TEMA VI: INTEGRALES MÚLTIPLES VI.1

INTEGRALES DOBLES.

De igual modo, a como hemos procedido en otros temas, recordemos cómo definimos en b

cálculo de una variable a la integral definida

∫ f (x ) dx ;

se define como el límite de sumas de

a

Riemann, que pueden efectuarse de la siguiente manera: dividimos el intervalo a ≤ x ≤ b en n subdivisiones iguales, cada una de ancho ∆x . Entonces, ∆x =

b−a . Suponga que n

x1 , " ,xn son los puntos finales de las subdivisiones, como se muestra en las figuras 1 y 2 .

Hacemos dos sumas especiales de Riemann: Suma por la izquierda = f (x 0 ) ∆x + f (x1 ) ∆x + " + f (x n −1 ) ∆x y Suma por la derecha = f (x1 ) ∆x + f (x 2 ) ∆x + " + f (x n ) ∆x Para definir la integral definida, tomamos límite de esas sumas conforme n tiende a infinito. f (x )

f (x )

Área = f (x 0 )∆x

Área = f (x1 )∆x

a = x 0 x1

Figura 1

xn −1 x n = b

x2

a = x 0 x1

Suma por la izquierda

Figura 2

x2

xn −1 x n = b

Suma por la derecha

b

La integral definida de f entre a y b :

∫ f (x ) dx

es el límite de las sumas por izquierda o

a

por derecha con n subdivisiones, a medida que n se hace arbitrariamente grande. Esto es, b

∫ a

b

∫ a

  n −1 f (x ) dx = lím (suma por la izquierda) = lím  ∑ f (x i )∆x    n →∞ n →∞   i =0   n f (x ) dx = lím (suma por la derecha) = lím  ∑ f (x i )∆x    n →∞ n →∞   i =1

Cada una de estas sumas se llama suma de Riemann, f se llama integrando y a y b se llaman límites de integración.

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VI.1

Antes de definir la integral definida de una función de dos variables, nos introduciremos en el tema mediante un ejemplo.

Ejemplo introductorio y (m)

La distribución de temperaturas en una

6

losa radiante está dada por las curvas de

5

nivel que se muestran en la figura 3. La superficie calefaccionada es cuadrada y tiene 7 metros de lado. Para promocionar las características del sistema conocer

de

calefacción,

se

necesita

22

21 23 24

4

25

3

26

2

27 28

1 29

la temperatura promedio de la

1

losa calefaccionada.

2

3

4

5

6

x (m)

Figura 3

Si para elaborar la respuesta disponemos de la información mostrada en la figura 3. Una alternativa es dividir la región de interés (la habitación de 7 m × 7 m) en un número de subregiones de 1 m × 1 m y efectuar en cada subregión una estimación de temperatura máxima y otra de temperatura mínima, como se muestran en las siguientes tablas.

Estimaciones inferiores de la temperatura en cada subregión

Estimaciones superiores de la temperatura en cada subregión

22.9

21.9

20.0

19.8

21.0

220

22.6

24.5

23.5

22.9

22.3

22.9

23.1

23.4

23.5

23.0

22.4

22.3

22.5

23.0

23.2

25.9

24.3

23.8

23.6

23.7

23.8

23.9

24.5

23.9

23.7

23.6

23.7

23.7

23.8

26.3

25.9

25.0

24.6

24.5

24.4

24.3

25.8

25.0

24.8

24.6

24.5

24.4

24.3

27.0

26.7

26.2

25.9

25.3

25.1

24.8

26.8

26.3

26

25.4

25.2

24.9

24.7

28.0

27.5

27.1

26.8

26.2

25.8

25.5

27.6

27.1

26.8

26.3

25.9

25.5

25.3

29.0

28.5

27.8

27.3

26.7

26.3

26.0

28.6

27.8

27.4

26.8

26.4

26.1

25.8

30.1

29.0

28.0

27.5

27.1

26.7

26.4

Luego utilizando las estimaciones obtenidas para cada subregión es posible calcular un valor promedio de temperaturas máximas y mínimas, esto es:

VI.2

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49

Promedio de las estimac. inferiores =

∑ Temp. mín (área de cada subregión) n =1

área total

=

(

) = 24.5531 º C

(

) = 25.7326 º C

1203.1º C × 1m 2 49 m

2

49

Promedio de las estimac. superiores =

∑ Temp. máx (área de cada subregión) n =1

área total

=

1260.9º C × 1m 2 49 m

2

Podemos decir que la temperatura promedio según nuestros cálculos corresponde a  24.5531 ºC + 25.7326 ºC  . ºC .   = 2514285 2  

Si tomáramos subregiones más pequeñas podríamos mejorar nuestra estimación de la temperatura promedio. VI.1.1

Definición de integral doble.

Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida de una función de una variable. Para una función de dos variables, decimos: Dada una función continua f (x , y ) definida en una región rectangular a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d , construimos una suma de Riemann al subdividir la región en rectángulos más pequeños. Esto se hace subdividiendo cada uno de los intervalos a ≤ x ≤ b

y

c ≤ y ≤ d , en n y m

subintervalos iguales respectivamente, y se obtienen n × m subrectángulos (figura 4). y d = ym

y3 y2 y1 c = y0 a = x 0 x1 x 2 x 3

x

xn = b

Figura 4 Subdivisión de una región rectangular en n × m subrectángulos Cada subrectángulo tiene un área ∆A = ∆x ∆y , siendo ∆x = (b − a ) n

y

∆y = (d − c ) m . Para

calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor de la función en un punto del rectángulo y sumamos todos los números resultantes.

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VI.3

Si elegimos el valor máximo de la función en cada rectángulo M ij , obtenemos la suma

∑ M ij ∆x ∆y .

superior:

La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de cada

i, j

rectángulo Lij . Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relación:

∑ Lij ∆x ∆y ≤ ∑ f (xi , y j )∆x ∆y ≤ ∑ M ij ∆x ∆y i, j

(

i, j

i, j

)

donde x i , y j es cualquier punto del ij − ésimo subrectángulo. Luego, definimos la integral definida como el límite para el número de subdivisiones n y m que tienden a infinito o lo que es equivalente, la longitud de estas subdivisiones ∆x y ∆y tienden a cero. Tenemos entonces la siguiente definición:

Supongamos que la función f es continua en D , el rectángulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d . Definimos la integral definida de f sobre D , como: dA = lím ∑ f ( xi , y j ) ∆x ∆y

∫∫ f

∆x → 0 ∆y → 0 i , j

D

Esta integral recibe el nombre de integral doble. Muchas veces consideramos a dA como un rectángulo infinitesimal de longitud dx y altura dy , de modo que dA = dx dy , entonces

∫∫ f dA = ∫∫ f (x , y )dx dy D

D

Ejemplo 1: Sea R el rectángulo 0 ≤ x ≤ 1

∫∫ e

(

− x2 + y 2

y

0 ≤ y ≤ 1 . Utilizar sumas de Riemann para calcular

)dA .

R

z f ( x , y ) = e − (x

Solución Iniciamos

los

cálculos

partiendo

en 16 subrectángulos, esto

es

y

∆y = 0.25 ,

luego

+ y2

)

el

rectángulo R ∆x = 0.25

2

y

si

observamos la forma que tiene la gráfica de f (x , y ) , esta disminuye a medida que

x R

nos alejamos del origen. Figura 5

VI.4

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Entonces para obtener una suma superior evaluamos a f en la esquina del subrectángulo más cercana al origen: Suma superior = [(1+ 0.9394 + 0.7788 + 0.5698) + (0.9394 + 0.8825 + 0.7316 + 0.5353) +

( 0.7788 + 0.7316 + 0.6065 + 0.4437 ) + ( 0.5698 + 0.5353 + 0.4437 + 0.3247 )

16 = 0.68

Para obtener una suma inferior, evaluamos f (x , y ) en la esquina opuesta del rectángulo ya que la superficie desciende tanto en la dirección de x como de y , lo cual da una suma inferior de 0.44. Luego: 0.44 ≤ ∫∫ e − (x

2

+ y2

)dA ≤ 0.68

R

Si queremos obtener una mejor aproximación, aumentamos el número de subdivisiones y luego calculamos las sumas superior e inferior. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos para diferentes números de subdivisiones.

