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DE LA REGLA DE TRES A LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD (O LA INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DEL CÁLCULO) Ricardo Pulido Ríos*

6.1. INTRODUCCIÓN En este escrito damos a conocer una serie de elementos teóricos y prácticos que apoyan la convicción de que hemos producido un cambio profundo e innovador en los cursos de Cálculo que bien pudiera estar dando cuenta de la construcción de un nuevo paradigma para la enseñanza y el aprendizaje de esta rama de las Matemáticas. Primero señalamos una serie de efectos negativos en el aprendizaje del Cálculo como producto de la práctica predominante de una propuesta tradicional, el paradigma actual que se identifica con el contenido de los libros de texto de Cálculo estadounidenses. Mencionamos enseguida las causas que provocan tales deficiencias, según investigaciones en Matemática Educativa. Señalamos ciertas acciones con relación a nuestro equipo de trabajo que posibilitaron la construcción del nuevo acercamiento al Cálculo. Puntualizamos los aspectos de nuestra propuesta relacionados con el contenido y la forma de administrar el conocimiento con los estudiantes, por los que afirmamos tener una verdadera innovación. Tratando de ilustrar el

* Pulido, R. (2008). De la Regla de Tres a la Ecuación de Continuidad (o la Innovación en la Enseñanza y Aprendizaje del Cálculo). En Ricardo Cantoral Uriza, Olda Covián Chávez, Rosa María Farfán, Javier Lezama, Avenilde Romo (Eds.), Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: Un reporte iberoamericano (pp. 121-142). México: CLAME, Ediciones Díaz de Santos S.A.

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impacto positivo que ha tenido la aplicación de nuestra propuesta, mostramos el testimonio de estudiantes que denotan un cambio profundo de actitud hacia las Matemáticas y una revaloración de las mismas como herramienta para resolver problemas relevantes; igualmente, a través de una serie de testimonios transcritos, el impacto que ha tenido nuestra propuesta en los profesores de Cálculo. Presentamos además, los resultados de una investigación que llevamos a cabo en la que encontramos que los estudiantes de ingeniería que han seguido nuestra propuesta educativa se desempeñan significativamente mejor que los que no lo han hecho, en una prueba que involucra habilidades matemáticas necesarias para comprender un tópico específico de ingeniería.

6.2. ANTECEDENTES EL

FRACASO DE LAS PROPUESTAS TRADICIONALES PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO

Las propuestas tradicionales de Cálculo están basadas en libros de texto de origen estadounidense (por ejemplo: Zill (1987), Stewart (2001), Leithold (1987) entre otros) y han conformado un paradigma de enseñanza aprendizaje que es practicado desde hace más de 50 años en toda América Latina y por supuesto, en los Estados Unidos. Estas propuestas han predominado en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo, en el que incluimos: Precálculo, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de Varias Variables y Ecuaciones Diferenciales. Una manifestación del fracaso de la enseñanza tradicional del Cálculo es el hecho de que a finales de los años ochenta del siglo pasado se inició en los Estados Unidos el movimiento de Reforma del Cálculo. Dentro de este movimiento, con amplios apoyos del gobierno, se desarrollaron diferentes proyectos para atender una crisis que ya resultaba evidente: The reform movement got under way after a meeting in Washington 1987 at which mathematicians announced a crisis in calculus education: As many as 40 per cent of undergraduates were failing introductory calculus, and even those who passed did not appreciate the subject’s relevance. Courses often consisted of bland lectures in which students learned how to calculate derivatives and integrals. Students practiced the calculations at home, and on exams professors asked similar problems with different numbers. Students, professors recall, were bored and unengaged. Wilson (1997) Entre los efectos negativos atribuibles a la enseñanza tradicional, destacan los siguientes: • existe un alto índice de reprobados en los cursos de Cálculo; y más preocupante aún… 122

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

• •

los estudiantes que los acreditan no han aprendido las ideas fundamentales del Cálculo, estos estudiantes tampoco están preparados para comprender y apreciar la utilidad del Cálculo como herramienta en el estudio de los fenómenos en las distintas ramas de la ciencia.

ANÁLISIS DE LAS CAUSAS DEL FRACASO Dentro de la organización curricular de las carreras de ingeniería, se pretende que con los cursos de Cálculo el estudiante sea capaz de interpretar, plantear y resolver problemas de las materias específicas de su carrera. Sin lugar a dudas, este objetivo es deseable; sin embargo, podemos nombrar por lo menos dos aspectos esenciales del paradigma tradicional que imposibilitan el logro de tal pretensión. Uno de estos aspectos es el énfasis en el carácter lógico deductivo de la presentación del contenido matemático. Este énfasis puede apreciarse en el modo en que están concatenados los conceptos Matemáticos en un orden lógico creciente, de tal suerte que se definen primero los objetos más simples sobre los que van a hacer referencia las definiciones de objetos más complicados. Basta revisar el índice de los libros de texto tradicionales para comprobar esta situación; el contenido aparece en el orden: Números Reales, Funciones, Límites, Continuidad, Derivadas, Aplicaciones de la Derivada, etc. Este modo de presentar el contenido matemático, una didáctica sin alumnos como se dice en Cantoral y Farfán (2003), corresponde al rasgo axiomático propio de la Ciencia Matemática y si bien pudiera quedar la sensación de que transitar de lo “simple” a lo “más complicado” es una característica didáctica adecuada, los resultados de la investigación educativa informan sobre las siguientes situaciones que están ligadas a este aspecto: •

