Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

FUNCIONES

 x 2 + 1 , si x < 2  f ( x ) = 2x − 1 , si 2 ≤ x < 4 1.(97).- Para la función  5 , si x ≥ 4  (a)Estudiar razonadamente su continuidad en R (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función cuando x = −2 1 4 1 3 1 2 x + x + x 12 6 2 (a) Analizar sus puntos de inflexión en R (b) Analizar su máximo absoluto en R

2.(97).- Sea la función y =

3.(97).- La función c(t) = 144.t-1/3 + 100 proporciona los costes de fabricación por unidad para un determinado producto en función del tiempo, donde c(t) denota los costes en pta/unidad y t indica el tiempo transcurrido, medido en meses. Por otra parte, se estima que el precio de venta por unidad del producto anterior va a variar de la forma indicada a continuación: p(t) = 300 – 3t donde p(t) es el precio en pta/unidad y t denota el tiempo transcurrido, medido en meses. a) Determinar la expresión algebraica de la función b(t) que proporciona los beneficios totales, suponiendo que las ventas mensuales son constantes e igual a 100.000 unidades. b) ¿ Al cabo de cuántos meses se alcanza el beneficio total máximo? 4.(97).- La función de costes por unidad de tiempo asociada con los inventarios de unos almacenes viene dada por

c( x ) =

10x 2 − 20x + 250

donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias x2 y c(x) se mide en millones de pta por año. Se pide calcular: a) El tamaño de los pedidos que hace que c(x) alcance su valor mínimo, así como dicho valor. b) Las ecuaciones de las asíntotas de la función c(x).

5.(97).- El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de Enero ha venido dado por la función y(t) = 100 + 200.e0,2t , donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de Enero de 1996. a) ¿Cuántos enfermos había el citado día 1 de Enero? b) Calcular la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días. c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido de 803,42 enfermos/día. 6.(97).- El tiempo necesario para fabricar una unidad de un determinado producto disminuye a un ritmo dado por la expresión r(t) = 180.t-2 , donde t es el tiempo transcurrido en meses y r(t) se mide en minutos/mes a) ¿En cuántos minutos disminuye el tiempo de fabricación entre los meses 2 y 4? b) Si en t=1 el tiempo de fabricación es de 200 minutos, ¿cuánto tiempo se tarda en fabricar una unidad de producto al cabo de 6 meses? 7.(97).- El valor de un equipo informático decrece a un ritmo dado por ( 10.t - 50 ) miles de pta/año. Si el valor inicial del citado equipo era de 300.000 pta. ¿cuál será su valor al cabo de 5 años? 8.(97).- Se quiere cercar un campo rectangular mediante una valla, aprovechando un muro ya existente. Se sabe que la valla del lado opuesto al muro cuesta 300 pta. por metro y la de los otros dos lados 100 pta. por cada metro. Si el presupuesto disponible es de 300.000 pta., hallar el área del mayor recinto que pueda cercarse. 9.(97).- Sea la función y = 2x3 – 3x2 + x. Calcular el área del recinto limitado por dicha función y la función y = 0. 10.(97).-Calcular el área del recinto limitado por:

Manuel Ruiz

y = e-2x , x = −3 , x = −1 y el eje de abscisas.

1

Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

11(mod).- Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x3 − 3x2 + 8 y = 9x + 4

que sean paralelas a la recta

12(mod).- Los beneficios que se obtienen de la venta de x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión: B(x) = − 2x3 + 216x − 256. (a) Determínese el número de unidades a vender para el que se maximiza el beneficio medio B(x)/x. (b) ¿Para qué número de unidades se obtiene el beneficio máximo? 13.(98).- Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función: s(x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. a) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios. b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no. 14.(98).- Sea la función: f(x) = 2x3 + bx2 +ax − 5. a) Hállense los valores de a y b para que esta función tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2. b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX, entre x=0 y x=3. 15.(99).- Dada la curva de ecuación: y = −x3 + 26x calcúlense las rectas tangentes a la misma, que sean paralelas a la recta de ecuación: y = −x. 16.(99).- Se considera la función: f(x) = 2x3 − 21x2 + 60x − 32. (a) Hállense sus máximos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente. 17(99).- Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión: C(x) = 3x2 − 27x + 108. C( x ) a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio, M ( x ) = ? x b) Justifíquese que la función que define el coste medio, M(x), no tiene puntos de inflexión.

