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Derivada 1.

Pendiente de la recta tangente a una curva

1.1.

Definiciones b´ asicas

Dada una curva que es la gr´afica de una funci´on y = f (x) y sea P un punto sobre la curva. La pendiente de la recta tangente a la curva en P es el l´ımite de las pendientes de las rectas que pasan por P y otro punto Q sobre la curva, cuando Q se acerca a P . y 6recta tangente  

Q1  Q

q 2   q       

......................................................... .......... .............. ......... .......... ........ ......... ....... ........ . . . . . . ....... .... . . . ....... . . . .... ...... . . . . . ...... .... . . . ..... . .... . .... . . . .... ... . . .... ... . . .... .. . .... . . .. .... . . . .... .. . . . .... .. . . . . .. . . . ... . . . . . . .... ... ... ... ... . . . ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... ...

P q        

-

x

Ejemplo: Sea y = f (x) = 31 x2 . Queremos determinar la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 31 ). En general, la abscisa de un punto cercano a (1, 13 ) se puede escribir como 1+h, donde h es alg´ un n´ umero peque˜ no, positivo o negativo, pero h 6= 0 y f (1 + h) = 13 (1 + h)2 = 1 (1 + 2h + h2 ), entonces el punto (1 + h, 13 (1 + h)2 ) est´a sobre la curva. 3 y 6 ... . ... ... ... .. ... .. . . ... ... ... ... ... ... .. .... ... . . .... .... .... .... .... .... ... ... ... . . . ... . .... ... .... .... .... .... .... .... . . .... . .. .... .... .... .... .... ... .... ... . . ...... . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... 1 ....... ...... ....... ....... . . . ......... . . . 3................ .......... ............... ............................................

q (1 + h, 1 (1 + h)2 ) 3

si h > 0

q (1 + h, 31 (1 + h)2 ) si h < 0

(1, )q

-

x

Si h > 0, entonces 1 + h est´a a la derecha de 1. Si h < 0, entonces 1 + h est´a a la izquierda de 1. En cualquiera de los dos casos, la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos es: 1 1 (1 + 2h + h2 ) − 31 (2h + h2 ) 1 3 3 = = (2 + h) (1 + h) − 1 h 3

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A medida que el n´ umero h tiende a cero, el punto (1 + h, 31 (1 + 2h + h2 )) se acerca 1 al punto (1, 3 ). Cuando h tiende a cero, la pendiente de la recta tangente a la curva en (1, 13 ) tiende a 32 .

1.2.

Cociente de Newton

Dada una funci´on f (x), su cociente de Newton es:

f (x + h) − f (x) h

Este cociente es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y (x + h, f (x + h)) 6

f (x + h)

f (x)

     q  

................................................. ........ ........... ........ ....... ....... ....... . . . . . . ...... ..... . ...... . . . .... ... . . . .... .. . . . .... ... . .... . .... ... . . . .... . . . .... ... . . .... .. . ... . ... ... . . ... ... ... . ... .. . ... .. . ... .. . ... .. . ... .. ... . ... .. . ... .. . ... .. . .. .. . .. . .. . .. . ... ... ... ..

   

 q 

 

x

x+h

-

En el caso del ejemplo anterior el cociente de Newton en el punto (1, 31 ) es: 1 (1 3

+ h)2 − h

1 3

1 = (2 + h) 3

El cociente de Newton en un punto cualquiera (x, f (x)) es 1 (x 3

2.

1 + h)2 − 13 x2 h(2x + h) 1 = 3 = (2x + h) h h 3

Derivada de una funci´ on

Si el cociente de Newton tiende a un l´ımite cuando h tiende a 0, entonces se define la derivada de f en x como este l´ımite, esto es: derivada de f en x = l´ım

h→0

Notaci´on: f 0 (x) =

f (x + h) − f (x) h

f (x + h) − f (x) df = l´ım dx h→0 h

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2.1.

