D E P A R T A M E N T O

D E

I N G E N I E R Í A

E L É C T R I C A

BOLETÍN DE PROBLEMAS MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA 3º, INGENIERO INDUSTRIAL CURSO 2010/2011

MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA Problemas propuestos 1. Un motor de excitación derivación, con devanado de compensación, tiene las siguientes características: •

Potencia nominal: 50 HP.

•

Tensión de alimentación: 250 V.

•

Velocidad nominal: 1200 r.p.m.

•

Resistencia del inducido, incluyendo escobillas, devanado de compensación e interpolos: 0,06 ohmios.

El circuito de campo tiene conectado en serie una resistencia externa variable, Rext. La velocidad de giro del motor en vacío es de 1200 r.p.m. cuando la suma de la resistencia de campo y la resistencia externa es de 50 ohmios. Se pide: a) Calcular la velocidad del motor cuando consume: 100 A, 200 A, 300 A. b) Dibujar la curva característica mecánica del motor. 2. Se dispone de un motor de corriente continua tipo shunt. Su circuito de excitación consta de 2000 espiras con una resistencia de 210 ohmios, siendo la resistencia total del devanado inducido de 0,5 ohmios. A 1000 r.p.m. se obtiene la siguiente curva de vacío: E0 (V)

4

300

340

Ie (A)

0

1,75

2

Determinar el número de espiras con que habría que dotar a un arrollamiento de excitación adicional en serie para que, funcionando como motor compuesto aditivo de conexión corta, desarrolle un par en el eje de 165 Nm alimentado desde una fuente de corriente continua a 425 V y consumiendo 50 A. La resistencia del devanado de excitación serie tiene un valor de 0,1 ohmios. Se puede considerar que la máquina tiene devanado de compensación y que la caída de tensión en las escobillas es despreciable. 3. Un motor en derivación de corriente continua de 50 HP, 250 V, 1200 r.p.m. con devanados de compensación, tiene una resistencia de armadura (incluyendo escobillas, devanados de compensación e interpolos) de 0,06 Ω. Su circuito de campo tiene una resistencia total de 50 Ω,

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el cual produce una velocidad de vacío de 1200 r.p.m. Hay 1200 espiras por polo en el devanado de campo en derivación. Calcular: a) La velocidad del motor cuando la corriente de entrada es de 100 A. b) La velocidad del motor cuando la corriente de entrada es de 200 A. c) La velocidad del motor cuando la corriente de entrada es de 300 A. d) Utilizar estos datos para graficar la característica par - velocidad de este motor. 4. Un motor en derivación de corriente continua de 2 polos, 250 V, 1200 r.p.m. tiene una corriente nominal de inducido de 170 A y una corriente nominal de campo de 5 A. Cuando el rotor está bloqueado una tensión inducida 10,2 V produce una corriente de 170 A y una tensión de campo de 250 V produce una corriente de campo de 5 A. En vacío y con una tensión en bornes de 240 V, la corriente de inducido es de 13,2 A y la corriente de campo es de 4,8 A. Admítase que las pérdidas mecánicas se mantienen prácticamente constantes y que la caída de tensión en cada una de las escobillas es de 1 V. Se pide determinar el rendimiento del motor cuando funciona en condiciones nominales. 5. En un laboratorio se dispone de un motor Shunt de 220 V. Se le realizan unas pruebas y se observa que desarrolla una determinada potencia a 1100 r.p.m. y absorbe una corriente de inducido de 80 A. Su resistencia de inducido es de 0,3 Ω y el par de carga al que se le somete permanece constante. A continuación, a dicho motor, se le somete a una segunda prueba reduciéndole el flujo un 25% de su valor nominal. Suponiendo las pérdidas mecánicas de 3000 W constantes y la curva de magnetización recta, se pide: a) Explicar claramente los fenómenos que tienen lugar en el motor. b) Calcular la potencia útil del motor. c) Antes de las variaciones de velocidad, hallar la f.e.m., la corriente de inducido y el par. d) Determinar los valores finales de la corriente de inducido y la velocidad. 6. Un motor tipo derivación de 250 V que desarrolla 20 CV a 1000 r.p.m. absorbe una corriente de inducido de 75 A. La resistencia del inducido es de 0,25 Ω y el par de carga permanece constante. Si se reduce el flujo un 20% de su valor normal antes de los cambios de velocidad, hallar el valor instantáneo de la corriente del inducido y el par. Determinar el valor final de la corriente en el inducido y la velocidad (curva de magnetización recta). Tómese 1 CV = 736 W. 7. La resistencia del circuito del inducido de un motor de corriente continua de excitación derivación de 230 V es de 0,23 Ω. Cuando funciona conectado a una fuente de 230 V e impulsa una carga a par de torsión constante, se observa que el motor absorbe una corriente de armadura de 60 A. Ahora se inserta una resistencia externa de 1 Ω en serie con el inducido, mientras que la corriente del campo en derivación no cambia. Ignorando los efectos de las pérdidas rotatorias y la reacción de inducido, calcule: a) La corriente de armadura resultante. b) El cambio de velocidad fraccionario del motor.

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8. Dos motores de corriente continua, M1 y M2, de excitación serie, idénticos en construcción, excepto en el entrehierro, son probados independientemente con una misma tensión de alimentación de 750 V, resultando que, para un mismo consumo de 200 A, las r.p.m. medidas fueron n1 = 600 y n2 = 500. Sabiendo que la resistencia interna medida en los bornes de la máquina es, en ambas, 0,1 Ω. Se pide: a) ¿Qué velocidad resultaría para el mismo consumo de 200 A al acoplarlos mecánicamente sobre un mismo eje estando conectados eléctricamente en serie entre sí a la misma red de 750 V?. b) ¿Cuál sería la tensión en los bornes de cada máquina para el acoplamiento anterior.? 9. Un determinado vehículo de tracción eléctrica utiliza como elemento motriz un motor shunt de corriente continua que se alimenta mediante una batería de 48 V. El motor debe de funcionar a una velocidad entre 500 y 1500 r.p.m., y se pretende que, variando la resistencia de campo, pueda actuar como freno, transformando la energía mecánica en eléctrica y entregándola a la batería, que se supone mantiene entre sus bornes un potencial constante de 48 V. La curva de magnetización del motor a 500 r.p.m. es: Ie (A) Ei (V)

1 12,5

2 19,6

3 26,8

4 33,7

5 40,0

6 45,3

7 50,0

8 54,2

La resistencia total del circuito del inducido es Ri = 0,1 Ω, la resistencia del devanado de campo es Re = 6 Ω y las pérdidas rotatorias pueden suponerse constantes e igual a 300 W. Se imponen como condiciones extremas el que el motor pueda actuar como freno a 500 r.p.m., extrayendo 5 CV de potencia mecánica de las ruedas del vehículo, y el que pueda actuar como motor de 1500 r.p.m., entregando también 5 CV de potencia mecánica. Calcular el valor de la resistencia de campo Rcp en estas dos condiciones extremas. 10. Un motor de 7,46 kW, 230 V., Shunt, tiene una velocidad a plena carga de 1200 r.p.m. La resistencia del inducido es de 0,3 Ω y la del campo 180 Ω. El rendimiento a plena carga es del 86%. Se pide calcular: a) La velocidad del motor en vacío, si en estas condiciones su entrada total es de 600 w. b) Valor de la resistencia serie que hay que añadir al inducido para reducir su velocidad a 1000 r.p.m. cuando da el par de plena carga con toda la corriente de campo. 11. Un motor derivación de 4 polos, funciona con 400 V de tensión en bornes y absorbe una corriente de 50 A. Su velocidad es de 500 r.p.m. La resistencia del inducido es de 0,6 Ω y su devanado, del tipo ondulado simple, está compuesta de 516 conductores. El arrollamiento de excitación posee una resistencia de 220 Ω. Determinar el flujo por polo con las características indicadas, despreciando la caída de tensión en las escobillas.

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12. Un motor de corriente continua, de excitación en paralelo, absorbe una corriente a una determinada velocidad. Posteriormente se desea aumentar la velocidad, lo cual puede hacerse disminuyendo la corriente de excitación, o aumentando la tensión de alimentación. Suponiendo despreciables las pérdidas del motor, decir cuál sería aproximadamente la corriente eléctrica absorbida, a una velocidad doble de la inicial, en función de la corriente I, en los siguientes casos: a) Si se modifica solamente la corriente de excitación, siendo constante el par. b) Si se modifica solamente la tensión de alimentación, siendo constante el par. c) Si se modifica solamente la corriente de excitación, siendo constante la potencia suministrada. d) Si se modifica solamente la tensión de alimentación, siendo constante la potencia suministrada. 13. Un motor tipo derivación de 250 V, gira en vacío a 1000 r.p.m. y absorbe una corriente de 5 A. La resistencia total del inducido es de 0,2 Ω y la del campo en derivación de 250 Ω. Calcular la velocidad cuando esté cargado y tome una corriente de 50 A, sabiendo que la reacción del inducido debilita el campo un 3%. 14. Un motor derivación de 4 kW, 120 V, 1500 r.p.m. tiene a plena carga un rendimiento total del 82 % y unas pérdidas en sus devanados inductor e inducido del 4 y 5 %, respectivamente, de la potencia absorbida. Determinar: a) La f.e.m. inducida a plena carga. b) El par motor interno en Nm. 15. Un motor tipo derivación de 250 V tiene una resistencia de inducido de 0,5 Ω y una resistencia de campo de 350 Ω. Cuando mueve a 600 r.p.m. una carga cuyo par es constante, el inducido absorbe 20 A. Si se desea elevar la velocidad de 600 a 800 r.p.m. ¿qué resistencia debe insertarse en el circuito de excitación suponiendo que la curva de magnetización sea una línea recta? 16. Un motor derivación acoplado a una bomba centrífuga absorbe 60 A a la tensión 110 V. Determinar la potencia útil y el rendimiento del motor, sabiendo que este motor en vacío, sin la bomba, absorbe 5 A de la red y que las resistencias en caliente de sus devanados son: Inductor, Rd = 40 Ω Inducido, Ri = 0,10 Ω Despreciar la caída y pérdidas en las escobillas y admitir que la velocidad en carga es sensiblemente igual a la de vacío. 17. Un motor tipo derivación de 250 V tiene una corriente de inducido de 20 A cuando gira a 1000 r.p.m. venciendo el par de plena carga. La resistencia del inducido es de 0,5 Ω. ¿Qué resistencia debe insertarse en serie con el inducido para reducir la velocidad a 500 r.p.m. con el mismo par, y cuál será la velocidad si el par de carga se reduce a la mitad, estando dicha resistencia en circuito?. Supóngase que el flujo permanece constante.