•

No puede existir una comprensión cabal por parte de los estudiantes del contenido matemático que se intenta comunicar en los libros tradicionales, en tanto que la presentación que ofrecen representa el estado final de un conocimiento que en la mente del estudiante no tiene una razón de ser. La apropiación del discurso supone que el estudiante mismo debería haber construido aproximaciones iniciales a ese conocimiento, y avanzado con sus propios intentos de solución, entre otras habilidades. Sin embargo, no siendo esto propiciado por los libros de texto, el contenido resulta ajeno al proceso cognitivo del estudiante. Podrá forzarse (como lo hace) a estudiarlo, porque el contrato escolar lo obliga a ello, pero será incapaz de aprenderlo. Ante la evidente poca comprensión de los estudiantes, el profesor recurre a “algoritmitizar” parte del contenido, a enfatizar el aprendizaje de técnicas más que de ideas. Así es como el aprender Cálculo se identifica con resolver muchos ejercicios rutinarios. No es extraño que los estudiantes digan que saben Cálculo porque pueden “derivar e integrar”. Artigue (1995)

123

RICARDO PULIDO RÍOS

•

Las ideas fundamentales del Cálculo y su razón de ser difícilmente pueden ser extraídas de estas propuestas tradicionales. La queja recurrente, y no sólo en los países de nuestro continente sino en otros como en Francia y España, es que los estudiantes saben “derivar e integrar” pero no saben cuándo puede resultar útil realizar tales procesos. Dreyfus (1990)

Un segundo aspecto alrededor del cual giran las críticas a las propuestas tradicionales versa sobre el bajo nivel de articulación entre lo que se enseña en los cursos de Cálculo y la manera como este conocimiento participa en otras áreas de la ciencia (la matematización) donde el Cálculo debe ser el soporte. En Pulido (1998) se sostiene que en ciertas ramas de la Física existen nociones matemáticas y formas de trabajar con ellas que de ninguna manera están consideradas en los cursos de Cálculo. Un ejemplo de ello son los “Diferenciales” y el correspondiente “Estilo Diferencial” de trabajo en la Física. De hecho, una situación particularmente grave sucede con los “Diferenciales”: mientras que en la Física es una noción sumamente útil, en los libros de texto de Cálculo tradicionales se presenta dentro de un discurso contradictorio y confuso, cuyas aplicaciones, ante el uso de calculadoras, rayan en lo ridículo (piénsese en aproximar el cálculo de la raíz cuadrada de un número entero). Pulido (1998) Ligado a este aspecto, la investigación en Matemática Educativa informa que se presentan algunas situaciones como las siguientes: •

•

El estudiante expuesto al contenido tradicional del Cálculo tendrá dificultades con el aprendizaje de la ciencia independientemente de su capacidad y del entusiasmo del profesor. Todo esto debido al fuego cruzado de ideas provenientes de sus cursos de Cálculo y de Física. No es casual el desánimo y desencanto que se genera en los estudiantes hacia el Cálculo, sobre todo en aquellos que genuinamente están interesados en aprender. Este desencanto es debido, en parte, a no entender el modo como se utiliza el Cálculo en otras áreas del conocimiento. Es debido también a percibir que tan pregonada y poderosa herramienta es utilizada en ejemplos ridículos donde, a veces, ni el Cálculo es requerido (piénsese en problemas de máximos y mínimos donde la función a optimizar es cuadrática).

CONSTRUYENDO UN NUEVO PARADIGMA Respaldados por la plena conciencia del fracaso de las propuestas tradicionales del Cálculo y los descubrimientos en el área de la Matemática Educativa, entre los que destacan Alanís (1997) y Pulido (1998), en enero de 1998 se constituyó al interior del Departamento de Matemáticas del Tec de Monterrey el Comité para el Rediseño del Sector Curricular de 124

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

Matemáticas para Ingeniería, con la idea básica de rediseñar, precisamente, los cursos de Matemáticas Remediales, Matemáticas I, II y III además de Ecuaciones Diferenciales. Este Comité está formado por los profesores: Patricia Salinas, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido, Francisco Santos, Julio César Escobedo y José Luis Garza García. Este Comité se propuso el siguiente objetivo: Construir una propuesta innovadora para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en el Sistema Tec con las características siguientes: • Servir de soporte a los estilos de matematización de las materias de las carreras de Ingeniería. • Permitir una iniciación científica exitosa a los estudiantes. • Desarrollar en el estudiante una actitud positiva hacia las Matemáticas. A la fecha, julio del 2004, el comité ha innovado casi todos los cursos de Matemáticas del nivel básico de Ingeniería: Remediales, Matemáticas I, II y III, que en extensión corresponden a lo que se conoce como: Precálculo, Cálculo Diferencial e Integral y Cálculo de Varias variables; faltándonos el curso de Ecuaciones Diferenciales. Para los primeros dos cursos Remediales y Matemáticas I, se tienen los libros de texto y cuadernos de trabajo, cuyos autores son miembros del comité, y han sido publicados por la Editorial Trillas: Salinas et al (2002) y (2003)

6.3. CARACTERÍSTICAS DE INNOVACIÓN EDUCATIVA EN LA PROPUESTA

EL CONTENIDO Una característica nueva en el contenido de nuestra propuesta, consiste en el tratamiento amplio que se hace de las magnitudes infinitamente pequeñas, los “diferenciales”. Como ya hemos mencionado, estas magnitudes son la base de un recurso frecuentemente utilizado en los cursos de Física para la construcción de sus fórmulas, nos referimos a la llamada “estrategia de la toma del elemento diferencial”. Dicha estrategia está ausente en las propuestas tradicionales y las razones de ser así son de corte histórico-filosófico: en el intento por explicar racionalmente la Matemática y bajo el signo de la filosofía positivista (siglo XIX) se creó el llamado Análisis Matemático Clásico, del cual el contenido tradicional del Cálculo es una burda simplificación. En este momento histórico se desecharon de la Matemática los infinitamente pequeños por la falta de un

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RICARDO PULIDO RÍOS

fundamento adecuado. Se dio lugar así a una contradicción insalvable en la enseñanza de la ciencia: • •

La Física continuó usando sus métodos infinitesimales, pero sin enseñarlos puesto que esa tarea es de los cursos de Matemáticas; Los cursos de Matemáticas, por su parte, no proporcionan el soporte matemático correspondiente a los métodos infinitesimales, por el destierro consciente de las magnitudes infinitamente pequeñas que están en el centro de los mismos.

