BOSQUEJO DEL CURSO DE PRECALCULO Objetivos generales 1. Facilitar el desarrollo de buenos hciliitos de estudio que permitan a los estudiantes cumplir con el rigor de los cursos de matematicas de nivel universitario. 2. Familiarizar al estudiante con el vocabulario y simbolismo matematico que utilizara en sus cursos posteriores de Ciencias, Ingenieria, Administraci6n de Empresas y otras areas del saber. 3. Proveer al estudiante las destrezas basic as del algebra, la trigonometria y la geometria analitica que Ie permitan completar la preparaci6n minima requerida para que puedan iniciarse en los cursos de calculo.

I. Objetivos especificos 1. Definir valor absoluto 2. Simplificar expresiones con valor absoluto 3. Definir la unidad imaginaria i 4. Definir un numero complejo de la forma a + bi 5. Hallar el conjugado de un numero complejo 6. Realizar operaciones de suma, resta, multiplicaci6n y divisi6n de numeros complejos 7. Simplificar potencias de i 8. Simplificar expresiones que envuelven raices cuadradas de numeros negativos. 9. Cambiar un exponente fraccionario en una raiz y viceversa 10. Aplicar las leyes de exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales 11. Simplificar radicales 12. Sumar, restar, multiplicar, dividir y racionalizar radicales. 13. Resolver ecuaciones a. con valor absoluto b. con radicales c. racionales 14. Resolver ecuaciones cuadraticas por a. factorizaci6n b. extracci6n de raices c. completar el cuadrado d. f6rmula cuadratica 15. Resolver una ecuaci6n literal para la variable indicada

16. Resolver inecuaciones

con una sola variable

a. lineales b. con valor absoluto c. cuadraticas d. racionales 17. Expresar el conjunto soluci6n de una inecuaci6n en forma gr8.fica y en notaci6n de intervalo II. Bosquejo de contenido A. Sistemas numericos (3 horas) 1. El conjunto de los nlimeros reales y sus propiedades (repaso) 2. Valor absoluto 3. Numeros complejos a. Definicion b. Operaciones c. Potencias de i B.

Exponentes y radicales (3 horas) 1. Exponentes enteros 2. Leyes de exponentes 3. Exponentes racionales 4. Radicales a. Simplificaci6n b. Operaciones c. Racionalizaci6n

C.

Ecuaciones con una sola variable, ecuaciones literales (7 horas) 1. Valor absoluto 2. Cuadraticas

0

reducibles a cuadraticas

a. Factorizacion b. Extracci6n de raices c. Formula cuadratica d. Completar el cuadrado 3. Radicales 4. Racionales 5. Ecuaciones literales D. Inecuaciones con una sola variable (6 horas) 1. Lineales 2. Valor Absoluto 3. Cuadraticas 4. Racionales

I. Objetivos especificos 1. Definir plano 2. Localizar puntos en el plano 3. Definir relaci6n 4. Trazar graficas de relaciones haciendo una tabla de valores 5. Dada una relaci6n, determinar la sirnetria con respecto a los ejes y con respecto al origen del plano 6. Dada una relaci6n, determinar las intersecciones

con los ejes del plano

7. Definir la distancia entre dos puntos 8. Dados dos puntos en el plano, hallar la distancia entre ellos 9. Resolver problemas de aplicaci6n de distancia 10. Definir punta medio de un segmento en el plano 11. Dados dos puntos en el plano, hallar el punta medio entre ellos 12. Resolver problemas de aplicaci6n de punta medio 13. Definir 10 que es circulo 14. Definir la ecuaci6n de un circulo 15. Dado el centro y el radio determinar la ecuaci6n estandar del circulo 16. Dada la ecuaci6n del circulo en forma (x - a)2 + (y el centro y el radio

bl =?, determinar

17. Dada la ecuaci6n del circulo en la forma general, representada estandar

en la forma

18. Definir funci6n 19. Representar una funcion en forma de tabla, grafica, formula y verbal 20. Dada una relaci6n en una de sus diferentes representaciones, es funci6n 0 no

determinar si

21. Representar una funci6n utilizando la notaci6nj{x) 22. Evaluar una funci6n dada en cualquiera de sus representaciones 23. Determinar el dominie y campo de valores de una funci6n dada, en cualquiera de sus representaciones 24. Dada la grafica de una funci6n, determinar: a. sirnetria b. si es creciente c. si es par

