PUBLICATION DATE: 04/21/2014

Deducción de la Ecuación de Schrödinger desde la Física Clásica Dr. Jose Garrigues Baixauli [email protected]

Resumen. En este trabajo, se deduce la famosa ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica de una manera muy simple. El punto de partida es la hipótesis de que el Universo y las partículas están formadas por átomos de Planck de cuatro dimensiones. La función de onda es el cociente entre la energía que tiene el electrón sin ser observado y la que adquiere debido a la observación. Abstract. In this work is deduced the famous Schrödinger equation of quantum mechanics in a very simple manner. The starting point is the assumption that the universe and the particles are formed by four-dimensional Planck atoms. The wave function is the ratio between the kinetic energy that the electron has when unobserved and the that acquires due the observation. Introducción. Actualmente se considera que la dualidad onda-partícula es un “concepto de la mecánica cuántica según el cual no hay diferencias fundamentales entre partículas y ondas: las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa”. [1] “En el contexto de la física clásica, el modelo corpuscular y el modelo ondulatorio de la luz son totalmente incompatibles” [2]. La ecuación que caracteriza la energía de una partícula es: (1) siendo E la energía total, Ec la energía cinética y V la energía potencial Por otra parte, la ecuación general de una onda estacionaria es:

±

λ

(2)

Con el fin de describir la naturaleza corpuscular de la luz, Einstein propuso que la energía E y el momento p de un fotón puede expresarse como:

υ

ω

(3)

donde υ es la frecuencia del fotón, ω 2πυ es la frecuencia angular, c la velocidad de la luz, λ la longitud de onda del fotón y h/2π la constante reducida de Planck. En 1923, De Broglie sugirió que toda la materia debería comportarse como ondas con una longitud de onda dada por:

!

"#

(4)

Donde λ es la longitud de onda de la partícula, h la constante de Planck, m la masa de la partícula y v su velocidad. Motivado por la hipótesis de De Broglie, en 1926, Erwin Schrödinger Inventó una ecuación como una manera de describir el comportamiento ondulatorio de partículas de materia. La ecuación más tarde fue llamada ecuación de Schrödinger, que se puede escribir:

&

ℏ

"

'

(), +,

(), +, (), +, = -ℏ

(.,/, /

(5)

Por un lado, a pesar de mucho debate, se acepta que el cuadrado de la función de onda en un punto representa la densidad de probabilidad en dicho punto. Born le dio a la función de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, interpretación que Einstein nunca compartió. Por otra parte, el propio Schrödinger publicó dos intentos de derivar la ecuación que lleva su nombre [4,5]. También ha habido algunos intentos por parte de otros autores de obtener la ecuación de Schrödinger a partir de diferentes principios [6-13]. Espacio-tiempo discreto. La relatividad general supone que el espacio-tiempo es continuo. Sin embargo no hay ninguna evidencia experimental de ello. ¿Son el espacio y el tiempo continuos?, o solamente estamos convencidos de dicha continuidad como consecuencia del condicionamiento de la educación. En los últimos años, tanto físicos como matemáticos, se han preguntado si es posible que el espacio y el tiempo sean discretos. Si pudiéramos analizar el espacio a escalas suficientemente pequeñas, ¿veríamos "átomos" de espacio, irreducibles pedazos de volumen que no se podrían descomponer en nada menor? [14]. La cuantificación del espaciotiempo conserva la invariancia relativista [15], la causalidad y permite distinguir partículas elementales entre sí de un modo simple y natural. [16]. El valor mínimo de volumen, longitud o área, se mide en unidades de Planck [14]. Las teorías relacionadas con la gravedad cuántica, tales como la teoría de cuerdas y la relatividad doblemente especial, así como la física del agujero

negro, predicen la existencia de una longitud mínima [17-18]. La constante h de Planck, que representa el cuanto elemental de acción, tiene un papel importante en la mecánica cuántica. El espacio-tiempo discreto es utilizado como modelo por otros autores para presentar la solución de la ecuación de Schrodinger de una partícula libre [19] o de onda electromagnética y Helmholtz [20]. Las teorías relacionadas con la gravedad cuántica, tales como la teoría de cuerdas y la relatividad doblemente especial, así como la física del agujero negro, predicen la existencia de una longitud mínima [21-23]. Heisenberg señaló que la física debe tener una escala de longitud fundamental que, junto con la constante h de Planck y la velocidad de la luz permitan la derivación de las masas de las partículas [24-25]. La longitud de Planck ha sido considerada como la distancia más corta que posea algún significado físico Electrón. Dualidad onda partícula. Supongamos que el universo está formado por átomos de espacio-tiempo discretos y que las partículas tienen cuatro dimensiones espaciales, con diámetro igual al radio de Planck rp. Para simplificar el dibujo, consideremos sólo tres dimensiones r(x,y) y u.

