MANUSCRITO PARA USO PERSONAL UNICAMENTE PROHIBIDA SU DISTRIBUCIÓN SIN PERMISO DEL AUTOR Este artículo fué publicado en el libro Filloy (ed) (2003) Matemática Educativa: Aspectos de la Investigación Actual. Fondo de Cultura Económica & Cinvestav ISBN 968-16-7028-0 pp. 262-279.

DIFICULTADES Y PARADOJAS DEL INFINITO: EXPERIENCIAS EN UN AMBIENTE DE EXPLORACIÓN COMPUTACIONAL Ana Isabel Sacristán Rock Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, México [email protected] RESUMEN: El infinito ha sido siempre fuente de dificultad y paradojas. Identificamos diversos aspectos relacionados con el infinito que revelan su profunda complejidad. Presentamos algunos resultados de una investigación que utilizó un ambiente computacional, o micromundo, para la exploración de procesos infinitos a través del uso de diversas representaciones (visuales, simbólicas, y numéricas); en particular se utilizaron figuras recursivas como los fractales. Mostramos cómo algunas de las dificultades intuitivas que surgen, se derivan de la presencia simultánea de diversos elementos dentro de un mismo proceso. Presentamos un episodio que ilustra cómo algunas de las situaciones paradójicas que surgieron (en este caso, en el estudio de la curva de Koch) pudieron ser resueltas a través de exploraciones, utilizando las diversas formas de representación y herramientas del micromundo. Dichas exploraciones permitieron llevar a cabo una reflexión y análisis que ayudaron en la resolución de las paradojas mediante: (i) la observación del comportamiento de los procesos, (ii) la identificación y coordinación de los múltiples elementos presentes y procesos simultáneos. ABSTRACT: The infinite has always been a source of difficulties and paradoxes. We identify various issues related to the infinite that provide insights into its deep complexity. We present results from a study that used a computer microworld for the exploration of diverse representations (visual, symbolic, numerical) of infinite processes, including recursive figures, such as fractals. We show how some of the intuitive difficulties that student’s have, are derived from the simultaneous presence of diverse elements within a same process. We present an episode illustrating how some of the emergent paradoxes (particularly, in the study of the Koch curve), were resolved through explorations using the different tools and forms of representation provided by the microworld. Such explorations led to a process of reflection and analysis, which helped solve the paradoxes, through: (i) observation of the behavior of the processes, (ii) identification and coordination of the various simultaneous processes and elements involved.

1. Introducción "...recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, que trascienden ambos nuestro entendimiento finito, los primeros a causa de su magnitud, los segundos a causa de su pequeñez. A pesar de ello, los hombres no pueden contenerse de discutirlos, aunque se debe hacer de manera indirecta ... Dificultades surgen cuando intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir el infinito, asignándole propiedades que le damos a lo finito y limitado…" -Galileo, Diálogo Acerca de Dos Nuevas Ciencias (1638) El concepto del infinito es fundamental en las matemáticas, particularmente en áreas como la del Cálculo donde los procesos infinitos forman la base del concepto de límite. Pero también, históricamente, el infinito ha sido siempre fuente de dificultades y paradojas. Desde el punto de vista de la teoría matemática, muchas de las dificultades que presenta el infinito se han ido