− x 2 + 5x , si 0 ≤ x < 5 f (x) =   x − 5 , si 5 ≤ x ≤ 10 a) Represéntese gráficamente. b) Estúdiese su continuidad.

18(99).- Sea la función:

19(mod).- (a) Calcúlense p y q de modo que la curva y = x2 + px + q contenga al punto (−2,1) y presente un mínimo en x=−3. (b) Hállese el área del recinto acotado por la curva y = x2 + 4x + 5 y la recta y=5. 20(mod).- El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la expresión:

P(t ) =

15 + t 2

donde t se mide en años transcurridos desde t=0. Calcúlense: ( t + 1) 2 a) La población inicial. b) El año en el que se alcanzará le mínima población. ¿Cuál será el tamaño de ésta? c) ¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?.

 x+2  x − 1 si x ≤ 2 f (x) =  2 21(00).- Se considera la función:  3x − 2x si x > 2  x + 2 (a) Estúdiese si f(x) es continua en el punto x=2.

Manuel Ruiz

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Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

(b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto x=3. (c) Calcúlense sus asíntotas oblicuas.

 − 2x − a si x ≤ 0  f ( x ) = x − 1 si 0 < x ≤ 2  bx − 5 si x > 2  (a) Hállense los valores de a y b para que la función sea continua en todo número real. (b) Represéntese gráficamente para los valores a=0 y b=3. (c) Para los valores a=0 y b=3, hállese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3

22(00).- Sea la función dependiente de los parámetros a y b:

23(00).- Dada la función, definida en los reales salvo en x=0: f(x) = 3−x−

2 , calcúlense: x

a) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. b) El área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y el semieje positivo OX.

340 + 330t − 10t 2 definida en los reales, salvo en t = −2, hállese: t+2 a) El valor positivo de t en el que se hace 0 la función b) El valor positivo de t en el que s(t) se hace máximo. c) Las asíntotas de s(t).

24(00).- Dada la función:

s( t ) =

25(01).- Una empresa fabrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 cm3, para almacenar un líquido colorante. Las cajas tienen la base cuadrada. Hállense la altura y el lado de la base de cada caja, para que la cantidad de latón empleada en fabricarlas sea la mínima posible.

1 3 1 2 x + x − 2x + 1 3 2 a) Determínense sus máximos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de inflexión. c) Esbócese su gráfica.

26(01).- Dada la función:

f (x) =

27(01).- Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b , g(x) = −x2 + c a) Determínense a , b y c sabiendo que las gráficas de f y g se cortan en los puntos (−2,−3) y (1,0) b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto (−2,−3). c) Calcúlese el área de la región limitada por f y g.

1 3 x . Calcúlese: 3 a) Los intervalos donde es creciente y decreciente. b) Las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. c) El valor de x para el que es máxima la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x).

28(01).- Sea la función

f(x) = 2 x 2 −

29(02).- a) Hallar las coordenadas del mínimo de la curva: y = x2 − 4x − 5. b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX. 30(02).- Se considera la curva de ecuación: y = x3 − 4x. a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máximos y mínimos relativos, si existen. b) Representar gráficamente la curva. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX.

31(02).- Para cada valor de a se considera la función f ( x ) =

Manuel Ruiz

3x 2 − ax . Se pide: x+2

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Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

a) Calcular el valor de a para que f(x) tenga un mínimo relativo en x = 2. b) Hallar las asíntotas de la curva y = f(x) para el valor a = 3. 32(02).- Calcular el valor a > 0 en los siguientes casos: 3 1 a 1 3 1 a) dx = a ; b) dx = 3 ; c) dx = 5 0 x +1 0 x+a 0 x +1

∫

∫

∫

33(mod).- Para cada valor de a se considera la función: f(x) = 2x + ax2 − 4lnx. a) Calcular el valor de a sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 1. Clasificar el extremo. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para a = 3. c) Hallar sus asíntotas.

1 , x ≠ 0. x a) Hallar las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Esbozar la gráfica de f.

34(mod).- Se considera la función: f ( x ) = x +

35(03).- Sean las funciones f(x) = x2 − 9 , g(x) = x2 − x − 6. Calcular: f (x ) a) lim x → 3 g( x ) b) Los extremos relativos de g(x), si existen. c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x), el eje OX y las rectas x=3 , x=6.

x 1− x2 a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular sus asíntotas. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 0.

36(03).- Dada la función f ( x ) =

2

37(03).- Se considera la función f(x) = x ⋅ e x . a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 1. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) para x ≥ 0, el eje OX y la recta x = 2.