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18. Por el inducido de una dinamo, con excitación en paralelo, de 220 V, circulan 40 A, siendo la velocidad de giro de 500 r.p.m. La resistencia del inducido es de 0,25 Ω y la del campo de excitación 100 Ω, existiendo además, en serie con el bobinado del mismo, un reóstato. La curva de magnetización de la dinamo a 500 r.p.m. es: Ie (A) 0,25

0,50

0,75

1,00

1,50

2,00

Ei (V) 71

133

170

195

220

230

Se pide: a) La resistencia del reóstato en las condiciones indicadas. b) La tensión en vacío si la velocidad se reduce a 250 r.p.m. con el reóstato cortocircuitado. 19. Un motor serie, con un circuito magnético no saturado y con una resistencia despreciable, absorbe 50 A a 500 V cuando gira a una cierta velocidad con una carga dada. Si el par de carga varía con el cubo de la velocidad, hallar la resistencia necesaria para reducir la velocidad: a) un 50 %, b) un 20 %. 20. La velocidad de un motor derivación de 20 CV, 230 V, absorbiendo de la red la corriente de 75 A, es de 1200 r.p.m. La resistencia del circuito de excitación es de 128 Ω y la del inducido 0,12 Ω. Con miras a reducir su velocidad, manteniéndose constante la corriente de la red, se intercala en serie con el inducido una resistencia de 1 Ω. Calcular: a) La nueva velocidad de giro del motor. b) La relación de los pares motores con y sin resistencia adicional. c) La potencia que se pierde en la resistencia adicional en valor absoluto y en relación a la que absorbe el inducido. d) El rendimiento eléctrico del inducido con y sin resistencia adicional. (Despreciar la caída de tensión en las escobillas.)

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21. Dos máquinas de corriente continua, excitación derivación, A y B, idénticas, se acoplan mecánicamente y se conectan en paralelo sobre una línea a 230 V. La máquina A tiene su excitación ajustada a 1,3 A y la B a 1,4 A. La resistencia de inducido, incluida la de contacto de las escobillas, es de 0,1 Ω en cada máquina. La velocidad de funcionamiento del grupo es de 1200 r.p.m. Se pregunta: a) ¿Cuál de estas dos máquinas trabaja como motor y cuál como generador y por qué razón?. b) ¿Cuánto valen las pérdidas combinadas mecánicas y en el hierro, de ambas máquinas?. c) ¿Pueden ambas máquinas, simultáneamente, funcionar como generadores a la velocidad de 1200 r.p.m. Justificar la respuesta. La característica de vacío de esta máquinas a 1000 r.p.m. comprende los siguientes puntos: Ie E0

= =

1,3 186,7

1,4 195,9

A V

22. Se dispone de un motor derivación de 200 V, cuya excitación se mantiene constante. El circuito de inducido tiene en serie un reóstato de arranque. Calcular el número de secciones de este reóstato y las resistencias de cada sección, sabiendo que la resistencia del inducido es de 0,5 Ω y que las corrientes en este circuito deben estar comprendidas: a) entre 25 y 50 A; b) entre 35 y 50 A. Sugerencia: demostrar las siguientes relaciones: RT = γ n; Ri

RK =γ R K −1

donde RT representa la resistencia total del circuito del inducido: propia + reóstato de arranque, Ri es la resistencia del inducido; RK-1 y RK son las resistencias totales del circuito del inducido hasta las secciones K-1 y K respectivamente del reóstato de arranque y g es el cociente Imax / Imin del inducido en el proceso de arranque. 23. Un motor de corriente continua, con excitación independiente de un imán permanente, tiene una resistencia eléctrica en el inducido de 0,1 Ω. La tensión máxima que se puede aplicar al inducido es de 220 V y la corriente máxima que puede pasar por sus devanados es 100 A en régimen estacionario. La constante de proporcionalidad de la tensión inducida es 0,15 V/rpm. Obtener la expresión del par interno del motor en función de la velocidad para diferentes tensiones de alimentación. Hacer una representación gráfica del par frente a la velocidad para las tensiones de 50, 100 y 200 V. 24. Un motor serie de corriente continua está diseñado de forma que la variación de su flujo medio por polo es lineal con la intensidad de excitación. En vacío, el motor consume de una red de 220 V, 20 A. Sabiendo que la resistencia interna, medida en los bornes de la máquina, es de 1,2 Ω, se pide obtener, cuando el motor se alimenta de una fuente de 220 V, la expresión de la potencia de salida en función de n/n0 (donde n es la velocidad del motor y n0 su velocidad en vacío). Dibujar la curva obtenida interpretando su representación.

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25. Un motor de corriente continua, con excitación constante, conectado a 30 V y con una resistencia del inducido de 29 mΩ, tiene una constante de proporcionalidad de la tensión inducida de 0,0114 V/rad.p.s. Calcular el par máximo que puede obtenerse de dicho motor y la velocidad de giro del mismo en esas condiciones. 26. Dos máquinas de corriente continua, idénticas pero de excitación independiente distinta, se ensayan por un método llamado de Hopkinson. Dicho método consiste en acoplarlas sobre el mismo eje mecánico y conectar los inducidos en paralelo a una red de continua. Los inductores se alimentan con excitación independiente, conectándolos a la misma red, de modo que una de las máquinas trabaje como motor y la otra como generador. Los resultados de este ensayo son los siguientes: Tensión de la red:

100 V.

Corriente en el inducido del motor

400 A.

Corriente en el inducido del generador

340 A

Corriente de excitación del moto

4,5 A

Corriente de excitación del generador

5,2 A.

Resistencia de cada inducido

0,02 Ω

Suponiendo que las dos máquinas tienen las mismas pérdidas mecánicas, dibujar un esquema del citado ensayo y determinar, los rendimientos de cada una de ellas en los dos casos siguientes: a) Sin tener en cuenta la excitación. b) Teniendo en cuenta la excitación. 27. Un motor de excitación serie se alimenta de una red de alimentación de corriente continua de la que absorbe 100 A cuando gira a una velocidad de 600 r.p.m., siendo en este caso 90 V la fuerza electromotriz inducida. Cuando el mismo motor consume 200 A con una fuerza electromotriz inducida de 80 V, calcular: a) La tensión de la red de alimentación. b) Velocidad de giro del motor. c) Par desarrollado por la máquina. Para resolver el problema puede considerarse que la máquina no está saturada, que posee devanado de compensación y que la caída de tensión en las escobillas es despreciable. 28. Un motor de excitación derivación en unas determinadas condiciones de funcionamiento consume 10 kW de potencia a una tensión de 100 V. Se conoce que la resistencia del devanado de excitación y del inducido son 100 y 0,05 ohmios respectivamente. Se reduce la tensión de alimentación a 80 voltios sin variar la potencia consumida por el motor. Se pide calcular la relación entre las velocidades en ambas condiciones de carga. Para resolver el problema puede considerarse que la máquina no está saturada, que posee devanado de compensación y que la caída de tensión en las escobillas es despreciable.

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29. Un motor de excitación serie alimentado a 220 Voltios consume una corriente de 30 amperios cuando gira a 1000 r.p.m. La resistencia del inductor es de 0,2 ohmios y la resistencia del devanado de excitación es de 0,4 ohmios. Se pide: a) Calcular la corriente consumida y la velocidad de giro del motor si para incrementar el par desarrollado por el motor en un 30 % se conecta en paralelo con el devanado de excitación una resistencia externa de valor 0,1 ohmios. b) Calcular el valor de la resistencia de un devanado adicional externo en paralelo con el inducido del motor para que, funcionando como motor de excitación compuesta, desarrolle el par deseado a la velocidad de 760 r.p.m. circulando 30 A por el inducido. Para resolver el problema puede considerarse que la máquina no está saturada, que posee devanado de compensación y que la caída de tensión en las escobillas es despreciable. 30. Un tranvía eléctrico es movido por dos motores iguales de corriente continua de excitación serie. Estos motores tienen 4 polos y se conectan eléctricamente en serie. La resistencia eléctrica total en bornes de cada motor es de 0,1 ohmios. El tranvía tiene un peso de 10000 kg, y presenta en su desplazamiento un rozamiento equivalente al 1,5% de su peso. En un momento determinado, el tranvía tiene que subir una rampa que tiene un desnivel de 4 cm por metro recorrido. El tranvía debe subir esta pendiente con una aceleración de 35 cm/s2. En el instante en el que el tranvía alcanza la velocidad de 15 km/h, se pide: a) La fuerza aplicada en las llantas de las ruedas. b) La potencia desarrollada por cada motor. c) Velocidad de giro de los motores, sabiendo que las ruedas tienen 80 cm de diámetro y son accionadas mediante un engranaje reductor de relación 1 a 5. d) Rendimiento de los motores si la tensión de red es de 1000 V y consumen 45 A. e) El flujo magnético de cada motor, en las condiciones del apartado c, sabiendo que el devanado inducido tiene 315 espiras por polo y 2 circuitos en paralelo. Considerar que la máquina tiene devanado de compensación y que es despreciable la caída de tensión en las escobillas. 31. Se dispone de un motor de corriente continua, compensado, con una resistencia de inducido de 0,2 ohmios cuya característica de vacío a 1000 r.p.m. es la siguiente: E0 (V)

3

250

300

325

N Ie (A)

0

1500

3000

6000

Conectado a una red a la tensión de 400 V y circulando una intensidad de 50 A por su devanado inducido, el motor desarrolla un par de 150 Nm. En estas circunstancias, determinar: a) Si el devanado de excitación fuese en derivación, ¿qué resistencia tendrá el mismo si se sabe que el arrollamiento es de 1000 espiras?

