Aplicaci´ on de modelos termohidrodin´ amicos de lubricaci´ on para cojinetes de m´ aquinas rotativas: an´ alisis de flujos laminares y turbulentos ´rez, F. Varas J. Durany, J. Pereira–Pe Dep. de Matem´atica Aplicada II, Universidad de Vigo. 36310-Vigo (Spain) {durany, pereira, curro}@dma.uvigo.es Resumen La aplicaci´on industrial que se presenta trata de analizar las condiciones de operaci´on de cojinetes radiales y axiales que soportan m´aquinas rotativas de propulsi´on de barcos, con la dificultad adicional que comporta la peque˜ na viscosidad del agua marina como fluido lubricante. Este efecto origina n´ umeros de Reynolds muy grandes que conducen a influencias de las fuerzas inerciales y a la aparici´on de la turbulencia. Para tenerlo en cuenta , se propone una modificaci´on del cl´asico modelo de lubricaci´on de Reynolds, siguiendo las ideas de Constantinescu- Galetuse [1], que definen la viscosidad turbulenta en cada punto de la pel´ıcula lubricante en base al flujo dominante de Couette promediando las velocidades. Para la resoluci´on num´erica del modelo, donde intervienen problemas de frontera libre o m´ovil (cavitaci´on) y t´erminos no lineales de generaci´on t´ermica, se proponen m´etodos de elementos finitos y vol´ umenes finitos para las discretizaciones espaciales de los subproblemas, combinados con distintos algoritmos para tratar las no linealidades. Secci´ on en el CEDYA 2011:

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MAI Modelizaci´ on y Aplicaciones a la Industria

Introducci´ on

En la modelizaci´on de problemas de lubricaci´on hidrodin´amica de cojinetes mec´anicos es habitual considerar fluidos isotermos. Sin embargo, cuando el dispositivo trabaja con altas velocidades de rotaci´on y cargas considerables, la energ´ıa disipada por efectos t´ermicos es muy importante y produce aumentos de temperatura que disminuyen la viscosidad del lubricante. En algunos trabajos previos (ver Durany–Pereira–Varas [2], [3] y [4]) los autores han presentado modelos termohidrodin´amicos para el fluido lubricante, incluyendo el intercambio t´ermico con el eje y el cojinete y, en caso de reg´ımenes transitorios, el an´alisis de la estabilidad din´amica del par. En concreto, el modelo matem´atico consiste en un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales evolutivas, donde interviene el problema de frontera m´ovil de la ecuaci´on de Reynolds con un modelo de cavitaci´on de ElrodAdams para calcular la presi´on del fuido lubricante, la ecuaci´on de la energ´ıa para la temperatura del fluido y unas ecuaciones de conducci´on t´ermica en el eje y en el cojinete. El acoplamiento de las ecuaciones viene dado por la variaci´on

de la viscosidad en funci´on de la temperatura en la ecuaci´on del flujo y por la influencia del campo de velocidades en la ecuaci´on de la energ´ıa. Adem´as, el intercambio t´ermico del fluido con el dispositivo se formula con condiciones de contorno en las paredes de contacto con eje y cojinete. As´ı, la resoluci´on num´erica del problema hidrodin´amico se realiza mediante discretizaciones de elementos finitos combinadas con t´ecnicas upwind para los t´erminos convectivos y con un algoritmo de dualidad para la no linealidad que origina el problema de frontera m´ovil. La soluci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa en el fluido lubricante se obtiene mediante un esquema de vol´ umenes finitos de tipo cell-vertex de orden dos. En caso de ser necesario la resoluci´on de la ecuaci´on de conducci´on t´ermica en el cojinete, se utiliza un m´etodo de elementos de contorno P1 y t´ecnicas de reciprocidad dual temporal. Finalmente, se resuelve un modelo t´ermico simplificado en el eje, que se considera isotermo debido a las altas velocidades de rotaci´on. Sin embargo, en algunas simulaciones num´ericas efectuadas en casos reales de cojinetes axiales y radiales utilizando como fluido lubricante agua marina se pueden cuestionar los resultados con el modelo laminar, ya que est´an apareciendo n´ umeros de Reynolds muy grandes. En efecto, a partir de un valor cr´ıtico del n´ umero de Reynolds, la soluci´on laminar se desestabiliza y aparecen las estructuras asociadas al flujo turbulento. Por ello, en este trabajo se introducen modelos que permiten tratar la presencia de la turbulencia en los cojinetes, incluyendo t´erminos de inercia (no lineales), que pueden ser importantes con n´ umeros grandes de Reynolds. Con todo ello, se pretende analizar el comportamiento de los cojinetes (presiones, temperaturas, capacidades de carga, excentricidades, espesores m´ınimos de pel´ıcula, etc.) mediante simulaciones num´ericas y comparar las soluciones que se obtienen con flujos en r´egimen laminar y flujo turbulento. Para la organizaci´on del trabajo, se comienza recordando los modelos termohidrodin´amicos laminares para cojinetes axiales y radiales, se continua con los modelos hidrodin´amicos turbulentos y con inercia, y se finaliza con los resultados num´ericos comparativos para un acoplamiento real de un cojinete axial y otro radial operando simult´aneamente en la m´aquina rotativa.

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Modelo termohidrodin´ amico laminar para cojinete axial

En este apartado se recuerdan las ecuaciones cl´asicas que intervienen en un modelo hidrodin´amico laminar para los patines de un cojinete axial (ver [5], entre otros). La ecuaci´on de Reynolds en el plano (x, z) viene dada por: µ µ µ ¶ µ ¶ µ ¶¶ µ ¶¶ ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ I2 ∂ I2 ρG + ρG = ρu2 h − + ρw2 h − , ∂x ∂x ∂z ∂z ∂x J2 ∂z J2 (1) siendo p la presi´on, ρ la densidad del fluido, G el coeficiente de flujo (dependiente de la viscosidad), (u2 , w2 ) las componentes de la velocidad de giro del cojinete, h

Figure 1: Pat´ın adimensionalizado del cojinete axial. la funci´on espesor de la pel´ıcula lubricante e J2 , I2 dos funciones que dependen de la viscosidad y est´an definidos m´as adelante en (11), (12), respectivamente. Para simplificar los c´alculos se realiza la adimensionalizaci´on del problema en uno de los patines (ver figura 1). Las f´ormulas para esta adimensionalizaci´on son: x = Ri x ¯ z = Ri z¯ y = h y¯ µ = µ0 µ ¯ ¯ h=Ch µ ¶2 Ri p = µ0 ω p¯ C