− x3 + 1 . Se pide: 2x 2 + 2x − 12 a) Especificar su dominio de definición. b) Estudiar su continuidad. c) Calcular las asíntotas si las hubiera.

38(03).- Sea la función f ( x ) =

1

39(04).- Calcular la integral definida:

∫ ( x + x + 1) ⋅ dx

−1

40(04).- Se considera la función real de variable real definida por: f(x) =

x2 − 4 x2 −1

a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas.

x3 − ax 2 + 5x + 10, a ≠ 0 . a a) Obtener los valores de a para los cuales la función f(x) tiene un máximo en x = 1. b) Calcular los extremos relativos de f(x) para a=3 y representar la función.

41(04).- Se considera la función real de variable real definida por: f ( x ) =

Manuel Ruiz

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Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

42(04).- Sean las funciones: f(x) = x2 − 2x − 8 ; g(x) = −

x2 + x + 4. 2

f (x ) g(x ) b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas f(x) y g(x). a) Calcular lim

x→4

43(mod).- Sea la función: f(x) = x3 − 3x. a) Calcular sus extremos relativos y los puntos de inflexión. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x) , el eje OX y las rectas verticales x = −1 , x = 1/2. 44(mod).- Se considera la función real de variable real definida por: 2 2x − 3x + 1 si x ≤ 1 f (x) =   ln x si x > 1 a) Estudiar la continuidad de f(x) en x = 1. b) Esbozar su gráfica. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en x = −1.

− x 2 + 9 x − 16 representa, en miles de euros, el beneficio neto de un x proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo.

45(05).- La función: B(x) =

46(05).- a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e2−x en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas. b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = x2 − 4x, el eje OX y las rectas x = −1 , x = 4. 47(05).- Se considera la curva de ecuación: y =

x3

. Se pide: x 2 +1 a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa x = 1. b) Hallar las asíntotas de la curva.

48(05).- Se considera la función real de variable real definida por: f ( x ) =

x2 x −9 2

a) Hallar sus asíntotas. b) Calcular sus máximos y sus mínimos relativos, si existen. 49(mod).- Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función f ( x ) = x 3 + 5x 2 + 2 x − 8 y el eje OX. 50(mod).- Calcular el valor de a>0 para que el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las curvas y = x 3 , y = ax , sea igual a 4. 51(06).- Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = x3 − 9x. Se pide: a) Calcular sus máximos y mínimos relativos, si existen. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función f y el eje OX. 52(06).- Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x2 + 8x. Se pide: a) Calcular el punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la curva dada y la de la recta y = x+8 53(06).- Dada la función real de variable real definida por: f(x) =

Manuel Ruiz

x 2 − 16 x2 −4

, se pide:

5

Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones

(a) Encontrar las asíntotas de la función. (b) Especificar el signo de la función en las distintas regiones en las que está definida. 54(06).- Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = 9 − x2 , g(x) = 3 + x y obtener su área. 55(07).- Dada la función real de variable real definida por: f ( x ) =

( x − 3) 2 x +3

a) Determinar las asíntotas de la función. b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. 56(07).- Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones: 5 1 1 f ( x ) = x 2 , g( x ) = (5x + 20) , h ( x ) = (−5x + 20) y obtener su área. 4 2 2 57(07).- Dada la función real de variable real definida por:

f (x) = a) b) c)

x2 − x x 2 − 3x + 2

Especificar su dominio de definición. Estudiar su continuidad. Calcular sus asíntotas si las hubiera

58(07).- La gráfica de la función f(x) = ax + bx + c satisface las siguientes propiedades: pasa por el punto (0,0) Tiene un máximo local en el punto (1,2). Se pide: a) Obtener el valor de los coeficientes a, b y c. b) Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función 3

2

g ( x ) = − x 3 + 3x , el eje OX y la recta x = 1. 59(mod).- Dada la función real de variable real definida por:

f (x) =

3x 2 x2 − 4

a) Calcular sus asíntotas y esbozar su gráfica b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0 60(mod).- Dada la función real de variable real definida por:

f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x , se pide determinar: a) Los puntos en los que la gráfica de f corta a los ejes de coordenadas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) El área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función y el eje OX. 61(2008).- Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real: f ( x) = x2 – x; g ( x) =1 - x2 62 (2008).- Se consideran la función real de variable real definida por::

f (x) =

x2 + x + 2 ,x≠0 x

a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense sus máximos y mínimos relativos y determínense sus intervalos de crecimiento. 2

c)

Calcúlese la integral definida

∫ f (x )dx 1

S. Sancho

6

Problemas de selectividad. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Funciones 63 (2008).- Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm3. La base y las paredes del acuario han de estar realizadas en cristal. ¿Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total del cristal empleado?. 64 (2008).- Se considera la función real de variable real definida por:

f (x ) =

x2 + 2 x2 − 4

x ≠ ±2

a) Determínense las asíntotas de f b) Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento. 5

c)

Calcúlese la integral definida:

∫

(x 2 − 4) f(x) dx .