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b) Si el devanado de excitación fuese en serie, ¿cuántas espiras deberá tener el mismo? Despreciar la caída de tensión en las escobillas. 32. Un motor de excitación serie compensado, tiene en todo instante unas pérdidas por efecto Joule de 100 W iguales a las pérdidas mecánicas. Las resistencias de excitación e inducido no varía. Teniendo en cuenta que podemos despreciar la caída de tensión en las escobillas, se pide: a) El valor de la fuerza electromotriz inducida y de la potencia útil que proporciona funcionando como motor alimentado a 100 V y absorbiendo 1 kW. b) El valor de la carga (Ω) a la que alimenta cuando funciona como generador si absorbe por el eje el valor de la potencia pedida en el apartado anterior. 33. Se dispone de un motor excitación serie cuya resistencia total es de 0,5 ohmios. Alimentado a la tensión de 220 V cuando la intensidad que absorbe de la red es de 40 A y la velocidad 750 r.p.m., el efecto de la reacción de inducido supone una caída de tensión de 50 V. Determinar la tensión a la que habría que alimentar el motor para que, absorbiendo 40 A, la velocidad fuera de 600 r.p.m. en los siguientes casos: a) Si la máquina está compensada. b) Si la máquina no está compensada. Considerar despreciable la caída de tensión en las escobillas y que el núcleo magnético no está saturado. 34. Se dispone de un motor de excitación derivación cuya resistencia de inducido es de 0,2 ohmios. Se alimenta a una tensión de 320 V consumiendo de la red 100 A. En estas condiciones el efecto de la reacción de inducido supone una reducción del 10% del flujo de vacío y la velocidad alcanzad es de 1000 r.p.m. Determinar la velocidad que alcanzaría si estuviese compensado y desarrollara el mismo par motor. Se desprecia la caída de tensión en las escobillas. 35. Una noria de feria es accionada por un motor de corriente continua de excitación serie que es alimentado por una dinamo de excitación derivación cuyo eje es accionado por un motor de inducción conectado a la red. La dinamo dispone de un regulador automático de excitación que permite ajustar y mantener su tensión en bornes en el valor deseado. El motor tiene una resistencia total de inducido de 0,05 ohmios, siendo 0,15 ohmios la resistencia del devanado de excitación. Se sabe que, cuando circulan por él 10 A, desarrolla un par en el eje de 8,89 Nm. El devanado inducido de la dinamo tiene una resistencia de 0,2 ohmios, y sus pérdidas mecánicas son de 100 W. La noria tiene un radio de 20 m y está acoplada al motor de excitación serie mediante una reductora de relación 1:40. En un cierto instante, la noria funciona de manera que la dinamo absorbe 6700 W y el regulador está ajustado para que su tensión en bornes sea de 110 V, lo que corresponde a una resistencia total de su rama derivación de 22 ohmios. Se pide: a) Calcular la velocidad en km/h de las cabinas de la noria, situadas en la periferia de la misma. b) Ante la competencia de otras atracciones, el encargado decide ajustar el regulador de la dinamo para que su tensión en bornes sea de 409 V y así aumentar la velocidad de giro. Calcular la velocidad, en km/h, a la que pasan a desplazarse las cabinas. Máquina de Corriente Continua - 9

c) Asustado por los gritos de pánico de los usuarios, el encargado aplica un freno que hace que el par de resistente en el eje del motor aumente al doble. Calcular la nueva velocidad de las cabinas en km/h. d) Como el freno se está calentado y el regulador de la dinamo se ha atascado en los 409 V, el encargado quita el freno y, para disminuir la excitación del mismo, puente el devanado inductor del motor excitación serie con un cable de resistencia 0,001 ohmios. ¿Ha sido una buena idea? Considerar que las máquinas de c.c. poseen devanado de compensación, que es despreciable la caída de tensión en las escobillas y que el circuito magnético del motor de c.c. no está saturado. 36. Los devanados inducido e inductor de un motor serie de c.c. compensado de 600 V tienen unas resistencias de 0,22 y 0,08 Ω respectivamente. La tensión en vacío a 1000 r.p.m., obtenida alimentando independientemente el inductor con una intensidad de 50 A, es de 557 V. Las pérdidas mecánicas a 1000 r.p.m. ascienden a 540 W y se suponen variables linealmente con la velocidad. Se desprecia la caída de tensión en las escobillas. Calcular: a) La velocidad de giro del motor cuando consume una corriente de 40 A, y la potencia desarrollada por el motor en este caso. b) El par inicial de arranque cuando la corriente se limita a 60 A, por inserción de un reóstato en serie con el inducido. c) El valor que debe tener el reóstato en paralelo con el devanado serie para que el motor suministre un par interno de 220 Nm a 1200 r.p.m. 37. Un motor de c.c. de excitación independiente, de 220 V tiene una intensidad asignada de inducido de 70 A. Su velocidad en vacío es de 1450 r.p.m. y la plena carga el 92% de la anterior. Funcionando a plena carga el par externo invierte su sentido y su valor pasa a ser la mitad del de plena carga. Se desea hacer un frenado reostático con una intensidad de frenado igual a 2,5 veces la asignada. Calcular el valor que debe tener el reóstato de frenado y la velocidad final mínima que se podría alcanzar, una vez suprimida toda la resistencia adicional. (Despreciar la caída de tensión en las escobillas, la reacción de inducido y las pérdidas mecánicas. 38. Un motor serie compensado tiene una resistencia de inducido de 0,3 Ω y de inductor de 0,2 Ω. Su curva de vacío, a 800 rpm, se puede aproximar por la expresión E = 6 IS, siendo IS la intensidad que circula por el devanado serie. Funciona normalmente a 1000 rpm, alimentado a 400 V. a) Calcular la mínima tensión a la que podrá arrancar una carga que presenta un par en reposo de 600 Nm. b) Durante el funcionamiento normal, se produce una subida de tensión de hasta 425 V al tiempo que el par resistente se multiplica por dos. Calcular la resistencia que hay que poner en paralelo con el inductor para que siga girando a 1000 rpm. c) ¿Cuál es el máximo par que puede producir en frenado reostático con una corriente máxima de 150 A?

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39. Un motor de excitación compuesta de 36 kW, 500 V tiene un rendimiento a plena carga de 0,87 p.u. y gira a 900 rpm accionando una carga de par constante excitado sólo por el devanado derivación. La resistencia del inducido es de 0,4 Ω, la del devanado derivación de 250 Ω y la del devanado serie de 0,1 Ω. Se quiere utilizar el devanado serie para elevar la velocidad a 960 rpm. Calcular la corriente de inducido y el rendimiento en las nuevas condiciones de funcionamiento. 40. Un motor derivación de c.c. se alimenta a 230 V y acciona una bomba centrífuga a 1200 rpm absorbiendo una corriente de 83,5 A. Con la bomba en seco (sin agua en la cámara del rodete) se comprueba que para que gire a esa misma velocidad es preciso aplicar una tensión de 216 V, siendo entonces la corriente absorbida de 6,5 A. La resistencia del inducido es de 0,15 Ω y la del inductor de 174 Ω, y la caída de tensión en escobillas es de 2 V. Calcular: a) La potencia útil suministrada a la bomba. b) El rendimiento del motor. c) El par de arranque a la tensión asignada si la corriente de arranque se limita a 83,5 A mediante la inserción de una resistencia en serie con el inducido. d) El valor que debe tener dicha resistencia. 41. Un motor de excitación derivación de 240 V consume 3,5 A cuando funciona en vacío. La resistencia del circuito del inducido es de 0,5 ohmios y la resistencia del devanado de campo es 160 ohmios. Cuando el motor trabaja a plena carga consume 24 A y el rotor gira a 2400 rpm. Determinar: a) Rendimiento a plena carga. b) Par desarrollado y par útil. c) Velocidad de vacío. d) Regulación porcentual de la velocidad. e) Dibujar el diagrama del flujo de potencias para las condiciones de funcionamiento siguientes: plena carga, vacío. 42. El motor derivación del problema 41 se convierte en un motor de excitación compuesta larga mediante la adición de un devanado de campo en serie con una resistencia de 0,1 ohmios. Hay un cambio del 12,5% en el flujo total cuando el motor de excitación compuesta desarrolla el mismo par que el motor original del problema 41. Determinar la potencia desarrollada y la velocidad del motor de excitación compuesta larga cuando se conecta como: a) Motor de excitación compuesta larga aditiva. b) Motor de excitación compuesta larga diferencial.

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43. Un motor de corriente continua de excitación derivación tiene las siguientes características: •

Potencia nominal: 100 HP.

•

Tensión de alimentación nominal: 250 V.

•

Velocidad nominal de giro: 1200 r.p.m.

•

Resistencia del devanado del inducido: 0,03 Ω.

•

Resistencia del devanado de campo: 41,67 Ω.

•

La reacción de inducido se puede despreciar porque el motor tiene devanados de compensación.

•

Se desprecian las pérdidas mecánicas y en el hierro.

