8 (Lindemann) La cuadratura del círculo es imposible, es decir, es imposible construir con regla y compás un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado. Demostración. Si el círculo es de radio 1 (lo cual se puede suponer con un sistema de coordenadas apropiado), el lado l del cuadrado solución será tal que l2 = : Entonces, si l fuese constructible lo sería ; que, en virtud del teorema 3.3.6, debería ser algebraico sobre Q (6.2.4). TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

3.4. EJERCICIOS

97

Teorema 3.3.9 La trisección del ángulo no es posible en general. Es decir, existen ángulos que no son trisecables con regla y compás. Demostración. La prueba consistirá en demostrar que el ángulo 3 no es trisecable o, lo que es equivalente, que el ángulo 9 no es constructible. Ahora bien, un ángulo es constructible si, y solamente si, espconstructible el número real cos (y por lo tanto si, y sólo si, sen = 1 cos2 es constructible). Obsérvese que, como cos 3 = 4: cos3 3 cos ; si = 9 y se pone = 2 cos 9 ; entonces la anterior expresión del coseno del ángulo triple se transforma en 3 3 1 = 0: Si el ángulo = 9 es constructible también lo será el número real ; pero como Irr( ; Q) =X 3 3X 1 (pues este polinomio no tiene raíces racionales) resulta [Q ( ) : Q] = 3; lo que establece una contradicción con el teorema fundamental sobre constructibilidad , ya que 3 no es potencia de 2 (3.3.6). Por lo tanto, las recetas proporcionadas en todos los cursos de dibujo técnico para dibujar un polígono regular de dieciocho lados solamente permiten la obtención aproximada de dicho polígono.

3.4.

Ejercicios

1.- Sea F : K una extensión de cuerpos tal que [F : K] es primo. Pruébese que F : K es una extensión simple. p p p p p 1 + 2; cos 25 + isen 25 g 2.- Sea A = f 7; 2 + 3; e + 3; 5 7; i + 3; Determínese el polinomio irreducible sobre Q de los elementos de A que son algebraicos sobre Q. 3.- Sea E : K una extensión de cuerpos y sean

1;

2 ; :::;

n

elementos de

E: a) Demuéstrese que para 2 K[

1;

2 ; :::;

n]

i

=K[

n; 1;

2 ; :::;

i 1] [ i;

i+1 ; :::;

n]

i 1) ( i;

i+1 ; :::;

n) :

y que K(

1;

2 ; :::;

n)

b) Demuéstrese que si K[

1;

=K( 1;

1;

2 ; :::;

2 ; :::;

n]

2 ; :::; n

son algebraicos sobre K entonces

=K(

1;

2 ; :::;

n) :

98

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

p p p 4.- a) Demuéstrese que Q(i; 2) = Q(i p + 2) y que [Q(i; 2) : Q] = 4. b) Calcúlese p mínimo de i+ 2 sobre cada uno de los cuerpos: p el polinomio i) Q(i), ii) Q( 2), iii) Q(i 2). p p 5.- Pruébese que Q 3 + 4i + 3 4i : Q = 1 y que q q p 1+ 3+ 1 Q

p

3

: Q 6= 1:

6.- Sea F : K una extensión de cuerpos y 2 F un elemento algebraico sobre K tal que Irr( ; K) tiene grado impar. Pruébese que 2 es algebraico sobre K y que K( ) = K( 2 ). 7.-a)Determínese el grado p de la p extensión Q( ) : Q en los siguientes casos: p i) = 2 + 3; ii) = 1 + 3 2 + 3 4: p p b) Calcúlese el polinomio mínimo de 3 2 + 3 4 sobre Q: p 8.- Sea F = Q( 1 ; :::; n ) con 2i 2 Q ,8i = 1; :::; n. Pruébese que 3 2 2 = F. p p 9.- Hállese el grado de la extensión Q( 2; 5; i) : Q. 10.- Sea F : K una extensión …nita y f 2 K[X] un polinomio irreducible sobre K con grad(f ) > 1. Demuéstrese que si m:c:d: (@(f ); [F : K]) = 1, entonces f no tiene ceros en F . 11.- Sea F = K ( ; ), siendo y elementos algebraicos sobre K de grados n y m, respectivamente. Si m y n son coprimos, pruébese que [K ( ; ) : K] = n:m y que Irr( ; K) es irreducible sobre K ( ). ¿Cuál es el grado de la extensión K (a) \ K ( ) : K? 12.- Sean E : K y F : K extensiones …nitas de grados n y m respectivamente, ambos E y F subcuerpos de un cuerpo : Demuéstrese que si n y m son primos entre si entonces [EF : K] = nm: p p p p p p = Q 2 ; ii) Q( 2; 3) : Q = 4; iii)Q 2; 3 = 13.-a) Pruébese: i) 3 2 p p Q 3 2 : p p p b) Calcúlese el polinomio irreducible de 3 2 sobre Q 3 . p p p c) Sea = 5 2. Calcúlese Irr( ; Q 2; 3 ): p p 14.- a) Determínese una base de Q 2; 3 2 como Q-espacio.

3.4. EJERCICIOS

99

p p p p p b) Dedúzcase que 6 2 2 Q 2; 3 2 y que Q 2; 3 2 es una extensión simple de Q. p p c) Demuéstrese que Irr 2 + 3 2; Q = X 6 6X 4 4X 3 +12X 2 24X 4: 15.- Sea una raíz de X 3 + 2X + 2 2 Q[X]. a) Exprésense los elementos 1 , 2 +1 +1 y u = Q-combinación lineal de una Q -base de Q ( ) : b) Determínese Irr (u; Q) e Irr(1= ; Q):

6

+2

4

+2

3

+ 6 como

16.- Sea F : K y f 2 K [X] mónico e irreducible de grado 3. Supongamos que ; ; 2 F son tres ceros distintos de f . Pruébese que: a) [K( ) : K] = 3. b) es raíz de un polinomio de grado 2 con coe…cientes en K( ). c) K ( ; ; ) = K ( ; ). d) La extensión K ( ; ; ) : K es de grado 3 o de grado 6. p p 1+ 3 17.- Sea F = Q p p a) Calcúlense los polinomios irreducibles de = 1 + 3 sobre Q y p sobre Q 3 : b) Calcúlese [F : Q]. 18.- Sea E : K y ; 2 E elementos algebraicos sobre K. a) Demuéstrese que @ (Irr( ; K)) = @ (Irr(a 1 ; K)) : b) Si [K( ) : K] = 3 y [K( ) : K] = 8, demuéstrese que Irr( ; K) = Irr(a; K( )): 19.- Sea f (X) = X 6 2 2 Q[X] y sea un cero de f (X) en C. Expresar 1 como combinación lineal de una Q-base de Q ( ) y calcular Irr( 1 ; Q). 20.- a) Sabiendo que 1+i es un cero del polinomio f (X) = X 4 X 3 +X 2 + 2, descompóngase f (X) en p p de irreducibles en Q [X] y en C [X] : p producto b) Demuéstrese que f 2; 3 2; 5 2g es un conjunto linealmente independiente sobre Q. 21.- Sea f (X) = 2X 3 + 10X + 4. p a) Justifíquese en cuál de los anillos Z[X]; Q[X]; R[X]; C[X] y Q( 5 2)[X] el polinomio f es irreducible. b) Sea 2 C un cero de f . Calcúlese Irr(1 + ; Q) e Irr(a 1 ; Q):

22.- a) Sea f (X) = X 4 2X 3 + 5X 2 4X + 6 2 Q[X]. Sabiendo que p f (i 2) = 0, calcúlese la descomposición de f (X) en producto de irreducibles p en cada uno de los siguientes anillos: Z[X]; R[X] y Q( 3)[X]:

100

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

b) Justifíquese si i 2 Q[ ] en los siguientes casos: p b.l) = 2 b.2) 2 C y 3 + + 1 = 0:

3 23.- Sea 2 C un cero del polinomio X + X + 1 2 Q[:X]: p 2 a) Pruébese que Q( ) = Q( ) $ Q( 2). p b) Utilizando el apartado anterior pruébese que Irr( 2; Q) = X 6 + 4X 4 + 4X 2 8:

24.- a) Sean F : K una extensión …nita y E : K una extensión arbitraria tales que E y F son subcuerpos de un mismo cuerpo : Demuéstrese que EF : E es también extensión …nita. b) Con las mismas condiciones de a), demuéstrese que si además E : K es …nita también lo es la extensión EF : K: c) Pruébese que lo enunciado en a) permanece válido si se sustituye la condición .extensión …nita"por .extensión algebraica" d) Análogamente, pruébese que si en b) se sustituye la condición .extensión …nita"por .extensión algebraica.el enunciado resultante también es válido. 25.-Sea F : K una extensión de cuerpos y u; v 2 F: Demuéstrese que son equivalentes las a…rmaciones i) u es trascendente sobre K y v es trascendente sobre K(u) ii)El conjunto fu; vg es trascendente sobre K, es decir, si f 2 K [X; Y ] ; la condición f (u; v) = 0 solo es posible si f = 0: 26.-Sea F : K una extensión de cuerpos y fu1 ; u2 ; :::; ut g F un conjunto trascendente sobre K (es decir, que, para f 2 K [X1 ; :::; Xt ] ; la condición f (u1 ; :::; ut ) = 0 solo es posible si f = 0): Demuéstrese que, en este caso, K(u1 ; u2 ; :::; ut ) es el cuerpo de funciones racionales en t variables sobre K, es decir, el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios en t variables. 27.- Sea F = K(u1 ; u2 ; :::; un ) una extensión no algebraica …nitamente generada del cuerpo K. Demuéstrese que existe un entero t 2 f1; 2; :::; ng tal que fu1 ; u2 ; :::; ut g es trascendente sobre K y tal que la extensión F : K(u1 ; u2 ; :::; ut ) es …nita. 28.- Sea A un anillo conmutativo no …nito. a) Demuéstrese que #A = #A [X] b) Conclúyase que si fMt gt2N es una familia de A-módulos libres de rango 1; entonces # ( t2N Mt ) = #A: c) El mismo resultado se tiene si la familia fMt gt2N está constituida por A módulos libres de rango …nito.

3.4. EJERCICIOS

101

d) Si A es dominio de integridad, demuéstrese que #A = #K siendo K el cuerpo de fracciones de A: 29.- Sea K un cuerpo in…nito. Demuéstrese que si F es una extensión algebraica de K, entonces #F = #K: Como consecuencia de lo establecido en el ejercicio anterior, demuéstrese que no existe un conjunto …nito de números reales u1 ; u2 ; :::; un tal que la extensión R : Q (u1 ; u2 ; :::; un ) sea algebraica. En particular, para cada número natural n > 0 existe un conjunto ft1 ; :::; tn g R que es trascendente sobre Q:

102

CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Capítulo 4 EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES. CLAUSURA ALGEBRAICA.

4.1.

EXTENSIÓN DE ENCAJES

Recuérdese que si f : A ! B es un homomor…smo de anillos, entonces ker(f ) es un ideal de A; y que f es inyectivo si, y sólo si, ker(f ) = 0: Nuestros homomor…smos son todos propios, es decir tales que f (1A ) = 1B ; por lo tanto, si B no es el anillo nulo (i:e: si 1B 6= 0) y si A es un cuerpo, el homomor…smo f es cesariamente inyectivo pues, por lo ya dicho, ker(f ) 6= A al ser 1 2 = ker(f ); ya que en un cuerpo solamente existen dos ideales, el ideal 0 y el propio cuerpo. Los homomor…smos de cuerpos serán denominados aquí encajes, e isomor…smos si son biyectivos De…nición 4.1.1 Sean F : K y E : L extensiones de cuerpos y : K ! L un encaje. Un encaje : F ! E se dirá que extiende a si =K = ; es decir, si es conmutativo el diagrama

103

104

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

F !E "

"

K! L en el que las ‡echas verticales indican las inclusiones. También se dirá que es un encaje sobre : Si K = L y = idK se dirá que es un encaje sobre K; y si además F = E y es isomor…smo se dirá que es un K-automor…smo de F . OBSERVACIONES 4.1) Nótese que si es un encaje sobre , x1 ; :::; xn son elementos de F; y k1 ; :::kn 2 K; entonces (k1 x1 + ::: + kn xn ) =

(k1 ) (x1 ) + ::: + (kn ) (xn )

(es decir es además -semilineal). Nótese también que en el caso de que es un encaje sobre K la anterior igualdad se simpli…ca un poco y aparece como (k1 x1 + ::: + kn xn ) = k1 (x1 ) + ::: + kn (xn ) ; es decir es además una aplicación lineal entre los K- espacios F y E: 4.2) Por la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1), si : K ! L es un encaje, existe un único homomor…smo de anillos : K [X] ! L [X] tal que P (a) = (a) para todo a 2 K; y tal queP (X) = X: Entonces, para = n0 (ai )X i : El homomor…sf (X) = n0 ai X i se tiene f (X) := (f (X)) P mo es también inyectivo, pues (f (X)) = n0 (ai )X i = 0 () (ai ) = 0 para i = 0; 1; :::; nP() ai = 0 para i = 0; 1; :::; n; por ser inyectivo, y por lo tanto f (X) = n0 ai X i = 0: Nótese que f (X) 2 K [X] es mónico () f (X) 2 L [X] es mónico, y que @ (f (X)) = @ (f (X)). Además si es isomor…smo lo es también ; y, ya que, en este caso, (f (X)) = (f (X)); se tiene f (X)

2 K [X] es irreducible en K [X] () f (X) 2 L [X] es irreducible en L [X]

4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES

105

4.3) Sean : K ! L isomor…smo y : F ! L isomor…smo sobre . Entonces, 4.3.A) F : K es …nita () E : L es …nita. Ello es consecuencia de que es isomor…smo -semilineal y por tanto dimK F = dimL E: 4.3.B) Si f 2 K [X] y u 2 F; entonces u es un cero de f () (u) es un cero de f P Para f (X) = n0 ai X i 2 K [X] ; por ser P es isomor…smo se tiene: u 2 F es un cero de f () f (u) = n0 ai ui = 0 () 0 = (f (u)) = Pn (ai ) (u)i = f ( (u)) () (u) es un cero de f : 0

4.3.C) Como consecuencia de las observaciones 4.2, 4.3.A) y 4.3.B) se tiene, para u 2 F; u es algebraico sobre K, y f = Irr(u; K) () (u) es algebraico sobre L, y f = Irr( (u) ; L) De todo lo anterior resulta: Proposición 4.1.2 Si F : K y : F ! F es un K-automor…smo de F; entonces: i) Si u 2 F es un cero de f 2 K [X] ; también lo es (u) : ii) Si u 2 F es algebraico sobre K; también lo es (u) y además Irr( (u) ; K) = Irr(u; K) Demostración. Basta …jar E = F y K = L en las observaciones 4.3.A) y 4.3.B), con = idK : Teorema 4.1.3 (Teorema de extensión de encajes para extensiones simples)Sean, como antes, F : K y E : L extensiones y : K ! L un isomor…smo. Sean 2 F algebraico sobre K y 2 E algebraico sobre L. Son equivalentes las a…rmaciones siguientes: i) Existe un encaje : K( ) ! L( ) sobre tal que ( ) = : ii) Irr( ; L) = Irr ( ; K) : Además, si tal : K( ) ! L( ) existe, es un isomor…smo (sobre ).

106

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. \ii) =) i)"

Si : K [X] ! L [X] es el isomor…smo inducido por : K ! L en virtud de la propiedad universal del anillo de polinomios, se tiene el diagrama conmutativo de homomor…smos de anillos

4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES

107

! L [X]

K [X] "

" !

K

L;

en el que las ‡echas verticales son las inclusiones naturales y (X) = X (observación 4.2): El isomor…smo es tal que (Irr( ; K)) = Irr ( ; K) = Irr( ; L); por la hipótesis. Por lo tanto (Ker(' )) = (Irr( ; K)) = ( (Irr( ; K)) = (Irr( ; L)) = Ker(' ): Entonces existe un isomor…smo : K [ ] ! L [ ] tal que es conmutativo el diagrama ' Ker(' ) ,! K [X] ! K [ ] #

#

Ker '

#

'

,! L [X] ! L [ ] ;

en el cual las ‡echas horizontales de la izquierda son la inclusiones, y (f ( )) = f ( ), cualquiera que sea f (X) 2 K [X]. En particular, (X( )) = ( ) = X( ) = : Entonces se tiene el diagrama conmutativo '

K ! K [X] ! K [ ] #

#

'

#

L ! L [X] ! L [ ] en el que las composiciones de los mor…smos horizontales son, respectivamente, las inclusiones K ,! K [ ] (la superior) y L ,! L [ ] (la inferior). Como K [ ] = K ( ) y L [ ] = L ( ) (teorema 3.2.2 apartado ii)) se tiene la a…rmación i). \i) =) ii)" Es la observación 4.3.C) para u = : Existe una prueba alternativa de ii) =) i) usando que [K ( ) : K] = @(Irr( ; K) = @(Irr( ; L) = [L ( ) : L] = n;

108

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

y que, si : K ! L es un isomor…smo, existe un único isomor…smo semilineal : K ( ) ! L ( ) tal que ( i ) = i para i = 0; 1; 2; :::; n 1; es decir que transforma la K-base f1; ; 2 ; :::; n 1 g de K ( ) en la L-base 1; ; 2 ; :::; n 1 de L ( ) : Por tanto, si x 2 K ( ) es de la forma x = Pn 1 P i = h( ); con h = ni=01 ai X i entonces, i=0 ai ! n 1 n 1 X X (x) = (h( )) = ai i = (ai ) i = h ( ) i=0

i=0

La prueba …nalizará demostrando que además es homomor…smo de anillos. Si f = Irr( ; K); sean x; y 2 K ( ) y h; g 2 K [X] tales que @(h), @(g) n 1 con x = h( ) e y = g( ): Si h:g = kf + l con @(l) < @(f ) (algoritmo de Euclides en K [X]), se tiene (hg l) ( ) = 0; es decir hg l 2 (f ) y l ( ) = h ( ) g ( ) = x:y: Por hipótesis f = Irr( ; L); y (hg l) = h g : K [X] ! L [X] es homomor…smo de anillos). Por l 2 (f ) (ya que tanto (hg l) ( ) = (h g l ) ( ) = h ( )g ( ) l ( ) = 0; es decir (xy) = (l ( )) = l ( ) = h ( )g ( ) = (x) (y) : Ejemplo p Sea = 12 + i 23 2 C: El grupo cíclico f ; 2 ; 3 = 1; 4 ; 5 ; 6 = 1g (subgrupo de C ) está constituido por las raíces sextas de 1, y Irr( ; Q) = X 2 X + 1: Los posibles automor…smos : Q( ) ! Q( ) sobre Q deben ser tales que si = ( ) entonces Irr( ; Q) = X 2 X + 1: Es decir, los únicos aotomor…smos de Q( ) sobre Q son: la identidad de Q( ), y : Q( ) ! p 3 1 5 Q( ) con ( ) = = 2 i 2 = 1:

4.2.

CUERPOS DE ESCISIÓN

Uno de los objetivos de este capítulo es probar que todo cuerpo K posee una extensión algebraica K tal que todo polinomio no constante f 2 K [X] escinde en factores lineales en K [X] : Este objetivo se logrará de forma paulatina demostrando, en primer lugar, que dado un polinomio no constante f 2 K [X] ; existe una extensión …nita F : K tal que f escinde en factores lineales en F [X]. A esto se dedicará la presente sección que se inicia probando que para un tal f 2 K [X] existe una extensión simple K ( ) : K tal que f ( ) = 0: En la sección siguiente se procederá a la prueba de la existencia de K: Para nuestras argumentaciones necesitaremos un lema de carácter técnico y algunas observaciones importantes.

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN

109

Lema 4.2.1 Sea : K ! F 0 un encaje de cuerpos. Entonces existe una extensión F : K y un isomor…smo : F ! F 0 que extiende a ( es un encaje sobre ): Demostración. (K)Fes un subcuerpo de F 0 : Se considera la unión disjunta conjuntista F := K [F 0 (K)] y se de…ne la aplicación : F ! F 0 mediante (a) := a si a 2 F 0

(K) y

(a) =

(a) si a 2 K:

La comprobación de que es biyectiva es inmediata y es un ejercicio para el lector. También es obvio que =K = : De…niendo, para a; b 2 F : 1

a4b :=

[ (a) + (b)] ,

y a b :=

1

[ (a) : (b)]

se tiene (a4b) := (a) + (b) y (a b) := (a) : (b) con lo cual, si (F; 4; ) es un cuerpo, la aplicación es un isomor…smo sobre : En ese caso, además, para x; y 2 K resultará que x4y :=

1

[ (x) + (y)] =

1

[ (x) + (y)] =

1

[ (x + y)] = x + y;

y análogamente x y = x:y: Entonces si F es un cuerpo, sus operaciones son compatibles con las de K, es decir F es una extensión de K: Por lo tanto el lema quedará probado si se demuestra que con las operaciones 4; el conjunto F es cuerpo. Ahora, por ejemplo para la operación 4 se tiene asegurada la asociatividad en virtud de las igualdades a4(b4c) = a4 1 ( (b) + (c)) = 1 1 = (a) + [ (b) + (c)] = 1 = [ (a) + ( (b) + (c))] = 1 [( (a) + (b)) + (c)] = = (a4b)4c; que son consecuencia de la de…nición de la operación 4 aplicada varias veces y de la asociatividad de + en F 0 : De forma análoga se prueba la asociatividad de ; y que (F; 4) y (F f0g ; ) son grupos abelianos. La distributividad de respecto 4 se establece mediante las igualdades a (b4c) = = =

1

[ (a) : (b4c)] = [ (a) : [ (b) + (c)]] = 1 [ (a) : (b) + (a) : (c)] = 1 [ (a b) + (a c)] = (a b) 4 (a c)

1

110

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

que resultan de las de…niciones de las nuevas operaciones y de la distributividad en F 0 :

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN

111

OBSERVACIONES 4.4) Nótese que, bajo las hipótesis del lema anterior, si a0 ; a1 ; :::; an 2 K y para 2 F se pone ( ) = 0 2 F 0 ; se tiene n

n 1

(an ) : ( 0 ) + (an 1 ) : ( 0 ) 1

+ ::: + (a1 ) :

n

n 1

(an ) : ( 0 ) + (an 1 ) : ( 0 ) = an :

n

+ an 1 :

n 1

0

+ (a0 ) = 0 ()

+ ::: + (a1 ) :

0

+ (a0 ) =

+ ::: + a1 : + a0 = 0;

Lo anterior es inmediata consecuencia de que tanto como 1 son isomor…smos de cuerpos y de que jK = (y también de que 1 j (K) = 1 ). 4.5) Nótese que la observación 4.4 establece implícitamente que si : 0 n n 1 K ! F es un encaje tal que para el polinomio f (X) = an X + an 1 X + ::: + a1 X + a0 2 K [X] existe un 0 2 F 0 con f ( 0 ) = (an ) ( 0 )n + (an 1 ) ( 0 )n 1 + ::: + (a1 ) 0 + (a0 ) = 0; entonces existe un 2 F con f ( ) = an n +an 1 n 1 +:::+a1 +a0 = 0: Es decir, si se puede encontrar un encaje (como nuestro ) de K en otro cuerpo (como nuestro F 0 ) en el cual un polinomio f 2 (K) [X] tiene un cero (en nuestro caso 0 ), se habrá encontrado una extensión F de K en la cual el polinomio f 2 K [X] tiene un cero (el elemento = 1 ( 0 )): Proposición 4.2.2 Si f es un polinomio irreducible en K [X] ; existe una extensión simple K ( ) : K con f ( ) = 0; y entonces [K ( ) : K] = @(f ): Demostración. Recuérdese que en un dominio de ideales principales un elemento es irreducible si, y sólo si, genera un ideal maximal (2.2.10). Nuestro (f ) es un ideal maximal de K [X] y por lo tanto F 0 := K [X] =(f ) es un cuerpo. Si : K [X] ! K [X] =(f ) es el homomor…smo de anillos canónico, se considera la composición de los homomor…smos K ,! K [X] ! K [X] =(f ) = F 0 a

a

a + (f ) = a =

(a)

Se obtiene así un encaje : K ! F 0 y, poniendo 0 := (X) ; la sobreyectividad de proporciona F 0 = (K) ( 0 ): Ahora, si f (X) = X n + an 1 X n 1 +

112

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

::: + a1 X + a0 (se puede suponer que f es mónico, pues f y cf tienen los mismo ceros cualquiera que sea c 2 K )), de la de…nición de resulta que 0 = (f (X)) = (X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 ) = = (X)n + (an 1 ) : (X)n 1 + ::: + (a1 ) : (X) + (a0 ) = n n 1 = ( 0 ) + (an 1 ) : ( 0 ) + ::: + (a1 ) : 0 + (a0 ) ; es decir, f ( 0 ) = 0: La aplicación del lema 4.2.1 y de la observación 4.5 proporciona una extensión F : K y un isomor…smo : F ! F 0 sobre de tal modo que f ( ) = 0; en donde 2 F es tal que ( ) = 0 : Del isomor…smo 1 : F 0 ! F se obtiene además que F = K ( ) : Ahora, como ya se sabe, [K ( ) : K] = @(Irr( ; K)) = @(f ); ya que, por hipótesis, f es irreducible en K [X]. Se puede enunciar ahora el Teorema 4.2.3 (Teorema de Kronecker)Si K es un cuerpo y g 2 K [X], con @(g) 1; existe una extensión F de K con [F : K] @(g); en la que g tiene un cero. Demostración. Es consecuencia casi inmediata de la proposición anterior. Sea f un factor irreducible de g en K [X] (K [X] es un D.F.U), es decir g = f:h; donde h 2 K [X] es el producto los restantes factores irreducibles de dicha factorización). Aplicando la proposición anterior al polinomio f se obtiene un cuerpo F; extensión de K; y un elemento 2 F tal que F = K ( ), con f ( ) = 0. Como f es irreducible en K [X] se tiene [K ( ) : K] = @(Irr( ); K) = @(f ) @(g) y además g ( ) = f ( ) :h ( ) = 0:

De…nición 4.2.4 Sea K un cuerpo, f 2 K [X] con @(f ) = n extensión de K: 1.- Se dirá que f escinde (en factores lineales) en E si existen E, no necesariamente distintos, tales que f = c(X

1 ) (X

2 ) ::: (X

1 y E una 1;

2 ; ::: n

2

n)

en donde, obviamente, c es el coe…ciente principal de f: Dicho de otro modo, los únicos factores irreducibles de f; como elemento del dominio de factorización única E [X] ; son lineales.