0

0

decreciente

irnpar

d. sus intersecciones

con los ejes

25. Utilizar las tecnicas de traslaciones de graficas para transformar las gr8.ficas de funciones especiales: a. fix)

=

Ix I

b. fix) = v'x c. fix)

=~

d. fix) = x3 e. fix) =x

26. Trazar graficas de funciones definidas por pedazos 27. Para dos funciones

f

f + g, f - g, f· g, j7g funciones f + g, f - g, f·g, j7g

y g definir:

28. Efectuar operaciones con representaciones 29. Determinar el dominio de

en sus diferentes

f + g, f - g, f·g, j7g

30. Definir composicion de funciones 31. Componer dos

0

mas funciones en cualesquiera de sus representaciones

32. Determinar el dominio de una composicion de funciones en cualesquiera sus representaciones 33. Determinar si una funcion es 1 -1 en cualesquiera de sus representaciones 34. Definir la inversa de una funcion 35. Dada una funcion invertible en cualesquiera determinar la inversa

de sus representaciones

II. Bosquejo de contenido A. El plano cartesiano (4 horas) 1. Definiciones y graficas de relaciones a. Simetria 2. Distancia y punta medio 3. Circulos B.

Funciones en general (17 horas) 1. Definiciones y conceptos generales a. Notacion b. Metodos de representar una fun cion 2. Evaluacion 3. Dominio y campo de valares 4. Graficas y traslaciones

en el plano

a. Creciente, decreciente b. Par

0

impar

c. Intersecciones

con los ejes

d. Graficas de funciones especiales y sus traslaciones e. Funciones definidas par pedazos 5. Algebra y composicion de funciones 6. Funciones inversas

de

I. Objetivos especificos 1. Definir pendiente de una recta no vertical 2. Hallar la pendiente de una recta dados dos puntos 3. Escribir la ecuaci6n de una recta dados un punta y la pendiente 4. Escribir la ecuaci6n de una recta horizontal y de una vertical 5. Cambiar la ecuaci6n de una recta a la forma general 6. Definir rectas paralelas y rectas perpendiculares 7. Determinar si dos rectas son paralelas 0 perpendiculares 8. Escribir la ecuaci6n de una recta dados un punta y la ecuaci6n de otra recta paralela 0 perpendicular a esta 9. Definir la funci6n lineal 10. Resolver problemas de aplicaci6n que se puedan modelar con una funci6n lineal 11. Definir funci6n cuadratica 12. Dada la ecuaci6ny = ax2 + bx

+ c, cambiarla a la forma y

=a

(x - h)2

+k

13. Dada una funci6n cuadratica a. Determinar el vertice y tipo de concavidad. b. Determinar el punta de intersecci6n c. Hallar los puntos de intersecci6n

con el eje de y.

con el eje de x (si los hay).

d. Trazar la gratica, evaluando puntos adicionales si es necesario. 14. Resolver problemas verbales sencillos de maxirnos y minimos y caida libre. 15. Definir funci6n polin6mica. 16. Reconocer una funci6n polin6mica dada la ecuaci6n 17. Trazar graticas de funciones polin6micas de la formaf(x)

= a(x

-

hY + k

18. Dada una funci6n polin6mica, usar divisi6n sintetica y el teorema del residuo para hallarf(c). 19. Dada una funci6n polin6mica de grado n > 2, usar divisi6n sintetica y el teorema del factor para determinar si x - c es un factor del polinomio. 20. Hallar todos los ceros racionales de un polinomio utilizando el teorema de los ceros racionales. 21. Expresar un polinomio de grade n > 2 como producto de factores lineales y/o cuadraticos irreducibles. 22. Dado un polinomio como producto de factores lineales 0 cuadraticos irreducibles, determinar: a. Los ceros reales del polinomio y su multiplicidad b. Los puntos de intersecci6n

con el eje de x

c. D6nde la gratica cruza 0 s610toca el eje de x d. Determinar los intervalos dondef(x)

es positive 0 negativo.