(2) (3) (4) (5) (6)

u = ωRi u ¯ w = ωRi w ¯

(8) (9)

(7)

donde Ri representa el radio interno del pat´ın, C el desnivel o rebaje del pat´ın y h la altura de la pel´ıcula seg´ un la geometr´ıa de la norma ISO-12131 (ver figura 2). Adem´as, µ0 es la viscosidad del fluido en la ranura de alimentaci´on, que se utilizar´a de referencia, (u, w) las componentes de la velocidad del fluido y ω la velocidad angular de rotaci´on del cojinete. Teniendo en cuenta que la definici´on del coeficiente de flujo viene dado por: ¶ Z h µ I2 1 G= dy, (10) y y− J2 µ 0 donde:

Z 1 ¯ 1 1 h 1 Ch 1 dy = hd¯ y= = , ¯ µ0 µ ¯ µ0 µ ¯ 0 µ0 µ 0 µ Z h Z 1 ¯2 1 y h¯ y h2 1 C 2h I2 = dy = hd¯ y= = , ¯ µ0 2¯ µ µ0 2¯ µ 0 µ 0 µ0 µ Z

J2 =

h

(11) (12)

Figure 2: Geometr´ıa pat´ın norma ISO-12131. 1- Superficie de la cu˜ na, 2- Superficie rotante, 3- Superficie soporte, 4- Ranura de alimentaci´on, 5- Pat´ın siguiente. (ya que la viscosidad se toma constante en altura), entonces sustituyendo en G las expresiones anteriores se tiene: µ ¶ ¶ Z 1 ¯3 Z 1 µ 1 ¯ C 3h 1 ¯ y C h¯ ¯y − Ch ¯1 G= C h¯ C hd¯ y= y¯ y¯ − d¯ y, (13) 2 µ0 µ ¯ µ0 µ ¯ 0 2 0 y resolviendo la u ´ltima integral se obtiene: ¸1 ¯ 3 · y¯3 ¯3 1 C 3h y¯2 C3 h G= − = . µ0 µ ¯ 3 4 0 µ0 µ ¯ 12 Aplicando estos cambios en la ecuaci´on (1) se tiene: µ ¯3 ¶ µ ¯3 ¶ µ ¯¶ µ ¯¶ ∂ h ∂ p¯ ∂ h ∂ p¯ ∂ h ∂ h + = u ¯2 + w ¯2 . ∂x ¯ 12¯ µ ∂x ¯ ∂ z¯ 12¯ µ ∂ z¯ ∂x ¯ 2 ∂ z¯ 2

(14)

(15)

La ecuaci´on (15) se completa con las condiciones de contorno en la frontera del dominio. La adimensionalizaci´on para las componentes de la velocidad est´a dada por: µ ¶ ¯ I¯2 ¯ ¯ J¯ 2 ∂p ¯ u ¯ = −h J − I + u ¯ , (16) 2 ∂x ¯ J¯2 J¯2 µ ¶ ¯ I¯2 ¯ ¯ J¯ 2 ∂p ¯ w ¯ = −h J − I + w ¯ , (17) 2 ∂ z¯ J¯2 J¯2 ¯ I¯ son integrales iguales a J¯2 , I¯2 , respectivamente, pero con l´ımites de donde J, integraci´on entre cero y un valor y¯.

En cuanto al problema t´ermico en el fluido, se parte de la ecuaci´on de la energ´ıa adimensionalizada (ver [2]): "µ ¶ ¶ µ ¶2 # µ ¶ µ 2 1 ∂ 2 T¯f ∂ T¯f ∂ T¯f ∂ 2 T¯f ∂u ¯ ∂w ¯ µ ¯ Pe u ¯ +w ¯ = ¯2 + + Nd ¯ 2 + , ∂x ¯ ∂ z¯ ∂x ¯2 ∂ z¯2 ∂ y¯ ∂ y¯ h h (18) donde Pe , el n´ umero de Peclet, y Nd , un par´ametro adimensional asociado a la disipaci´on viscosa, est´an definidos por: Pe =

ωC 2 [ρf cf ϑ + ρa ca (1 − ϑ)] ϑµ0 ω 2 Ri 2 ; Nd = , [kf ϑ + ka (1 − ϑ)] [kf ϑ + ka (1 − ϑ)]T0

(19)

siendo ρf , cf , kf , ρa , ca , ka la densidad, el calor espec´ıfico y la conductividad del fluido y el gas, respectivamente, T0 la temperatura de referencia y ϑ una variable de concentraci´on del fluido en tanto por uno que se toma igual a uno cuando no se considera el fen´omeno de la cavitaci´on. La ecuaci´on (18) se completa con la condici´on Dirichlet en la frontera de alimentaci´on (temperatura conocida). Respecto al t´ermino de generaci´on del segundo miembro de (18), que depende del gradiente en altura de las velocidades, se realiza un promedio considerando la temperatura homog´enea en la coordenada altura y, por tanto, la viscosidad µ constante. De este modo, la expresi´on de la componente circunferencial de la velocidad (16) se escribe: u ¯=−

¯ 2 ∂ p¯ ¡ ¢ h y¯ − y¯2 + u ¯2 y¯ 2¯ µ ∂x ¯

(20)

donde el valor de y¯ var´ıa entre 0 y 1. Derivando la expresi´on con respecto a y¯: ¯ 2 ∂ p¯ ∂u ¯ h =− (1 − 2¯ y) + u ¯2 , ∂ y¯ 2¯ µ ∂x ¯

(21)

y elevando al cuadrado, finalmente se promedia en la forma: *µ ¶ + µ ¯2 ¶2 2 ∂u ¯ 4 h ∂ p¯ = +u ¯22 . ∂ y¯ 3 2¯ µ ∂x ¯ µ De forma an´aloga se obtiene la expresi´on para

3

∂w ¯ ∂ y¯

(22)

¶2 .

