Desarrollo de Teoremas para la Integral de Riemann-Stieltjes y Lebesgue.

Robinson Ernesto Calvo Cano

Director: Leonardo Jiménez Moscovitz Matemático Esp. Informática y Ciencias de la Computación

Fundación Universitaria Konrad Lorenz Facultad de Matemáticas

9 de diciembre de 2007 Resumen En este trabajo se expone el desarrollo detallado de los principales teoremas relacionados con la Integral de Riemann, y los árboles que muestran los caminos necesarios para realizar las demostraciones expuestas. Luego se exponen los principales teoremas relacionados con la integral de Lebesgue, con el objetivo de realizar una comparación entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.

1

Índice Introducción

4

1. Objetivos 1.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5

1.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Preliminares 2.1. Definiciones y Notación Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6

3. Integral de Riemann-Stieltjes 3.1. Propiedades Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Integración por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Reducción a una Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Funciones Escalonadas como Integradores . . . . . . . . . . . . . 3.6. Reducción de una Integral de Riemann-Stieltjes a una Suma Finita 3.7. Fórmula de Sumación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Integradores Monótonos Crecientes. Integrales Superior e Inferior

7 7 11 12 14 16 18 20 21

3.9. Propiedad Aditiva y Lineal de las Integrales Superior e Inferior . 26 3.10. Condición de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.11. Teoremas de Comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.12. Integradores de Variación Acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.13. Condición Suficiente Para la Existencia de Las Integrales de RiemannStieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.14. Condiciones Necesarias para la Existencia de las Integrales de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.15. Teoremas de Valor Medio para las Integrales de Riemann-Stieltjes 36 3.16. La Integral como una Función de Intervalo . . . . . . . . . . . . . 37 4. Integral de Lebesgue 39 4.1. Funciones Escalonadas, Sucesión de Funciones Escalonadas y su Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Funciones Superiores y sus Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.1. Propiedades de la Integral de Funciones Superiores . . . . 44 4.3. La Clase de las Funciones Integrables de Lebesgue . . . . . . . . 46 4.4. Propiedades Generales de la Integral de Lebesgue . . . . . . . . . 47 4.5. Integral de Lebesgue en Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . 52 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.

Teoremas de Levi y Convergencia Dominada . . . . . . . . . . . . Integradores de Lebesgue sobre Intervalos no Acotados . . . . . . Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidad de Funciones Definidas por medio de Integrales de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

52 61 62 63

5. Comparación entre las Integrales de Riemann-Stieltjes y las integrales de Lebesgue 65 5.1. Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6. Conclusiones

76

Introducción El presente trabajo trata fundamental mente sobre los teoremas de la integral de Riemann-Stieltjes desarrollándolos detenida y minuciosamente tratando de dejarlos explicados formalmente, sin dejar huecos en las demostraciones y haciendo los procedimientos que cada uno implica sin saltarse ninguno de los pasos. En las Integrales de Lebesgue se hace una breve explicación de los principales teoremas, casi como aparecen en cualquier libro de análisis matemático. Para posteriormente realizar una comparación entre estos dos tipos de integrales y realizar un diagrama de árbol de las principales definiciones y teoremas contenidas en el trabajo.

4

1. 1.1.

Objetivos Objetivos Generales

El objeto del presente trabajo es presentar la teoría sobre las Integrales de Riemann-Stieltjes y las Integrales de Lebesgue comparándolas y dar las bases para en un futuro ampliar el estudio de estas teorías y dejar un referente para futuras investigaciones sobre las teorías de Integración existentes.

1.2.

Objetivos Específicos

1. Hacer un desarrollo detallado de las integrales de Riemann-Stieltjes, explicando lo mas ampliamente cada uno de los teoremas relevantes para este tipo de integral. 2. Presentar las integrales de Lebesgue, mostrando algunos de sus principales teoremas. 3. Realizar una comparación entre las integrales de Riemann-Stieltjes y las integrales de Lebesgue. 4. Realizar un diagrama de árbol en el cual se mostrara el desarrollo cronológico de las diferentes definiciones y demostraciones, para así poder comprender mejor el desarrollo de las teorías de la Integral de Riemann-Stieltjes y de la Integral de Lebesgue.

5

2.

Preliminares

2.1.

Definiciones y Notación Básica

A lo largo del presente escrito se trabajará con la siguiente notación básica: Definición 2.1 Las definiciones básicas son las siguientes: 1. En general se tendrá que [a, b] representa un intervalo compacto. Si en el contexto se hace referencia a las funciones f, g, .. se considerará que se tratan de funciones reales y acotadas en dicho [a, b]. 2. Una partición P de [a, b] es un conjunto finito de puntos P = {x0, x1, ..., xn } donde a = x0 < x1 < ... < xn = b. 3. Una partición P
de [a, b] es un refinamiento de P si P ⊆ P
. 4. Se tiene que ∆αk = α(xk ) − α(xk−1 ). Se puede entender a ∆αk como la n
variación correspondiente al k−´ esimo subintervalo, resultando ∆αk = k=1

α(b) − α(a).

5. El conjunto de todas las posibles particiones de [a, b] se designara por ℘[a, b]. 6. La norma de una partición P, designada por P  será la longitud del mayor de los subintervalos de P y si P
⊇ P entonces P
 ≤ P . 7. α  en [a, b] significa que α es creciente en [a, b]. Definición 2.2 (Continuidad Uniforme) Sea f : S → T una función de un espacio metrico (S, dS ) en otro espacio métrico (T, dT ) . entonces, se dice que f es uniformente contínua en un subconjunto A de S si verifica, que para cada ε > 0 existe un δ > 0 (que depende exclusivamente de ε) tal que si x ∈ A y p ∈ A entonces dT (f (x) , f (p)) < ε

siempre que ds (x.p) < δ

Teorema 2.1 (Teorema del valor medio generalizado) Sean f y g dos funciones contínuas que poseen derivada (finita o infinita) en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b) y cada una es continua en los puntos externos a y b y no existe ningún punto x del interior del intervalo en el que f(x) y g
(x) sean ambas infinitas. Entonces para algun punto c interior se tiene f
(c) [g (b) − g (a)] = g
(c) [f (b) − f (a)]

6

3.

Integral de Riemann-Stieltjes

Definición 3.1 (Integral de Riemann-Stieltjes) Sea P = {x0, x1, ..., xn } una partición de [a, b] y tk un punto dentro del subintervalo [xk−1 , xk ]. Entonces se puede definir: 1. Una suma de Riemann-Stieltjes de f respecto de α, dada una partición n
P, se define como S(P, f, α) = f (tk )∆αk . k=1

2. La función f es Riemann integrable respecto de α en [a, b], y se escribirá como f ∈ R(α) en [a, b], si existe un número A que satisface que para cada ε > 0 existe una partición Pε de [a, b] tal que para cada refinamiento P mas fino que Pε y cada elección de puntos tk del intervalo [xk−1 , xk ] se tiene que |S(P, f, α) − A| < ε. Cuando este numero A existe es único b b y se representa por medio de a f(x)dα(x) o abreviando a f dα y se le llamará la Integral de Riemann-Stieltjes. En esta expresión, f y α serán integrando e integrador respectivamente. 3. Si α(x) = x, entonces la suma definida en 1 se escribe simplemente como S(P, f) y la función definida en 2 se escribe como f ∈ R en [a, b], la cual es la integral usual de Riemann y que se designa normalmente por b b f(x)dx o a f dx. a 4. El valor numérico de la integral de Riemann-Stieltjes depende solamente de f, α, a, b y en lo absoluto del símbolo x que puede ser remplazado por cualquier otro sin que afecte para nada la integral.

3.1.

Propiedades Lineales

Teorema 3.1 (Propieda Lineal 1) Si f ∈ R(α) y g ∈ R(α) en [a, b], entonces (c1 f + c2 g) ∈ R(α) en [a, b] para cualquier par de constantes c1 y c2 y además se tiene que  b  b  b (c1 f + c2 g)dα = c1 fdα + c2 gdα a

a

a

Demostración. Sea h = c1 f + c2 g. Dada una partición P de [a, b] se puede escribir: S(P, h, α) =

n


h(tk )∆αk = c1

k=1

n


f (tk )∆αk + c2

k=1

= c1 S(P, f, α) + c2 S(P, g, α) 7

n


k=1

g(tk )∆αk

  b   dado ε > 0. Se elige Pε
tal que P ⊇ Pε
implique S(P, f, α) − a f dα < ε y Pε



  b   tal que P ⊇ Pε

implique S(P, g, α) − a gdα < ε. Si se toma Pε = Pε
∪ Pε

, se tiene que P es mas fina que Pε y entonces: |S(P, f, α) + S(P, f, α) − A| ≤ |c1 | ε + |c2 | ε   b b   =⇒ S(P, f, α) + S(P, g, α) − (c1 a f dα + c2 a gdα) ≤ |c1 | ε + |c2 | ε

  b b   =⇒ S(P, h, α) − (c1 a f dα + c2 a gdα) ≤ |c1 | ε + |c2 | ε

  b   pero como S(P, h, α) − a hdα ≤ |c1 | ε + |c2 | ε y por la definición 2 de la

Integral de Riemann-Stieltjes 

a

b

hdα = c1



b

f dα+c2

a



a

b a

hdα es único resulta:

b

gdα ⇐⇒



b

(c1 f+c2 g)dα = c1

a



a

b

fdα+c2



b

gdα

a

Teorema 3.2 (Propiedad Lineal 2) Si f ∈ R(α) y f ∈ R(β) en [a, b], entonces f ∈ R(c1 α + c2 β) en [a, b] para cualquier par de constantes c1 y c2 . Por tanto se tiene que:  b  b  b fd(c1 α + c2 β) = c1 f dα + c2 f dβ a

a

a

Demostración. Sea λ = c1 α + c2 β. Dada una partición P de [a, b] se puede escribir: S(P, f, λ) =

n


f (tk )∆λk = c1

k=1

n


f (tk )∆αk + c2

k=1

= c1 S(P, f, α) + c2 S(P, f, β)

n


f (tk )∆β k

k=1

  b   dado ε > 0. Se elige Pε
tal que P ⊇ Pε
implique S(P, f, α) − a f dα < ε y Pε



  b   tal que P ⊇ Pε

implique S(P, f, β) − a f dβ  < ε. Si se toma Pε = Pε
∪ Pε

, se 8

tiene que para p mas fina que Pε entonces: |S(P, f, α) + S(P, f, β) − A| ≤ |c1 | ε + |c2 | ε   b b   =⇒ S(P, f, α) + S(P, f, β) − (c1 a fdα + c2 a fdβ) ≤ |c1 | ε + |c2 | ε   b b   =⇒ S(P, f, λ) − (c1 a f dα + c2 a f dβ) ≤ |c1 | ε + |c2 | ε

  b   pero como S(P, f, λ) − a f dλ ≤ |c1 | ε + |c2 | ε y por la definición 4 de la

Integral de Riemann-Stieltjes 

b

f dλ = c1

a



a

b

f dα+c2



b

b a

f dλ es único y resulta

f dβ ⇐⇒

a



b

fd(c1 α+c2 β) = c1

a



a

b

fdα+c2



b

fdβ

a

Teorema 3.3 (Propiedad Lineal 3) Si se tiene c ∈ (a, b), se cumple que si b c b existen dos de las integrales a fdα, a fdα o c f dα , entonces la tercera integral existe y además:  b  c  b f dα = fdα + fdα a

a

c

Demostración. Sea P una partición de [a, b] tal que c ∈ P , y sean P
= P ∩ [a, c] y P

= P ∩ [c, b] las particiones correspondientes a [a, c] y [c, b] respectivamente. Las sumas de Riemann-Stieltjes asociadas a estas particiones estan ligadas por la ecuación S(P, f, α) = S(P
, f, α) + S(P

, f, α). c b 1. Se supone la existencia de a fdα y c fdα. Entonces para ε > 0 existe Pε
de [a, c] tal que si P
⊇ Pε
se tiene    c   ε S(P
, f, α) − (1) fdα <  2 a y existe Pε

de [c, b] tal que si P

⊇ Pε

se tiene que    b   ε  

f dα < S(P , f, α) −   2 c

(2)

Si Pε = Pε
∪ Pε

es una partición de [a, b] tal que si P es una partición 9

mas fina que Pε y combinando las ecuaciones 1 y 2 se tiene:    c  b   ε ε   f dα − f dα < + S(P
, f, α) + S(P

, f, α) −   2 2 a c

implica que

   c  b     f dα − fdα < ε S(P, f, α) −   a c

y por la definición 2 de la integral de Riemann-Stieltjes resulta 

c

f dα = a



c

fdα +

a



b

fdα c

b c 2. Se supone la existencia de a f dα y a fdα. Entonces para ε > 0 existe Pε de [a, b] tal que si P ⊇ Pε se tiene    b     fdα < ε (3) S(P, f, α) −   a y existe Pε
de [a, c] tal que si P
⊇ Pε
se tiene la ecuación 1 . Si Pε

= Pε − Pε
una partición de [c, b] tal que P

⊇ Pε

, combinando las dos ecuaciones 1 y 3 se tiene:    b  c   ε  
f dα + f dα < ε − S(P, f, α) − S(P , f, α) −   2 a a

implica que:

   b  c   ε   f dα + f dα < S(P

, f, α) −   2 a a

y por la definición 2 de la integral de Riemann-Stieltjes resulta: 

c

b

fdα =



a

10

b

f dα −



a

c

f dα

b b 3. Se supone la existencia de a f dα y c fdα. Entonces para ε > 0 existe Pε de [a, b] tal que si P ⊇ Pε se tiene la ecuación 3 y existe Pε

de [c, b] tal que si P

⊇ Pε

se tiene la ecuación 2. Si Pε
= Pε − Pε

una partición de [a, c] tal que P
⊇ Pε
, combinando las dos ecuaciones 2 y 3 se tiene    b  b   ε  

fdα < ε − fdα + S(P, f, α) − S(P , f, α) −   2 a c implica que

   b  b   ε   fdα + fdα < S(P
, f, α) −   2 a c

y por la definición 2 de la integral de Riemann-Stieltjes resulta 



c

f dα =

a

a

b

f dα −



b

f dα

c

a b b Definición 3.2 Si a < b, se define b fdα = − a fdα, dado que a f dα exista. a Definición 3.3 La integral a f dα es igual a 0.

3.2.

Integración por Partes

Teorema 3.4 (Integracion por Partes) Si f ∈ R(α) en [a, b], entonces α ∈ R(f) en [a, b] y se tiene que:  a  a f (x)dα(x) + α(x)df(x) = f(b)α(b) − f(a)α(a) b

b

a Demostración. Sea ε > 0 un numero real dado. Como b f dα existe, entonces se tendrá una partición Pε de [a, b] tal que para toda P
⊇ Pε se tiene que    b    
f dα < ε (1) S(P , f, α) −   a a Se considerará una suma de Riemann-Stieltjes arbitraria para la integral b αdf

11

. Luego: S(P, α, f ) = =

n


k=1 n


α(tk )∆f (xk )

(2)

α(tk )f(xk ) −

k=1

n


α(tk )f (xk−1 )

k=1

en donde P es mas fina que Pε . Se hace A = f (b)α(b) − f (a)α(a), pudiendose escribir A=

n


n


f(xk )α(xk ) −

k=1

restando 1 de 3 se tiene:

A − S(P, α, f) =

n


f(xk−1 )α(xk−1 )

f(xk )α(xk ) −

k=1

n


f(xk−1 )α(xk−1 )

k=1

−

n


α(tk )f (xk ) +

k=1

=

n


(3)

k=1

f(xk ) [α(xk ) − α(tk )] +

k=1

n


α(tk )f (xk−1 )

k=1 n


f(xk−1 ) [α(tk ) − α(xk−1 )]

k=1

Si se hace P
= {x0 , t1 , x1 , t2 , x2 , ..., tn , xn } las dos sumas pueden considerarse en una sola de la forma S(P
, f, α), donde P
⊇ P ⊇ Pε . Por lo cual, si se cumple la ecuación 1 se tiene que:    b     f dα < ε A − S(P, α, f) −   a

siempre que P sea mas fina que Pε , asegurando de esta manera la existencia de a b

αdf , la cual es A −

3.3.

b a

fdα.