23. Construir un polinomio dados los ceros. 24. Usar el teorema del valor intermedio para aproximar los ceros irracionales. v'25. Definir funci6n racional 26. Hallar el dominio y campo de valores de una funci6n racional 27. Determinar asintotas horizontales y vertic ales 28. Determinar los puntos de intersecci6n con los ejes 29. Trazar la grafica II. Bosquejo de contenido A. Funciones lineales (7 horas) 1. Ecuaci6n de la recta 2. GrMicas (pendiente e intersecciones

con los ejes)

3. Rectas paralelas y perpendiculares 4. Definici6n de una funci6n lineal 5. Problemas de aplicaci6n B.

Funciones cuadraticas

(5 horas)

1. Definici6n 2. Grafica (vertice, concavidad) 3. Intersecciones

con los ejes

4. Aplicaciones (maxirnos y minimos) C. Funciones polin6micas de grade mayor que 2 (5 horas) 1. Definici6n y grado 2. Divisi6n sintetica 3. Teorema del residuo 4. Teorema del factor 5. Ceros (con enfasis en ceros racionales y teorema fundamental del algebra) 6. GrMicas D. Funciones racionales (3 horas) 1. Definici6n 2. Dominio y campo de valores 3. Asintotas e intersecciones 4. Graficas

con los ejes

I. Objetivos especificos 1. Definir la funci6n exponencial f(x) 2. Aplicar las caracteristicas de problemas:

=

b

X

principales de la funci6n exponencial en la resoluci6n

a. dominio y campo de valores b. intersecciones

con los ejes

c. crecirniento y decrecimiento d. asintota 3. Reconocer y trazar las graficas de las funciones exponenciales

basicas

4. Definir la funci6n logaritmica ,~.

Aplicar las caracteristicas

principales de la funci6n logaritmica:

a. dominio y campo de valores b. intersecciones

con los ejes

c. crecimiento y decrecimiento d. asintota 6. Reconocer y trazar las graficas de las funciones logaritmicas basicas.

+:J. Aplicar las propiedades de logaritmos para: a. evaluar logaritmos b. expresar un logaritmo como una suma y viceversa /

0

diferencia de mwtiples logaritmos

8. Resolver ecuaciones logaritmicas

~9.

Resolver ecuaciones exponenciales

10. Resolver problemas de aplicaci6n que se puedan modelar por medio de una funci6n exponencial 0 logaritmica II. Bosquejo de contenido A. Funciones exponenciales

(5 horas)

1. Definici6n, evaluaci6n, dominio y campo de valores 2. Graficas 3. Aplicaciones B. Funci6n logaritmica (9 horas) 1. Definici6n, dominio, campo de valores yevaluaci6n 2. Gr8.ficas 3. Propiedades 4. Ecuaciones exponenciales 5. Aplicaciones

y logaritmicas

I. Objetivos especificos 1. Definir angulo 2. Clasificar angulos seglin sus medidas 3. Cambiar de grados a radianes y viceversa 4. Calcular la longitud de un area 5. Calcular el area de un sector circular 6. Definir las funciones trigonometricas rectangulo 7. Conocer y aplicar las identidades

de angulos agudos en un triangulo

trigonometricas

fundamentales

8. Resolver triangulos rectangulos 9. Resolver problemas de aplicaci6n de triangulos rectangulos 10. Definir angulos en el plano a. en posici6n estandar b. cuadrantales c. coterminales d. de referencia 11. Dado un angulo en el plano, hallar

a. angulos coterminales b. su angulo de referencia 12. Definir las funciones trigonometricas dex,yy r

para un angulo en plano en terminos

13. Determinar el valor exacto de las funciones trigonometric as de los angulos especiales 14. Definir el circulo unitario 15. Definir las funciones trigonometricas 16. Evaluar funciones trigonometricas

de numeros reales

para un numero real dado

17. Definir amplitud, periodo y cambio de fase de una funci6n trigonometrica 18. Reconocer las caracteristicas trigonometricas:

principales de cada una de las funciones

a. dominie y campo de valores b. intersecciones

con los ejes

c. valores maximos y valores minimos d. intervalos donde es creciente

0

decreciente

19. Trazar graficas de funciones trigonometricas

II. Bosquejo de contenido A. Funciones trigonometricas

de numeros reales (12 horas)