Nº subdivisiones

8

16

32

64

Suma Superior

0.6168

0.5873

0.5725

0.5651

Suma Inferior

0.4989

0.5283

0.5430

0.5504

Si bien los valores de la suma superior e inferior se aproximan a medida que aumentamos el número de subdivisiones, para llegar hasta el verdadero valor de la integral doble, el número de subdivisiones debe tender hasta infinito. VI.1.2

Propiedades de la integral doble

Linealidad: Si a y b son constantes:

∫∫ [a f (x , y ) + b g (x , y )] dA = ∫∫ a f (x , y ) dA + ∫∫ b g (x , y ) dA R

R

R

Aditividad respecto a la región de integración: Si la región de integración R

se puede dividir en dos

subregiones constantes, entonces:

R1

R2

∫∫ f (x , y ) dA = ∫∫ f (x , y ) dA + ∫∫ f (x , y ) dA R

R1

Observación: Si

R2

b d f (x , y ) = g (x ) ⋅ h( y ) , entonces ∫∫ f (x , y )dx dy =  ∫ g (x )dx   ∫ h( y )dy  , con a,b,c,d S a c   

constantes.

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VI.5

VI.1.3 Sea

Interpretación geométrica de la integral doble - Teorema de Fubini f (x , y ) una función continua y no negativa sobre S , entonces la integral doble

∫∫ f ( x, y ) dA ,

puede interpretarse como el volumen del sólido cilíndrico W , con base S y

S

z

limitado superiormente por la superficie Σ de

z = f (x , y 0 )

ecuación z = f (x , y ) . La sección de W con

Σ

dada por el plano y = y 0 ,

B1

y 0 ∈ c , d , es la figura plana ABB1 A1 ,

mostrada

en

la

figura

6,

a

limitada

b

superiormente por la curva z = f x , y 0

g

e

y0

c W

S

b

x

inferiormente por z = 0 .

z = f (x , y )

A1

d

A

B

Figura 6

El área de la zona rayada es:

b

y al tomar y 0 como variable y en [c , d ] , el área

∫a f (x , y 0 )dx

de tal sección plana será una función de y : A( y ) =

b

∫a f (x , y )dx

(1)

Entonces si se conoce el área A( y ) de una sección cualquiera perpendiculares al plano yz , resulta para el volumen V (W ) de W : V (W ) =

d

∫c A( y )dy

(2)

Reemplazando en (2) la expresión obtenida en (1), resulta: V (W ) = ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ S

d

c

∫

b

a

f ( x, y ) dx dy

(3)

De manera análoga, se podría haber actuado considerando áreas de secciones de W paralelas al eje y , esto es planos dados por x = x 0 . Se obtendría entonces: b d

∫∫S f (x , y )dxdy = ∫a ∫c f (x , y )dy dx

(4)

Observación: Las expresiones obtenidas en (3) y (4) se llaman integrales repetidas o iteradas Teorema de Fubini (forma débil): Si f (x , y ) es continua en S , se verifica que: b

d

d b

∫∫S f (x , y ) dy dx = ∫a ∫c f (x , y )dy dx = ∫c ∫a f (x , y )dx dy

VI.6

(5)

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y

VI.1.4

Integrales dobles sobre rectángulos.

Si la región es rectangular el teorema de Fubini nos dice que podemos calcular las integrales dobles como integrales iteradas sin importar el orden. Esto significa que podemos calcular una integral doble integrando respecto a una variable a la vez y en cualquier orden. Ejemplo 2: Calcular:

∫∫ ( 2 y − 4 x ) dx dy , siendo S

{

}

S = (x , y ) ∈ ℜ 2 / 1≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 3

Solución: 3

0

∫ ∫ ( 2 y − 4 x ) dy

camino 2

∫ ∫ ( 2 y − 4 x ) dx

VI.1.5

™

3

1

camino 1

3

0

3

1

3

y =3

3

3

dx = ∫  y 2 − 4 xy  dx = ∫ [9 − 12 x ] dx = 9 x − 6 x 2 = −30 1 y =0 1 1 3

x =3

3

3

dy = ∫  2 xy − 2 x 2  dy = ∫ [ 4 y − 16] dy = 2 y 2 − 16 y = −30 0 x =1 0 0

Integrales dobles sobre regiones más generales.