Cambio de Variable

Teorema 3.5 (Cambio de Variable) Sea f ∈ R(α) en [a, b] y sea g una función continua estrictamente monotona definida en un intervalo S de extremos c y d. Se supone que a = g(c) y b = g(d), y se definen h y β como las funciones compuestas tales que h(x) = f (g(x)) y β(g(x)) si x ∈ S. Entonces h ∈ R(β) en S y se tiene  b  d gdβ f dα = a

c

12

resultando 

g(d)

f (t)dα(t) =

g(c)



d

g(x)dβ(x) c

Demostración. Se supone que g es estrictamente creciente en S (c < d). por lo cual g es inyectiva y posee inversa g −1 contínua y creciente en [a, b]. Por tanto a cada partición P = {y0 , y1 , ..., yn } en [c, d] le corresponde una única partición P
= {x0, x1, ..., xn } en [a, b] y se puede escribir que P
= g(P ) y P = g−1 (P
), teniendo además que un refinamiento en P produce un refinamiento en P
y un refinamiento en P
produce un refinamiento en P.Ahora dado ε > 0, existe una  b   partición Pε
en [a, b] tal que P
mas fina que Pε
implica S(P
, f, α) − a f dα <

ε. Sea P = g −1 (P
) la partición correspondiente, y sea P = {y0 , y1 , ..., yn } en [c, d] mas fina que Pε , la suma de Riemann-Stieltjes correspondiente sería n
S(P, h, β) = h(uk )∆β k , en la que uk ∈ [yk−1 , yk ] y ∆β k = β(yk ) − β(yk−1 ) k=1

haciendo tk = g(uk ) y xk = g(yk ), se tendría que P
= {x0, x1, ..., xn } en [a, b] sería una partición mas fina que Pε resultando S(P, h, β) = = = =

n


k=1 n
k=1 n


k=1 n


h(uk )∆β k h(uk ) [β(yk ) − β(yk−1 )] f(g(uk )) (α [g(yk )] − α [g(yk−1 )]) f(tk ) [α(xk ) − α(xk−1 )]

k=1

= S(P
, f, α)   b   estando tk ∈ [xk−1 , xk ] resultando S(P, h, β) − a fdα < ε de donde se deduce: S(P, h, β) = S(P
, f, α)

13

3.4.

Reducción a una Integral de Riemann

Teorema 3.6 (Reducción a una Integral de Riemann) Sea f ∈ R(α) en [a, b] y supóngase que α posee derivada α
continua en [a, b]. Entonces la integral b Riemann a f(x)α
(x)dx existe y se verifica que: 

b

f(x)dα(x) =

a



b

f (x)α
(x)dx

a

Demostración. Sea g(x) = f (x)α
(x) y considérese la suma de Riemann: S(P, g) = =

n


k=1 n


g(tk )∆xk

(1)

f(tk )α
(tk )∆xk

k=1

La misma partición P y la misma elección de puntos tk puede utilizarse para formar la suma de Riemann-Stieltjes: S(P, f, α) =

n


f (tk )∆αk

(2)

k=1

Aplicando el "teorema del valor medio", se puede escribir ∆αk

= α(xk ) − α(xk−1 ) = α
(vk )(xk − xk−1 ) = α
(vk )∆xk

con vk ∈ (xk−1 , xk ), de donde restando 1 de 2 se tiene:

S(P, f, α) − S(P, g) = =

n


k=1 n


f (tk )∆αk −

=

f(tk )α
(tk )∆xk

3

k=1

f (tk )α
(vk )∆xk −

k=1

n


n


n


f (tk )α
(tk )∆xk

k=1

f (tk ) [α
(vk ) − α
(tk )] ∆xk

k=1

devido a que f es acotada, se tiene que |f (x)| < M para todo x de [a, b] donde 14

M > 0. Por otra parte la continuidad de α
en [a, b] implica continuidad uniforme en [a, b]. Por lo cual dado ε > 0, existe δ > 0, que depende únicamente ε de ε, tal que o ≤ |x − y| < δ implica |α
(x) − α
(y)| < . Tomando 2M(b − a) una partición Pε
de norma Pε
 < δ, entonces para P una partición mas fina ε que Pε
se tiene que |α
(vk ) − α
(tk )| < , por lo cual el valor absoluto 2M (b − a) de 1 sería:  n  
  

|S(P, f, α) − S(P, g)| =  f (tk ) [α (vk ) − α (tk )] ∆xk    k=1 ε · (b − a) < M· 2M(b − a) ε = 2 resumiendo: |S(P, f, α) − S(P, g)| <

ε 2

que se puede expresar como: |S(P, g) − S(P, f, α)| <

ε 2

(4)

de otra lado como f ∈ R(α) en [a, b], existe una partición Pε

tal que si P es mas fina que Pε

resulta:    b   ε   fdα < S(P, f, α) −   2 a

(5)

Ahora combinando las ec. 4 y 5 y si P es mas fina que Pε = Pε
∪ Pε

se tiene finalmente:

   b     fdα < ε S(P, g) −   a

15

3.5.

Funciones Escalonadas como Integradores

Se presenta a continuación la definición de función escalonada, que es importante para simplificar conceptualmente aspectos más complejos de la integral de Riemann, y facilita muchas demostraciones. Definición 3.4 (Función Escalón) Una función α de [a, b] es una función escalonada si existe una partición a = x1 < x2 < ... < xn = b de modo que α es constante   en cada  −  subintervalo abierto (xk−1 , xk ) , para 1 < k ≤ n. Al número α x+ − α xk se denomina salto en xk , si 1 < k < n. El salto en x1 k es α(x+ ) − α (x ) y en xn es α (xn ) − α (x− 1 n). 1 b Definición 3.5 Si α es constante en [a, b], la integral a f dα existe y vale cero. Esto se puede verificar, ya que: S(P, f, α) = = =

n


k=1 n
k=1 n


f(tk )∆αk f(tk )

n


∆αk

k=1

f(tk ) [α (b) − α (a)]

k=1

y como α es constante α (b) = α (a) resulta:

S(P, f, α) = =

n


k=1 n


f(tk ) [α (b) − α (a)] f(tk ) · 0

k=1

= 0

Definición 3.6 Si α es constante en [a, b] menos en un punto q donde α (q) b presenta una discontinuidad de salto, la integral a f dα puede no existir y si existe no necesariamente es cero. Teorema 3.7 Dados a < c < b, se define α en [a, b] como los valores α (a), α (b) y α (c) arbitrarios: α (x) = α (a)

si a ≤ x < c

α (x) = α (b)

si c < x ≤ b

y

16

Sea f una función definida en [a, b] de manera que por lo menos una de las funciones f o α es continua a la derecha de c y por lo menos una de ellas es continua a la izquierda de c. Entonces f ∈ R(α) en [a, b] y  b      f dα = f (c) α c+ − α c− a

Si c = a la integral

b a

f dα se cumple reemplazando α (c− ) por α (c) y si c = b

se cumple reemplazando α (c+ ) Demostración. Sea P una partición de [a, b]. Si c ∈ P, y si se tiene que P 0 = {x0 , x1 , ..., c− , c, c+ , ..., xn } la suma S(P, f, α) es cero excepto en los terminos c− , c+ , quedando:        S(P, f, α) = f (tk−1 ) α (c) − α c− + f (tk ) α c+ − α (c) donde tk−1 ≤ c ≤ tk si:

     ∆ = S(P, f, α) − f (c) α c+ − α c−        = f(tk−1 ) α (c) − α c− + f(tk ) α c+ − α (c)      −f (c) α c+ − α c−     = f(tk−1 )α (c) − f (tk−1 )α c− + f(tk )α c+     −f (tk )α (c) − f(c)α c+ + f(c)α c−     = f(tk−1 )α (c) − f (tk−1 )α c− + f(tk )α c+     −f (tk )α (c) − f(c)α c+ + f(c)α c− + 0     = f(tk−1 )α (c) − f (tk−1 )α c− + f(tk )α c+     −f (tk )α (c) − f(c)α c+ + f(c)α c− + f (c)α (c) − f(c)α (c)   = [f(tk−1 ) − f (c)] α (c) − [f(tk−1 ) + f (c)] α c−   + [f (tk ) − f(c)] α c+ − [f(tk ) − f (c)] α (c)        = [f(tk−1 ) − f (c)] α (c) − α c− + [f(tk ) − f (c)] α c+ − α (c)

por la inecuación triangular |a + b| < |a| + |b| y por |ab| = |a| |b| se tiene

         |∆| ≤ [f (tk−1 ) − f(c)] α (c) − α c−  + [f (tk ) − f(c)] α c+ − α (c)         = |f(tk−1 ) − f (c)| α (c) − α c−  + |f (tk ) − f (c)| α c+ − α (c)

Si f es continua en c, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que P  < δ implica: |f(tk−1 ) − f (c)| < ε 17

y

|f(tk ) − f (c)|

y entonces:

       |∆| ≤ ε α (c) − α c−  + ε α c+ − α (c)

(1)

Pero esta desigualdad se verifica tanto si f es continua en c como si no lo es. Si f es discontínua a la derecha y a la izquierda de c, entonces α (c) = α (c− ) y α (c) = α (c+ ) y se tendria ∆ = 0, si f es contínua a la derecha de c pero no a la izquierda se tendria α (c) = α (c− ) y |∆| ≤ ε |α (c+ ) − α (c)| y si f es contínua a la izquierda de c pero no a la derecha se tendria α (c) = α (c+ ) y |∆| ≤ ε |α (c) − α (c− )| , por lo cual la desigualdad 1 se cumpliría en todos los casos.

3.6.

Reducción de una Integral de Riemann-Stieltjes a una Suma Finita

El siguiente teorema utiliza el concepto de función escalonada, y es de vital importancia por cuanto muestra como se puede expresar una integral de Riemann como una suma finita términos, cada uno de los cuales representa un área. Teorema 3.8 (Reducción de Integral Riemann-Stieltjes a Suma Finita) Sea α una función escalonada definida en [a, b] con salto αk en xk , donde los puntos x1 , ..., xn son las correspondientes a una partición definida sobre [a, b] donde a = x1 , x2 , ..., xn = b como las descritas en la definición 3.4. Sea f una función definida en [a, b] de manera que por lo menos una de las funciones f o α es contínua a la derecha de xk y una por lo menos contínua a b la izquierda de xk , entonces a f dα existe y se cumple que: 

b

f (x) dα (x) =

a



a

n


f (xk )αk

k=1

Demostración. Por el teorema 3.3 se puede escribir la integral:  x2  b  x1 b f (x) dα (x) + ... + f (x) dα (x) f (x) dα (x) + f (x) dα (x) = a

donde cada integral de la forma

x1

 xk

xk−1

xn−1

f (x) dα (x) con 1 ≤ k ≤ n, cumple las

condiciones del teorema 3.7 resultando:  xk     −  f (x) dα (x) = f (ck ) α c+ k − α ck xk−1

con 1 ≤ k ≤ n y xk−1 < ck ≤ xk , quedando la integral: 18



xk

xk−1

    −      −  f (x) dα (x) = f(c1 ) α c+ + f(c2 ) α c+ + 1 − α c1 2 − α c2     −  ... + f (cn ) α c+ n − α cn = f(c1 )α1 + f (c2 )α2 + ... + f (cn )αn n
= f (xk )αk k=1

Teorema 3.9 Dada

n


ak , se define f en [0, n] como

k=1

f (x) = ax

si k − 1 < x ≤ k,

f(0) = 0

resultando: n


k=1

ak =

n


f(k) =



n

f (x) d [x]

0

k=1

donde [x] es la función parte entera de x. Demostración. La función [x] es una función escalonada contínua por derecha y con salto igual a 1 por la izquierda en 1, 2, ..., n. Para una partición p = {x0 , x1 , ..., xn } donde 0 = x0 < x1 < ... < xn = n. Si para xk−1 y xk , [xk ] = [xk−1 ] = r, entonces para un entero k ∈ [xk−1 , xk ] se tiene: f (k)([k+ ] − [k− ]) = f (k)[r − r] = f (k) · 0 = 0 y si para xk−1 y xk , [xk ] = [xk−1 ], para un entero k ∈ [xk−1 , xk ] se tendrá: f (k)([k+ ] − [k− ]) = f (k) · 1 = f (k) Aplicando el teorema 3.8 se tendría que: 

n

f (x) d [x] = f (0)([0+ ] − [0]) + f(1)([1+ ] − [1− ])

0

+f(2)[[2+ ] − [2− ]] + ... + f(n)[[n] − [n− ]] = 0 + f (1) · 1 + f(2) · 1 + ... + f (n) · 1 n n

= f(k) = ak k=1

k=1

19

3.7.