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN

113

2.- Se dirá que E es un cuerpo de escisión de f sobre K si además se tiene E = K( 1 ; 2 ; :::; n ):

OBSERVACIONES 4.6) Aunque para un mismo polinomio f 2 K [X] se encuentren diferentes cuerpos de escisión probaremos que todos ellos son isomorfos sobre K: 4.7) Nótese que si el polinomio f 2 K [X] escinde en la extensión E de K (como en 1 de (4.2.4)) entonces el cuerpo E 0 = K( 1 ; 2 ; :::; n ) E es un cuerpo de escisión de f sobre K: 4.8) Nótese también que si f escinde en la extensión E de K, entonces los elementos 1 ; 2 ; ::: n 2 E son los únicos ceros que el polinomio f tiene en cualquier extensión F de E: En efecto, si F : E es una tal extensión y 2 F es un cero de f 2 K [X] E [X] F [X] ; resulta 0 = f ( ) = c( 1) ( 2 ) ::: ( n ) ; y por tanto alguno de las factores ( i) debe ser nulo o, equivalentemente, = i para algún i: 4.9) Obviamente, si el polinomio f 2 K [X] es lineal, entonces f escinde en K; y K es cuerpo de escisión de f sobre K; pues para f = cX + b basta ). Además K = K ( ) ya que tomar = cb 2 K para obtener f = c(X 2 K: 4.10) Si E es un cuerpo de escisión sobre K del polinomio f 2 K [X] ; y si K F E; entonces E es también un cuerpo de escisión de f sobre F; pues las condiciones de la de…nición anterior se cumplen para F en lugar de K; con los mismos 1 ; 2 ; ::: n 2 E. 4.11) Finalmente, la condición 2 de la De…nición 4.2.4 es obviamente equivalente a : 2’- f escinde en E y no existe ningún cuerpo intermedio F entre E y K tal que f escinda en F: Ejemplos 1.- Para f = X 2 + 1 2 R [X], que es irreducible en R [X] (y también enQ [X]); un cuerpo de escisión de f sobre R es el cuerpo C = R(i) de los números complejos, pues i2 = 1 proporciona la factorización f = (X i) (X + i) : 2.- También Q (i) es cuerpo depescisión de f = X 2 + 1 2 Q [X] sobre Q. 3.- Si f = X 2 5 2 Q [X] ; Q( 5) es cuerpo de escisión de f sobre Q: El siguiente teorema establece la existencia de cuerpos de escisión.

114

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Teorema 4.2.5 Sea K un cuerpo y f 2 K [X] con @(f ) = n 1: Existe una extensión E : K tal que E es cuerpo de escisión de f sobre K y [E : K] n! Demostración. La prueba se hará por inducción en n: Para n = 1 es trivial, ya que se puede tomar E = K: Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier polinomio de grado menor que n con coe…cientes en cualquier cuerpo. Por el teorema de Kronecker, existe una extensión K ( 1 ) : K tal que f ( 1 ) = 0 y [K ( 1 ) : K] n: Ahora, X 1 divide a f en K ( 1 ) [X] ; es decir, existe h 2 K ( 1 ) [X] tal f = (X 1 )h: El grado de h es n 1 < n; y, por hipótesis de inducción, existe E K ( 1 ) que es cuerpo de escisión de h sobre K ( 1 ) y además [E : K ( 1 )] (n 1)! Se tiene E = K ( 1 ) ( 2 ; :::; n ); siendo h = c(X ):::(X ); donde c =coe…ciente principal de h = coe…ciente 2 n principal de f; Ahora f = c(X 1 )(X 2 ):::(X n ); E = K( 1 ; 2 ; :::; n ); y el teorema del grado proporciona [E : K] = [E : K ( 1 )] : [K ( 1 ) : K] (n 1)!n = n! Estableceremos ahora la ünicidad" del cuerpo de escisión de un polinomio sobre un cuerpo que contenga a sus coe…cientes. Teorema 4.2.6 (Teorema de extensión de encajes para cuerpos de escisión) Sea : K ! L un isomor…smo de cuerpos y f 2 K [X] con @(f ) 1: Sea F un cuerpo de escisión de f sobre K y sea E un cuerpo de escisión de f 2 L [X] sobre L. Entonces existe un isomor…smo : F ! E sobre : Demostración. Se probará también por inducción en m = [F : K] : Si m = 1 (() F = K) entonces f escinde en K; y si f = c(X con

1;

2 ; ::: n

1 ) (X

2 ) ::: (X

n)

2 K; entonces

f =

(c) (X

(

1 )) (X

(

2 )) ::: (X

(

n ))

con lo cual f escinde en L y por tanto, necesariamente, L = E y el isomor…smo es el anunciado. Supongamos m > 1: Entonces f no escinde en K y, por lo tanto, en la factorización de f en K [X] f = cf1 f2 :::fr

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN

115

con cada fi mónico e irreducible, algún fi tiene grado > 1 (en otro caso se tendría fi = X i con i 2 K; para cada i = 1; 2; :::; r y entonces f escindiría en K): Supongamos que tal fi es el polinomio f1 : Como, por hipótesis, f escinde en F; cada fi también, ya que el conjunto de los ceros de f en F es la unión de los conjuntos de ceros de cada uno de los fi en dicho cuerpo (consecuencia de la unicidad de la factorización de f en irreducibles en F [X] en la cual son todos de la forma (X ) con 2 F al ser F cuerpo de escisión de f sobre K). Sea 2 F un cero de f1 y, por lo tanto, también de f . Así f1 = Irr( ; K) con [K ( ) : K] = @(f1 ) > 1: Entonces f = (c) f1 :::fr con f1 mónico e irreducible en L [X] ; que escinde en E, ya que f escinde en E por hipótesis. Ahora si 2 E es un cero de f1 se tiene f1 = Irr( ; L); y por el teorema de extensión de encajes para extensiones simples, existe un isomor…smo e : K ( ) ! L ( ) sobre tal que e ( ) = : Además F es cuerpo de escisión de f sobre K ( ) y E lo es de f e sobre L ( ). Por el teorema del grado se tiene [F : K ( )] < [F : K] = m al ser [F : K] = [F : K ( )] : [K ( ) : K] y [K ( ) : K] = @(f1 ) > 1; como ya se ha dicho. Es ahora cuando interviene la hipótesis de inducción, ya que [F : K ( )] < m permite suponer que existe un isomor…smo : F ! E sobre e que es isomor…smo sobre : Así es isomor…smo sobre y el teorema queda probado.

Corolario 4.2.7 (Unicidad del cuerpo de escisión) Si F y E son cuerpos de escisión de un polinomio f 2 K [X] sobre K, entonces F y E son Kisomorfos. Demostración. Aplíquese el teorema anterior al caso K = L con idK :

=

Corolario 4.2.8 Sea F un cuerpo de escisión de un polinomio f 2 K [X] sobre K; y sean ; 2 F elementos que tienen el mismo polinomio irreducible sobre K: Entonces existe un isomor…smo : F ! F sobre K (es decir un K-automor…smo de F ) tal que ( ) = : Demostración. Ya que Irr( ; K) = Irr( ; K) existe un isomor…smo : K ( ) ! K ( ) sobre K tal que ( ) = ; en virtud del teorema de extensión de encajes para extensiones simples. Se aplica ahora el teorema anterior haciendo jugar a K ( ) el papel de K; a K ( ) el papel de L y a F los papeles de F y de E en el enunciado de dicho teorema. Ello es lícito,

116

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

ya que si F es cuerpo de escisión de f sobre K; lo es también sobre K( ) (observación 4.10), notando además que F es cuerpo de escisión de f sobre K y sobre K ( ) ; ya que f tiene sus coe…cientes en K y por tanto f = f; pues =K = idK :

4.3.

CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO

En la sección anterior hemos visto que existe la posibilidad de encontrar extensiones …nitas de un cuerpo K en las que un polinomio dado f 2 K [X] escinde en factores lineales (teorema 4.2.5), y por lo tanto que existen cuerpos de escisión que, además, están determinados de modo esencialmente único como extensión de K (4.2.8). Se trata de obtener ahora una extensión K de un cuerpo dado K que contenga los ceros de todos los polinomios con coe…cientes en K y de modo que K : K sea algebraica.

Lema 4.3.1 Para un cuerpo E son equivalentes las a…rmaciones: i) Todo elemento irreducible en E [X] es un polinomio lineal. ii) Todo f 2 E [X] con @(f ) 1 escinde en E: iii) Todo f 2 E [X] con @(f ) 1 tiene un cero en E: iv) El cuerpo E no tiene extensiones …nitas propias. v) El cuerpo E no tiene extensiones algebraicas propias.

Demostración. \v) =) iv)" Es obvio ya que toda extensión …nita es algebraica. \iv) =) v)" Sea F : E algebraica y 2 F: El elemento es algebraico sobre E y entonces E( ) : E es …nita en virtud de la proposición 3.2.4 y por lo tanto E( ) = E; como consecuencia de la hipótesis iv): Cada 2 F es entonces un elemento de E y así E = F: \i) =) ii)" Si f 2 E [X] con @(f ) 1 y si f = cf1 f2 :::fr es su factorización en irreducibles en E [X] con cada fi mónico entonces, necesariamente, cada fi = X i para algún i 2 E; en virtud de la hipótesis i):

4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO

117

\ii) =) iii)" Dado un f 2 E [X] con @(f ) 1; cada i 2 E que interviene en la factorización f = c(X 1 )(X 2 ):::(X n ) en E [X] es un cero de f: \iii) =) v)" Sea F : E una extensión algebraica y sea un elemento arbitrariamente …jado en F . Sea f = Irr( ; E) 2 E [X] : En virtud de la hipótesis iii); existe un 2 E tal que f ( ) = 0 y entonces f es divisible por X en E [X] : De la irreducibilidad de f en E [X] resulta f = (X ): Ahora f ( ) = 0 proporciona = 2 E: Es decir F = E \iv) =) i)" Si f 2 E [X] es un polinomio irreducible @(f ) 1; por la proposición 4.2.2 existe una extensión E( ) : E tal que f ( ) = 0 y tal que [E( ) : E] = @(Irr( ; E)). La extensión E( ) : E es …nita, y f = c:Irr( ; E): Por la hipótesis iv) se tiene 2 E( ) = E; y por lo tanto Irr( ; E) = (X ): Así f = c(X ) es un polinomio lineal. Obsérvese que la equivalencia "i) () ii)" ya ha sido probada en (2.4.10). De…nición 4.3.2 Se dirá que un cuerpo E es algebraicamente cerrado si E satisface cualquiera de las condiciones equivalentes del lema anterior. Se dirá que E es una clausura algebraica de K si E : K es una extensión algebraica y E es algebraicamente cerrado. Antes de probar la existencia de clausura algebraica de un cuerpo, probaremos que, si existe, es esencialmente única. Explícitamente: Proposición 4.3.3 Sea K un cuerpo, F : K una extensión algebraica y L un cuerpo algebraicamente cerrado. Si : K ! L es un encaje, entonces existe un encaje : F ! L que extiende a : Si, además, L : (K) es algebraica y F es algebraicamente cerrado, entonces es un isomor…smo. En particular, dos clausuras algebraicas de un mismo cuerpo K son K-isomorfas. Demostración. Sea = = f(E; ) =E : K es subextensión de F : K y

: E ! L es un encaje sobre g :

El conjunto = no es vacío ya que (K; ) 2 =: De…nimos en = una relación de orden (comprobación estándar muy fácil) mediante (E1 ;

1)

(E2 ;

2)

:() E1

E2 y

2 =E1

=

1;

118

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

y con la cual el conjunto = es inductivamente ordenado. En efecto, si ::: (Ei ; i ) (Ej ; j ) ::: es una cadena de elementos de = el conjunto E 0 := [i Ei es un subcuerpo de F que contiene a K (comprobación sencilla) y, si se de…ne 0 : E 0 ! L mediante 0 (x) := i (x) cuando x 2 Ei ; se obtiene que 0 es un encaje sobre : Nótese que 0 está bien de…nido, ya que si x 2 Ei y x 2 Ek ; como necesariamente se tiene (Ei ; i ) (Ek ; k ) o bien 0 (Ei ; i ) (Ek ; k ) ; resulta k (x) = i (x) : Entonces (E ; 0 ) es una cota superior de dicha cadena. El lema de Zorn permite a…rmar que nuestro conjunto = tiene elementos maximales. Sea (E; ) uno de ellos. Entonces, necesariamente, E = F: En efecto, supongamos que E $ F y sea 2 F E, que por hipótesis es algebraico sobre K (y por lo tanto sobre E) y sea f = Irr( ; E): El polinomio f 2 L [X] tendrá un cero 2 L ya que L es algebraicamente cerrado, y f es irreducible en (E) [X] ya que : E [X] ! (E) [X] es isomor…smo de anillos. Entonces f = Irr ( ; (E)), y por el teorema de extensión de encajes a extensiones simples, existe un encaje ; : E ( ) ! (E) ( ) sobre ; tal que ; ( ) = : El encaje ; es también encaje sobre (ya que extiende a ), y, llamando j a la inclusión (E) ( ) ,! L; se obtiene un encaje := j y (E; ) (E ( ) ; ) : ; : E ( ) ! L que extiende a La maximalidad de (E; ) proporciona E = E ( ) ; y así resulta 2 E; en contradicción con la selección de : Por lo tanto E = F: Si además L : (K) es algebraica y F es algebraicamente cerrado se obtiene una torre de cuerpos (K) (F ) L en la cual todas las extensiones son algebraicas y (F ) es también algebraicamente cerrado (véase la observación a continuación de esta prueba). Entonces, por el apartado iv) del lema 4.3.1, resulta (F ) = L y por tanto es un isomor…smo. Si F y L son dos clausuras algebraicas de K se aplica lo anterior tomando como la inclusión de K en L, y así el isomor…smo es un K-isomor…smo. Si : E ! E 0 es un isomor…smo de cuerpos, entonces E es algebraicamente cerrado si, y solamente si, E 0 lo es también. En efecto cada f 0 2 E 0 [X] es de la forma f 0 = f para un único f 2 E [X] del mismo grado que f 0 , y un elemento 2 E es un cero de f si, y solamente si, ( ) 2 E 0 es un cero de f 0 : Por lo tanto, cada f 2 E [X] no constante tiene un cero en E si , y sólo si, cada f 0 2 E 0 [X] no constante tiene un cero en E 0 : La prueba de la existencia de clausura algébrica será realizada en varios pasos siguiendo una demostración dada por E. Artin, que ha sido tomada del

4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO

119

libro Algebra de S. Lang [LAN], y que utilizará la propiedad universal del anillo de polinomios sobre un conjunto …nito de indeterminadas (2.3.1). Teorema 4.3.4 (Teorema de Steinitz) Si K es un cuerpo existe una clausura algebraica K de K; que está determinada salvo K-isomor…smos. Demostración. En primer lugar se construirá una extensión de K en la que todo polinomio con coe…cientes en K tiene un cero. A continuación se probará que existe una extensión E : K tal que E es algebraicamente E cerrado. Finalmente, tomando K se obtendrá una clausura algebraica de K: La unicidad ha sido ya establecida en la proposición 4.3.3. Sea, entonces, S = fXf j f 2 K [X] con @(f ) 1g y sea K [S] el anillo de todos los polinomios sobre S con coe…cientes en K: En el anillo K [S] el ideal I =< ff (Xf ) j Xf 2 Sg > es propio. En efecto 1 2 I () 9f1 ; f2 ; :::; fr 2 S y 9h1 ; h2 ; :::; hr 2 K [S] tales que r X hi :fi (Xfi ) = 1: 1

Si en la expresión anterior, que involucra sólo a un número …nito t de variables Xf , se pone Xfi := Xi resulta que 1 2 I () r X

hi (X1 ; X2 ; :::; Xt ):fi (Xi ) = 1 (*):

1

Sea F una extensión …nita de K en la que cada polinomio fi tiene, al menos, un cero i (tal extensión existe, pues Qr basta con tomar F como cuerpo de escisión sobre K del polinomio g = 1 fi ). La anterior expresión (*) es una igualdad en K [X1 ; X2 ; :::; Xt ], que es subanillo de K [S], y la propiedad universal del anillo de polinomios nos permite obtener un homomor…smo de anillos : K [X1 ; X2 ; :::; Xt ] ! F tal que =K = idK , que (Xi ) = i para i = 1; 2; :::; r, y con (Xj ) = j arbitrariamente pre…jado en F para cada j 2 fr + 1; :::; tg. Entonces, " r # X 1 = (1) = hi (X1 ; X2 ; :::; Xt ):fi (Xi ) = 1

=

r X 1

hi (

1;

2 ; :::;

t ):fi ( i )

=0

120

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

lo que no es posible pues, en cualquier cuerpo, 1 y 0 son elementos diferentes. Sea ahora m un ideal maximal de K [S] tal que I m y sea : K [S] ! K [S] =m el epimor…smo canónico. Obtenemos así el cuerpo K [S] =m y un encaje : K ! K [S] =m de…nido como la composición de la inclusión K ,! K [S] con el epimor…smo : Cada polinomio f con @(f ) 1 tiene un cero en K [S] =m: En efecto, poniendo f := Xf + m 2K [S] =m resulta que (f (Xf )) = f (Xf ) + m = 0K[S]=m ya que f (Xf ) 2 m; y como (f (Xf )) = f ( (Xf )) = f ( f ) se tiene que f 2 K [S] =m es un cero de f : De este modo hemos construido un encaje : K ! F 0 = K [S] =m tal que, para cada f 2 K [X] ; con @(f ) 1; el polinomio f tiene al menos un cero en F 0 . Utilizando ahora el lema 4.2.1 y la observación 4.5, resulta que lo anterior es equivalente a probar la existencia de una extensión F1 de K tal que cada polinomio f 2 K [X] de grado 1 tiene al menos un cero en F1 . Se puede construir así, de modo inductivo, una torre de cuerpos K = F0

F1

F2

:::::

Fi

Fi+1

:::

caracterizada por la propiedad de que, para todo i; cada polinomio no constante f 2 Fi [X] tiene al menos un cero en Fi+1 : Sea E = [i Fi : Entonces E es un cuerpo que admite a cada Fi como subcuerpo (comprobación inmediata y conocida), y si f 2 E [X] existe un i tal que f 2 Fi [X] (basta tomar el índice i su…cientemente alto para que todos los coe…cientes de f pertenezcan a Fi ), por lo que, si @(f ) 1, el polinomio f tiene al menos un cero en Fi+1 E. Entonces el cuerpo E es algebraicamente cerrado y contiene a K como subcuerpo (4.3.1). E

Sea ahora K := K la extensión algebraica maximal de K en E (3.2.10). Por construcción K : K es una extensión algebraica y además K es algebraicamente cerrado. En efecto, si f 2 K [X] es de grado 1 el polinomio f tiene algún cero 2 E y entonces es algebraico sobre K. En la torre K K K ( ) todas las extensiones son algebraicas, y por tanto es algebraico sobre K (3.2.8), con lo que se tiene 2 K; por la construcción de K:

4.4. SEPARABILIDAD.

121

OBSERVACIÓN 4.12) A partir de ahora, a menudo, consideraremos a cada cuerpo K incluido dentro de "su" clausura algebraica, y si f 2 K [X] es un polinomio no constante nos referiremos a sus ceros (o raíces) dentro de K. Si F : K es una extensión algebraica y F es una clausura algebraica de F entonces F es también una clausura algebraica de K: Así las clausuras algebraicas de F y de K son iguales.

4.4.

SEPARABILIDAD.

Esta sección se dedica al estudio de la multiplicidad de las raíces de polinomios con coe…cientes en un cuerpo K, noción que está íntimamente ligada al número de encajes de su cuerpo de escisión sobre K en una clausura algebraica de dicho cuerpo. De…nición 4.4.1 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante y sea Ef un cuerpo de escisión de f sobre K: Entonces existen elementos diferentes 1 ; 2 ; :::; r 2 Ef tales que f = c (X

m1 1)

(X

m2 2)

::: (X

mr r)

:

Cada mi será denominado la multiplicidad de la raíz i de f: Una raíz i se dirá que es simple si mi = 1: En otro caso se dirá que es múltiple (doble, triple, cuádruple,..., etc, si mi = 2; 3; 4; :::; etc): OBSERVACIONES 4.13) En virtud de la unicidad de la factorización de f en Ef [X], la multiplicidad de cada i 2 Ef está determinada de modo único. 4.14) Si f 2 K [X] y E1 y E2 son dos cuerpos de escisión de f sobre K, sabemos que existe un K isomor…smo : E1 ! E2 (4.2.7). Por lo tanto, si f = c (X

m1 1)

(X

m2 2)

::: (X

n1 1)

(X

n2 2)

::: (X

mr r)

y f = c (X

nt t)

son las factorizaciones correspondientes de dicho polinomio en E1 [X] y E2 [X] ; respectivamente, entonces r = t y, salvo una permutación de índices, se tiene,

122

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

= ( i ) y mi = ni para todo i = 1; 2; :::; r: En efecto f f 2 K [X] y así resulta que i

f

= c (X ( = f = c (X

m1 (X 1 )) n1 1 ) (X

(

m2 2 )) n2

::: (X ( nt 2 ) ::: (X t)

= f ya que

mr r ))

=

en E2 [X] : De la factorización única en E2 [X] se obtiene lo anunciado. 4.15) Como consecuencia de lo anterior, aunque las raíces de un polinomio f dependen del cuerpo de escisión en que éstas se consideren, el número de diferentes raíces de f y los exponentes asociados a ellas, a los que hemos denominado multiplicidades, están determinados de modo único por f; es decir, no dependen del cuerpo de escisión en que se consideren. De…nición 4.4.2 1) Se dirá que un polinomio f 2 K [X] es separable si solamente posee raíces simples. 2) Sea F : K una extensión y sea 2 F algebraico sobre K: Se dirá que es separable sobre K si Irr( ; K) 2 K [X] es un polinomio separable. 3) Si F : K es una extensión algebraica, se dirá que F : K es separable si cada 2 F es separable sobre K: OBSERVACIÓN 4.16) Si K F E es una torre de cuerpos y 2 E es separable sobre K entonces lo es también sobre F: Ello es inmediata consecuencia de que f = Irr( ; F ) divide a g = Irr( ; K) en F [X] ; y por tanto también en el anillo F 0 [X], para cualquier F 0 cuerpo de escisión de g sobre F: De…nición 4.4.3 La aplicación ( )0 : K [X] ! K [X] ; de…nida para cada f = an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 por ( )0 (f ) = f 0 = n:an X n

1

+ (n

1) :an 1 X n

2

+ ::: + a1 ;

se denominará derivación (o K-derivación) ordinaria. A f 0 se le denominará la derivada de f: Es un sencillo ejercicio comprobar que se veri…can las bien conocidas propiedades (f + g)0 = f 0 + g 0 (f g)0 = f 0 g + f g 0 ;

4.4. SEPARABILIDAD.

123

de las que resulta que si a 2 K entonces a0 = 0 ((X + a)0 = X 0 + a0 y así 1 = 1 + a0 ), y que, por lo tanto, (a:f )0 = a:f 0 ; 8a 2 K; lo cual establece que la derivación es también un homomor…smo de K-espacios. La derivada se utiliza para el estudio de la multiplicidad de las raíces de polinomios. Proposición 4.4.4 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante y sea Ef un cuerpo de escisión de f sobre K: Un elemento 2 Ef es raíz múltiple de f si, y sólo si, es raíz de f y de f 0 : Demostración. Es obvio que si 2 Ef es raíz múltiple de f entonces (X )2 divide a f en Ef [X] ; es decir, existe h 2 Ef [X] tal que f = (X )2 h; y entonces f 0 = (X )2 h0 + 2(X )h, lo cual proporciona f 0 ( ) = 0: Recíprocamente, como es raíz de f se tiene f = (X )g en Ef [X] ; con lo cual f 0 = (X )g 0 + g: Ahora, si es raíz también de f 0 resulta f0 ( ) = ( ) g 0 ( ) + g ( ) = 0; y por tanto (X ) divide a g en Ef [X] : Es decir 9h 2 Ef [X] tal que g = (X ) h; y entonces f = (X )2 h: Proposición 4.4.5 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante. Entonces el polinomio f es separable si, y solamente si, m:c:d(f; f 0 ) = 1 en el D.F.U. K [X] : Demostración. Sea d = m:c:d(f; f 0 ) 2 K [X]. Si d es de grado 1; es decir si d no es una constante, todo cero de d (en K) es también un cero tanto de f como de f 0 ; ya que d es divisor (en K [X] y por tanto en K [X]) de ambos polinomios. Por la proposición 4.4.4 f tiene algún cero múltiple y entonces no es separable. Recíprocamente, si d = 1; el teorema de Bézout (2.2.14) a…rma que en el D.I.P. K [X] existen elementos g; h tales que 1 = f g + f 0 h. Si f no fuese separable f y f 0 tendrían alguna raíz común 2 K (4.4.4), con lo cual 1 = 1 ( ) = f ( ) g ( ) + f 0 ( ) h ( ) = 0; lo que es imposible. Corolario 4.4.6 Si f es un polinomio irreducible de K [X] y si Caract(K) = 0; entonces f es separable.