Regiones tipo I:

{

}

R = (x , y ) ∈ ℜ 2 / a ≤ x ≤ b , ϕ1(x ) ≤ y ≤ ϕ 2 (x ) . Se trata de una región R

como la mostrada en la figura 7. Se supone por tanto que la región es tal, que

y

cualquier recta d

y = ϕ1(x )

R

x = cte, con a ≤ x ≤ b , corta a la

frontera de R únicamente en dos puntos, o en un segmento. Entonces, si f (x , y ) es continua en R , se verifica:

y = ϕ 2 (x )

c

R

a

Regiones tipo II:

ϕ1 ( x )

a

ϕ2 ( x )

f ( x, y ) dy dx

(6)

x

b Figura 7

™

b

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫

y

{

}

R = (x , y ) ∈ ℜ 2 / ψ 1( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d .

d

La región R es ahora como la mostrada en la figura 8. Cualquier recta y = cte, con c ≤ y ≤ d , corta a la frontera

x = ψ 2 (y)

R

x = ψ 1( y )

de R únicamente en dos puntos, o en un segmento. Entonces, si f (x , y ) es continua en R , se verifica:

∫∫

R

f ( x, y ) dA = ∫

d

c

∫

ψ1 ( y )

ψ2 ( y )

f ( x, y ) dx dy

(7)

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c a

Figura 8

b

x

VI.7

™

Regiones tipo III: Son aquellas que son simultáneamente de los dos tipos anteriores, como se muestra en la figura 9, entonces pueden utilizarse indistintamente las integrales (6) y (7).

™

Otras regiones Si la región

no es de uno de los tipos citados anteriormente, se intenta

R

descomponerla en subregiones Ri

(i = 1," , m )

sin elementos interiores comunes, y que

sean de los modelos anteriormente citados. Por la propiedad de aditividad respecto a la región de integración, nos queda: m

∫∫

R

f ( x, y ) dA = ∑ ∫∫ f ( x, y ) dx dy Ri

i =1

Teorema de Fubini (forma fuerte): Si f (x , y ) es continua en R , se verifica que: Si R está definida por una región tipo I, entonces b

ϕ1 ( x )

a

ϕ2 ( x )

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ R

f ( x, y ) dydx

Si R está definida por una región tipo II, entonces b

ψ1 ( y )

a

ψ2 ( y )

∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ R

f ( x, y ) dx dy

y 1

Ejemplo 3: Calcular:

∫∫ ( 2 y − 4 x ) dx dy ,

la región

y=x

acotada limitada por las curvas de ecuaciones

R

y=x

2

e

S

siendo R

y = x2

y = x.

0

1

x

Figura 9

Solución

Se trata de la región R mostrada en la figura 9. La recta y = x y la parábola y = x 2 se intersecan en los puntos (0 ,0 ) y (1,1 ) es simultáneamente de los tipos I y II. Luego pueden utilizarse

Es evidente que R

indistintamente las expresiones (4) y (5). 1 1 (2 y − 4 x ) dy dx = ∫0 [y 2 − 4 xy ] dx = ∫0 [x 2 − 4 x 2 − x 4 + 4 x 3 ]dx = − 1 0 ∫x y=x 5

I =∫

Camino 2:

I =∫

VI.8

y=x

1 x

Camino 1:

2

2

(2 y − 4 x )dxdy = ∫0 [2 xy − 2 x 2 ] 0 ∫y x= y 1

y

1

x= y

1

dy = ∫

0

[2 y

3

2

]

− 2 y − 2 y 2 + 2 y 2 dy = −

1 5

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Ejemplo 4:

∫∫ ( 2 y − 4 x ) dx dy ,

Calcular :

siendo R la región limitada en el semiplano superior por las

S

rectas de ecuaciones: y = 0 , y = 1,

x = −1,

y = x.

y 1

Solución R

Se trata de la región R mostrada en la figura 8. Al igual que en el ejemplo anterior, R

y=x

es

indistintamente de los tipos I y II.