Fórmula de Sumación de Euler

Se utilizan las integrales de Riemann-Stieltjes para obtener la Fórmula de Sumación de Euler, la cual relaciona la integral de una función en un intervalo [a, b] con la suma de los valores de la función en los puntos enteros de[a, b]. Se utiliza para aproximar integrales mediante sumas o para estimar los valores de ciertas sumas por medio de integrales. Teorema 3.10 (Fórmula de Sumación de Euler) Si f posee derivada continua f
en [a, b] entonces se tiene [b]


=

n=[a]+1



b

f (x)dx +

a



b

f
(x)(x − [x])dx + f (a)(a − [a]) − f(b)(b − [b]),

a

Si a y b son enteros, se obtiene: b


f(n) =



b

f (x)dx +

a

n=a



a

b

f(a) + f (b) 1 dx + f
(x) x − [x] − 2 2

Demostración. Aplicando el teorema 3.4 se obtiene: 

b

f (x)d(x − [x]) +

a





b

(x − [x])df (x) = f(a)(b − [b]) − f(a)(a − [a])

a

b

f(x)d(x − [x]) +

a



b

(x − [x])df (x) + f (a)(a − [a]) − f (a)(b − [b]) = 0

a

Aplicando el teorema 3.2 se obtiene: 

b

f (x)dx −

a



b

f (x)d[x] +

a



b

(x − [x])df(x) + f(a)(a − [a]) − f (a)(b − [b]) = 0 a

y aplicando el teorema 3.6 se tiene: 

a

b

 b f (x)dx− f (x)d[x] a

+



(1)

b

f
(x)(x − [x])dx + f(a)(a − [a]) − f (a)(b − [b]) = 0

(1)

a

Debido a que la función parte entera tiene saltos unitarios en los enteros [a] + 20

1, [a] + 2, ..., [b] se puede escribir  

[b]


b

f(x)d[x] =

f (n)

a

n=[a]+1

f (x)d[x] −

[b]


b

a

f(n) = 0

(2)

n=[a]+1

combinando y 2 se obtiene: 

b

f(x)dx −

a



b

f(x)d[x] +

a



b

f
(x)(x − [x])dx+

a

+ f(a)(a − [a]) − f (a)(b − [b]) +



b

f (x)d[x] −

a



a

b

f(x)dx +



[b]


f(n) = 0

[b]


f(n) = 0

n=[a]+1

b

f
(x)(x − [x])dx

a

+ f(a)(a − [a]) − f (a)(b − [b]) −

n=[a]+1

[b]


n=[a]+1

3.8.

f (n) =



b

f(x)dx +

a



b

f
(x)(x − [x])dx a

+f (a)(a − [a]) − f(a)(b − [b])

Integradores Monótonos Crecientes. Integrales Superior e Inferior

Se presentará ahora la teoria de Riemann-Stieltjes para integradores monotonos crecientes la cual es tan general como estudiar la teoría para integradores de variación acotada. Cuando α es creciente, las diferencias ∆αk que aparecen en las sumas de Riemann-Stieltjes son todas no negativas. Para hallar el area de la región limi
tada por una función, se consideran las sumas de Riemann f (tk )∆xk como 21

Figura 1: Integral Superior e Inferior de Riemann aproximaciones al area por medio de rectángulos. Otro método de aproximación a estos problemas se obtiene al considerar las sumas superior e inferior de Riemann. En el caso de las areas, se pueden
considerar
aproximaciones por exceso y por defecto mediante las sumas Mk ∆xk y mk ∆xk , donde Mk y mk designan, respectivamente, el sup y el inf (fig. 1)de los valores de la función en el k-ésimo subintervalo. Geométricamene las sumas superiores son por lo menos, tan grandes como el area determinada y las inferiores son a lo más como el area determinada. El inf de todas las sumas superiores, que es un numero real llamado integral superor de f , y el sup de todas las sumas superiores, también es un numero real y es llamado integral inferior de f . Por ejemplo para funciones contínuas b estas dos integrales son iguales a a f (x)dx pero en general estas dos integrales son diferentes y plantean el problema de hallar condiciones relativas a la función para que las integrales superior e inferior coincidan. Ahora se tratará este tipo de problemas para las integrales de Riemann-Stieltjes. 22

Definición 3.7 (Sumas Superior e Inferior de Stieltjes) Sea P una partición de [a, b] y sean: Mk (f ) = sup {f(x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} , mk (f ) = inf {f(x) : x ∈ [xk−1 , xk ]} entonces, los números U (P, f, α) =

n


Mk (f )∆αk

y

L(P, f, α) =

k=1

n


mk (f )∆αk

k=1

se llaman, respectivamente, sumas superior e inferior de Stieltjes de f con respecto a α para la partición P. Siempre se verifica que mk (f) ≤ Mk (f ) y si α  en [a, b], entonces ∆αk ≥ 0 y se puede escribir también que mk (f)∆αk ≤ Mk (f )∆αk = f ∆Mk αk , de lo que se tiene que las sumas inferiores nunca exceden a las sumas superiores. Además si tk ∈ [xk−1 , xk ], entonces mk (f ) ≤ f(tk ) ≤ Mk (f ), De donde, cuando α , se tienen la desigualdades L(P, f, α) ≤ S(P, f, α) ≤ U (P, f, α) que relacionan las sumas superior e inferior con las sumas de Riemann-Stieltjes. Estas desigualdades no tienen por qué verificarse si α no es una función creciente Teorema 3.11 Supóngase que α  en [a, b]. Entonces: i). Si P
es màs fina que P , se tiene: U (P
, f, α) ≤ U (P, f, α)

y

L(P
, f, α) ≥ L(P, f, α).

ii). Para cada par de particiones P1 y P2 , se tiene: L(P1 , f, α) ≤ U (P2 , f, α)

Demostración. Para probar (i) es suficiente ver el caso en donde P
tiene un solo punto más que P , por ejemplo c.Si c está en el intervalo i-ésimo de P , se puede escribir: U (P
, f, α) =

n


Mk (f )∆αk + M
[α(c) − α(xi−1 )] + M

[α(xi ) − α(c)],

k=1 k=i

23

donde M
y M

designan, respectivamente el sup de f en [xi−1 , c] y [c, xi ]. Pero ya que: M
≤ Mi (f)

M

≤ Mi (f )

y

se tiene que: n


Mk (f)∆αk + M
[α(c) − α(xi−1 )] + M

[α(xi ) − α(c)]

k=1 k=i

≤

n


Mk (f)∆αk + M
[α(c) − α(xi−1 )]

k=1

resultando U (P
, f, α) ≤ U (P, f, α). Así mismo, tomando las mismas particiones P y P
, se puede escribir: L(P
, f, α) =

n


mk (f)∆αk + m
[α(c) − α(xi−1 )] + m

[α(xi ) − α(c)],

k=1 k=i

donde m
y m

designan el inf de f en [xi−1 , c] y [c, xi ] respectivamente. Pero como m
≥ mi (f)

m

≥ mi (f)

y

se tiene que: n


mk (f )∆αk + m
[α(c) − α(xi−1 )] + m

[α(xi ) − α(c)] ≥

k=1 k=i

n


mk (f )∆αk + m
[α(c) − α(xi−1 )]

k=1

resultando L(P
, f, α) ≥ L(P, f, α). Para probar (ii), se toma P = P1 ∪ P2 . Entonces por la demostración de la parte (i) se tiene que: L(P1 , f, α) ≤ L(P, f, α)

y

U (P, f, α) ≤ U(P2 , f, α),

(1)

por otro lado, por cuenta de la def. 3.7 se tiene que: L(P, f, α) ≤ S(P, f, α) ≤ U (P, f, α) 24

(2)

y combinando las ecuaciones 1 y 2 se tiene: L(P1 , f, α) ≤ L(P, f, α) ≤ S(P, f, α) ≤ U (P, f, α) ≤ U (P2 , f, α) llegando a establecerse finalmente: L(P1 , f, α) ≤ U(P2 , f, α)

Definición 3.8 (Integrales Superior e Inferior) Supongase que α  en [a, b]. La integral superior de Stieltjes de f respecto a α se define como: (s)



b

f dα = inf{U (P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}.

a

La integral inferior de Stieltjes se define como:

(i)



b

f dα = sup{L(P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}

a

¯ α) e en ocasiones se escribe I(f,

I(f, α) para designar las integrales superi-

or e inferior. En particular la sumas superiores e inferiores se designan por U(P, f, α) y L(P, f, α) y se llaman las sumas superior e inferior de Riemann. b b Las correspondientes integrales, designadas (s) a fdx y (i) a f dx, se llaman integrales superior e inferior de Riemann.

Teorema 3.12 Supongase que α  en [a, b]. Entonces

¯ α). I(f, α) ≤ I(f,

Demostración. Dado ε > 0, existe una partición P1 tal que ¯ α) + ε U (P1 , f, α) < I(f, ¯ α) + ε es una cuota superior de todas las y por el teorema 3.11 se tiene que I(f, sumas inferiores L(P, f, α). De esto surge que, como I(f, α) = sup{L(P, f, α) : ¯ α) + ε, y como ε es arbitrario, implica P ∈ ℘[a, b]} entonces I(f, α) ≤ I(f, ¯ que I(f, α) ≤ I(f, α).

25

3.9.

Propiedad Aditiva y Lineal de las Integrales Superior e Inferior

Las integrales superior e inferior tienen muchas de las propiedades de la integral. Siempre que a < c < b en ellas se cumple que:  b  c  b (s) f dα = (s) f dα + (s) fdα a

a

c

y análogamente: (i)



b

fdα = (i) a



c

f dα + (i)

a



b

f dα

c

Pero ciertas igualdades que se verifican con integrales se convierten en desigualdades cuando se reemplazan aquellas por integrales superiores e inferiores. Un ejemplo de esto es:  b  b  b (s) (f + g)dα ≤ (s) f dα + (s) gdα a

y (i)



a

3.10.

a

b

(f + g)dα ≥ (i)



a

a

b

fdα + (i)



b

gdα

a

Condición de Riemann

Asi como se espera que la integral superior e inferior sean iguales tambien se debe esperar que las sumas superiores e inferiores sean tan próximas como se quiera. Por ello se busca las funciones f para las que la diferencia U (P, f, α) − L(P, f, α) pueda hacerse arbitrariamente pequeña. Definición 3.9 Se dice que f satisface la condición de Riemann rspecto de α en [a, b] si para cada ε > 0, existe una partición Pε tal que si P es mas fina que Pε implica: 0 ≤ U (P, f, α) − L(P, f, α) < ε

Teorema 3.13 Sea f una función que satisface la condición de Riemann respecto de α en [a, b]. Entonces las tres afirmaciones que siguen son equivalentes: i). f ∈ R(α) en [a, b]. ii). f satisface la condición de Riemann respecto de α en [a, b]. iii).

¯ α) I(f, α) = I(f,

26

Demostración. Se prueba que la parte (i) implica la parte (ii). Supongase que (i) se verifica. Si α(b) = α(a), entonces (ii) se verifica trivialmente. Por lo tanto supongase ahora que α(a) ≤ α(b). Dado ε > 0, se elige Pε tal que para toda partición P más fina que Pε y todas las elecciones de tk y t
k en [xk−1 , xk ], se cumpla:  n  
 ε   f (tk )∆αk − A <    3 k=1

y

  n 
 ε  
f (tk )∆αk − A < ,    3 k=1

en donde A =

b a

f dα. combinando estas dos desigualdades , se obtiene:   n 
 2  
[f (tk ) − f(tk )] ∆αk  < ε    3 k=1

Ya que Mk (f ) − mk (f) = sup{f (x) − f(x
) : x, x
∈ [xk−1 , xk ]}, y se tiene que para cada h > 0 es posible elegir tk y t
k tales que f(tk ) − f (t
k ) > Mk (f) − mk (f) − h y eligiendo h = 13 ε/[α(b) − α(a)] se puede escribir

U(P, f, α) − L(P, f, α) =

n
[Mk (f ) − mk (f)]∆αk k=1

<

n


[f (tk ) − f(t
k )] ∆αk + h

k=1

< =

2 ε+ 3 2 ε+ 3

n


∆αk

k=1

1 ε/[α(b) − α(a)] · [α(b) − α(a)] 3 1 ε=ε 3

de donde se obtiene que:

U (P, f, α) − L(P, f, α) <

n


[f (tk ) − f(t
k )] ∆αk + h

k=1

n


k=1

quedando que (i) implica (ii).

27

∆αk < ε

Se prueba que (ii) implica (iii). Se supone ahora que se verifica (ii). Dado ε > 0, existe una partición Pε tal que P más fina que Pε implica que U (P, f, α) < L(P, f, α) + ε. De donde se llega a verificar que para P se tiene: ¯ α) ≤ U (P, f, α) < L(P, f, α) + ε ≤ I(f, α) + ε I(f, ¯ α) < I(f, α) + ε para cada ε > 0 y por tanto I(f, ¯ α) ≤ lo que implica que I(f, ¯ α) ≥ I(f, α), y por consiguI(f, α). Pero el terorema 3.12 prueba que I(f, ¯ iente I(f, α) = I(f, α). Con ésto se demuestra que (ii) implica (iii). ¯ α) = I(f, α) Se demostrará ahora que (iii) implica (i). Supongase que I(f, b y sea A el valor común. Se probara que a f dα existe y es igual a A. Dado ε > 0, ¯ α) + ε para toda P mas fina que Pε
. Se elige se elige Pε
tal que U (P, f, α) < I(f,

así mismo Pε tal que L(P, f, α) > I(f, α) − ε para toda P mas fina que Pε

. Si Pε = Pε
∪ Pε

, se puede escribir: ¯ α) + ε I(f, α) − ε ≤ L(P, f, α) ≤ S(P, f, α) ≤ U (P, f, α) ≤ I(f, ¯ α) = para cada P mas fina que Pε . Pero dado que I(f,

I(f, α) = A, se tiene

que |S(P, f, α) − A| < ε siempre que P sea mas fina que Pε . Probando que b f dα existe y es igual a A. Por tanto (iii) implica (i). a

3.11.

Teoremas de Comparación

Teorema 3.14 Supongase que α  en [a, b]. Si f ∈ r(α) y g ∈ R(α) en [a, b] y si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b], entonces se cumple que b a g(x)dα(x)

b a

f (x)dα(x) ≤

Demostración. Como f (x) ≤ g(x) se cumple que para cada partición P, las correspondientes sumas de Riemann-Stieltjes satisfacen: S(P, f, α) =

n


f(tk )∆αk ≤

k=1

n


g(tk )∆αk = S(P, g, α)

k=1

ya que α  en [a, b], resultando 

b

f(x)dα(x) ≤

a

El teorema anterior implica que α  en [a, b].



b

g(x)dα(x)

a

b a

g(x)dα(x) ≥ 0 siempre que g(x) ≥ 0 y

28

Teorema 3.15 Supongase que α  en [a, b]. Si f ∈ R(α) en [a, b], entonces |f| ∈ R(α) en [a, b] y se cumple la desigualdad     b  b   f(x)dα(x) ≤ |f (x)| dα(x).   a  a Demostración. Utilizando la notación de la definición 3.7 se puede escribir: Mk (f) − mk (f ) = sup{f (x) − f (y) : x, y ∈ [xk−1 , xk ]} Dado que ||f(x)| − |f(y)|| ≤ |f (x) − f(y)| siempre se satisface, se tiene que: Mk (|f |) − mk (|f|) ≤ Mk (f ) − mk (f ) multiplicando ambos miembros por ∆αk : Mk (|f|) − mk (|f |)∆αk ≤ Mk (f ) − mk (f )∆αk y sumando respecto a k, se obtiene n


[Mk (|f|) − mk (|f |)] ∆αk

≤

k=1 n


k=1

Mk (|f|)∆αk −

n


mk (|f |)∆αk

≤

k=1

n


k=1 n


k=1

[Mk (f) − mk (f )] ∆αk Mk (f)∆αk −

n


mk (f )∆αk

k=1

U (P, |f| , α) − L(P, |f| , α) ≤ U (P, f, α) − L(P, f, α)

para cada partición P de [a, b]. Aplicando la condición de Riemann, se tiene |f| ∈ R(α) en [a, b]. Haciendo |f| = g y aplicando el teorema 3.14 se tiene que b b a f (x)dα(x) ≤ a g(x)dα(x) resultando:  b  b f (x)dα(x) ≤ |f(x)| dα(x) a

a

Nota 3.1 Teniendo que α  en [a, b]. No se cumple que si |f| ∈ R(α) en [a, b] y se tiene la desigualdad     b  b   f(x)dα(x) ≤ |f (x)| dα(x).   a  a entonces f ∈ R(α) en [a, b].

29

Teorema 3.16 Supongase que α  en [a, b]. Si f ∈ R(α) en [a, b], entonces f 2 ∈ R(α) en [a, b] Demostración. Utilizando la notación de la definición 3.7, se tiene Mk (f 2 ) = [Mk (|f |)]2

y

mk (f 2 ) = [mk (|f |)]2

de donde se puede escribir: Mk (f 2 ) − mk (f 2 ) = [Mk (|f|)]2 − [mk (|f |)]2 = [Mk (|f|) − mk (|f |)] [Mk (|f|) + mk (|f|)] ≤ 2M [Mk (|f|) − mk (|f |)] , donde M designa una cota superior de |f | en [a, b]. Aplicando la condición de Riemann se comprueba que f 2 ∈ R(α) en [a, b] Teorema 3.17 Supongase que α  en [a, b]. Si f ∈ R(α) en [a, b] y g ∈ R(α) en [a, b], entonces el producto f · g ∈ R(α) en [a, b].

