Diseño de Filtros de Microondas por Síntesis y Optimización

A

ctualmente están disponibles varias técnicas y metodologías para el diseño de filtros de microondas. Se pueden encontrar en la literatura artículos que revisan el estado del arte en este campo [1], [2], los cuales habilitan a los diseñadores para seleccionar el método más conveniente para diversas aplicaciones y topologías de filtros. Todos estos métodos de diseño generalmente consisten de dos pasos secuenciales: primero se resuelve un problema de síntesis usando técnicas típicamente provenientes de la síntesis de redes con parámetros concentrados, y luego se establece un equivalente adecuado entre el circuito sintetizado y la

estructura real distribuida que se va a construir, permitiendo dimensionar físicamente la estructura. Anteriormente, el segundo paso por lo general se realizaba mediante un modelado circuital simple (aproximado) de la estructura física del filtro. En la actualidad, la tendencia es hacia aprovechar las técnicas de optimización y sacar ventaja de los simuladores electromagnéticos (EM) de onda completa disponibles, los cuales pueden analizar la estructura física completa de muchos filtros. La optimización es una herramienta muy poderosa, pero debe ser aplicada juiciosamente. De hecho, sin un buen punto inicial (i.e., las dimensiones inicialmente asignadas a la estructura física a ser optimizada), hasta el más elegante

Dan Swanson y Giuseppe Macchiarella

Dan Swanson ([email protected]), Tyco Electronics, Lowell, MA, E.U.A. y Guiseppe Macchiarella, Politécnico de Milán, Milán, Italia Traductor: José E. Rayas Sánchez ([email protected]), ITESO, México.

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La optimización es una herramienta muy poderosa, pero debe ser aplicada con juicio procedimiento de optimización puede ser incapaz de encontrar una solución aceptable. Más aún, colocar un simulador electromagnético de propósito general dentro de un ciclo típico de optimización de simulación circuital es, por lo general, un error. Para cualquier número razonable de variables, el tiempo de simulación electromagnética es por lo general prohibitivo. El propósito de este trabajo es mostrar algunas formas de mezclar el dimensionamiento aproximado de filtros (basado en síntesis de redes) y la optimización (basada en modelado EM), para un diseño rápido y exacto. Primero revisamos la síntesis de filtros pasa-banda de anchos de banda estrechos o moderadamente estrechos, y presentamos algunos ejemplos de dimensionamiento aproximado. En seguida introducimos la optimización de filtros eléctricos con rizo uniforme, y presentamos un método muy eficiente para la optimización de filtros prototipo basados en simulación electromagnética. Diseño de Filtros de Microondas por Síntesis

Síntesis Aproximada de Filtros Pasa-Banda con Anchos de Banda Estrechos o Moderados La aplicación directa de técnicas exactas para la síntesis de redes es posible sólo en unos cuantos casos, debido a que existen restricciones impuestas por la estructura física que constituye al filtro. Para hacer más viable el paso de la síntesis, se han desarrollado algunas técnicas aproximadas para filtros de banda estrecha; la más ampliamente utilizada está basada en el trabajo de Cohn [3], posteriormente revisada y extendida por Matthaei et al. [4], en donde se introduce el uso del elemento inversor junto con la equivalencia de banda estrecha entre resonadores concentrados y distribuidos, basada en el parámetro de la pendiente de la reactancia (o de la susceptancia). El uso de estas técnicas aproximadas de síntesis proporciona resultados muy satisfactorios para filtros con anchos de banda estrechos o moderados (en algunos casos hasta de un 20% de ancho de banda normalizado), y por lo tanto son adecuadas para muchas aplicaciones prácticas de filtros de microondas pasa-banda. Usando la teoría actual de circuitos, la síntesis de filtros pasa-banda generalmente se lleva a cabo en el dominio de la frecuencia normalizada Ω, a través de adecuadas transformaciones en frecuencia pasa-banda/pasa-bajas. En este dominio, la banda de paso es definida entre 0 y 1, mientras que la banda de rechazo es mapeada de Ωa al infinito. La transformación más popular para definir el dominio normalizado Ω proviene del mundo de los resonadores concentrados [4] y se define como

donde f es la frecuencia en el dominio pasa-banda, f0 es la frecuencia central de la banda de paso (dada por el promedio 58

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geométrico de los límites de la banda de paso), y B es el ancho de la banda de paso. Como es bien sabido, la anterior transformación también arroja resultados aceptables para filtros con resonadores distribuidos, siempre y cuando el ancho de banda normalizado (B/f0) no exceda 0.1 ~ 0.2, dependiendo del tipo de filtro a diseñar. La síntesis del prototipo pasa-bajas se realiza en el dominio transformado mediante la imposición de las especificaciones para la banda de paso y la banda de rechazo, las cuales típicamente se definen mediante la máscara de atenuación y la pérdida de retorno en la banda de paso. En el caso de los filtros con únicamente polos de transmisión (sin ceros de transmisión en las bandas de rechazo), los elementos del filtro pueden ser evaluados analíticamente mediante el uso de tablas y fórmulas [4], una vez que se selecciona la característica específica de filtrado (Chebyshev, Butterworth, etc.). Si los requerimientos de selectividad implican ceros de transmisión en la banda de rechazo, se debe seleccionar una topología específica del filtro que implemente dichos ceros. Éstos típicamente se realizan mediante acoplamientos entre resonadores no adyacentes [5], o mediante resonadores parásitos adecuadamente introducidos en la estructura del filtro [6]. En este caso, la síntesis del filtro se hace más complicada, aunque están disponibles en la literatura varias referencias que describen posibles técnicas y métodos, algunas de las cuales están basadas en optimización [7]-[13]. Las redes prototipo sintetizadas que se emplean en el diseño de filtros de microondas típicamente emplean inversores ideales de impedancia o admitancia [4]. Es posible obtener para el prototipo una topología ya sea serie o paralela, de acuerdo al tipo de inversor empleado (impedancia o admitancia). Los elementos reactivos son capacitores para la topología paralela, e inductancias para la topología serie. Los valores de los elementos reactivos se pueden elegir arbitrariamente (aunque usualmente se establecen unitarios), y los resultados de la síntesis son representados mediante los parámetros del inversor y mediante la inmitancia invariante en frecuencia conectada en serie o en paralelo con los elementos reactivos (estos se requieren en el caso de una respuesta asimétrica en frecuencia [9]). Adicionalmente, las cargas externas generalmente se suponen iguales a 1. En la Figura 1 mostramos una topología genérica del prototipo usando una representación simbólica: cada nodo azul representa a un elemento reactivo unitario (capacitancia o inductancia) en serie o en paralelo con una inmitancia invariante en frecuencia (Mii); los segmentos rectos representan los inversores (Mij). El prototipo pasa-bajas puede describirse matemáticamente por la llamada matriz de acoplamientos normalizada M [7], la cual está constituida por los elementos definidos arriba (se supone que Mij = Mji). El orden de M es N + 2, siendo N el número de elementos reactivos en el prototipo (i.e., el orden del filtro). Notar que M es una matriz simétrica y real; en el caso de filtros síncronos con únicamente polos de transmisión (sin ceros de transmisión en las bandas de rechazo), sus elementos son iguales a cero excepto aquellos en las primeras dos subdiagonales (Mi,j+1). Abril 2007