Modelo termohidrodin´ amico laminar para cojinete radial

En esta secci´on se recuerda el modelo termohidrodin´amico cl´asico en el an´alisis de la lubricaci´on de cojinetes radiales (ver [5], entre otros). La ecuaci´on de Reynolds en el dominio (x, z) ∈ [0, 2πRa ] × [0, L], siendo Ra y L el radio y la longitud axial del eje, viene dada por: µ ¶ µ ¶ µ µ ¶¶ ∂p ∂p ∂ I2 ∂ 2 ∂ ρG +η ρG = ρu h − , (23) ∂x ∂x ∂z ∂z ∂x J2

Figure 3: Representaci´on en 3D del cojinete con varias ranuras de alimentaci´on siendo p la presi´on, ρ la densidad, η = L/Ra , G un coeficiente de flujo dado en (10) (dependiente de la viscosidad), u la velocidad lineal de movimiento del eje, h la funci´on espesor de la pel´ıcula lubricante y J2 , I2 dos funciones que dependen de la viscosidad dadas en (11), (12), respectivamente. Se realiza la adimensionalizaci´on del problema utilizando los cambios: x = Ra θ L z= z¯ Ra µ = µ0 µ ¯ ¯ h=Ch µ ¶2 Ra p¯ p = µ0 ω C u = ωRa u ¯ w = ωRa w ¯

(24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

donde Rc representa el radio exterior de la llanta, C = Rc − Ra la diferencia de ¯ el espesor adimensionalizado de radios entre la parte fija y la parte m´ovil, y h la pel´ıcula lubricante (ver figura 3): ¯ = 1 + ε cos(θ), h

(31)

donde ε es el coeficiente de excentricidad. Adem´as, µ0 es la viscosidad del fluido en la ranura de alimentaci´on, que se utilizar´a de referencia, (u, w) las componentes de la velocidad y ω la velocidad angular de rotaci´on del cojinete.

Teniendo en cuenta que la definici´on del coeficiente de flujo viene dado por (10), con J2 e I2 definidas en (11), (12), entonces sustituyendo en G, se tiene: Z

1

G= 0

µ ¶ ¶ ¯3 Z 1 µ 1 1 ¯ C 3h 1 ¯ ¯ ¯ C h¯ y C h¯ y − Ch C hd¯ y= d¯ y, y¯ y¯ − 2 µ0 µ ¯ µ0 µ ¯ 0 2

(32)

y resolviendo la u ´ltima integral se obtiene: G=

¸1 ¯ 3 · y¯3 ¯3 1 C 3h y¯2 C3 h − = . µ0 µ ¯ 3 4 0 µ0 µ ¯ 12

(33)

Aplicando estos cambios a la ecuaci´on (23) se establece la forma adimensionalizada de la ecuaci´on de Reynolds para el cojinete radial: µ ¯3 ¶ µ ¯3 ¶ µ¯ ¶ ∂ ∂ ∂ h h ∂ p¯ h ∂ p¯ + = . (34) ∂θ 12¯ µ ∂θ ∂ z¯ 12¯ µ ∂ z¯ ∂θ 2 La ecuaci´on (34) se completa con las condiciones de contorno en la frontera del dominio. Las componentes adimensionalizadas de la velocidad est´an dadas por: µ¯ ¶ ¯ ¯ 2 ∂ p¯ I2 J¯ − I¯ + J , u ¯ = −h (35) ¯ ¯ ∂θ J2 J2 ¶ µ ¯ I¯2 ¯ ¯ 2 ∂p ¯ J −I , (36) w ¯ = −h ∂ z¯ J¯2 ¯ I¯2 , J¯2 , est´an dadas por: donde I¯ , J, Z

y¯

I¯ = 0

Z

ξ dξ, µ ¯

y¯

J¯ = 0

dξ , µ ¯

¯ J¯ cuando y¯ = 1: y los valores de I¯2 , J¯2 son los correspondientes a I, Z 1 ξ I¯2 = dξ, ¯ 0 µ Z

1

J¯2 = 0

dξ . µ ¯

(37) (38)

(39)

(40)

En cuanto al problema t´ermico en el fluido, se considera que las temperaturas que se alcanzan no son lo suficientemente grandes para tener en cuenta los flujos t´ermicos desde la pel´ıcula de lubricante hacia el eje o el cojinete. Esta simplificaci´on evita resolver de modo acoplado los problemas t´ermicos en los dos

dispositivos y se limita el estudio a la ecuaci´on de la energ´ıa adimensionalizada en el fluido (ver [2]): "µ ¶ ¶ µ ¶ µ ¶2 # µ 2 ∂ T¯f 1 ∂ 2 T¯f ∂ 2 T¯f µ ¯ ∂u ¯ ∂w ¯ ∂ T¯f Pe u ¯ +w ¯ = ¯2 + + Nd ¯ 2 + , ∂θ ∂ z¯ ∂θ2 ∂ z¯2 ∂ y¯ ∂ y¯ h h (41) donde T¯f es la temperatura adimensionalizada en la forma Tf = T0 T¯f , con T0 una temperatura de referencia. Adem´as, Pe , es el n´ umero de Peclet, y Nd , un par´ametro adimensional asociado a la disipaci´on viscosa, y est´an definidos en ausencia de cavitaci´on por las expresiones: Pe =

ωC 2 ρf cf µ0 ω 2 Ra 2 ; Nd = , kf kf T0

(42)

siendo ρf , cf , kf la densidad, el calor espec´ıfico y la conductividad del fluido. Esta ecuaci´on (41) se completa con la condici´on Dirichlet en las parte de la frontera por donde entra fluido (temperatura conocida) o bien imponiendo condiciones al flujo t´ermico. Respecto al t´ermino de generaci´on del segundo miembro de (41), que depende del gradiente en altura de las velocidades, se realiza un promedio considerando la temperatura homog´enea en la coordenada altura y, por tanto, la viscosidad µ ¯ constante en altura. De este modo, la expresi´on de la componente circunferencial de la velocidad (35) se escribe: u ¯=−

¯ 2 ∂ p¯ ¡ ¢ h y¯ − y¯2 + y¯ 2¯ µ ∂θ

(43)

donde el valor de y¯ var´ıa entre 0 y 1. Derivando la expresi´on con respecto a y¯: ¯ 2 ∂ p¯ ∂u ¯ h =− (1 − 2¯ y ) + 1, ∂ y¯ 2¯ µ ∂θ y elevando al cuadrado, finalmente se promedia en la forma: *µ ¶ + µ ¯2 ¶2 2 ∂u ¯ 4 h ∂ p¯ = + 1. ∂ y¯ 3 2¯ µ ∂θ ¶2 ∂w ¯ : ∂ y¯ *µ ¶2 + µ ¯2 ¶2 4 h ∂w ¯ ∂ p¯ = . ∂ y¯ 3 2¯ µ ∂ z¯

(44)

(45)

µ

De forma an´aloga se obtiene la expresi´on para

4

(46)