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Derivabilidad

Una funci´on f es se dice derivable en c si existe f 0 (c). Una funci´on f es se dice derivable en un intervalo abierto (a, b) o´ (a, +∞) o´ (−∞, a) ´o (−∞, +∞) si es derivable en todos los puntos del intervalo. Ejemplos: x si x ≥ 0 es derivable −x si x < 0 u(x) (funci´on valor absoluto) tiene por dominio a todos los n´ umeros reales. Con respecto a su derivada: para valores de x en (0, +∞) la derivada existe y es u0 (x) = 1 para valores de x en (−∞, 0) la derivada existe y es u0 (x) = −1 Pero veamos que no existe la derivada para x = 0: a) Analizar en que puntos la funci´on u(x) = |x| =



|h| − 0 |h| h u(0 + h) − u(0) = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ = 1 h→0 h→0 h→0 h h→0 h h h |h| − 0 |h| −h u(0 + h) − u(0) = l´ım− = l´ım− = l´ım− = −1 l´ım− h→0 h→0 h→0 h→0 h h h h l´ım+

Como los l´ımites para h → 0 por derecha y por izquierda son distintos, entonces u(0 + h) − u(0) no existe l´ım y la funci´on no es derivable en x = 0 h→0 h  1 si x > 0 Luego; la derivada de u(x) es: u0 (x) = −1 si x < 0 6y

u(x) = |x|

@ @ @ @ @ @

-

x

b) La derivada de un funci´on constante es 0. Si f (x) = c donde c es un n´ umero real cualquiera, entonces f (x + h) = c: f (x + h) − f (x) 0−0 f 0 (x) = l´ım = l´ım = l´ım 0 = 0 h→0 h→0 h→0 h h c) Si n ≥ 1 es un n´ umero entero. La derivada de la funci´on f (x) = xn es f 0 (x) = nxn−1 . f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h)(x + h) · · · (x + h), donde el factor (x + h) aparece n veces. Si desarrollamos el producto usando la propiedad distributiva, observamos que aparece el t´ermino xn y tambi´en, si tomamos x de todos los factores excepto de uno obtenemos hxn−1 repetido n veces, esto da un t´ermino nxn−1 h. En los restantes t´erminos aparecer´a h seleccionado de al menos dos factores, luego en todos habr´a potencias de h desde h2 hasta hn . Por lo tanto h2 ser´a factor com´ un

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de todos ellos. f (x + h) = (x + h)n = (x + h)(x + h)(x + h) · · · (x + h) = xn + hnxn−1 + h2 .(t´erminos dependientes de h y de x) = Entonces: xn + hnxn−1 + h2 .(t´erminos dependientes de h y de x) − xn f (x + h) − f (x) = h h hnxn−1 + h2 .(t´erminos dependientes de h y de x) h h(nxn−1 + h.(t´erminos dependientes de h y de x)) = h = nxn−1 + h.(t´erminos dependientes de h y de x) =

Luego: f (x + h) − f (x) l´ım = l´ım (nxn−1 + h.(t´erminos dependientes de h y de x)) h→0 h→0 h f 0 (x) = nxn−1 Por ejemplo: Si f (x) = x6

f 0 (x) = 6x5

d) Si n es un n´ umero racional cualquiera tambi´en vale que si f (x) = xn : f 0 (x) = nxn−1 Por ejemplo: −3 1 f 0 (x) = −3x−4 = 4 La funci´on f (x) es derivable en Si f (x) = 3 = x−3 x x todo su dominio (todos los n´ umeros distintos de cero). √ 1 3 1 Si h(x) = 4 x = x 4 h0 (x) = 14 x− 4 = √ El dominio de h(x) es el 4 4 x3 conjunto [0, +∞). La funci´on h(x) es derivable es el conjunto (0, +∞). 4 1 4 7 4 Si g(x) = √ = x− 3 La funci´on g(x) es g 0 (x) = − x− 3 = − √ 3 3 4 x 3 3 x7 derivable en todo su dominio (todos los n´ umeros distintos de cero). e) Derivadas de las funciones trigonom´etricas (sin demostraci´on): Si S(x) = sen x S 0 (x) = cos x Si C(x) = cos x C 0 (x) = −sen x Las funciones S(x) y C(x) son derivables para todos los n´ umeros reales.