1

-1

x

Figura 10

1

y

∫ ∫ (2 y − 4x)

Camino 1:

0

−1

0

1

∫ ∫ (2 y − 4x)

Camino 2:

1

x= y

1

∫ ( 2 y − 4 x ) dy

1

dx dy = ∫  2 xy − 2 x 2  dy = ∫ 2 y 2 − 2 y 2 + 2 y + 2  dy = 3 0 0 x =−1 dy dx + ∫

−1 0

0

1

x

0

1

−1

0

0

1

y =1

y =1

dx = ∫  y 2 − 4 xy  dx + ∫  y 2 − 4 xy  dx = y =0 y=x 0 −1

(

)

= ∫ (1− 4 x ) dx + ∫ 1− 4 x − x 2 + 4 x 2 dx = 3 + 0 = 3

Ejemplo 5: Calcular

∫∫

D

e x e2 y dxdy , donde

D es la región limitada por el cuadrado x + y = 1 . y 1

Solución Desarrollando la expresión

-1

cuatro cuadrantes (esto es, reemplazando los valores absolutos de x y

1 x

y por x , − x , y o − y

(según corresponda) llegamos a que la región

x + y = −1

de integración es el cuadrado de la figura. Por lo tanto podemos expresar la integral de la

∫∫

D

e e dxdy = ∫

0

∫

x +1

−1 − x −1

= =

x 2y

1 2

∫

0

−1

e

3 x+2

−e

− x −2

1 2

e e dydx +

∫

0

−1

1

∫∫

− x +1

0 x −1

x − y =1

-1 Figura 11

siguiente manera: x 2y

x + y =1

x − y = −1

x + y = 1 para los

x +1

− x +1

1  e2 y   e2 y  e e dydx = ∫ e  dx + ∫ e x  dx =   0 −1  2  − x −1  2  x −1 0

x 2y

x

1

e x  e2 x + 2 − e−2 x − 2  dx + 21 ∫ e x e −2 x + 2 − e2 x − 2 dx = 0

 dx +

1 2

∫

1

0

0

e

− x+2

−e

3 x −2

1

 e3 x + 2   e3 x − 2  dx =  + e − x − 2  +  −e − x + 2 −  = 3 0  3  −1  1 2

 e2 e −1 −3  1  2 e −2 e = 21  + e−2 − − e  + 2 e + − e −  = 23 e2 − 23 e − 61 e −1 + 23 e−2 − 21 e −3 3 3 3 3  

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VI.9

VI.1.6

Cambio en el orden de integración.

Muchas veces suele ser útil invertir el orden de integración en una integral iterada. Los siguientes ejemplos nos introducen en esta técnica. Ejemplo 6: Dada la integral I = ∫∫ f (x , y ) dx dy = ∫

2 x2

∫ f (x , y ) dy dx ,

0 0

R

se pide dibujar la región de

integración R y escribir la integral que se obtiene si se invierte el orden de integración. y Solución

4

La región R es la que se muestra en la figura 12: y la integral que se obtiene al invertir el orden de integración es: I =∫

y = x2

∫ y f (x , y )dxdy

4 2

0

R 2 Figura 12

Ejemplo 7: Calcular la siguiente integral doble:

I =∫

1

8 2

0 ∫ x 1+ y 4 3

x

dy dx ,

invirtiendo previamente el orden de integración.

y

Solución

2

R

y3 = x

La región de integración es la que se muestra en la figura 13:

8

La integral con el orden de integración invertido, queda: I =∫

2

0

∫

y3

0

2 1 y3 1 dx dy = ∫0 1+ y 4 dy = 4 ln 1+ y 4

(1+ y ) 4

2 0

=

x

Figura 13

ln17 4

y

Ejemplo 8: Calcular

4

2

0

y/2

∫ ∫

y = 2x x = y/2

x2

e dxdy

4

Solución

2

El integrando no reconoce una primitiva de sencilla formulación,

Figura 14

sino que la misma debe expresarse mediante series.

Para evitar esto, podemos intentar cambiar el orden de integración. Proponemos así: 4

2

0

y/2

∫ ∫ VI.10

2

e x dxdy = ∫

2

0

∫

2x

0

2 2x 2 2 2 2 2 e x dydx = ∫ e x  ∫ dy  dx = ∫ e x 2 xdx = e x 0 0  0 

2 0

= e4 − 1

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x