Desnormalización del Prototipo Una vez que la red prototipo ha sido sintetizada, el siguiente paso en el diseño de filtros de microondas consiste en la evaluación de los parámetros característicos adecuados del filtro, en el dominio de la frecuencia pasa-banda original. A esta operación se le llama desnormalización, y depende de la transformación en frecuencia adoptada en el mapeo de frecuencia pasa-banda/pasa-alta. Desde el punto de vista de circuitos, el prototipo desnormalizado se representa mediante una red que satisface los requerimientos originales del filtro en el dominio pasa-banda. Las siguientes reglas pueden aplicarse para evaluar los elementos de esta red en el caso de la transformación (1): • Las inductancias unitarias en serie son transformadas en resonadores en serie con frecuencia resonante f0 y parámetro de la pendiente de reactancia Xeq (= ω0Leq) igual a f0/ B. • Las capacitancias unitarias en paralelo son transformadas en resonadores en paralelo con frecuencia resonante f0 y parámetro de la pendiente de susceptancia Beq (= ω0Ceq) igual a f0/ B. • Los inversores y las inmitancias invariantes en frecuencia permanecen sin cambio. Se puede observar que las inmitancias invariantes en frecuencia introducen un desplazamiento de la frecuencia de resonancia en los resonadores desnormalizados sin afectar su parámetro de pendiente. Entonces los resonadores desnormalizados pueden ser representados (en una primera aproximación) como resonadores concentrados con parámetro de pendiente igual a f0/ B y frecuencia de resonancia f0, k dada por

este fin, los coeficientes de acoplamiento kij y los factores de calidad externos Qs (Q0,k y Qn+1,k) se definen como sigue [4]

donde el subíndice k representa el índice de los resonadores que están acoplados a la fuente o a la carga. Notar que los parámetros anteriores se pueden relacionar tanto a los elementos del prototipo desnormalizado [a través de (3)], así como a las frecuencias características de los resonadores acoplados, definidas adecuadamente, como se mostrará en seguida.

Sin un buen punto inicial, hasta el más elegante procedimiento de optimización puede ser incapaz de encontrar una solución aceptable. Dimensionamiento de Primer-Orden de Filtros de Microondas Después de desnormalizar el prototipo sintetizado, estamos listos para un dimensionamiento de primer orden del filtro. Esta labor se lleva a cabo relacionando las incógnitas de diseño (dimensiones del filtro) a los parámetros del prototipo, a través de ecuaciones o procedimientos adecuados, generalmente basados en una descripción simplificada de la estructura física real del filtro. Para aumentar la exactitud del diseño, se puede requerir de un paso adicional basado en optimización numérica y modelado electromagnético del filtro. Sin embargo, hay muchos casos en los que la exactitud del diseño de primer orden es adecuada para una realización práctica (por ejemplo, cuando se incluyen elementos de sintonización en el filtro fabricado).

donde Bn = B/f0. La presencia de los inversores en el prototipo desnormalizado permite varios grados de libertad en la asignación de los valores de los parámetros de la red; de hecho, algunos de los parámetros pueden elegirse arbitrariamente evaluando los restantes como sigue: • Si las cargas externas se multiplican por un factor F, todos los inversores y los parámetros de pendiente deben ser multiplicados por F, o bien, sólo los inversores directamente conectados a las cargas deben ser multiplicados por F ½. • Si el parámetro de pendiente del k-ésimo resonador es mutiplicado por un factor Fk, todos los inversores conectados a ese resonador deben ser multiplicados por F ½. En algunos casos, puede ser útil hacer uso de parámetros adimensionales para caracterizar los Figura 1. Representación simbólica de un prototipo pasa-bajas genérico, con N = 9 (S acoplamientos entre los resonadores y L representan resistencias unitarias de carga); notar que los elementos M(0,0) y del prototipo desnormalizado. Con M(10,10) son iguales a cero. Abril 2007

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Figura 2. Deducción de los circuitos equivalentes par e impar de dos resonadores acoplados. El procedimiento para implementar el dimensionamiento de primer orden del filtro depende del tipo de filtro a ser realizado. No obstante, es posible definir una clasificación amplia de posibles acercamientos a este paso de diseño. Para introducir esta clasificación, se debe observar que las estructuras de acoplamiento empleadas en la realización física de filtros de microondas, no puede representarse en forma exacta únicamente mediante inversores ideales de impedancia o admitancia. De hecho, generalmente se requieren otros elementos en el circuito equivalente de la estructura de acoplamiento, los cuales establecen una dependencia recíproca entre las cavidades y los parámetros de acoplamiento. El nivel de interacción entre estos parámetros se vuelve un factor clave en nuestra clasificación de filtros.

redes equivalentes par e impar pueden ser deducidas [Figura 2(c)] introduciendo ya sea un circuito abierto o un corto circuito a lo largo del eje de simetría de la red. Las frecuencias resonantes (fe y fo) de los circuitos par e impar se expresan entonces como