124

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. Si d = m:c:d(f; f 0 ) 2 K [X] ; d es divisor en K [X] de ambos polinomios f y f 0 y por tanto @(d) @(f ); @(f 0 ): Ahora, como la característica de K es 0, @(f 0 ) = @(f ) 1; y así @(d) < @(f ); con lo cual el polinomio d es necesariamente una constante, pues f es irreducible en K [X] (si d fuese un polinomio no constante sería un divisor de f , y no unidad en K [X]). Corolario 4.4.7 Si la característica de K es nula, toda extensión algebraica de K es separable. Aunque la resolubilidad por radicales - que en gran medida constituye el objetivo …nal del curso - será desarrollada de modo especí…co para cuerpos de característica 0, será contemplada también la resolubilidad en característica positiva de modo separado en el párrafo 4 del capítulo 6. El resto de este párrafo se dedica de modo exclusivo al estudio de la separabilidad en característica p 6= 0, hipótesis bajo la cual la teoría comienza a enriquecerse introduciendo la nueva noción de inseparabilidad. La siguiente proposición, que proporciona además una prueba alternativa de los corolarios (4.4.6) y (4.4.7), es básica para ese tratamiento. Proposición 4.4.8 Sea K un cuerpo y f un polinomio irreducible en K [X] : Entonces todos los ceros de f tienen la misma multiplicidad m: Además m = 1 si la característica de K es cero y f es separable en ese caso. Si la característica de K es un número primo p, entonces existe un número natural tal que m = p : Demostración. En primer lugar, nótese que si a es cualquier elemento no nulo de K; las raíces (y sus multiplicidades) de los polinomios f y af , son las mismas. Por ello se puede suponer que nuestro polinomio irreducible f es mónico. Sea E un cuerpo de escisión de f sobre K; y sea f = (X

m1 1)

(X

m2 2)

::: (X

mr r)

su factorización en E [X], que lo es también en E [X], donde E es la clausura algebraica de E (y de K): Para cada i que interviene en tal descomposición se tiene f = Irr( i ; K), y entonces, para cada índice i = 1; 2; :::; r; existe un E E; encaje sobre K; tal que i ( 1 ) = i , en i : K ( 1) ! K ( i) virtud del teorema de extensión de encajes a extensiones simples (4.1.3). Tal

4.4. SEPARABILIDAD.

125

encaje i : K ( 1 ) ! E admite una extensión a un encaje (que seguiremos denominando i ) i : E ! E, en virtud de (4.3.3) Como f 2 K [X] y i =K = idK se tiene (X =f

i

= (X = (X

m1 1) i

m1 1 ))

(

m1

i)

m2 2)

(X

(X

(X

i i

(

mr r)

::: (X m2 2 ))

(

m2

2 ))

=f =

::: (X

::: (X

i i

(

mr r ))

(

=

mr

r ))

y, por la unicidad de la factorización en E [X] ; se tendrá, en particular, que mi = m1 : Por lo tanto queda probada la primera parte de la proposición. Si m > 1 es la multiplicidad común de todos los ceros de f , cada raíz de f , por ejemplo la 1 , es raíz también de la derivada f 0 . Entonces f divide a f 0 en K [X] pues f = Irr ( 1 ; K) ; lo que conduce a un absurdo pues @ (f 0 ) < @ (f ) ; salvo que f 0 sea el polinomio nulo, lo cual es imposible si Caract(K) = 0 (4.4.7). Si Caract(K) = p 6= 0, y m > 1; para f = X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 se tiene f 0 = nX n

1

+ (n

1) an 1 X n

2

+ ::: + a1 = 0

por lo ya dicho, y entonces, si ai 6= 0 deberá ser i un múltiplo de p (para que iai sea nulo). Ya que los monomios X i que aparecen en f deben ser todos de exponente múltiplo de p; se puede escribir f (X) = X p:sn + ::: + ai X p:si + ::: + a0 = = (X p )sn + ::: + ai (X p )si + ::: + a0 = g1 (X p ) ; donde g1 = X sn + :: + ai X si + ::: + a0 2 K [X] y @(f ) = p@(g1 ): Nuestro polinomio g1 es irreducible en K [X] ; puesto que una factorización g1 = kh en K [X] conduciría a f (X) = g1 (X p ) = k(X p )h(X p ); lo cual no es posible por la irreducibilidad de f en K [X] ; salvo que alguno de los factores k o h sea una constante. Además 2 K es un cero de f (y en ese caso entonces f = Irr( ; K)) si, y sólo si, p es un cero de g1 (pues g1 ( p ) = f ( ) = 0), y así g1 = Irr( p ; K). Repitiendo el proceso para el polinomio g1 ; si sus raíces son múltiples, se obtendrá un polinomio g2 2 K [X], irreducible también en 2 K [X], tal que g1 (X) = g2 (X p ) y del cual (( p )p ) = p será raíz si, y sólo 2 si, 2 K es un cero de f: Ahora f (X) = g1 (X p ) = g2 (X p ) con @(f ) = p:@(g1 ) = p2 :@(g2 ): El método podrá reiterarse, obteniendo una sucesión de polinomios f; g1 ; g2 ; :::; gi ; ::de grados estrictamente decrecientes, si cada gi

126

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

tiene raíces múltiples. Como el proceso debe …nalizar tras un número …nito de pasos, existe necesariamente un tal que g solamente tiene raíces simples. De todo el proceso iterativo resulta que si 1 ; 2 ; :::; r son todos los ceros de f; nuestro g tiene a p1 ; p2 ; :::; pr por únicos ceros (que además son p p p simples). Entonces g (X) = (X 1 )(X 2 ):::(X r ): Ahora, de la factorización única de f en K [X], y de las igualdades p p f (X) = g X p = (X p 1 )(X p p p = (X = 1 ) (X 2 ) ::: (X r) m m m = (X ) (X ) ::: (X ) ; 1 2 r

p 2

):::(X p

p r

)=

se obtiene m = p : Nota 4.4.9 Se ha utilizado que en un anillo conmutativo A de característica p, si a; b 2 A; se tiene que P (a:b)p = ap :bp (lo que resulta de la conmutatividad de p A) y que (a + b) = p0 pr ap r br = ap + bp puesto que los coe…cientes pr de la última expresión son múltiplos de p para r 6= 0; 1; y p0 = pp = 1: También se ha usado que ( a)p = ap lo cual es cierto también para p = 2, pues en ese caso x = x; 8x 2 A. Corolario 4.4.10 Para una extensión F : K con Caract(K) = p 6= 0; si 2 F es algebraico sobre K; y f = Irr( ; K), entonces existe un entero 0 tal que p es separable sobre K: Además se tiene [K ( ) : K] = p K p :K : Demostración. En la demostración de la proposición anterior para el polinomio f = Irr( ; K), se obtiene el polinomio g 2 K[X] que es separable e irreducible en K[X] (de una factorización de g en K[X] y de la igualdad f (X) = g X p resultaría una factorización de f ) y además p f( ) = g = 0: Por lo tanto se tiene g = Irr( p ; K), y entonces @f = [K ( ) : K] = p :@g = p

K

p

:K

4.4. SEPARABILIDAD.

127

Nota 4.4.11 Si K es un cuerpo de característica p 6= 0; lo establecido en la nota anterior permite de…nir un encaje 'p : K ! K (denominado endomor…smo de Frobenius) de…nido por 'p (a) = ap ; cuya imagen denotaremos por K p : Nótese que, si se pone b = ap 2 K p el elemento a 2 K es un cero del polinomio X p b 2 K p [X] ; y por tanto la extensión K : K p es algebraica. Obsérvese también que el polinomio X p b 2 K p [X] escinde en K; ya que X p b = (X a)p con X a 2 K [X] ; con lo que X p b es un polinomio no separable. Con las hipótesis y notaciones del párrafo anterior, supóngase además que a 2 = K p : Se tiene entonces que X p b = Irr(a; K p ): En efecto, si f = Irr(a; K p ) el polinomio f divide a X p b = (X a)p en K p [X] ; y por lo tanto f = (X a)d = X d daX d 1 + ::: + ( 1)d ad 2 K p [X] para un cierto d

p; con lo cual, en particular, da = (d;1) a 2 K p : Si se d veces

supone d < p; el elemento d;1 = 1 + ::: + 1 2 K p no es nulo, y entonces resulta que a = (d;1) 1 da 2 K p , en contra de la hipótesis. Se tiene entonces d = p; y por tanto f = (X a)p = X p b y f es un polinomio irreducible en K p [X] pero no separable. Esto es exclusivo de los cuerpos de característica no nula y la extensión K : K p es prototipo de las que llamaremos extensiones algebraicas puramente inseparables. Se puede construir una torre de extensiones algebraicas :::

Kp 1 Kp

Kp 1 K p2

1

:::

2

Kp 1

:::

Kp

1

Kp 1 Kp

K :::

en la cual cada cuerpo está constituido por las raíces p-ésimas de los elementos del anterior más pequeño. Es muy fácil probar que si un paso de esta cadena es trivial (i.e. de grado 1), entonces todos los pasos son triviales. De…nición 4.4.12 Un cuerpo K de característica p 6= 0 se dice que es un cuerpo perfecto si 'p es isomor…smo, o lo que es lo mismo, si K = K p (y por lo tanto la anterior cadena de extensiones es trivial): Los cuerpos …nitos son perfectos (#K = #'p (K) ya que 'p es inyectivo), y lo son también los cuerpos algebraicamente cerrados (para cualquier b 2 K el polinomio X p b 2 K [X] tiene al menos un cero en K; y, por lo tanto, existe un a 2 K tal que b = ap ).

128

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Nota 4.4.13 Volviendo sobre lo descrito en la prueba de (4.4.8) se debe constatar que el número r de diferentes encajes : K( ) ! K que extienden a la inclusión: K ,! K es precisamente el número r de diferentes ceros del polinomio f 2 K [X], siendo f = Irr( ; K), y es un divisor del grado de f . La separabilidad del polinomio f tiene que ver con el valor de r, es decir, con el número de tales encajes. Así, f es separable precisamente si r = @f . En relación con la separabilidad estudiaremos entonces el número de encajes : F ! L que extienden a un encaje dado : K ! L; siendo F : K algebraica y L algebraicamente cerrado, y veremos que este número no depende más que de la extensión F : K. Para cada uno de tales encajes : F ! L L L (K) (donde (K) se tiene que (F ) : (K) es algebraica, así que (F ) (3.2.9) es algebraicamente cerrado, según se establece en la prueba del teorema de Steinitz (4.3.4)), con lo que, para este estudio será su…ciente con considerar la situación inicial en donde además L : (K) es algebraica. Para un encaje : K ! L pongamos S := f : F ! L j =K = g: Se tiene entonces Proposición 4.4.14 Sean : K ! L y 0 : K ! L0 encajes con L y L0 algebraicamente cerrados, y L : (K), L0 : 0 (K) extensiones algebraicas. Si F : K es algebraica se tiene #S = #S 0 : 1 Demostración. Poniendo = 0 : (K) ! 0 (K) nuestro se 0 extiende a un isomor…smo : L ! L (4.3.3) y es fácil ver que, para 2 S el encaje es elemento de S 0 : Como la aplicación : S ! S 0 es 0 1 0 inyectiva al serlo ; se tiene #S #S : Razonando con 1 = se obtiene de modo análogo que #S 0 #S : La importancia de este hecho motiva la siguiente

De…nición 4.4.15 Sea F : K una extensión …nita. Se denominará grado de separabilidad de dicha extensión al número de diferentes encajes : F ! K sobre K; y se denotará con [F : K]s : Dicho número es también el de extensiones a F de un encaje dado : K ! L; en donde L es un cuerpo algebraicamente cerrado cualquiera. De modo informal se puede decir que el grado de separabilidad de la extensión algebraica F : K designa el número de posibilidades de mover F

4.4. SEPARABILIDAD.

129

dentro de K dejando los elementos de K …jos (siempre se puede suponer F dentro de K, a la luz de (4.4.14)) Obsérvese que según lo establecido hasta ahora, si es algebraico y separable sobre K (por ejemplo si K es de característica nula) entonces [K( ) : K]s = #{ceros de Irr( ; K)} = @ (Irr( ; K)) = [K( ) : K]: Nota 4.4.16 Recuérdese una vez más que si K F E es una torre de extensiones algebraicas, cada encaje : F ! K = F = E sobre un encaje dado : K ! K se extiende a otro : E ! K (4.3.3): Además si f i gi2I es el conjunto de encajes de F en K sobre : K ! K; y ,si para cada i 2 I; f i;ji gji 2Ji es el conjunto de encajes i;ji : E ! K que extienden a i ; entonces, todos los i;ji son encajes sobre ; y #Ji = #Ji0 cualesquiera que sean i; i0 2 I (4.4.14): Además cualquier : E ! K sobre es uno de los i;ji ; pues su restricción a F es un encaje sobre ; y por tanto =F = i para algún i: Por lo tanto se tiene Proposición 4.4.17 Con las mismas notaciones que en (4.4.16), si I y Ji son …nitos se tiene #I = [F : K]s ; #Ji = [E : F ]s para cada i 2 I: Además [E : K]s = [F : K]s : [E : F ]s : Proposición 4.4.18 Sea F : K una extensión …nita. Entonces [F : K]s di:K] vide a [F : K] : El cociente [F[F:K] recibe el nombre de grado de inseparabilidad s de la extensión y se designa con [F : K]i : Demostración. Sea F = K( K. Se considera la torre K

K(

1)

K(

1;

1;

2)

2 ; :::;

::::::

n)

con cada

K(

en cada paso de cual se tiene [K( 1 ; :::; i+1 ) : K( Irr( i+1 ; K( 1 ; :::; i ))}, que es divisor de @(Irr(

i+1 ; K( 1 ; :::;

i )))

= [K(

1 ; :::;

1 ; :::; 1 ; :::;

i+1 )

: K(

i

n)

algebraico sobre =F

i )]s

= #{ceros de

1 ; :::;

i )] :

De la nota anterior (4.4.16) y del teorema del grado se obtiene que [F : K]s divide a [F : K] : Nótese que si F = K( ) con 2 F algebraico sobre K entonces [F : K]i = multiplicidad común de todos los ceros de Irr( ; K) y por tanto [F : K]i = p , con 0, si K es de característica p 6= 0. Si Caract(K) = 0 se tiene [F : K]i = 1:

130

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Corolario 4.4.19 Sea F : K una extensión …nita Entonces F : K es separable si, y sólo si, [F : K]s = [F : K] Demostración. Como consecuencia de (4.4.17) y del teorema del grado, si [F : K]s = [F : K] se tiene [K( ) : K] = [K( ) : K]s ; para cada 2 F: Por (4.4.13) se tiene [K( ) : K]s = #fceros de Irr( ; K)g; y entonces #fceros de Irr( ; K)g = @ (Irr( ; K)) ; es decir, Irr( ; K) es un polinomio separable y por lo tanto es separable sobre K: Recíprocamente si F : K es separable …nita, F = K( 1 ; 2 ; :::; n ) con cada i algebraico y separable sobre K (y por lo tanto sobre K( 1 ; :::; i 1 )). Como consecuencia de lo establecido hasta ahora (4.4.13) se tiene [K(

1 ; :::;

i)

: K(

1 ; :::;

i 1 )]

= [K(

1 ; :::;

i)

: K(

1 ; :::;

i 1 )]s

para cada i = 1; 2; :::; ; n: De la multiplicatividad en torres de ambos grados ((3.1.2),(4.4.17)) se obtiene [F : K]s = [F : K] : En otras palabras, si F = K ( 1 ; :::; n ) con cada i algebraico y separable sobre K entonces [F : K]s = [F : K] y así cada 2 F es separable sobre K: Corolario 4.4.20 Si F : K es una extensión, y si 1 ; 2 ; :::; n 2 F son elementos algebraicos separables sobre K entonces la extensión K( 1 ; 2 ; :::; n ) : K es separable. Como consecuencia inmediata del corolario anterior, dada una extensión F : K algebraica, el conjunto Fs (K) := fa 2 F j a es separable sobre Kg es un cuerpo extensión algebraica separable de K: Si ; 2 F son separables 1 sobre K también lo son los elementos y (si 6= 0) pues ambos son elementos de K( ; ) que es extensión separable de K (4.4.20). De (4.4.19) y de (4.4.18) se obtiene fácilmente también el Corolario 4.4.21 Una extensión …nita F : K es separable si, y sólo si, [F : K]i = 1:

4.4. SEPARABILIDAD.

131

En el otro extremo del espectro de divisores de [F : K] se encuentran las extensiones puramente inseparables De…nición 4.4.22 Se dice que la extensión …nita F : K es puramente inseparable si [F : K]i = [F : K] (o equivalentemente [F : K]s = 1). Sea K F E es una torre de extensiones …nitas Como consecuencia de (3.1.2), (4.4.17) y (4.4.18) resulta que [E : K]i = [F : K]i : [E : F ]i . Nota 4.4.23 Obsérvese que si K es de característica p y el grado de una extensión …nita F : K no es divisible por p entonces F : K es separable, ya que el grado de inseparabilidad (que siempre es una potencia de p y divisor de [F : K]) es ahora necesariamente 1. El recíproco no es cierto. En efecto, para cada entero > 0 existe una extensión F : Zp de grado que es el cuerpo de escisión sobre Zp del polinomio X p X; que es separable (5.3.1) y así lo es también la extensión F : Zp : Basta tomar un múltiplo de p para obtener una extensión separable de grado divisible por p. También es separable sobre Zp el cuerpo de escisión del polinomio X p X 1 2 Zp [X] sobre Zp ; pues dicho polinomio no tiene ningún cero en Zp (por el pequeño teorema de Fermat (4.5.2)) y por tanto es irreducible y separable (véase (5.4.25)). Proposición 4.4.24 Sea K F E una torre de extensiones …nitas. i)E : K es separable si, y sólo si, son separables E : F y F : K ii)E : K es puramente inseparable si, y sólo si, son puramente inseparables E : F y F : K: Entonces, en una extensión …nita F : K puramente inseparable cada elemento 2 F genera una extensión K( ) : K que es puramente inseparable. De…nición 4.4.25 En una extensión algebraica F : K un elemento 2 F se dirá que es puramente inseparable sobre K si K( ) : K es una extensión puramente inseparable. Si F : K es una extensión algebraica, y si el elemento 2 F es puramente inseparable sobre K; el Irr( ; K) tiene solamente un cero y su multiplicidad p es p , como consecuencia de (4.4.8). Así Irr( ; K) = (X )p = X p p y por lo tanto 2 K; para algún número natural (consúltese también el corolario 4.4.10)

132

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Nota 4.4.26 Es necesario destacar que el recíproco también es cierto. Si p 2 K para algún número natural , sea el menor de tales enteros. Entonces p p en K[X]: Por tanto Irr( ; K) = (X )n Irr( ; K) es divisor de X con n p . En todo caso n es la multiplicidad de la raíz del polinomio Irr( ; K) y, por tanto, debe ser una potencia de la característica (4.4.8). Así n = p con (para que sea n = p p ). De este modo se tiene n p p p Irr( ; K) = (X ) = (X ) =X 2 K [X], y en consecuencia p a 2 K, con lo cual = por la minimalidad de . Obsérvese que se ha probado que si es el menor número natural tal que p 2 K, entonces p Irr( ; K) = X p . Por lo tanto Proposición 4.4.27 Si F : K es una extensión de cuerpos de característica p 6= 0; un elemento 2 F es puramente inseparable sobre K si, y sólo si, existe un número natural tal que p 2 K: Si es el menor de tales p números naturales entonces Irr( ; K) = X p . Esto sugiere la siguiente de…nición De…nición 4.4.28 Se dice que una extensión algebraica (no necesariamente …nita) F : K es puramente inseparable si cada a 2 F es puramente inseparable sobre K: Nótese que a la luz de la anterior proposición, una extensión F : K es puramente inseparable si, y sólo si, para cada cada a 2 F existe un entero > 0 (que depende de ) tal que p 2 K Ejemplos 1.- Si K es un cuerpo de característica p 6= 0 y no perfecto, entonces K : K p es una extensión puramente inseparable no trivial. Si a 2 K r K p ; s t entonces Irr(a; K p ) = (X a)p . Las extensiones K p : K p (con t s) son todas puramente inseparables: 1 2.- Si K es como en el ejemplo anterior, entonces el cuerpo K p1 := 1 [ 2Z K p es una extensión algebraica no …nita puramente inseparable de K 1 (y de cualquiera de los cuerpos K p ). Nota 4.4.29

4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO

133

Para una extensión algebraica F : K de característica p 6= 0 la extensión F : Fs (K) (4.4.20) es puramente inseparable. Si a 2 F Fs (K) y f = Irr(a; K) el polinomio f no es separable y existe un entero 0 tal que ap es raíz simple de un cierto polinomio separable g 2 K[X] tal que f (X) = g(X p ) ((4.4.8) y (4.4.10)): El polinomio Irr(ap ; K) es divisor en K[X] del polinomio g y por tanto también separable. Entonces ap 2 F es separable sobre K y por tanto ap 2 Fs (K): r s Si ; son puramente inseparable sobre K y p ; p 2 K, entonces para s+r cualquier x 2 K( ; ) se tiene xp 2 K; y por lo tanto una extensión …nitamente generada por elementos puramente inseparables es puramente inseparable. En particular, para una extensión algebraica en característica p, el conjunto Fpi (K) = f 2 F j es puramente inseparable sobre Kg es un subcuerpo de F que contiene a K: Se tiene así que la extensión original F : K determina un diagrama Fs (K) "sep K

p:insep:

,!

p:insep:

,!

F "

Fpi (K):

Obsérvese que Fs (K) \ Fpi (K) = K (solamente los elementos de K son separables y puramente inseparables sobre K), y que Fs (K):Fpi (K) : Fpi (K) es separable y F : Fs (K):Fpi (K) puramente inseparable. Entonces F : Fpi (K) es separable si, y sólo si, F = Fs (K):Fpi (K): De las a…rmaciones de la nota anterior resulta fácilmente el siguiente corolario Corolario 4.4.30 Una extensión …nita es puramente inseparable si, y solamente si, está generada por un número …nito de elementos puramenete inseparables.

4.5.

TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO

El siguiente lema tendrá más aplicaciones en el futuro desarrollo de la materia, y ahora posibilita la prueba del teorema del elemento primitivo. Lema 4.5.1 Si G es un subgrupo …nito del grupo multiplicativo de un cuerpo K, entonces G es cíclico.

134

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. Sea #G = n = pr11 :pr22 ::::prt t la factorización de #G en factores primos. Para cada i = 1; 2; :::; t, sea Hi el único pi -subgrupo de Sylow de G. Entonces G = H1 :H2 :::Ht = H1 H2 ::: Ht (1.2.32). Ya que los órdenes de dichos grupos son primos entre si, bastará demostrar que cada Hi es grupo cíclico, reduciendo así el problema al caso en que el subgrupo …nito H del grupo multiplicativo del cuerpo K es un p-grupo. Sea entonces H un p-grupo que es subgrupo del grupo K y sea h 2 H de período máximo entre los períodos de los elementos de H: Dicho período es necesariamente una potencia de p; ya que divide al orden de H: Si j h j= pm , entonces, para cada x 2 H se tiene j x j= ps con s m; y por lo tanto m s pm ps p pm s =1 = 1: En consecuencia todos los elementos de H son x = x ceros (en K) del polinomio m

Xp

1 2 K [X]

que admite en K a lo sumo pm ceros. Por lo tanto #H pm y así # < h >= pm #H pm : Es decir < h >= H; por ser < h > H; ambos grupos …nitos del mismo orden pm . Proposición 4.5.2 (Pequeño teorema de Fermat) Si p es un número primo Zp es un grupo cíclico. En particular si a es cualquier número entero se tiene a ap (mod p) Demostración. El grupo multiplicativo Zp es cíclico, por aplicación directa del lema anterior, y tiene orden p 1. Por lo tanto ap 1 = 1 para todo a 2 Zp ; pues jaj es necesariamente divisor de p 1 = #Zp ; por lo tanto ap = a en este caso. Además si a := a + pZ =0 es evidente que a = ap = ap = 0: Entonces ap = a para todo a 2 Zp .

Nótese que en la prueba de la proposición anterior no es necesario conocer que Zp es cíclico, pues es su…ciente con tener ap 1 = 1 para todo a 2 Zp ; lo cual es evidente pues el período de a es necesariamente divisor de p 1 = #Zp :

Teorema 4.5.3 (Teorema del elemento primitivo) Si K es un cuerpo toda extensión …nita y separable F de K es simple, es decir, existe un 2 F tal que F = K( ): El elemento será denominado elemento primitivo de la extensión. Demostración. En primer lugar consideramos el caso en que K es un cuerpo …nito. Si F : K es …nita entonces F también es …nito pues #F =

4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO

135

(#K)[F :K] ; y por lo tanto F es cíclico (4.5.1). Si genera el grupo F se tiene también F = K( ) y la hipótesis de separabilidad no es necesaria en este caso. Se puede suponer entonces que K es un cuerpo in…nito, condición que acoge al caso de característica nula (situación en la que la hipótesis de separabilidad sería redundante también (4.4.7)). Una extensión F : K es …nita si, y sólo si, es …nitamente generada por elementos algebraicos (3.2.7). Por lo tanto existe una torre K

K(

1)

K(

1;

2)

:::

K(

1;

2 ; :::;

n)

=F

en la que cada i es algebraico y separable sobre K ( 1 ; :::; i 1 ) al serlo sobre K. Si se demuestra para n = 2 se habrá terminado la prueba ya que K( 1 ; 2 ; 3 ) = K( 1 ; 2 )( 3 ) = K( 1 )( 3 ) = K( 1 ; 3 ) = K ( 2 ) ; para ciertos 1 ; 2 2 K( 1 ; 2 ; 3 ), (que serán también separables sobre K por serlo todo elemento de F ), y, recurrentemente, obtendremos F = K ( ), para algún 2 F . Por lo tanto la prueba quedará completa si se demuestra el siguiente Lema 4.5.4 Sea K un cuerpo in…nito y E una extensión algebraica separable de K: Si ; 2 E la extensión F = K ( ; ) de K es simple. Demostración. Por la separabilidad de y , los polinomios f = Irr( ; K) y g = Irr( ; K) se factorizan en K = F cada uno de ellos en factores lineales diferentes r Y f = (X

g =

1 s Y

(X

i)

j );

1

donde, pongamos por caso, = 1 y = 1 . Como K es in…nito se puede elegir c 2 K tal que c 6= j i para todo i = 1; 2; :::; r y todo j = 2; :::; s: Si = + c 2 K( ; ) entonces K K ( ) F = K ( ; ) y es algebraico sobre K( ) al serlo sobre K. Sea g1 = Irr( ; K ( )). El polinomio g1 es también separable pues es divisor de g en K )[X], y por tanto también en F [X]. Sea h(X) = f ( cX) 2 K ( ) [X] : Entonces h ( ) = f ( c )=

136

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

f ( ) = 0; y como g 2 K [X] K ( ) [X] tiene a g1 divide a h y a g en K ( ) [X] : Por tanto f g

ceros de g1 en F

como raíz, el polinomio

ceros de g en F \ ceros de h en F :

Ahora, 8j = 2; :::; s; la raíz j de g no es un cero de h pues, en caso contrario, se tendría h j = f c j = 0; y por tanto c j = i ; para algún i 2 f1; 2; :::; rg ; con lo cual + c c j = i y de este modo sería c = i ; lo que contradice la selección de c. Por lo tanto ceros de g en F \ j

ceros de h en F = f g = ceros de g1 en F : Entonces g1 = X ; y así 2 K ( ) ; con lo que resulta = c 2 K ( ) : Se tiene ahora K ( ; ) K ( ) ; y por lo tanto la igualdad buscada F = K ( ; ) = K ( ) :

4.6.

EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL

El objetivo de esta sección es analizar más detenidamente la naturaleza de los cuerpos de escisión considerando sus posibles encajes en la clausura algebraica del cuerpo base. Este análisis tendrá gran importancia en el desarrollo de la Teoría de Galois. De…nición 4.6.1 Se dice que una extensión algebraica E : K es normal si cada polinomio f irreducible en K [X] que tiene un cero en E escinde en E. (o, "grosso modo": cada polinomio f irreducible en K [X] que tenga un cero en E tiene "todos sus ceros" en E). Ejemplos 1.- La clausura algebraica K es una extensión normal de K: 2.- Si [E : K] = 2 entonces E : K es normal. En efecto, sea f un polinomio irreducible en K [X] que tiene un cero 2 E: Veamos que f escinde en E: El elemento es algebraico sobre K; y entonces f = c:Irr( ; K) por ser f irreducible en K [X] ; donde c =coe…ciente principal de f . Ahora @(f ) = [K ( ) : K] [E : K] = 2, y por tanto, o f es lineal, y entonces escinde en K (y, como consecuencia, en E), o f = c(X )g con g 2 E [X] y @(g) = 1, con lo cual g escinde en E. Por tanto f escinde en E en cualquier caso. Recuérdese que para grupos existe el resultado: "si H es un subgrupo del grupo G y (G : H) = 2 entonces H es subgrupo normal de G". El

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL

137

parecido entre ambos resultados no es casual, como quedará claro a la vista del Teorema Fundamental de Teoría de Galois. En particular, como [C p : R] = 2, la extensión C : R es normal, y es normal también la extensión Q ( n) : Q para todo n 2 N. p 3.- Si p es un número primo la extensión Q 3 p : Q no es normal, pues p X 3 p = Irr( 3 p; Q); y este polinomio irreducible en Q [X] tiene una raíz, p p 3 p; en Q 3 p pero las otras dos raíces son complejas no reales y por tanto no son elementos de dicho cuerpo. Teorema 4.6.2 Sea E : K una extensión …nita y sea E una clausura algebraica de E (y por lo tanto de K). Son equivalentes las a…rmaciones i) La extensión E : K es normal. ii) E es cuerpo de escisión sobre K de algún polinomio f 2 K [X]. iii) Todo encaje : E ! K = E sobre K es un isomor…smo de E (es decir (E) = E). Demostración. \i) =) ii)" Como E : K es …nita, existen 1 ; 2 ; :::; n 2 E tales queQE = K( 1 ; 2 ; :::; (3.2.7): Sea fi = Irr( i ; K), para i = 1; 2; :::n, y sea f = n1 fi 2 K [X]. Ya que E : K es normal, cada polinomio fi escinde en E pues tiene en E al menos una raíz i . Como toda raíz de f es raíz de algún fi , el polinomio f escinde también en E = K ( 1 ; 2 ; :::; n ). Ahora E está generado sobre K por las raíces de f (de hecho basta con las 1 ; 2 ; :::; n pues, como ya se ha dicho, las restantes están en E = K( 1 ; 2 ; :::; n )). Entonces E es cuerpo de escisión de f sobre K. \ii) =) iii)" Sea f 2 K [X] tal que E es cuerpo de escisión de f sobre K y sea : E ! E un encaje sobre K. Entonces E = K( 1 ; 2 ; :::; n ), en donde las jK = idK y f 2 K [X] 1 ; 2 ; :::; n son todas las raíces de f en E. Como se tiene f = f , y entonces (f ( i )) = f ( ( i )) = f ( ( i )) = (0) = 0. Por tanto ( i ) es también un cero de f en E para cada i = 1; 2; :::; n. Así establece una permutación de las 1 ; 2 ; :::; n y por lo tanto (E) E. Como es también homomor…smo inyectivo de K-espacios se tiene que dimK (E) = dimK E; con lo que resulta E = (E) al ser ambos K-espacios de la misma dimensión …nita. (De modo alternativo, todos los generadores 1 ; 2 ; :::; n de E como K-álgebra son imágenes de elementos de E, con lo cual (E) = E al ser homomor…smo de K-álgebras) \iii) =) i)"

n)

138

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Sea f 2 K [X] un polinomio irreducible en K [X] que tiene un cero en E. Se trata de probar que f escinde en E. Sea 2 E = K otro cero de f . Por el teorema de extensión de encajes a extensiones simples, existe un isomor…smo : K ( ) ! K ( ) sobre K tal que ( ) = ; pues ambos elementos tienen el mismo polinomio irreducible g = c 1 f sobre K, donde c =coe…ciente principal de f . El isomor…smo determina un encaje sobre K de…nido como la composición de con la inclusión K ( ) ,! E, es decir : K ( ) ! K ( ) ,! E. Como E : K es algebraica y E es algebraicamente cerrado, nuestro se extiende a un : E ! E que es un encaje sobre K (4.3.3). En virtud de la hipótesis iii) (E) = E, y así = ( ) es un elemento de E pues 2 E. Por lo tanto cada raíz de f en E es elemento de E, y entonces f escinde en E. Este último teorema establece claramente que la condición de normalidad para extensiones …nitas es una nueva propiedad de los cuerpos de escisión. Además se tiene Corolario 4.6.3 Si K F E es una torre de cuerpos y si E : K es normal …nita, entonces la extensión …nita E : F es también normal. Demostración. E : F es …nita por (3.1.2), y en virtud del apartado ii) del teorema anterior, E es cuerpo de escisión de un polinomio f 2 K [X] sobre K y por tanto también sobre F . Veremos que, en las hipótesis del corolario 4.6.3, la extensión F : K no es necesariamente normal. El apartado iii) del teorema 4.6.2 permite establecer una condición bajo la cual sí lo es. Corolario 4.6.4 Si K F E es una torre de cuerpos y si E : K es normal …nita, entonces son equivalentes i) F : K es normal. ii) Para cada automor…smo : E ! E sobre K se tiene (F ) = F . Demostración. \i) =) ii)" Si es un automor…smo de E sobre K, el encaje como := F ,! E ! E ,! F

: F ! F = E de…nido

es necesariamente un automor…smo de F , en virtud del teorema 4.6.2, ya que, por hipótesis, F : K es normal. Como (F ) = (F ) se tiene el resultado.

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL

139

\ii) =) i)"

Como consecuencia del apartado iii) del teorema 4.6.2 bastará con demostrar que cada encaje : F ! F = E = K sobre K es un automor…smo de F . Para un tal encaje existe una extensión : E ! F ya que E : F es algebraica (por ser …nita) y F es algebraicamente cerrado (4.3.3). Como E : K es normal …nita (E) = E por el mencionado apartado del teorema 4.6.2, y, en virtud de la hipótesis, se tiene (F ) = F = (F ).

Existen torres de extensiones …nitas K F E con E : K normal, en las que F : K NO es normal, como prueba el primero de los siguientes

140

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Ejemplos 1.- Sea 2 C, 6= 1 tal que 3 = 1 (p. ej. = cos 23 + i:sen 23 = p p 1 + i 23 ). Entonces Q 3 2; es cuerpo de escisión de X 3 2 sobre Q. 2 p p p En efecto los elementos 3 2; 3 2; p2 3 2 2 C son raíces de dichoppolinomio de Q. Por lo tanto Q 3 2; : Q y todas están en la extensión Q 3 2; es una extensión …nita (está generada por un número …nito de elementos algebraicos sobre Q) y también normal (4.6.2). Sin embargo la extensión p p 3 intermedia Q 2 : Q no es normal ya que el polinomio X 3 2 = Irr( 3 2; Q) p tiene un cero en Q 3 2 pero no los restantes (en caso contrario se tendría p 1 p p = 32 R, lo cual es absurdo). : :322Q 32 Es importante señalar también que si en una torre K F E de extensiones …nitas, F : K y E : F son extensiones normales, en general NO es normal la p extensión E : K, como se ve en el siguiente ejemplo p 4 2; 2 2 R. pEntonces son normales y …nitas las extensiones 2.Sean p p p 4 Q 2 : Q y Q 2 : Q 2 y, sin embargo, la extensión …nita Q 4 2 : Q p p p p 2; e Irr( 2; Q) =X 2 2; no es normal. En efecto, Irr( 4 2; Q 2 ) = X 2 p p p por lo que Q 4 2 : Q 2 = 2 = Q 2 : Q , y así ambas extensiones p son normales. La extensión Q 4 2 : Q no es normal ya que el polinomio p p X 4 2 = Irr( 4 2; Q) no escinde en Q 4 2 ; que es un subcuerpo de R, y no todos los ceros de X 4 2 p son reales (los únicos números reales que son ceros de dicho polinomio son 4 2): Recuérdese que si L H G es una torre de grupos y si L es normal en G entonces L es normal en H; pero H puede no ser normal en G. También, aunque L sea normal en H y H sea normal en G no se tiene, en general, que L sea normal en G. Estos resultados de grupos son los correspondientes análogos a los referidos en los dos anteriores ejemplos de extensiones de cuerpos. Teorema 4.6.5 Si L : K es una extensión …nita, existe una extensión F : L que veri…ca i) F : K es normal …nita. ii) Si F 0 : K es otra extensión normal tal que K L F 0 F entonces F = F 0: El cuerpo F está determinado salvo isomor…smos sobre L y será denominado "clausura normal de L sobre K": Demostración. Por ser …nita la extensión L : K; existen (que son algebraicos sobre K) tales que L = K ( 1 ; 2 ; :::

2L n ) : Para cada 1;

2 ; ::: n

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL

141

Q i = 1; 2; :::; n, sea fi = Irr ( i ; K), y sea f = n1 fi : Si F L es cuerpo de escisión de f sobre K la extensión F : K es …nita (está generada por un número …nito de elementos algebraicos sobre K, las raíces en L del polinomio f ), y F : K es normal por el teorema 4.6.2. Como los elementos i son ceros de f en L, se tiene L = K ( 1 ; 2 ; ::: n ) F , y así la condición i) se cumple. Sea ahora F 0 : K normal y F F0 L K. Entonces, como L = K ( 1 ; 2 ; ::: n ), cada cero (en FQ= L) de fi = Irr( i ; K) es elemento de F 0 . Así, todos los ceros de f = ni fi están en F 0 , y como tales ceros son los generadores de F sobre K, se tiene F F 0 , y por lo tanto la igualdad F = F 0. Para probar laQúltima a…rmación sea, como antes, F L cuerpo de escisión de f = n1 fi sobre K, y sea E la clausura normal de L cons0 truida dentro de otra clausura algebraica L de L. Por la proposición 4.3.3 0 sabemos que existe un isomor…smo : L ! L sobre L. Entonces (F ) está generado sobre K por el conjunto ( ) j es un cero de f en L . Los 1 ; 2 ; ::: n 2 L, que son elementos de dicho conjunto, son también elementos de E, y por tanto ( ) 2 E ya que E : K es normal y cada ( ) es cero de algún fi = Irr( i ; K). Por lo tanto (F ) E, y como además (F ) : K 0 es normal (es cuerpo de escisión, dentro de L , de f = f sobre K), resulta (F ) = E por la minimalidad de la clausura normal E. Nota 4.6.6 Supóngase ahora que L : K separable y …nita. En ese caso L = K( ) para algún 2 L separable sobre K (4.5.3). El cuerpo F está ahora generado por todos los ceros en L de Irr( ; K) que es un polinomio separable. Entonces la extensión F : K es separable al ser separables sobre K todos los generadores de F ya que todos ellos tienen el mismo polinomio irreducible sobre K que (4.4.20). Si L = K ( 1 ; 2 ; :::; n ) con cada i algebraico sobre K, entonces solamente hay un número …nito de encajes : L ! K = L. En efecto cada uno de dichos encajes está determinado por los elementos ( i ) que, necesariamente, han de ser raíces de Irr( i ; K), y por tanto solamente existe un número …nito de ellos. Proposición 4.6.7 Si L : K es una extensión …nita, y 1 = idL ; 2 ; :::; t son los diferentes encajes de L en K = L sobre K, entonces la clausura normal de L sobre K es el cuerpo N = 1 (L) 2 (L) ::: t (L) :

142

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. La extensión N : K es …nita al serlo las i (L) : K para i = 1; 2; :::; t. Para probar la normalidad de la extensión sea : N ! K = L = N un encaje sobre K: La composición de la restricción de a i (L) con cada i es, necesariamente, uno de los encajes 1 = idF ; 2 ; :::; t : Pondremos i 0 i : L ! i (L) ,! N ! K = L = N : Por lo tanto, (N ) = ( = ( =

1

1

(L)

(L)) ( 0

1

2

2

(L) :::

(L)) ::: (

t

(L)) =

t

(L)) =

(L) 02 (L)::: 0t (L) = N ,

pues la composición con establece una permutación de las 1 ; 2 ; :::; t según se ha dicho. Por lo tanto la extensión N : K es normal ((4.6.2) apartado iii)), y L N . Sea ahora E : K normal con L E N . Entonces E contiene a cada uno de los cuerpos i (L) y por tanto E = N . En efecto, cada encaje 0 i : L ! K = L = N = E sobre K se extiende a un encaje i : E ! E para el cual se tiene 0i (E) = E en virtud de (4.6.2) y, por lo tanto, i (L) 0 E: i (E)

4.7.

Ejercicios

1- Sea la raíz séptima real de 3 y una raíz séptima de 1, Pruébese que Q ( ; ) es cuerpo de escisión para X 7 3 sobre Q.

6= 1:

2.- Encuéntrese un cuerpo de escisión sobre Q para cada uno de los polinomios X 4 + 5X 2 + 6; X 7 1; X 3 3X 2 + 3X 2; X 4 3; X 6 8; X 6 + 1, (X 2 3)(X 2 7), X 5 2 y (X 3 2)(X 2 7). Determínense los grados de las correspondientes extensiones sobre Q. p p 3.- Sea f = (X 12 16)(X 2 3) 2 Q[X]. Demuéstrese que E = Q 3 2; 3; i es un cuerpo de escisión para f sobre Q y calcúlese [E : Q] : 4.- Si Ef denota un cuerpo de escisión sobre Q de f 2 Q[X], encuéntrese un elemento primitivo para la extensión Ef : Q en cada uno de los siguientes casos: a) f = X 4 + 1. b) f = X 4 + 4. 5.- Obténgase el grupo de Galois de cada uno de los siguientes polinomios sobre los cuerpos que se indican:

4.7. EJERCICIOS

143

a) f (X) = X 3 X 1 2 Q [X] sobre Q: p p b) f (X) = X 3 10 2 Q [X] sobre Q; sobre Q 2 y sobre Q i 3 : p 23): c) f (X) = X 3 X 1 2 Q [X] sobrepQ( p 4 d) X 5 2 Q [X] sobre Q, sobre Q 5 ; sobre Q 5 y sobre Q (i) : 6.- Sean E : F : K extensiones …nitas de cuerpos. a) Pruébese que si E : p K es normal, entonces E : F es normal. p 3 3 b) Si K = Q; F = Q( 2), y E = Q( 2; ); siendo una raíz primitiva sexta de la unidad, pruébese que E : K es normal y que F : K no lo es. 7.- Se consideran cuerpos de escisión Ef y Eg sobre Q de los polinomios f = X 6 2 , g = X 3 2 2 Q[X], respectivamente. a) Pruébese que Eg Ef y calcular [Ef : Q] 1 b) Sea un cero de f en C. Exprésese como combinación lineal de una Q-base de Q( ) y calcúlese Irr( 1 ; Q). 8.- Sean f = (X 2 3)p(X 3 + 1) y g = (X 2 2X 2) (X 2 + 1), f; g 2 Q [X] : Pruébese que Q 3; i es cuerpo de escisión sobre Q tanto de f como de g: 9.- Justifíquense las siguientes a…rmaciones a) El polinomio X 5 9X 3 + 15X + 6 2 Q [X] p tiene al menos un cero real. b) X 5 9X 3 + 15X + 6 es irreducible en Q 3 2 [X] : p c) La extensión Q 3 2; i : Q es de grado 6 y no es normal. 10.- Sea la raíz cúbica real de 2 y una raíz cúbica de 1, 6= 1. Pruébese que Q( ; ) es un cuerpo de escisión de X 3 2 sobre Q y calcúlese [Q( ; ) : Q]. 11.- Pruébese que si f 2 K[X] es irreducible de grado n y E es un cuerpo de escisión de f sobre K, entonces n divide a [E : K]. Plantéese un ejemplo que muestre que esto no es necesariamente cierto si f no es irreducible. 12.- Sea f = X 4 + X 2 + 1 2 Q[X]. Demuéstrese que un cuerpo de escisión p 1+i 3 2 : para f sobre Q es Q( ), siendo = 2 p 13.- Sea E unpcuerpo de escisión de (X 3 2)(X 2 5) sobre Q( 3). Calcúlese E : Q( 3) : pp p 14.-Sean L1 = Q( 3) y L2 = Q( 3 + 1). Demuéstrese que L1 : Q y L2 : L1 son normales y que L2 : Q no lo es. 15.- Sea f = X 5

X4

X3

X2

X

2 2 Q[X].

144

CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

a) Factorícese f en irreducibles en Q[X]. Calcúlese un cuerpo de escisión Ef para f sobre Q y el grado de la extensión Ef : Q. b) Demuéstrese que si a 2 Z; f no tiene ningún cero en común con el polinomio X 3 3aX + 3: p p 16.- Sea = (1 + i) 4 5: Pruébese que Q ( ) : Q i 5 es normal. Demuéstrese que Q ( ) : Q no es normal y encuéntrese una clausura normal de Q ( ) sobre Q. p 17.- Pruébese que Q 2 y Q (i) son isomorfos como Q-espacios vectoriales pero no como cuerpos. 18.- Calcúlese el número de Q-isomor…smos entre Q ( ) y Q ( ) en los siguientes casos p p a) = i 2; = i 3: 2 b) = e 5 i , = 3 p 19.- Sea = (1 + i) 4 7: 3 a) Calcúlese [Q( ) : Q] y exprésese 6 + 2 5 + 1 como combinación lineal con coe…cientes en Q de una Q-base de Q( ). b) Calcúlese una clausura normal de la extensión Q( ) : Q ¿Es Q( ) : Q una extensión normal? 20.- Sea f (X) = X 5 3 2 Q (X) y E cuerpo de escisión de f sobre Q. a) Calcúlese [E : Q] : b) Demuéstrese que existe una única subextensión normal F de E sobre Q tal que [F : Q] = 4: c) Demuéstrese también que para cada número natural d divisor de [E : Q] existe una subextensión Fd de E sobre Q tal que [Fd : Q] = d: p 2 i 21.- Sea = e 7 y = 7 5 2 R. a) Calcúlese el grado del polinomio Irr( + 6 ; Q). b) Determínese un elemento primitivo de la única subextensión de Q ( ) de grado 2 sobre Q. 2 c) Pruébese que Q ( ) 6= Q

Capítulo 5 TEORÍA DE GALOIS 5.1.

EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA DE GALOIS

Esta sección está dedicada a la demostración del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois para extensiones de cuerpos. Para una tal extensión F : K se considera el grupo de automor…smos de F que dejan …jos los elementos de K, y el resultado fundamental establece que, bajo ciertas condiciones, existe una biyección, que invierte las inclusiones, entre el retículo de subgrupos de dicho grupo y el de cuerpos intermedios de la extensión. Si F es un cuerpo, el conjunto Aut(F ) de todos los automor…smos de F es un grupo con la operación de…nida por la composición de aplicaciones. De…nición 5.1.1 Sea F un cuerpo y H un subgrupo del grupo Aut(F ): Se de…ne el cuerpo …jo por G como F H := fx 2 F j

(x) = x; 8 2 Hg :

Si F : K es una extensión de cuerpos se de…ne Gal(F=K) := f 2 Aut(F ) j (x) = x; 8x 2 Kg que se denominará Grupo de Galois de la extensión F : K: OBSERVACIONES 5.1) F H es efectivamente un subcuerpo de F; ya que para x; y 2 F H y para cualquier elemento 2 H, se tiene (x + y) = (x) + (y) = x + y, 145

146

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

(x:y) = (x) : (y) = x:y, ( x) = (x) = x, y si x 6= 0, (x 1 ) = ( (x)) 1 = x 1 . Entonces x y 2 F H y, si y 6= 0, x:y 1 2 F H . También se comprueba fácilmente que Gal(F=K) es un subgrupo del grupo Aut(F ), pues si ; 2 Gal(F=K) entonces, 8x 2 K se tiene ( ) (x) = 1 1 ( (x)) = (x) = x y también (x) = x () ( (x)) = (x) () x = 1 (x). 5.2) Sean F : K, F 0 : K 0 extensiones de cuerpos y 2 F un elemento algebraico sobre K. Si : K ! K 0 y : F ! F 0 son encajes tales que jK = (es decir, si es un encaje sobre ), entonces jK( ) : K ( ) ! F 0 está determinado por el elemento ( ) 2 F 0 . En efecto, cada x 2 K ( ) admite una única expresión x = a0 + a1 + a2 2 + ::: + an 1 n 1 , con a0 ; a1 ; a2 ; :::; an 1 2 K, si el polinomio Irr( ; K) es de grado n, ya que en este caso f1; ; 2 ; :::; n 1 g constituye una base de K ( ) como K-espacio (3.2.4). Entonces (x) = (a0 ) + (a1 ) ( ) + (a2 ) ( )2 + ::: + (an 1 ) ( )n 1 . En particular, poniendo K = K 0 y F = F 0 = K ( ), resulta que cada automor…smo 2 Gal(K ( ) =K) está determinado por ( ) 2 K ( ). 5.3) Además ( ) es un cero del polinomio (Irr( ; K)) 2 K 0 [X], pues si Irr( ; K) = X n + bn 1 X n 1 + ::: + b1 X + b0 , entonces n + bn 1 n 1 + ::: + b1 + b0 = 0 =)

n

+ bn

1

n 1

+ ::: + b1 + b0 =

( )n + (bn 1 ) ( )n 1 +:::+ (b1 ) ( )+ (b0 ) =

En particular, se obtiene que ( ) es necesariamente un cero de Irr( ; K); para cada 2 Gal(K ( ) =K): 5.4) Nótese también que, en virtud del teorema de extensión de encajes a extensiones simples (4.1.3), para cada raíz 2 K ( ) del Irr( ; K) existe un encaje ; : K ( ) ! K ( ) tal que ; ( ) = . Tal encaje debe ser un automor…smo de K ( ), ya que ; es, en particular, un homomor…smo inyectivo entre K-espacios de la misma dimensión …nita. Como consecuencia de las anteriores observaciones se obtiene directamente la siguiente Proposición 5.1.2 Si F : K es una extensión de cuerpos y si 2 F es algebraico sobre K; entonces # (Gal(K ( ) =K)) @ (Irr( ; K)) = [K ( ) : K] [F : K] : La desigualdad # (Gal(K ( ) =K)) [K ( ) : K] es estricta enpgeneral. p 3 Por ejemplo, para la extensión Q 2 : Q (donde se ha tomado 3 2 2 R) p p se tiene que Q 3 2 : Q = @(Irr 3 2; Q ) = @ (X 3 2) = 3; mientras

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS

147

que el orden del grupo de Galois de dicha extensión es 1. En efecto, si 2 p p p 3 3 3 Gal(Q 2 =Q) entonces 2 2Q 2 R ha de ser necesariamente p p 3 3 un cero real de X 2 (observación 5.3); y por tanto 2 = 3 2, con lo p p 3 que = idQ( p 2: ; 3 2: 2 , en 3 2) (observación 5.2). Los restantes ceros son donde

= cos 23 + i:sen 23 = e

2 i 3

, y ambos son números complejos no reales.

Proposición 5.1.3 Sea F : K una extensión normal …nita. 1) Si ; 2 F se tiene Irr( ; K) = Irr( ; K) () 9 2 Gal (F=K) tal que

( )= :

2) Si además F : K es separable se tiene #Gal (F=K) = [F : K] : Demostración. La a…rmación 1) resulta del teorema 4.1.3 de extensión de encajes a extensiones simples y de la aplicación combinada de la proposición 4.3.3 y del corolario 4.6.4. En efecto, Irr( ; K) = Irr( ; K) () 9 ; : K ( ) ! K ( ) isomor…smo sobre K tal que ;

;

( )= :

Ahora, para K ( ) ! K ( ) ,! F ,! F existe una extensión : F ! F (4.3.3) que es un automor…smo de F sobre K (4.6.2), tal que ( ) = : Recíprocamente, si 2 Gal (F=K) es tal que ( ) = , la proposición 4.1.2 proporciona que Irr( ; K) = Irr( ; K): Para la demostración de 2) considérese un elemento primitivo 2 F de la extensión F : K; que existe al ser F : K separable (4.5.3). Así F = K ( ) y, si f = Irr( ; K); entonces f es separable y [F : K] = @(f ) = n. Como la extensión F : K es normal el polinomio f escinde en F; y por tanto, F es cuerpo de escisión de f sobre K. Si = 1 ; 2 ; :::; n 2 F son los diferentes ceros de f; se tiene que f = Irr( i ; K) para cada i = 1; 2; :::; n; y, en virtud del apartado 1), para cada i existe un i 2 Gal (F=K) tal que i ( ) = i : Se obtienen así n diferentes automor…smos de F sobre K; con lo que resulta n = [F : K] #Gal (F=K) : De la proposición 5.1.2 se deduce directamente que [F : K] #Gal (F=K) ; y de ahí el resultado.

148

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Ejemplos 1.- Gal(C=R) t Z2 p 3 2.- Gal(Q 2 =Q) es el grupo de un solo elemento. Consideramos ahora a cada subgrupo H del grupo Gal (E=K) actuando sobre el cuerpo E mediante la acción H E ! E ( ; ) ( ): Recuérdese (1.2.21) que si 2 E, la H-órbita de es el conjunto OH ( ) := H: = f ( ) = : j 2 Hg, y que si H := f 2 H j ( ) = g denota el subgrupo de isotropía de entonces (1.2.22) #OH ( ) = (H : H ) que es un divisor de #H si este grupo es …nito. El siguiente lema será muy usado en lo sucesivo. Lema 5.1.4 Sea E : K una extensión …nita y H un subgrupo de G = Gal(E=K). Entonces todo 2 E es algebraico sobre E H y además Y Irr( ; E H ) = (X ( )) : ( )2OH ( )

Por lo tanto E H ( ) : E H = #OH ( ) = (H : H ) ; que es divisor de #H. Demostración. La extensión E : E H es …nita (al ser E H un cuerpo intermedio entre E y K) y, por lo tanto algebraica. Sea 2 E y sea f = Irr ; E H . Cada ( ) es necesariamente un cero Qde f en E si 2 H H Gal(E=E ), y, por lo tanto, el polinomio g (X) = ( )) 2 ( )2OH ( ) (X E [X] es un divisor de f en el anillo E [X]. Por otra parte, si 2 H se tiene :H = H y entonces OH ( ) = f ( ) j 2 Hg = f ( ) j 2 Hg, con lo cual resulta que Y g (X) = (X ( )) = =

Y

( )2OH ( )

( )2OH ( )

(X

( )) = g (X) .

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS

149

Es decir, los coe…cientes del polinomio g 2 E [X] quedan …jos por cada 2 H, lo que signi…ca que g 2 E H [X]. Ahora, como es un cero de g, y como f = Irr ; E H , resulta que f divide a g en E H [X] y por lo tanto también en E [X]. Como ambos polinomios tienen coe…ciente principal 1 se tiene f = g. La segunda a…rmación es consecuencia inmediata de lo ya demostrado. Proposición 5.1.5 Si E : K es …nita y separable, para cada subgrupo H del grupo Gal(E=K) se tiene E : E H = #H y H = Gal(E=E H ). Demostración. Como E : K es …nita y separable, también lo es E : E H al ser E H un cuerpo intermedio entre E y K, y, por el teorema del elemento primitivo (4.5.3), existe un 2 E tal que E = E H ( ). Por el lema 5.1.4, se puede a…rmar que E H ( ) : E H = #OH ( ) = (H : H ). Como E = E H ( ) resulta H = f 2 H j ( ) = g = idE H ( ) = fidE g, pues jE H = idE H ,8 2 H. Se tiene así que (H : H ) = #H y la primera a…rmación queda probada. Ahora, como #Gal(E=E H ) E : E H = #H (por la proposición 5.1.2 y por lo demostrado hasta ahora), y como H es subgrupo del grupo …nito Gal(E=E H ), se obtiene H = Gal(E=E H ). De…nición 5.1.6 Una extensión E : K se dirá que es una extensión de Galois si es algebraica normal y separable. En lo sucesivo nos ocuparemos exclusivamente de las extensiones de Galois …nitas. El estudio de las extensiones de Galois no …nitas puede ser abordado utilizando la topología de Krull en el grupo G de automor…smos, en la cual el retículo de subgrupos correspondientes a subextensiones de Galois …nitas constituye un sistema fundamental de entornos de la identidad, respecto de la cual el grupo topológico G resulta cuasi compacto y totalmente desconexo. El análisis de estas extensiones rebasa ampliamente los objetivos del curso y no se tratará aquí. Proposición 5.1.7 Sea E : K una extensión …nita y separable. Entonces son equivalentes las a…rmaciones i) E : K es de Galois. ii) [E : K] = #Gal(E=K). iii) K = E Gal(E=K) .