De aquí la afirmación categórica que hacemos: independientemente de la capacidad del estudiante y de las ganas del profesor, tanto de Física como de Matemáticas, un estudiante que aprenda las matemáticas tradicionales, tendrá irremediablemente dificultades para entender los modos de proceder, matemáticamente hablando, utilizados en los cursos de Física (Electricidad y Magnetismo, Mecánica, Mecánica de Fluidos, etc). La inclusión en nuestros cursos del estudio de las magnitudes infinitamente pequeñas, los diferenciales, tiende un puente natural hacia los cursos de Física, y esto bien podría ser suficiente para justificar tal acción por nuestra parte como diseñadores de currícula matemática. No obstante, existe otra razón que avala nuestra elección y proceder y que se relaciona con el desarrollo moderno de las Matemáticas: a mediados del siglo XX fue creado por Abraham Robinson el Análisis no-estándar; Robinson (1996); su teoría eleva a los infinitamente pequeños a una categoría de respetable valor formal y les quita el descrédito que tanto tiempo les rodeó. Es importante señalar que a consideración de Kurt Gödel, citado por el mismo Robinson, el análisis no-estándar, en una versión u otra, asegura, será el Análisis del futuro; Robinson comenta además que este Análisis puede contribuir a dar sostén matemático a ciertas partes de la Física Teórica Moderna relacionadas con las series divergentes y que aún no reciben tratamiento matemático adecuado. Resumiendo, no sólo hemos tendido un puente con la Física sino que establecemos con ello un camino por el cual los estudiantes pudieran culminar con el conocimiento de una teoría moderna de las Matemáticas. En otras palabras, aparte de que los libros de Cálculo tradicional no han podido con la encomienda de dotar a los estudiantes de las herramientas necesarias para un avance firme en el conocimiento científico, su contenido ha quedado obsoleto.

LA ADMINISTRACIÓN DEL CONOCIMIENTO EN SITUACIONES DE APRENDIZAJE El Cálculo nace cuando la comunidad científica, principalmente del siglo XVII, estudia, trata y resuelve una clase de problemas de la Física y de la Geometría. Surgen los procesos infinitesimales como las herramientas adecuadas para resolver estos problemas, y es, fruto

126

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

de la reflexión sobre el uso regular de estas herramientas que surgen las nociones fundamentales del Cálculo: Derivadas, Antiderivadas, Diferenciales e Integrales. Nuestro Comité dedicó grandes esfuerzos para identificar esa clase de problemas. Después, el esfuerzo fue canalizado para diseñar una serie de hojas de trabajo en las que, en cada clase, (por lo general al inicio) sea posible que los estudiantes aborden distintas situaciones problemáticas que giren (en distintos grados de dificultad) alrededor de aquella clase de problemas. Esta acción es primordial pues estamos convencidos de la importancia que tiene para el aprendizaje el involucrar al estudiante en situaciones problemáticas en cuya reflexión e intentos por resolverlas le permitan ser partícipes de la construcción de las nociones Matemáticas. Esta forma de “provocar” el aprendizaje lleva al estudiante a darle sentido, llenar de significado las nociones matemáticas que va desarrollando; el estudiante resuelve problemas (y no ejercicios rutinarios). Si además, apoyado por el profesor, el estudiante advierte sobre la relevancia de tales problemas que resuelve, no cabe duda que será conciente de haber adquirido una visión útil y poderosa de la Matemática como lo constatan las opiniones que transcribimos más adelante.

6.4. EL IMPACTO DE LA PROPUESTA A) IMPACTO EN EL ÍNDICE DE REPROBADOS EN LOS CURSOS DE CÁLCULO En la siguiente tabla presentamos datos que muestran que el índice de reprobados ha disminuido en todos los cursos innovados, excepto en uno en donde el porcentaje de reprobados se mantuvo prácticamente igual, y que se imparten de manera generalizada, con relación a los cursos con el estilo de enseñanza tradicional. Hemos comparado el porcentaje de reprobados de una misma materia antes y después de la implementación de la nueva propuesta. Materia

Antes Número de

%

alumnos

reprobados

96-97

2783

30.4

96-97

3006

96-97 96-00

Período

Matemáticas Remediales Matemáticas Ingeniería I Matemáticas Ingeniería II Matemáticas Ingeniería III