3.12.

Integradores de Variación Acotada

Toda función α de variación acotada en [a, b] se puede expresar con diferencia de dos funciones crecientes. Si α = α1 −α2 es una descomposición y si f ∈ R(α1 ) y f ∈ R(α2 ), se tiene en virtud de la linealidad que f ∈ R(α). Pero no siempre es cierto que si f ∈ R(α) se tenga que f ∈ R(α1 ) y f ∈ R(α2 ). Si f ∈ R(α) en [a, b], es posible encontrar fiunciones crecientes α1 y α2 tales que α = α1 − α2 , pero b b de modo que ni la integral a f dα1 ni la integral a f dα2 existan. La dificultad se halla en el hecho de que la descomposición α = α1 − α2 no es única. Pero es posible demostrar la existencia de una descomposición para la cual el reciproco es verdadero, cuando α1 es la variación total de α y de α = α1 − α2 . Teorema 3.18 Supongase que α es de variación acotada en [a, b]. Se designará por V (x) la variación total de α en [a, b] si a < x < b, con V (a) = 0. Supongase que f está definida y acotada en [a, b]. Si f ∈ R(α) en [a, b], entonces f ∈ R(V ) en [a, b]. Demostración. Si V (b) = 0, entonces V es constante y el resultado es trivial. Supongase que V (b) > 0, y que |f | ≤ M si x ∈ [a, b]. Como V es creciente, basta demostrar que f satisface la condición de Riemann respecto de V en [a, b]. Dado un ε > 0, se elige Pε tal que para todo refinamiento P y toda elección de puntos tk y t
k en [xk−i , xk ] se verifica:  n  n 
 ε
ε  
y V (b) < |∆αk | +  [f(tk ) − f (tk )]∆αk  <   4 4M k=1

k=1

30

Y para P mas fina que Pε se establecen las dos desigualdades n


[Mk (f) − mk (f )] [∆Vk − |∆αk |] <

k=1

y

n


ε 2

(1)

ε 2

[Mk (f) − mk (f )] |∆αk | <

k=1

(2)

Para demostrar la desigualdad de la ec. 1, se ve que ∆Vk − |∆αk | ≥ 0 y por lo tanto: n


[Mk (f) − mk (f )] [∆Vk − |∆αk |] ≤ 2M

k=1

n
(∆Vk − |∆αk |)

k=1

= 2M



< 2M ·

V (b) −

n




|∆αk |

k=1

ε ε = . 4M 2

Para demostrar la desigualdad de la ec. 2, sea A(P ) = {k : ∆αk ≥ 0},

B(P ) = {k : ∆αk < 0},

y sea h = 14 ε/V (b). Si k ∈ A(P ), se eligen tk y t
k tales que f (tk ) − f(t
k ) > Mk (f ) − mk (f ) − h; y si k ∈ B(P ), se eligen tk y t
k tales que f (t
k ) − f(tk ) > Mk (f ) − mk (f ) − h. Entonces n


[Mk (f ) − mk (f)] |∆αk | <

k=1




[f (tk ) − f (t
k )] |∆αk |

k∈A(P )

+




[f (t
k ) − f(tk )] |∆αk | + h

n


[f (tk ) − f(t
k )] |∆αk | + h

n


|∆αk |

k=1

k=1

<

|∆αk |

k=1

k∈B(P )

=

n


ε ε ε ε ε ε + hV (b) = + · V (b) = + = 4 4 4V (b) 4 4 2

sumando las desigualdades de las ec. 2 y 2 resulta 31

n


[Mk (f) − mk (f )] [∆Vk − |∆αk |] +

k=1 n


n


[Mk (f ) − mk (f)] |∆αk | <

k=1

ε ε + 2 2

{[Mk (f) − mk (f )] [∆Vk − |∆αk |]} + {[Mk (f) − mk (f )] |∆αk |} < ε

k=1 n


[Mk (f ) − mk (f)] [∆Vk − |∆αk | + |∆αk |] < ε

k=1 n


[Mk (f ) − mk (f)] ∆Vk

< ε

k=1 n


Mk (f )∆Vk −

k=1

n


mk (f)∆Vk

< ε

k=1

U(P, f, V ) − L(P, f, V ) < ε

Teorema 3.19 Sea α de variación acotada en [a, b] y supongase que f ∈ R(α) en [a, b]. Entonces f ∈ R(α) en [a, b] en cada subintervalo [c, d] de [a, b]. Demostración. Sea V (x) la variación total de α en [a, x], con V (a) = 0. Entonces α = V − (V − α), en donde tanto V como V − α son ambas crecientes en [a, b]. Por el teorema 3.18 f ∈ R(V ) en [a, b] y por lo tanto f ∈ R(V − α) en [a, b]. Por consiguiente si el teorema es verdadero para integrales crecientes se tiene que f ∈ R(V ) en [c, d] y f ∈ R(V − α) en [c, d]. Luego f ∈ R(α) en [c, d]. De acuerdo con esto, es suficiente probar el teorema cuando α  en [a, b]. c b Por el teorema 3.3 basta con probar que las integrales a f dα y a f dα existen. Supongase que a < c < b. Si P es una partición de [a, x], sea ∆(P, x) = U (P, f, α) − L(P, f, α), la diferencia de las sumas superior e inferior en el intervalo [a, x]. Dado que b f ∈ R(α) en [a, b], la condición de Riemann se verifica y la integral a f dα existe. Por lo tanto, dado ε > 0, existe una partición Pε de [a, b] tal que ∆(B, b) < ε si P es más fina que Pε . Se puede suponer que c ∈ Pε . Los puntos de Pε que pertenecen a [a, c] definen una partición Pε
de [a, c]. si P
es una partición de [a, c] mas fina que Pε
, entonces P = P
∪ Pε es una partición de [a, b] obtenida juntando los puntos de P
con los puntos que Pε posee en [c, b]. La suma definida por ∆(P
, c) contiene sólo parte de los terminos de la suma definida por ∆(P, b). Como cada término es mayor o igual a cero y dado que P es más fina que Pε , se tiene ∆(P
, c) ≤ ∆(P, b) < ε Lo que indica que P
mas fina que Pε
implica ∆(P
, c) < ε. Por lo tanto, f c satisface las condiciones de Riemann en [a, c] y a fdα existe. 32

Teorema 3.20 Supongase que f ∈ R(α) y g ∈ R(α) en [a, b], en donde α  en [a, b]. Se definen  b F (x) = f (t)dα(t) a

y G(x) =



x

g(t)dα(t)

si

x ∈ [a, b]

a

Entonces f ∈ R(G), g ∈ r(F ), y el producto f · g ∈ R(α) en [a, b] y se tiene: 



b

f (x)g(x)dα(x) =

a

b

f(x)dG(x)

a



=

b

g(x)dF (x)

a

Demostración. Por el teorema 3.17 se tiene que partición P de [a, b] se tiene S(P, f, G) =

n
k=1

y



f (tk )



xk

g(t)dα(t) =

xk−1

b

f (x)g(x)dα(x) =

a

k=1

a

n 


k=1 n 


b

f ·gdα existe. Para cada

xk

f (tk )g(t)dα(t)

xk−1

xk

f (t)g(t)dα(t)

xk−1

De donde, si Mg = sup{|g(x)| : x ∈ [a, b]}, se tiene     n   b n  xk    
xk
    f (t)g(t)dα(t) f · gdα =  f(tk )g(t)dα(t) − S(P, f, G) −     a xk−1 k=1 xk−1 k=1  n  xk 
   =  {f (tk ) − f(t)} g(t)dα(t)   k=1 xk−1  n xk
|f (tk ) − f (t)| dα(t) ≤ Mg ≤ Mg

k=1 xk−1 n  xk
k=1

[Mk (f) − mk (f )] dα(t)

xk−1

= Mg {U(P, f, α) − L(P, f, α)} Puesto que f ∈ R(α), para cada ε > 0 existe una partición Pε tal que P más fina que Pε implica U (p, f, α) − L(p, f, α) < ε. Esto demuestra que f ∈ R(G) en b b [a, b] y que a f · gdα = a f dG. 33

Para cada partición P de [a, b] se tieneS(P, g, F ) =  xk k=1 xk−1

n

g(tk )f (t)dα(t)y 

b

g(x)f(x)dα(x) =

a

n 
k=1

n

k=1

g(tk )

 xk

xk−1

f(t)dα(t) =

xk

g(t)f(t)dα(t)

xk−1

De donde, si Mf = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, se tiene     n   b n  xk    
xk
    g(tk )f(t)dα(t) − f (t)g(t)dα(t) f · gdα =  S(P, g, F ) −     a xk−1 k=1 xk−1  k=1 n  xk  
  =  {g(tk ) − g(t)} f (t)dα(t)   k=1 xk−1  n xk
≤ Mf |g(tk ) − g(t)| dα(t) ≤ Mf

k=1 xk−1 n  xk
k=1

[Mk (g) − mk (g)] dα(t)

xk−1

= Mf {U (P, g, α) − L(P, g, α)} Puesto que g ∈ R(α), para cada ε > 0 existe una partición Pε tal que P más fina que Pε implica U (p, g, α) − L(p, g, α) < ε. Esto demuestra que g ∈ R(F ) en b b [a, b] y que a f · gdα = a gdF. Este teorema es válido también si α es una función de variación acotada en [a, b].

3.13.

Condición Suficiente Para la Existencia de Las Integrales de Riemann-Stieltjes

Teorema 3.21 Si f es continua en [a, b] y si α es de variación acotada en [a, b], entonces f ∈ R(α) en [a, b] Demostración. Es suficiente demostrar el teorema para α  con α(a) < α(b). La continuidad de f en [a, b] implica la continuidad uniforme, esto es dado ε > 0 existe un δ > 0, que depende solo de ε, tal que |x − y| < δ implica |f(x) − f(y)| <

ε , A

en donde A = 2 [α(b) − α(a)]. Si Pε es una partición de norma Pε  < δ, entonces para P más fina que Pε se tendrá Mk (f ) − mk (f ) ≤ 34

ε , A

debido a que Mk (f ) − mk (f ) = sup{f(x) − f (y) : x, y ∈ [xk−1 , xk ]}. Multiplicando la desigualdad por ∆αk y sumando se tiene: n
{Mk (f ) − mk (f )}∆αk k=1

=

n


Mk (f )∆αk −

k=1

n


mk (f )∆αk

k=1

= U(P, f, α) − L(P, f, α) n ε
∆αk ≤ A k=1 ε = · α(b) − α(a) 2 [α(b) − α(a)] ε = 0 tal que para cada δ > 0 existen valores tanto de x como de y en el intervalo (c, c + δ) para los que |f (x) − f (c)| ≥ ε y |α(y) − α(c)| ≥ ε Entonces la integral

b a

f (x)dα(x) no existe.

ii). Supongase que tanto α como f son discontinuas por la izquierda de x = c; esto es, que existe un ε > 0 tal que para cada δ > 0 existen valores tanto de x como de y en el intervalo (c − δ, c) para los que |f (c) − f(x)| ≥ ε y |α(c) − α(y)| ≥ ε Entonces la integral

b a

f (x)dα(x) no existe.

35

Demostración. Sea P una partición de [a, b] que contenga al punto c como punto de partición. Se considera la diferencia U (P, f, α) − L(P, f, α) =

n

k=1 [Mk (f)

− mk (f )] ∆αk i) Si α y f son discontinuas por la derecha de x = c y el intervalo i-ésimo contiene al punto c como extremo izquierdo, entonces U (P, f, α) − L(P, f, α) ≥ [Mk (f ) − mk (f )] [α(xi ) − α(c)] ,

ya que cada término de la suma es mayor que cero. Si c es una discontinuidad por la derecha común, se puede suponer que el punto xi se ha elegido de tal manera que α(xi ) − α(c) ≥ ε. Por lo cual, las hipótesis del teorema implican Mk (f ) − mk (f) ≥ ε. Luego, U (P, f, α) − L(P, f, α) ≥ ε2 , y la condición de Riemann no puede verificarse. ii) Si α y f son discontinuas por la izquierda de x = c y el intervalo i-ésimo contiene al punto c como extremo derecho, entonces U(P, f, α) − L(P, f, α) ≥ [Mk (f ) − mk (f)] [α(c) − α(xi )] ya que cada término de la suma es mayor que cero. Si c es una discontinuidad por la izquierda común, se puede suponer que el punto xi se ha elegido de tal manera que α(c) − α(xi ) ≥ ε. Por lo cual, las hipótesis del teorema implican Mk (f ) − mk (f) ≥ ε. Luego, U (P, f, α) − L(P, f, α) ≥ ε2 , y la condición de Riemann no puede verificarse.

3.15.

Teoremas de Valor Medio para las Integrales de RiemannStieltjes

Si bien es cierto que ls integrales aparecen en infinidad de problemas, son relativamente pocos los casos en que el valor medio de la integral puede obtenerse explicitamente. Pero en muchos de los casos basta con encontrar una estimación del valor medio más que el valor exacto, por lo que a continuación se enunciarán algunos teoremas que ayudan a obtener estimaciones del valor medio. Teorema 3.23 (Primer Teorema del Valor Medio) Supongase que α  en [a, b] y que M y m designan respectivamente, el sup y el inf del conjunto {f (x) : x ∈ [a.b]}. entonces existe un numero real c que satisface m ≤ c ≤ M tal que  b  b f (x)dα(x) = c dα(x) = c [α(b) − α(a)] a

a

En particular, si f es continua en [a, b], entonces c = f (x0 ) para cierto valor xo de [a, b]. 36

Demostración. Si α(a) = α(b), el teorema se verifica trivialmente, debido a que ambos miembros son cero. Supongase que α(a) ≤ α(b). Dado que todas las sumas superiores e inferiores se verifican: m [α(b) − α(a)] ≤ L(P, f, α) ≤ U (P, f, α) ≤ M [α(b) − α(a)] b la integral a f dα debe estar comprendida entre ambas cotas. Por consiguiente, b b  el coeficiente c = a fdα/ a dα est comprendido entre m y M . Si f es continua en [a, b], el teorema del valor medio hace que c = f(x0 ) para algun x0 de [a, b] Teorema 3.24 (Segundo Teorema de Valor Medio) Supongase que α es continua y que f  en [a, b]. Entonces existe un punto x0 en [a, b] tal que+  b  x0  b f(x)dα(x) = f(a) dα(x) + f(b) dα(x) a

a

x0

Demostración. Por el teorema 3.4 se tiene  b  b f (x)dα(x) = f (b)α(b) − f(a)α(a) − α(x)df (x) a

a

aplicando el teorema 3.23 a la integral de la derecha se tiene  b  b f (x)dα(x) = f (b)α(b) − f(a)α(a) − α(x)df (x) a

a

= f (b)α(b) − f(a)α(a) − α(x0 ) [f(b) − f (a)] = f (b)α(b) − f(a)α(a) − α(x0 )f(b) + f (a)α(x0 ) = f (a) [α(x0 ) − α(a)] + f (b) [α(b) − α(x0 )]

en donde x0 ∈ [a, b].

3.16.