En unas determinadas condiciones de funcionamiento el motor desplaza una carga a 1103 r.p.m. consumiendo una corriente de 126 A. Se considera que la corriente que circula por el devanado del inducido se mantiene constante. La curva de magnetización de la máquina se muestra en la siguiente figura:

Curva de magnetización

Se pide:

Máquina de Corriente Continua - 12

a) La velocidad de giro del motor si la resistencia de campo se incrementa a 50 Ω. b) Calcular y dibujar la velocidad de giro del motor en función de la resistencia de campo, suponiendo que la corriente se mantiene constante. 44. Se cambia el tipo de conexión del devanado de excitación del motor derivación del problema 41, que pasa a ser del tipo excitación independiente. El motor está inicialmente funcionando en las siguientes condiciones: •

Par de carga constante.

•

Tensión de alimentación: 250 V.

•

Corriente consumida (por el inducido): 120 A.

•

Velocidad de giro: 1103 r.p.m.

¿Cuál será la nueva velocidad del motor, si la tensión de alimentación se reduce a 200 V? 45. En la figura se muestra la curva de magnetización de un motor de excitación serie de 10 HP y 220 V a 1200 r.p.m. Los parámetros del motor son los siguientes: •

Resistencia del inducido: 0,75 ohmios.

•

Resistencia de campo: 0,25 ohmios.

•

Potencia de pérdidas mecánicas: 1,04 kW.

Curva de Magnetización

a) ¿Cuál es la corriente de inducido cuando el motor entrega su potencia nominal a 1200 r.p.m.? b) ¿Cuál es le rendimiento del motor a plena carga? Máquina de Corriente Continua - 13

c) Si la carga se reduce gradualmente, la corriente de inducido baja hasta 16,67 A. Calcular la nueva velocidad de giro del motor y el par motor. 46. Un motor de excitación derivación de 120 V y 2400 rpm tiene una resistencia de inducido de 0,4 ohmios y una resistencia de campo de 160 ohmios. El motor opera a su velocidad especificada a plena carga consumiendo 14,75 A. La corriente de vacío es de 2 A. Se inserta una resistencia externa de 3,6 ohmios en el circuito del inducido sin que cambie el par desarrollado por la máquina. En estas condiciones, determinar: a) Velocidad de giro del motor. b) Pérdida de potencia en la resistencia externa. c) Rendimiento del motor. Suponer que las pérdidas mecánicas son proporcionales a la velocidad. 47. En el motor derivación del problema 46 se introduce una resistencia externa de 80 ohmios en serie con el devanado de excitación. En estas nuevas condiciones de trabajo, calcular: a) La velocidad del motor. b) Potencia disipada en la resistencia externa. c) Rendimiento del motor. Suponer que el flujo magnético es proporcional a la raíz cuadrada de la corriente de excitación y que el motor sigue desarrollando el mismo par. 48. Un motor de excitación serie de 20 HP y 440 V tiene un rendimiento del 87% cuando trabaja a plena carga girando a 900 rpm. La resistencia del circuito de excitación es 0,3 ohmios y la resistencia de campo 0,2 ohmios. Se introduce una resistencia externa de 2,5 ohmios en el circuito del inducido y se reduce la carga en un 20%. Determinar, en estas nuevas condiciones de operación, la velocidad de giro del motor. Suponer que el motor opera en la región lineal de su curva de magnetización. 49. Un motor serie de 120 V consume 20 A cuando entrega su carga nominal girando a 1600 rpom. La resistencia del inducido es de 0,5 ohmios y la de excitación 0,3 ohmios. Calcular la resistencia externa que debe agregarse para obtener el par nominal: a) a 1600 rpm. b) a 1200 rpm. 50. Un motor de corriente continua de excitación independiente trabaja en las siguientes condiciones: Par útil de 1200 Nm; Velocidad de giro 1300 rpm; Rendimiento del 92%; Tensión de alimentación: 400 V. Se pide: a) Determinar la potencia y la corriente consumidas. b) Si se modifica el par que ejerce el motor a 1000 Nm, ¿cuál será la nueva velocidad de giro del motor?

Máquina de Corriente Continua - 14

c) Volviendo a las condiciones iniciales de funcionamiento, considerando que la constante de proporcionales K1 toma el valor 0,2, calcular la corriente de excitación de la máquina. ( E = K1nI e ). d) Si la resistencia del inducido es 0,1 ohmios, determinar la corriente consumida por el motor en el instante de arranque. e) Determinar la resistencia externa a conectar en serie con el motor para que la intensidad en el momento de arrancar no supere en 5 veces a al del punto del funcionamiento. f) A qué tensión debe arrancar la máquina, sin utilizar reostato de arranque, para la corriente no supere en 5 veces su valor de funcionamiento. Determinar también, el par de arranque desarrollado en estas condiciones. 51. Un motor de corriente continua de excitación paralelo, tiene los siguientes valores nominales: 230 V, 1350 RPM, 10 HP, 37,5 A de corriente nominal, y 0,75 A de corriente nominal del circuito de campo. La resistencia del inducido es de 0,35 ohmios, y las pérdidas mecánicas a la velocidad nominal 519 W. Se pide: a) Calcular el par desarrollado, fuerza contra electromotriz y rendimiento en condiciones nominales. b) Calcular el par desarrollado y la velocidad de giro, cuando el motor consume 20 A con una corriente de campo de 0,75 A y está alimentado a 230 V. c) Se equipa al motor con un arrancador, como el mostrado en la figura. Calcular el valor del reóstato para que la corriente de arranque no exceda el 150% del valor nominal a 230 V.

52. Una máquina de corriente continua de excitación independiente, funciona a una velocidad constante de 3000 r.p.m. con una corriente de excitación de excitación de modo que la tensión en bornes a circuito abierto en el inducido es de 125 V. La resistencia del inducido es de 0,02 ohmios. Calcular la corriente del inducido, la potencia de salida, la potencia interna y el par cuando la tensión de alimentación es a) 128 V y b) 124 V. 53. Se observa que la velocidad de la máquina del problema 52 es de 2950 rpm con la corriente de excitación del mismo valor. Para una tensión en bornes de 125 V, calcular la corriente y la potencia interna, y la potencia útil. Determinar si la máquina actúa como generador o como motor.

Máquina de Corriente Continua - 15

54. Consideramos de nuevo la máquina de corriente continua del problema 52 con la corriente de excitación constante e igual al valor que produciría una tensión en bornes de 125 V a una velocidad de 3000 rpm. Se observa que la máquina funciona como motor con una tensión de alimentación de 123 V y con una potencia interna de 21,9 kW. Calcular la velocidad del motor. 55. Un motor de corriente continua de excitación derivación de 100 HP (1HP=746W) y 250 V tiene las curvas de magnetización (incluyendo los efectos de la reacción de inducido) mostrada en la siguiente figura.

Curvas de magnetización de un motor de DC de 250 V y 1200 rpm. Se muestran también las líneas de resistencia de campo.

La resistencia del circuito del inducido es de 0,025 ohmios, incluyendo las escobillas. Las pérdidas mecánicas por rotación, en la situación de vacío, son de 2000 W y las pérdidas por carga parásita son iguales al 1% del rendimiento. El reóstato de campo se ajusta para una velocidad sin carga de 1000 rpm. a) Como ejemplo de los puntos de cálculo en la curva característica mecánica, determine la velocidad en rpm, la potencia de salida y útil, y el rendimiento correspondientes a una corriente del inducido de 400 A. b) Debido a que la característica velocidad-carga observada en el anterior apartado se considera no útil, es necesario agregar un devanado estabilizador que consiste en 1-1/2 vueltas en serie acumulativas por polo. Se supone que la resistencia de este devanado es insignificante. Existen

Máquina de Corriente Continua - 16

1000 vueltas por polo en el devanado de campo en derivación. Calcular la velocidad correspondiente a una corriente del inducido de 400 A. 56. Una dinamo con excitación derivación alimenta a una bombilla de 30 W a 24 voltios. Sabiendo que la resistencia del inducido es de 0,2 ohmios y la del devanado de excitación de 10 ohmios, se pide: a) Calcular el valor de la impedancia de la bombilla. b) Calcular la potencia mecánica que absorbe la dinamo para suministrar la potencia necesaria a la tensión indicada, sabiendo que las pérdidas mecánicas por rozamiento y ventilación son 3 W. c) Calcular el par de accionamiento de la dínamo si su velocidad de giro es 300 rpm. d) En un determinado instante se conectan 2 bombillas en bornes de la dinamo y se mantiene constante la potencia interna de la máquina, calcular el valor que debería tener ahora el bobinado de excitación para seguir manteniendo la tensión de alimentación de las dos bombillas a 24 V. 57. Una máquina de corriente continua tiene las siguientes características: Excitación Serie; Resistencia del devanado de campo: 0,2 ohmios; Resistencia del inducido: 0,4 ohmios; Pérdidas mecánicas despreciables; Posee devanado de compensación; Caída de tensión en las escobillas despreciable; Núcleo magnético no saturado. Se utiliza para accionar una carga que ejerce un par resistente constante e igual a 500 Nm. Si la tensión de alimentación de la máquina es 220 V y la tensión inducida en vacío es de 210 V se pide: a) Calcular la velocidad de giro de las dos máquinas y la potencia que consume el motor de corriente continua. b) Se introduce un reóstato de campo, de valor 0,01 ohmios. Valorar y calcular que ocurre con el motor. ¿Qué ocurre si se puentea el bobinado de excitación en un motor de excitación serie? ¿Qué potencia consume la máquina? 58. Un motor de corriente continua tiene las siguientes características: Excitación Derivación; Resistencia del inducido: 0,4 ohmios; Resistencia del devanado de excitación: 80 ohmios; Posee devanado de compensación; La caída de tensión en las escobillas es despreciable; El núcleo magnético no está saturado; Pérdidas mecánicas despreciables. El motor se emplea para accionar una carga que ofrece un par resistente constante e igual a 500 Nm. Si la tensión de alimentación es 220 V y la tensión inducida en vacío es de 210 V, se pide: a) Calcular la velocidad de giro y la potencia consumida por el motor. b) Deducir y analizar que ocurre en el comportamiento del accionamiento cuando se introduce un reóstato de campo de valor 10 ohmios. Calcular la potencia que consume el motor en estas condiciones. 59. En una instalación industrial se emplea una dinamo para alimentar un motor de corriente continua. Ambas máquinas tienen las siguientes características: Dinamo: Excitación en derivación; Tensión nominal: 230 V; Resistencia del inducido: 0,2 ohmios; Resistencia del inductor: 70 ohmios.

