Determinantes

Primera definición Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columna. Por ejemplo, podríamos elegir los elementos de la diagonal y se cumpliría que solo hemos tomado un elemento de cada fila y de cada columna. Lo mismo ocurre si elegimos los elementos de la contradiagonal. Hay, en general, muchas formas de elegir esos n elementos. Una vez elegidos los n elementos de esa forma, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomados uno de cada fila y de cada columna y hallar su producto. El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma sin coger dos de la misma columna.

Definición de determinante.

Ejercicio (a) ¿Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3 × 3? (b) ¿Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de tamaño n × n? Solución: (a) 6. (b) n!

¿Qué es una “suma equilibrada”? La expresión “suma equilibrada” en la definición de determinante significa que cada uno de esos productos va multiplicado por +1 o por −1 según cómo se hayan elegido los factores. Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado por (−1) p siendo p del número de intercambio de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal. Por ejemplo, si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p = 0 y el producto va multiplicado por (−1)0 = 1.

Significado de “suma equilibrada”.

Ejercicio En cualquier matriz cuadrada, uno de los posibles productos que se pueden formar en los que hay un factor de cada fila y de cada columna es el producto de los elementos de la contra-diagonal: Las siguientes preguntas son equivalentes a preguntar cuál es el número de intercambios de filas que es necesario realizar en una matriz cuadrada para llevar todos los elementos de la contra-diagonal a la diagonal. (a) ¿Cuál es el signo que corresponde a este producto en el determinante de una matriz de tamaño 3 × 3? (b) ¿Y en el de una matriz de tamaño 4 × 4? (c) ¿Y en el de una matriz de tamaño 5 × 5? (d) ¿Y en general en el de una matriz de tamaño n × n? Solución: (a) −1. (b) 1. (c) 1. (d) (−1) 2 (n−(n

´ 2)) mod

.

Matriz con una fila o columna de ceros. Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero. (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero.)

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Versión de 9 de noviembre de 2015, 16:35 h.

1

Consecuencias inmediatas de la definición

Matriz triangular. Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal. El determinante de una matriz identidad es 1.

Matriz identidad.

(Esto es consecuencia de lo anterior.) Múltiplo escalar de una matriz. Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todos los productos que forman su determinante quedan multiplicados por p n veces (porque cada uno de los n factores de cada producto se ha multiplicado por p) y el determinante de la matriz queda multiplicado por pn . Por ejemplo: 

−7 3 −8 5

5  0 Sea A =   −5 0

2 0 0 0

 2 −4 . 3 −6

Sabiendo que det A = 20

calcular

det(3A).

Solución: det(3A) = 34 × 20 = 1620

Matriz contra-triangular. Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos encima o debajo de la contra-diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la contradiagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la contra-diagonal multiplicado ´ 2)) es el número de intercambios de fila que es necesario realizar por (−1) p donde p = 12 (n − (n mod para llevar los elementos de la contra-diagonal a la diagonal. Por ejemplo:  det

0 4

6 0

0 0 0 1

0 0 4 0

0 3 0 0

det





= (−1)1 × 24 = −24,

2 0 0 0

!

0 det 0 4  0

0 = (−1) × 24 = 24, det 0 2

0 1

0 3 0 0 0 0 1 0

 2 0 = (−1)1 × 24 = −24, 0 

0 0 4 0 0

0 3 0 0 0

2 0 0 0 0

= (−1)2 × 24 = 24.

Determinante de la matriz traspuesta. Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Efecto de un intercambio de filas o columnas. Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante. Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de intercambio es −1: det Pjk = −1. Efecto de un reescalado de una fila o columna. Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número. Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de reescalado por el escalar λ es igual a λ: det Eλ = λ.