Después %

Número de

%

alumnos

reprobados

00-02

2754

22.51

7.89

31.4

00-02

3926

19.63

11.7

2361

28.67

00-02

2528

18.71

9.96

8693

17.39

01-03

4716

18.25

-0.86

Período

127

RICARDO PULIDO RÍOS

B) IMPACTO EN LA ACTITUD DE LOS ESTUDIANTES HACIA LAS MATEMÁTICAS Destacamos algunos comentarios que provienen de estudiantes que han tenido oportunidad de comparar nuestra propuesta con la presentación tradicional del Cálculo. Crítica a una rutina sin sentido: “. . . lo mejor (de haber llevado el curso basado en nuestra propuesta) fue recordar que las matemáticas no solo es hacer problema tras problema... y que no sólo derivamos por derivar sino que hay un por qué, un fin” Crítica a una enseñanza desligada del mundo real: “…fue hasta aquí donde aprendí y conocí de dónde vienen esas ecuaciones y dónde las podemos aplicar. . .”. “…ahora en la Universidad me han enfocado a la comprensión del por qué de esas ecuaciones que derivaba e integraba, el significado real de esa ecuación, cómo se obtuvo, me han enseñado que las ecuaciones no salen del aire y que sirven para descubrir diferentes comportamientos de fenómenos” . . . “…en esta (clase) podemos ver a las matemáticas aplicadas a nuestra vida real y eso hace que tengamos más interés”. Transformación de la actitud negativa que se tenía hacia las matemáticas: “En este momento siento que mi interés se ha recobrado hacia ellas, se podría decir que tuve una especie de reconciliación con las matemáticas”. “Fue como recopilar todo lo que ya sabía y unirlo en una misma masa y guardarlo fijo en mi mente sin necesidad de aprenderme fórmulas, sólo razonando las cosas y los acontecimientos”. “Las matemáticas pasaron de ser una materia más a una de gran interés... donde se me enseñó el por qué de las ecuaciones y no sólo aprenderme un montón de reglas”.

C) IMPACTO EN LOS PROFESORES A través de diferentes medios, cursos y talleres para profesores, hemos dado a conocer nuestra propuesta. Se han impartido cursos-talleres de Precálculo, Matemáticas I, II y III para Ingeniería, en Monterrey, en otras ciudades del país e incluso en otros países (Guatemala, Chile, EE.UU.) En lo que sigue presentamos sólo una muestra de opiniones de profesores relativas a nuestra propuesta como evidencia de su impacto positivo en profesores de Matemáticas. Hemos subrayado las partes que creemos importantes destacar de estos comentarios. Las siguientes opiniones fueron tomadas en el curso: “Desarrollo curricular de la Matemática para la Ingeniería” dentro de la VI Escuela de Invierno y Seminario Nacional de

128

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

Investigación en Didáctica de las Matemáticas; diciembre de 2002; en la Universidad Autónoma de Chiapas; Tuxtla Gutiérrez Chiapas. •

•

• •

• •

Soy profesor de Física, creo que su curso me ha dado ideas y claridad en lo que son los diferenciales, que algunas veces no logré entender y que he enseñado como en los textos; lamentablemente he echado a perder alumnos, pero tal vez sea una fase que tuvo que transitar todo profesor, para darse cuenta de sus errores, porque antes yo no me daba cuenta de la importancia de los diferenciales. Ahora creo que haré mejor las cosas, muchas gracias por compartir sus conocimientos y por la preocupación que tiene porque el conocimiento sea enseñado verdaderamente. Soy físico y me gustaría trabajar con ustedes para fundamentar algunos cursos que imparto: Mecánica, Electricidad y Magnetismo, Cálculo, Métodos Numéricos, Estadística entre otros, con sus ideas revolucionarias que me parecen excelentes. Trabajo en la Universidad Tecnológica de Tecamachalco. Sin duda, frente a este acercamiento de la matemática, los estudiantes estarán mejor posibilitados para utilizarla en su área de competencia. Me parece excelente la idea de esta modificación o nuevo enfoque de ver el cálculo; romper este paradigma es una tarea difícil, donde hay que difundir esta nueva manera de tratar el cálculo. Ojalá puedan tener la disposición y voluntad de trasmitirlo a otras instituciones educativas, tenga por seguro que le comentaré en mi subsistema y espero organizar un evento de esta naturaleza. CIMATE UNACH Esta manera de plantear la enseñanza de las matemáticas es muy rica sobre todo resignifica el objetivo y el sentido de las matemáticas para los estudiantes y la sociedad en general. Sinceramente estoy muy impresionado respecto a lo que en este instante nos brindó de su conocimiento y la experiencia que compartió con nosotros. Aprendí y comprendí el cálculo desde otra óptica que me motiva a seguir comprendiendo más el fenómeno de ser matemático.

D) IMPACTO EN LAS HABILIDADES MATEMÁTICAS DE LOS ESTUDIANTES PARA LA COMPRENSIÓN DE LOS FENÓMENOS DE LA ESPECIALIDAD. Para constatar que nuestros cursos ya rediseñados logran que el estudiante esté mejor preparado para comprender los procesos matemáticos que conducen a obtener resultados importantes de sus cursos avanzados de ingeniería, con relación a los estudiantes que no recibieron esta enseñanza, llevamos a cabo la siguiente investigación. Escogimos un tópico de ingeniería que requiriera un alto grado de matematización para su desarrollo y que estuviera presente en por lo menos alguna materia de una buena cantidad de carreras de ingeniería; el tópico elegido fue la Ecuación de Continuidad. Mostramos enseguida una tabla que relaciona las carreras elegidas con el curso y el libro de texto correspondiente donde la Ecuación de Continuidad es un tema que se aborda.

129

RICARDO PULIDO RÍOS

CARRERA IFI IMA IME IC

IQS IQA

CURSO Mecánica de fluidos

LIBRO DE TEXTO Frank M. White, Mecánica de fluidos, McGraw Hill, 1994.*

Hidrología.

K. C. Patra, Hydrology and Water Resources Engineering, Ed. Narosa Publishing House, ed. 2000

Obras hidráulicas Balance de materia

Torres, Obras Hidráulicas, Editorial: Limusa R.M. Felder y R.W. Rousseau, Principios elementales de los procesos químicos, Addison-Wesley Iberoamericana, Segunda edición, 1991.

Balance de energía David M. Himmelblau, Balances de materia y energía, Prentice Hall, Cuarta edición, 1988 Fenómenos de transporte LCQ

Balance de materia

R.B. Bird, W.E. Stewart y E.W. Ligthfoot, Fenómenos de transporte, Reverté, 1975 R.M. Felder y R.W. Rousseau, Principios elementales de los procesos químicos, Addison-Wesley Iberoamericana, Segunda edición, 1991.