150

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Demostración. \i) =) ii)" Directamente de la proposición 5.1.3 en su apartado 2). \ii) =) iii)" La extensión E : K es algebraica al ser …nita y la torre K E Gal(E=K) E proporciona [E : K] = E : E Gal(E=K) : E Gal(E=K) : K , como consecuencia del teorema del grado. Por la proposición 5.1.5 se tiene E : E Gal(E=K) = #Gal(E=K), poniendo allí H = Gal(E=K). Como, por hipótesis [E : K] = #Gal(E=K), se tiene forzosamente que E Gal(E=K) : K = 1, es decir E Gal(E=K) = K. \iii) =) i)" Probaremos que E : K es normal. Sea E = K ( ) (4.5.3), y sea H = Gal(E=K). Por hipótesis se tiene que E H = K; y así E = E H ( ). Por el lema 5.1.4, se puede a…rmar que Y f = Irr( ; E H ) = Irr( ; K) = (X ( )) . ( )2OH ( )

Como consecuencia se obtiene que E es cuerpo de escisión de f sobre E H = K. En efecto, para cada 2 H = Gal(E=K) = Gal(K ( ) =K) el elemento ( ) pertenece a E = K( ); y f ( ) j 2 Hg es el conjunto de los ceros de f; a la vista de la anterior factorización de dicho polinomio: Entonces f escinde en E = K( ) = K (f ( ) j 2 Hg), con lo que queda probado que E : K es una extensión normal. Corolario 5.1.8 Si E : K es de Galois …nita y K cuerpos, entonces F = E Gal(E=F ) .

F

E es una torre de

Demostración. De los resultados análogos para extensiones …nitas (3.1.2), para extensiones normales (4.6.3) y para extensiones separables (observación 4.16), resulta que E : F es de Galois …nita. El resultado se obtiene aplicando a esta extensión el apartado iii) de la proposición anterior Aunque el siguiente resultado formará parte del enunciado del Teorema Fundamental de Teoría de Galois interesa que quede explícito para su futuro uso. Lema 5.1.9 Sea K F E una torre en la que E : K es normal. Entonces si F : K es normal el gruo Gal(E=F ) es subgrupo normal de Gal(E=K) y se tiene un isomor…smo: Gal(F=K) = Gal(E=K) Gal(E=F ).

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS

151

Demostración. Para cada automor…smo de E sobre K resulta (F ) = F en virtud de (4.6.4), y entonces jF es un automor…smo de F . De este modo se obtiene que la aplicación rF : Gal(E=K) ! Gal(F=K), rF ( ) = jF , está bien de…nida y es inmediato comprobar que es un homomor…smo K es un de grupos. Además rF es sobreyectivo ya que si : F ! F automor…smo de F sobre K, el encaje : F ! K se extiende a otro : E ! K (por ser E : F algebraica y K algebraicamente cerrado (4.3.3)) que es necesariamente un automor…smo de E al ser E : K normal, y así 2 Gal(E=K), con lo cual rF ( ) = =F = . Por otra parte Ker (rF ) = f 2 Gal(E=K) tales que jF = idF g, es decir Ker (rF ) = Gal(E=F ); y por tanto dicho grupo es un subgrupo normal de Gal(E=K): Obsérvese que además se ha probado la última a…rmación, pues la existencia del homomor…smo sobreyectivo rF : Gal(E=K) ! Gal(F=K) proporciona Gal(F=K) = Gal(E=K) Ker (rF ) = Gal(E=K) Gal(E=F ).

Teorema 5.1.10 (Teorema Fundamental de la Teoría de Galois) Sea E : K una extensión …nita de Galois. Si G = Gal(E=K) entonces existe una biyección que invierte las inclusiones

F = fF j F es cuerpo intermedio entre K y Eg ! S = fH j H es subgrupo de Gg de…nida por (F ) = Gal(E=F ); cuya inversa es la aplicación : S ! F de…nida mediante (H) = E H . Para cada F 2 F la extensión E : F es de Galois, y son equivalentes las a…rmaciones i) F : K es de Galois. ii) El grupo (F ) = Gal(E=F ) es un subgrupo normal de G. Además, si F : K es de Galois se tiene Gal(F=K) = Gal(E=K) Gal(E=F ). Demostración. Es evidente que las aplicaciones y están bien de…nidas. Además, para F 2 F el corolario 5.1.8 a…rma que E : F es de Galois, y

152

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

entonces F = E Gal(E=F ) = E (F ) = ( (F )). Por otra parte si H 2 S la proposición 5.1.5 establece que H = Gal(E=E H ) = Gal(E= (H)) = ( (H)). Por lo tanto dichas aplicaciones y son inversas. Si H1 H2 son subgrupos de G y x 2 E H2 entonces para cada 2 H1 se tiene (x) = x ya que tal es elemento de H2 ; y por lo tanto x 2 E H1 . De forma análoga, si F1 F2 son cuerpos intermedios de la extensión E : K, entonces cada 2 Gal(E=F2 ) es tal que (x) = x para todo x 2 F1 ya que x es también elemento de F2 , y así Gal (E=F1 ) Gal(E=F2 ). De este modo queda probado que y invierten las inclusiones. Veamos ahora que las condiciones i) y ii) del enunciado son equivalentes. \ii) =) i)" Sea H = Gal(E=F ) subgrupo normal de G = Gal(E=K). Ya que la separabilidad esta asegurada, para probar que F : K es de Galois es su…ciente demostrar que esta extensión es normal (5.1.7), y para ello, utilizando de nuevo (4.6.4), se demostrará que si : E ! E es automor…smo de E sobre K entonces (F ) = F . Por la biyección ya probada bastará demostrar que para y 2 F se tiene que (y) 2 E H = F . Sea entonces y 2 F y sea x = (y). Para cada 2 H = Gal(E=F ) = H 1 existe un 2 H tal que = 1 1 1 y por tanto (x) = (x) = ( (y)) = (y) = (y) = x, H ya que 2 Gal(E=F ). Así x = (y) 2 E = F . Por lo tanto F : K es de Galois. \i) =) ii)" Es el lema anterior

5.2.

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Esta sección está dedicada a la prueba del teorema que establece que el cuerpo C de los números complejos es algebraicamente cerrado. Consideramos a C como cuerpo de escisión del polinomio X 2 + 1 2 R [X] sobre R. El siguiente resultado es una de las aplicaciones clásicas del teorema de Bolzano y será admitido aquí sin prueba pues ésta es de índole no algebraica y puede ser consultada en cualquier texto de Análisis real. Lema 5.2.1 Si f 2 R [X] es un polinomio de grado impar entonces f admite un cero real. Lema 5.2.2 Si

2 C existe

2 C tal que

2

= .

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

153

Demostración.pPara = a +pbi se consideran los números reales no 2 2 a+ a2 +b2 0 0 , a = a+ a2 +b ; y c; d 2 R tales que c2 = a0 ; y negativos b = 2 d2 = b0 : Un cálculo sencillo proporciona que el número complejo = c + di es tal que 2 = . Lema 5.2.3 Cada polinomio f (X) = X 2 + X + 2 C [X] escinde en factores lineales en C [X]. En particular C no admite extensiones de grado 2: Demostración. La primera a…rmación es consecuencia directa del lema anterior ya que el discriminante = 2 p4 de f es un cuadrado en C y p + : X es la factorización anunciada. entonces f = X 2 2 La segunda a…rmación es consecuencia de la primera. En efecto, sea L : C de grado 2, y sea 2 L r C: Entonces L = C ( ) por el teorema del grado (observación 3.4). Como [L : C] = grad(Irr( ; C)) = 2; dicho polinomio irreducible escindirá en C - por lo ya demostrado - lo que constituye una contradicción. Teorema 5.2.4 (Teorema Fundamental del Álgebra) El cuerpo C de los números complejos es algebraicamente cerrado. Demostración. Como se sabe, bastará con demostrar que C no tiene extensiones …nitas propias (4.3.1). Si F : C es una tal extensión, entonces la clausura normal N de F sobre R es también una extensión …nita de R. Se obtiene así una torre de cuerpos R C F N y, para probar que F = C será su…ciente con demostrar que N = C. La extensión N : R es de Galois …nita (es normal …nita en característica 0), y entonces, por el apartado ii) de la proposición (5.1.7), se tiene que #Gal(N=R) = [N : R] = [N : C] : [C : R], resultando así que #Gal(N=R) es par. Pongamos G = Gal(N=R) y sea H un 2-subgrupo de Sylow de G: Si E = N H es el cuerpo …jo de H la extensión N : E es de Galois y H = Gal (N=E) ; en virtud del teorema 5.1.10. Como [N : E] = #H y [N : R] = #G, del teorema del grado se deduce que [E : R] es necesariamente un número impar. Sea 2 E un elemento primitivo de la última extensión, es decir tal que E = R ( ) : El polinomio f = Irr( ; R) es de grado impar y, por tanto necesariamente de grado 1; pues en caso contrario f no sería irreducible en R [X] al tener un cero real según se establece en el lema 5.2.1. Entonces E = R y así H = Gal(N=N H ) = Gal(N=E)=Gal(N=R) =G es un 2-grupo.

154

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Sea ahora G1 = Gal (N=C) Gal (N=R) = G: Si el 2-grupo G1 es distinto del grupo trivial fidN g (o, lo que es equivalente, si N 6= C, al ser la extensión N : C de Galois), G1 admitirá un subgrupo G2 de índice 2 según establece un conocido resultado de la teoría de Sylow (1.2.29). Sea ahora E2 = N G2 y entonces, C E2 N con lo que G2 = Gal(N=E2 ); ya que N : E2 es de Galois (corolario 4.6.3). Además como G2 es normal en G1 la extensión E2 : C es también de Galois con grupo isomorfo a G1 =G2 ; y, por lo tanto, de orden 2. Se llega así a que la extensión E2 : C es de grado 2, lo que contradice la tesis del lema 5.2.3. Por lo tanto, necesariamente #G1 = 1 = [N : C], es decir, N = C.

5.3.

CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS CICLOTÓMICOS

Esta sección se inicia con algunas precisiones sobre la estructura de los cuerpos …nitos. Se obtiene que estos son los cuerpos de escisión sobre Zp de los polinomios de la forma X q 1 1, donde q es potencia de la característica, y se analiza el retículo de subcuerpos. El resto de la sección se dedica al estudio de las ecuaciones de la forma X n a = 0 con coe…cientes en un cuerpo que, a menudo, será considerado de característica cero. Los cuerpos de escisión de estos polinomios jugarán un papel esencial en el estudio de la resolubilidad por radicales. Si F es un cuerpo …nito con q elementos, F es necesariamente de característica un número primo p, y el subcuerpo primo Fp de F es isomorfo al de las clases de restos de enteros módulo p. Desde ahora pondremos Fp = Zp , pues no existe ningún argumento algebraico que permita establecer distinciones. Sea r = [F : Fp ] = dimFp F . Entonces F es isomorfo a (Fp )r como Fp espacio vectorial, y por lo tanto #F = q = pr . El grupo multiplicativo F = F f0g tiene orden q 1, y por lo tanto q 1 = 1, para cada 2 F . Esto signi…ca que los elementos no nulos de F son los ceros (en F ) del polinomio X q 1 1 2 Fp [X], o, lo que es equivalente, F es el conjunto de ceros del polinomio X q X, y cuerpo de escisión sobre Fp del polinomio X q 1 1 2 Fp [X]. Para cada entero r > 0 existe un cuerpo de pr elementos, y está consr tituido por los ceros (en Fp ) del polinomio X p X 2 Fp [X]. En efecto, sea F

5.3. CUERPOS FINITOS

155

Pr r r r dicho conjunto de ceros y ; 2 F . Entonces ( )p = p0 pi i p i = r pr 1 p pr = (ya que CaractFp = p (4.4.9)). Además = r 1 1 pr 1 p pr pr = , y así F es un subcuerpo de Fp (y por = tanto de característica p). El cuerpo F tiene pr elementos, pues el polinomio r Xp X 2 Fp [X] es separable (4.4.4) al no tener ceros en común con su r derivada pr X p 1 1 = 1. Obsérvese de paso, que la extensión F : Fp es r separable ya que para cada 2 F el Irr( ; Fp ) es divisor de X p X. Se puede enunciar ahora Proposición 5.3.1 El número de elementos de un cuerpo …nito es una potencia de su característica. Para cada número primo p y cada entero r > 0 existe un cuerpo Fpr con pr elementos, de característica p, y que es extensión de Galois de su cuerpo primo Fp = Zp . Si q = pr , el cuerpo con q elementos es cuerpo de escisión del polinomio X q 1 1 sobre Fp , y, por tanto, está determinado de modo único salvo isomor…smos. Además [Fpr : Fp ] = r, y, para enteros r; s > 0, se tiene Fpr Fps () r es divisor de s: Demostración. Sólo será necesario probar la última a…rmación concerniente a los enteros r y s: r Para s = rt , si 2 Fpr (lo que equivale a p = ), se tiene ps

= =

prt

=

r pr p

pr

pr r pr p t 1 veces ::::

pr t :::: veces

=

= ::: = ;

y, por lo tanto, 2 Fps : Recíprocamente, si Fp Fpr Fps ; de las consideraciones previas se obtiene s = [Fps : Fp ] = [Fps : Fpr ] : [Fpr : Fp ] = [Fps : Fpr ] :r, en virtud del teorema del grado. Proposición 5.3.2 Todo cuerpo …nito es perfecto y el grupo de sus automor…smos es cíclico generado por el endomor…smo de Frobenius. Demostración. Si F = Zp el endomor…smo de Frobenius en F es la identidad como consecuencia del pequeño teorema de Fermat (4.5.2). Si F = Fpn es el cuerpo de q = pn elementos y ' : F ! F es el endomor…smo n de Frobenius de F , se tiene 'n (x) = xp = x; 8x 2 F , como consecuencia de la proposición 5.3.1, y así 'n = idF . Por lo tanto el período de ' es un

156

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS s

divisor de n: Si j'j = s con s n; se tiene 's (x) = xp = x, para cada x 2 F , de lo que se deduce Fpn Fps . La proposición 5.3.1, antes citada, permite a…rmar n s; de donde resulta la igualdad s = n: Además cada automor…smo de F deja …jos los elementos del cuerpo primo Fp y, por lo tanto, el grupo de todos los automor…smos de F es el grupo de Galois de la extensión F : Fp cuyo grado es igual al orden de dicho grupo (5.1.7). Se tiene así n = [F : Fp ] = #Gal(F=Fp ) = #Aut(F ): Por lo tanto Aut(F ) =< ' > El resto de la sección se dedicará al estudio de las raíces de la unidad, es decir las raíces de polinomios de la forma X n 1: Proposición 5.3.3 Si K es un cuerpo, entonces el conjunto Un de las raíces en K de la ecuación X n 1 = 0 es un grupo cíclico respecto de la multiplicación. Si además K es de característica nula o un primo no divisor de n, dicho grupo es de orden n. Demostración. En cualquier caso si ; 2 Un se tiene que ( )n = n n n = 1. También ( 1 ) = ( n ) 1 = 1, y como 1 2 Un , el lema 4.5.1 proporciona directamente el resultado. Bajo ambas hipótesis acerca de la característica de K, el polinomio X n 1 es separable ya que su derivada nX n 1 6= 0 solamente tiene al 0 como raíz. Por lo tanto el grupo Un es de orden n: De…nición 5.3.4 Cada generador del grupo cíclico Un se llamará raíz primitiva n-ésima de 1. Nota 5.3.5 Nótese que, en virtud de la proposición 5.3.3, si la característica de K es nula o un número primo no divisor de n; el número de posibles generadores de Un es el indicador de Euler ' (n) := # fr 2 N j1 r= Un , y así Un K ( ). Es decir 2 n 1 y K ( ) : K es , por tanto, una extensión normal. K ( ) = K 1; ; ; :::; La separabilidad de sobre K es consecuencia de que el polinomio Irr ( ; K) es divisor (en K [X]) del polinomio X n 1 que es separable en virtud de la hipótesis sobre la característica, ya que la derivada (X n 1)0 = nX n 1 solo admite al cero como raíz en ese caso. De (4.4.20) resulta la separabilidad de K ( ) : K. 2) Para probar que Gal(K ( ) =K) es abeliano bastará con demostrar que si ; 2 Gal(K ( ) =K) entonces ( )( ) = ( ) ( ), pues, en ese caso, se tendría ( ) (x) = ( ) (x) ; 8x 2 K ( ) (observación 5.2): Ahora, si 2 Gal(K ( ) =K), se tiene ( ) = r para algún r < n; pues n = 1 () ( n ) = [ ( )]n = (1) = 1; y por tanto j ( ) j = j j: Es decir ( ) es también raíz primitiva n-ésima de 1. Sean ( ) = r ; y ( ) = t : Entonces t ( ) ( ) = ( ( )) = = ( ( ))t = ( r )t = rt ; y ( )( ) = r t r r tr ( ( )) = ( ) = ( ( )) = ( ) = ; de lo que se deduce = (observación 5.2): Proposición 5.3.7 Sea 2 Q una raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces 1) Y m Irr( ; Q) = (X ) =: n (X) m. Es fácil comprobar que

162

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

H0 = idQ( ) ; y que H1 ; H2 y H3 son subgrupos diferentes de G de orden 2. Por ejemplo, 2 1

( )= =

1

(

1

( )) =

2.12+1

5

1

2

12

=

=(

1

( ))5 =

5 5

: = 12 : = ;

y entonces 21 = 0 = idQ( ) : Se puede a…rmar entonces que G no es un grupo cíclico (si G fuese cíclico solamente admitiría un único subgrupo de orden 2 (observación 1.5)). Por lo tanto G = Z2 Z2 ; y los anteriores Hi son los únicos subgrupos propios de G: Por el Teorema Fundamental de Teoría de Galois, para la determinación de los cuerpos intermedios bastará con obtener los cuerpos …jos de dichos subgrupos. Para ello considérese la Q-base 1; ; 2 ; 3 de Q ( ) ; respecto de la cual cada elemento x 2 Q ( ) admite una única expresión x = a + b + c 2 + d 3 con a; b; c; d números racionales. Considérese también que 12 = 1; y que Irr( ; Q) = 12 (X) = X 4 X 2 + 1: Obtención de Q ( )H1 . Se tiene, para x = a + b + c 2 + d 3 2 Q ( ) ; 2 + d 1 3 = a + b 5 + c 10 + d 15 ; y como 1 (x) = a + b 1 ( ) + c 1 dX 15 + cX 10 + bX 5 + a = (X 4 X 2 + 1)(dX 11 + aX 9 + cX 6 dX 5 + cX 4 d3 + X c)+ (b + d)X 3 cX 2 bX + c + a (algoritmo de Euclides en Q [X]); resulta 1 (x) = (a + c) b c 2 + (b + d) 3 H1 Entonces, x 2 Q ( ) , x = 1 (x) () a + b + c

2

+d

3

= (a + c)

() a + c = a; b =

b;

b

c

2

+ (b + d)

3

c = c; b + d = d

() b = c = 0 () x = a + d: 3 :

Por lo tanto 1 (x) = x =) x 2 Q 3 ; es decir Q ( )H1 Q 3 . Como, por otra parte 1 ( 3 ) = 15 = 3 se tiene Q 3 Q ( )H1 ; y así Q ( )H1 = Q 3 (La expresión de 1 (x) se puede obtener de forma alternativa a partir de la igualdad 1 (x) = a + b 5 + c 10 + d 15 ; haciendo uso de que 15 = 3 y 2 2 4 = 2 1; pues entonces 5 = 3 ; y también 10 = 5 = 3 = 6 4 2 4 2 2 2 2 2 + = 2 1 + = + 1): H2 De forma similar se prueba que Q ( ) = Q 2 y que Q ( )H3 = Q 2 + 3 ; que, junto con Q ( )H1 = Q 3 ; constituyen los únicos cuerpos estrictamente intermedios de la extensión Q ( ) : Q.

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

5.4.

163

RESOLUBILIDAD POR RADICALES

En el caso de característica positiva, en la extensión …nita F : K pueden aparecer elementos puramente inseparables y es por esto que, para ampliar la validez del gran teorema de Galois al caso de característica p, la de…nición de extensión radical deberá admitir extensiones intermedias con grado divisible por la característica. De…nición 5.4.1 Si p = Caract(K) una extensión …nita F : K se dice que es radical si existe una torre (en lo sucesivo torre radical) K = K0

K1

:::::

Ki

1

Ki

:::::

Kr = F

tal que cada paso Ki 1 Ki es de uno de los siguientes tipos: 1) Ki = Ki 1 ( i ) con i una raíz ni -ésima primitiva de 1, para algún entero positivo ni : 2) Ki = Ki 1 ( i ) con ai = ni i 2 Ki 1 para algún entero positivo ni no divisible por p: 3) Ki = Ki 1 ( i ) donde i es un cero de algún polinomio X p X ai con ai 2 Ki 1 : 4) Ki = Ki 1 ( i ) donde i es un cero de algún polinomio X p i bi con bi 2 Ki 1 y i un entero positivo. OBSERVACIÓN 5.14) Es preciso hacer notar que si K es de característica p 6= 0 el polinomio X p X a 2 K [X] es separable pues su derivada (X p X a)0 = 1. O, de otro modo, obsérvese que si es un cero de f = X p X a; entonces los p elementos diferentes ; + 1; :::; + p 1 son todos los ceros de f Nota 5.4.2 Sea K de característica p 6= 0 y F = K ( ) con n 2 K para un entero n > 0: Si F : K es separable, el entero n que satisface esta propiedad se puede seleccionar primo con p: En efecto si n = pr m con p - m entonces r n m p = ( ) 2 K y por tanto m es puramente inseparable sobre K; con lo que resulta m 2 K en virtud de la separabilidad supuesta (4.4.29). Si Caract(K) = 0 las condiciones 3) y 4) de la de…nición 5.4.1 son, evidentemente super‡uas, y, según lo dicho más arriba, en cualquier característica, las condiciones 1) y 2) pueden ser englobadas en la 2) suprimiendo allí la condición p - ni . Por lo tanto

164

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Nota 5.4.3 Sea K un cuerpo de característica 0: Una extensión F : K es radical si existe una torre de cuerpos (en lo sucesivo torre radical) K = K0

K1

:::::

Ki

1

Ki

:::::

Kr = F

donde, para cada i = 1; 2; :::; r, existe i 2 Ki tal que Ki = Ki 1 ( i ), y además ai = ni i 2 Ki 1 para ciertos enteros positivos ni : OBSERVACIONES 5.12) Si F : K es extensión radical entonces F = K( 1 ; 2 ; :::; r ) y por tanto F : K es …nita ya que cada i es algebraico sobre K( 1 ; 2 ; :::; i 1 ) = Ki 1 : 5.13) Si F : K es extensión radical, como 1; 1 ; 21 ; :::; n1 1 1 es un sistema de generadores de K( 1 ) como K-espacio, resulta r q p p n2 n1 n1 n2 a2 = c0 + c1 a1 + ::: + cn1 1 an1 1 1 ( ) 2 =

p con a1 = n1 1 ; cj 2 K para j = 0; 1; :::; n1 1: De forma recurrente, 3 = n3 a3 con a3 2 K( 1 )( 2 ); y, por tanto 3 será una expresión del tipo (*) con a2 en lugar de a1 ; con n2 en lugar de n1 ; con n3 en lugar de n2 ; y con los cj 2 K( 1 ) que serán, a su vez, por tanto, expresiones del tipo gj ( 1 ) con gj (X) 2 K [X] : Procediendo de modo iterativo se obtiene que cualquier elemento de K( 1 ; :::; n ) es una expresión algebraica de expresiones radicales de expresiones algebraicas ... de elementos de K. Proposición 5.4.4 Si K es de característica p 6= 0, una extensión separable …nita es radical si, y solo si, existe una torre como en (5.4.1) tal que cada paso Ki 1 Ki es de uno de los siguientes tipos: 1) Ki = Ki 1 ( i ) con ai = ni i 2 Ki 1 para algún entero positivo ni : 2) Ki = Ki 1 ( i ) donde i es un cero de algún polinomio X p X ai con ai 2 Ki 1 : Demostración. Por lo dicho en la nota 5.4.2, la separabilidad permite a…rmar que la condición p - ni puede ser suprimida con lo cual las condiciones 1) y 2) de (5.4.1) quedan englobadas en una, y la 4) es obviamente super‡ua.