La Integral como una Función de Intervalo

Si f ∈ R(α) en [a, b] y si α es de variación acotada, entonces por el teorema x 3.19 la integral a fdα existe para todo x de [a, b] y puede estudiarse como una función de x. Teorema 3.25 Sea α una función de variación acotada en [a, b] y supongase que f ∈ R(α) en [a, b]. Si se define F por medio de la ecuación:  x F (x) = f dα, si x ∈ [a, b] a

Entonces se tiene que: i). F es de variación acotada en [a, b].

37

ii). En cada uno de los puntos en los que α es continua, F también lo es. iii). Si α  en [a, b], la derivada F
(s) existe en cada punto x de (a, b) en que α
(x) exista y f sea continua. Para tales x se tiene que F
(x) = f (x)α
(x).

Demostración. Es suficiente suponer que α  en [a, b]. Si x = y, por el teorema 3.23 se tiene  y  x F (y) − F (x) = fdα − f dα a ay = fdα = c [α(y) − α(x)] x

en donde m ≤ c ≤ M, resultando (i) que F es de variación acotada en [a, b].y (ii) que en cada uno de los puntos en los que α es continua, F también lo es y si se divide por y − x se puede observar que c −→ f (x) cuando y −→ x quedando demostrado (iii). Teorema 3.26 Sean f ∈ R(α) y g ∈ R(α) en [a, b], y sean  x  x F (x) = f dt, G(x) = gdt si x ∈ [a, b]. a

a

Entonces F y G son funciones contínuas y de variación acotada en [a, b]. Además, f ∈ R(G) y g ∈ R(F ) en [a, b], y se tiene 

a

b

f (x)g(x)dx =



b

f (x)dG(x) =

a



b

g(x)dF (x)

a

Demostración. Ya que f ∈ R(α) y g ∈ R(α) en [a, b] y por las definiciones de F (x) y de G(x) aplicando el teorema 3.25 en las partes (i) y (ii) se tiene que F y G son de variación acotada en [a, b]. Por otro lado haciendo α(x) = x se aplican las condiciones del teorema 3.18 b b b obteniendose finalmente que a f(x)g(x)dx = a f (x)dG(x) = a g(x)dF (x)0

38

4.

Integral de Lebesgue

Este capítulo tiene por objetivo presentar el concepto de integral de Lebesgue y los principales teoremas que la sustentan, con el objeto de establecer una comparación entre esta integral y la integral de Riemann. Se presentan los teoremas omitiendo el desarrollo detallado de sus demostraciones por cuestiones prácticas, lsa demostrasciones aui mostradas se tomorano en su mayoria de [TA77]. La integral de Lebesgue se pueda presentar inicialmente como una extensión de la integral de Riemann, y por lo tanto son de esperarse algunas características muy importantes: por una parte, que el valor obtenido mediante una integral de Riemann sea el mismo que el obtenido mediante una integral de Lebesgue correspondiente. Y por otra parte, que la integral de Lebesgue provea algunas ventajas adicionales a la integral de Riemann ya que se ha tomado como una extensión de ella. En el presente capítulo se expondrán los teoremas mas importantes relativos a la integral de Lebesgue. Para ello, se definirá la integral de Lebesgue para las funciones escalonadas, definiendo luego la integral de funciones superiores. Posteriormente se generalizará definiendo la clase más general de las funciones integrables mediante Lebesgue. En todo caso, a lo largo del capítulo se supondrán los conocimientos básicos de teoría de la medida, algunos de los cuales se podrán consultar en el capítulo de Preliminares.

4.1.

Funciones Escalonadas, Sucesión de Funciones Escalonadas y su Integral

Definición 4.1 (Función escalonada) Una función s definida en un intervalo compacto [a, b], se llama función escalonada si existe una partición P = {x0 , x1 , ..., xn } de [a, b] tal que s es constante en cada subintervalo abierto, por ejemplo s(x) = ck si x ∈ (sk−1 , xk ) , Una función escalonada es integrable bajo Riemann en cada subintervalo [xk−1 , xk ] y su integral sobre el mismo viene dada por  xk s (x) dx = ck (xk − xk−1 ) , xk−1

independientemente de los valores de s en los extremos. Por lo tanto, la integral de Riemann de s en [a, b] es: 

a

b

s (x) dx =

n


ck (xk − xk−1 )

(1)

k=1

Definición 4.2 (Función escalonada en I) Supongase que I designa un intervalo cualquiera, que puede ser por tanto acotado, no acotado, abierto, cerrado

39

o semiabierto. Una función s es una función escalonada en I si existe un subintervalo compacto [a, b] de I en el que s sea una función escalonada en [a, b], si además s(x) =  0 para x ∈ I − [a, b]. La integral de s en I, designada por s (x) dx o por I I s, es la integral de s en [a, b], dada por 1

Existen muchos intervalos compactos fuera de los cuales la función s se anula, pero la integral de s es independiente de la elección de [a, b]. La suma y el producto de dos funciones escalonadas es una función escalonada. A partir de la definición 4.2 se puede establecer las propiedades de la integral de funciones escalonadas, así:    (s + t) = s+ t I I I   cs = c s Para toda constante c I  I s ≤ t si s (x) ≤ t (x) para todo x de I. I

I

Si pse expresa I como la reunión de un conjunto finito de subintervalos, I = [ar , br ], en la que los subintervalos son disyuntos dos a dos, entonces: r=1



I

s (x) dx =

p 
r=1

br

s (x) dx

ar

Definición 4.3 (Sucesión creciente de funciones) Una sucesión de funciones reales {fn } definida en un conjunto S es creciente en S si fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x de S y todo n Definición 4.4 (Sucesión decreciente de funciones) Una sucesión de funciones reales {fn } definida en un conjunto S es decreciente en S si fn (x) ≥ fn+1 (x) para todo x de S y todo n Nota 4.1 Un subconjunto T de R tiene medida 0 si para cada ε > 0, es posible recubrir T por medio de una colección numerable de intervalos, la suma de cuyas longitudes es menor que ε. Se dice que una propiedad se verifica casi en todo un subconjunto S, y se escribe: c.e.t. S, si se verifica en todo S salvo en un conjunto de medida 0 Teorema 4.1 Sea {sn } una sucesión decreciente de funciones escalonadas no negativas ral que sn  0 c.e.t.I. Entonces  l´ım sn = 0 n→∞ I

40

Demostración. Se escribe:    sn = sn + sn I

A

B

en donde tanto A como B es la reunión finita de intervalos. El conjunto A se obtiene eligiendo aquellos intervalos en los que el integrando es pequeño cuando n es suficientemente grande, mientras que en B el integrando no necesita ser pequeño, pero la suma de las longitudes de sus intervalos sí será pequeña. Se puede ver que existe un intervalo compacto [a, b] fuera del cual s1 se anula. Dado que 0 ≤ sn (x) ≤ s1 (x) para todo x de I,cada sn se anula fuera de [a, b]. Por otra parte, sn es constante en cada subintervalo abierto de una determinada partición [a, b]. Se puede designar como Dn al conjunto de los ∞ extremos de estos subintervalos, y se puede tomar D = Dn . Debido a que n=1 cada Dn es un conjunto finito, la reunión D es numerable y por lo consiguiente tiene medida cero. Sea E el conjunto de puntos de [a, b] en los que la sucesión {sn } no converge hacia 0. Por hipótesis E tiene medida cero, luego el conjunto F = D ∪ E también tendrá medida 0. Por lo tanto, dado ε > 0 se puede recubrir F por medio de una colección numerable de intervalos abiertos F1 , F2 , ..., la suma de cuyas longitudes es menor que ε. Se supone ahora que x ∈ [a, b]−F . Entonces x ∈ / E, y se tiene que sn (x) → 0 cuando n → ∞. Por consiguiente existe un entero N = N (x) tal que sn < ε. Por otro lado si x ∈ / D entonces x es interior a alguno de los intervalos en los cuales sN es constante. Luego existe un intervalo abierto B (x) tal que sn (t) < 2 para todo t de B (x) , y como {sn } es decreciente, se tiene sn (t) < ε

para todo n ≥ N y para todo t de B (x) .

(1)

Si se examina el conjunto de todos los intervalos B (x) obtenidos cuando x recorre [a, b] − F , junto con los intervalos F1 , F2, ..., forman un recubrimiento abierto de [a, b]. Puesto que [a, b] es compacto existe un subrecubrimiento finito [GR01]: p q   [a, b] ⊆ B (xi ) ∪ Fr . r=1

i=1

Se define ahora N0 como el mayor de los enteros N (x1 ) , ..., N (xp ) . De 1 se deduce que sn (t) < ε

para todo n ≥ N0 y todo t de

p 

i=1

Se definen A y B como sigue: B=

q 

Fr ,

A = [a, b] − B.

r=1

41

B (xi ) .

(2)

y por lo tanto, se puede ver que A es una reunión finita de intervalos disyuntos y que   b   sn = sn = sn + sn . I

a

A

B

Para obtener el resultado, se calcularán las integrales sobre A y sobre B. En primera instancia se evaluará la integral sobre B. Para ello, se define M como una cota superior de s1 en [a, b]. Como la sucesión {sn } es decreciente, se tiene que sn (x) ≤ s1 (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que la suma de las longitudes de los intevalos que pertenecen a B es menor que ε, se concluye que:  sn ≤ Mε (3) b

Se evaluará ahora la integral sobre A. Como A ⊆

p 

B (xi ), la desigualdad 2

i=1

prueba que sn (x) < ε si x ∈ A y n ≥ N0 . La suma de las longitudes de los intervalos de A no excede a b − a, y por tanto:  sn ≤ (b − a) ε si n ≥ N0 . (4) a

Reuniendo los resultados de las ec.3 y 4 se tiene que:    sn = sn + sn I

A

B

≤ M ε + (b − a) ε ≤ (M + b − a) ε

si n ≥ N0 , con lo cual queda demostrado que  l´ım sn = 0 n→∞ I

Teorema 4.2 Sea {tn } una sucesión de funciones escalonadas en un intervalo I tal que : i). Existe una función f tal que tn  f c.e.t.I. ii). La sucesión



I

 tn converge.

Entonces toda función escalonada t para la cual t (x) ≤ f (x) c.e.t. I verifica que:   t ≤ l´ım

I

n→∞ I

42

tn

Demostración. Para realizar esta demostración, se puede definir una nueva sucesión de funciones escalonadas no negativas {sn } en I así:  si t (x) ≥ tn (x) , t (x) − tn (x) sn (x) = 0 si t (x) ≤ tn (x) . de tal forma que sn (x) = m´ax {t (x) − tn (x) , 0} . Luego {sn } es decreciente en I puesto que {tn } es creciente y sn (x) → m´ ax {t (x) − f (x) , 0} c.e.t. I. Pero t (x) ≤ f(x) c.e.t. I, y por tanto sn  0 c.e.t. I. Luego por el teorema 4.1 limn→∞ I sn = 0. Pero sn (x) ≥ t(x) − tn (x) para todo x de I, y se tiene    sn ≥ t − tn I

I

I

Luego si n → ∞ se obtiene finalmente: 

t ≤ l´ım

I

4.2.



n→∞ I

tn

Funciones Superiores y sus Integrales

Definición 4.5 (Función Superior) Una función real f definida en un intervalo I se llama función superior en I, y se escribe f ∈ U (I), si existe una sucesión creciente de funciones escalonadas {sn } tal que: i). sn  f c.e.t. I ii). limn→∞



I

sn es finito

En este caso, se dice que la sucesión {sn } genera a f . La integral de f en I se define mediante la ecuación   f = l´ım sn i

Puesto que



s i n



n→∞ I

es una sucesión de números reales creciente, la condición

(i) es igual a afirmar que esta sucesión está acotada superiormente Teorema 4.3 Supongase que f ∈ U (I) y sean {sn } y {tm } dos sucesiones que generan a f. Entonces se cumple que:   l´ım sn = l´ım tm . n→∞ I

m→∞ I

43

Demostración. La sucesión {tm } satisface las hipótesis (i) y (ii) del teorema 4.2. Además para cada n se tiene que sn (x) ≤ f (x) c.e.t. I. De donde se puede verificar que para todo n:     t ≤ l´ım tn → s ≤ l´ım tm I

n→∞ I

n→∞ I

I

y por lo tanto se tiene que: l´ım



n→∞ I

sn ≤ l´ım



n→∞ I

tm

(1)

Por otra parte, la sucesión {sn } también satisface las hipótesis (i) y (ii) del teorema 4.2. Además para cada m se tiene que tm (x) ≤ f (x) c.e.t. I. De donde se puede verificar para todo n, que: 

I

t ≤ l´ım



n→∞ I

tn

→



t ≤ l´ım



n→∞ I

I

sn

y análogamente al caso anterior se tiene:

l´ım



n→∞ I

tm ≤ l´ım



n→∞ I

sn

(2)

Combinando las ecuaciones 1 y 2 se tiene que:   l´ım sn = l´ım tm . n→∞

4.2.1.

I

m→∞

I

Propiedades de la Integral de Funciones Superiores

Teorema 4.4 Supóngase que f ∈ U (I) y que g ∈ U (I). Entonces:  i). Propiedad   de Linealidad 1: (f + g) ∈ U (I) y por lo tanto I (f + g) = If + Ig 44

ii). Propiedad de 2: cf ∈ U (I) para cada constante c ≥ 0,  Linealidad  se tiene que I cf = c I f iii). Propiedad de Monotonía:



I

f≤



I

y

g si f (x) ≤ g (x) c.e.t.I

Las demostraciones de estas propiedades, así como del teorema 4.5 se pueden encontrar en [TA77][BA01] y [WM78]. Estas propiedades establecen un comportamiento lineal para la integral de Lebesgue similar al comportamiento de la integral de Riemann-Stieltjes. La propiedad de monotonía tiene la característica importante que se cumple cuando la restricción se cumple casi en todo el conjunto, soportando alguinos puntos finitos donde esta restricción ( f (x) ≤ g (x)) no se cumple. El siquiente teorema es de esperarse si se considera la propiedad de monotonía: Teorema 4.5  Si f ∈ U (I) y g ∈ U (I) , y si f (x) = g (x) casi para todo x en I, entonces I f = I g

Definición 4.6 (max, min y propiedades) Sean f y g funciones reales definidas en I. Se definen m´ax (f, g) y m´ın (f, g) como las funciones cuyo valor en cada x de I es, respectivamente, m´ax {f (x) , g (x)} y m´ın {f (x) , g (x)} . Las funciones m´ax y m´ın tienen las siguientes propiedades: i). m´ax (f, g) + m´ın (f, g) = f + g. ii). m´ax (f + h, g + h) = m´ax (f, g) + h y m´ın (f + h, g + h) = m´ın (f, g) + h. iii). Si fn  f c.e.t. I, y si gn  g c.e.t. I, entonces m´ax (fn , gn )  m´ax (f, g) c.e.t.I y m´ın (fn , gn )  m´ın (f, g) c.e.t.I Teorema 4.6 Si f ∈ U (I) y g ∈ U (I) , entonces m´ ax(f, g) ∈ U (I) y m´ın(f, g) ∈ U (I) Demostración. Sean {sn } y {tn } sucesiones de funciones escalonadas, las cuales generan f y g respectivamente. Sean un = m´ ax (sn , tn ) , vn = m´ın(sn , tn ). Entonces un y vn son funciones escalonadas tales que un  m´ ax (f, g) y vn  m´ın (f, g) c.e.t. I  Para  probar que m´ın (f, g) ∈ U (I) es suficiente probar que la sucesión v es acotada Para ello, se observa que  vn = m´ n I ın (sn .tn ) ≤  superiormente.  f, c.e.t. I, luego I vn ≤ I f. Por consiguiente la sucesión I vn converge y se cumple m´ın(f, g) ∈ U (I) .