Balance de energía David M. Himmelblau, Balances de materia y energía, Prentice Hall, Cuarta edición, 1988

IFI: Ingeniero Físico Industrial; IMA: Ingeniero Mecánico Administrador; IME: Ingeniero Mecánico Electricista; IC: Ingeniero Civil; IQS: Ingeniero Químico y de Sistemas; IQA: Ingeniero Químico Administrador; LCQ: Licenciado en Ciencias Químicas.

EL

INSTRUMENTO DE MEDICIÓN (O DE LA REGLA DE TRES A LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD)

Diseñamos una prueba (la incluimos al final de este documento) cuyo contenido gira alrededor de la forma en que se construye la ecuación de continuidad en White (1994) con la variante de fijarnos en cantidad de líquido en lugar de cantidad de materia, es decir obviamos ρ , la densidad de masa. Los reactivos de la prueba se relacionan entonces con las consideraciones matemáticas, algunas de corte infinitesimal, que conducen al establecimiento de la ecuación de continuidad. La prueba consta de 8 problemas, 6 de ellos con dos incisos y los otros dos con uno sólo; en total la prueba consta de 14 reactivos; todos son de opción múltiple excepto 4 de ellos en los que la respuesta es numérica. 130

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

Se pueden distinguir tres partes importantes de la prueba: a) La primera consta de los dos primeros problemas y trata de magnitudes que crecen a un ritmo constante con respecto a otra magnitud. Utilizamos un contexto donde la temperatura cambia en el tiempo, y lo hacemos así siguiendo un comentario de White antes de proceder a construir la ecuación de continuidad. Preguntamos aquí por el valor de la temperatura en cierto tiempo cuando se conoce ya un valor de ella en otro tiempo y que su ritmo de cambio tiene un valor fijo específico. Se pide al estudiante, en esta misma parte, que generalice el resultado anterior para una razón de cambio constante, pero arbitraria. b) En la segunda parte (los problemas 3 y 4) se pregunta a los estudiantes sobre las ideas que subyacen detrás de la fórmula para aproximar el valor de una magnitud en un punto en función de la razón de cambio, que ahora es variable, de la magnitud y el valor de ésta en otro punto. Esta es la idea básica con la que funciona el llamado Método de Euler, método numérico para aproximar valores de magnitudes. Además, en la pregunta 4, se les cuestiona sobre una idea esencial del cálculo infinitesimal: en lo infinitamente pequeño las magnitudes pueden verse creciendo uniformemente, con razón de cambio constante, y con ello establecer relaciones para los incrementos diferenciales. c) La última parte, preguntas 5, 6, 7 y 8, se refiere exclusivamente a fluidos en movimiento, desde aquellos que se mueven con velocidad constante, hasta los que tienen un movimiento arbitrario en los que la velocidad depende de la posición y del tiempo. Las preguntas se relacionan con las ideas tratadas en las dos primeras partes de la prueba, pero circunscritas a los líquidos. La última pregunta encierra una idea crucial del cálculo infinitesimal de varias variables con la que se accede a la ecuación de continuidad: un fluido en movimiento con velocidad variable puede verse en lo infinitamente pequeño con movimiento uniforme.

LA MUESTRA DE ESTUDIANTES Con la idea de comparar, a través de la prueba, el desempeño de los estudiantes que hubieran recibido una enseñanza de las matemáticas basada en nuestra innovación de cursos, Matemáticas I, II y III de Ingeniería, con relación a los que no, se decidió aplicar la prueba en grupos completos correspondientes a materias de semestres avanzados de las carreras de ingeniería antes señaladas; es decir, escogimos cursos cuyos estudiantes ya habían acreditado el nivel básico de matemáticas, de quinto semestre en adelante. Sabíamos que en tales grupos encontraríamos desde estudiantes que habían acreditado todos nuestros cursos, hasta aquellos que no habían llevado ninguno de ellos; como así fue, tal como mostramos la distribución de la muestra más adelante. Aunque lo ideal hubiera sido seleccionar una 131

RICARDO PULIDO RÍOS

muestra aleatoria de estudiantes, el alto costo de conseguirlos individualmente y convencerlos que presentaran el examen, nos hizo decidirnos por la alternativa señalada. Escogimos grupos de las carreras ya mencionadas, tratando de evitar encontrarnos con los mismos estudiantes en distintas materias. A los profesores responsables de cada curso se les pidió permiso de aplicar el examen en el salón asignado a la clase, señalándoles el propósito del examen y el tiempo de aplicación que habíamos fijado en 20 minutos; sólo un profesor entre 17 grupos se negó a permitirnos aplicar el examen.

LA TOMA DE DATOS El examen se aplicó en 16 grupos en el mes de abril del 2004; 10 de ellos en el Campus Monterrey donde se obtuvieron 247 exámenes contestados. Del Campus Ciudad de México se visitaron 6 grupos de donde se obtuvieron 102 exámenes. En todos los grupos se les explicó a los estudiantes la intención del examen y se les pidió que ayudaran en la investigación atendiendo con esmero los requerimientos del mismo; se tomó estricto control del tiempo: 20 minutos. En todos los grupos estuvo presente un miembro de nuestro comité, excepto en un grupo, donde se obtuvieron 8 exámenes.