resolviendo a medida que dicho concepto se ha ido definiendo como un objeto matemático con su propio campo operatorio; particularmente a partir del trabajo de Bolzano, discutido en su obra apropiadamente titulada Paradojas del Infinito (1851)1. Sin embargo, en el ámbito escolar, muchos de estos avances teóricos se encuentran fuera del alcance de los alumnos y no resuelven los obstáculos de la intuición. Existe evidencia de que muchos de los obstáculos epistemológicos que han existido en el desarrollo del concepto del infinito se manifiestan de manera similar como obstáculos didácticos para los estudiantes de matemáticas (ver por ejemplo, las investigaciones de Waldegg, 1988; Cornu, 1991). Consideramos que la dificultad principal del concepto de infinito yace en su naturaleza mental, altamente abstracta y contradictoria. Como lo han notado varios investigadores (e.g. Fischbein et al., 1979; Nuñez, 1993) las concepciones que se tengan del infinito dependen (tal vez mucho más que cualquier otro objeto matemático) del contexto y punto de vista que se adopte; en palabras de David Tall (1980), "nuestra interpretación del infinito es relativa a nuestro esquema de interpretación, más que ser una verdad absoluta"2. 2. Aspectos elementales de consideración en el estudio del concepto de infinito Así pues, en un intento por discernir los elementos que subyacen al concepto de infinito y afectan las maneras en que se concibe dicho concepto, identificamos los siguientes aspectos: a.- Existencia de diferentes tipos de infinito: ♦ Naturaleza dual del infinito: infinito potencial vs. infinito actual (proceso vs. objeto). El infinito se puede concebir como resultado de un proceso (lo cuál implica cambio: e.g. cambio en el tiempo, movimiento). Se relaciona con la idea de que siempre se puede sumar algo más (infinito potencial). O bien, se puede considerar al infinito como un objeto (como en el caso de los conjuntos infinitos); es un estado (infinito actual). En este caso el "proceso" ya ha concluido; se concibe más allá del tiempo y por lo tanto un conjunto infinito puede existir como un todo. ♦ Lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño.

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Para una discusión más amplia de este desarrollo, ver Moreno & Waldegg (1991). Traducido del inglés. Op.cit. p. 281.

♦ Conjuntos infinitos de diferente potencia: en particular, conjuntos numerables vs. nonumerables. b.- La importancia del contexto y situación matemática: El infinito se encuentra en una diversidad de contextos y áreas de la matemática: desde la geometría, hasta la teoría de conjuntos, pasando por los conceptos de sucesiones y series, y límites. Pero el contexto y situación afectan la interpretación que se tenga del infinito. De hecho, y como observan varios investigadores (e.g. Nuñez, 1993), aún cuando un problema se construye de manera isomórfica en diferentes contexto, el contexto afecta la manera en la que se concibe el problema. Así pues, se debe de tomar en cuenta que existen aproximaciones al infinito mediante modelos visuales-geométricos, o a través de procesos que pueden ser descritos en términos puramente simbólicos-algebraicos (como en el caso de notaciones tales como lim f ( x ) ). x !"

También, en algunas circunstancias, un proceso infinito puede aparecer como "contenido" dentro de cotas finitas. Esta es una variable contextual de la cuál se pueden esperar dificultades. c.- Procesos iterativos y recursivos: La idea de repetición es fundamental en el desarrollo del concepto del infinito. Matemáticamente la idea de iteración se relaciona con la recursividad. Un algoritmo recursivo contiene intrínsicamente un número indefinido de iteraciones: es potencialmente infinito. De hecho, los objetos infinitos tienen la característica de la auto-similitud, lo cuál implica una estructura recursiva (e.g. las figuras fractales; o la misma definición de conjunto infinito que tiene la propiedad de auto-referencia al describir un conjunto infinito como uno que tiene un subconjunto infinito propio con el cuál se puede tener una correspondencia biunívoca). d.- Naturaleza del objeto matemático. Se deben discriminar dos ideas matemáticas relacionadas con el infinito: lo discreto (e.g. los números naturales), y lo continuo (e.g. los números reales = el continuo). La relación entre estas dos ideas ha sido una de las principales fuentes de dificultad desde la Grecia Antigua. En particular se debe distinguir entre cardinalidad, y medida en el espacio.