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Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna Desarrollo por la primera columna Si queremos calcular un determinante, necesitamos formar todos los posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna. Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna, a11 . La suma de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual a a11 multiplicado por el determinante de la matriz A11 que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es decir (ver más abajo), el determinante del menor del elemento (1, 1). Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna, a21 . La suma equilibrada de estos productos es igual a − a21 multiplicado por el determinante de la matriz A21 que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del elemento (2, 1)). Continuando de esta manera, vemos que el determinante de la matriz se puede expresar como una suma de productos de los elementos ai1 de la primera columna, cada uno de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: det A = a11 det A11 − a21 det A21 + · · · ± an1 det An1

(1)

Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos: Menor de un elemento. Dada una matriz A, se llama menor del elemento que ocupa la posición (i, j) (es decir, fila i, columna j) y se denota Aij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada. Cofactor de un elemento. Dada una matriz cuadrada A, se llama cofactor del elemento que ocupa la posición (i, j) al determinante det Aij del menor de ese elemento multiplicado por +1 o −1 dependiendo de si i + j es par o impar. Así, el cofactor del elemento (i, j) de la matriz A se calcula por la fórmula: Ci,j = (−1)i+ j det Aij . Usando cofactores, la fórmula (1) se puede escribir: det A = a11 C11 + · · · + an1 Cn1 Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna. La expansión del determinante de una matriz n × n, A = ( aij ) por la columna j es: det A = a1j C1j + · · · + anj Cnj La expansión del determinante de la misma matriz por la fila i es: det A = ai1 Ci1 + · · · + ain Cin

Consecuencias no tan inmediatas de la definición Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos. Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos. Por ejemplo: 

a det d g+p

b e h+q

  c a  = det d f k+r g 3

b e h

  c a f  + det d k p

b e q

 c f. r

Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna. cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila, su determinante no cambia.

Si en una matriz

Consecuencia: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero. Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna. Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia. Por ejemplo: 

a det d g + 3a

b e h + 3b

  c a  = det d f k + 3c g

b e h

 c f. k

Consecuencia: El determinante de una matriz elemental de reemplazo es igual a 1.

Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matriz A se transforma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonada U y solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescalado, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada U es igual al determinante de A multiplicado por ±1 dependiendo de si el número de operaciones de intercambio ha sido par o impar. En otras palabras, si U es una forma escalonada de A obtenida sin operaciones de reescalado y con r operaciones de intercambio, entonces det A = (−1)r det U. En consecuencia, el determinante de A sería igual a (−1)r multiplicado por todos los elementos de la diagonal de U ya que toda matriz cuadrada escalonada es triangular. Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas. Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcladas según convenga.

Segunda definición Volumen n-dimensional. El volumen n-dimensional del n-cubo unitario de Rn (generado por la base canónica de Rn ) es 1. El volumen de un n-paralelepípedo recto rectangular definido por una base ortogonal de Rn es el producto de las longitudes de sus n aristas. Definición de determinante. El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas forman una base de Rn es el “volumen n-dimensional” de dicha base, el cual es igual al producto de las longitudes de los n vectores de la base, multiplicado por +1 o por −1 según que la base tenga la misma u opuesta orientación que la base canónica.

Ejemplos de determinantes especiales 1. Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n − 1. Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales. Se resta la primera fila de cada una de las demás,

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con lo que la columna en cuestión se convierte en ( p, 0, . . . , 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna.       a b p a b p d−a e−b 1+3     det d e p = det d − a e − b 0 = (−1) p · det . g−a h−b g h p g−a h−b 0 2. Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n − 1. Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior.       a b c a+b+c b c c−b a−c det b c a = det  a + b + c c a = ( a + b + c) det . b−b a−c c b a a+b+c b a

Determinante de una matriz por bloques En general no es sencillo reducir el determinante de una matriz por bloques a los determinantes de los bloques, pero hay un caso especial en el que sí es sencillo: Es el caso de una matriz partida en 2 × 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados. Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el
mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques A0 CB . Entonces   A B det = det A · det C. (2) 0 C Ejercicio: Demostrar esta fórmula siguiendo estos pasos: (a) demostar el caso C = I. (b) Demostrar el caso en que A no tiene inversa. (c) Para el caso de que A tenga inversa, demostrar la siguiente identidad y usarla, junto con (a), para demostrar (2):      A B A 0 I A −1 B . = 0 C 0 I 0 C La fórmula (2) sigue siendo cierta en un caso más general. Supongamos que A es una matriz n × n partida en k × k bloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, Aii para i = 1, . . . k, son cuadrados (siendo el tamaño de Aii , pi × pi ) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas,   A11 A12 . . . A1k  0 A22 . . . A2k    A= . ..  .. ..  .. . . .  0

...

0

Akk

Entonces el determinante de A es el producto de los determinantes de las matrices de la diagonal: det( A) = det( A11 ) · · · det( Akk ). Esta fórmula es una consecuencia inmediata de (2). 5

(3)