Curso y ejercicios de matemáticas para la Selectividad y su fase específica Eric Dubon

Profesor de matemáticas del Liceo Francés de Alicante Pierre Deschamps. Doctorando del departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Alicante. Miembro de la red de docencia sobre las matemáticas de la Universidad de Alicante 2009-2010. Titular de la “Maîtrise” de matemáticas de la Universidad de Montpellier 2 (Francia). Titular del DEA de matemáticas de la Universidad de Montpellier 2 (Francia). Titular del grado de Máster Francés. Titular de la Licenciatura de Matemáticas española. Titular del DEA de matemáticas (programa de doctorado) de la Universidad de Alicante. Titular del grado de Máster de la Universidad de Alicante.

Curso y ejercicios de matemáticas para la Selectividad y su fase específica © Eric Dubon ISBN: 978-84-9948-263-7 Depósito legal: A-821-2010 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33 C/ Decano, n.º 4 – 03690 San Vicente (Alicante) www.ecu.fm e-mail: [email protected] Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/ Cottolengo, n.º 25 – 03690 San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected] Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Índice general 1. Divisibilidad y factorización de polinomios, fracciones algebraicas y resolución de ecuaciones 5 1.1. Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Matrices. Teoría general 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Principales definiciones y propiedades . . . . . 2.3. Aritmética de las matrices . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Producto de un número por una matriz 2.3.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . 2.4. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Matrices: rango y cálculos de determinante 3.1. Espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal . 3.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . 3.2. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Los determinantes de matrices. Métodos de cálculo y matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Los determinantes de matrices cuadradas de dimensión 2 o 3. Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . 3.3.2. Menor Complementario y adjunto . . . . . . . . . 3.3.3. Cálculo del determinante de una matriz de cualquier orden y principales propiedades . . . . . . . . . . . 3.3.4. Matriz inversa utilizando los menores . . . . . . . 1

15 15 15 17 18 18 19 22 25 25 25 25 26 27 31 31 33 36 37

4. Sistemas de ecuaciones 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Los sistemas de ecuaciones a través de las matrices. El teorema de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resolución con el método de Gauss-Jordan . . . . . . . . 4.4. Resolución con el método de Cramer . . . . . . . . . . . . 4.5. Resolución con la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . .

39 39

5. Los 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

49 49 49 50 52

vectores en el espacio Introducción . . . . . . . Producto escalar . . . . Producto vectorial . . . Producto mixto . . . . .

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39 42 45 48

6. Rectas, planos y problemas métricos en el espacio 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Generalización al espacio . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Posiciones de dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Posiciones relativas de dos planos . . . . . . . . . . 6.4. Posiciones relativas de una recta y un plano . . . . . . . . 6.4.1. Recta dada por su ecuación paramétrica y el plano dado por su ecuación implícita . . . . . . . . . . . 6.4.2. Recta dada por dos planos y plano dado por su ecuación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 57 58 62 66 67 68

7. Análisis: teoría de las funciones reales 7.1. Límites: cálculo y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Límite de una función en un punto . . . . . . 7.1.3. Cálculos de límites: reglas y ejemplos . . . . . 7.1.4. La regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . 7.2. Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. La continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. La discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. La derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Integrales: métodos de cálculo y aplicaciones . . . . . 7.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Los tipos de primitivas usuales . . . . . . . . 7.3.4. Primitivas de derivadas de función compuesta 7.3.5. Integración por sustitución . . . . . . . . . . 7.3.6. Integración de funciones racionales . . . . . . 2

71 71 71 71 72 74 76 76 79 80 82 82 82 82 83 84 90

. . . . . . . . . . . . . . . .