EL ANÁLISIS ESTADÍSTICO Con el nombre y la matrícula de los estudiantes, que se les pedía en la parte superior del examen, se hizo para los alumnos del Campus Monterrey una clasificación en cuatro categorías: 3R, los que habían llevado y acreditado 3 cursos rediseñados por parte del Comité (Matemáticas I, II y III); 2R, los que llevaron y acreditaron sólo dos rediseñados (cualesquiera dos de Matemáticas I, II y III); 1R: los que llevaron y acreditaron sólo un curso rediseñado (cualquiera de los anteriores) y finalmente, 0R: los que no acreditaron curso alguno rediseñado por nuestro comité. El hacer esta clasificación fue posible con el uso de una base de datos en la que se tiene el historial Categoría Número de estudiantes académico de cada alumno, entre otras cosas: 0R 64 semestre en que cursó cada materia, 1R 47 calificación, profesor con quién la tomó, etc. Agregamos una categoría más que la forman 2R 90 los estudiantes de Cd. de México. La 3R 46 distribución de estudiantes en estas categorías Cd. de México 102 quedó como se aprecia en el cuadro: Total

132

349

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

Básicamente se hicieron dos análisis estadísticos: a) Comparación de las proporciones de acierto en cada reactivo entre las cuatro categorías. b) Comparación de medias entre las cinco categorías. Se asignó una calificación de 100 puntos al examen de la siguiente forma: 12 puntos a cada uno de los problemas del 1 al 6, y 14 puntos a los últimos dos, el 7 y 8. Para el primero, se utilizaron las llamadas Tablas de Contingencia y las pruebas binomiales de proporción tratando de saber si las diferencias en las proporciones de acierto, entre las categorías y para cada reactivo, eran significativas. Para el segundo se realizó un ANOVA, para averiguar si había diferencias significativas entre las medias de las categorías.

Resultados a) Comparación de proporciones de aciertos. Señalando para cada reactivo la categoría que obtuvo el mayor porcentaje de aciertos, se tiene la siguiente distribución de un total de 14 reactivos: Número de reactivos con mayor proporción de aciertos Categorías

6

4

0

2

2

3R

2R

1R

0R

Cd. de México

Esta tabla nos dice, por ejemplo, que la categoría 3R que corresponde a los estudiantes que acreditaron tres cursos rediseñados por el comité, obtuvo mayor porcentaje de aciertos en 6 de los 14 reactivos. También dice, que los de un sólo curso rediseñado, 1R, en ningún reactivo obtuvieron un porcentaje de aciertos mayor que las demás categorías. De la tabla se desprende que en conjunto las categorías 2R y 3R obtuvieron el mayor por ciento de aciertos en 10 de los 14 reactivos. Reagrupamos a los estudiantes en tres categorías: •

2R o 3R: estudiantes del Campus Monterrey que acreditaron 3 o 2 cursos del comité: “estudiantes expuestos mayormente a la innovación” • 0R o 1R: estudiantes del Campus Monterrey que no acreditaron curso alguno del comité o sólo uno: “estudiantes no expuestos o mínimamente expuestos a la innovación” • Cd. de México: la misma categoría que antes Haciendo comparación de proporciones de aciertos, con esta nueva clasificación y vía tabla de contingencias, se encontró que en cinco reactivos había diferencias significativas en la proporción de aciertos, con un nivel de significancia de 0.05. En cuatro de éstos la

133

RICARDO PULIDO RÍOS

categoría 2R o 3R resultó con una proporción de aciertos significativamente mayor que la de una o las dos categorías restantes; la siguiente tabla resume estas comparaciones:

Reactivos

2R ó 3R significativamente mayor que:

1 b)

0R o 1R y Cd. de México

3 a)

Cd. de México

4

0R o 1R

8

0R o 1R y Cd. de México

El quinto reactivo donde hubo diferencias significativas es el 2 a); en éste, 0R o 1R obtuvo una proporción de aciertos significativamente mayor que 2R o 3R. b) Comparación de medias. El siguiente cuadro muestra los promedios que obtuvieron las cinco categorías Categoría

Promedios

Cd. de México

55.85

0R

54.84

1R

50.55

2R

60.19

3R

61.30

Se procedió a realizar un ANOVA, después de haber verificado vía la prueba de BrownForsythe la igualdad de varianzas entre las categorías, el cual indica que hay diferencias significativas entre las medias con un nivel de significancia p = 0.022 . Al reagrupar de nuevo en las categorías 2R o 3R, 0R o 1R y Cd. de México y comparar sus medias, se encontró que la diferencia entre las medias de 2R o 3R y 0R o 1R es significativa al nivel 0.01; entre 2R o 3R y Cd. de México la diferencia es significativa al nivel 0.07.

COMENTARIOS ADICIONALES DEL ANÁLISIS COMPARATIVO



134

Es interesante notar las semejanzas en comportamiento de medias y proporciones entre las categorías 2R y 3R por un lado; 0R y Cd. de México por el otro. De hecho no encontramos diferencias significativas ni en medias ni en proporciones de aciertos entre

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

ellas. Era natural esperar esas semejanzas entre Cd. de México y 0R en tanto ambas poblaciones de estudiantes no recibieron enseñanza matemática con la propuesta del comité. La semejanza entre 2R y 3R podría interpretarse diciendo que las habilidades matemáticas exigidas por esa prueba no se incrementan significativamente al pasar de dos cursos rediseñados a tres.





Aunque no se encontraron diferencias significativas con un nivel p ≤ 0.5 (menor o igual que 0.05) en medias ni proporciones entre 0R y 1R, parece que el hecho de llevar un solo curso rediseñado perjudica más que beneficiar, por lo menos en cuanto a la adquisición de las habilidades exigidas por el examen. Podría decirse que para que las ideas matemáticas que ponemos a consideración en nuestra propuesta queden bien arraigadas en los estudiantes, es necesario llevar más de un curso de los nuestros; uno sólo de ellos creará más confusión que beneficio. Con relación a los resultados en la comparación de proporciones de aciertos por reactivo, hubo dos que el comité valora con mayor medida; los correspondientes a los reactivos 1b) y 8. En ambos se tuvo diferencias significativas (al nivel de 0.05) a favor de 2R o 3R contra 0R o 1R y Cd de México. Para el caso del reactivo 1b) creemos que las diferencias advertidas se deben al énfasis que ponemos en nuestros cursos en el modo de mirar el valor de una magnitud como el valor anterior más lo que ha cambiado; mientras que en los cursos tradicionales no se desarrolla ese enfoque. En cuanto a la valoración que hacemos en gran medida de los resultados en el problema 8 se debe a que éste puede considerarse el “rey” de la prueba en tanto los demás, podría decirse, son el desglose necesario para llegar a él; la Ecuación de Continuidad se deduce inmediatamente después de este hecho. Los siguientes cuadros muestran las proporciones que alcanzaron estas categorías en los reactivos señalados en este párrafo.