45

  Para probar que m´ax(f, g) ∈ U (I) basta con ver que la sucesión I un también converge ya que por la propiedad (i) de la definición 4.6, se tiene que un = sn + tn − vn y por tanto        un = sn + tn − vn → sn + tn − m´ın (f.g) I

I

I

I

I

I

I

de donde se concluye que m´ax(f, g) ∈ U (I) Teorema 4.7 Supongase que el intervalo I es la reunión de dos subintervalos I1 y I2 que carecen de puntos interiores comunes. Esto es, I = I1 ∪I2 . Si f ∈ U (I) y además f ≥ 0 c.e.t. I, entonces f ∈ U (I1 ) , f ∈ U (I2 ) , y se cumple que:    f= f+ f I

I1

I2

Demostración. Sea {sn } es una sucesión creciente de funciones escalonadas que generan f en I. Sea s+ ax {sn (x) , 0} para cada x de I. Entonces n (x) = m´ {s+ n } es una sucesión creciente de funciones escalonadas no negativas que generan en cada subintervalo J de I se tiene  + f en  I.+ (ya que f ≥ 0). Además, + s ≤ s ≤ f, por lo que {s } genera f en J. Además, se tiene que: n n n J I I    s+ s+ s+ n = n + n, I

I1

I2

al hacer n → ∞ se tiene finalmente: 

4.3.

f= I



f+

I1



f

I2

La Clase de las Funciones Integrables de Lebesgue

Existe un aspecto indeseable en el comportamiento de las funciones superiores que afecta la integrabilidad: si u y v son funciones superiores, la diferencia u−v no es necesariamente una función superior. Para eliminar este problema, se define la clase de las funciones integrables definidas en un intervalo I tal como se expone a continuación. Definición 4.7 (Clase L(I) de las Funciones Integrables de Lebesgue) Se designará por L (I) al conjunto de todas las funciones f de la forma f = u−v,

46

en donde u ∈ U (I) y v ∈ U (I). Cada función f de L (I) se llama función integrable de Lebesgue en I, y su integral se define por la ecuación    f = u− v I

I

I

Toda función f ∈ L (I) se puede escribir como diferencia de dos funciones superiores y no necesariamente de forma única. Teorema 4.8 Sean u, v, u1 y v1 funciones de U (I) tales que u − v = u1 − v1 . Entonces     u − v = u1 − v1 I

I

I

I

Demostración. Las funciones u + v1 y u1 + v pertenecen a U (I) y u−v u − v + v1 u + v1

= u1 − v1 . = u1 . = u1 + v

Luego por la parte (i) del teorema 4.4 se tiene que 

u+ I



v1 = I



u1 +

I



v

I

y reordenando se obtiene: 

4.4.

u− I



v= I



u1 − I



v1

I

Propiedades Generales de la Integral de Lebesgue

Teorema 4.9 Se suponen f ∈ L (I) y g ∈ L (I). Entonces se tiene que: i). (af + bg) ∈ L (I) para cada par de numeros reales a y b, y    (af + bg) = a f + b g. I

ii).



I

f ≥0

si f (x) ≥ 0

I

c.e.t. I.

47

I

iii). iv).



I

f≥

I

f=





I

g si f (x) ≥ g (x) c.e.t. I.

I

g si f (x) = g (x) c.e.t. I.



Demostración. Para demostrar (i) se tiene que aplicando la parte (i) del teorema 4.4 se obtiene    (af + bg) = af + bg I

I

I

y aplicando la parte (ii) del teorema 4.4 en cada una de los componentes de la suma se llega a: 

 af + bg I I   = a f +b g

(af + bg) =

I



I

I

Para demostrar (ii) se toma f = u − v, en donde u ∈ U (I) y v ∈ U (I). Entonces  u (x) ≥ v (x) c.e.t. I y por la parte (iii) del teorema 4.4, se tiene que  u ≥ I v, resultando i    f=

i

u−

i

v≥0

I

Para demostrar (iii) se aplica (ii) del mencionado teorema 4.4 a f − g y se tiene   f ≥ g si f (x) ≥ g (x) c.e.t.I I

I

Para demostrar (iv) basta considerar que el tener f (x) = g (x) c.e.t. I. equivale a tener f (x) ≤ g (x) c.e.t. I. y f (x) ≥ g (x) c.e.t. I. simultáneamente   aplicando   la parte (iii) a cada una de las desigualdades se obtiene I f ≥ I g y I f ≤ I g que al combinarlas resulta   f = g si f (x) = g (x) c.e.t.I. I

I

48

Definición 4.8 (Parte Positiva y Negativa de f ) Sea f una función real, y sean f + y f − sus partes positiva y negativa respectivamente. Entonces, f + y f − se definen por medio de las ecuaciones f + = m´ax (f, 0) ,

f − = m´ ax (−f, 0) .

En donde f + y f − son funciones no negativas y f = f + − f −,

|f | = f + + f − .

Teorema 4.10 Si f y g son funciones de L (I) , entonces tambien lo son f + , f − , |f | , m´ax (f, g) y m´ın (f, g) . Además       f  ≤ |f |   I

I

Demostración. Sea f = u − v, en donde u ∈ U (I) y v ∈ U (I) .Entonces f + = m´ ax (u − v, 0) = m´ ax (u, v) − v por el teorema 4.6 se tiene que m´ ax (u, v) ∈ U (I) y v ∈ U (I), luego f + ∈ L (I) , dado que según la definición 4.8 f = f + − f − se tiene que f − = f + − f, de donde f − ∈ L (I) , como |f | = f + + f − y tanto f + ∈ L (I) como f − ∈ L (I) resulta que |f | ∈ L (I) Ya que − |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| para todo x de I se tiene    − |f | ≤ f ≤ |f | , i

lo que prueba que

I

      f  ≤ |f |   I

Por último, se puede escribir:

I

m´ax (f, g) = m´ın (f + g) =

I

1 (f + g + |f − g|) 2 1 (f + g − |f − g|) 2

en donde como f, g, |f − g| son funciones de L (I) resulta que m´ ax (f, g) y m´ın (f, g) son funciones de L (I) 49

Teorema 4.11 (Propiedades de Funciones Integrables por Lebesgue) Supongase que f ∈ L (I) . Entonces se tienen las siguientes propiedades: i). Invariancia por traslaciones. Si g (x) = f (x − c) para x pertenecientes a I + c, entonces g ∈ L (I + c) , y   g= f I+c

I

ii). Comportamiento de la integral bajo una dilatación o una contracción. Si g (x) = f (x/c) para x perteneciente a cI, donde c > 0, entonces g ∈ L (c) I y   g=c

cI

f.

I

iii). Invariancia por reflexion. Si g(x) = f (−x) para x pertenecientes a −I, entonces g ∈ (−I) y   g= f −I

I

Demostración. El método de demostración es directo, solo requiere sustituir adecuadamente los valores como sigue: se verifican primero los teoremas 4.1 y 4.2 para funciones escalonadas, luego se procede a verificar los teoremas 4.3, 4.4, 4.5 y 4.6 para integrales superiores y por últimos se verifican los teoremas 4.8 para funciones integrables de Lebesgue, obteniéndose como resultado que las propiedades (i) , (ii) y (iii) cumplen las condiciones de dichos teoremas. Teorema 4.12 Sea I un intervalo unión de dos subintervalos I = I1 ∪ I2 , en donde I1 e I2 no tienen puntos interiores comunes. i). Si f ∈ L (I) , entonces f ∈ L (I1 ) , f ∈ L (I2 ) , y    f= f= f I

I1

I2

ii). Supongase que f1 ∈ L (I1 ) , f2 ∈ L (I2 ) , y sea f una función definida en I  f1 (x) si x ∈ I1 f (x) = f2 (x) si x ∈ I − I1 Entonces f ∈ L (I) y



I

f=



I1

f1 +

50



I2

f2

Demostración. Sea f = u − v, donde u ∈ U (I) y v ∈ U (I) . Entonces u = u+ − u− y v = v+ − v− , luego f = u+ + v− − (u− + v+ ) . Aplicando el teorema 4.7 a cada una de las funciones no negativas u+ + v− y u− + v+ se tiene que f ∈ L (I1 ) , f ∈ L (I2 ) , y    f= f= f I

I1

I2

Teorema 4.13 Supongase que f ∈ L (I) y sea ε > 0 dado. Entonces: i). Existen funciones u y v de U (I) tales que f = u − v, en donde v es no negativa c.e.t. I e I v < ε ii). Existe una  función escalonada s y una función g de L (I) tal que f = s + g, donde I |g| < ε Demostración. i) Puesto que f ∈ L (I) , se puede escribir f = u1 − v1 , en donde u1 y v1 son funciones de U (I) . Sea {tn } sucesión que genere v1 . Ya que  t → I n I v1 , se elige N tal que 0 ≤ I (v1 − tN ) < ε. Sea ahora v = v1 − tn y u = u1 − tN . Entonces, tanto u como v pertenecen a U (I) y u− v = u1 − v1 = f. Además como v es no negativa c.e.t. I se puede concluir que  v 0 un numero real dado de antemano. Se probara que D tiene medida cero mostrando que D se puede recubrir por medio de una colección numerable de intervalos,   cuya suma de longitudes es < ε. Puesto que la sucesión I sn converge, esta acotada por alguna constante positiva M. Sea

  ε sn (x) si x ∈ I 2M en donde [y] designa la parte entera ≤ y. Entonces {tn } es una sucesión creciente tn (x) =

de funciones escalonadas tales que cada uno de los valores tn (x) es un entero no negativo. Si {sn (x)} converge, entonces {sn (x)} esta acotada, luego {tn (x)} esta acotada y entonces tn+1 (x) = tn (x) para n suficientemente grande, puesto que cada tn (x) es un entero Si {sn (x)} diverge, entonces {tn (x)} tambien diverge y tn+1 (x) − tn (x) ≥ 1 para infimos valores de n. Sea dn = {x : x ∈ I

y

tn+1 (x) − tn (x) ≥ 1} .

Entonces Dn es reunion de un numero finito de intervalos, la suma de cuyas longitudes se designaran por |Dn | . Ahora D⊆

∞ 

Dn

n=1

y si se tiene que ∞ n=1 |Dn | < ε, se habra demostrado que D tiene medida 0. Se integra la función escalonada no negativa tn+1 − tn sobre I y se obtienen las desigualdades    (tn+1 − tn ) ≥ (tn+1 − tn ) ≥ 1 = |Dn | I

Dn

Dn

Luego para cada m ≥ 1 se tiene

53

m


|Dn | ≤

n=1

m 


n=1

=



(tn+1 − tn )

I

tm+1 −

I

≤



t1

I



tm+1  ε ε sm+1 ≤ 2M I 2 I

≤ Por consiguiente

∞

n=1 |Dn |

≤ ε/2 < ε, de donde D tien medida cero.

Esto prueba que {sn } converge casi en todo I. Sea  l´ımn→∞ sn (x) si x ∈ I − D f (x) = 0 si x ∈ D. Entonces f esta definida en casi todo I y sn → f casi en todo I. Por consiguiente, f ∈ U (I) y se concluye 

f = l´ım



n→∞ I

I

sn

Teorema 4.17 (Teorema de Levi para funciones superiores) Sea {fn } una sicesión de funciones superiores tales que i). {fn } crece casi en todo un cierto intervalo I ii). l´ımn→∞



I

fn existe

Entonces {fn } converge casi en todo I hacia una función límite f pertenenciente a U (I) , y   f = l´ım fn. n→∞ I

I

Demostración. Para cada k existe una sucesión creciente de funciones escalonadas {sn,k } que genera fk . Se define en I una nueva función escalonada tn en I por medio de la ecuacion tn (x) = m´ ax {sn,1 (x) , sn,2 (x) , ..., sn.n (x)} Entonces {tn } es creciente en I ya que

54

tn+1

= m´ ax {sn+1,1 (x) , ..., sn+1,n+1 (x)} ≥ m´ ax {sn,1 (x) , ..., sn.n+1 (x)} ≥ m´ ax {sn,1 (x) , ..., sn.n (x)} = tn (x)

Pero sn,k (x) ≤ fk (x) y {fk } crece casi en todo I, luego se verifica tn (x) ≤ m´ ax {f1 (x) , ..., fn (x)} = fn (x)

(1)

casi en todo I. Por consiguiente, por el teorema 4.4 en la parte (iii), se obtiene 



tn ≤

I

Pero por (ii),



I

fn



fn

(2)

I

esta acotada superiormente y entonces la sucesión cre-

  ciente t tambien esta acotada superiormente y por lo tanto converge. I n aplicando el teorema 4.16, {t  n } converge casi  en todo I hacia una función límite f perteneciente a U (I) , e I f = l´ımn→∞ I tn . La definición de tn (x) implica sn.k (x) ≤ tn (x) para todo k ≤ n y todo x de I. Haciendo que n → ∞, se obtiene f (x) ≤ g (x)

casi entodo I

(3)

De donde la sucesión creciente {fk (x)} esta acotada superiormente por f (x) casi en todo I, luego converge casi en todo I hacia una función límite g que satisface g (x) ≤ f (x) casi en todo I. Pero 1 establece que tn (x) ≤ fn (x) casi en todo I luego, haciendo n → ∞, se obtiene f (x) ≤ g (x) casi en todo I. En otras palabras l´ım fn (x) = f (x) casi en todo I. n→∞

Por otro lado, se ve que



I

 f = l´ımn→∞ I fn . Haciendo n → ∞ en 2 se tiene   f ≤ l´ım fn (4) I

n→∞ I

Ahora integrando 3 y aplicando de nuevo el teorema 4.4, se tiene



I

fk ≤



I

f.

  Haciendo k → ∞ se tiene l´ımk→∞ I fk ≤ I f que al conbinarse con la ecuación 4 se obtiene finalmente   f = l´ım fn. I

n→∞ I

55

Teorema 4.18 (de Levi para series de funciones en L(I)) Sea {gn } una sucesión de funciones de L (I) tal que i). cada gn es no negativa casi en todo I, ii). la serie

∞ 

gn converge.

Entonces la serie ∞ n=1 gn converge casi en todo I hacia una función suma g de L (I) , y se tiene: n=1 I



g=

I


∞

gn =

I n=1

∞ 


gn .

I

n=1

Demostración. Puesto que gn ∈ L (I) , el teorema 4.13 dice que para cada ε > 0 se puede escribir gn = un − vn  en donde un ∈ U (I) , vn ∈ U (I) , vn ≥ 0, c.e.t. I e I vn < ε.Se eligen un y vn  1 n correspondientes a ε = 2 . Entonces n  1 un = gn + vn , en donde vn < 2 I  

La desigualdad que verifica I vn asegura que la serie ∞ n=1 I vn converge. Ahora un ≥ 0 casi en todo I. Luego las sumas parciales Un (x) =

n


uk (x)

k=1

forman una sucesión de funciones superiores {Un } que crece casi en todo I. Puesto que 

I

Un =


n

uk =

I k=1

n 


uk =

I

k=1

n 
k=1

I

gk +

n 


k=1

vk

I

 

∞  la sucesión k=1 I gk  integrales I Un converge, ya que tanto la serie

∞ de como k=1 I vk convergen. Por consiguiente, aplicando el teorema 4.17, la casi en todo I hacia una función límite U de U (I) , e sucesión {Un } converge  ımn→∞ I Un . Pero I U = l´ 

Un =

I

luego



I

n 


U=

∞ 
k=1

56

uk ,

I

k=1

I

uk .