Modelo hidrodin´ amico con inercia y turbulencia

El modelo hidrodin´amico que se propone se obtiene a partir del planteamiento de Kosasih-Tieu [6] e incluye los efectos que puede tener la inercia del fluido

sobre el comportamiento del cojinete axial. Se utilizan en este caso coordenadas cil´ındricas por ser el modo m´as directo para aplicar el modelo de turbulencia de Constantinescu-Galetuse [1] al caso del cojinete axial. El modelo con turbulencia e inercia queda planteado seg´ un la siguiente ecuaci´on: µ 3 ¶ µ ¶ µ ¶ ¢ ∂ ¡ 2 ¢ ∂ h Gθ ∂p ∂ ∂p ∂ Uh ∂ ¡ 2 h Gθ ρIθ − rh Gr ρIr . + rh3 Gr = − ∂θ r ∂θ ∂r ∂r ∂θ 2 ∂θ ∂r (47) Para adimensionalizar la ecuaci´on se utilizan las siguientes transformaciones: U =ωru ¯

(48)

Uθ = ω R u ¯θ

(49)

Ur = ω R u ¯r

(50)

¯ h=Ch

(51)

r = R r¯ µ ¶2 R p = µ0 ω p¯ C

(52)

Irr = I¯rr ω 2 RC ,

(54)

Ir = I¯r ω 2 RC

(55)

(53)

de modo que cada uno de los t´erminos de (47) se escribe en la forma: à ! µ ¶ µ ¶2 µ ¯3 ¶ ¯3 G ¯θ ∂ h ∂ p¯ ∂ h3 ∂p ∂ C 3h R ∂ p¯ ¯ = ωRC Gθ Gθ = µ0 ω ∂θ r ∂θ ∂θ R¯ r µ0 C ∂θ ∂θ r¯ ∂θ (56) µ ¶ µ ¶ µ ¶ ¯r ∂ ∂ p¯ ∂p 1 ∂ G R ∂ p ¯ ∂ 3 3¯3 3 ¯ ¯ r h Gr = R¯ rC h µ0 ω 2 = ωRC r¯ h Gr ∂r ∂r R ∂ r¯ µ0 C ∂¯ r ∂ r¯ ∂ r¯ (57) ¯ U ∂h u ¯ ∂h = ωRC (58) 2 ∂θ 2 ∂θ ¢ ∂ ∂ ¡ 2 h Gθ ρIθ = ∂θ ∂θ

µ

C2 ¯2 ¯ h Gθ ρω 2 RC I¯θ µ0

¶

z·

Re∗

}| ¸{ µ ¶ ρωRC C ∂ ¡¯ 2 ¯ ¯ ¢ = ωRC h Gθ Iθ µ0 R ∂θ (59) z ·

Re∗

}| ¸{ µ ¶ ¢ C2 ∂ ¡ 2 ¢ ∂ ¡ 2 ρωRC C ∂ ¡ ¯2 ¯ ¯ ¢ 2 ¯ G ¯ r ρω RC I¯r = ωRC rh Gr ρIr = r¯h r¯h Gr Ir ∂r µ0 ∂ r¯ µ0 R ∂ r¯ (60)

y, eliminando el factor ωRC en todos los t´erminos, se obtiene finalmente la ecuaci´on de Reynolds adimensionalizada: µ ¯3 ¶ µ ¶ ∂ h ∂ p¯ ∂ ¯ 3 ¯ ∂p ¯ ¯ + r¯ h Gr = Gθ ∂θ r¯ ∂θ ∂ r¯ ∂ r¯ µ ¶ µ ¶ ¯ C ∂ ¡ ¯2 ¯ ¯ ¢ r¯ ∂ h C ∂ ¡¯ 2 ¯ ¯ ¢ ∗ ∗ h Gθ Iθ − Re = − Re r¯h Gr Ir , (61) 2 ∂θ R ∂θ R ∂ r¯ ρωRC es el n´ umero de Reynolds basado en C (el n´ umero de µ0 ρωRh Reynolds basado en h ser´ıa Re = , con el espesor h inc´ognita tambi´en µ0 ¯θ y G ¯ r pueden corredel problema y, en todo caso, variable). Los coeficientes G sponder tanto al caso laminar como al turbulento, seg´ un el valor del n´ umero de Reynolds basado en h en la secci´on vertical considerada. En este sentido, m´as adelante se muestran las expresiones de dichos coeficientes en el caso turbulento (para el caso laminar coinciden con los presentados en las secciones previas correspondientes). Para resolver la ecuaci´on hidrodin´amica (61) es preciso analizar los dos t´erminos adicionales que aparecen en el segundo miembro con respecto a la ecuaci´on cl´asica de Reynolds. El c´alculo de t´erminos I¯θ , I¯r (ver (71), (72)) requiere el conocimiento tanto del perfil de velocidades del fluido en el interior como la ley de pared. En este sentido, Constantinescu-Galetuse [1] y KosasihTieu [6] (y otras referencias que siguen estos trabajos) recurren a relaciones entre las velocidades medias en la secci´on y los momentos utilizando coeficientes experimentales (α, β, γ): donde Re∗ =

Iθθ Iθr Irr

= = =

αUθ2 h + βU 2 h − γUθ U h α0 Uθ Ur h − γ 0 Ur U h α00 Ur2 h ,

(62) (63) (64)

En realidad estas expresiones est´an considerando que los momentos verifican Iij ∼ Ui Uj , es decir, que son proporcionales al producto de las velocidades medias en las direcciones consideradas. En el caso de aceptar como v´alidas estas relaciones, se puede entonces obtener un sistema de ecuaciones adimensionalizado para la presi´on, velocidades medias y momentos: µ ¯3 ¶ µ ¶ ∂ h ¯3 G ¯ θ ∂ p¯ + ∂ r¯ h ¯ r ∂ p¯ = G ∂θ r¯ ∂θ ∂ r¯ ∂ r¯ µ ¶ µ ¶ ¯ r¯ ∂ h C ∂ ¡¯ 2 ¯ ¯ ¢ C ∂ ¡ ¯2 ¯ ¯ ¢ = − Re∗ h Gθ Iθ − Re∗ r¯h Gr Ir , (65) 2 ∂θ R ∂θ R ∂ r¯ µ ¶ r¯ ¯ 2 ¯ 1 ∂ p¯ C ¯¯ ¯ ∗ u ¯θ = − h Gθ − Re hGθ Iθ , (66) 2 r¯ ∂θ R µ ¶ ¯G ¯2G ¯ r I¯r , ¯ r ∂ p¯ − Re∗ C h (67) u ¯ r = −h ∂ r¯ R