2.2.

Propiedades de la derivada (reglas de derivaci´ on)

1. Sea f una funci´on con derivada f 0 (x) en x. Entonces f es continua en x. 2. La derivada de una constante por una funci´on es la constante por la derivada de la funci´on. (cf )0 (x) = c.f 0 (x)

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3. La derivada de una suma es la suma de las derivadas. (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 4. La derivada de un producto est´a dada por la f´ormula: (f g)0 (x) = f (x).g 0 (x) + f 0 (x).g(x) 5. Sea f (x) y g(x) dos funciones que tiene derivadas f 0 (x) y g 0 (x) respectivamente y tales que g(x) 6= 0. Entonces la derivada del cociente f (x)/g(x) existe y es igual a: g(x)f 0 (x) − f (x)g 0 (x) g(x)2 Ejemplos: √ Dadas las funciones f (x) = x2 , y g(x) = 3 x = x1/3 a) (−3f (x))0 = −3f 0 (x) = −3 2x = −6x 1 2 b) (f (x) + g(x))0 = 2x + 13 x− 3 = 2x + √ 3 3 x2 √ 1 c) (f (x) · g(x))0 = 2x 3 x + x2 √ 3 3 x2 √ 1 2x 3 x − x2 √ 3  f (x) 0 3 x2 √ siempre que x 6= 0 d) = 3 g(x) ( x)2 sen x e) Puesto que tg x = ; su funci´on derivada ser´a: cos x  0 cos2 x + sen2x 1 (sen x)0 cos x − sen x(cos x)0 = = tg x = 2 2 cos x cos x cos2 x 2 1 = t− 5 en el punto de f ) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a u(t) = √ 5 2 t abscisa 2: La pendiente de la recta tangente en t = 2 es la derivada de u(t) en dicho punto. Es decir: 2 7 , luego la pendiente se calcula: u0 (t) = − 52 t− 5 = − √ 5 7 5 t 2 1 1 m = u0 (2) = − √ =− √ La recta tangente tiene pendiente m = − √ y 5 5 5 2 552 5 27 1 pasa por el punto (2, √ ). 5 4 Entonces la ecuaci´on es: 2 1 y− √ =− √ (t − 2) 5 4 552 g) La derivada de la funci´on f (x) =tg x se puede calcular teniendo en cuenta que: senx tg x = , y usando la regla de la derivada de un cociente: x !cos 0 senx (senx)0 · cos x − senx · (cos x)0 cos2 x + sen2 x 1 = = = = (cos x)−2 2 2 2 cos x cos x cos x cos x

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1 h) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a U (t) = en el punto de abscisa sen t π t = 4: cos t (1)0 sen t − (sen t)0 = U 0 (t) = 2 sen t sen2 t √ √ La pendiente de la recta tangente es: m = U 0 ( π4 ) = 22 / 21 = 2 La ecuaci´on de la recta tangente a la curva en t = π4 es: √ 2 π y − √ = 2(t − ) 4 2

2.3.