Invirtiendo las anteriores expresiones, k se obtiene como función de fe y fo

Cuando los Acoplamientos no Influencian a los Parámetros del Resonador En algunos casos, la interacción definida arriba es tan pequeña, que puede ser ignorada desde un punto de vista práctico. Esto sucede típicamente en filtros con ancho de banda normalizado muy pequeño (Bn < ~0.01), los cuales requieren de acoplamientos muy chicos. Los parámetros del resonador se suponen independientes de los acoplamientos, los cuales son modelados con suficiente exactitud mediante inversores ideales. Para el diseño de estos filtros, primero se dimensionan los resonadores (cavidades) basándose en varios requerimientos, tales como la frecuencia de resonancia, la Q sin carga, forma, tamaño, etc., ignorando la presencia de los acoplamientos. Luego se dimensiona cada elemento de acoplamiento usando un modelo adecuado para describir la dependencia del coeficiente de acoplamiento k (definido anteriormente) de los parámetros geométricos de la estructura de acoplamiento empleada. Un modelo simple que relaciona a k con las dimensiones de la estructura de acoplamiento, esta basado en las frecuencias de resonancia par e impar de dos resonadores acoplados [14]. En la Figura 2 mostramos el circuito equivalente en paralelo de esta configuración, en donde el acoplamiento es caracterizado mediante el inversor de admitancia J, y los resonadores mediante el parámetro de pendiente de la susceptancia Beq. A partir de la definición del coeficiente de acoplamiento, k = J/Beq, podemos reemplazar el inversor por su circuito equivalente π [Figura 2(b)]. Las

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El dimensionamiento de una estructura real de acoplamiento se lleva a cabo mediante la evaluación de fe y fo mientras se varía la dimensión clave de la estructura. Esta evaluación se puede realizar ya sea mediante mediciones directas, o bien mediante simulaciones electromagnéticas [15]. El coeficiente de acoplamiento k es entonces calculado con (5), y simples procedimientos o gráficas permiten el dimensionamiento del filtro. Notar que, si se emplea el mismo tipo de estructura de acoplamiento en el filtro, entonces una sola gráfica es suficiente para el dimensionamiento de todos los acoplamientos.

Cuando los Acoplamientos sí Influencian a los Parámetros del Resonador Los filtros considerados en esta clase se caracterizan por una dependencia significativa entre los parámetros de los acoplamientos y las cavidades. El diseño de primer-orden de estos filtros requiere, en general, de circuitos equivalentes tanto para la cavidad como para la estructura de acoplamiento. En algunos casos, una elección astuta de estos circuitos nos permite asignar los mismos parámetros de pendientes a todos los resonadores equivalentes. Las dimensiones de las estructuras de acoplamiento entonces se evalúan mediante la imposición de los coeficientes de acoplamiento requeridos, y luego se dimensionan las Abril 2007

cavidades, tomando en cuenta tanto el valor asignado al parámetro de pendiente del resonador, así como los acoplamientos dimensionados (mediante sus circuitos equivalentes). Este método ha sido introducido para el diseño Figura 3. Filtro con resonadores de media longitud de onda directamente acoplados. de primer orden de filtros sin ceros de transmisión, con cavidades acopladas directamente, con pequeños y moderados anchos de banda, usando guías de onda o resonadores electromagnéticos transversales [4] (TEM, por sus siglas en inglés). Como ejemplo consideremos el circuito equivalente típico de un filtro con resonadores TEM de media onda, acoplados directamente mediante inversores ideales de impedancia (Figura 3). Después de la evaluación con (3) de los parámetros del Figura 4. Circuito equivalente para los inversores de prototipo desnormalizado, los parámetros del inversor Ki,i+1 impedancia. pueden calcularse mediante la imposición del parámetro de la pendiente de la reactancia de los resonadores de media longitud de onda (Xeq) igual a (π/2)Zc (en donde la impedancia característica Zc puede elegirse arbitrariamente). Usando las reglas delineadas en la sección de “Dimensionamiento de Primer Orden de Filtros de Microondas”, Figura 5. Modelo circuital deducido para el filtro de la Figura 3. se obtienen las siguientes expresiones para Ki,i+1: después de tomar en cuenta la configuración real de las estructuras de acoplamiento (las reactancias en paralelo):

Uno puede observar que, para los tipos de filtro aquí considerados, el dimensionamiento de las estructuras de acoplamiento puede realizarse independientemente de los resonadores, ya que el efecto de los acoplamientos se puede tomar en cuenta mediante una corrección apropiada de las longitudes de los resonadores.

Supongamos ahora que las estructuras de acoplamiento están implementadas en la realidad a través de reactancias inductivas en paralelo. Entonces es conveniente representar la impedancia del inversor Ki,i+1 a través del circuito equivalente de la Figura 4; las ecuaciones que relacionan los parámetros del circuito con los parámetros del inversor Ki,i+1 también se reportan en la figura. Después de sustituir este modelo en cada inversor, se obtiene el circuito equivalente de la configuración real del filtro (Figura 5). El parámetro θi representa la longitud eléctrica del i-ésimo resonador, cuyo valor disminuye con respecto Figura 6. Filtro con resonadores de media longituid de onda acoplados en paralelo a π (media longitud de onda) (implementación en microcinta). Abril 2007

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En algunos casos, el procedimiento de diseño delineado arriba no se puede emplear. De hecho, no siempre es posible imponer a priori el parámetro de pendiente del resonador y corregir posteriormente los efectos producidos por las estructuras de acoplamiento. A manera de ejemplo, consideremos la popular estructura consistente en resonadores de media longitud de onda Figura 7. Circuito equivalente de dos líneas de transmisión acopladas, con acoplados en paralelo [14]. La Figura 6 terminaciones opuestas en circuito abierto. muestra la topología típica de este filtro cuando se suponen secciones de línea de transmisión de ancho uniforme (por ejemplo, microcinta). como sigue:

Después de desnormalizar el prototipo sintetizado, estamos listos para un dimensionamiento de primer orden del filtro Este filtro se puede representar mediante una cascada de bloques básicos, los cuales consisten de dos líneas acopladas con terminaciones en circuito abierto opuestas (los rectángulos en línea punteada de la Figura 6). En la Figura 7 [4] se reporta un circuito equivalente para este bloque. Se observa que el parámetro K del inversor, y el parámetro de pendiente de la reactancia, Xeq, dependen de las impedancias características par e impar de las dos líneas acopladas. Esto significa que la distancia entre las líneas (un parámetro de diseño presupuesto) afecta tanto al parámetro de pendiente del resonador como a los parámetros del inversor. Por lo tanto, no es posible asignar a priori el mismo parámetro de pendiente a todos los resonadores, requiriéndose un nuevo procedimiento para dimensionar el filtro. Como un primer paso, podemos sustituir el circuito equivalente de la Figura 7 en cada bloque de la Figura 6. El resultado es una representación en serie del prototipo desnormalizado con elementos concentrados, con los parámetros del inversor y los parámetros de pendiente de la reactancia dados por

A partir de la definición de los coeficientes de acoplamiento, ki,i+1, la siguiente ecuación es obtenida sustituyendo (8) en (3):