¯u ¯ r2 − γ u ¯, = αh ¯2θ + β h¯ ¯θ r¯h (68) 0 0 ¯−γ u ¯, = α u ¯θ u ¯r h ¯r r¯h (69) 00 ¯ 2 = α hu ¯r , (70) µ ¶ 1 ∂ I¯θθ I¯θr ∂ I¯θr I¯θ = + + , (71) r¯ ∂θ ∂ r¯ r¯ µ ¶ 1 ∂ I¯θr ∂ I¯rr I¯θθ I¯r = + − , (72) r¯ ∂θ ∂ r¯ r¯ que diferentes autores optan por resolver de modo iterativo, considerando que las correcciones correspondientes a la inercia en la ecuaci´on de Reynolds son peque˜ nas. Esto es, se realiza un bucle con los pasos siguientes: 1. Inicializaci´on de I¯θ e I¯r a cero. I¯θθ I¯θr I¯rr

2. Resoluci´on de la ecuaci´on de Reynolds para obtener p¯i . 3. C´alculo de las velocidades (¯ uiθ , u ¯jr ). i i i 4. C´alculo de los momentos I¯θθ , I¯θr , I¯rr , I¯θi y I¯ri aplicando las f´ormulas correspondientes.

5. Si el cambio en presi´on verifica que |¯ pi − p¯i−1 |/¯ pi−1 es mayor que el criterio de parada se vuelve al paso 2, en caso contrario la resoluci´on ha terminado. ¯θ y G ¯ r que interCuando el flujo es laminar, los coeficientes de viscosidad G vienen en (65) tienen expresiones anal´ıticas que los relacionan con la viscosidad y el perfil de velocidades en la secci´on. En el caso de flujo en r´egimen turbulento la viscosidad es variable en la secci´on y el perfil de velocidad es m´as dif´ıcil de determinar, existiendo varios modelos que van desde los que determinan el perfil de velocidades a aquellos que emplean relaciones experimentales. Por ejemplo, el modelo de Boussinesq pertenece al primer grupo y desarrolla un perfil de velocidades proponiendo una f´ormula para la variaci´on de la viscosidad con la distancia a las paredes. Un modelo m´as sencillo se utiliza en Constantinescu-Galetuse [1] y en Kosasih¯θ y G ¯ r con el n´ Tieu [6], donde se relacionan los coeficientes G umero de Reynolds en la secci´on. Este modelo se caracteriza por no hacer una transici´on suave entre la capa l´ımite laminar adyacente a las paredes del conducto y la zona central plenamente turbulenta. En la zona laminar se considera un comportamiento de viscosidad constante mientras que en la zona turbulenta la viscosidad var´ıa proporcionalmente al cuadrado de la distancia a la pared y al gradiente de velocidad relativa a la misma. Las f´ormulas de los coeficientes de la ecuaci´on de Reynolds as´ı obtenidos han sido corregidas a partir de resultados experimentales. As´ı, para reg´ımenes turbulentos donde el rango del n´ umero de Reynolds verifica: 103 < Re < 105 , estos autores proponen las f´ormulas: 1 ¯θ = G , (73) (12 + 0.0136Re0.9 )¯ µ 1 ¯r = G , (74) (12 + 0.0043Re0.96 )¯ µ

que pueden ser utilizadas en la ecuaci´on (65), ya que los n´ umeros de Reynolds para los datos de los cojinetes lubricados con agua marina est´an dentro de ese rango (aproximadamente Re = 2.2 × 104 ).

5

Resoluci´ on num´ erica y resultados

Para la resoluci´on num´erica de los modelos, tanto en r´egimen laminar como turbulento, se utilizan los mismos m´etodos expuestos en [2], [3] y [4]. Esto es, principalmente m´etodos de elementos finitos de Lagrange P1 (lineales en cada elemento de la malla) y m´etodos de caracter´ısticas para el tratamiento de los t´erminos convectivos en los problemas hidrodin´amicos y m´etodo de vol´ umenes finitos para la ecuaci´on t´ermica del fluido. Los datos que se van a utilizar para comparar los resultados del r´egimen laminar con el turbulento e inclusi´on de inercias se pueden ver en la tabla 1, para los patines de un cojinete axial, y en la tabla 2, para el cojinete circunferencial. S´ımbolo Re Ri ωmax Fmax Tref C

Valor 219 mm 166, 5 mm 1315 rpm 4.5 kN 35o C 0.1mm

S´ımbolo ρf cf kf T0 µ0 β

Valor 1025 kg/m3 4000 J/(kg K) 0.6 W/(m K) 273K (0o C) 0.00188 P a s 0.0236

Table 1: Datos cojinete axial. S´ımbolo Ra C L Fmax ωmax Talim

Valor 170 mm 0.83mm 34 mm 250N 1315 rpm 308K (35o C)

S´ımbolo ρf cf µ0 T0 kf β

Valor 1025 kg/m3 4000 J/(kg K) 0.00188 P a s 273K (0o C) 0.6 W/(m K) 0.0236 K −1

Table 2: Datos cojinete radial. En el caso del pat´ın, se utiliza el mecanizado radial y circunferencial con C = 0.1mm (en algunos ejemplos se ha utilizado C = 0.2mm) constante en toda la geometr´ıa hasta llegar a la zona lisa de m´ınimo espesor, que ocupa el 20% de la longitud del pat´ın. Se utilizan 10 patines en el cojinete con ranuras de separaci´on de 10mm y profundidad de 3mm. En el caso del cojinete radial, se utilizan 8 ranuras de alimentaci´on (ver figura 4) de 9,5mm de anchura y 3mm de profundidad.

Figure 4: Representaci´on de la distribuci´on de las ranuras en el cojinete radial. El coeficiente de rugosidad del material utilizado en los dos cojinetes es 0.001.

5.1

Resultados con flujo laminar y flujo turbulento

En las figuras 5, 6 se pueden observar las diferencias de los resultados de sustentaci´on para el pat´ın del cojinete axial en el r´egimen laminar y en el turbulento (incluyendo la inercia en alg´ un caso). Es evidente que se aprecia una mejor sustentaci´on en el caso turbulento. Esto era esperable, puesto que la sustentaci´on aumenta con la viscosidad y la turbulencia produce un aumento de la viscosidad efectiva. En el gr´afico de la derecha de la figura 6 se ha representado la variaci´on porcentual de la sustentaci´on en funci´on de hmin al considerar los efectos de inercia. Se comprueba que los efectos son poco importantes. En las figuras 7 y 8 se presentan la presi´on laminar y turbulenta en el pat´ın para diferentes condiciones de contorno. En las figuras 9 y 10 se incluyen adem´as los efectos inerciales. Claramente, las diferencias de presiones vienen dadas por el r´egimen turbulento mientras que los efectos inerciales se manifiestan poco importantes. An´alogamente, en la figura 11, se puede observar las diferencias en los resultados en el caso del cojinete radial seg´ un el r´egimen del flujo . De nuevo, se obtienen mejores resultados para el r´egimen turbulento.