Nota 5.4.5

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

165

Si además el cuerpo K es extensión algebraica de Zp ;la condición 2) de (5.4.4) queda subsumida en la 1), pues si Ki = Ki 1 ( i ) donde i es un cero de algún polinomio X p X ai con ai 2 Ki 1 -ahora extensión algebraica de Zp - resulta que i es también algebraico sobre Zp y por tanto Zp ( i ) : Zp es …nita, con lo que Zp ( i ) = Fpmi para algún entero mi . De este modo se m obtiene que i es un cero del polinomio X p i 1 1 2 Zp [X] Ki 1 [X] (5.3.1) y la extensión Ki : Ki 1 es de las de tipo 1). La condición de que K : Zp sea extensión algebraica es crucial en la anterior argumentación. De hecho, la a…rmación de más arriba: "la condición 2) de (5.4.4) queda subsumida en la 1)", no es válida si K = Zp (t), siendo t una trascendente sobre Zp . En efecto, si es un cero del polinomio separable X p X t 2 Zp (t) [X], entonces m 2 = K, cualquiera que sea el entero m > 0. En caso contrario se podría seleccionar, como antes, el menor m tal que m 2 K, y en ese caso prno divide a m. En efecto, si fuese m = pr :s, con p - s, se tendría m = ( s )p 2 Zp (t), con lo que s 2 Zp (t), pues s sería entonces un elemento separable y puramente inseparable sobre Zp (t), y esto (t) con f; g 2 Zp [t] es contradictorio con la selección de m. Poniendo m = fg(t) coprimos, resulta g( p ): m f ( p ) = 0: Ello signi…ca que

es cero del polinomio F (Y ) = g(Y p

Y )Y m

f (Y p

Y ),

de lo que se deduce necesariamente F (Y ) = 0, ya que es trascendente sobre Zp (en otro caso t = p sería algebraico sobre Zp ). Los polinomios f (Y p Y ) y g(Y p Y ) son coprimos en Zp [Y ] y, por lo tanto, necesariamente, g(Y p Y ) = c 2 Zp y Y m = c 1 f (Y p Y ) por la factorización única en Zp [Y ]. Ahora, si c 1 f (t) = an tn + an 1 tn 1 + ::: + a0 2 Zp [t] ; se tiene Ym

an (Y p

Y )n

=Ym

an

1

(Y p

Y )n

1

:::

a0 =

an Y p:n + H(Y ) = 0;

y entonces, por la trascendencia de Y sobre Zp , es nulo el polinomio Y m an Y p:n ya que, de no serlo, sería de grado estrictamente mayor que el de H(Y ) y no podría ser nula, entonces, la suma de ambos. Resulta así m = p:n, lo que contradice la selección de m. Tampoco es posible, en general, encontrar un 2 K ( ) que satisfaga la condición m 2 K = Zp (t), para algún entero m > 0, con K ( ) = K ( ),

166

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

siendo un cero de X p X t 2 K [X]. Para ver esto, consideraremos el caso más sencillo, es decir el correspondiente a p = 2. Si tal 2 K ( ) existe, se expresará como = + con 0 6= ; 2 K = Z2 (t), y también 0m 2 K, siendo 0 = = + = + , que cumple también K ( ) = K ( 0 ) = K( ), lo que nos permite suponer = + , 2 K. Como 0 = 2 t = ( )2 ( ) t= 2 ( 2 + t), resulta de modo inmediato Irr( ; Zp (t)) = X 2 X t0 , donde t0 = 2 + t 2 K = Zp (t). Como consecuencia, es algebraico de grado 2 tanto sobre Z2 (t) como sobre Z2 (t0 ) y, por lo tanto, se tiene Z2 (t) = Z2 (t0 ) = K, con lo que nuestro se encuentra ahora en las mismas condiciones que el elegido inicialmente, para el cual no existe ningún entero m > 0 tal que m 2 K. Proposición 5.4.6 i) Sea K F E una torre de cuerpos. Entonces, si F : K y E : F son radicales, E : K es radical también . ii) Sean F y L subcuerpos de un mismo cuerpo E tales que F : K y L : K son extensiones radicales. Entonces LF : K es también una extensión radical. iii) Si F : K es radical y : F ! F 0 es un isomor…smo, entonces, 0 poniendo (K) = K , la extensión F 0 : K 0 es radical también. En particular, si =K = idK; entonces F 0 : K es radical. iv) Si F : K es radical entonces la clausura normal de F sobre K es también una extensión radical de K. Demostración. La prueba de i) es obvia. La concatenación de las dos torres radicales, existentes por hipótesis, proporciona una torre radical para la extensión E : K. Para demostrar ii) obsérvese que la torre radical K = K0

K1

:::

Ki

1

Ki

:::

Kr = F

proporciona una torre del mismo tipo L = LK

LK1

:::

LKi

1

LKi

:::

LKr = LF;

ya que LKi = LKi 1 ( i ) por ser Ki = Ki 1 ( i ); donde i es raíz primitiva ni -ésima de 1;o i es cero de X ni ai 2 Ki i [X] Ki 1 L[X] con p - ni ;o i es cero de X p X ai con ai 2 Ki 1 LKi 1 );o Ki L = Ki 1 L( i ) donde Ki L es un cero de algún polinomio X p i bi con bi 2 Ki 1 LKi 1 i 2 Ki y i un entero positivo. Por tanto LF : L es radical y, por aplicación de i); resulta que LF : K es radical al serlo también L : K:

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

167

iii) Si K = K0 K1 ::::: Ki 1 Ki ::::: Kr = F es una torre radical, y si Ki = Ki 1 ( i ); con i 2 Ki tales que ni i 2 Ki 1 para ciertos ::::: K10 enteros positivos ni ; poniendo (Ki ) = Ki0 resulta que K 0 0 0 0 0 Kr = F es también una torre radical, pues Ki = Ki 1 ( i ) y [ ( i )]ni = ( i ni ) 2 (Ki 1 ) = Ki0 1 : Si Caract(K) = p 6= 0 y i es un cero del polinomio X p X ai 2 Ki 1 [X]; entonces ( i ) es cero de X p X (ai ) 2 0 Ki 1 [X]. iv) Es consecuencia inmediata de la proposición 4.6.7 y de las a…rmaciones ii) y iii) ya demostradas. De…nición 5.4.7 Si P es el cuerpo primo de K (es decir, el menor subcuerpo de K), y si f = an X n + ::: + a0 2 K[X], llamaremos aquí cuerpo de coe…cientes de f al menor subcuerpo de K que contiene dichos coe…cientes, es decir al cuerpo Kf = P (a0 ; :::; an ). Entonces, Kf = Q(a0 ; :::; an ) en caso de característica 0, o Kf = Zp (a0 ; :::; an ) si la característica es p 6= 0: De…nición 5.4.8 Un polinomio f 2 K [X] se dice que es resoluble por radicales sobre K (o que la ecuación algebraica f (X) = 0 es resoluble por radicales sobre K) si un cuerpo de escisión de f sobre K está contenido en una extensión radical de K: La expresión "f es resoluble por radicales" será sinónima de "f es resoluble por radicales sobre su cuerpo de coe…cientes Kf ". Ejemplo p p Q( 2; 3 2) : Q es una extensión radical. La torre p p p p 3 3 Q0 = Q Q1 = Q( 2 ) Q2 = Q1 ( 2) = Q( 2; 2)

es una torre radical. Nótese que si el cuerpopde p escisión sobre Q del polinomio f (X) 2 Q [X] está contenido en E = Q( 2; 3 2), entonces los ceros de f psonpcombinación p p p p 3 lineal, con coe…cientes en Q, de los elementos 1; 2; 2; 2 3 2; 2( 3 2)2 ; p ( 3 2)2 . Es decir, los ceros de f serán una expresión algebraica de ciertos radicales. Supóngase ahora f (X) = an X n +p::: +pa0 2 R [X] y que un cuerpo de escisión de f sobre Kf es E = Kf ( 2; 3 2). En ese caso los ceros de f aparecerán combinación lineal con coe…cientes en Kf de los mismos p p pcomo p p p p 3 3 3 3 2 1; 2; 2; 2 2; 2( 2) ; ( 2)2 : Ahora, los coe…cientes de dicha expresión lineal son, a su vez, expresiones algebraicas en las que intervienen solamente los coe…cientes de f y números racionales. Este es el genuino signi…cado de la

168

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

expresión: la ecuación algebraica f (X) = 0 es resoluble por radicales. En lo sucesivo no se hará uso explícito del cuerpo de coe…cientes de un polinomio Kf , pero será muy ilustrativo su uso en la interpretación de los resultados sobre resolubilidad. En general, si f (X) 2 K [X] es tal que su cuerpo de escisión sobre K está contenido en una extensión radical F de K, entonces los ceros de f son una expresión algebraica del tipo de las de la observación 5.13. Como consecuencia de que la condición de extensión radical es invariante para isomor…smos (apartado iii) de la Proposición 5.4.6), de (5.4.10), y de que cuerpos de escisión del mismo polinomio f 2 K [X] sobre K son Kisomorfos (corolario 4.2.7), resulta que la condición de resolubilidad sobre K para un polinomio f 2 K [X] no depende del cuerpo de escisión de f sobre K que se considere. Nótese que, en característica 0, las raíces de f pueden ser obtenidas mediante expresiones como las establecidas en la observación 5.13. De…nición 5.4.9 Si E es un cuerpo de escisión sobre K del polinomio f 2 K [X], al grupo Gal(E=K) se le denomina grupo de Galois de f sobre K y se denotará por GalK (f ). En la línea de lo establecido en (5.4.8) con Gal(f ) se indicará el grupo de Galois de f sobre su cuerpo de coe…cientes y se denominará grupo de Galois de f . Nota 5.4.10 Este grupo está determinado salvo isomor…smos. Es decir, si E y F son cuerpos de escisión del mismo polinomio f 2 K [X] sobre K, es sabido que existe un isomor…smo : E ! F sobre K (4.2.7) y entonces la aplicación Gal(E=K) ! Gal(F=K) 1

es un isomor…smo de grupos. Para la prueba del Teorema 5.4.15, que constituye el resultado principal de esta sección -y de estas notas-, necesitaremos los dos lemas siguientes. Lema 5.4.11 Sea F : K una extensión …nita de Galois de grado primo q 6= Caract(K); tal que K contiene una raíz primitiva q-ésima de 1. Entonces existe un 2 F tal que F = K( ) y q 2 K:

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

169

Demostración. Como F : K es …nita de Galois se tiene #Gal(F=K) = [F : K] = q y entonces Gal(F=K) es cíclico. Sea 2 K raíz primitiva q-ésima de 1. Las potencias i ; con i = 1; 2; :::; q 1; son precisamente todas las raíces primitivas q-ésimas de 1 ya que q 6= Caract(K) y así Uq es de orden q (5.3.3) (nótese que si fuese q = Caract(K) resultaría X q 1 = (X 1)q ; y que, como F : K es de Galois, se tendría #Gal(F=K) = [F : K] = 1 (5.1.7), apartado ii)): Sea Gal(F=K) =< >; y sea 2 F K: Si para cada i = 0; 1; :::; q 1 consideramos la resolvente de Lagrange de…nida por i

:=

+

i

( )+

2i 2

(q 1)i q 1

( ) + :::: +

( );

entonces q 1 X

i

=q +

0

q 1 X

j

(1 +

+

2j

+ ::: +

(q 1)j

) j ( );

j=1

Pq

1 j son los ceros del polinomio y por lo tanto i = q ; ya que las 0 q 1 q 2 X +X + + X + 1 2 K [X] (son ceros de X q 1 y no lo son de X 1). P::: q 1 = K pues, en caso contrario, se tendría 2 K al Por lo tanto 0 i = q 2 ser q = (q1) ; y q1 2 K (q 6= Caract(K)), en contra de la selección de : En particular, algún i 2 = K: Ahora, para un tal i se tiene

( i) = ( + =

( )+

i 2

i

( )+

( )+

2i 2

2i 3

( ) + ::: +

(q 1)i q 1

( ) + ::: +

(q 1)i

q i)

i

( )) =

= ( i)

1

i;

i q 1 q ya que 2 K para todo i;y por lo tanto ( = (( ) i ) = (( ) ) i = q q . Entonces 2 K ya que dicho elemento es …jo para cualquier autoi i mor…smo de F sobre K; es decir qi 2 F Gal(F=K) = K al ser la extensión F : K de Galois. Por otra parte, como i 2 F K; se tiene F = K( i ) como consecuencia del teorema del grado, al ser [F : K] = q primo. i

1

q

Nota 5.4.12 Es evidente que, en característica 0, el lema anterior es válido para cualquier primo q. Lema 5.4.13 Sea K un cuerpo de característica 0 o un primo p no divisor del número natural m, y sea F : K una extensión …nita de Galois de grado n que es múltiplo de m. Entonces, si 2 F es una raíz primitiva m-ésima de 1; la extensión F ( ) : K( ) es de Galois …nita cuyo grupo de Galois es isomorfo a un subgrupo de Gal(F=K), y por tanto [F ( ) : K( )] divide a [F : K].

170

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Demostración. Si f 2 K [X] es tal que F es cuerpo de escisión de f sobre K, entonces F ( ) es cuerpo de escisión de f (X):(X m 1) 2 K [X] sobre K; y también sobre K ( ) : Además F = K( 1 ; ::: s ); donde 1 ; ::: s son los diferentes ceros de f; con lo que F ( ) = K( 1 ; ::: s ; ); y así resulta que F ( ) : K es separable pues los elementos 1 ; ::: s ; son todos separables sobre K y se aplica (4.4.20) (el elemento es separable sobre K en virtud de la hipótesis sobre la característica). Por lo tanto F ( ) : K ( ) es también de Galois …nita. La aplicación : Gal(F ( )=K) ! Gal(F=K), con ( ) := jF está bien de…nida ya que =F (F ) = F al ser F : K de Galois (4.6.4). Además es obviamente un homomor…smo de grupos: ( ) jF = ( jF ) ( jF ) : Ahora, si 2 Gal(F ( )=K( )) Gal(F ( )=K) y si ( ) = idF ; se tiene = idF ( ) pues ( ) = : Por lo tanto jGal(F ( )=K( )) : Gal(F ( )=K( )) ! Gal(F=K) es inyectiva y (Gal(F ( )=K( )) será así un subgrupo de Gal(F=K) isomorfo a Gal(F ( )=K( )) cuyo orden divide entonces a #Gal(F=K); por el teorema de Lagrange. Siendo de Galois las extensiones F : K y F ( ) : K( ) sus grados coinciden con los órdenes de sus grupos respectivos, y de ahí se sigue el resultado. Nota 5.4.14 El lema anterior admite dos lecturas según sea la característica de K: En el caso de característica cero la distinción entre los enteros m y n del enunciado es innecesaria y puede ser considerado m = n. Teorema 5.4.15 (Gran teorema de Galois)Sea K un cuerpo y sea f 2 K [X] con @(f ) 1: Entonces la ecuación algebraica f (X) = 0 es resoluble por radicales sobre K si, y solamente si, el grupo GalK (f ) es un grupo resoluble. Demostración. (Por el momento nos limitaremos al caso de que K sea de característica 0) Sea f resoluble por radicales sobre K. Por hipótesis, existe una extensión radical F : K tal que un cuerpo Ef ; de escisión de f sobre K, K = F = Ef . Además se está contenido en F: Pondremos K Ef F puede suponer que F : K es una extensión normal (es decir de Galois, al ser K de característica 0), pues en otro caso, la clausura normal N de F sobre K estaría en las mismas condiciones, es decir K Ef N K = F = Ef y, por la Proposición 4.6.5, N : K sería radical, …nita y de Galois. Sea entonces F : K radical de Galois …nita, y sea K = K0

K1

:::

Kr = F

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

171

donde, para cada i = 1; 2; :::; r, Ki = Ki 1 ( i ) con Q los i 2 Ki tales que ni 2 K una i 2 Ki 1 para ciertos enteros positivos ni . Sea n = i ni y sea raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces, poniendo Fi = Ki ( ) = K( )Ki se obtiene una torre radical K = K0

F0

F1

::::

Fr = Kr ( ) = F ( ),

ya que Fi = Ki ( ) = Ki 1 ( i ; ) = Ki 1 ( )( i ) = Fi 1 ( i ), y ni i 2 Ki 1 Fi 1 = Ki 1 ( ), para todo i = 1; 2; :::; r. Además F0 = K( ) con n = 1 2 K. Nótese que n=ni 2 F0 es una raíz primitiva ni -ésima de 1, para cada i = 1; 2; :::r. Por lo tanto cada extensión Fi : Fi 1 es una extensión …nita de Galois de grupo abeliano (Gal(Fi =Fi 1 es abeliano (5.3.10)), y también lo es la extensión F0 = K ( ) : K0 = K (5.3.6, apartado 2). Además F ( ) : K es …nita de Galois ya que F es cuerpo de escisión sobre K de algún polinomio g 2 K [X] al ser F : K normal, y por lo tanto F ( ) es cuerpo de escisión sobre K del polinomio g(X):(X n 1) 2 K [X]. Si G = Gal(F ( )=K), cada Hi := Gal(F ( )=Fi ) es un subgrupo normal de Hi 1 := Gal(F ( )=Fi 1 ), como consecuencia del teorema fundamental de teoría de Galois (5.1.10), y además Gal(Fi =Fi 1 ) = Hi 1 =Hi es un grupo abeliano. El grupo G = Gal(F ( )=K) es entonces resoluble y por tanto también lo es el grupo GalK (f ) = Gal(Ef =K) ya que, como Ef : K es de Galois, Gal(F ( )=Ef ) es subgrupo normal de G y G=Gal(F ( )=Ef ) = GalK (f ) es cociente de un grupo resoluble (1.3.13). Recíprocamente, sea E cuerpo de escisión de f sobre K, y supongamos que GalK (f ) = Gal(E=K) es un grupo resoluble. El teorema quedará probado si se encuentra una extensión radical de K que contiene a E: Sea n = [E : K] = #Gal(E=K) (la última igualdad se tiene al ser E : K de Galois), y sea una raíz primitiva n-ésima de 1. Por el Lema 5.4.13 sabemos e := Gal(E( )=K( )) es que [E( ) : K( )] es divisor de n y que el grupo G resoluble al ser isomorfo a un subgrupo de G := Gal(E=K), que es resoluble por hipótesis. Existe entonces una torre normal idE(

)

= Hr

Hr

:::

1

H1

e H0 = G

en la que cada grupo cociente Hi =Hi+1 es de orden primo qi (1.3.12), divisor e = [E( ) : K( )] que es, a su vez, divisor de n, y así cada qi divide a de #G n. Sea Fi = E( )Hi , para cada i = 0; 1; :::; r 1. Por el teorema fundamental de teoría de Galois resulta entonces una torre de cuerpos K( ) = F0

F1

F2

:::

Fi

1

Fi

:::

Fr = E( ),

172

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

y como E( ) : E( )Hi+1 y E( ) : E( )Hi son extensiones de Galois y, siendo Hi subgrupo normal de Hi 1 , resulta que Fi : Fi 1 es una extensión de Galois con grupo isomorfo a Hi 1 =Hi . Además, para cada i = 0; 1; 2; :::; r 1, qi = #(Hi 1 =Hi ) es divisor de n y, como es raíz primitiva n-ésima de 1, Fi = E( )Hi contiene a n=qi , que es una raíz primitiva qi -ésima de 1. Como E( )Hi : E( )Hi 1 = qi es primo y E( )Hi 1 contiene una raíz primitiva qi ésima de 1, la aplicación del Lema 5.4.11 proporciona la existencia de un qi i 2 Fi tal que Fi = Fi 1 ( i ) y tal que i 2 Fi . Entonces la torre K

K( ) = F0

F1

F2

:::

Fi

1

Fi

:::

Fr = E( )

es una torre radical y E E( ). Por tanto f es resoluble por radicales sobre K. La resolubilidad por radicales de la ecuación f (X) = 0 (f 2 Q [X]) es bien conocida para polinomios f de grados 2, 3, y 4. Se cree que la de grado 2 era conocida ya por la civilización babilónica (1700 a. C.), y para los grados 3 y 4 las soluciones fueron dadas por Tartaglia (1539) y Cardano (1545). Durante mucho tiempo han sido infructuosos los intentos de encontrar procedimientos algebraicos análogos para la ecuación algebraica de grado 5. El primero en resolver el problema fué el matemático noruego Niels Henrik Abel (18021829) quien prueba (en 1824) que la ecuación algebraica general de grado n 5 no es resoluble por radicales. El objetivo del resto de la sección es la prueba de este teorema. Necesitaremos algunos resultados previos. Proposición 5.4.16 Si f 2 K [X] es un polinomio con m ceros diferentes, entonces el grupo GalK (f ) es isomorfo a un subgrupo del grupo Sm de las permutaciones de m elementos. Demostración. Sea E = K( 1 ; 2 ; :::; m ) K cuerpo de escisión de f r1 r2 rm sobre K y sea f (X) = c(X su factorización 1 ) (X 2 ) :::(X m) en E [X]. Para 2 GalK (f ) = Gal(E=K) se tiene f (X) = f (X) = c(X r1 r2 rm 1 ) (X 2 ) :::(X m ) : Entonces, por la unicidad de la factorización en irreducibles en E [X] ; se tiene que f 1 ; 2 ; :::; m g = f 1 ; 2 ; :::; m g, es decir, establece una permutación del conjunto f 1 ; 2 ; :::; m g : Además si ; 2 Gal(E=K) establecen la misma permutación necesariamente se tiene = ; pues el valor de cada isomor…smo en un x 2 E está determinado por su valor en los generadores de la extensión. Sea e 2 Sm de…nida por e (i) = j

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

173

() ( i ) = j : Entonces la aplicación GalK (f ) ! Sm , dada por e; es un homomor…smo inyectivo de grupos que establece un isomor…smo entre GalK (f ) y el grupo imagen, que es un subgrupo de Sm : Esta proposición tiene un corolario inmediato. Corolario 5.4.17 Si K es de característica 0 y f (X) 2 K [X] es de grado menor o igual que 4, entonces f es resoluble por radicales sobre K: Demostración. Si r 4 es el número de raíces diferentes de f entonces, en virtud de la proposición anterior, GalK (f ) es isomorfo a un subgrupo del grupo Sr que es resoluble (1.3.17). En virtud del gran teorema de Galois el polinomio f es resoluble por radicales sobre K: Obsérvese que sin haber hecho mención explícita del procedimiento de obtención de las raíces de un polinomio de grado 4 con coe…cientes racionales mediante expresiones algebraicas con radicales, como se indicaba en la observación 5.13, el corolario 5.4.17 a…rma que tal procedimiento existe. Lema 5.4.18 Si f 2 Q [X] es un polinomio irreducible en Q [X] de grado primo p y con exactamente dos raíces complejas no reales, entonces GalQ (f ) = Sp Demostración. El polinomio f es separable al ser Q de característica Q 0 y por lo tanto f = c p1 (X i ); con 1 ; 2 ; :::; p diferentes elementos de C. Sean 1 ; 2 2 C R, 3 ; ::: p 2 R y sea Ef = Q ( 1 ; 2 ; 3 ; :::; p ) el cuerpo de escisión ( C) de f sobre Q: Por la proposición 5.4.16 se sabe que GalQ (f ) es isomorfo a un subgrupo H del grupo Sp de las permutaciones de p elementos. Además la torre de cuerpos Q Q ( 1 ) Ef proporciona [Ef : Q] = [Ef : Q ( 1 )] : [Q ( 1 ) : Q] = [Ef : Q ( 1 )] :p; ya que f = c:Irr ( 1 ; Q) (donde c =coe…ciente principal de f ), y entonces p es divisor del orden de H, pues [Ef : Q] = #GalQ (f ) = #H al ser de Galois la extensión Ef : Q. Por el teorema de Cauchy (1.2.26) sabemos que existe un elemento e 2 H de período p y que por tanto es un p-ciclo (1.3.8). El subgrupo H de Sp contiene entonces un p-ciclo. Además, necesariamente se tiene 1 = 2 (y 1 = 2 ) ya que los coe…cientes de f son números reales, y así la conjugación ( ) : C ! C se restringe a un automor…smo : Q(

1;

2;

3 ; :::;

p)

! Q(

1;

2;

3 ; :::;

p)

sobre Q, ya que Q ( 1 ; 2 ; 3 ; :::; p ) : Q es normal y (Q ( 1 ; 2 ; 3 ; :::; p )) Q C. El automor…smo 2 GalQ (f ) está de…nido por las condiciones

174

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

( 1 ) = 1 = 2 ; ( 2 ) = 2 = 1 ; y ( i ) = i para i = 3; :::; p: En consecuencia, utilizando las notaciones de la prueba de (5.4.16), resulta que la trasposición e y el p-ciclo e son elementos de H. El subgrupo H de Sp satisface entonces las hipótesis de la proposición 1.3.9 y por lo tanto se tiene GalQ (f ) = H = Sp : Teorema 5.4.19 (Teorema de Abel)Para cada n 5 existe una ecuación algebraica f (X) = 0 con coe…cientes racionales y de grado n que no es resoluble por radicales sobre Q. Demostración. Bastará con encontrar un f 2 Q [X] de grado 5 que no sea resoluble por radicales sobre Q, ya que para n > 5, el polinomio g (X) = X n 5 :f (X) es de grado n, tiene el mismo cuerpo de escisión que f sobre Q, y por lo tanto el mismo grupo de Galois sobre Q, cuya no resolubilidad establecerá el resultado. Sea f (X) = 2X 5 10X + 5 2 Q [X]. Por el criterio de Eisenstein (para el primo 5) f es irreducible sobre Q (y por lo tanto, separable sobre Q) y tiene exactamente dos raíces complejas no reales. En efecto, la función continua f : R ! R es creciente en el intervalo ( 1; 1), tiene un máximo en x = 1, es decreciente en el intervalo ( 1; 1), tiene un mínimo en x = 1; y es creciente en el intervalo (1; 1) : Además f ( 2) < 0 < f ( 1), f (1) < 0 < f (2). Por lo tanto, como consecuencia del teorema de Bolzano, f (X) = 0 tiene tres raíces reales 1 2 [ 2; 1], 2 2 [ 1; 1], 3 2 [1; 2]. En virtud del teorema de Rolle se puede a…rmar que éstas son las únicas raíces reales de f . Las otras dos ; son elementos de la clausura algébrica de Q que está contenida en C. Entonces el polinomio f satisface las hipótesis del lema 5.4.16 y por lo tanto GalQ (f ) = S5 , que es un grupo no resoluble (1.3.18). El gran teorema de Galois proporciona el resultado. Para el estudio de la resolubilidad por radicales en característica p necesitaremos estudiar por separado las extensiones cíclicas, tanto de orden p como de orden primo con p. Las versiones aditiva y multiplicativa del Teorema 90 de Hilbert - que a su vez necesitan de ciertas consideraciones acerca de la norma y la traza de una extensión …nita - abrirán el camino a la proposición 5.4.24 y al teorema de Artin-Schreier (5.4.25) que caracterizan dichas extensiones. Si S es un conjunto y K un cuerpo, el conjunto M(S; K) de aplicaciones ' : S ! K es un K-espacio vectorial con las operaciones (' + )(x) = '(x) + (x) y (a') (x) = a:'(x) para todos x 2 S y a 2 K: Si ahora

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

175

G es un grupo nos …jaremos en aquellos ' 2 M(G; K) tales que establecen homomor…smos de G en K . Estos homomor…smos se denominarán caracteres de G en K: Lema 5.4.20 (Lema de Dedekind) Si G es un grupo, entonces cualesquiera n diferentes caracteres de G en K, 1 ;..., n : G ! K ; son elementos linealmente independientes del K-espacio vectorial M(G; K): Demostración. Es lícito suponer que n > 1; pues un carácter es obviamente independiente al ser un elemento no nulo de M(G; K): De entre las n P hipotéticas relaciones de dependencia lineal ai i = 0 seleccionamos una 1

de menor número de sumandos con constante ai no nula. Tras una apropida renumeración se puede suponer que tal relación de dependencia minimal es a1

1

+ ::: + ar

r

= 0; ( )

con todos los ai 6= 0 (y r

2): Siendo diferentes los caracteres, existe un r P g 2 G tal que 1 (g) 6= 2 (g); y dado cualquier h 2 G se tiene ai i (gh) = r P

ai i (g) i (h) =

1

1

r P

ai i (g)

(h) = 0; es decir

i

1

1

+ a2

1

ai i (g)

= 0: Como

i

1

(g) 6= 0 se obtiene la relación a1

r P

2 (g) 1 (g)

1

2

+ ::: + ar

r (g) 1 (g)