Figura 1. Rotaciones de la partícula La partícula podrá girar tanto en el espacio tridimensional como en la cuarta dimensión (u, Fig. 1), lo que da lugar a las siguientes combinaciones: •

0 rotaciones

•

1 rotación espacial ωe.

•

1 rotación en la cuarta dimensión

•

2 rotaciones, una espacial ωe y otra en la cuarta dimensión

ωu. ωu.

Supongamos que tenemos una partícula de masa m, que gira a la velocidad ωe, el potencial del campo gravitatorio a la distancia r, será: 4" .

(6)

Siendo G la constante de gravitación, y en donde la velocidad v, vamos a suponer que es la velocidad lineal de rotación de la partícula. Los átomos de espacio y tiempo están unidos por la fuerza de Planck, por lo que al girar uno de ellos, arrastrará a los átomos adyacentes, de forma que la velocidad lineal de rotación (Fig. 2), irá aumentando a medida que nos alejamos del átomo que gira, hasta alcanzar la velocidad c, de la luz a la distancia r, luego:

v=ωe rp

y

c= ωe r (7)

Figura 2. Representación bidimensional del electrón. Sustituyendo en la Ec. (6) y teniendo en cuenta que el radio de Planck es:

)8 = 9: ℏ⁄; < , resulta: =

; = ℏ >? =

ℏ

(8)

.

Siendo ℏ la constante reducida de Planck y r, la distancia a la cual, los átomos de espacio y tiempo adyacentes giran a la velocidad de la luz, y que coincide con la longitud de onda de la partícula. La Ec. (8) se puede expresar en las condiciones de Planck, como: 8

=

8

; = ℏ >8 =

ℏ @

(9)

siendo: Ep la energía de Planck, mp la masa de Planck, ωp la rotación de Planck y λp la longitud de onda de Planck sobre ℏ. Eliminando la constante de Planck de las ecuaciones (8) y (9), resulta: 8

!8 =

! = ;+A.

(10)

8

>8

>8 !8

> >!

(11) (12)

Siendo !, la longitud de onda y ω la rotación del átomo de Planck que da lugar a la partícula elemental. En cualquier caso, tenemos una ecuación y dos incógnitas, masa y rotación, masa y longitud de onda o rotación y longitud de onda. Por lo tanto, existe una relación entre la masa y la rotación del átomo de Planck. A medida que la rotación del átomo de Planck va disminuyendo la masa de la partícula va disminuyendo hasta alcanzar un valor mínimo. Podemos considerar el electrón como una partícula de Planck que está en el estado de mínima energía. La partícula de Planck gira a la velocidad angular ω, arrastrando a los átomos de espacio adyacentes hasta una distancia igual a su longitud de onda. Por lo tanto cualquier perturbación hará que el electrón aumente su rotación, lo que producirá un aumento de su masa, pero siempre verificando las ecuaciones (10), (11) y (12). Ese aumento de energía producido por la perturbación será eliminado en forma de radiación, de manera que le electrón vuelve rápidamente a su estado de mínima energía. Longitud de onda. La hipótesis de que la masa es una propiedad intrínseca de la materia, junto con la hipótesis de que las partículas son puntuales nos lleva a la conclusión de que la masa es independiente de la energía empleada en la medida. Sin embargo, las ecuaciones (10), (11) y (12) tienen infinitas soluciones en un espacio-tiempo continuo. Si consideramos el espacio-tiempo discreto, el número de soluciones es finito y la longitud de onda debe ser un número entero de longitudes de onda de Planck. Por lo tanto, dichas ecuaciones indican que la masa del electrón puede ser cualquier valor comprendido entre el valor mínimo (masa del electrón en reposo) y el valor máximo o masa de Planck. Cuando medimos por ejemplo, la masa me del electrón empleando poca energía o lo que es lo mismo longitud de onda grande (fig. 3) es equivalente a observar la partícula a distancias grandes (λ1). Cuando queremos medir con precisión la posición, empleamos fotones con mucha energía o longitudes onda pequeñas (λ2), es equivalente a observar la partícula de cerca. En estas condiciones, la energía del fotón hace que la partícula aumente su rotación, lo que implica un aumento de su masa (m’e), En cualquier caso las relaciones (10), (11) y (12) tienen que cumplirse en todo momento.