Máquina de Corriente Continua - 17

Motor: Excitación serie; Tensión nominal 230 V; Resistencia del inducido: 0,2 ohmios; Resistencia del inductor: 0,5 ohmios. a) Si la tensión inducida en vacío en el dinamo es de 245 V, calcular la tensión de alimentación del motor. b) En las condiciones del apartado a), el motor está accionando una carga que ofrece un par resistente constante de 250 Nm. Calcular la velocidad de giro del motor. c) En las condiciones de los apartados anteriores, calcular la potencia mecánica que consume la dinamo (se considera que en esta máquinas las pérdidas mecánicas son despreciables). d) Se introduce en el motor un reóstato de campo de 3 ohmios y la dinamo se ajusta para que continúe dando 230 V de salida. Calcular la nueva velocidad de giro del motor.

Máquina de Corriente Continua - 18

MÁQUINA DE CORRIENTE CONTINUA Problemas resueltos P R O B L E M A 1

U

n motor shunt de corriente continua de 30 CV se conecta a una línea de 230 V para accionar una bomba. Con dicha bomba conectada, consume una corriente de línea de 83,5 A, y gira a una velocidad de 1200 r.p.m. Si se quiere que el motor gire en vacío a la misma velocidad, es necesario que la tensión de alimentación se reduzca a 216 V, siendo el consumo de 6,5 A. Los datos del motor son los siguientes: Resistencia del devanado de inducido, sin incluir las escobillas: 0,15 Ω. Resistencia del devanado de excitación: 174 Ω. Caída de tensión total en las escobillas, independiente de la carga: 2 V. Las pérdidas en el hierro se desprecian. Se pide: A. La potencia, en CV, suministrada por el motor a la bomba. B. El rendimiento del motor con la bomba conectada, especificando cada una de las pérdidas que se producen.

Máquina de Corriente Continua - 19

Solución

Hipótesis

Antes de resolver el problema es necesario realizar una serie de simplificaciones e hipótesis sobre el funcionamiento de la máquina. Primero se va a considerar que la máquina no trabaja saturada. Por otro lado, no se aporta en el enunciado ninguna información sobre si hay que considerar la reacción inducido. Por lo tanto, también se considera que es despreciable. El enunciado del problema indica que se desprecien las pérdidas en el hierro. El otro tipo de pérdidas que hay que considerar son las mecánicas. En principio, no hay ningún indicio que permite poder despreciarlas.

Apartado A

En este apartado se pide la potencia útil del motor cuando está accionando la bomba. En esta situación de carga del motor se conocen los siguientes datos: U = 230 V I = 83,5 A n = 1200 r. p.m.

El circuito eléctrico equivalente del motor shunt, con el que se va a trabajar, es el siguiente:

Utilizando las leyes de Kirchoff sobre el circuito de la figura, es posible calcular la corriente del inducido, la corriente de excitación y la fuerza electromotriz inducida:

Máquina de Corriente Continua - 20

U = Re ⋅ I e Ie =

U = 1,32 A Re

I i = I − I e = 83,5 − 1,32 = 82,18 A U = E + Ri ⋅ I i + 2 ⋅ U E E = U − Ri ⋅ I i − 2 ⋅ U E = 215, 67 V Para determinar la potencia útil del motor es necesario realizar un balance de potencias al mismo. La potencia consumida se emplea en transmitir una potencia mecánica útil a la bomba, y en vencer las pérdidas: pérdidas por efecto Joule en el inducido y en el devanado de campo, pérdidas en las escobillas y pérdidas mecánicas. Las pérdidas en el hierro no se incluyen porque se ha considerado que son despreciables. Con los datos disponibles se pueden calcular las siguientes potencias:

•

Potencia consumida por el motor:

Pab = U ⋅ I = 230 ⋅ 83,5 = 19205 W •

Potencia de pérdidas en las escobillas:

Pesc = U e ⋅ I i = 2 ⋅ 82,18 = 164,36 W •

Potencia de pérdidas en el devanado de campo: Pexc = Re ⋅ I e2 = 174 ⋅1,322 = 304, 02 W

•

Potencia de pérdidas por efecto Joule en el devanado del inducido:

Pcu ,i = Ri ⋅ I i2 = 0,15 ⋅ 82,182 = 1013 W

Las pérdidas mecánicas en principio son desconocidas. Además no se conoce si son constantes o variables con la velocidad. No obstante, en el enunciado se proporcionan los datos de funcionamiento del motor en vacío. En esta situación el motor gira a la misma velocidad, 1200 r.p.m., que en la situación de carga. Por lo tanto, aunque las pérdidas mecánicas sean dependientes de la velocidad, van a ser iguales en las dos situaciones de funcionamiento del motor presentadas en el enunciado. Para determinar estas pérdidas es necesario efectuar un balance de potencias al motor funcionando en vacío. En esta situación, la potencia útil es nula. La potencia que consume el motor se emplea totalmente en compensar las pérdidas que se producen en el motor. Primero, con la ayuda del circuito eléctrico equivalente, es necesario determinar las siguientes magnitudes: corriente del inducido, corriente de excitación y la fuerza electromotriz inducida.

Máquina de Corriente Continua - 21

U = Re ⋅ I e Ie =

U = 1, 24 A Re

I i = I − I e = 6,5 − 1, 24 = 5, 26 A U = E + Ri ⋅ I i + 2 ⋅ U E E = U − Ri ⋅ I i − 2 ⋅ U E = 213, 21 V Con los datos anteriores se pueden calcular las siguientes potencias:

•

Potencia consumida por el motor:

Pab = U ⋅ I = 216 ⋅ 6,5 = 1404 W •

Potencia de pérdidas en las escobillas:

Pesc = U e ⋅ I i = 2 ⋅ 5, 26 = 10,52 W •

Potencia de pérdidas en el devanado de campo: Pexc = Re ⋅ I e2 = 174 ⋅1, 242 = 268,14 W

•

Potencia de pérdidas por efecto Joule en el devanado del inducido:

Pcu ,i = Ri ⋅ I i2 = 0,15 ⋅ 5, 262 = 4,15 W Entonces, las pérdidas mecánicas se pueden calcular de la siguiente forma:

Pab = Pmec + Pesc + Pexc + Pcu ,i Pmec = Pab − ( Pesc + Pexc + Pcu ,i ) = 1121, 20 W Se puede comprobar que las pérdidas mecánicas son iguales a la potencia mecánica interna desarrollada por el motor en vacío. Ya es posible determinar la potencia útil del motor funcionando en carga: Pab = Pu + Pmec + Pcu ,i + Pesc + Pexc Pu = Pab − ( Pmec + Pcu ,i + Pesc + Pexc ) Pu = 16602, 44 W = 22, 26 CV

Apartado B

En el apartado A se han calculado los datos necesarios para responder a este apartado. Por lo tanto no es necesario realizar ninguna operación nueva. El rendimiento será el siguiente:

Máquina de Corriente Continua - 22

η=

Pu 16602, 44 ⋅100 = ⋅100 = 86, 45% 19205 Pab

Las pérdidas del motor cuando está accionando la bomba también se han determinado en el apartado A, y son las siguientes:

•

Potencia de pérdidas en las escobillas:

Pesc = 164,36 W •

Potencia de pérdidas en el devanado de campo:

Pexc = 304, 02 W •

Potencia de pérdidas por efecto Joule en el devanado del inducido: Pcu ,i = 1013 W

•

Pérdidas mecánicas:

Pmec = 1121, 20 W

Máquina de Corriente Continua - 23

P R O B L E M A 2

S

e conocen los siguientes datos de un motor de corriente continua: excitación serie, 4 polos, 250 V de tensión nominal de alimentación, el número de conductores en el devanado inducido es de de 496, el devanado de inducido es de tipo ondulado, el flujo por polo es 2,2 10-2 Wb, las pérdidas mecánicas por rozamiento son 810 W, la resistencia del inducido es de 0,19 Ω, y la resistencia de campo es de 0,14 Ω. Cuando el motor consume 50 amperios, calcular: a) El par interno desarrollado por la máquina. b) La velocidad de giro del motor. c) El par útil. d) El rendimiento del motor.

Máquina de Corriente Continua - 24

Solución

Apartado A

Para resolver este apartado solo es necesario emplear la siguiente fórmula, que nos proporciona el par interno desarrollado por la máquina en función de parámetros constructivos del motor, de la corriente del inducido y del flujo por polo:

M i = C2 ⋅ I i ⋅ φˆ C2 es una constante que solo depende de parámetros constructivos de la máquina. Se puede obtener mediante la siguiente expresión:

C2 =

2p N ⋅ 2a 2π

Todas las variables que aparecen en esta expresión son proporcionadas en el enunciado del problema. N es el número de conductores del devanado del inducido: 496. 2p es el número de polos, que en este caso son 4. 2a es el número de ramas en paralelo presentes en el devanado del inducido. Depende del tipo de devanado. En este caso es de tipo ondulado y por tanto 2a toma el valor 2.

