R S P

E

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

O

P

R S P

E

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

O

P

R S P

E

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

O

P

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Aprendiendo ángulos y áreas 1° de secundaria

P

O

R

S

E

P

Modesto Díaz

Obra protegida por SEP - INDAUTOR Registro Público Base de datos 03-2012-041612460200-01 Dibujo 03-2012-041612451500-14

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.

ín di ce

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Introducción Descripción del material Propósitos educativos

Rectas, ángulos, polígonos

Rectas

Ángulos

Polígonos

P

O

R

S

E

P

Triángulos

Cuadriláteros

Simetría

Perímetros y áreas

Habilidades y conocimientos relacionados con “Aprendiendo ángulos y áreas”, en el Programa de Educación Secundaria Recomendaciones para el docente Actividades y sugerencias

Evaluación

R S P

E

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

O

P

1. Introducción

L

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

a Secretaría de Educación Pública busca elevar la calidad de los aprendizajes con la nueva propuesta educativa, que presenta en el Plan y en los Programas de Estudio 2006, de tal manera que tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. Ante esta postura vale la pena probar y darse la oportunidad de asombrarse ante lo ingenioso de los razonamientos que los alumnos pueden hacer, una vez que asumen que la resolución de un problema está en sus manos.

Bajo este horizonte de cambio y al asumir los retos que demandan las nuevas generaciones, en la presente guía, se proponen diversas actividades que pretenden despertar la curiosidad y el sentido crítico del estudiante, al momento de involucrarse en problemas que lo lleven a investigar y desarrollar su creatividad para formular conjeturas y enlazar lo ya conocido con lo desconocido, en la situación planteada. De esta manera se le da un mayor significado a los aprendizajes por medio del uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces, para que el estudiante adquiera una postura de confianza en su capacidad de aprender. El propósito de esta guía denominada: Aprendiendo Ángulos y Áreas, es incursionar en temas relacionados con la geometría donde los contenidos de estudio se encuentran principalmente dirigidos al eje temático llamado: Forma, espacio y medida, asimismo, se pueden encontrar vínculos con los otros ejes temáticos, dando la posibilidad de trabajar algunos conocimientos y habilidades de estos.

P

O

R

S

E

P

Los temas abordados para primero de secundaria, que se desarrollan por medio de la visualización y manipulación de los materiales, son los siguientes: significado y uso de las literales mediante de patrones y fórmulas; transformaciones, que incluye movimiento en el plano y el concepto de simetría; formas geométricas, por medio del estudio de rectas y ángulos; figuras planas, que considera la construcción de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, círculos y finalmente justificación de fórmulas; estimar, medir y calcular que se relaciona con perímetros y áreas de triángulos, romboides, trapecios y círculos.

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

El material contiene diferentes instrumentos didácticos que permiten desarrollar actividades relacionadas con rectas, ángulos y figuras planas que conducen al estudiante a formalizar los conceptos que tienen que ver con la construcción de rectas, formación de ángulos y medición de los mismos para determinar características de los triángulos, cuadriláteros y polígonos. Asimismo el desarrollo de expresiones algebraicas para la obtención de perímetros y áreas de las figuras planas en estudio. ¿Qué elementos contiene? ++ Tablero perforado con su base ++ Tangram grande y chico ++ Juego de geometría ++ Plantillas de fracciones triangulares ++ Doce triángulos rectángulos de la caja pitagórica ++ Regla de ángulos ++ Acetatos serigrafiados ++ Lámpara de mano ++ 24 banderas de plástico ++ 1 dado de 6 caras ++ 1 dado de 10 caras ++ 6 personajes en forma de figuras geométricas ++ 140 tarjetas impresas por ambos lados ++ 2 plantillas de fracciones circulares ++ 25 tarjetas en blanco y negro ++ 1 lámina de cartón

P

O

R

S

E

P

2. Descripción del Material

¿Qué es el material?

8 Instrucciones de armado En las indicaciones que se dan para llevar a cabo cada una de las actividades planteadas en los bloques, se explica de manera específica el armado y uso de los materiales didácticos que se deben utilizar.

3. Propósitos

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Educativos

D

e acuerdo con los propósitos, conocimientos y habilidades indicados en el Plan de Estudios 2006 para 1° de secundaria y con los conocimientos previos adquiridos en los grados anteriores, al utilizar el material didáctico propuesto, los alumnos de primer grado de secundaria serán capaces de: ◌◌ Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas. ◌◌ Construir figuras simétricas con respecto a un eje.

◌◌ Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. ◌◌ Construir triángulos, cuadriláteros, círculos y polígonos regulares.

◌◌ Justificar fórmulas de perímetro y área de triángulos cuadriláteros, círculo y polígonos.

El uso y manipulación del material mediante las diversas actividades, despiertan en el estudiante el interés por resolver planteamientos que le generan nuevas formas de enfrentar la adquisición de aprendizajes que lo llevan a incrementar su acervo de conocimientos matemáticos, para aplicarlos en diferentes entornos o en situaciones muy particulares.