Reactivo 8

Reactivo 1 b) Cd. de México

62%

Cd. de México

39%

0R o 1R

64%

0R o 1R

40%

2R o 3R

77%

2R o 3R

57%

CONCLUSIONES DEL ANÁLISIS COMPARATIVO Definitivamente los resultados obtenidos a través de los análisis estadísticos nos hacen pensar que el proyecto de innovación educativa ha influido de manera positiva en el incremento de las habilidades de los estudiantes necesarias para la comprensión profunda de los fenómenos de su especialidad. Si juntamos a este logro el cambio de actitud más favorable hacia las matemáticas, por parte de los estudiantes y detectado por los comentarios 135

RICARDO PULIDO RÍOS

que ellos hacen, y añadimos el efecto en la reducción del índice de reprobados, podemos decir que nuestra propuesta es sustancialmente mejor que la tradicional, especialmente en aquellos puntos donde centramos la crítica y que fueron señalados al principio del escrito.

VII. BIBLIOGRAFÍA Alanís, A. (1996). La predicción: un hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del Cálculo. Tesis doctoral, Cinvestav-IPN, México. Artigue, M. (1995). Ingeniería didáctica. En P. Gómez (Ed.). Ingeniería didáctica en educación matemática (pp. 33-59). Bogotá: Una empresa docente, Grupo Editorial Iberoamérica. Cantoral, R. (1990). Categorías relativas a la apropiación de una base de significaciones propia del pensamiento físico para conceptos y procesos de la Teoría Elemental de las Funciones Analíticas. Tesis de doctorado, Cinvestav-IPN, México. Cantoral, R. y Farfán, R. (2003). Mathematics Education: A vision of its Evolution. Educational Studies in Mathematics, 53, 255-270. Dreyfus, T. (1990). Advanced Mathematical Thinking . En A. Howson y J. Kahane, (Eds.), Mathematics and Cognition. A Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education. ICMI Study Series (pp 113-134). E.U.A.: Cambridge University Press. Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (J. Vega, Trad. 5a. ed.). México: Harla. (Versión en español del original en inglés publicado en 1986). Pulido, R. (1998). Un estudio teórico de la articulación del saber matemático en el discurso escolar: la transposición didáctica del diferencial en la física y la matemática escolar. Tesis de doctorado, Cinvestav-IPN, México. Robinson, A. (1996). Non-standard Análisis. Estados Unidos: Princeton University Press. Salinas, P. et al (2002). Elementos del Cálculo: Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. México: Editorial Trillas. Salinas, P. et al (2003). Matemáticas Preuniversitarias: Significado de nociones y procedimientos. México: Editorial Trillas. Stewart, J. (2001). Calculus: Concepts and Contexts. EE.UU: Brooks Cole. White, F. (1994). Mecánica de fluidos. México: McGraw Hill. Wilson, R. (1997). “Reform Calculus” Has Been a Disaster, Critics Charge [Electronic version]. The Chronicle of Higher Education, A12. En http//choronicle.com/chedata/articles.dir/art-43.dir/issue-22.dir/22ª00101.htm Zill, D. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (E. Ojeda, Trad.) México: Grupo Editorial Iberoamérica. (Versión en español del original en inglés publicado en 1985).

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ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

ANEXO 1 EVALUACIÓN Nombre _____________________________________________ Matrícula _______________ Institución ______________________ Curso ___________________ Carrera _________

Problema 1

Supongamos que la temperatura T de cierto objeto varía con el tiempo t de tal manera que la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es constante e igual a 4 °C/segundo. a) En un lapso de 3 segundos… ¿cuánto aumenta la temperatura? Respuesta: __________________

b) Si además se sabe que la temperatura a los 2 segundos es de 9 °C… ¿cuál será la temperatura a los 5 segundos? Respuesta: ___________________

Problema 2 Reflexiona sobre el razonamiento que hiciste en el problema anterior para responder los siguientes incisos. En cada uno de ellos marca la opción que consideres correcta. Supongamos que la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es constante e igual a k °C/segundo. Sean T(t1) y T(t2) las temperaturas del objeto en los tiempos t1 y t2 respectivamente. a) La fórmula para T (t 2 ) es:

T (t 2 ) = T (t 1 ) + kt 2

T (t 2 ) = T (t 1 ) + k (t 2 − t 1 )

T (t 2 ) = T (t 1 ) + k

T (t 2 ) = T (t 1 ) + kt

b) Al tomar t 2 − t 1 = ∆t se tiene que t 2 = t 1 + ∆t , luego la fórmula para

T (t 1 + ∆t ) es:

T (t 1 + ∆t ) = T (t 1 ) + kt T (t 1 + ∆t ) = T (t 1 ) + k∆t

T (t 1 + ∆t ) = T (t 1 ) + k (∆t + t 1 ) T (t 1 + ∆t ) = T (t 1 ) + ∆t

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RICARDO PULIDO RÍOS

Problema 3 Lee cuidadosamente el contenido del siguiente recuadro. Enseguida, para cada inciso marca la opción que consideras correcta. En general, si M es una función que depende de x , es decir M = M (x ) , y la derivada o razón de cambio M ′(x ) no es constante, se pueden tener las siguientes fórmulas de aproximación:

(1) (2)

M (x 2 ) ≅ M (x 1 ) + M ′(x 1 )(x 2 − x 1 ) M (x 1 + ∆x ) ≅ M (x 1 ) + M ′(x 1 )∆x

o sea donde

x 2 − x 1 = ∆x

dy = M ′(x ) su derivada; despejando se dx obtiene dy = M ′(x )dx . Ahora bien, ya que dy = M (x + dx ) − M (x ) se tiene Sea y = M (x ) una función de x y

que M (x + dx ) − M (x ) = M ′(x )dx ; siguiente fórmula:

y de esta expresión se obtiene la

M (x + dx ) = M (x ) + M ′(x )dx

(3)

a) Detrás de la primera fórmula de aproximación está el hecho siguiente. x 2 se considera muy cercana de x 1 .