4 496 = 157,88 C2 = ⋅ 2 2π El flujo por polo es también un dato del problema. Para que el par venga expresado en Nm es necesario que este flujo venga expresado en Wb. Como en el enunciado el flujo viene en esta unidad no es necesario realizar ningún cambio. Por último queda la corriente de inducido. Conocemos la corriente total que consume el motor. Al ser de excitación serie, la corriente de inducido y la corriente total coinciden.

M i = C2 ⋅ I i ⋅ φˆ M i = 157,88 ⋅ 2, 2 10−2 ⋅ 50 M i = 173, 76 Nm Apartado B

Existen varios procedimientos para determinar la velocidad de giro del motor. Nosotros vamos a determinar primero la fuerza electromotriz inducida, E, y a partir de ella calcularemos n. Nuestra herramienta para resolver el problema es el circuito eléctrico equivalente del motor, dibujado en la siguiente figura.

Máquina de Corriente Continua - 25

Circuito eléctrico equivalente del motor de excitación serie. Se puede obtener la fuerza electromotriz inducida empleando la segunda ley de Kirchoff:

U = E + ( Ri + Res ) ⋅ I E = U − ( Ri + Res ) ⋅ I E = 250 − ( 0,19 + 0,14 ) ⋅ 50 E = 233,5 V La fuerza electromotriz inducida es proporcional al producto de la velocidad de giro del motor por el flujo creado por polo. La constante de proporcionalidad depende de parámetros constructivos del motor. E = C1 ⋅ n ⋅ φˆ C1 =

2p N ⋅ 2a 60

En el sistema de dos ecuaciones anterior, todo es conocido salvo la velocidad de giro, que tendrá el siguiente valor: 2p N E = C1 ⋅ n ⋅ φˆ = ⋅ ⋅ n ⋅ φˆ 2a 60 E 233,5 n= = 2 p N ˆ 4 496 ⋅ ⋅φ ⋅ ⋅ 2, 2 10−2 2a 60 2 60 n = 641,95 rpm

Si la fuerza electromotriz se expresa en voltios y el flujo en Wb, la velocidad de giro se obtiene en rpm.

Máquina de Corriente Continua - 26

Apartado C

El par útil se puede obtener a partir de la potencia útil una vez conocida ya la velocidad de giro del motor. La potencia útil del motor es igual a la potencia interna desarrollada por la máquina menos las pérdidas por rozamiento.

Pu = Pi − Pmec La potencia interna es igual al producto del par interno por la velocidad de giro, expresada en radianes por segundo, o bien, como el producto de la fuerza electromotriz inducida y la corriente del inducido.

Pi = M i ⋅ Ω = E ⋅ I i = 11675 W La potencia y el par útil quedan: Pu = Pi − Pmec = 10865 W Pu = M u ⋅ Ω = M u ⋅ Mu =

Pu

2π ⋅n 60

2π ⋅n 60

= 161, 62 Nm

Apartado D

Para determinar el rendimiento es necesario conocer la potencia eléctrica que está consumiendo el motor.

Pab = U ⋅ I = 250 ⋅ 50 = 12500 W La potencia útil obtenida del motor se calculó en el apartado anterior. Por lo tanto, el rendimiento de la máquina es:

η=

Pu ⋅100 = 86,92% Pab

Máquina de Corriente Continua - 27

P R O B L E M A 3

U

n motor serie de corriente continua de 220 V, absorbe 40 A cuando gira a 700 r.p.m. La resistencia del inducido es de 0,15 Ω, y la resistencia de campo o de excitación es de 0,10 Ω. Se supone que el flujo magnético por polo es directamente proporcional a la corriente de campo. Calcular: 1. La velocidad de giro del motor, 2. La corriente consumida por el motor,

en la siguiente situación de funcionamiento:

•

El par de carga se incrementa un 50% con respecto a la característica de funcionamiento inicial descrita en el enunciado.

•

Se reduce la corriente de excitación conectando una resistencia externa en paralelo con el devanado de excitación. Esta resistencia externa es de igual valor que la resistencia de excitación.

Máquina de Corriente Continua - 28

Solución

Tenemos un motor de corriente continua con excitación serie, y cuyo circuito eléctrico equivalente es el siguiente:

Circuito eléctrico equivalente del motor DC de excitación serie. Conocemos el valor de las dos resistencias que aparecen en el circuito eléctrico anterior: A. Resistencia del inducido: Ri = 0,15 Ω. B. Resistencia de campo o de excitación: Rex = 0,10 Ω. Como corresponde a un motor de este tipo, ambas resistencias son del mismo orden de magnitud. Conocemos el funcionamiento del motor en unas determinadas condiciones de carga. Se modifican algunas condiciones de funcionamiento, y nos piden, la nueva velocidad de giro del motor y la corriente que consume. Las condiciones son las siguientes:

•

El par de carga del motor se incrementa un 50%.

•

La corriente de excitación se ve reducida a la mitad, al colocar en paralelo con el devanado de campo, una resistencia externa de su misma magnitud.

Intentaremos plantear las ecuaciones que definen el comportamiento del motor en las dos situaciones de carga descritas. Pero antes expondremos las hipótesis necesarias para solucionar el problema: A. Despreciamos la caída de tensión en las escobillas. B. Despreciamos las pérdidas mecánicas. El interno de la máquina coincidirá entonces con el par útil o de carga. C. El flujo por polo es proporcional a la corriente de excitación.

Máquina de Corriente Continua - 29

D. Se desprecia la reacción de inducido. En la primera situación de carga conocemos los siguientes datos:

•

Tensión de alimentación: 220 V.

•

Corriente consumida: 40 A.

•

Velocidad de giro: 700 r.p.m.

Con esta información podemos calcular: a) El par desarrollado por el motor. b) La constante de proporcionalidad de la fuerza electromotriz inducida. c) La constante de proporcionalidad del par interno. Si se emplea la segunda ley de Kirchoff en el circuito eléctrico equivalente, se puede obtener el valor de la fuerza electromotriz inducida:

U = E + ( Ri + Re ) ⋅ I E = U − ( Ri + Re ) ⋅ I E = 220 − ( 0,15 + 0,10 ) ⋅ 40 E = 210 V La fuerza electromotriz inducida es proporcional al flujo por polo y a la velocidad de giro:

E = C1 ⋅ n ⋅ Φ Hemos supuesto que el flujo por polo es proporcional a la corriente de excitación. En este caso, al ser excitación tipo serie, la corriente de excitación y la del inducido coinciden. Por lo tanto el flujo es proporcional a la corriente que consume el motor: Φ = K⋅I

Si sustituimos esta expresión en la ecuación de E, obtenemos:

E = C1 ⋅ n ⋅ ( K ⋅ I ) = ( C1 ⋅ K ) ⋅ n ⋅ I = K1 ⋅ n ⋅ I

Máquina de Corriente Continua - 30

Podemos, entonces, obtener el valor de la constante de proporcionalidad K1:

K1 =

E 210 = = 0,0075 n ⋅ I 700 ⋅ 40

También necesitaremos el valor del par desarrollado por la máquina. Como hemos despreciado las pérdidas mecánicas, el par interno y el par de la carga son iguales. Podemos emplear la potencia interna para determinar el par de carga:

Pi = E ⋅ I = M i ⋅ Ω = M i ⋅ Mi =

2π ⋅n 60

E⋅I 210 ⋅ 40 = = 114,59 Nm 2π 2π ⋅n ⋅ 700 60 60

También sabemos que el par interno desarrollado por la máquina es proporcional al flujo por polo y a la corriente que circula por el inducido:

M i = C2 ⋅ Φ ⋅ I i La corriente del inducido es también la corriente consumida por el motor y el flujo proporcional a la corriente de excitación. M i = C2 ⋅ K ⋅ I ⋅ I = K 2 ⋅ I 2

Es posible, también, calcular el valor de la constante de proporcionalidad K2:

K2 =

M i 114,59 = = 0,0716 I2 402

Una vez hechas las modificaciones en el circuito eléctrico del motor, éste queda como se muestra en la siguiente figura:

Máquina de Corriente Continua - 31

Se ha conectado en paralelo con Rex una resistencia de igual valor, cuyo único objetivo es reducir la corriente de excitación, que ya no será igual a la corriente del inducido. En este caso, la corriente de excitación queda reducida a la mitad. Solo la corriente que circula por Rex crea el campo magnético de la máquina. La corriente que circula por la resistencia externa conectada en paralelo, no contribuye a la creación de este campo. El par de carga se incrementa un 50% respecto al que vencía el motor anteriormente. El nuevo par interno que debe desarrollar la máquina es el siguiente:

M i ' = 1,5 ⋅ M i = 1,5 ⋅ 114,59 = 171,89 Nm El par interno es proporcional al flujo por polo y a la corriente del inducido. El flujo por polo es proporcional a la corriente de excitación. Al colocar la resistencia externa hemos reducido a la mitad la corriente de excitación:

I ex =

I 2

Por lo tanto, el flujo por polo ahora es proporcional a I/2. El par interno entonces será:

I I2 M i ' = C2 ⋅ Φ ⋅ I = C2 ⋅ K ⋅ ⋅ I = K 2 ⋅ 2 2

Máquina de Corriente Continua - 32

La constante K2 es la misma que hemos determinado con anterioridad debido a que depende de características constructivas del motor. Como conocemos el nuevo par que vence la máquina, con la expresión anterior es posible calcular la corriente que está consumiendo la máquina:

2 ⋅ Mi ' 2 ⋅ 171,89 = K2 0,0716

I'=

I ' = 69, 28 A

Esta es una de las variables que se pedía en el enunciado del problema. Nos queda determinar la velocidad. Primero vamos a calcular la fuerza electromotriz inducida:

E ' = U − Ri ⋅ I '− Rex ⋅

I' = 206,14 V 2

Como sabemos, E es proporcional al flujo por polo y la velocidad giro de la máquina. El flujo por polo, ahora es proporcional a la corriente del inducido dividida por 2.