5.2

Resultados con flujo laminar y flujo turbulento para el acoplamiento de los cojinetes axial y radial

En este apartado se presenta el modelo hidrodin´amico para los dos cojinetes operando simult´aneamente (ver figura 12). Teniendo en cuenta que los efectos

Influencia de la turbulencia Z =1315rpm, C=1.dŦ4, T=35ºC

5

Influencia de la turbulencia Z =1315rpm, C=2.dŦ4, T=35ºC

5

10

10 Laminar Turbulento 4500N

Laminar Turbulento 4500N

4

4

10

Carga (N)

Carga (N)

10

3

3

10

10

2

10

2

0

10

20

30

40

50 60 hmin (P m)

70

80

90

10

100

0

10

20

30

40

50 60 hmin (P m)

70

80

90

100

Figure 5: Influencia de la turbulencia en la carga soportada para dos valores de C en el cojinete axial (en funci´on del espesor m´ınimo).

5

Influencia de turbulencia e inercia Z =1315rpm, C=1.dŦ4, T=35ºC

Cambio de carga al añadir inercia (100% = sin inercia)

10

0.5 Laminar Turbulenta Turbulenta+inercia Carga (4.500N) 0

4

10

Carga (N)

% de cambio

Ŧ0.5

3

10

Ŧ1

Ŧ1.5

Ŧ2

2

10

10

20

30

40

50 60 hmin (P m)

70

80

90

100

Ŧ2.5 10

20

30

40

50 60 hmin (P m)

70

80

90

100

Figure 6: Influencia de la turbulencia e inercia en la carga soportada por el cojinete axial (en funci´on del espesor m´ınimo).

1.3

0.5 1.2 1.5 1.50.5 2.5 2.5 3.5

1.1

3

3 2

2 1 1

1

Presión patín 4500N, 1315rpm Condiciones Dirichlet en 4 fronteras Línea contínua = presión laminar Línea a trazos = presión turbulenta

0.9

0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figure 7: Presiones en r´egimen laminar y turbulento para el pat´ın del cojinete axial, con condiciones de contorno Dirichlet.

1.3

1.2 0.5 1 1.5 1.4 0.4 1.1 1.8 2.5

2 1.6 1.2

0.2

1

0.2 0.2

0.6 0.2 0.2

0.2 0.2

Patín 4500N, 1315rpm Condiciones Dirichlet+Neumann Línea contínua = presión laminar Línea a trazos = presión turbulenta

0.9

0.8

0.2 0.2 0.2 0.2

0

0.1

1 0.8

2

0.2

0.3

0.2 0.2 0.2 0.2

2.2 2.2 0.2 0.2

0.4

0.2 0.2 0.2

0.2 0.20.2

0.5

0.6

0.7

Figure 8: Presiones en r´egimen laminar y turbulento para el pat´ın del cojinete axial, con condiciones de contorno mixtas Dirichlet-Neumann.

1.3

0.5 0.5 1.2 1.51.5

2.5 2.5

1.1

3 3 22 1 11

Presión con Turbulencia, patín 4500N, 1315rpm Condición Dirichlet en las 4 fronteras Línea contínua = sin inercia Línea trazos = con inercia

0.9

0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Figure 9: Presiones en r´egimen laminar y turbulento con inercia para el pat´ın del cojinete axial, con condiciones de contorno Dirichlet. t´ermicos calculados en los ejemplos previos no eran muy importantes, no se incluyen los modelos t´ermicos con turbulencia y se analizan los dispositivos para varias temperaturas constantes del fluido lubricante (aunque algunos valores de esas temperaturas para el agua marina sean excesivamente elevados). En el acoplamiento de los dos cojinetes en la llanta se produce la circulaci´on de cierta cantidad de fluido desde la salida hacia la entrada pasando por el entrehierro de la llanta. Esto significa que existe una presi´on no nula en el borde exterior del cojinete axial que modifica las condiciones de contorno en los patines. El agua circula desde el entrehierro hacia el cojinete circunferencial pasando por los canales entre los patines y el espacio libre entre patines y apoyo. En la zona de la llanta que existe entre los dos cojinetes se forma un canal en el que se considerar´a que el fluido presenta una presi´on homog´enea que tendr´a que ser determinada. Finalmente el agua pasa a trav´es del cojinete circunferencial por las ranuras y el espacio libre entre las pistas y las paredes (ver el esquema en la figura 12). Se presentan ahora algunas consideraciones e ideas principales del procedimento de c´alculo para la resoluci´on conjunta de los dos cojinetes: • Presi´on en el entrehierro. Como no se conoce exactamente este valor se propone realizar los c´alculos para dos valores extremos: uno muy grande, F aquina por ejemplo: Pe = (π R 2 , donde F es el empuje ejercido por la m´ c ) (4500N en este caso) y Rc es el radio libre de la llanta por la que fluye el agua impulsada (se ha tomado 150mm) y otro valor de Pe muy peque˜ no.

1.3

1.2

0.8 0.8 1.2 1.2

0.2 0.2

0.6 1.6 1.6

1.1

2 1

0.2 0.2

1.8 1.41.4 1.8 1 1 0.2 0.2 0.2 0.2

Patín 4500N, 1315rpm Cond. Dirichlet+Neuman Presión con turbulencia Línea continua = sin inercia Línea a trazos = con inercia

0.9

0.8

0.2 0.2 0.2

0

0.1

2

0.2 0.2 0.20.2 0.2 0.4 0.2 0.2

0.2

0.2 0.2 0.2

0.6

2.2 2.2 0.2 0.2 0.2 0.2

0.3

0.2 0.2 0.20.2 0.2

0.4

0.2 0.2

0.5

0.6

0.7

Figure 10: Presiones en r´egimen laminar y turbulento con inercia para el pat´ın del cojinete axial, con condiciones de contorno mixtas Dirichlet-Neumann. Efecto de la turbulencia en el problema circunferencial isotermo (L/D=0.2) 300 LAMINAR TURBULENTO CARGA

250

Carga (N)

200

150

100

50

0 0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Excentricidad H

Figure 11: Influencia de la turbulencia en la carga soportada para el cojinete radial (en funci´on de la excentricidad).