3

65(modelo 2008-2009). Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = x3 + ax2 + bx ; a,b ∈ ℜ a) ¿Qué valores deben tomar a y b para que f tenga un máximo relativo en el punto P (1,4)?. b) Para a = -2 , b = -8 , calcúlese determínense los puntos de corte de la gráfica de la gráfica de f con los ejes de coordenadas y determínense los puntos de inflexión de dicha gráfica. c) Para a = -2 , b = -8 , calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.. 66(modelo2008-2009).- Se considera la función real de variable real definida por:

  f(x) =   

x2 x +a − x 2 + 5x + b

si

x 5

( a, b ∈ ℜ )

a) Calcúlense los valores de a y b para que f sea contínua en x = 2 y en x = 5. b) Para a = 1, b = 6, calcúlense las derivadas f ‘ (1) y f ‘ (7). 6

c)

Para a = 1, b = 6, calcúlese la integral definida

∫ f (x )dx . 3

S. Sancho

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Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

FUNCIONES 1(97).- (a) Cont. en R−{2,4}. (b) y = −4x −3. 2(97).- (a) No tiene P.I. (b) No tiene máximo absoluto. 3(97).- (a) b(t) = ( 200 − 3t − 144.t−1/3 ).100.000 (b) 2 meses. 4(97).- (a) 25 unidades, c(25) = 9’6 millones de pta. por año. (b) A.V. x = 0 A.H. y = 10. 5(97).- (a) 300 enfermos. (b) 40.e0,2t enfermos/día. (c) El 16 de Enero. 6(97).- (a) 45 minutos. (b) 50 minutos. 7(97).- 175.000 pta. 8(97).- 375.000 m2. 9(97).- 1/16 u2. 10(97).- 1/2 . ( e6−e2) u2. 11(mod).- y = 9x+13 , y = 9x−19. 12(mod).- (a) 4 unidades. (b) 8 unidades. 13(98).- (a) Al cabo de 1 año. (b) Sí, porque a continuación, s(x) crece. 14(98).- (a) a=12, b=−9. (b) 51/16 u2. 15(99).- y=−x+54, y=−x−54. 16(99).- (a) Máx. en (2,20). Mín. en (5,−7). (b) Crec. en (−∞,2)∪(5,+∞), decrec. en (2,5). (c) 17(99).- (a) 6 u. (b) M’’(x) no se anula en ningún punto. 18(99).- (a) (b) Continua en [0,10]

0 5 19(mod).- (a) p=6, q=9. (b) 32/3 u2. 20(mod).- (a) 15 millones. (b) A los 15 años; 937.500 individuos. (c) 1.000.000 de individuos. 21(00).- (a) No. (b) 59x − 25y − 72 = 0. (c) y = 3x − 8 (si x→ +∞).

22(00).- (a) a=1 b=3. (b)

(

)

(

. (c) 3 u2.

)

23(00).- (a) Máx. en 2 , 3 − 2 2 . Mín. en − 2 , 3 + 2 2 . (b) 3/2−2ln2 u2 24(00).- (a) t = 34. (b) t = 4. (c) A.V.: t=−2. A.O.: s = −10t + 350 25(01).- Lado base: 10 cm. Altura: 5 cm. 26(01).- a) Mín. (1,−1/6) ; máx (−2, 13/3). b) P.I. (−1/2 , 25/12). c) 27(01).- (a) a=2, b=−3, c=1. (b) y=4x+5. (c) 31/3 u2 28(01).- (a) Crec. en (0,4) , decr. en (−∞,0)∪(4,+∞). (b) Min (0,0), máx (4 , 32/3). (c) x = 2 29(02).- a) x = 2 , y = 9 . b) 54 u2.  − 2 16   2 − 16   , min. en   30(02).- a) (0,0) , (−2,0) , (2,0). Max. en  , ,  3 3 3  3 3 3 b) c) 8 u2