E ' = C1 ⋅ n ⋅ Φ = C1 ⋅ n ⋅ K ⋅

I I = K1 ⋅ n ⋅ 2 2

La constate K1 fue determinada con anterioridad. En la fórmula anterior se puede despejar la velocidad y obtener su nuevo valor:

n' =

E' 206,14 = I' 69, 28 K1 ⋅ 0,0075 ⋅ 2 2 n ' = 793, 45 r. p.m.

Otra alternativa consiste en emplear la potencia interna.

Máquina de Corriente Continua - 33

Pi = E '⋅ I ' = M i '⋅ Ω = M i '⋅ n' =

2π ⋅n' 60

E '⋅ I ' 2π M i '⋅ 60

Máquina de Corriente Continua - 34

P R O B L E M A 4

U

n motor derivación consume una corriente de 20 A cuando gira a 1000 r.p.m., siendo la tensión de alimentación de 200 V. La resistencia de inducido es de 0,1 Ω y la resistencia de campo de 100 Ω. Suponer que el flujo es proporcional a la corriente de excitación. Si el par de carga se reduce a la mitad y se ha colocado una resistencia de 0,25 Ω en serie con el circuito de inducido, y otra de 25 Ω en serie con el circuito de campo, calcular: a) La corriente consumida. b) La velocidad de giro del motor.

Máquina de Corriente Continua - 35

Solución

Tenemos un motor de corriente continua con excitación derivación, y cuyo circuito eléctrico equivalente es el siguiente:

Circuito eléctrico equivalente del motor DC de excitación derivación. Conocemos el valor de las dos resistencias que aparecen en el circuito eléctrico anterior:

•

Resistencia del inducido: Ri = 0,1 Ω.

•

Resistencia de campo o de excitación: Rex = 100 Ω.

Se modifica el funcionamiento del motor añadiendo dos resistencias externas:

•

Resistencia en serie con el circuito del inducido y de valor: 0,25 Ω.

•

Resistencia en serie con el devanado de excitación y de valor: 25 Ω.

Circuito eléctrico equivalente del motor DC de excitación derivación con las resistencias externas

Máquina de Corriente Continua - 36

El circuito equivalente del motor cambia después de añadir estas dos nuevas resistencias externas y es el que se muestra en la anterior figura. Antes de comenzar la resolución del problema debemos realizar las siguientes hipótesis:

•

Despreciamos la reacción de inducido.

•

Despreciamos las pérdidas por rozamiento mecánico y la pérdidas en el hierro.

•

Consideramos despreciables la caída de tensión en las escobillas.

El flujo creado por el devanado de excitación es proporcional a la corriente que circula por dicho devanado:

Φ = K ⋅ Ie donde K es una constante de proporcionalidad. Teniendo en cuenta esto, podemos modificar dos de las ecuaciones que definen el comportamiento de una máquina de corriente continua.

E = C1 ⋅ n ⋅ Φ = C1 ⋅ n ⋅ K ⋅ I e = ( C1 ⋅ K ) ⋅ n ⋅ I e = K1 ⋅ n ⋅ I e M i = C2 ⋅ I i ⋅ Φ = C2 ⋅ I i ⋅ K ⋅ I e = ( C2 ⋅ K ) ⋅ I i ⋅ I e = K 2 ⋅ I i ⋅ I e La fuerza electromotriz inducida es proporcional a la velocidad de giro y a la corriente de excitación. El par interno desarrollado por la máquina es directamente proporcional al producto de la corriente de excitación y de la corriente del inducido. Inicialmente el motor está funcionando con las siguientes magnitudes:

•

Corriente consumida. I = 20 A.

•

Velocidad de giro. n = 1000 r.p.m.

•

Tensión de alimentación. U = 200 V.

Con estos datos podemos determinar:

•

Corriente de excitación. U = Re ⋅ I e Ie =

•

U 200 = =2A Re 100

Corriente que circula por el inducido.

I i = I − I e = 20 − 2 = 18 A •

Fuerza electromotriz inducida.

Máquina de Corriente Continua - 37

E = U − Ri ⋅ I i = 200 − 0,1 ⋅18 = 198, 2 V •

Par interno.

2π ⋅n 60 E ⋅ I i 60 ⋅198, 2 ⋅18 Mi = = = 34,1 Nm 2π 2 1000 π ⋅ ⋅n 60 Pi = E ⋅ I i = M i ⋅ Ω = M i ⋅

Posteriormente se modifica el comportamiento de la máquina añadiendo las resistencias externas, pero manteniendo la tensión de alimentación. Además el par resistente se reduce a la mitad. Al despreciar las pérdidas mecánicas, el par resistente, que es el par útil que tiene que desarrollar el motor, coincide con el par interno. Con estos datos podemos determinar la corriente que circula por el circuito de excitación: Ie2 =

U 200 = = 1, 6 A Re + Rext 2 100 + 25

Anteriormente se ha determinado el par interno que desarrollaba el motor. El nuevo par interno es justamente la mitad, y esto nos permite calcular la nueva corriente que circula por el inducido.

Mi 2 K ⋅I ⋅I K 2 ⋅ Ii 2 ⋅ Ie2 = 2 i e 2 I ⋅I 18 ⋅ 2 Ii 2 = i e = = 11, 25 A 2 ⋅ I e 2 2 ⋅1, 6 M i2 =

La corriente que consume el motor en la segunda situación de funcionamiento será:

I 2 = I i 2 + I e 2 = 11, 25 + 1, 6 = 12,85 A

Para determinar la velocidad vamos a emplear la fuerza electromotriz inducida. En la nueva situación de funcionamiento tiene el siguiente valor:

Máquina de Corriente Continua - 38

E2 = U − ( Ri + R ext1 ) ⋅ I 2 = 200 − ( 0,1 + 0, 25) ⋅11, 25 = 196,1 V La fuerza electromotriz inducida es proporcional a la velocidad de giro y a la corriente de excitación:

E = K1 ⋅ n ⋅ I e E2 = K1 ⋅ n2 ⋅ I e 2 En las dos ecuaciones anteriores, la única incógnita es la velocidad de giro n2. La constante de proporcionalidad K1 tampoco es conocida pero si dividimos las dos expresiones queda eliminada. n ⋅ Ie E = E2 n2 ⋅ I e 2 n2 = n2 =

n ⋅ I e E2 ⋅ Ie2 E

1000 ⋅ 2 196,1 ⋅ 1, 6 198, 2

n2 = 1236,52 r. p.m.

Máquina de Corriente Continua - 39

P R O B L E M A 5

U

n motor de excitación derivación se alimenta a 110 V de una red de continua, de la que absorbe 11 kW. La resistencia del devanado del inducido es de 0,06 Ω, y la del devanado de excitación derivación de 110 Ω. Sin variar la potencia consumida

por el motor, se reduce su tensión de alimentación a 90 V. Calcular la relación entre las velocidades en ambas condiciones de carga. Suponer que la máquina posee devanado de compensación, que es despreciable la caída de tensión en las escobillas y que el núcleo magnético no está saturado.

Máquina de Corriente Continua - 40

Solución

El circuito eléctrico equivalente del motor es el siguiente:

Circuito eléctrico equivalente del motor DC de excitación derivación. Conocemos el valor de las dos resistencias que aparecen en el circuito eléctrico anterior:

•

Resistencia del inducido: Ri = 0,06 Ω.

•

Resistencia de campo o de excitación: Rex = 110 Ω.

Se conocen dos condiciones de funcionamiento del motor, caracterizadas por los siguientes datos: Caso 1

•

Tensión de alimentación: 110 V.

•

Potencia consumida por el motor: 11 kW.

Caso 2

•

Tensión de alimentación: 90 V.

•

Potencia consumida por el motor: 11 kW.

Se nos pide la relación entre las velocidades de giro del motor en los dos casos de funcionamiento. La fuerza electromotriz inducida es directamente proporcional a la velocidad de giro del rotor. Además en este caso, la máquina no está saturada, por lo que el flujo magnético será proporcional a la corriente de excitación. Entonces, vemos que la fuerza electromotriz inducida depende de las siguientes variables:

Máquina de Corriente Continua - 41

E = c1 ⋅ n ⋅ φ ; φ = K ⋅ I exc ⇒ E = ( c1 ⋅ K ) ⋅ n ⋅ I exc Si determinamos el valor de la fuerza electromotriz inducida E, y de la corriente de excitación Iexc en los dos casos de funcionamiento, podremos calcular la relación que nos piden. Caso 1 A partir de la tensión de alimentación y de la potencia consumida, podemos obtener el valor de la corriente total del motor: P = U1 I1 I1 =

P 11000 W = = 100 A 110 V U1

La corriente de excitación será la siguiente:

U1 = Rexc I exc ,1 I exc ,1 =

U1 110 V = =1 A Rexc 110 Ω

La corriente que circula por el inducido entonces es:

I1 = I i ,1 + I exc ,1 I i ,1 = I1 − I exc ,1 = 100 − 1 = 99 A La fuerza electromotriz inducida se obtiene de la siguiente manera:

U1 = E1 + Ri I i ,1 E1 = U1 − Ri I i ,1 = 110 − 0, 06 ⋅ 99 = 104, 06 V Caso 2 Para obtener E2 e Iexc,2 hay que realizar las mismas operaciones que en el caso 1. P = U 2 I2 I2 =

P 11000 W = = 122, 22 A U2 90 V

Máquina de Corriente Continua - 42

U 2 = Rexc I exc ,2 I exc ,2 =

U2 90 V = = 0,82 A Rexc 110 Ω I 2 = I i ,2 + I exc ,2

I i ,2 = I 2 − I exc ,2 = 122, 22 − 0,82 = 121, 4 A U 2 = E2 + Ri I i ,2 E2 = U 2 − Ri I i ,2 = 90 − 0, 06 ⋅121, 4 = 82, 72 V Para obtener la relación entre las velocidades, comparamos las dos fuerzas electromotrices.