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68 68

8. Simulacro de pruebas

93

9. Solución de los ejercicios

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3

Introducción Las matemáticas son universales, es la manera de verlas, que puede ser distinta según el país donde se estudien. Nadie tiene la correcta forma de hacerlo y es, en parte, eso lo que da la riqueza y la originalidad a las matemáticas. Hay dos formas de ver a las matemáticas: como un lenguaje inventado por el ser humano para servir de herramienta a las otras ciencias como la física, química... o como la escuela de Pitágoras, que veía a los números como conceptos que el hombre podía comprender y descubrir con mucho esfuerzo intelectual. Es un poco como si la naturaleza tuviera a los conceptos matemáticos escondidos y nosotros tuvieramos que mostrarnos a la altura para verlos. ¿Cuál es la buena forma? Nadie lo sabe y nadie tiene razón. Cada uno puede hacer matemáticas por muchas razones diferentes. Eso es parte de la belleza de las matemáticas. En este libro se trata de poner en relieve las nociones más importantes de los primeros y segundos años de Bachillerato. Se debe utilizar como una herramienta de trabajo para preparar la Selectividad o la fase específica de la Selectividad. Lo he escrito con dos metas: 1. Completar la formación dada a los alumnos de los liceos franceses en España. 2. Ayudar a todos los alumnos a repasar sus cursos y preparar el examen de acceso a la Universidad española. Espero que los ejercicios propuestos os ayudarán a comprender y perfeccionar sus practicas.

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Capítulo 1

Divisibilidad y factorización de polinomios, fracciones algebraicas y resolución de ecuaciones 1.1.

Divisibilidad de polinomios

Se trata de aplicar a polinomios la famosa división euclidienne. No daré la definición de polinomio y confundiré el polinomio P con la función polinomial P (x). Definición 1 (División de polinomios) Consideramos P (x) y D(x) dos polinomios cuyos grados son do P y do D verificando do D < do P . Se dice que se hace la división de P (x) por D(x) si existen los polinomios Q(x) y R(x) tal que P (x) = Q(x) × D(x) + R(x) con la condición do R < do D. Observación: 1. Si R(x) = 0 se dirá que P (x) es un múltiplo de D(x) es decir P (x) = Q(x) × D(x). 2. Un polinomio es irreductible si no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. 5

Ejemplos: Los polinomios siguientes son irreductibles: x − 2 , x2 + 6 , x2 − 2x + 5.

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Comentario: Podemos considerar los polinomios irreductibles como los números primos en aritmética, es decir, un polinomio se puede escribir como producto de polinomios irreductibles.

1.1.1.

División de polinomios

Consideramos P (x) = 8x4 + 6x2 + 5x + 40 , D(x) = 2x2 − 2x + 3. 8x4 −8x4

+

8x3 8x3

−

3

8x

+

6x2

−

12x2

+

5x

6x2

+

5x

+

2

8x

−

12x

− +

−

2

2x

40

2x2 − 2x + 3 4x2 + 4x + 1

−

2x2

+

+

40

7x

+

40

2x

−

3

−5x

+

37

Entonces tenemos: 8x4 + 6x2 + 5x + 40 = (4x2 + 4x + 1)(2x2 − 2x + 3) − 5x + 37 .

7

Aplicaciones: Dividir P (x) por D(x) en los diferentes casos: 1) P (x) = x5 − 5x4 + x3 − 10 , D(x) = x2 + 4x + 1

2) P (x) = 2x5 + 10x4 − 8x3 − 8x2 + 8x − 6 , D(x) = 2x2 + 5x − 3

8

3) P (x) = 3x4 + 2x3 − x , D(x) = 3x2 − 2

1.1.2.

Regla de Ruffini

Se aplica esta regla cuando se trata de dividir un polinomio por un polinomio de la forma x − a (a ∈ R). Podemos obtener directamente los coeficientes del cociente y el resto de la división. Tendremos así P (x) = (x − a) × Q(x) + R(x) con do Q = do P − 1. La pregunta entonces es ¿como hallar a? Proposición 1 Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x−a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Ejemplo: Encontrar algún divisor x − a del polinomio P (x) = 2x3 − 6x2 + 8x + 16. Tenemos que hallar los divisores de 16. Por ejemplo intentamos con −4 y lo presentamos así: 2 −4 2

−6

8

16

−8

56

−256

−14

64

−240 9