4. Rectas,

P

O

R

S

E

P

Los materiales didácticos que componen esta guía permiten al estudiante realizar un estudio en forma gradual acerca de los conocimientos geométricos a utilizar, para llevarlo paso a paso, desde la construcción y propiedades de las rectas, hasta la formación de figuras geométricas, sin dejar de conocer las características de los ángulos, así como los recursos algebraicos que tiene que aplicar para formular expresiones generales para el cálculo de perímetros y áreas.

Ángulos y Polígonos

◌◌ Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y área de figuras geométricas.

Es importante la interacción personal y el trabajo en equipo para lograr los aprendizajes a nivel grupal y que no solamente sean algunos estudiantes los que logren dichos aprendizajes.

A continuación se presentan los diferentes conceptos indicados en este apartado:

9

Rectas Se clasifican en:

Paralelas: son aquellas que no se cruzan.

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Secantes: son aquellas que se cruzan en un punto. Las rectas secantes se agrupan en:

Oblicuas: son las que al cruzarse forman regiones pares iguales y sus ángulos opuestos por el vértice son iguales.

P

O

R

S

E

P

Perpendiculares: son las que al cruzarse forman cuatro regiones iguales y los ángulos entre ellas son de 90°.

10

Rectas paralelas

Rectas oblicuas

Rectas perpendiculares

Ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se les llama lados y al origen común, vértice. Para indicar que el ángulo es positivo, el giro se hace en contra de las manecillas del reloj y parte del lado inicial hacia el lado terminal.

semirrecta OA

A

lado OA

semirrecta OB

vértice O lado OB

B

Lado terminal

Los ángulos en su forma más general los clasificamos en:

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Giro en contra de las manecillas del reloj indica ángulo positivo (+)

Lado inicial

: do gu °. a 0 lo e 9 gu Án nor d me

Ángulo recto: mide 90°.

Ángulo obtuso: mide más de 90°.

P

O

R

S

E

P

Ángulo llano: mide 180°.

Ángulo convexo: mide más que un ángulo llano.

Polígonos

Un polígono es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados. En todo polígono hay por lo menos tres ángulos. Etimológicamente la palabra está formada así: polí = muchos, gono = ángulo.

11

Un polígono, por la forma de su contorno recibe el nombre de: ◌◌ Simple: Si dos de sus aristas no consecutivas no se intersectan (cortan). ◌◌ Complejo: Si dos de sus aristas no consecutivas se intersectan. ◌◌ Convexo: Si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos.

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

◌◌ Cóncavo: Si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos. ◌◌ Regular: Tiene sus ángulos y sus lados iguales.

◌◌ Irregular: Tiene sus ángulos y lados desiguales. ◌◌ Equilátero: Tiene todos sus lados iguales.

◌◌ Equiángulo: Tiene todos sus ángulos iguales.

Polígono complejo, cóncavo, irregular

Polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo)

E

P

Polígono simple, cóncavo, irregular

P

O

R

S

Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono; sus ángulos interiores son menores de 180°.

12

Polígono cóncavo: Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180°. En la siguiente tabla se muestran los nombres de algunos polígonos: Número de lados

Nombre del polígono

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

Heptágono

8

Octágono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Endecágono

12

Dodecágono

15

Pentadecágono

20

En un polígono podemos distinguir: ◌◌ Lado, L: cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

7

Icoságono

◌◌ Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. ◌◌ Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos. ◌◌ Perímetro, P: la suma de todos sus lados. ◌◌ Ángulo exterior y ángulo interior.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

◌◌ Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

P

O

R

S

E

P

◌◌ Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

lado

vértice

diagonal

ángulo interior

ángulo exterior

A) Triángulos Triángulo es la figura plana cerrada determinada por tres puntos no colineales llamados vértices. Los segmentos cuyos extremos son los vértices se conocen como lados. Los triángulos se clasifican por sus lados y por sus ángulos.

13

Los triángulos, al clasificarlos por sus lados, se definen como triángulos equiláteros: tres lados iguales; triángulos isósceles: dos lados iguales; triángulos escalenos: tres lados desiguales.

-I O N B 03 D R A A -2 U P B 0 0 LA 3 12 as TO RO -0 e R T P 20 IT 1 41 de RE EG 2 A - D 6 d G ID R 04 ib 1 a IS A E R 16 uj 246 tos TR IA 1 o 02 O 2 E 4 P 00 S 5 Ú -0 U 15 B N 0 LI 1 0 C D O E 14 LI T O

Los triángulos, por sus ángulos, se definen como triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto o de 90°; triángulo acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90°; triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor de 90°.

Por sus lados

60˚

α

60˚

α

b

b

α

α

60˚

Equilátero

γ

α

α

β

Escaleno

Isósceles

Por sus ángulos