E1 = ( c1 K ) n1 I exc ,1 ⎫⎪ E1 ( c1 K ) n1 I exc ,1 n1 I exc ,1 = = ⎬⇒ E2 = ( c2 K ) n2 I exc ,2 ⎪⎭ E2 ( c2 K ) n2 I exc ,2 n2 I exc ,2 n2 E2 I exc ,1 82, 72 1 = = ≈ 0,97 n1 E1 I exc ,2 104, 06 0,82 Por lo tanto vemos, que en el caso 2 la velocidad de giro del motor se ha reducido con respecto a la que tenía el motor en el caso 1.

Máquina de Corriente Continua - 43

P R O B L E M A 6

U

n motor shunt de corriente continua de 10 CV, y 200 V tiene un rendimiento a plena carga del 80 % y las resistencias de los circuitos inducido y excitación son de 0,2 y 125 Ω respectivamente. Se pide:

a) La relación entre las velocidades del motor a plena carga y cuando se añade una resistencia de 0,8 Ω en serie con el inducido, permaneciendo constante el par electromagnético y la resistencia del devanado de excitación. b) La potencia consumida en vacío.

Máquina de Corriente Continua - 44

Solución

a) El circuito eléctrico equivalente del motor es el mostrado en la siguiente figura. Posteriormente se modifica el comportamiento de la máquina añadiendo una resistencia externa en serie con el devanado del inducido.

Cuando el motor funciona a plena carga, entrega a la máquina accionada una potencia de 10 CV (potencia útil), siendo su rendimiento del 80%. Con esta información se puede obtener la potencia que consume el motor a plena carga.

η pc = 0,8 = Pab =

Pnom

η pc

=

Pu Pnom = Pab Pab

10 CV = 12,5 CV = 9321, 25 W 0,8

Se supone que el motor está alimentado a su tensión nominal, por lo que la corriente consumida por el motor a plena carga será: Pab = U ⋅ I pc ,1 I pc ,1 =

Pab 9321,84 = = 46, 61 A U 200

La corriente de excitación se puede calcular de la siguiente forma: U = Rexc I exc I exc =

200 U = = 1, 6 A Rexc 125

La corriente que circula por el devanado del inducido es:

Máquina de Corriente Continua - 45

I pc ,1 = I i ,1 + I exc I i ,1 = I pc ,1 − I exc = 46, 61 − 1, 6 I i ,1 = 45, 01 A La fuerza electromotriz inducida es la siguiente:

U = E1 + Ri I i ,1 E1 = U − Ri I i ,1 = 200 − 0, 2 ⋅ 45, 01 E1 = 191 V La potencia interna desarrollada por el motor es: Pi ,1 = E1 ⋅ I i ,1 = 191 ⋅ 45, 01 = 8596,91 W

A continuación analizamos la segunda configuración de funcionamiento del motor: se añada en serie con el inducido una resistencia de valor 0,8 Ω, permaneciendo constante el par electromagnético y la resistencia del devanado de excitación. Se supone que la tensión de alimentación del motor sigue siendo la misma que antes, y por lo tanto la corriente de excitación de la máquina no ha cambiado. Es decir, el flujo magnético creado en la máquina por los polos de excitación es el mismo en ambas situaciones de funcionamiento. Esto es cierto si se considera despreciable la reacción de inducido. Por lo tanto, se puede aprovechar que el flujo magnético no cambia, y tampoco el par electromagnético, para calcular la corriente que circula por el inducido de la siguiente forma:

M i = C2 ⋅ I i ⋅ φ El par desarrollado por la máquina es proporcional a la corriente del inducido y al flujo magnético. Este par se mantiene constante, y el flujo también, por lo tanto, la corriente del inducido no cambia. M i ,1 = M i ,2 C2 ⋅ I i ,1 ⋅ φ1 = C2 ⋅ I i ,2 ⋅ φ2

φ1 = φ2 ⇒ I i ,2 = I i ,1 = 45, 01 A Como la corriente de excitación se mantiene, se puede calcular la corriente total que consume el motor y la nueva fuerza electromotriz inducida cuando se añade la resistencia en serie: I 2 = I i ,2 + I exc = 46, 6 A U = E2 + ( Ri + Rexterna ) ⋅ I i , 2 E2 = U − ( Ri + Rexterna ) ⋅ I i ,2 E2 = 200 − ( 0, 2 + 0,8 ) ⋅ 45, 01 E2 = 155 V

Máquina de Corriente Continua - 46

Para encontrar la relación entre las velocidades de giro del motor, se puede aprovechar la siguiente relación en las dos situaciones de carga: E = C1 ⋅ n ⋅ φ E2 n2 = E1 n1 n2 155 = = 0,8115 n1 191

b) En el segundo apartado se pide la potencia consumida por el motor en vacío. En esta situación de funcionamiento del motor, la potencia útil es nula, pero se desarrolla una potencia interna para compensar las pérdidas de origen mecánico. Estas pérdidas mecánicas pueden calcularse a partir de los datos de funcionamiento a plena carga. Se conoce la potencia útil y la potencia interna. La diferencia entre ambas nos dará este dato: Pmec = Pi , pc − Pu , pc = 8596,14 − 10736 = 1236,1 W

Entonces, la potencia interna del motor en vacío son las pérdidas mecánicas. Pi ,0 = Pmec = E0 ⋅ I i ,0 = 1236,1 W

Tenemos planteada una ecuación con dos incógnitas: la fuerza electromotriz inducida en vacío, y la corriente del inducido en vacío. Con la ecuación de la caída de tensión en el inducido tendríamos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

U = E0 + Ri ⋅ I i ,0 200 = E0 + 0, 2 ⋅ I i ,0 Al resolver este sistema, se obtienen las siguientes soluciones:

⎧993,8 A I i ,0 = ⎨ ⎩ 6, 22 A Claramente la primera de las soluciones no es factible, y sólo tiene significado físico la segunda. La corriente de excitación sigue siendo invariable, y por lo tanto, la corriente consumida por el motor en vacío es: I 0 = I i ,0 + I exc = 6, 22 + 1, 6 = 7,82 A

La potencia que consume el motor es: Pabs ,0 = U ⋅ I 0 = 200 ⋅ 7,82 = 1564 W

Máquina de Corriente Continua - 47

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Soluciones Problemas seleccionados

1. a) 1173 r.p.m.; b) 1144 r.p.m.; c) 1115 r.p.m. 3. a) n = 1172,64 r.p.m.; b) n = 1143,84 r.p.m.; c) n = 1115,04 r.p.m. 4. η = 82,25% 8. a) n = 265,26 r.p.m.; b) U1 = 342,74 V, U2 = 407,27 V 10. a) n0 = 1257,69 r.p.m.; b) RSERIE = 1 Ω 11. 0,043 Wb/polo 12. a) I’ = 2I; b) I’ = I; c) I’ = I; d) I’ = I/2 13. n = 993,70 r.p.m. 14. a) E = 113,75 V; b) Mi = 28,26 Nm 15. Rad = 123,64 Ω 16. Pu = 5722,75 W; η = 86,7 % 17. Rad = 6 Ω.; n = 770,83 r.p.m. 18. a) RREOSTATO = 10 Ω; b) U = 93,75 V 19. a) R = 23,28 Ω; b) R = 5,98 Ω. 20. a) n = 803 r.p.m.; b) 1; c) 5358,24 W, 31,83%; d) 96,18%, 64,35% 21. a) Máquina A: motor, Máquina B: generador; b) 1410,72 W; c) No 23. Mi = 14,32(U – 0,15n) 25. MMAX = 11,79 Nm; nMAX = 0 r.p.m. 26. ηMOTOR = 91,39%; ηGENERADOR = 93,01% 38. a) Umin = 45,8 V; b) Rd = 0,224 Ω; c) Tmi = -1611 Nm. 39. a) Ii = 88,2 A; η = 85,14% 40. a) Pu = 16600 W; b) η = 86,44%; c) Marr = 139,4 Nm; d) Radicional = 2,62 Ω 42. 879 r.p.m

Bibliografía recomendada Guillermo Ortega, Milagros Gómez y Alfonso Bachiller. Problemas resueltos de Máquinas Eléctricas. Thomson. Javier Sanz Feito. Máquinas Eléctricas. Prentice Hall, 2002. Jesús Fraile Mora. Máquinas Eléctricas. McGraw-Hill, 2003, Quinta Edición. Bhag S. Guru y Hüseyin R. Hiziroglu. Máquinas eléctricas y transformadores. Oxford University Press, 2002, Tercera edición. Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Ejercicios resueltos de Tecnología Eléctrica. CEYSA. Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Tecnología Eléctrica. CEYSA. Sthepen J. Chapman. Electric machinery fundamentals. McGraw-Hill, 2004, Fourth Edition. A. E. Fitzgerlad, Charles Kingsley Jr., y Stephen D. Umans. Máquinas eléctricas. McGraw-Hill, 2004, Sexta Edición. Jim Cathey. Electric machines: Analysis and design applying Matlab. McGraw-Hill, 2000. Vlado Ostovic. Computer-aided analysis of electric machines: A Mathematica approach. Prentice Hall, 1994. William H. Yeadon y Alan Yeadon. Handbook of Small Electric Motors. McGraw-Hill, 2001. Mario Ortiz, Sergio Valero y Carolina Senabre. Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas. ECU, 2009.