Figure 12: Cojinete axial y radial de la m´aquina rotativa. • La presi´on intermedia, Pi , en el espacio entre el cojinete axial y el cojinete radial es desconocida. Para obtenerla se realiza un bucle iterativo, que se describe a continuaci´on, donde esta presi´on se va actualizando a cada iteraci´on hasta que el caudal que pasa a trav´es el cojinete axial coincide con el caudal que pasa a trav´es del cojinete radial (ver figura 12). • La presi´on en la zona de entrada de la llanta (exterior del cojinete radial) se toma igual a cero, ya que no hay cavitaci´on y hay que fijar una presi´on de referencia (ver figura 12). • Para el c´alculo de los flujos a trav´es de las ranuras entre pistas o patines de los cojinetes axial o radial debidos a la diferencia de presi´on se ha empleado un modelo de flujo en conducto cerrado y se han aplicado las f´ormulas de Moody (ver Anexo A). Esto supone una simplificaci´on adicional del procedimiento de c´alculo, por lo que el valor de los caudales es matizable. Procedimiento de c´alculo: La resoluci´on del problema de los dos cojinetes acoplados se realiza mediante un procedimiento iterativo que consta de los siguientes pasos: 1. Se inicializa el valor de Pi a Pe /2. 2. Se resuelve el problema hidrodin´amico en un pat´ın con las condiciones de contorno siguientes: en el borde exterior P = Pe , en el borde interior

qa

Pe

q4

q3

q1

q3 q2

Pi

qa

qa

Figure 13: Caudales en el cojinete axial.

qc

Pi

q4

q3 P=0

q3

q1 q2 qc

qc

Figure 14: Caudales en el cojinete radial.

P = Pi y en los canales entre los patines, una presi´on que var´ıa linealmente entre esos dos valores. Conocida la presi´on se calcula el campo de velocidades del fluido en los patines. 3. Se resuelve el problema hidrodin´amico en las diferentes pistas del cojinete circunferencial con las condiciones de contorno siguientes: P = Pi en la frontera superior, P = 0 en la frontera inferior y una presi´on que var´ıa linealmente entre una y otra en las fronteras correspondientes a los canales entre pistas. Conocida la presi´on se calcula el campo de velocidades en las pistas. 4. Para el cojinete axial: se calcula el flujo de agua (qa ) a trav´es de un canal del cojinete axial (ver Anexo A) debido a la diferencia de presi´on Pe − Pi . A esa cantidad se le suma el flujo de agua que sale de los patines hacia la zona intermedia y se determina el flujo qa + ∆qa en una ranura del 4 cojinete axial, en la forma: qa + ∆qa = qa + q2 −q 2 , donde qa se obtiene en las f´ormulas del Anexo A, q2 es el flujo de salida desde el pat´ın hacia la zona intermedia interior y q4 es el flujo de salida desde el pat´ın hacia la zona intermedia exterior (ver figura 13). Adicionalmente se ha supuesto que la diferencia de flujos de salida del pat´ın q2 − q4 parte va a la zona intermedia y parte a las ranuras. El caudal total neto que pasa desde el exterior del pat´ın hacia la zona intermedia Qa es la suma de los caudales en todas las ranuras. 5. Para el cojinete radial: se calcula el flujo de agua (qc ) a trav´es de un canal entre las pistas (ver Anexo A) debido a la diferencia de presiones Pi − 0. A esa cantidad se le suma el promedio de flujos de salida de la pista siguiendo el mismo criterio del caso axial y se determina as´ı el flujo qc +∆qc en la ranura del cojinete circunferencial (ver figura 14). El caudal total neto que pasa desde la zona intermedia hacia la zona de entrada Qc es la suma de los caudales en todos los canales del cojinete radial. 6. Como el flujo que pasa del cojinete axial al circunferencial qa + ∆qa debe igualar al que sale del cojinete circunferencial hacia la boca de la llanta qc + ∆qc , se comparan los valores calculados y si el valor de |qa + ∆qa − qc + ∆qc |/qa + ∆qa est´a por encima de un criterio de parada establecido, se corrige el valor estimado de Pi seg´ un el siguiente esquema: En la primera iteraci´on: • Si Qc < Qa entonces Pi = (Pe + Pi )/2 y el intervalo de b´ usqueda es (a, b) = (Pe /2, Pe ). • Si Qc > Qa entonces Pi = Pi /2 y el intervalo de b´ usqueda es (a, b) = (0, Pe /2). En las siguientes iteraciones: • Si Qc < Qa entonces (a, b) = (Pi , Pb ).

Problema acoplado con T homogénea (Caudal vs. Temperatura) para C=0.1mm 2.66 Laminar Turbulento 2.64

Caudal (l/seg)

2.62

2.6

2.58

2.56

2.54

2.52 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 15: Caudales a diferentes temperaturas para el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde). Caso C = 0.1mm. • Si Qc > Qa entonces (a, b) = (Pa , Pi ). • Pi = (Pa + Pb )/2 y se retorna al paso 2. En las figuras 15, 16, 17, 18, 19 y 20 se pueden observar, los caudales, los espesores m´ınimos para el cojinete axial y la excentricidad para el cojinete radial, en los casos de dos valores de C (C = 0.1mm y C = 0.2mm), interpolando los valores obtenidos para las temperaturas del agua de 10, 20, 30 y 35o C. Adem´as, en la figura 21 se muestra la casi linealidad de los caudales con respecto a la holgura C. En las figuras 22 y 23 se muestran los perfiles de presiones para los patines del cojinete axial y la presi´on para el cojinete radial, respectivamente. Las presiones negativas que se observan en la zona de salida del fluido en el cojinete radial se corresponen con zonas por debajo de la presi´on de referencia.

6

Conclusiones

Algunas conclusiones preliminares que se pueden deducir son las siguientes: Sobre la comparaci´on del r´egimen turbulento y el r´egimen laminar: • Los caudales en litros por segundo que circulan por los cojinetes axial y radial son similares utilizando cualquiera de los dos modelos (laminar o

Problema acoplado con T homogénea (Caudal vs. Temperatura) para C=0.2mm 3.35 3.3

Laminar Turbulento

3.25

Caudal (l/seg)

3.2 3.15 3.1 3.05 3 2.95 2.9 2.85 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 16: Caudales a diferentes temperaturas para el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde). Caso C = 0.2mm.