Los bloques 1 y N determinan las Qs externas a la entrada y a la salida. También producen una pequeña modificación a los parámetros X1eq y XNeq, los cuales pueden ser evaluados 62

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Podemos observar que el espaciamiento entre las líneas acopladas, di,i+1, tiene mucho más influencia sobre Z∆i,i+1 que sobre Zmi,i+1. Por lo tanto, las Z∆i,i+1 se pueden tomar como incógnitas de diseño, y una vez que estos parámetros han sido obtenidos, las distancias correspondientes a cada par de líneas acopladas pueden ser evaluadas mediante procedimientos adecuados o mediante curvas de diseño. Sin embargo, el cálculo de Z∆i,i+1 no puede ser realizado mediante la aplicación directa de (9) y (10). De hecho, los valores de Zmi,i+1 también dependen del espaciamiento entre las líneas y estos también son desconocidos. Por lo tanto, se requiere de algún procedimiento adecuado de optimización para obtener la solución. La solución también se puede encontrar mediante un procedimiento iterativo, una vez que haya sido encontrada alguna estimación inicial de las incógnitas. Nótese que Zmi,i+1 tiende a la impedancia característica Zc de las dos líneas desacopladas cuando la distancia entre las dos líneas se hace grande (y el acoplamiento es muy pequeño). Entonces, una estimación inicial de Z∆i,i+1 se obtiene sustituyendo Zmi,i+1 por Zc. Los valores de Zc dependen de los anchos de las líneas que son asignados al iniciar el diseño. Esta es una solución aproximada, válida sólo para filtros de ancho de banda muy estrecho. Sin embargo, representa el punto de arranque para un procedimiento iterativo aplicable en el caso general: 1) Inicialización (n = 0): La estimación inicial de Z∆i,i+1 se obtiene suponiendo Zmi,i+1 = Zc en (9) y (10). Abril 2007

2) Evaluación de las distancias: Las distancias entre las líneas acopladas, d(n)i,i+1, son evaluadas a partir de Z∆i,i+1 (usando procedimientos adecuados o fórmulas). 3) Verificación de la convergencia: Los valores de dni,i+1 son comparados con los calculados previamente (d(n−1)i,i+1); si el error es menor a un umbral predeterminado, el procedimiento termina, de lo contrario las iteraciones continúan (n+1 → n). 4) Evaluación de Zmi,i+1: Usando los valores de dni,i+1, se determinan los valores correspondientes de Zmi,i+1 usando procedimientos adecuados o fórmulas. 5) Evaluación de Z∆i,i+1: Los valores de Z∆i,i+1 son evaluados usando (9) y (10) con la Zmi,i+1 obtenida en el paso anterior; el procedimiento continúa en el paso 2. Un procedimiento de diseño similar también se puede aplicar a filtros deducidos de arreglos de líneas acopladas, tales como los filtros tipo peine y los interdigitados [16].

Aumentando la Exactitud del Diseño de Primer Orden Existen varias fuentes de error que pueden afectar la exactitud del diseño de primer orden. La primera es muy general y se debe a la equivalencia supuesta entre el prototipo desnormalizado (el cual usa resonadores concentrados) y la estructura real del filtro (generalmente compuesta de elementos distribuidos). Este error se puede reducir encontrando un mejor ajuste al resonador distribuido en los bordes de la banda de paso, en lugar de tomar una equivalencia simple en la banda central. En las bandas de rechazo, veremos diferencias entre la respuesta del filtro microonda y la respuesta del prototipo desnormalizado, debidas a la respuesta periódica de los resonadores distribuidos, la cual difiere de la respuesta monotónica de los resonadores concentrados. Otras fuentes de error pueden ser asociadas a las elecciones hechas en el modelo circuital del filtro. El modelo del filtro debe ser suficientemente simple para permitir un procedimiento analítico de diseño. Aun cuando esté disponible una representación circuital exacta de la estructura física empleada en el filtro (que incluya, por ejemplo, circuitos equivalentes para las discontinuidades y para las uniones), su uso frecuentemente se evita en un diseño de primer orden. Sin embargo, en algunos casos, es posible aumentar la exactitud del diseño tomando en cuenta – después del diseño circuital – cómo se van a implementar en la práctica los componentes reales. Como ejemplo, consideremos el filtro cuyo modelo circuital se reporta en la Figura 5, el cual usa reactancias inductivas en paralelo como elementos de acoplamiento. Las estructuras implementadas en el filtro real son equivalentes a simples reactancias en paralelo sólo en una primera aproximación. Un circuito equivalente más exacto para estas estructuras (seleccionado adecuadamente), nos permite aumentar la exactitud del dimensionamiento del filtro después de que los parámetros del circuito de la Figura 5 hayan sido evaluados. Por ejemplo, consideremos el caso de filtros en guía de onda, en los que se usan septa (paredes o membranas) metálicos o postes como estructuras de acoplamiento. El circuito equivalente de estos elementos, que permite una corrección al diseño de primer orden, se

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Generalmente es un error colocar un simulador electromagnético de propósito general dentro de un lazo de optimización típico de un simulador circuital.

muestra en la Figura 8. Una vez que el tipo de elemento de acoplamiento ha sido seleccionado, sus parámetros de dispersión en la frecuencia central f0 se pueden evaluar (a través de simulaciones electromagnéticas o a través de mediciones) en función de una dimensión relevante de la estructura (el parámetro de diseño). Los parámetros X y δ del circuito equivalente entonces se calculan a partir de los parámetros S mediante fórmulas adecuadas, y el dimensionamiento de cada estructura de acoplamiento se lleva a cabo en referencia al valor requerido de Xi,i+1. Seguidamente los valores correspondientes de δi,i+1 son utilizados para corregir las longitudes del resonador θi, las cuales ahora son

Este procedimiento también puede ser usado para corregir los efectos de varias discontinuidades, tales como circuitos abiertos, uniones T, etc. Diseño de Filtros mediante Aproximación y Optimización Las técnicas de síntesis y aproximación descritas en las secciones previas son válidas, ciertamente, pero existe un punto de vista alternativo. El procedimiento que exploraremos aplica optimización con rizo uniforme a un prototipo aproximado. El punto inicial puede ser un prototipo pasa-bajas transformado en un filtro pasa-banda. Típicamente, esta transformación es menos exacta conforme aumenta el ancho de banda. O bien podemos iniciar a partir