1. El circulo unitario 2. Definici6n de funciones trigonometricas

de numeros reales

3. Identidades basicas 4. Graticas B.

Funciones trigonometricas

de angulos (8 horas)

1. Angulos y sus medidas 2. Funciones trigonometricas

de angulos agudos

3. Aplicaciones al triangulo rectangulo 4. Angulos en el plano a. Angulos en posici6n estandar b. Angulos coterminales c. Angulos cuadrantales d. Angulos de referencia 5. Funciones trigonometricas

para cualquier angulo

I. Objetivos especificos 1. Simplificar expresiones trigonometric as 2. Verificar identidades

trigonometric as

3. Aplicar las f6rmulas de: a. suma y diferencia de angulos b. doble angulo c. medio angulo 4. Definir las funciones trigonometricas

inversas de seno, coseno y tangente y:

a. determinar el dominio y campo de valores b. trazar las graficas 5. Evaluar funciones trigonometricas

inversas

6. Resolver ecuaciones trigonometricas

en el intervalo [0, 2.7l)

7. Hallar la soluci6n general de una ecuaci6n trigonometric a 8. Definir la ley de senos 9. Resolver triangulos oblicuangulos usando la ley de senos (discutir el caso ambiguo) 10. Resolver problemas de aplicaci6n usando la ley de senos 11. Definir la ley de cosenos 12. Resolver triangulos oblicuangulos usando la ley de cosenos 13. Aplicar la ley de cosenos a la resoluci6n de problemas

II. Bosquejo de contenido A. Identidades trigonometricas

E.

(3 horas)

Leyes de seno y coseno (8 horas) 1. Aplicaciones

I. Objetivos especificos 1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables usando: a. metodo de sustituci6n b. metodo de eliminaci6n 2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales en tres variables por el metodo de sustituci6n 3. Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o consistente dependiente y determinar el numero de soluciones. 4. Definir 10 que es una matriz 5. Determinar el tamafio de una matriz 6. Determinar los elementos a

ij

en una matriz

7. Determinar las condiciones necesarias para que dos matrices sean iguales 8. Realizar operaciones bcisica con matrices a. suma y resta b. multiplicaci6n escalar c. multiplicaci6n de matrices 9. Escribir la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales 10. Utilizar operaciones fundamentales sistema escalonado

sobre filas para reducir una matriz al

11. Resolver un sistema de ecuaciones lineales reduciendo la matriz de coeficientes 12. Definir el determinante 13. Hallar el determinante

de una matriz cuadrada de una matriz

14. Resolver sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2 y 3 x 3 usando la regIa de Cramer 15. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales a traves de los metodos: a. gratico b. algebraicos 1) sustituci6n 2) eliminaci6n

16. Resolver sistemas de inecuaciones grafico

lineales en dos variables por el metoda

17. Utilizar el metoda grafico para resolver problemas de aplicaci6n modelados por un sistema de inecuaciones lineales en dos variables

II. Bosquejo de contenido A.

Sistemas de ecuaciones lin13ales(8 horas) 1. Metodos grafico y algebraico 2. Metoda de reducci6n de matrices 3. Determinantes

4. RegIa de Cramer 5. Aplicaciones B.

Sistemas de ecuaciones NO lineales (4 horas) 1. Metodos grafico y algebraic a

C,

Sistemas de inecuaciones

lineales (3 horas)

1. Gr8.ficas 2. Aplicaciones

I. Objetivos especificos 1. Definir geometricamente

la parabola

2. Dada la ecuaci6n de una parabola determinar: a. vertice b. foco c. directriz d. trazar la grafica 3. Determinar la ecuaci6n de una parabola:

a. dada la gr8.fica b. que cumpla can unas condiciones dadas 4. Definir geometricamente

una elipse

5. Dada la ecuaci6n de la elipse, determinar: a. vertices b. eje mayor c. eje menor d. focos e. trazar la grafica 6. Determinar la ecuaci6n de una elipse: a. dada la grafica b. que cumpla can unas condiciones dadas 7. Definir geometricamente

una hiperbola

8. Dada la ecuacion de una hiperbola con centro en el origen determinar: a. vertices b. eje transversal c. asintota d. focos e. trazar la grafica 9. Determinar la ecuacion de una hiperbola: a. dada la grafica b. que cumpla con unas condiciones dadas II. Bosquejo de contenido A.