Problema acoplado con T homogénea (hmin vs. Temperatura) para C=0.1mm 70 Laminar Turbulento 65

hmin (P m)

60

55

50

45

40 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 17: Espesor m´ınimo para patines del cojinete axial a diferentes temperaturas en el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.1mm.

Problema acoplado con T homogénea (hmin vs. Temperatura) para C=0.2mm 80 Laminar Turbulento

75 70

hmin (P m)

65 60 55 50 45 40 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 18: Espesor m´ınimo para patines del cojinete axial a diferentes temperaturas en el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde). Caso C = 0.2mm.

Problema acoplado con T homogénea (H vs. Temperatura) para C=0.1mm 0.95 0.94

Laminar Turbulento

0.93

Excentrididad (H)

0.92 0.91 0.9 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 19: Excentricidades a diferentes temperaturas para el cojinete radial en el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.1mm.

Problema acoplado con T homogénea (H vs. Temperatura) para C=0.2mm 0.95 Laminar Turbulento

0.94 0.93

Excentrididad (H)

0.92 0.91 0.9 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 10

15

20 25 Temperatura (ºC)

30

35

Figure 20: Excentricidades a diferentes temperaturas para el cojinete radial en el r´egimen laminar (azul) y turbulento (verde).Caso C = 0.2mm.

Caudales a T homogénea vs. salto de patín (C), llanta ISO con turbulencia 3 T=10ºC T=35ºC

2.9

Caudal (l/seg)

2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2

0

0.05

0.1 C (mm)

0.15

0.2

Figure 21: Caudales para diferentes casos de C y dos temperaturas extremas.

Presiones en un patín, caso acoplado (MPa)

1.3

8 1.2

12

16 1.1 18 14 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

6

2

4

2

0.9

0.8

44

10

0.5

0.6

0.7

Figure 22: Presi´on en los patines del cojinete axial.

Presiones en el circunferencial, caso acoplado (MPa) 0.4

0.35

Ŧ5

0.3

10

Anchura

0.25 15 5

Ŧ10

0.2

0.15

0 0

0.1

0.05

0

1

2

3

4

5

Angulo

Figure 23: Presi´on en el cojinete radial.

6

turbulento). En cualquier caso, hay que considerar que se trata de valores estimativos, ya que se han utilizado algunas simplificaciones en el c´alculo de los flujos que no se corresponden totalmente con la realidad. • Con el modelo turbulento los valores de espesor m´ınimo pronosticados para los patines son menos cr´ıticos que en el caso laminar. • Con el modelo turbulento los valores de las excentricidades pronosticadas en el cojinete radial son menos cr´ıticas que en el caso laminar. • El modelo con r´egimen turbulento pronostica una mayor capacidad de carga que el modelo laminar. • Dentro del modelo turbulento, los efectos de las fuerzas inerciales no parecen muy importantes, tanto en el caso de considerar todas las inercias como en el caso de considerar s´olo la centr´ıfuga. Sobre las condiciones de operaci´on de los cojinetes acoplados: • La baja viscosidad del agua marina conduce a condiciones de operaci´on cr´ıticas con cualquiera de los modelos, laminar o turbulento, (espesores de pel´ıcula excesivamente reducido para los patines y excentricidades muy grandes en el cojinete radial). • Los efectos t´ermicos en las condiciones de operaci´on no son despreciables pero tampoco parecen ser muy significantes. • El c´odigo num´erico desarrollado se muestra como una buena herramienta para analizar r´apidamente la influencia de algunos par´ametros en el dise˜ no (n´ umero de patines y su tama˜ no, n´ umero de ranuras y su tama˜ no, cambios en la geometr´ıa de la llanta, etc.) para condiciones extremas de velocidad, temperatura, carga, etc.

Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto de Investigaci´on MTM2010-21135-C02-02 del Ministerio de Ciencia e Innovaci´on de Espa˜ na y fondos FEDER (EU).

Anexo A. C´alculo del flujo en una ranura. La determinaci´on del caudal que fluye por las ranuras que existen en los cojinetes se realiz´o aplicando los m´etodos convencionales del c´alculo de flujo en conductos cerrados seg´ un los pasos: ∆p , donde ∆p es la ρg diferencia de presi´on entre los extremos de la ranura, ρ la densidad del fluido y g la gravedad.

1. C´alculo de la altura de p´erdida de carga ∆h =

2. C´alculo del di´ametro hidr´aulico de la ranura Dh = S/P , como secci´on de la ranura dividida por su per´ımetro. 3. Estimaci´on del factor de p´erdidas (f) en la ranura a partir de la f´ormula: ³ε ´ 1 r √ = −2log , (75) 3.7 f que corresponde a un flujo totalmente turbulento, donde εr es la rugosidad de las paredes: · ¸2 0.5 f= (76) log(3.7) − log εr 4. C´alculo del caudal Q en la ranura mediante la f´ormula: s ∆h gπ 2 Dh5 , Q= 8f L

(77)

donde L es la longitud de la ranura. 5. C´alculo del n´ umero de Reynolds: Re =

4Qρ πDh µ

(78)

6. C´alculo del nuevo factor de p´erdidas aplicando la f´ormula de Moody: 

1 µ ¶ 6 10 3   f 0 = 0.001375 1 + 200εr +  Re

(79)

7. Si el valor de |f − f 0 |/f es inferior a un criterio de parada establecido se termina el proceso, en caso contrario se vuelve al paso 4. Bibliography [1] V.N. Constantinescu, S. Galetuse. Operating characteristics of journal bearings in turbulent inertial flow. J. Lubrication Tech., 104 (1982), 173-179. [2] J. Durany, J. Pereira–P´ erez, F. Varas. A cell-vertex finite volume method for thermohydrodynamic problems in lubrication theory. Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 195 (2006), 5949-5961. [3] J. Durany, J. Pereira–P´ erez, and F. Varas, Numerical solution of steady and transient problems in thermohydrodynamic lubrication using a combination of finite element, finite volume and boundary element methods. Finite Elem. Anal. Des., 44 (2008), 686-695. [4] J. Durany, J. Pereira–P´ erez, F. Varas. Dynamical stability of journal–bearing devices through numerical simulation of thermohydrodynamic models. Tribol. Int., 43 (2010), 1703-1718. [5] J. Frene, D. Nicolas, B. Degueurce, D. Berthe, M. Godet. Lubrification hydrodynamique, Eyrolles, Paris, 1990. [6] P.B. Kosasih, K. Tieu. An analysis of sector-shaped bearings operating in the transition regime. Wear, 160 (1993), 291-299.