De la misma forma la sucesión de sumas parciales {Vn } dadas por Vn (x) =

n


vk (x)

k=1

converge casi en todo I hacia una función límite V de U (I) y se tiene que  ∞ 
V = vk . I

k=1

I

n De donde se tiene que U − V ∈ L (I) y la sucesión { k=1 gk } = {Un − Vn } converge casi en todo I hacia U − V. Sea g = U − V. Entonces g ∈ L (I) y se cumple:    ∞  ∞ 

g= U− V = (uk − vk ) = gk I

I

I

k=1

I

k=1

I

Teorema 4.19 (de Levi para sucesiones de funciones en L(I)) Sea {fn } una sucesión de funciones de L (I) tal que i). {fn } crece casi en todo I ii). l´ımn→∞



I

fn existe

Entonces {fn } converge casi en todo I hacia una función límite f de L (I) y   f = l´ım fn n→∞

I

I

Demostración. Sea {fn } que satisface (i) y (ii). Sea g1 = f1 y sea gn = fn − fn−1 para n ≥ 2, entonces n


fn =

gk .

k=1

aplicando el teorema 4.18 a {gn } , se tiene que ∞ n=1 gn coverge casi en todo I hacia una funcin suma g de L (I) , y se verifica la ecuación  
∞ ∞ 
g= gn = gn . I

I n=1

n=1

I

Por consiguiente fn → g casi en todo I y se tiene finalmente:   g = l´ım fn I

n→∞ I

57

Teorema 4.20 (Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue) Sea {fn } una sucesión de funciones integrables de Lebesgue en un intervalo I. Supongase que i). {fn } converge casi en todo I hacia una función límite f. ii). existe una función no negativa g de L (I) tal que, para todo n ≥ 1, |fn (x)| ≤ g (x)

c.e.t. I.

se puede afirmar que la función límite f ∈ L (I) , la sucesión  Entonces  f converge y además se cumple que: n I 

i

f = l´ım

n→∞



fn I

La propiedad (ii) se enuncia diciendo que la sucesión {fn } esta dominada por g casi en todo I. Demostración. La idea de la demostración consiste en obtener cotas superiores e inferiores de la forma gn (x) ≤ fn (x) ≤ Gn (x)

(1)

en donde {gn } crece y {Gn } decrece casi en todo I hacia la función límite f.  Para ello se utiliza la teoria de Levi para demostrar que f ∈ L (I) y que f = l´ımn→∞ I gn = l´ımn→∞ Gn , de lo que se deduce I   f = l´ım fn (2) i

n→∞

I

Para construir {gn } y {Gn } , hacemos uso repetido del teorema de Levi para sucesiones de L (I) . Ante todo se define una sucesión {Gn,1 } Gn,1 (x) = m´ ax {f1 (x) , f2 (x) , ..., fn )x} . Cada función Gn,1 ∈ L (I) por el teorema 4.10, y la sucesión {Gn,1 } es creciente en I. Dado que |Gn,1 (x)| ≤ g (x) casi en todo I, se tiene        Gn,1  ≤ |Gn,1 | ≤ g. (3)   I

I

I

 Por lo tanto la sucesión creciente de numeros I Gn,1 esta acotada superiormente por I g, luego l´ımn→∞ I Gn,1 existe. Aplicando el teorema 4.19, la sucesión {Gn,1 } converge casi en todo I hacia una función G1 de L (I) , y se tiene:    G1 = l´ım Gn,1 ≤ g. 

I

n→∞ I

58

I

  Por la ecuación 3 se tiene también la desigualdad − I g ≤ I G1 . Se observa que si x es un punto de I para el que Gn,1 (x) → G1 (x) , entonces también se debe tener que: G1 (x) = sup {f1 (x) , f2 (x) , ...} asimismo, para cada r ≥ 1 se considera Gn,r (x) = m´ ax {fr (x) , fr+1 (x) , ..., fn (x)} para n ≥ r. Entonces la sucesión {Gn.r } crece y converge casi en todo I hacia una función límite Gr de L (I) con    − g ≤ Gr ≤ g. I

I

I

Ademas, en todos los puntos en los que Gn,r (x) → Gr (x) , se tiene Gr (x) = sup {fr (x) , fr+1 (x) , ...} , luego fr (x) ≤ Gr (x)

c.e.t. I

Examinando ahora las propiedades de la sucesión {Gn (x)} . Ya que A ⊆ B implica sup A ≤ sup B, la sucesión {Gr (x)} decrece casi en todo I y por tanto converge casi en todo I. A continuación se ve que Gn (x) → f (x) siempre que l´ım fn (x) = f (x) .

n→∞

(4)

Si se verifica la ecuación 4, entonces para cada ε > 0, existe un entero N tal que f (x) − ε < fn (x) < f (x) + ε para todo n ≥ N De donde si m ≥ N se tiene f (x) − ε ≤ sup {fm (x) , fm+1 (x) , ...} ≤ f (x) + ε que es lo mismo que m ≥ N implica f (x) − ε ≤ Gm (x) ≤ f (x) + ε y eso implica que l´ım Gm (x) = f (x) ,

m→∞

casi en todo I

(5)

  Por otra parte,  la sucesión numérica decreciente I Gn esta acotada inferiormente por − I g, y se puede concluir que converge. Por la ecuación 5 y por el teorema 4.19, se ve que f ∈ L (I) y que   l´ım Gn = f. n→∞ I

I

59

Al aplicar este mismo argumento a la sucesión gn,r (x) = m´ın {fr (x) , fr+1 (x) , ..., fn (x)} , para n ≥ r, se obtiene que {gn,r } decrece y converge casi en todo I hacia una función límite gr de L (I) , en donde gr (x) = inf {fr (x) , fr+1 (x) , ...}

c.e.t.I.

Ademas, casi en todo I se tiene gr (x) ≤ fr (x) , {gr } crece, l´ımn→∞ gn (x) = f (x) , y   l´ım gn = f. n→∞ I I    Ya que la ecuación 1 se verifica casien todo  I, se tiene I gn ≤ I fn ≤ I Gn . Si se hace que n → ∞ se tiene que I fn converge y que   l´ım fn = f n→∞

I

I

Teorema 4.21 Sea {gn } una sucesión de funciones de L (I) tal que i). cada gn es no negativa casi en todo I.

ii). la serie ∞ n=1 gn converge casi en todo I hacia una función g acotada superiormente por una función L (I) . 

Entonces g ∈ L (I) , la serie ∞ n=1 I gn converge, y se tiene que 
∞ ∞ 
gn = gn . I n=1

n=1

I

Demostración. Si se tiene fn (x) =

n


gk (x)

si x ∈ I.

k=1

Entonces fn  g casi en todo I, y {fn } está dominada casi en todo I por la función L (I), la cual acota superiormente a la función   g. Por consiguiente,  al apliar el teorema 4.20, g ∈ L (I) , la sucesión I fn converge, e I g = l´ımn→∞ I fn con lo que queda demostrado el teorema.

Teorema 4.22 (Teorema de Convergencia Acotada de Lebesgue) Sea I un intervalo acotado. Supongase que {fn } es una sucesión de funciones de L (I) que es acotadamente convergente casi en todo I. Esto es, supongase que admite una función límite de f y una constante positiva M tales que l´ım fn (x) = f (x)

y

n→∞

Entonces f ∈ L (I) y l´ımn→∞



I

|fn (x)| ≤ M, fn =



I

f

60

casi en todo I

Demostración. Se aplica el teorema 4.20 con g (x) = M para todo x de I. Entonces g ∈ L (I)  , puesto que I es un intervalo acotado se tiene f ∈ L (I) y l´ımn→∞ I fn = I f.

Teorema 4.23 Sea {fn } una sucesión de funciones de L (I) que converge casi en todo I hacia una función límite f. Supongase que existe una función no negativa g de L (I) tal que |f (x)| ≤ g (x)

c.e.t. I

Entonces f ∈ L (I) . Demostración. Se define una nueva sucesción de funciones {gn } en I gn = m´ ax {m´ın (fn , g) , −g} Geométricamente la función gn se obtiene a partir de la función fn cortandole la parte de la grafica que se halla por encima de g y la que se halla por debajo de −g. Entonces |gn (x)| ≤ g (x) casi en todo I, y es facil verificar que gn → f casi en todo I. Por consiguiente en virtud del teorema 4.20, f ∈ L (I) .

4.7.

Integradores de Lebesgue sobre Intervalos no Acotados

Teorema 4.24 Sea f una función definida en el semiintervalo infinito I = [a, +∞) . Supongase que f es integrable mediante Lebesgue en el intervalo compacto [a, b] para cada b ≥ a, y que existe una constante positiva M tal que 

b

|f| ≤ M

para todo b ≥ a

a

Entonces f ∈ L (I) , el límite l´ımb→+∞ 

a

+∞

b a

f existe, y

f = l´ım

b→+∞



b

f a

Demostración. Sea {bn } una sucesión creciente de números reales con bn ≥ a tal que l´ımn→∞ bn = +∞. Se define una sucesión {fn } en I  f (x) si a ≤ x ≤ bn , fn (x) = 0 en otro caso. Por el teorema 4.11 cada fn ∈ L (I) y fn → f en I. luego |fn | → |f | en I. Pero b   |fn | es creciente y ya que a |f| ≤ M para todo b ≥ a, la sucesión I |fn | esta acotada superiormente por M. Por lo tanto l´ımn→∞ I |fn | existe. por el teorema 61

4.19, la función límite de |f | ∈ L (I) . Ahora bien, cada |fn | ≤ |f | y fn → f en I, y entonces por el teorema de 4.20, f ∈ L (I) y l´ımn→∞ I fn = I f. De donde l´ım



n→∞ a

bn

f=



+∞

f

a

para todas las sucesiones {bn } que crecen hacia +∞.

4.8.

Funciones Medibles

Definición 4.9 Una función f definida en I se llama medible en I, y se escribe f ∈ M (I) , si existe una sucesión de funciones escalonadas {sn } en I tal que l´ım sn (x) = f (x)

n→∞

casi en todo I

Teorema 4.25 Si f ∈ M (I) y si |f (x)| ≤ g (x) casi por todo I para la función no negativa g de L (I) , entonces f ∈ L (I) Demostración. Existe una sucesión de funciones escalonadas {sn } tal que sn (x) → f (x) casi por todo I. Ahora se aplica el teorema 4.23 del cual se deduce que f ∈ L (I) . Corolario 4.1 Si f ∈ M (I) y |f| ∈ L (I) , entonces f ∈ L (I) Corolario 4.2 Si f es medible y acotada en un intervalo acotado I, entonces f ∈ L (I) Teorema 4.26 Sea ϕ una función real continua en R2 . Si f ∈ M (I) y g ∈ M (I) , se define h en I por medio de la ecuacion h (x) = ϕ [f (x) , g (x)] . Entonces h ∈ M (I) . En particular, f + g, f · g, |f| , m´ ax (f, g) , m´ın (f, g) pertenecen a M (I) . además f1 ∈ M (I) si f (x) = 0 casi en todo I. Demostración. Sean {sn } y {tn } dos sucesiones de funciones escalonadas tales que sn → f y tn → g casi en todo I. Entonces la función un = ϕ [sn , tn ] es una función escalonada tal que un → h casi en todo I. Luego h ∈ M (I) . Teorema 4.27 Sea f una función definida en I y supongase que {fn } es una sucesión de funciones en I tal que fn (x) → f (x) casi en todo I. Entonces f es medible en I.

62

Demostración. Se elige una función positiva g de L (I, ) , g = todo x de I. sea Fn (x) = g (x) Entonces Fn (x) −→ Sea F (x) =

fn (x) 1 + |fn (x)|

g (x) fn (x) 1 + |fn (x)|

1 (1+x2 )

para

para x de I

casi en todo I

g (x) f (x) . Dado que cada función Fn es medible en I y que 1 + |f (x)|

|Fn (x)| < g (x) para todo x,el teorema 4.25 prueba que Fn ∈ L (I) . Además, |F (x)| < g (x) para todo x de I, por el teorema 4.23, F ∈ L (I) . y entonces F ∈ M (I) .Ahora, se tiene   |f (x)| f (x) g (x) f (x {g (x) − |F (x)|}) = f (x) g (x) 1 − = = F (x) 1 + |f (x)| 1 + |f (x)| para todo x de I, luego

f (x) =

F (x) . g (x) − |F (x)|

De donde f ∈ M (I) debido a que cada una de las funciones F, g y |F | pertenecen a M (I) y g (x) − |F (x)| > 0 para todo x de I

4.9.

Continuidad de Funciones Definidas por medio de Integrales de Lebesgue

Teorema 4.28 Sean X e Y dos subintervalos de R, y sea f una función definida en X × Y que satisfaga las condiciones i). Para cada punto y de Y, la función fy definida en X por medio de la ecuacion fy (x) = f (x, y) es medible en X ii). Existe una función no negativa g de L (X) tal que para cada y de Y, |f (x, y)| ≤ g (y)

c.e.t. X

iii). Para casi todas los x de X, f (x, y) es una función de y continua en Y. Para cada y de Y l´ım f (x, t) = f (x, y)

t→y

63

c.e.t. X

 Entonces la integral de Lebesgue  X f (x, y) dx existe en cada y de Y, y la función F definida porF (y) = X f (x, y) dy es continua en Y. Si y ∈ Y se tiene   l´ım f (x, t) dx = l´ım f (x, t) dx t→y

X t→y

X

Demostración. Dado que fy es medible en X y dominada casi en todo X por una función no negativa g de  L (I) , el teorema 4.25 prueba que fy ∈ L (I) , esto es, la integral de Lebesgue X f (x, y) dx existe para cada y de Y, Si se elige un punto fijo y de Y y sea {yn } una sucesión de puntos Y tal que l´ım yn = y. Se prueba que l´ım F (yn ) = F (y) . Sea Gn (x) = f (x, yn ) . Cada Gn ∈ L (X) y por  (iii) se  tiene que Gn (x) → f (x, y) casi en todo X. Se puede observar que F yn = X Gn (x) dx. Puesto que (ii) se verifica, el teorema 4.20 prueba que la sucesión {F (yn )} converge y que:  l´ım F (yn ) = f (x, y) dx = F (y) n→∞

X

64

5.