1

r

=0

que restada de la ( ) proporciona a2

2 (g) 1 (g)

1

a2

2

+ ::: + ar

r (g) 1 (g)

1

ar

r

= 0;

que es una relación de dependencia lineal con menor número de sumandos no triviales que la ( ), lo que contradice la minimalidad con la que fue seleccionada dicha relación. Si ahora E es un cuerpo, diferentes encajes 1 ; :::; n : E ! K pueden ser considerados como caracteres de E en K : De…nición 5.4.21 Sea E : K una extensión …nita y sea [E : K]s = r (=[E : K] si K es de característica 0) y [E : K]i = p (como se sabe esta última igualdad sólo tiene sentido si Caract(K) = p). Sean 1 ; :::; r los

176

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

diferentes encajes de E en K sobre K: Para un elemento 2 E se de…ne su norma y su traza respecto de la extensión E : K mediante las expresiones NKE (

)=

r Q

i

p

=

1

y

[E:K]i

r Q

;

i

1

E T rK ( ) = [E : K]i

r P

i

;

i

expresión, esta última, que es obviamente nula en el caso de que la extensión E : K no sea separable (i.e. 6= 0). Si E : K es separable se tiene NKE ( ) = r r P Q E ( )= y T rK i . i 1

i

Para un elemento 2 E algebraico sobre K el conjunto de raíces distintas en K del polinomio Irr( ; K) es, precisamente, el conjunto f 1 ( ) ; :::; r ( )g ; en donde 1 ;..., r son todos los encajes de K( ) en K sobre K. Por tanto se tiene Irr( ; K) = X n

K( )

T rK

( )X n

1

K( )

+ ::: + ( 1)n NK

( );

K( )

en donde n = r si es separable sobre K; y T rK ( ) = 0 en otro caso. K( ) K( ) Obsérvese que NK ( ) y T rK ( ) son , por lo tanto, elementos de K: En nuestro estudio, la utilidad de la norma y la traza estará restringida a la obtención del teorema 90 de Hilbert en sus formas aditiva y multiplicativa, que será usado para la caracterización de extensiones cíclicas. Recuérdese que una extensión cíclica es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es cíclico. Teorema 5.4.22 (Teorema 90 de Hilbert. Forma multiplicativa) Sea E : K una extensión cíclica de grado n, G = h i su grupo de Galois y 2 E: E Entonces NK ( ) = 1 si, y sólo si, existe un 2 E tal que = ( ) : Demostración. Cada 2 G será considerado como un encaje de E en K = E sobre K y por lo tanto como un elemento del K-espacio (y por 0 tanto E-espacio) M(G; K): Para ; 0 2 G denotamos con 2 M(G; K) 0 0 la aplicación de…nida por ( ) (x) = (x) (x) ; y usaremos la notación 0 0 exponencial x = (x); con lo que se tiene x = x :x : Como consecuencia del lema de Dedekind (5.4.20) la aplicación idE +

+

1

2

+ ::: +

1

2

:::

n 2

n 1

:E!K

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

177 2

no es idénticamente nula (los caracteres idE ; ; por lo tanto existe un 2 E tal que = idE + =

+

2

2

1

2

1

+

2

1

+

Ahora, si 1 = NKE ( ) = ( )=

1

+

+ ::: +

Recíprocamente, si existe NKE (

( )

) =

E( ) NK E ( ( )) NK

n 2

:::

1

n 1

2

2

1

+ ::: +

:::

2

1

+ ::: +

n 2

:::

:::

n 1

; :::;

n 2

son diferentes) y

n 1

n 1

( )= 6= 0:

; se tiene n 2

n

2 E tal que

1

+

2

1

:::

n 1

= :

resulta NKE ( ) =

=

= 1; ya que NKE es evidentemente multiplicativa y

además NKE ( ( )) = NKE ( ); pues las expresiones para ambos miembros dadas por 5.4.21 sólo se diferencian en una permutación del orden de sus factores. Teorema 5.4.23 (Teorema 90 de Hilbert. Forma aditiva) Sea E : K una extensión cíclica de grado n con grupo G = h i : Entonces 2 E es tal que E T rK ( ) = 0 si, y sólo si, existe un 2 E tal que = ( ): E E Demostración. Si existe tal elemento se tiene T rK ( ) = T rK ( E E E ( )) = 0 ya que T rK es evidentemente aditiva y T rK ( ) = T rK ( ( )) pues ambos miembros sólo se diferencian en el orden de los sumandos. E Recíprocamente, si T rK ( ) = 0; utilizando la misma notación exponencial E que antes, podemos a…rmar que existe un 2 E tal que T rK ( ) 6= 0; como consecuencia del lema de Dedekind. Entonces, poniendo h i 1 n 2 n 2 = + ( + ) + ::: + ( + + ::: + ) E T rK ( )

resulta ( )= [

1 E T rK (

+( =

)

[

+( + 2

+ 1

E T rK (

2

) )

h

)

+ ::: + ( +

+ ::: + ( +

+ + ::: +

2

n 2

+ ::: +

+ ::: + i n 1

n 1

= :

)

)

n 1

n 2

]] =

178

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

E Para los anteriores cálculos se ha tenido en cuenta la hipótesis T rK ( )=0 E E E y que T rK ( ) 2 K (pues es evidente que T rK ( ) = T rK ( )). Las dos versiones del teorema 90 permitirán caracterizar las extensiones cíclicas de grado p y las de grado primo con p; siendo p la característica de K.

Proposición 5.4.24 Sea p un primo no divisor de n > 0 y sea K un cuerpo de característica p que contiene una raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces, si E : K es una extensión cíclica de grado n, entonces existe un 2 E tal que E = K ( ) y tal que n = a 2 K: Recíprocamente, si 2 K es un cero de X n a 2 K [X] ; entonces la extensión K( ) : K es cíclica de grado d que es divisor de n y además d 2 K: Demostración. Sea 2 K raíz primitiva n-ésima de 1 y sea G = 1 Gal(E=K) = h i : Siendo separable la extensión E : K, y como = n Q n 1 1 i ( 1) = ; resulta NKE ( 1 ) = = 1; con lo cual, en virtud 1

del teorema 90 de Hilbert en su forma multiplicativa (5.4.22), podemos a…rmar que existe un 2 E tal que ( ) = : Como 2 K resulta 2 i 2 i ( )= ( )= y también ( ) = para i = 1; :::; n: Por lo tanto el polinomio irreducible de sobre K tiene al menos n ceros diferentes (los i ( ) = i ) y así n = [E : K] [K( ) : K] = @Irr( ; K) n: Resulta así E = K ( ) ; y además ( n ) = ( ( ))n = ( )n = n n = n ; con lo que se tiene n 2 E G = K: Si 2 K es un cero de f = X n a 2 K [X], todos los ceros de f son los n elementos diferentes i 2 K( ) (i = 1; :::; n), y así K( ) es cuerpo de escisión de f sobre K. La extensión K( ) : K es separable al serlo el polinomio f y por tanto también el Irr( ; K); divisor de f . Así K( ) : K es de Galois …nita. Si G = Gal(K( )=K) y 2 G entonces n ( ) es también un cero de X a y por lo tanto ( ) = ; siendo una raíz de la unidad (es decir una potencia de ). Se establece así un homomor…smo G ! Un , obviamente inyectivo de G en el grupo de las raíces n-ésimas de 1 2 K, que es de orden n al ser n primo con p (5.3.5). Entonces G es cíclico y su orden d es divisor de n. Si se pone G = h i d resulta = ( ( ))d = ( )d = d d = d pues es una raíz d-ésima (primitiva) de 1. Por lo tanto d 2 K( )G = K. Proposición 5.4.25 (Artin-Schreier) Sea K un cuerpo de característica p: Si E : K es cíclica de grado p entonces E = K ( ) donde 2 E es un cero

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

179

de algún polinomio X p X a 2 K [X] : Recíprocamente, si un polinomio f (X) = X p X a 2 K [X] no escinde en K es irreducible en K [X], y, si es cualquier cero de f , la extensión K( ) : K es cíclica de grado p: Demostración. Sea G = h i = Gal(E=K) que P es de orden p: La exp i E tensión E : K es separable y por tanto T r (x) = (x) para x 2 E: K 1 P p i E Ahora T rK ( 1) = 1 ( 1) = p( 1) = 0; y por el teorema 90 de Hilbert en su forma aditiva (5.4.23) se puede asegurar la existencia de un 2 E tal que 1 = ( ) : Por lo tanto i ( ) = + i (i = 1; :::; p); elementos todos ellos ceros del Irr( ; K); que, al ser diferentes, proporcionan p = [E : K] [K( ) : K] = @Irr( ; K) p: Por lo tanto E = K ( ) y p p además ( ) = ( ) ( ) = ( + 1)p ( + 1) = p ; con p G lo cual se tiene a = 2 E = K; es decir, es cero del polinomio X p X a 2 K [X] que es de grado p; y por tanto X p X a = Irr( ; K): Recíprocamente, el conjunto de las raíces de f = X p X a 2 K [X] es f ; + 1; :::; + p 1g; siendo 2 K cualquier cero de f: Por lo tanto f es separable y [K( ) : K] es de Galois …nita, que será la extensión trivial si f escinde en K: Supongamos que f no escinde en K y probemos que, entonces, f es irreducible en K[X]; con lo cual dicha extensión será cíclica de grado p: Para ello si f = g:h es una factorización de f en K[X] y si g no es constante será un producto de algunos de los factores (X i); (i 2 f1; 2; :::; pg. Si @g = d, el coe…ciente del término de grado d 1 de g es una suma de d sumandos de la forma ( + i), y por tanto igual d + j para un cierto entero j: Por lo tanto, si d < p se tiene 2 K ya que d = (d;1) y d;1 6= 0 en ese caso. Ello contradice la hipótesis de que f no escinde en K. Por lo tanto f es irreducible en K[X]: La extensión [K( ) : K] es de Galois de grado p y por lo tanto cíclica. Nota 5.4.26 Es necesario destacar que si K es de característica p, F : K es una extensión …nita, y Fs (K) es la subextensión maximal separable de K en F de…nida en (4.4.29), entonces Gal(F=Fs (K)) = f1g. En efecto si 2 F; el elemento es el único cero del polinomio Irr( ; Fs (K)) = X p b = (X )p (4.4.26) y por lo tanto, para cada encaje : F ! K = F = Fs (K) sobre K (y en particular para cada 2 Gal(F=Fs (K))) se tiene necesariamente ( ) = . Además, si 2 Fs (K) y 2 Gal(F=K), entonces ( ) es un cero del polinomio separable Irr( ; K) y así Irr( ; K) = Irr( ( ) ; K), de

180

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

lo que resulta que ( ) es un elemento de F también separable sobre K. Es decir, para cada 2 Gal(F=K), su restricción a Fs (K) establece un encaje Fs (K) ! Fs (K) que es necesariamente un automor…smo de Fs (K) al ser este cuerpo una extensión …nita de K. Ahora, el homomor…smo de grupos Gal(F=K) ! Gal(Fs (K) =K); de…nido por jFs (K) , tiene por núcleo el grupo Gal(F=Fs (K)) = f1g y entonces la restricción establece un isomor…smo de Gal(F=K) con un subgrupo de Gal(Fs (K) =K). Si además F : K es normal el anterior homomor…smo restricción es un isomor…smo. En efecto, cada 2 Gal(Fs (K) =K) se extiende a un encaje : F ! K = F = Fs (K) sobre K que, ahora, es necesariamente un automor…smo de F , por la normalidad de F : K. Obsérvese también que si F : K es una extensión normal, entonces Fs (K): K es una extensión de Galois. En efecto si f es un polinomio irreducible en K[X] que tiene un cero en Fs (K), los restantes ceros de f (como elementos de F = K), que están en F al ser F : K normal, son también separables sobre K pues todos tienen el mismo polinomio irreducible sobre K, y así f escinde en Fs (K). Se puede enunciar ahora: Proposición 5.4.27 Si p = Caract(K) 6= 0 y F : K es una extensión normal …nita entonces la subextensión maximal separable Fs (K) de K en F es una extensión …nita de Galois de K y los grupos Gal(F=K)y Gal(Fs (K) =K) son isomorfos. Nota 5.4.28 Como consecuencia de lo anterior, conviene destacar que el orden del grupo de Galois de una extensión normal F : K es divisor del grado de la extensión ya que #Gal(F=K) = #Gal(Fs (K) =K) = [Fs (K) : K] que divide a [F : K] : Nota 5.4.29 Si F : E es puramente inseparable …nita, entonces F = E( 1 ; :::; t ) para ciertos 1 ; :::; t puramente inseparables sobre E (4.4.30), y por tanto i existen enteros i (i = 1; :::; t) tales que pi 2 E. Es entonces evidente que

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

181

la extensión F : E es radical; la torre E E( 1 ) ::: E( 1 ; :::; t ) es una torre radical (5.4.1). El siguiente teorema establece la resolubilidad por radicales en característica positiva. Teorema 5.4.30 Sea K un cuerpo de característica p 6= 0 y f 2 K[X] un polinomio no constante. Entonces son equivalentes las a…rmaciones i) El polinomio f es resoluble por radicales sobre K ii) GalK (f ) es un grupo resoluble. Demostración. \ii) =) i)" Sea F cuerpo de escisión de f sobre K y sea E la subextensión maximal separable de F sobre K: Por (5.4.27) la extensión E : K es de Galois y los grupos GalK (f ) = Gal(F=K) y Gal(E=K) son isomorfos. Por tanto Gal(E=K) es un grupo resoluble en virtud de la hipótesis. Sea n = [E : K] = #Gal(E=K) = pr m con p no divisor de m; y sea 2 K = E = F una raíz primitiva m-ésima de 1: Si F = E( 1 ; :::; t ) con i i 2 E; para cada i = 1; :::; t) la extensión F ( ) : E( ) es radical pues F ( ) = E( )( 1 ; :::; t ) y se aplica (5.4.29). Por otra parte, la extensión E( ) : K( ) es de Galois con e = Gal(E( )=K( )) isomorfo a un subgrupo del grupo Gal(E=K) grupo G y por tanto resoluble de orden un divisor de n = [E : K] = #Gal(E=K) (5.4.13). Resulta de este modo una torre K

K( )

E( )

F( )

en la que el primero y tercer pasos son extensiones radicales ((5.4.6) y (5.4.29)) con lo que i) quedará probado si se demuestra que E( ) : K( ) es radical pues, así, el cuerpo F resultará contenido en la extensión radical F ( ) de K: Por la resolubilidad del grupo Gal(E( )=K( )) existe una torre normal e idE( ) = Hr Hr 1 ::: H1 H0 = G en la que cada grupo cociente Hi =Hi+1 es de orden primo qi (1.3.12), divisor e = [E( ) : K( )] que es, a su vez, divisor de n, y así cada qi divide a de #G n: Sea Fi = E( )Hi , para cada i = 0; 1; :::; r 1: Por el teorema fundamental de teoría de Galois se obtiene una torre de cuerpos K( ) = F0

F1

:::

Fi

Fi+1

:::

Fr = E( );

182

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

y como E( ) : E( )Hi+1 y E( ) : E( )Hi son extensiones de Galois, siendo Hi+1 subgrupo normal de Hi ; resulta que Fi+1 : Fi es una extensión de Galois con grupo isomorfo a Hi =Hi+1 : Nótese que, cada qi = #(Hi =Hi+1 ) 6= p es divisor de m al ser divisor de n y primo con p; por la selección que se ha hecho del entero m. Como E( )Hi+1 : E( )Hi = qi 6= p es primo y, como es raíz primitiva m-ésima de 1, resulta que Fi = E( )Hi contiene a m=qi que es una raíz primitiva qi -ésima de 1. La aplicación de la proposición 5.4.24 (o , alternativamente, el lema 5.4.11) proporciona la existencia de un i 2 Fi+1 tal que Fi+1 = Fi ( i ) y tal que qi i 2 Fi : En el caso de un qj = #(Hj =Hj+1 ) = p la extensión Fj+1 : Fj es cíclica de grado p y se aplica el lema de Artin-Schreier (5.4.25), con lo cual Fj+1 = Fj ( ) siendo un cero de un polinomio del tipo X p X a 2 Fj [X] : Entonces la torre K

K( ) = F0

F1

:::

Fi

Fi+1

:::

Fr = E( )

es una torre radical. \i) =) ii)" K cuerpo de escisión del polinomio f sobre K, y sea L una Sea F extensión radical de K que contiene a F . Supondremos además que la extensión L : K es normal …nita pues, en otro caso, el cuerpo L puede ser sustituido por su clausura normal sobre K (5.4.6). Sean E y M las subextensiones maximales separables de K en F y en L; respectivamente, que son extensiones …nitas de Galois de K y además Gal(F=K) = Gal(E=K) y Gal(L=K) = Gal(M=K) (5.4.27). Obviamente se tiene E M: Sea n = [L : K] = pr m con p - m y r 0; y sea 2 K una raíz primitiva m-ésima de 1 2 K: Si K = K0

K1

:::

Kr = L

es una torre radical con pasos de los tipos especi…cados en (5.4.1), la torre obtenida a partir de ésta por -levantamiento K0 ( )

K1 ( )

:::

Kr ( )

tiene los correspondientes pasos de los mismos tipos que la anterior, pero ahora cada cuerpo contiene raíces primitivas de la unidad su…cientes como para poder a…rmar, a la luz de (5.4.24), que todas aquellas extensiones Ki+1 ( ) : Ki ( ); tales que [Ki+1 : Ki ] es primo con p; tienen grupo de Galois cíclico de orden primo con p (isomorfo por (5.4.13) a un subgrupo del grupo

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N.

183

de Galois de la extensión de Galois Ki+1 : Ki cuyo grado es divisor de n y primo con p): Las extensiones con grado una potencia de p tienen grupos de Galois de orden también potencias de p (5.4.28) y, por tanto, resolubles (1.2.29). Resulta así que el grupo Gal(L ( ) =K ( )) = Gal(M ( ) =K ( )) es resoluble y entonces lo es también el grupo Gal(M ( ) =K) pues Gal(K ( ) =K) = [Gal(M ( )=K)]

[Gal(M ( )=K ( ))] ;

ya que K ( ) : K es normal cuyo grupo de Galois es resoluble, en virtud de la selección del entero m (5.3.6), y se aplica (1.3.13). Ahora Gal(F=K) = Gal(E=K) = [Gal(M ( ) =K)]

[Gal(M ( ) =E)] ;

por la misma proposición (1.3.13), y por lo tanto F : E es resoluble. Conviene hacer un comentario acerca de la forma en que el gran teorema de Galois en característica p aparece en la literatura. No existe uniformidad en el modo de abordar la noción de extensión radical, aunque en la mayor parte de los manuales se restringe al caso de extensiones separables (por ejemplo [LAN]), e incluso de extensiones algebraicas del cuerpo primo Zp (confróntese la noción de extensión radical dada en [DFX] con la de este manual, a la luz de los comentarios de la nota 5.4.2). La prueba del teorema estará mediatizada entonces por estas convenciones. Hemos presentado aquí una noción de extensión radical no necesariamente separable - siguiendo una sugerencia de Lang [LAN]- y ello ha permitido acceder a la demostración del gran teorema de Galois sin grandes complicaciones.

5.5.

LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n.

Esta sección ilustra la teoría desarrollada hasta ahora obteniendo, para cada n, una ecuación algebraica de grado n cuyo grupo de Galois (5.4.9) es el grupo simétrico Sn A partir de ahora K es un cuerpo y ft1 ; t2 ; :::; tn g es un conjunto trascendente sobre K cuyos elementos supondremos que están en una extensión F de K. Ello signi…ca, esencialmente, que K [t1 ; t2 ; :::; tn ] es el anillo de polinomios en n variables sobre K y que la subextensión K (t1 ; t2 ; :::; tn ) de F es el cuerpo de funciones racionales en n variables sobre K (véase ejercicio 26 del capítulo 3). Por la propiedad universal del anillo de polinomios, cada 2 Sn induce un isomor…smo de K-álgebras e : K [t1 ; t2 ; :::; tn ] ! K [t1 ; t2 ; :::; tn ]

184

CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

e(f (t1 ; t2 ; :::; tn )) = f t (1) ; t (2) ; :::; t (n) ; cuyo inverso es g1 ; de…nido de similar modo a partir de 1 2 Sn : Nótese que la existencia de e solamente está garantizada si ft1 ; t2 ; :::; tn g es un conjunto trascendente sobre K; es decir, si K [t1 ; t2 ; :::; tn ] es un anillo de polinomios. El isomor…smo e se extiende a un automor…smo de K (t1 ; t2 ; :::; tn ) sobre K; que seguiremos denotando con e: De…nición 5.5.1 Un elemento s 2 K [t1 ; t2 ; :::; tn ] se dirá que es un polinomio simétrico (en las variables t1 ; t2 ; :::; tn ) si para cada permutación 2 Sn se tiene s(t1 ; t2 ; :::; tn ) = e(s (t1 ; t2 ; :::; tn )) = s(t

(1) ; t (2) ; :::; t (n) ):

Los polinomios homogéneos (2.3.2)

s1 = t1 + t2 + ::: + tn ; P s2 = ti tj 1 i \ < b >= feg =) jaj y jbj son divisores de s: El resto es fácil. 10.- Un cálculo elemental con matrices proporciona (AB)n =

( 1)n ( 1)n 1 n 0 ( 1)n

:

11.- a) es fácil y b) se deduce de a) observando que ba = b(ab)b 1 : r 12.- a) (aj ) = arj = e () rj 2 nZ ()rj = t(m:c:m:(n; j)); para nj n :t ()r = (n;j) :t; para un cierto un cierto entero t () 9t 2 Zjrj = (n;j) s s entero t: b) n = rs =) ja j = r =)< a >= H es de orden r; si x = al 207

208

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

es de período r entonces xr = arl e =) rl = nt = rst para un cierto entero t =) 9t 2 Zjl = st =) x = al = (as )t 2 H: 13.- H =< a4 > : 14.- < (a; b) >= G H () j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = mn (ejercicio 7)() (jaj ; jbj) = 1: 15.- G es …nito, pues en otro caso contendría un subgrupo propio isomorfo a Z. Ahora G =< x >; 8x 2 G r feg ; rj#G =) 9H subgrupo de G de orden r(1.2.11) 16.- En primer lugar pruébese que H 0 = fx 2 G j jxj es una potencia de pg es subgrupo de G con lo que necesariamente H es subgrupo de H 0 : Si la inclusión H H 0 es estricta se llega a un absurdo, pues #H 0 deberá ser, en ese caso, divisible por un primo p0 diferente de p, y, aplicando lo establecido en (1.2.12), deberá existir en H 0 un elemento de periodo p0 : 17.- ar = eG =) (f (a))r = f (ar ) = eH ; y si f es inyectivo ar = eG () (f (a))r = eH : 18.- Si G = fe; ; ; g no es cíclico se tiene j j = j j = j j = 2: Además 6= e; ; =) = : Análogamente = ;y = (véase ejercicio 6). 19.- Z35 =(5Z=35Z) = Z5 =) # (5Z=35Z) =7: 20.- f (a) = am 6= e; 8a 2 G. 21.- Ni (Q; +) ni (Q ; :) son cíclicos. En el primer caso porque de lo contrario existiría pq 2 Q (siempre se puede suponer que p y q son enteros primos entre sí) tal que cada x 2 Q se pondría como x = nx pq con nx 2 Z y en particular sería 1 = n1 pq y así q = n1 p lo cual es absurdo salvo que q = 1; pero en ese caso n1 no sería entero. En el caso de (Q ; :), si pq genera Q n1

multiplicativamente, se tiene 1 = pq . Entonces pq = 1 y < pq > tiene a lo sumo dos elementos. 22.- G no es cíclico pues no lo es S3 0 : El grupo fidg Z5 es el único 5-subgrupo de Sylow de G y es cíclico. s3 = 1 ya que A3 0 es subgrupo normal de G. De forma alternativa, todo 3-subgrupo de Sylow de G es de orden 3. Si (a; b) 2 G es de orden 3 necesariamente se tiene b = 0 y a 2 S3 0 . de período 3, es decir 3-ciclo y así h(a; b)i = A3 23.- La parte difícil es c) =) a); ya que hay que probar que es homomor…smo. Pero para a 2 A y b 2 B se tiene aba 1 b 1 2 A \ B = feg por las hipótesis de c): 24.- Es fácil demostrar que s5 = s13 = 1: 25.- Es fácil demostrar que s7 = s5 = 1:

209 26.- En el grupo de orden 56 s2 = 1 o s7 = 1: En el grupo de orden 132 se tiene s2 = 1; o bien s3 = 1; o bien s11 = 1: 28.- s2 = 1; o bien s3 = 1 o bien s5 = 1: Sí, G es resoluble. Si G es de orden 60 y H es subgrupo normal propio de G el grupo cociente G=H es resoluble. Esto se obtiene argumentando con los posibles órdenes de H y de G=H. 29.- s7 = 8 = OG (P ) = (G : NG (P )) =) #NG (P ) = 21: Si #H = 14 H contiene un 7 subgrupo de Sylow P que es normal en H y por tanto H NG (P ) lo que es imposible pues #NG (P ) = 21: 30.- a) (H : H\P ) (HP : H) = (P : H\P ) (HP : P ) ; y como(HP : H) = (P : H \P ) al ser HP=H = P=H \P resulta que (H : H \P ) divide a (G : P ) y por tanto es primo con p: Además H \ P es p grupo:b) Para #G = pm r; #H = pn l se tiene n m y r = ls con s 2 Z: Por a) #(H \ P ) = pn y por el teorema de Lagrange #(G=H) = pm n s y #(HP H) = #(P=H \ P ) = pm n . 31.- a) Necesariamente sp = 1: b) Tiene un subgrupo normal de orden 7 y un subgrupo de orden 3. 32.- Si P es p-subgrupo de Sylow y K es subgrupo de orden 2 entonces P es normal y así KP=P = K pues K\P = feg; con lo que resulta #(KP ) = 2p y por lo tanto G = KP: Ahora K =< x >; con x2 = e; y P =< y > con jyj = p: Si G no es cíclico jxyj = 2 o bien jxyj = p: Como P es el único psubgrupo de Sylow de G necesariamente (xy)2 = e =) xy = (xy) 1 = y 1 x: Como G =< x; y > de lo anterior se deduce G = D2p : 33.- Estudiando los posibles períodos de los elementos de G se demuestra que s3 = 1 o s2 = 1; y que, por tanto, existe un subgrupo normal de orden 3 o de orden 4. El grupo cociente es de orden 4 o de orden 3 y por lo tanto es resoluble. Ahora se aplica (1.3.13). 34.- a) G es un p-grupo si p = q: Si p > q, sp = 1 y el único p-subgrupo de Sylow P es normal en G siendo el cociente G=P de orden primo q. b) Se puede suponer p < q pues en caso contrario el único p-subgrupo de Sylow sería normal y G sería resoluble. Ahora sq = 1 + kq j p2 =) sq = 1 (en cuyo caso el único q-subgrupo de Sylow de G es normal y G es resoluble por (1.3.13)) o sq = p2 (pues p < q); en este caso kq = (p 1) (p + 1) y entonces p < q j p + 1; por lo que q = p + 1: Necesariamente se tiene p = 2 y q = 3; con lo cual #G = 12 y así G es resoluble. 35.- a) D2;4 no es abeliano, Z2 Z2 Z2 no tiene subgrupo cíclico de orden 4. b) Ninguno cíclico; todos resolubles. c) Todos. 36.- a) q primo, q 6= p; q j #G =) 9x 2 G con jxj = q: b) Zp2 Zp Zp :