Figura 8. Posible circuito equivalente para estructuras de acoplamiento en paralelo (tales como postes o septa en guías de onda rectangulares). IEEE microwave

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donde (B−C)/2 es real puro. La gráfica de la nueva función se muestra en la Figura 10. Si la respuesta deseada es de rizo uniforme, la nueva función también tiene N+1 frecuencias en las cuales alcanza su magnitud máxima. Pero, en este caso, los Figura 9. La magnitud del coeficiente de reflexión, |S11|, para un filtro pasa-banda de rizo extremos adyacentes son de signo opuesto, con un cruce uniforme, con N = 5, terminado a la entrada y a la salida. por cero entre ambos. Los cruces por cero corresponden a las frecuencias de ajuste de la pérdida de retorno (S11). Por lo de un prototipo sintetizado, aunque este circuito típicamente tanto, si forzamos a que S /jS21 o (B−C)/2 sea de rizo 11 no incluya los detalles de la red de entrada/salida, ni algunos uniforme, como se muestra, garantizamos que |S11| será de efectos parásitos que pudieran estar presentes. Una vez que rizo uniforme, como se pretende. tenemos una red que represente la física de nuestro Si implementamos esta función como objetivo de hardware, podemos realizar optimización de rizo uniforme optimización en nuestra herramienta de análisis de circuitos, para finalizar el diseño. A principios de los años 1970, un los elementos de la red pueden ser de cualquier tipo artículo de Gupta [17] y otro de Cohn [18] delinearon un (concentrados, distribuidos, inconmensurados), y no se posible procedimiento para la optimización de rizo uniforme requiere que la topología de la red se ajuste a formas que de filtros. La más reciente re-exposición de este trabajo pueden ser sintetizadas fácilmente. Si el desempeño de rizo puede encontrarse en [19]. uniforme es posible, entonces siempre se encuentra una Cuando sintonizamos un filtro en el laboratorio, solución, suponiendo que el punto inicial esté observamos la pérdida de retorno o |S11| en decibeles. La suficientemente cercano a la respuesta correcta. Como en pérdida de retorno es una función mucho más sensible que la todos los procedimientos de optimización numérica, si el pérdida de inserción, y por supuesto las dos están ligadas. En punto inicial está demasiado lejos del resultado deseado, la la Figura 9 se muestra la magnitud del coeficiente de convergencia podría no ser lograda. reflexión, |S |, para un filtro pasa-banda de rizo uniforme, 11

con N = 5, terminado a la entrada y a la salida. Hay exactamente N+1 frecuencias en las cuales |S11| tiene su valor máximo, |S11|MAX. Sin embargo, |S11| no es una buena función para intentarla hacer de rizo uniforme. Si |S11| es forzada a igualar |S11|MAX en dos frecuencias, no hay garantía de que |S11| será cero entre ambas frecuencias. Podemos deducir una función adecuada para la optimización a partir de la matriz ABCD de la red del filtro. La matriz se puede simplificar si suponemos que la red es simétrica y sin pérdidas

Optimización de Punto Emparejado Aunque el método anterior es bastante robusto y útil, está limitado a redes simétricas. Existe un método más general, descrito primeramente por Cohn y usado extensivamente por Wenzel y Erlinger [20], que de nuevo examina la función de la pérdida de retorno y formula una función de error robusta para la sintonización de rizo uniforme. Regresando a la gráfica de la pérdida de retorno de la Figura 11, observamos previamente que hay N+1 frecuencias en las que |S11| toma su valor máximo, |S11|MAX. Entre esos puntos, hay N frecuencias en las que |S11| = 0 y |S21| = 1 para un filtro sin pérdidas.

donde D = A debido a la simetría, y A, B, C son números reales puros (porque la red no tiene pérdidas). Ahora definimos |S11| y |S21| en términos de los parámetros ABCD y aplicamos la suposición de simetría

Tomando la razón entre los dos parámetros S se obtiene una función real pura con algunas propiedades útiles 64

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Figura 10. Nueva función de optimización calculada a partir de la razón de S11 sobre S21 para la mitad de la red simétrica. Abril 2007

En estos puntos de igualación perfecta, llamados “puntos emparejados”, la parte real de la impedancia de entrada debe ser de 50 Ω, y la parte imaginaria debe ser 0. O bien, la parte real de la admitancia de entrada debe ser 0.02 mhos y la parte imaginaria debe ser cero. Los puntos emparejados definen el filtro en forma única. La curva entre dos puntos emparejados adyacentes debe ser una parábola. De modo que cuando formulamos el problema de optimización, tenemos 2N restricciones para un filtro de N-ésimo orden. Los dos puntos emparejados de los extremos están fijados por el ancho de banda. En general, no sabemos la posición exacta de los puntos interiores, excepto para un prototipo Chebyshev ideal. Antes de alcanzar una sintonización de rizo uniforme, seguramente tendremos una respuesta parecida a la de la Figura 12. Afortunadamente, el mover los puntos emparejados y reoptimizar tiene un impacto sistemático en los picos adyacentes. Mover un punto emparejado hacia un pico fuerza al pico a bajar, mientras que mover un punto emparejado alejándose del pico fuerza al pico a subir. Con algo de práctica, podemos ajustar manualmente los puntos emparejados, o bien podemos diseñar un procedimiento automático que iterativamente los mueva. Este procedimiento puede ser implementado en algunos simuladores comerciales que permiten establecer objetivos de optimización en una sola frecuencia. Deberíamos también señalar que, en este procedimiento y en el de Gupta/Cohn, estamos optimizando en sólo N o N+1 frecuencias, respectivamente. Esto es muy importante si la totalidad o una parte de nuestro modelo del filtro fue deducida a partir de una simulación EM.