Comparación entre las Integrales de RiemannStieltjes y las integrales de Lebesgue

Aunque la costumbre es estudiar el calculo integral mediante el calculo de áreas, este estudio también puede hacerse mediante la búsqueda de soluciones de la ecuación diferencial y = f (x), algo posible y hasta natural en el estudio de la evolución de un fenómeno fisico. Se trata del problema del cálculo de primitivas: hallar una función y tal que y = f(x). El calculo de primitivas resultó ser una herramienta de gran utilidad y de relativamente fácil aplicación debido al Teorema Fundamental del Cálculo para la integral de Riemann. Este teorema representa una gran ventaja porque establece una estrecha relación entre el calculo de áreas y el calculo de primitivas, pero deja huecos en este ultimo hecho como demostrara Vito Volterra en 1885 al construir una función derivable en [a, b] con derivada acotada pero no integrable en el sentido de Riemann. La integral de Lebesgue aparece entonces en las primeras décadas del siglo XX, como una solución a este problema: como constructo matemático, no solo amplía el dominio que pueden tener las funciones integrales, sino que en general, amplía el propio concepto de integración. Dentro de los conceptos que permiten definir y utilizar la integral de Lebesgue se encuentra en primera instancia, el concepto de medida [UD01],.[BA01]. Una medida no es más que una función que a ciertos subconjuntos A les asocia un numero no negativo µ (A), llamado su medida o volumen, que da una idea de su "tamaño". Si se considera una función f [a, b] → R que toma un número finito de valores, la definición de la integral de Riemann corresponde esencialmente a dividir el intervalo [a, b] en subintervalos, multiplicar el valor que la función toma en cada subintervalo por su longitud y sumar. Esto es: 

b

f (x) dx =

a

n


f (xk ) (xk − xk−1 )

k=1

Para la integral de Lebesgue, se determina primero cual es la pre imagen Ek ⊂ [a, b] de cada valor yk que la función asume, se multiplica la medida de la pre imagen por el valor de la función y se suma: 

a

b

fdµ =

m


yk µ (Ek )

k=1

Ahora bien, es de esperarse que los resultados numéricos obtenidos por los dos métodos sean los mismos, cuando se tratan de funciones integrables tanto mediante Riemann como Lebesgue. La función que a cada subconjunto de R le asocie un tamaño o medida µ(A) debe satisfacer ciertas propiedades:

65

1. Para un segmento A = [ab] la medida este dada por su longitud, µ (A) = b−a 2. Si A es la unión de conjuntos A1, A2, . . . disjuntos dos a dos, entonces µ (A) = nk=1 µ (Ak )

3. Si A es un conjunto con medida µ(A) entonces su traslación x + A = {x + y : y ∈ A} deberá tener la misma medida µ (x + A) = µ (A) . En 1905 Vitali dijo que este tipo de funciones no existian, y demostró que existen conjuntos muy extraños para los cuales no son validas estas propiedades que parecen obvias, que para solucionar este problema se debía modificar nuestra noción de tamaño o bien restringirse a medir únicamente una colección mas pequeña de subconjuntos de R. Esta ultima opción es la mas adecuada ya que los subconjuntos de R medibles incluyen a cualquier subconjunto normal, que pueda ser aproximado mediante intervalos. Uno de los aspectos que más han impulsado el desarrollo de la integral de Lebesgue se expuso en la sección 4.3. Allí se mencionó que se estaba buscando la definición de una nueva integral cuya clase de funciones integrables fuera mayor que las funciones integrables bajo Riemann y que además tuviera buen comportamiento. Por buen comportamiento se hace referencia particular a la propiedad (deseable e importante) que dice que la integral del límite equivale al límite de las integrales (que no se cumple siempre en las integrales de Riemann, donde se puede tener que el límite de una sucesión de funciones integrables no sea integrable). Esta última propiedad es establecida progresivamente en la integral de Lebesgue mediante los teoremas de convergencia monótona, el lema de Fatou y finalmente el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Sin embargo, comparando los teoremas de Lebesgue con los teoremas relativos a la integral de Riemann, se tiene el teorema 5.1 equivalente en cierta manera al teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Teorema 5.1 (Teorema de Convergencia para Riemann) Sean a, b ∈ R, con a < b, y sea {fn } una sucesión uniformemente convergente de funciones integrables mediante Riemann definidas en [a, b] tales que l´ım fn (x) = n→∞

f (x) para todo x ∈ [a, b] . Entonces: l´ım



n→∞ a

b

fn (x)dx =



b

f (x)dx

a

Un exámen y una comparación detallada de ambos teoremas muestra que la versión de Riemann exige que fn sea uniformemente convergente, esto es, que dado un 2 > 0, exite un número natural N tal que |f (x) − fn (x)| < 2 siempre que n > N, para todo x ∈ [a, b] . Por otra parte, la versión de Lebesgue, el teorema de convergencia dominada, es mucho menos restrictivo respecto de 66

fn . Gracias a esta diferencia, se puede esperar que la clase de las funciones integrables mediante Lebesgue tengan mejores propiedades para el límite que la clase de las funciones integrables mediante Riemann. En esencia, la integral de Lebesgue se comporta mejor y para ello un ejemplo muy sencillo de función integrable mediante Lebesgue pero no mediante Riemann: la Función de Dirichlet, que se puede definir como  n 2 si x es racional fn (x) = 0 si x es irracional Se puede encontrar [WM78] el siguiente teorema, que muestra como un función que es integrable mediante Riemann es integrable mediante Lebesgue: Teorema 5.2 (Integrable bajo Riemann es integrable bajo Lebesgue) Si f es una función integrable bajo Riemann en el intervalo I = [a, b], entonces f ∈ L(I), y las dos integrales son iguales. Esto es:  b  f (x)dx = f dm a

I

Demostración. Dado el intervalo I = [a, b], y n ≥ 1 indica la cantidad de subintervalos en los que está particionado. Además, se tomará aquí por α(xn ) como la función escalonada asociada con una partición Pn . Entonces, se tiene que siempre es posible encontrar una particón Pn que cumpla:  b 1 0 ≤ (i) fdα − _I(f, α) < n a además se puede verificar que:

_I(f, α) → (i)



b

f dα si n → ∞

a

De manera análoga se puede obtener el siguiente resultado:  b ¯ α) → (s) I(f, f dα si n → ∞ a

Tomando la unión de las sumas inferior y superior, se puede verificar que:  b _I(f, α) ≤ L(Pn , f, α) ≤ (i) fdα a

¯ α) ≥ S(Pn , f, α) ≥ (s) I(f,



b

f dα

a

Lo cual implica que se debe cumplir:  b L(Pn , f, α) → (i) f dα si n → ∞

(2)

a

U(Pn , f, α) → (s)



a

67

b

f dα si n → ∞

(3)

Se puede reemplazar la sucesión P1 , P2 , P3 ... por P1, P1 ∪ P2 , P1 ∪ P2 ∪P3 , ... y renombrar cada uno de los subintervalos así formados como P1 , P2 , ... se puede asumir que Pn ⊂ Pn+1 y además las ecuaciones 2 y 3 se conservan. Ahora bien, si Pn ⊂ Pn+1 se tiene que para todo n y para todo x se cumple: y se tiene en particular que {Ln } es una sucesión creciente, y se ve que está acotada superiormente por f ; por tanto, l´ım {Ln } = g existe, y satisface g ≤ f. n→∞

De manera análoga para {Un } es una sucesión decreciente acotada inferiormente por f, y por tanto l´ım {Un } = h existe y cumple que h ≥ f. n→∞

Ahora se puede verificar que {α(x) − α(x)} es una sucesión creciente de funciones escalonadas, no negativas, medibles que tiende a g − α(x). Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de convergencia monónota de Lebesgue y se tiene:  b  b (g − α(x)) dm = l´ım I(α...) = (i) f (x)dx − _I(f, α) n→∞

a

a

b Como α(xn ) es una función simple, se tiene que a adm = _I(f, α) y por lo tanto:  b  b gdm = (i) f (x)dx a

a

De manera análoga para la sucesión {α(xn ) − α(x1 )} se encuentra que: 

hdm = (s)

I



b

f(x)dx

a

donde la integral de la izquierda es de Lebesgue y la de la derecha es de Riemann.  Por lo tanto, si f es integrable según Riemann, I (g−h)dm = 0, con h−g ≥ 0. Esto implica que h = g, c.e.t.I. Pero g ≤ f ≤ h resultando f = g c.e.t.I. Como consecuencia, sus integrales según Lebesgue son iguales y coinciden con b la integral de Riemann correspondiente a f(x)dx. Es conveniente hacer explícitos dos aspectos importantes: 1. Que el converso de la implicación del teorema no es válido, esto es, no es cierto que toda función integrable mediante Lebesgue sea integrable bajo Riemann. 2. Que si una función no es integrable bajo Riemann, no necesariamente es integrable bajo Lebesgue. 3. Que es teorema anterior solo se aplica a integrales propias. 4. Existen integrales impropias que se solucionan con base en la teoría de Riemann, pero que no son solucionables mediante Lebesgue. Para aclarar estos puntos se puede consultar la figura 2, que muestra la relación entre las principales integrales actuales. Respecto al tercer punto, se 68

pueden encontrar existen integrales que desafían la capacidad tanto de las integrales de Rieman como las de Lebesgue. Esto se puede observar en el siguiente ejemplo: Ejemplo 5.1 Sea fn una sucesión de funciones definidas en el intervalo E = [0, 1] así:  1 1 1 si n ≤ x ≤ n−1 f (x) = 2 2 0 en caso contrario Se puede verificar que la función límite de esta sucesión es f = 0. También se puede verificar que cada una de las funciones de la sucesión es integrable mediante Riemann, al igual que la función límite. Sin embargo, el límite de la sucesión de las integrales de Riemann no es igual a la integral de Riemann del límite de las sucesiones. Esto se expresa como:

l´ım



n→∞ 0

1

fn (x)dx = 1

es diferente a



1

l´ım fn (x)dx = 0

0 n→∞

Por otra parte, debido al teorema anterior:

l´ım

n→∞



fn dm = 1

es diferente a

[0,1]



l´ım fn (x)dx = 0

[0,1] n→∞

que también son diferentes, y por tanto representan un caso anómalo para los dos tipos de integrales. En párrafos anteriores se mencionaba además que el teorema 5.2 es aplicable sólo a integrales propias. Algunas integrables impropias son integrables bajo Riemann y bajo Lebesgue,pero no es la norma. Existen integrales impropias que tienen solución bajo Riemann pero no bajo Lebesgue. Como se puede ver en la fig. 2, aún cuando se han propuesto integrales más generales para solucionar estos problemas (por ejemplo la Integral Generalizada de Riemann o integral de Henstock-Kurzweil [BA01] que extiende tanto la integral de Riemann como la de Lebesgue, y es mucho más simple que esta última), los conceptos involucrados en la definición de la integral de Lebesgue añaden aspectos muy importantes a la teoría de la integración, los cuales están fuertemente relacionados con la teoría de la medida. Gracias a los conceptos relacionados con la teoría de la medida es que se pueden encontrar nuevos criterios para encontrar por ejemplo, la integrabilidad de una función bajo Riemann. Por ejemplo, se sabe que toda función contínua es integrable bajo Riemann, pero no es condición necesaria, ya que también son integrables bajo Riemann las funcionesde variación acotada en un intervalo I, o 69

Integral de Lebesgue

Integrales de Riemann

Integrales Impropias de Riemann

Integral Generalizada de Riemann

Figura 2: Relación entre los principales tipos de integrales. cuando la función es monótona con un conjunto enumerable de discontinuidades (que se entiende mejor al aplicar allí la teoría de los conjuntos de medida cero). Pero existen algunos casos en los cuales aún con un conjunto infinito no enumerable de discontinuidades, la función es integrable bajo Riemann.

5.1.

Diagramas

A continuación se presentan los diagramas que facilitan el seguimiento deductivo para los diferentes teoremas incluidos en el presente trabajo.

70

Def 1.1.1

Def 1.1.2

Def 1.1.3

Def 1.1.4

Def 1.1.5

Def 1.1.7

Def 1.1.8

Teorema 1.1 Teorema del valor medio generalizado

Def 1.2

Def 2.1.1

Def 1.1.6

Def 2.1.2

Teorema 2.1 de Propiedades lineales

Def 2.1.3

Def 2.1.4

Teorema 2.2 de Propiedades lineales

Def 2.2

Teorema 2.3 de Propiedades Lineales

Def 2.3

Teorema 2.5 Cambio de variable de una Integral de Riemann-Stieltjes

Teorema 2.4 Integración por Partes

Def 2.4

Teorema 2.6 Reducción a una Integral de Rieman

Def 2.5

Teorema 2.7

Def 2.6

Teorema 2.9 Representación de una suma finita como una Integral de Riemannstieltjes

Teorema 2.8 Reducción de una Integral de Riemann-Stieltjes a una suma finita

1

Teorema 2.10 Formula de sumación de Euler

Figura 3:

71

2

2

Def 2.7

Teorema 2.11

Def 2.8

Teorema 2.12

Def 2.9

Teorema 2.13

Teorema 2.14

Teorema 2.18

Teorema 2.15

Teorema 2.16

Teorema 2.19

Teorema 2.21

3

Teorema 2.22

Figura 4:

72

Teorema 2.17

Teorema 2.20

1 Teorema 2.23 Primer teorema de valor medio para integrales de Riemann-Stieltjes

Teorema 2.24 Segundo teorema de valor medio para integrales de Riemann-Stieltjes

Teorema 2.25

Teorema 2.26

3

Teorema: Segundo teorema fundamental del Calculo Integral

Def 3.1

Teorema 3.1

Teorema 3.2

Def 3.2

Teorema 3.3

Def 3.3

Teorema 3.4

Teorema 3.5

Teorema 3.6

Teorema 3.7

Def 3.4

Teorema 3.8

4 5 6

7 Figura 5:

73

8 9

10

6

4 8

7 5

Teorema 3.9

Teorema 3.10

9

10

Teorema 3.11

Teorema 3.12

Teorema 3.13

Def 3.5

Teorema 3.16 Teorema de Levi para funciones escalonadas

Teorema 3.14

Teorema 3.15

Teorema 3.17 Teorema de Levi para funciones superiores

Teorema 3.18 Teorema de Levi para series de funciones integrables de Lebesgue

Teorema 3.19 Teorema de Levi para suceciones de funciones integrables de Lebesgue

Teorema 3.20 Teorema de convergencia dominada de Lebesgue

Teorema 3.21

Teorema 3.22

Teorema 3.23

Teorema 3.24

11

12

Figura 6:

74

13

11

12

13

Def 3.6

Teorema 3.25

Def 3.7

Teorema 3.26

Teorema 3.27

Colorario 3.1

Teorema 3.28

Colorario 3.2

Teorema 3.29 Teorema 1.1 Teorema del valor medio generalizado Teorema 3.30

Figura 7:

75

6.

Conclusiones

Conclusión 6.1 Con el presente trabajo se espera haber desarrollado los teoremas de la Integral de Riemann-Stieltjes de una manera clara y concreta abarcando todos aquellos pasos en el los libros de referencia aparecen como “es trivial y se deja como ejercicio para el lector”, “se desarrolla de manera reciproca”, entre otras; que en ocasiones no son para nada triviales y se convierten en una dificultad para la comprensión de estos teoremas. Con las Integrales de Lebesgue no se hace un desarrollo tan detallado, ya que el objetivo de esta sección era dar una simple introducción para realizar la comparación entre los dos tipos de integrales y posteriormente realizar los diagramas correspondientes, para facilitar un seguimiento deductivo de las definiciones y teoremas que comprenden estas do clases de integrales. Es de aclarar que aparte de estas existen mas tipos de integrales que en ocasiones abarcan muchas mas funciones de las que abarcan este tipo de integrales pero el objetivo del trabajo era dar un primer paso para la comprensión a cabalidad de los diferentes tipos de integrales existentes

76

Referencias [WM78] H. Wilcox, D. Myers, An Introduction to Lebesgue Integration and Fourier Series. New York: Dover Publications. (1978) [BA01] R. Bartle, A Modern Theory of Integration, GSM, 32, RI :American Mathematical Society (2001). [GR01] G. Rubiano, Topología General. Bogotá: Universidad Nacional (2001). [TA77]

T. Apostol, Análisis Matemático. Barcelona: Ed. Reverté (1977).

[UD01] P. Ulyánov, M. Diachenko, Análisis Real. España: Ed. Reverté (2001)

77