31(02).- a) a = 18. b) A.V. x = −2 , A.O. y = 3x − 9 32(02).- a) a = ln4. b) a = e3−1. c) a = 3/(e5−1). 33(mod).- a) a=1. Mínimo. b) crec. en (2/3 , +∞) , decrec en (0 , 2/3). c) A.V. : x = 0+. 34(mod).- a) Mínimo en (1,2) ; máximo en (−1,−2). b) Convexa en (0 , +∞) , cóncava en (−∞ , 0). c)

35(03).- a) 6/5 , b) (0’5 , −6’25) , c) 36 u2 36(03).- a) Creciente en R−{1,−1} ; b) x=1 , x=−1 , y=0 ; c) y = x

Manuel Ruiz

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Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

37(03).- a) y = 3e.x − 2e. b) 1/2⋅ (e4 − 1) u2. 38(03).- a) D = R−{−3,2}. b) Continua en D ; lim f ( x ) = m ∞ ; x → −3

39(04).40(04).41(04).42(04).43(mod)

lim f ( x ) = m ∞

x→2

c) A.V.: x = −3 , x = 2. A.O.: y = 1/2 ⋅ x + 1/2. 3. a) D = (−∞,−2]∪(−1,1)∪[2,+∞). b) x = 1 ,, x = −1 ,, y = 1. a) a=3 y a=−1/2. b) máximo en (1 , 37/3) , mínimo en (5, 5/3) a) −2. b) 54 u2. a) Min en (1,2), máx en (−1,2) P.I. en (0,0). b) 103/64 u2. c)y = −7(x+1)

44(mod).- a) Cont en x=1. b)

45(05).- 4 artículos. Beneficio máximo = 1000 € 46(05).- a) y = −e2x +e2 . b) 13 u2 47(05).- a) y = x − 1/2. b) A.O.: y = x 48(05).- a) A.V.: x = 3 , x = −3. A.H.: y = 1. b) Máx en (0,0) 49(mod).- 253/12 u2 50(mod).- a =

8

(

)

(

)

51(06).- a) Mín. en 3 , − 6 3 ; máx. en − 3 , 6 3 ; b) 81/2 u2 52(06).- a) (−3 , −15) ; b) 243/2 u2. 53(06).- a) AV: x=2 , x=−2. AH: y=1. b) + en: (−∞,−4)∪(−2,2)∪(4,+∞) ; − en: (−4,−2)∪(2,4). 54(06).Area = 125/6 u2

55(07).- a) AV: x=−3 ; AO: y=x−9. b) Máx (−9,−24); Min (3,0); Crec en (−∞,−9)∪(3,+∞); decrec (−9.−3)∪(−3,3).

Área = 70/3 u2

56(07).-

57(07).- ).- a) Dom(f) = ℜ − {1,2} . b) Continua en ℜ − {1,2} . En x =1 la discontinuidad es evitable y en x =2 la discontinuidad es de salto infinito. Asíntota vertical x = 2, asíntota horizontal y = 1

1

58 (07).- a) a = -4 b = 6 . b)

área =

∫ (− x 0

59(mod).- a)Asíntotas y = 0; x = 2 ; x = -2 60(mod).- a) (0,0) y (3,0). b) decreciente en

c)

3

+ 3x )dx =

5 2 u 4

b) y = 0

(1,3) , creciente en (- ∞,1) ∪ (3,+∞)

área = 27/4 unidades cuadradas

61(2008).- 9/8 u2

S. Sancho

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Soluciones a los problemas de funciones. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

62(2008).-a) A.V.

x = 0; A.O

y = x + 1; min( 2 , 1 + 2 2 ), max(- 2 , 1 − 2 2 ),

crec ( −∞,− 2 ) ∪ ( 2 ,+∞) ; c) 5/2 +2 ln 2 63.(2008).- x = 10 dm ; y = 5 dm 64(2008).- a) A.H y = 1, A.V. x = 2, x = -2; b) Máximo M (0, -1/2) . Crece en ( − ∞,−2) ∪ ( −2,0) y decrece en ( 0,2) ∪ ( 2,+∞) ; c) 110/3 u2 65(modelo 2008-2009).- a) a = -6, b = 9, b) puntos de corte (0,0); (4,0); (-2,0), punto de inflexión I(

2 160 ,− ) c) 148/3 u2 3 27

66(modelo 2008-2009.- a) a = 2, b = 7, b) f ‘(1) = 2; f ‘(7) =- 9; c) 79/6

S. Sancho

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