Síntesis de Prototipos y de Matrices de Acoplamiento mediante Optimización

La aplicación directa de técnicas exactas para la síntesis de redes es posible sólo en unos cuantos casos, debido a que existen restricciones impuestas por la estructura física que constituye al filtro.

en el caso de banda estrecha, o por síntesis en el caso de banda ancha. Por supuesto, la forma más general de definir un filtro es mediante los polos y ceros de su función de transferencia. Thal [21], [22] presenta un procedimiento en el que primero se determinan las posiciones de los ceros de S11 y de S21 que satisfacen las especificaciones, y que son consistentes con la implementación física propuesta. Luego la red prototipo se optimiza para igualar los parámetros S calculados a partir de la función de transferencia. Thal desarrolla un conjunto sobre-determinado de funciones de error, las cuales son resueltas para la mínima suma de errores al cuadrado. Atia [12] ha presentado un procedimiento similar, en el que se emplea optimización para encontrar la matriz de acoplamientos, M, de una topología definida. Dada una razón de pérdida de inserción

donde λ = (f0/BW)(f/f0 − f0/f) es la variable de frecuencia normalizada y ε es un factor de escala relacionado al rizo en la banda de paso; la función característica es definida como

Los métodos anteriores suponen que contamos con un circuito inicial aproximado, obtenido por métodos analíticos

donde las Ais son los ceros de S11 y las Bjs son los ceros de S21. Los parámetros S se deducen a partir de la matriz de acoplamientos, M, y la función de error se define como

Figura 11. Puntos emparejados para un filtro de rizo uniforme, con N= 5, doblemente terminado. Luego se utiliza optimización basada en gradientes para ajustar los valores de M hasta que la función de error es minimizada. Amari [23] ha descrito un procedimiento muy similar al de Atia. Amari presenta una fórmula recursiva simple para el cálculo de la función generalizada de filtrado Chebyshev, una función de error ligeramente modificada, y el uso de gradientes analíticos en la optimización.

Figura 12. Movimiento de los picos de la pérdida de retorno conforme los puntos emparejados se mueven durante la optimización. Abril 2007

Optimización de Prototipos Basados en EM Con la llegada de las herramientas de simulación EM de onda completa, se han realizado varios intentos para optimizar directamente los filtros en el dominio EM. IEEE microwave

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tomarán decenas de minutos y hasta horas para calcular unos cuantos puntos en frecuencia. Existen técnicas de barrido rápido que pueden deducir un número grande de frecuencias calculadas a partir de unas cuantas simulaciones EM. Y existen métodos numéricos más rápidos que pueden ser aplicados a un conjunto restringido de geometrías [24], [25]. Pero si se utiliza un simulador EM de propósito general en optimización del tipo “fuerza bruta”, el tiempo de solución por lo general será inaceptable. La función de costo puede tomar varias formas en estos esquemas de optimización. Se han utilizado funciones basadas en parámetros S evaluados en muchos [24], [26] o pocos [27] puntos en Figura 13. Vista superior de un triplexor tipo peine (combline) a 800 MHz. Hay puertos frecuencia. Los polos y ceros de onda en las cuatro entradas/salidas, y puertos concentrados del final de cada pueden ser extraídos de modelos resonador a la cubierta. Su tamaño es de aproximadamente 5 por 4.5 por 2.5 pulgadas. racionales de S11 y de S21 [28]. Y la matriz de acoplamientos puede ser extraída a partir de los parámetros S calculados [29]-[32]. En algunos de estos esquemas las matemáticas puede volverse bastante elaboradas, aunque todos son métodos válidos. Sin embargo, existe un abordaje más simple e intuitivo a este problema [33]. Si tomamos un filtro 3D típico, por ejemplo un filtro tipo peine (combline), podemos agregar al modelo EM puertos extra con parámetros concentrados, entre las terminaciones abiertas del resonador y la cubierta. Para un filtro típico con N = 5, ahora tendremos un total de siete puertos en el modelo EM: Figura 14. Datos medidos contra modelados para el triplexor: las líneas continuas dos puertos de entrada/salida, y un representan datos medidos del primer prototipo, y las líneas punteadas los datos del puerto para cada resonador [34]. modelo EM sintonizado. Si resolvemos el modelo EM en el centro de la banda y en los dos puntos que enmarcan la banda de paso deseada, entonces Podemos construir un modelo completo, enteramente podemos importar los parámetros S desde el simulador parametrizado, de un filtro 3-D o planar que incluya todos circuital, y sintonizar el modelo para un desempeño de rizo los efectos parásitos y los efectos de segundo orden, tales exactamente uniforme usando el método descrito en la como el acoplamiento a modos evanescentes en una guía de sección de “Diseño de Filtros mediante Aproximación y onda en corte. Podemos entonces intentar optimizar la Optimización”. Los sintonizadores del resonador geometría mediante la colocación del simulador EM dentro típicamente son capacitores positivos o negativos, y los del lazo de optimización. El problema es, por supuesto, el acoplamientos pueden ser ajustados colocando capacitores tiempo de solución de la simulación electromagnética. en serie o líneas de transmisión terminadas en corto circuito Simuladores de propósito general basados en el método del en los puertos del resonador. A partir de la sintonización, elemento finito (FEM, por sus siglas en inglés), o en el uno puede inferir el sentido y la magnitud relativa de las método de momentos (MoM, por sus siglas en inglés), 66

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Figura 15. Filtro planar pseudo-concentrado, con N = 7, sobre alúmina con espesor de 15 mils. El tamaño del substrato es de 0.25 por 0.75 pulgadas. correcciones requeridas. Este modelo EM sintonizado captura toda la física del problema [35], y es completamente válido en la banda de paso y en las bandas de rechazo (si se calculan algunos puntos extras). En el caso de filtros tipo peine y filtros con resonadores dieléctricos, la exactitud del modelo EM sintonizado predice el desplazamiento de las “faldas” de la banda de rechazo, el cual es imposible de predecir con el modelo del circuito equivalente. La Figura 13 muestra la vista aérea de un triplexor a 800 MHz con acoplamientos cruzados, diseñado usando esta técnica. Hay 21 puertos en el modelo EM: 4 puertos tipo onda de entrada/salida, y un puerto concentrado de la terminal abierta del resonador hacia la cubierta, para todos los 17 resonadores. Se pueden incluir en el modelo EM tornillos de sintonización del resonador y de los acoplamientos. Típicamente estos serían puestos a la mitad (o poco menos) de su rango completo de sintonización. La Figura 14 muestra los datos medidos contra los modelados para el triplexor. La localización de los ceros de transmisión podría haber sido sintonizada un poco más cuidadosamente en el prototipo. Este resultado se obtuvo con el primer prototipo, sin hacer ninguna modificación a la estructura física del filtro. Unas cuantas observaciones pueden realizarse. Cada resonador en el modelo EM está cargado con un puerto de 50 Ω, el cual desintoniza completamente al filtro. Si suponemos que varios puertos de resonadores adyacentes están numerados como 3, 4, 5, 6 y 7, entonces las magnitudes de S34, S45, S56 y S67 son esencialmente constantes en la banda de paso del filtro. Básicamente lo que estamos calculando son los coeficientes de acoplamiento entre los postes (rods). En términos de teoría de circuitos, estamos calculando la respuesta de la red con un conjunto de puertos, y analizando (sintonizando) la red con un conjunto diferente de puertos, pero la respuesta de la red es la misma. Debido a que no hay variaciones rápidas en la magnitud ni en la fase de los parámetros S, podemos usar el simulador circuital para interpolar entre un número mínimo de puntos evaluados en el dominio EM. La respuesta de la Figura 14 predicha por el modelo EM sintonizado fue generada usando Abril 2007