210

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

37.- a) s5 = 1: b) G = HK = G=H G=K pues jHj = jG=Kj = 5 y jKj = jG=Hj = 2 números primos. 38.- a) Si p < q y H es q-subgrupo de Sylow de G; entonces H es normal en G y G=H es cíclico de orden p: S3 no es abeliano. b) pq j #G; p 6= q números primos=) 9H; K subgrupos de G con H * K y K * H). c) # (Aut(Zn )) = # fm 2 Z j0 < m < n; y (m; n) = 1g : 39.- a)i) Es (1.2.24); ii) Es (1.2.12) aplicado a ZG :b) i) G=(fidg Z4 ) = 0 = S3 tiene un único subgrupo de orden 3 que es A3 ; iii) < (1 S3 ; ii) S3 2) > Z4 no es normal en G: 40.- a) G Tiene un subgrupo normal H de orden 11. b) G=H es de orden 40 y tiene un subgrupo normal de orden 5 y el teorema de la correspondencia proporciona un subgrupo normal K de G tal que H K y K=H de orden 5. 41.- (ab) (cd) = (abc) (bcd); y (ab) (bc) = (abc) 42.- Para n 3 obsérvese que si es un 3-ciclo, entonces < >=< (1) 2 > Sn ya que 2 es un conmutador ( es par). Como consecuencia del (1) ejercicio 41 se tiene An Sn An ya que Sn =An = Z2 es grupo abeliano 1.3.15. Capítulo 2 1.- a) El homomor…smo de anillos ' [X] : A [X] ! (A=J) [X] de…nido por ' [X] (an X n + an 1 X n 1 + ::: + a1 X + a0 ) = an X n +an 1 X n 1 +:::+a1 X+a0 es sobreyectivo y de núcleo J [X] : b) J primo de A () A=J es dominio de integridad() (A=J) [X] u A [X] =J [X] es dominio de integridad() J [X] es ideal primo de A [X] : c) No, (A=J) [X] no es cuerpo. 2.2 Z cero de f () f = (X )g con g 2 Z [X] =) f (0) = (0 )g(0); f (1) = (1 )g(1) =) f (0) es par o lo es f (1): 3.- X 5 10X + 12 = (X 2 + 2) (X 3 2X) 6X + 12; por lo tanto la solución es n = 2; 3; 6: 4.- Z [X] =(n; X) = (Z [X] =(n)) = ((n; X)=(n)) = Zn [X] =(X) = Zn : 5.- (Sol.: a) f (X) es irreducible y no lineal en Z2 [X] =) f (0) 6= 0 6= f (1) =) f tiene precisamente un número impar de coe…cientes no nulos. b) X; X + 1; X 2 + X + 1; X 3 + X 2 + 1; X 3 + X + 1; X 4 + X 3 + X 2 + X + 1; X 4 + X 3 + 1; X 4 + X + 1): 6.- a) f + J = r + J donde f = g(X 3 + 2X + 1) + r y @ (r) < 3 si es r 6= 0: Además r + J = r0 + J con r 6= r0 =) r0 = h(X 3 + 2X + 1) + r para un cierto h 2 Z3 [X] ; h 6= o =) @(r0 ) > 3: b) X 3 + 2X + 1 es irreducible en Z3 [X] , F = Z3 [X] =J es cuerpo (2.4.4). c) dimZ3 F = 3:

211 7.- p 7X 4 28p= 7(X 2 2)(X 2 + 2) en Z [X] y en Qp [X] ; 7X 4p 28 = 2 7(X 2)(X R [X] ; 7X 4 28 = 7(X 2)(X + 2)(X p + 2)(X + 2) en p 4 4 28 = X en Z2 [X] : i 2)(X + i 2) en C [X] ; 7X 8.- De una hipotética factorización en polinomios no constantes de f en Q [X] se obtiene que f = gh, con g; h 2 Z [X] (2.4.19) y con @ (g) = r > 0; @ (h) = s > 0: Si g = br X r + ::: + b0 y h = cs X s + ::: + c0 se tiene an = br cs y a0 = b0 c0 : De las hipótesis se obtiene 'p (f ) = a0 = b0 c0 = 'p (g)'p (h) =) @('p (g)) = @('p (h)) = 0; y entonces p j br y p j cs ; con lo cual p2 j an = br cs lo que es contrario a la hipótesis. 9.- X 7 2X 5 +14X 2 8X+22 es irreducible (2.4.25) en Q [X]; 4X 3 X 2 +7 es irreducible en Q [X]; X 3 + 2X 2 + 1 es irreducible en Z3 [X] ; X 4 + 4 = (X 2 2X + 2)(X 2 + 2X + 2); '2 (X 5 2X 3 + X 2 4X + 3) = X 5 + X 2 + 1 es irreducible en Z2 [X] ; X 4 3X 2 + 9 = (X 2 + 3X + 3)(X 2 3X + 3); 3X 5 6X 3 21X 2 15X + 100 es irreducible en Q [X] (Eisenstein) ; (X 2 7)(X 6 1) = (X 2 7)(X 1)(X +1)(X 2 +X +1)(X 2 X +1); X 3 X +(3n+2) es irreducible en Q [X] (X 3 + 2X + 2 es irreducible enZ3 [X]): 10.- a) '2 (f ) = X 5 + X 2 + X = X(X 4 + X + 1):b) f no admite factores de grado 2 ni de grado 3 en Z [X] por no admitirlos '2 (f ) en Z2 [X] : 11.- a) '2 (f ) = (X 3 + X + 1)2 :b) '3 (f ) = (X 2 + 1)3 : c) f es irreducible en Z [X] y en Q [X] (como consecuencia de a) y b) no tiene factores de grados 1,2 o 3). 12.- a) J = ff 2 Z [X] j f (0) = 0g = (X) por el teorema del factor y Z [X] =(X) = Z =)J primo no maximal. b) X 4 + 6X 2 + 7 no tiene factores de grado 1 ni de grado 2. 13.- a) n 2 Zn f 7; 4; 1; 2g : b) '2 (X 3 + mX + n) = X 3 + X + 1 es irreducible en Z2 [X] :c) f1; 1; p; pg * fceros de f g : 14.- f = (X 2 p 2X + 2)(X 2p+ X + 1) en R [X] ; f = (X (1 + i))(X 1+i 3 1 i 3 (1 i))(X )(X ) en C [X] : 2 2 Capítulo 3 1.- Para 2 F K considérese la torre K K( ) F y aplíquese el teorema del grado. 2.- X 2 7; X 2 4X + 1; e es trascendente sobre Q; X 5 7; X 2 6X + 10; X 4 + 2X 2 1; X 4 + X 3 + X 2 + X + 1: 3.- a) Ambas igualdades son consecuencia inmediata de las de…niciones. b) Se puede proceder por inducción en n: Para n = 1 es el apartado ii) del teorema 1.2.2.

212

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

p p 4.- a) Pruébese que 2 2 Q(i + 2) y aplíquese elpteorema del grado. b) p 2 2 i) X 2iX 3; ii) X 2 2X + 3; iii) X 2 1 2i 2: p p p p 2 5.Si = 3 + 4i + 3 4i se obtiene = 16: Si = 1 + 3+ p p p 2 1 3 se obtiene = 2 + 2i 2: 2 6.- Si 2 = K( ) se obtiene que [F : K] es necesariamente par. 7.- a) i) 2; ii) 3. b) X 3 6X 6: 8.- De la hipótesis se deduce fácilmente que [F : Q] es potencia de 2, p 3 mientras que Q 2 : Q = 3: 9.- 8 10.- En el caso contrario se tendría que @(f ) j [F : K]. 11.- Utilizando el problema anterior 2 = K( ) y 2 = K ( ) ; y se prueba que @(Irr ( ; K ( ))) = @(Irr( ; K)) por el teorema del grado, lo que proporciona el resultado y que [K (a) \ K ( ) : K] = 1. 12.- Pruébese, en primer lugar, que, bajo las hipótesis de …nitud, se tiene la igualdad EF = E [F ] = F [E] : Si es una K-base de E 1 ; 2; :::; n entonces 1 ; 2; :::; n es un sistema de generadores de EF como F -espacio y así [EF : F ] n: De modo análogo se obtiene [EF : E] m: La aplicación del teorema del grado y la condición (n; p m) = 1 proporciona el resultado. Q: ii) Es consecuencia de i): iii) 13.- a) i) En tendría 2 2 p p otro caso p se p Pruébese que 2 2 Q 2 3 : b)X 2 2 3X +1: c) X 5 2 = Irr( ; Q) = p p Irr( ; Q 2; 3 ) ya que 5 y 4 son primos entre si 14.- a) Utilícese elpmétodo constructivo de la prueba del teorema del p 3 grado que 4: 2 forma parte de una Q-base de la extensión. b) p y obsérvese p p Q 62 Q 2; 3 2 y ambas extensiones tienen el mismo grado sobre Q. p p c) También es generador de la extensión anterior el elemento 2 + 3 2 cuyo polinomio irreducible sobre Q ha de ser, entonces, de grado 6. 1 15.- a) = 21 2 1; 2 +1 +1 = 72 2 37 + 57 , u = 6 : b) Irr (u; Q) = X 3 + 72X + 532; Irr(1= ; Q) = X 3 + X 2 + 21 : 16.- a) Aplicación directa de la teoría. b) f = (X ) :g con g 2 K ( ) [X] que tiene a y como ceros. c) g = (X ) (X p ) : p 17.- a) Irr( ; Q) =X 4 2X 2 2; Irr( ; Q 3 ) =X 2 (1 + 3): b) [F : Q] = 4: 1 18.- a) 2 K ( ) ; 2 K ( 1 ) =) K ( ) = K ( 1 ) : b) 3 y 8 son primos entre si. 1 19.- f es irreducible en Q [X] (Eisenstein) = 21 5 : Irr( 1 ; Q) = X 6 21 :

213 20.- a) 1 i 2 C es también un cero de f 2 R [X] =) f = (X 2 2X + 2) : (X 2 + X + 1) ; ambos factores irreducibles en Q [X] ; la factorización en C [X] p p 3 1 1 es f = (X [1 + i]) (X [1 i]) X + 23 i X i : 2 2 2 p p p 3 2+c 5 2 = 0 con a; b; c 2 Q; b) De una relación de dependencia a 2+b p lineal p p si fuese a 6= 0 se tendría Q 2 Q 3 2; 5 2 y resultaría que 15 es par. De modo análogo se descarta b 6= 0 y c 6= 0. 21.- a) f = 2 (X 3 + 5X + 2) ; f es irreducible en Q[X]; y no lo es en p 5 R [X] ni en C[X]; f es irreducible en Q( 2)[X] al ser de grado 3 y no p tener ningún cero en Q( 5 2); siendo 3 y 5 primos entre si (ejercicio 10). b) Irr(1 + ; Q) = X 3 3X 2 + 8X 4; Irr(a 1 ; Q) = X 3 + 25 X 2 + 21 . 22.- a) f = (X 2 + 2) (X 2 2X + 3) en todos los casos. b.1) No. b.2) No. 23.- a) Del ejercicio 5 resulta directamente Q( ) = Q( 2 ): Además 2 = p 2 p p p ( 2) 2 2 Q( 2); y si fuese Q( ) = Q( ) = Q( 2) se tendría Q Q 2 2 p Q ( ) lo cual es imposible por el teorema del grado). b) Para = 2 se 3

tiene [Q( ) : Q] = 6 y p2 + p2 + 1 = 0 =) 6 + 4 4 + 4 2 8 = 0. 24.- a) F = K( 1 ; 2 ; ::; n ) con cada i algebraico sobre K: Entonces EF = E( 1 ; 2 ; ::; n ). b) Por aplicación directa del teorema del grado. c) Para x 2 EF existen 1 ; 2 ; ::; n 2 F tales que x 2 E( 1 ; 2 ; ::; n ) y entonces se aplica a). d) La concatenación de extensiones algebraicas es algebraica. 25.- La equivalencia se obtiene fácilmente considerando que K [X; Y ] = K [X] [Y ] : 26.- La evaluación : K [X1 ; X2 ; :::; Xt ] ! F para fX1 ; X2 ; :::; Xt g ! F dada por (Xi ) = ui (i = 1; :::; t) es un isomor…smo y por tanto K(u1 ; u2 ; :::; ut ) = K (X1 ; X2 ; :::; Xt ) : 27.- Por recurrencia constrúyase un subconjunto fu1 ; u2 ; :::; ut g trascendente sobre K tal que cada uj es algebraico sobre K(u1 ; u2 ; :::; ut ); para j = t + 1; :::; n 28.- a) Cada polinomio f 2 A [X] puede ser identi…cado con un conjunto ordenado …nito de (posiblemente con repeticiones) de A. P elementos #I Por ello #A [X] (#I) = #A: La desigualdad es consecuenI2PF (A)

cia de encontrar a un polinomio representado en diferentes conjuntos …nitos de elementos de A (p.ej: aX 2 + c = aX 2 + 0X + c; y por lo tanto forma parte de I = fa; cg y de J = fa; 0; cg); PF (A) es el conjunto de

214

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

las partes …nitas de A; cuyo cardinal es el mismo que el de A al ser éste no …nito. b) A [X] = t2N AX t = t2N Mt : c). Si, para cada t se pone rt ::: veces Mt = A A A; entonces se vuelve a tener t2N Mt = i2N Ai ; con Ai = A 8i 2 N: d) K = (A (A f0g)) , en donde es la relación de equivalencia (a; b) (c; d) :() ad = bc: Por tanto (por el Axioma de Elección) existe una aplicación inyectiva K ! A (A f0g) y así resulta #K # (A (A f0g)) #A). 29.- La segunda a…rmación es consecuencia de la primera y de la HipóteS sis del Continuo. Para demostrar la primera obsérvese que F = E E:K …nita

donde todos los E son K espacios de dimensión …nita: Como existe un homoS L S E mor…smo sobreyectivo E ! E entonces #

#

L

E:K …nita

E

E:K …nita

E:K …nita

= #K. La desigualdad es consecuencia del Axioma de Elec-

E:K …nita

ción -como antes - y la igualdad del apartado c) del ejercicio anterior Capítulo 4 1- Aplicación directa de la teoría 2.p cuerpos de escisión y sus grados sobre Q son, respectivamente:p p Los Q i 2; i 3 ; 4; Q ( ) ; 6 siendo una raíz primitiva séptima de 1; Q i 3 ; 2; p p p Q i; 4 3 ; 8; Q 2; ; 4 con una raíz primitiva sexta de 1; Q i; 3 ; 4; p p p p p Q 7; 3 ; 4; Q 5 2; ; 20 con una raíz primitiva quinta de 1; Q( 3 2; 7 ; ); 12 con Quna raíz primitiva cúbica de 1. p k 3 2 2 (X 3) con raíz primitiva duodécima de 1, 3.- f = 11 X k=0 p 2 i teniendo en cuenta que i p =2 3 si = e 12 ; [E : Q] = 12: 4.- a) Ef = Q (1 + i) 2 ; b) Ef = Q (i) : 5.- a) f es irreducible en Q[X] y tiene un cero 2 R , y así f (X) = X 3 X 1 = [X 2 + X + ( 2 1)] (X ) : Como = 2 4( 1) = 2 3 (3 4) < 0, pues en otro caso se tendría 1 < 0; los otros ceros de f no son reales y se aplica (??): GalQ (f ) S3 ; b) S3 ; S3 ; Z3 ; respectivamente. 6.- Aplicación directa de la teoría. p p 2 i 2 i 6 7.- a) Ef = Q ; 2 y Eg = Q !; 3 2 con = e 6 y ! = e 3 ; [Ef : Q] = 12: b) 1; ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 es una Q-base de Q( ); y 6 2 = 0 =) 1 = 21 5 : 8.- El resultado se tiene al conocer los ceros de f y de g en C.

215 9.- a) p Es de grado impar. b) Criterio de Eisenstein y 3, 5 son primos entre si. c) Q 3 2; i : Q no es normal pues el polinomio X 3 2 tiene un cero en p el cuerpo Q 3 2; i pero no escinde en él. 10.- [Q( ; ) : Q] = 6: 11.- La primera parte es fácil. El ejemplo se puede dar con el polinomio f = (X 2 2) (X 5) : 12.- Resolviendo la ecuación bicuadrada f = 0 resulta 1 f = (X ) (X ) (X + ) (X + 1 ) : 13.- 6 14.- [L1 : Q] = 2p= [L2 : L1 ] ; el polinomio f = X 4 2X 2 2 es el p 3 + 1 sobre Q, f tiene un cero en L2 pero = irreducible de = p p 1 3; que es también cero de f; no pertenece a L2 : 15.- a) f = (X 2) (X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) ; Ef = Q ( ) con 6= 1 y 5 (1), [Ef : Q] = 4: b) X 3 3aX + 3 es irreducible en Q[X] y si este último polinomio tuviese un cero en común con f se tendría que 3 es divisor de 4, como consecuencia del p teorema del grado. 16.- Q ( ) : Q i 5 = 2; Irr( ; Q) =X 4 + 20 tiene un cero en Q ( ) p pero 4 5 (1 i) 2 = Q ( ) ; la clausura normal es el cuerpo de escisión de p 4 4 X + 20 sobre Q es decir Q 5; i : p 17.- Ambos tienen dimensión 2 como Q-espacios; si : Q (i) ! Q 2 fuese un isomor…smo se tendría que 1 es un cuadrado en R. 18.- a) No existe ninguno. b) Q ( ) = Q ( ) y la extensión Q ( ) : Q es cuerpo de escisión del polinomio X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 sobre Q. 6 19.- a) [Q ( ) : Q] = 4: El algoritmo de Euclides proporciona +2 5 p 4 3 4 2 3 2 + 1 = ( + 28)( + 2 ) 28 56 + 1: b) Q 7; i :No. 20.- a) [E : Q] = 20:b) Con raiz primitiva 5a de 1, Q ( ) : Q es normal de grado 4 =) H = Gal(E=Q ( )) = G es el único subgrupo 5-Sylow de Gal(E=Q):c) Si L es subgrupo de G de orden 10 (teorema de la correspondencia) E L : Q = 2: La teoría de Sylow proporciona un subgrupo M de G de orden 2 y E M : Q = 10: 21.- a) @(Irr( + 6 ; Q)) = 3: b) 1 + 2 + 4 : c) Es fácil Capítulo 5 p p p 1.- Z2 Z2 ; Q; Q( 2); Q( 3); Q( 6). 2.- a) p Ef = Q(i); G = GalQ (f ) Z2 ;b) [Ef : Q] = 4; G Z2 Z2 ; c) 3 Ef = Q 2; con primitiva cúbica de 1, #G = 6; y G no es abeliano.

216

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

p 3.- X 4 + 1 es irreducible en Q [X] y E = Q 2; i) contiene dos subextensiones de grado 2 sobre Q. 4.- a) Si es raíz primitiva quinta de 1, Irr( ; Q) =X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 y E = Q ( ) ; 1; ; 2 ; 3 es Q-base de E; y el automor…smo : E ! E de…nido por ( ) = 2 genera el grupo G = Gal(E=Q). b) 2 genera el 2 único subgrupo propio de G cuyo cuerpo …jo E < > = Q 2 + 3 es el único cuerpo estrictamente intermedio entre Q y E: c) Irr( 2 + 3 ; Q) =X 2 +X 1; e Irr( ; Q( 2 + 3 )) = X 2 + 1 + 2 + 3 X + 1. p p p 5.- E = Q( 4 2; i). Si es el automor…smo de E de…nido por ( 4 2) = i 4 2, y (i) = i, entoncesp generap un subgrupo de orden 4. Si es el automor…smo 4 2 = 4 2 y (i) = i, entonces H := f1; 2 ; ; 2 g y de E dado por L := f1; 2 ; ; 3 g son también subgrupos de G de orden p 4. Los p cuerpos …jos correspondientes a estos tres subgrupos son Q(i); Q( 2); Q(i 2): 6.- Si p = 2 es trivial. Para p 6= 2; 2 es también raíz primitiva p-ésima de 1. Por tanto si ( ) = ( 2 )t , se tiene = t : 12 2 i 7.- Si = e 13 se tiene cos 213 = +2 = +2 ; y así Q cos 213 = Q + 12 : Ahora G = Gal( Q ( ) =Q) =< >, siendo Q ( ) = 2 (problema anterior). 12 r Por (5.1.4) se puede escribir Irr( + ; Q) = ( + r ( + 12 )2O ( + 12 ) (X G 12 )) que resulta ser de grado 6 (el período de := jQ( + 12 ) es 6). El grupo Gal(Q + 12 =Q) se obtiene como cociente de G y está generado por . Tiene por tanto solamente dos subgrupos no triviales < 3 > y < 2 >. 2 i 8.- Por el problema 6, G = Gal(Q(e 7 )=Q) =< > es cíclico de or6 2 i den 6 con ( ) = 2 . Además isen( 27 ) = 2 donde = e 7 ; con lo cual 6 6 Q(isen( 27 )) = Q( ): Como Gal(Q( )=Q) es cociente de G y por tan2 i to cíclico generado por = jQ( 6 ) y j j = 6 se tiene Q(e 7 ) = Q(isen( 27 )):

9.- Zpq =< > con j j = p: Los únicos subgrupos no triviales de < > son < p > y < q > : Q 1 10.- n = 2m: Si i2 = 1; se pone f = m i)] = j=0 [X + (j + i)] [X + (j Qm 1 2 2 j=0 (X + 2jX + j + 1) 2 Q [X] : El cuerpo de escisión de f sobre Q es Q(i): 2 i 11.- := e p : G = Gal(Q ( ) =Q) es cíclico de orden 2q: Si q = 2 el grupo G es isomorfo a Z4 que tiene solamente un subgrupo no trivial. q 6= 2 =) G = Z2 Zq = Z2q: p 12.- Sólo es necesario probar ii) =) i):De ii) resulta que Qp( 3 n) : Q es normalp(ya que Q( ) : Q es abeliana)=)todos los ceros de Irr( 3 n;p Q) están p p 3 3 3 3 en Q ( n) : Entonces, o @Irr( n; Q) =1(() n 2 Q) o 1 < @Irr( n; Q) 3

217 p lo que implica que Irr( 3 n; Q) tiene raices complejas no reales y por lo tanto p 3 no pueden ser elementos de Q ( n) R, lo que contradice la normalidad de p 3 Q ( n) : Q. 13.- a) Irr( ; Q) =X 6 + X 5 + ::: + X + 1: b) tiene período 6. c) La G órbita de 1+2( + 2 + 4 ) es 1 + 2( + 2 + 4 ); 1 + 2( + 2 + 3 ) ; y se aplica 5.1.4.p p 14.- E = Q 4 2; i) y así [E : Q] = 8; = i + 4 2 2 E y #(G orbita de ) = grad(Irr( ; Q) = [Q ( ) : Q] 5 ( 5.1.4) que no puede ser divisor de 8. El teorema del grado se p aplica p ahora. 15.- a) No. Ef = Q 2; i 3 y [Ef : Q] = 4:b) Aplicación directa de la teoría. 16.- a) #G = 20: b) Si es raíz primitiva quinta de 1 entonces 2 Ef ; cuerpo de escisión de f sobre Q, H = Gal(E p f ; Q ( )) es de orden 5. c) La torre G H feg es abeliana. d) Si = 5 2 la extensión Q ( ) : Q no es normal. e) G es isomorfo a un subgrupo de S5 que contiene un 5-ciclo. 17.- a) X 7 5 tiene un cero en E y no p escinde en p E: b) p E es cuerpo de escisión de (X 2 2) (X 2 + 1) sobre Q 7 5 ; 1; 2; i; i 2 : c) G = p p p p fidE ; ; ; g donde 2 = 2; (i) = i; 2 = 2; (i) = i; p p p p 2 = 2; (i) = i: d) 2 + 5i pertenece a la G-órbita de 2 + 5i: 18.- a) 8 (X) = X 4 + 1: b) Falso. c) Falso. 6 19.- a) Q $ Q 6 = Q 3 $ Q ( ) : b) Irr( 2 ; Q 6 ) = X 3 20.- j j = pr ()

pr

1

= p:

21.- De n = 2k + 1 se obtiene que 1 es un cuadrado en K: El resto es fácil. 22.- '(n) = 2 =) n = 2; 3; 6: 23.- La primera a…rmación es consecuencia directa del teorema de Lagrange. Además Un y Um son subgrupos de Un:m , para los que es fácil demostrar que la aplicación : Un :Um ! Un Um de…nida por ' (x:y) = (x; y) es isomor…smo de grupos. 24.- rr:s es raíz primitiva s-ésima de 1 si r y s son primos entre si, y entonces Q ( n ),Q ( m ) Q ( n:m ) : Por otra parte n : m es primitiva n:mésima y eso proporciona Q ( n:m ) Q ( n ) Q ( m ) : La segunda a…rmación resulta de la igualdad '(n:m) = ' (n) ' (m) - donde ' es el indicador de Euler- y de contar los grados de las extensiones implicadas.

218

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

Bibliografía [1] COHN,P. Algebra (vol 1 y 2) Wiley (1984, 1989). [2] CASTELLET, M. & LLERENA, I. Álgebra Lineal y Geometría. Ed. Reverté S.A. UAB. (1991). [3] COX, D. A. Galois Theory. Wiley (2004) [4] DELGADO, F.; FUERTES,C.; XAMBÓ, S. Introducción al Álgebra: Anillos, Factorización y Teoría de cuerpos. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Cientí…co. Univ. Valladolid (1998). [5] DUMMIT, D.S. Abstrac Algebra.Wiley (1999). [6] ESCOFIER, J.P. Galois Theory. GTM 204 Springer (2000). [7] FENRICK, M.H. Introduction to the Galois Correspondence. Birkhäuser (1992). [8] GARLING, D.J.H. A Course in Galois Theory. Cambridge Univ.Press (1986). [9] HARDY, G.M. y WRIGHT, E.M. An intruduction to the theory of numbers. Oxford at the Clarendon Press (1959) [10] LANG, S. Algebra. Addison-Wesley (1993). [11] NAVARRO, G. Un curso de Álgebra. Universitat de Valencia (2002). [12] ROTMAN, J. Galois Theory. Springer-Verlag (1990). [13] ROWEN, L. Algebra. Groups rins, and …elds. AK Peters (1994). 219

220

BIBLIOGRAFÍA

[14] STEWART, I. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics (1980).