Raz´ on de cambio

La idea b´asica en el concepto de derivada se encuentra en la idea de raz´on de cambio.

f (x2 )

La pendiente de la recta secante es la raz´on de cambio promedio de y con respecto a x en el cambio en y f (x2 ) − f (x1 ) intervalo [x1 , x2 ] : = cambio en x x2 − x1


recta tangente
recta secante
.................................................... ...p. ..... ... ....  . . . ....  .... .... .
.. .... ..  .... .. .... ..q
. ....  .. ... . ...  ....
.. ...  . 
..... .. . .
....
-

6

f (x1 )

x1

Raz´on de cambio instant´aneo en x1 = pendiente de la recta tangente en x1 f (x2 ) − f (x1 ) f 0 (x1 ) = l´ım x2 →x1 x2 − x1

x2

Raz´on de cambio en F´ısica: Una part´ıcula se mueve a lo largo de cierta recta una distancia que depende del tiempo t. Entonces la distancia s es una funci´on de t, que escribimos s = f (t). Para dos valores del tiempo t1 y t2 , el cociente: f (t1 ) − f (t2 ) t2 − t1 se puede considerar como una rapidez promedio de la part´ıcula. En un tiempo dado t0 es razonable considerar el l´ımite f 0 (t0 ) = l´ım

t→t0

f (t) − f (t0 ) t − t0

como la raz´on de cambio de s respecto a t en el tiempo t0 . Esto no es mas que la derivada f 0 (t), que se llama rapidez (velocidad escalar) y se denota por v(t). Ejemplo: La posici´on de una part´ıcula est´a dada por la ecuaci´on: s = f (t) = t3 − 6t2 + 9t donde t se mide en segundos y s en metros. ¿Cu´al es la velocidad en el instante t? La funci´on velocidad es la derivada de la funci´on posici´on: v(t) = f 0 (t) = 3t2 − 12t + 9 ¿Cu´al es la velocidad a los 2 segundos? esto significa la velocidad inst´antanea cuando t = 2, es decir: v(2) = 3(2)2 −12(2)+9 = −3m/seg.

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¿En que momento la part´ıcula est´a en reposo? La part´ıcula se encuentra en reposo en el tiempo t en que la velocidad es 0 o sea cuando: v(t) = 0 2 3t − 12t + 9 = 3(t2 − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 esto se cumple cuando t = 1 o t = 3. Es decir que la part´ıcula est´a en reposo despu´es de 1 segundos y despu´es de 3 segundos. Ejemplo en Econom´ıa: Supongamos que C(x) es el costo que tiene una empresa para producir x art´ıculos. Si el n´ umero de art´ıculos producidos se incrementa de x1 a x2 , el costo adicional es ∆C = C(x1 ) − C(x2 ) y la raz´on de cambio promedio del costo es: C(x1 ) − C(x2 ) C(x1 + ∆x) ∆C = = ∆x x2 − x1 ∆x Los economistas llaman costo marginal al l´ımite de esta cantidad cuando ∆x → 0, es decir, la raz´on instant´anea de cambio del costo con respecto al n´ umero de art´ıculos producidos: dC ∆C = C 0 (x) = costo marginal = l´ım ∆x→0 ∆x dx A menudo se representa el costo total con un polinomio: C(x) = a + bx + cx2 + dx3 donde a representa el costo de los gastos generales (impuestos, mantenimiento, calefacci´on, etc.) y b podr´ıa representar el costo de las materias primas, c y d podr´ıan representar costos de mano de obra, de horas extras, etc.

2.4.

Ejercicios

1. Dada la funci´on f (x) = 2x2 , a) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (1, f (1)) y Q(1 + h, f (1 + h), (es el cociente de Newton). b) Representar gr´aficamente la funci´on y los puntos P y Q (con h > 0 y con h < 0). c) Tomar el l´ımite cuando h tiende a 0. El valor de ese l´ımite es la pendiente de la recta tengente a la curva en el punto P . 2. Para las funciones: 1 x3 con P (1, 13 ) f (x) = con P ( 12 , 2) g(x) = 3 x repetir los pasos a), b) y c) del ejercicio 1 3. En las funciones siguientes usar las reglas de derivaci´on para hallar: a) las derivadas. b) la pendiente de la recta tangente en el punto cuya abcisa es 2, c) la ecuaci´on de la recta tangente en ese punto.