Figura 3. Masa de la partícula en función de la longitud de onda de la medida. Por otra parte, la longitud de onda es la distancia a la que dos masas de Planck ejercen la misma fuerza que dos masas m, supuestamente puntuales y separadas una distancia igual al radio de Planck rp

Figura 4. Fuerza y longitud de onda.

E=:

"" .@

=:

"@ "@

(13)

Por lo tanto, podemos considerar la longitud de onda λ, como la distancia mínima a la cual podemos medir y considerar que la masa es m.

Figura 5.- Distancia mínima a la cual m es constante. Tiempo real e imaginario En la relatividad restringida la contracción de la longitud tiene lugar en la dirección del movimiento. En la ley de la gravitación de Newton y en la ley de Coulomb, las fuerzas dependen de la distancia entre ambos cuerpos. De manera análoga, consideremos en un espacio tetradimensional, el área circular, formada por la dirección del movimiento del fotón de longitud de onda λ, utilizado para realizar la observación y la cuarta dimensión u.

Figura 6. Si definimos el tiempo al cuadrado como la variación de la superficie por el cuadrado de la velocidad de la luz, resulta que: El tiempo será real y positivo para longitudes de onda largas (fig. 6 a),

+? =

∆G

=

GH IGJ

K 0 (14)

y el tiempo será imaginario para longitudes de onda corta (fig. 6 b), inferiores a la longitud de onda de la partícula.

+M =

∆G

=

GH IGJ

N0

(15)

Ecuación de Schrödinger. a) Vamos a considerar el caso de una partícula en estado libre. En estas condiciones la energía potencial será nula. La función de onda es el cociente entre la energía que tiene el electrón cuando no se observa y la que tiene cuando se le observa. Consideremos la función:

O(), +, =

P Q

=

"# ⁄

ℏ/ /J

(16)

Siendo Ec, la energía de la partícula para distancias superiores a su longitud de onda, y EH, ti, la energía y el tiempo de la partícula para distancias inferiores a su longitud de onda, respectivamente. Multiplicando por te, tiempo en el exterior de la superficie, resulta:

O(), +, =

".

ℏ/U //J

(17)

Consideremos la superficie circular formada por la dimensión temporal y la dirección de la observación. De las ecuaciones (14) y (15) se deduce que:

+? = -+M

(18)

en donde ti, es el tiempo en el interior de la superficie de radio λo, y te es el tiempo en el exterior de dicha superficie.

Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (17), resulta:

O(), +, = &-

".

(19)

ℏ/U

derivando con respecto al tiempo exterior: V(.,/, /U

=-

".

(20)

ℏ/U

y dos veces con respecto al espacio:

' O(), +, = &-

"

(21)

ℏ/U

Las dos ecuaciones anteriores se pueden poner:

ℏ ℏ

"

V(.,/, /U

=-

".

(22)

/U

' O(), +, = &-

ℏ

(23)

/U

Dividiendo una ecuación por la otra y deshaciendo los cambios, obtenemos: ". /U /U ℏ

=

"# /U ℏ/U

=

"# W/ U

"# M W/ J

(24)

En donde /2 es la energía en el exterior de la superficie y ℏ/2+M es la energía en el interior de la superficie.

Si tenemos en cuenta que, cuando +? = +X = -+M , ambas energías son iguales, resulta: ℏ

"

' O(), +, = &-

V(.,/, /U

(25)

La ecuación de Schrödinger para cualquier partícula en estado libre. b) La ecuación de Schrödinger para un electrón en presencia de un potencial culombiano es:

ℏ

' O(), +, = &-

"

V(.,/,

O(), +, (), +, (26)

/U

Como conocemos la ecuación de Schrödinger y la función de onda, vamos a calcular el valor del potencial V(r,t, Sumando las ecuaciones (22) y (23), resulta: ℏ

"

' O(), +,

-ℏ

V(.,/, /U

=&

".