Las redes de prototipos sintetizados empleadas en el diseño de filtros de microondas típicamente usan inversores ideales de impedancia y de admitancia. únicamente 5 puntos en frecuencia calculados en una hora. El tiempo podría reducirse a 10 ó 15 minutos mediante computación distribuida. Finalmente, nunca usamos simulaciones EM del filtro completo para generar la información sobre los gradientes y luego hacer ajustes fraccionales a la geometría del filtro. En el ciclo de diseño real, no es necesario ni deseable encontrar, en cada iteración, el sintonizado del filtro con rizo exactamente uniforme. Es más rápido y fácil simplemente extraer los actuales coeficientes de acoplamiento [36], [37], compararlos con los valores deseados, y hacer las correcciones a la geometría. Los coeficientes de acoplamiento se pueden extraer manualmente a partir de los datos del simulador EM, o se puede escribir un programa de computadora para automatizar el proceso. El mismo concepto de sintonización de puertos puede ser aplicado a circuitos planares. En la Figura 15 se muestra un filtro pseudo-concentrado con N = 7 [38], [39] basado en la llamada topología “mancuerna” o topología “tubular”. En este caso, insertamos en serie un puerto de hueco dentro de cada una de las inductancias impresas en espiral, y conectamos en paralelo a tierra un puerto concentrado sobre cada capacitor, de tal manera que los acoplamientos entre los resonadores se puedan sintonizar. La Figura 16 muestra la respuesta medida contra la modelada, sin ajustes en la estructura física del filtro. Para describir brevemente el ciclo de diseño, un prototipo con elementos concentrados es convertido a forma impresa usando modelos EM individuales para la estructura de la inductancia y la del capacitor. El primer modelo EM del filtro consiste en una cascada de estos modelos individuales. Luego el filtro es optimizado con respuesta de rizo exactamente uniforme usando Ls y Cs concentradas en los IEEE microwave

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Una vez que la red prototipo ha sido sintetizada, el siguiente paso en el diseño de filtros de microondas consiste en la evaluación de los parámetros característicos adecuados del filtro, en el dominio de la frecuencia pasa-banda original.

partir de un prototipo exacto, aproximamos la configuración física deseada usando circuitos equivalentes y correcciones a los resonadores debidas a la influencia de las redes de acoplamiento. También delineamos un proceso que podría ser descrito como “aproximación y optimización”. Comenzando a partir de una red del filtro aproximada, podemos emplear optimización para encontrar la solución con rizo exactamente uniforme. El punto inicial puede ser generado mediante síntesis o mediante aproximaciones de banda estrecha, cuando así resulte apropiado. Aplicando optimización de una manera inteligente, podemos evitar algunas de las limitaciones de los clásicos métodos de síntesis en escalera. Estas limitaciones incluyen: las redes de entrada/salida que no pueden ser sintetizadas, los elementos parásitos que están presentes en la estructura física construida, las topologías útiles pero que no se pueden adaptar para la síntesis en escalera, así como la inhabilidad para realizar síntesis mezclada concentrada/distribuida. Hemos visto que el blanco de la optimización puede ser un circuito equivalente, una Figura 16. Resultados medidos (azul) contra modelados (rojo) para el filtro planar matriz de acoplamientos, o el modelo EM completo del filtro. sin ajustes en la estructura física del filtro. Aunque la tecnología de filtros puede ser considerada un tanto madura, ciertamente hay puertos de sintonización en el modelo circuital. Los oportunidades para la innovación en la forma como elementos de sintonización son ahora una clara indicación diseñamos filtros. Una valoración honesta de las técnicas sobre cómo debe ser corregido cada modelo EM. empleadas en la comunidad de filtros, encontraría una Típicamente realizamos dos iteraciones del filtro en esta combinación de procedimientos basados en síntesis y en forma en cascada. El modelo completo del filtro es luego optimización. Los diseñadores deberían ser conscientes de construido en el simulador electromagnético. todas estas técnicas, para elegir las que sean más apropiadas En este caso, hay 25 puertos en el modelo completo. Este a sus problemas específicos. modelo ahora incluye todos los efectos de segundo orden, incluyendo los acoplamientos parásitos entre los elementos, así como los acoplamientos a modos evanescentes en el canal de la guía de onda. Una iteración de este modelo Referencias completo generalmente es suficiente para reducir todos los [1] R. Levy, R.V. Snyder, and G. Matthaei, “Design of microwave elementos de sintonización a valores por debajo de nuestras filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-50, tolerancias de fabricación esperadas. Todas las iteraciones pp. 783–793, Mar. 2002. de diseño utilizan modelos EM sin pérdidas, en parte porque la función de error de la optimización supone un filtro sin [2] R. Levy and S.B. Cohn, “A history of microwave filter research, design and development,” IEEE Trans. Microwave pérdidas, y en parte porque las simulaciones EM sin Theory Tech., vol. MTT-32, pp. 1055–1067, Sept. 1984. pérdidas son mucho más rápidas. Sin pérdidas, el tiempo de solución para el filtro de la Figura 15 es de 30 minutos por [3] S.B. Cohn, “Direct-coupled resonator filters,” Proc. IRE, vol. 45, pp. 187–196, Feb. 1957. punto de frecuencia. Una vez que el diseño ha sido completado, podemos simular una vez más el modelo [4] G.L. Matthaei, L. Young, and E.M.T. Jones, Microwave completo, pero ahora en modo con pérdidas, para obtener Filters, Impedance-Matching Networks and Coupling una estimación de la pérdida de inserción. El tiempo de Structures. New York: McGraw-Hill, 1964. solución para el modelo con pérdidas es de 90 minutos por [5] A.E. Atia, A.E. Williams, and R.W. Newcomb, “Narrow-band punto de frecuencia.

Conclusiones En este artículo delineamos un proceso que podría ser descrito como “síntesis y aproximación”. Comenzando a 68

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multiple-coupled cavity synthesis,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol. CAS-21, pp. 649–655, Sept. 1974.