M ′(x ) se considera constante de x 1 a x 2 . M (x 2 ) es aproximadamente igual a M (x 1 ) . En lugar de M ′(x ) se tiene M ′(x 1 ) . b) La segunda fórmula establece lo siguiente. Cuánto cambia aproximadamente el valor de la magnitud cuando x cambia un ∆x . Cómo calcular un valor aproximado de la razón de cambio en un punto. Cómo calcular aproximadamente el cambio de la magnitud en un punto. Cuánto es aproximadamente el valor de la magnitud cuando x cambia un ∆x .

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ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

Problema 4 Lee cuidadosamente el contenido del siguiente recuadro. Enseguida, para cada inciso encierra la opción que consideres más precisa acerca de la cuestión que se plantea. dy = M ′(x ) su derivada; despejando se dx obtiene dy = M ′(x )dx . Ahora bien, ya que dy = M (x + dx ) − M (x ) se tiene Sea y = M (x ) una función de x y

que M (x + dx ) − M (x ) = M ′(x )dx ; siguiente fórmula:

y de esta expresión se obtiene la

M (x + dx ) = M (x ) + M ′(x )dx

(3)

Comparando la fórmula (2) del problema anterior con esta última, la (3)… ¿por qué en aquel caso se dice que es una aproximación, mientras que en éste se tiene una igualdad? Porque en tramos infinitamente pequeños la derivada es constante. Porque la derivada puede variar mucho en un ∆x . Porque con diferenciales la derivada tiene un valor exacto. Porque las magnitudes pueden variar mucho en un ∆x .

Problema 5 Consideremos un líquido en movimiento; en cierto punto de la trayectoria del fluido sumergimos en él una “ventana rectangular” ficticia y la dejamos fija. El fluido que pasa por la ventana va con velocidad constante y en dirección perpendicular a ella. La magnitud de la velocidad es de 1.5 metros/segundo, los lados de la ventana son de 2 y 3 metros. a) Calcula el volumen del fluido que pasa por la ventana en un lapso de 4 segundos. Respuesta: _______________ b) ¿Cuál es la cantidad de volumen del fluido que pasa por la ventana en un segundo? Respuesta: _______________

Problema 6 Consideremos de nuevo al líquido en movimiento; igualmente en cierto punto de la trayectoria del fluido sumergimos en él una “ventana rectangular” ficticia y la dejamos fija. El fluido que pasa por la ventana va con velocidad constante y en dirección perpendicular a ella. La magnitud de la velocidad es u metros/segundo y los lados de la ventana son de a y b metros.

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RICARDO PULIDO RÍOS

En los siguientes incisos marca la opción que consideres correcta. a) La cantidad de volumen del fluido que pasa por la ventana en cada segundo es:

a b metros cúbicos

1 a b u2 tmetros cúbicos 2

a b u metros cúbicos

a bu ′(t ) metros cúbicos

b) La razón de cambio del volumen del fluido que pasa por la ventana con respecto al tiempo es:

a

b metros cúbicos/segundo

a ub′(t ) metros cúbicos/segundo

a

b metros cúbicos/segundo

1 metros cúbicos/segundo a b 2u 2

Problema 7 Supongamos que tenemos un líquido que se mueve siguiendo dx una dirección constante. Sumergimos dos “ventanas dy rectangulares” paralelas, ficticias y las dejamos fijas. Las dimensiones de ambas “ventanas” son dy y dz; la x x + dx distancia entre ellas es dx y el x líquido fluye perpendicular a dz ellas, como se muestra en la figura, donde se ha colocado un eje x de referencia en dirección del movimiento del fluido. La velocidad del fluido depende sólo de x, es decir u = u (x ) y

u ′ = u ′(x ) es la razón de cambio de la velocidad.

En los siguientes incisos marca la opción que consideres correcta. a) La cantidad de volumen del líquido que entra por la ventana izquierda en cada segundo es:

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u ′(x )dy dz

du dy dz dt

u (x ) t dy dz

u (x )dy dz

ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM

b) El volumen que sale por la ventana derecha en cada segundo es:

[u (x ) + u ′(x )dx ]dy dz

u ′(x + dx )dy dz

[u + x + dx ]dy dz

∂u )d xd yd z ∂x

Problema 8 Consideremos un líquido que se mueve con una velocidad

ˆ que depende de la V = uî + vˆj + wk

y dx

(x , y , z )

posición (x, y, z) y del tiempo t. Se dy tiene una caja ficticia fija sumergida en el fluido con dimensiones dx, dy y dz; uno de los vértices de ésta caja es x x x + dx el punto con coordenadas x, y y z dz (ver figura). En un tiempo dado la razón de cambio del volumen del líquido que entra a la caja por la cara z izquierda es udydz . Marca la opción para completar correctamente la siguiente expresión que indica la razón de cambio del volumen de líquido que sale por la cara derecha en ese mismo tiempo:

[u +

]dy dz

∂u ∂x

∂u dx ∂x

dx

u dx

Ricardo Pulido Ríos Departamento de Matemáticas Campus Monterrey, ITESM [email protected]

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