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a) x2 + 1

b)x3

d) 2x2 − 3x

e) 21 x3 + 2x

g) x2 sen x

h)x cos x

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c)x2 − 5 1 f) x+1 cos x i) 2 − 5 x

4. Usando las reglas de derivaci´on, hallar las derivadas de las funciones siguientes a) h(x) = 2x1/3

b) y(t) = 3t3/4

c) f (x) = 4x−2

d) s(u) = (u3 + u)(u − 1)

e) k(x) = (2x − 5)(3x4 + 5x + 2)

f) G(x) = (2 tg x + 3)(

g) S(v) =

i) f (t) =

2v + 1 v+5

h) U (x) =

x2

1 1 + ) 2 x x

2x + 3x + 1

t−5/4 cos t + t − 1

5. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas siguientes en el punto dado: 1 a) y = 2x3 + 3 en x = b) s = (t − 1)(t − 3)(t − 4) en t = 0 2 √

c) y = sen x(2 cos x + e) y =

2 ) 2

sen x − 1 en x = x2 + 1

π 2

en x =

π 4

d) v =

u2 en u = 2 u3 + 1

f) s =

1 − 5t en t = −1 t

6. Para la funci´on s(y) = sen y, determinar los puntos y en los cuales la derivada s0 (y) = 0 7. Mostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuaci´on: y = x3 − 6x2 + 8x. Hallar el punto de tangencia. 8. Mostrar que la recta y = 9x + 17 es tangente a la curva dada por la ecuaci´on: y = x3 − 3x + 1. Hallar el punto de tangencia. 9. Mostrar que las gr´aficas de las ecuaciones: y = 3x2 y y = 2x3 + 1 tienen la recta tangente en com´ un en el punto (1, 3). Graficar. 10. Mostrar que hay exactamente dos rectas tangentes a la gr´afica de y = (x + 1)2 que pasan por el origen y hallar sus ecuaciones. 11. Una part´ıcula se mueve de modo que en el instante t la distancia recorrida (en metros) est´a dada por s(t) = 2m/seg 2 t2 + 2m/seg t + 1m. a) Representar gr´aficamente s(t). ¿Cu´al es la distancia recorrida cuando t = 3seg?.

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b) Hallar la funci´on velocidad escalar v(t) y representarla gr´aficamente. ¿Cu´al es la rapidez cuando el tiempo (en segundos) es: a) 0 seg.; b) 3 seg.?. ¿En que instante la rapidez es igual a: a) 2 m/seg; b) 6 m/seg?. 12. Una part´ıcula se mueve de modo que en el instante t la distancia (en metros) est´a dada por s(t) = 2m/seg 3 t3 − 2m/seg t. ¿Cu´al es la rapidez cuando el tiempo (en segundos) es: a) 0 seg.; b) 2 seg.; c) 3 seg.?. ¿En que instante la rapidez es igual a: a) 1 m/seg; b) 0 m/seg; c) 4m/seg?. 13. Una part´ıcula se mueve de modo que en el instante t la distancia est´a dada por s(t) = 2m/seg 4 t4 − m/seg 2 t2 ; ¿para que valores de t la rapidez es igual a 0? 14. En Econom´ıa se define la cantidad Q (ofrecida o demandada) como funci´on del precio P , es decir: Q = f (P ). Se llama elasticidad de precios,  al porcentaje de cambio de cantidad que se asocia a un porcentaje de cambio en el precio: =

dQ P dP Q

Dada la funci´on de demanda: Q = 650 − 5P − P 2 , representarla gr´aficamente y hallar la elasticidad de precios de la demanda cuando P = 10 y cuando P = 5. 15. Una compa˜ n´ıa estima que el costo en d´olares de producir x art´ıculos es C(x) = 10000 + 5x + 0, 01x2 . Determinar la funci´on de costo marginal y el costo marginal de producir 500 art´ıculos.