Secciones conicas con traslaciones de ejes (8 horas) 1. Parabola 2. Elipse 3. Hiperbola

I. Objetivos especificos 1. Definir sucesion 2. Utilizar correctamente

la notacion de sucesion

3. Dada la formula de una sucesion, determinar el enesimo termino 4. Utilizar la nota cion de sumatoria para representar la suma de los terminos de una sucesion 5. Utilizar las propiedades basicas de la suma para evaluar una sumatoria 6. Definir una sucesion aritmetica 7. Utilizar las propiedades de una sucesion aritmetica para: a. determinar el enesimo termino de la sucesion b. determinar la suma de los primeros n terminos de la sucesion c. resolver problemas de aplicacion 8. Definir sucesion geometric a 9. Utilizar las propiedades de una sucesion geometrica para: a. determinar el enesimo termino de la sucesion b. determinar la suma de los primeros n terminos de la sucesion c. resolver problemas de aplicacion *10. Definir el sistema de coordenadas polares *11. Dado un punta en coordenadas polares, trazar la grafica *12. Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares

y viceversa

*13. Trazar la grafica de una ecuacion polar *14. Definir la forma trigonometrica

de un numero complejo

*15. Escribir un numero complejo en forma trigonometrica *16. Determinar el producto y el cociente de dos numeros complejos en forma trigonometrica

*17. Definir el teorema de De Moivre *18. Determinar potencias de numeros complejos en forma trigonometrica el teorema de De Moivre

aplicando

*19. Aplicar el teorema de las raices enesimas de un numero complejo

II. Bosquejo de contenido A.

Sucesiones y series (8 horas) (requisito) 1. Definici6n y conceptos generales 2. Sumatorias 3. Sucesiones aritmeticas y geometricas

C.

Forma trigonometrica

de numeros complejos (5 horas) (opcional)

1. Definici6n 2. Operaciones 3. Potencias 4. Raices

LA PRUEBA DE PRECALCULO La prueba de Nivel Avanzado de Precalculo tiene una duraci6n de aproximadamente dos horas y media, y provee la oportunidad para que los candidatos apliquen los conceptos aprendidos y las destrezas adquiridas en la soluci6n de ejercicios y problemas relacionados con los temas del curso. Como la prueba pretende evaluar tanto a los estudiantes que se han preparado por diversos medios como a los que han tornado cursos avanzados en distintas escuelas 0 colegios, su contenido no es representativo del curso de ninguna universidad en particular. La prueba de Precalculo del Programa de Nivel Avanzado contiene ejercicios de selecci6n mUltiple: una premisa 0 pregunta seguida de cinco (5) alternativas para seleccionar la respuesta correcta. Ademas incluye ejercicios abiertos los cuales son de formato distinto: en este se le planteara un problema 0 pregunta, pero no tendra alternativas entre las cuales escoger. El estudiante tendra que elaborar su respuesta y escribir todo el procedirniento que la justifique. Los ejercicios apareceran en un folleto adicional al de la prueba. Para contestarlos, el estudiante tendra veinte (20) minutos. Para cada uno, debera demostrar todo el procedimiento que conduce ala soluci6n del problema. En estos ejercicios, a diferencia de los de selecci6n multiple, al estudiante se le evalua el procedirniento y el resultado y se Ie ofrece puntuaci6n de acuerdo con su ejecuci6n utilizando una escala de 1 a 6 puntos, los cuales se suman a los de selecci6n muitiple para la puntuaci6n total. Si deja

algUn ejercicio en blanco se Ie asigna la puntuaci6n cero. pero si deja todos los eiercicios en blanco se invalidara toda la prueba.

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