&-

/U

ℏ

/U

(27)

Y comparándola con la ecuación (26) ℏ

O(), +, (), +, = &2 Y

/J

Z

(28)

Y teniendo en cuenta el valor de la función de onda (Ec. (16)), resulta: ℏ

(), +, = &2 Y

Z

ℏ⁄/J

/J "#

(29)

Si tenemos en cuenta que, cuando +? = +X = -+M , ambas energías son iguales, resulta: (), +, = &2 (30) Y teniendo en cuenta que en una órbita circular la energía potencial Ep es el doble de la cinética, resulta: (), +, = 2

8

(31)

Lo que corresponde a la energía potencial total del orbital s, en donde existen dos electrones. Conclusión. La definición de la función de onda como el cociente entre la energía cinética que tiene el electrón y la que adquiere al ser perturbado por la observación, permite dar un sentido físico a la función de onda. Dicha energía, en todo momento, debe verificar el principio de incertidumbre de Heisenberg Cuando intentamos medir la posición del electrón con precisión, el electrón varía su energía, y por lo tanto variamos su posición. Posición que recupera rápidamente, mediante la emisión de la energía absorbida. La función de onda no tiene nada que ver con la probabilidad de encontrar un electrón en una determinada región del espacio. Es el cociente entre la energía que tiene el electrón sin ser observado y la que adquiere debido a la observación.

Einstein tenía razón, cuando dijo: “No puedo evitar confesar que sólo doy una importancia transitoria a esta interpretación. Aún creo en la posibilidad de un modelo de la realidad – es decir, una teoría que representa las cosas mismas y no únicamente la probabilidad de que ocurran.” Referencias [1] Stephen Hawking, El universo en una cascara de nuez, (2001) [2] Feynman, R., Física, Vol. 3 (Pearson Education, México, 1963). [3] A. Einstein, Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light, Ann. Phys. 17, 132 (1905). [4] E. Schrödinger, Ann. Phys. 79, 361 (1926).

[5] E. Schrödinger, Ann. Phys. 79, 489 (1926). [6] E. Nelson, Physical Review 150, 1079 (1966). [7] Kai C. Yung and Jick H. Yee, Phys. Rev. A 50, 104 (1994). [8] P. Peice, Eur. J. Phys. 17, 116117 (1996). [9] John S. Briggs and Jan M. Rost, Foundations of Physics 31, 693 (2001). [10] J. H. Field, Eur. J. Phys. 25, 385 (2004). [11] J. Ogborn and E. F. Taylor, Phys. Educ. 40, 26 (2005). [12] David W. Ward and Sabine M. Volkmer, arXiv:physics/0610121 (2006). [13] J. H. Field, Eur. J. Phys. 32, 63 (2011); arXiv:1204.0653 (2012). [14] L. Smolin. Atoms of Space and Time. Scientific American. December 15 (2003) [15] A. Meessen. Space-Time Quantization, Elementary Particles and Dark Matter. (2011) [arxiv:1108.4883] [16] A. Meessen: Spacetime quantization, elementary particles and cosmology, Foundations of Physics 29, 281-316 (1999), [17] M. Maggiore, Quantum Groups, Gravity, and the Generalized Uncertainty Principle, Phys. Rev. D 49 (1994) 5182 [18] M. Maggiore, The algebraic structure of the generalized uncertainty principle, Phys. Lett. B 319 (1993) 83

[19] Manjit, B. and Swamy, N., “Free Particle Eigenfunctions of Schrodinger Equation with Quantized space-time”, Arxiv: 0910.0825v1. [20] J. C. C s García. “Solución de las ecuaciones de onda electro-magnética y Helmholtz con espacio-tiempo discreto”, Latin American Journal of Physics Education Volume 6, Number 4, December (2012), pp. 604-607 [21] A. Farag Ali. “Minimal Length in Quantum Gravity, Equivalence Principle and Holographic Entropy Bound”, Class. Quantum Grav. 28 (2011) 065013 [22] S Jalalzadeh and B.Vakili. “Quantization of the interior Schwarzschild black hole”, (2011) arXiv:1108.1337 [gr-qc] [23] A. Kempf, G. Mangano, R. B. Mann, “Hilbert Space Representation of the Minimal Length Uncertainty Relation”, Phys. Rev. D 52 (1995) 1108 [24] W. Heisenberg, Die Leobachtbaren Grossen in der Theorie der Elemntarteilchen, Z Phys 120, 513 (1943). [25] W. Heisenberg, Quantum Theory of Fields and Elementary Particles. Rev Mod Phys, 29 269 (1957).