[6] J.D. Rhodes and R.J. Cameron, “General extracted pole synthesis technique with applications to low-loss TE mode Abril 2007

filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-28, no. 9, pp. 1018–1028, Sept. 1980. [7] R.J. Cameron, “Advanced coupling matrix synthesis techniques for microwave filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 51, pp. 1–10, Jan. 2003. [8] R.J. Cameron, “General prototype network synthesis methods for microwave filters,” ESA J., vol. 6, no. 2, pp. 193–206, 1982. [9] H.C. Bell, “Canonical asymmetric coupled-resonator filters,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-30, pp. 1335– 1340, Sept. 1982. [10] G. Macchiarella, “Accurate synthesis of in-line prototype filters using cascaded triplet and quadruplet sections,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 50, no. 7, pp. 1779–1783, July 2002. [11] S. Tamiazzo and G. Macchiarella, “An analytical technique for the synthesis of cascaded N-tuplets cross-coupled resonators microwave filters using matrix rotations,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-53, no. 5, pp. 1693–1698, May 2005. [12] W.A. Atia, K.A. Zaki, and A.E. Atia, “Synthesis of general topology multiple coupled resonator filters by optimization,” in 1998 IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., June 1998, vol. 2, pp. 821–824. [13] R. Levy, “Design of CT and CQ filters using approximation and optimization,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-49, pp. 2350–2356, Dec. 2001. [14] J.G. Hong and M.J. Lancaster, Microstrip Filters for RF/Microwave Applications. New York: Wiley, 2001. [15] A.R. Harish and J.S. Kulandai Raj, “A direct method to compute the coupling between nonidentical microwave cavities,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-52, pp. 2645–2650, Dec. 2004. [16] G. Macchiarella, G. Gentili, and S. Cavalieri D’Oro, “A general design technique for coupled lines array filters,” in Proc. 30th European Microwave Conf., Paris, Oct. 2000, vol. 3, pp. 52– 55. [17] O.P. Gupta, “A numerical algorithm to design multivariable low-pass equiripple filters,” IEEE Trans. Circuits and Systs., vol. 20, no. 2, pp. 161–164, Mar. 1973. [18] S.B. Cohn, “Generalized design of band-pass and other filters by computer optimization,” in 1974 IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., pp. 272–274. [19] D. Budimir, Generalized Filter Design Optimization. Dedham: Artech, 1998.

by

Computer

[20] Private communication with R. Wenzel and W. Erlinger, Sept. 1999. [21] H.L. Thal, Jr., “Computer-aided filter alignment and diagnosis,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT26, pp. 958–963, Dec. 1978. [22] H.L. Thal, Jr., “Design of microwave filters with arbitrary responses,” Int. J. Microwave Millimeter-Wave CAE, vol. 7, no. 3, pp. 208–221, 1997. [23] S. Amari, “Synthesis of cross-coupled resonator filters using an analytical gradient-based optimization technique,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-48, pp. 1559–1564, Sept. 2000. [24] F. Arndt, J. Brandt, V. Catina, J. Ritter, I. Rullhusen, J. Dauelsburg, U. Hilgefort, and W. Wessel, “Fast CAD and Abril 2007

optimization of waveguide components and aperture antennas by hybrid MM/FE/MoM/FD methods-state-of-the-art and recent advances,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. MTT-52, pp. 292–305, Jan. 2004. [25] H. Yao, K.A. Zaki, A.E. Atia, and R. Hershtig, “Full wave modeling of conducting posts in rectangular waveguides and its applications to slot coupled combline filters,” IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. MTT-43, pp. 60–66, Dec. 1995. [26] J.W. Bandler, R.M. Biernacki, S.H. Chen, D.G. Swanson, Jr., and S. Ye, “Microstrip filter design using direct EM field simulation,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 42, no. 7, pp. 1,353–1,359, July 1994. [27] S. Tao, H.H. Tung, K.A. Zaki, A.E. Atia, and T.G. Dolan, “Full-wave design of canonical waveguide filters by optimization,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 51, no. 2, pp. 504–511, Feb. 2003. [28] P. Kozakowski and M. Mrozowski, “Automated CAD of coupled resonator filters,” IEEE Microwave Wireless Compon. Lett., vol. 12, pp. 470–472, Dec. 2002. [29] S. Bila, D. Baillargeat, M. Aubourg, S. Verdeyme, P. Guillon, F. Seyfert, J. Grimm, L. Baratchart, C. Zanchi, and J. Sombrin, “Direct electromagnetic optimization of microwave filters,” IEEE Micro, vol. 2, pp. 46–51, Mar. 2001. [30] M.A. Ismail, D. Smith, A. Panariello, Y. Wang, and M. Yu, “EM based design of large-scale dielectric-resonator filters and multiplexers by space mapping,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 52, no. 1, pp. 386–392, Jan. 2004. [31] A.G. Lamperez, S.L. Romano, M.S. Palma, and T.K. Sarkar, “Efficient electromagnetic optimization of microwave filters and multiplexers using rational models,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 52, no. 2, pp. 508–521, Feb. 2004. [32] P. Kozakowski and M. Mrozowski, “Quadratic programming approach to coupled resonator filter CAD,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 54, no. 11, pp. 3906–3913, Nov. 2006. [33] D.G. Swanson, Jr. and R.J. Wenzel, “Fast analysis and optimization of combline filters using FEM,” in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., Phoenix, AZ, May 20–25, 2001, pp. 1159–1162. [34] D.G. Swanson, Jr. and W.J.R. Hoefer, Microwave Circuit Modeling Using Electromagnetic Field Simulation. Dedham: Artech House, 2003, pp. 425–431. [35] R.J. Wenzel and D.G. Swanson, Jr., “Observations on the stopband performance of tapped line filters,” in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., Phoenix, AZ, May 20–25, 2001, pp. 1619–1671. [36] A. Atia and A. Williams, “Measurement of intercavity couplings,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT23, pp. 519–521, June 1975. [37] N. McDonald, “Measurements of intercavity couplings,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-24, p. 162, Mar. 1976. [38] D.G. Swanson, Jr., “Thin-film lumped-element microwave filters,” in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., Long Beach, CA, June 13–15, 1989, pp. 671–674. [39] J.C. Tippet and M.J. Shiau, “Circuit transformations for realization of a class of miniature printed circuit filters,” in IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Dig., May 23–27, 1994, pp. 621–624. IEEE microwave

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