Los elementos que acabamos de enumerar ilustran diferentes aspectos relacionados con el infinito y señalan posibles áreas de dificultad en su conceptualización, por lo que deben ser tomados en cuenta para su estudio. 3. Un ambiente computacional para el estudio de procesos infinitos El reto que nos hemos planteado en más de una década de trabajo de investigación en esta área, es el de crear situaciones en las que el infinito sea más accesible para los estudiantes de matemáticas. Wilensky (1991) sugiere que los objetos abstractos pueden hacerse más concretos si se tienen múltiples formas para involucrarse y formar relaciones con ellos. En ese sentido consideramos que el estudio del infinito puede facilitarse si se ayuda al alumno a experimentar diversos contextos en los que el infinito aparece, y a construir e interactuar con representaciones (tan diversas como sea posible) externas del concepto. Así pues, en nuestro intento de hacer del infinito algo más "concreto", construimos un ambiente ó micromundo3 computacional en el lenguaje Logo, que proporcionaba "herramientas abiertas" (ver diSessa, 1997) para que los estudiantes, mediante actividades de programación, pudieran construir y explorar diferentes tipos de representaciones (visuales y dinámicas; simbólicas —en el código de programación; y numéricas); y constituía a la vez un medio para que los alumnos pudieran expresar y estructurar sus ideas (para más detalle sobre el diseño de este micromundo e investigación, ver Sacristán, 1997; también ver Moreno & Sacristán, 1998). Las actividades se centraron en la exploración de algunas sucesiones y series infinitas, usando figuras geométricas recursivas y, en particular, figuras fractales. Los fractales (e.g. la curva de Koch -ver figura más adelante- y el copo de nieve; y el triángulo de Sierpinski) son objetoslímite de sucesiones de figuras geométricas. Cabe resaltar que un aspecto importante de la manera en que se concibieron estas actividades de programación es que crean la necesidad de coordinar los diferentes sistemas de representación: las representaciones gráficas y numéricas se describen y controlan a través del código simbólico (de programación). El uso de la computadora permitió además observar la

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Utilizamos la definición de ‘micromundo’ dada por Hoyles & Noss (1987) donde éste es formado y condicionado por todo el contexto en el que se da la situación didáctica, tomando en cuenta como elementos al alumno y sus experiencias pasadas e intuiciones, al maestro y sus intervenciones didácticas, al contexto social, y a las actividades y herramientas computacionales.

evolución temporal de cada proceso, eliminando la limitación de sólo observar el estado final (el resultado) del proceso, como suele ser el caso en las matemáticas escolares tradicionales. Esto permitió a los alumnos investigar el comportamiento de los procesos infinitos estudiados. Como se ilustra en el episodio que presentamos, la observación del comportamiento, como por ejemplo la velocidad de convergencia, demostró ser un aspecto importante para que los alumnos encontraran explicaciones de porqué algún proceso era convergente o divergente y construyeran significados. El análisis de cómo las herramientas del micromundo fueron utilizadas para estructurar las actividades y a su vez dar sentido a los procesos estudiados, se realizó a través de estudios de caso de cuatro parejas4 de estudiantes mexicanos. Cada una de estas parejas trabajó durante 5 sesiones (de 3 horas cada una) de manera separada con la investigadora. Usando una metodología de investigación participativa, la investigadora estuvo presente en todo momento con un doble papel: además de recolectar datos y entrevistar informalmente a los alumnos a lo largo del estudio, funcionó también como parte de la componente pedagógica del micromundo, guiando las actividades y haciendo pequeñas intervenciones didácticas, pero dando a los alumnos libertad de investigar sus propias ideas. Es importante enfatizar que a los alumnos se les dejó el control de sus investigaciones. Todos los alumnos construyeron sus propios programas en Logo5 a partir de sugerencias verbales dadas por la investigadora. Como parte del diseño del micromundo, se alentó a los alumnos para que experimentaran extensamente con sus programas, ejecutándolos con una gran variedad de valores para las variables así como modificando los programas de acuerdo a sus propias inquietudes y metas de exploración; también se les alentó a que analizaran los efectos de las modificaciones registrando sus observaciones en papel y lápiz, en particular en tablas sugeridas por la investigadora6.

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Cada pareja era representativa de un nivel educativo diferente. El estudio incluyó una pareja de alumnas de 14 años con habilidades mediocres en matemática; una pareja de alumnos de 17-18 años (Manuel y Jesús) alumnos de la escuela preparatoria en el área de físico-matemáticas e ingeniera; una pareja de sexo mixto de alumnos universitarios con habilidades disparejas en matemáticas; y una pareja de sexo mixto de profesores de matemáticas de nivel medio-superior. 5 Antes de realizar las actividades con el micromundo, todos los alumnos participantes en el estudio participaron conjuntamente en un curso intensivo de una semana de programación con Logo. Ninguno tenía experiencia computacional previa. 6 Cabe señalar que se llevó un registro completo de todas las sesiones del estudio, para así poder llevar a cabo un análisis de los datos y estudios de caso exhaustivos. Se hicieron observaciones directas, así como entrevistas a los alumnos. Se tomaron notas de campo y se capturaron en audio y video todas las conversaciones. También se

4. Enfrentando dificultades y paradojas del infinito mediante exploraciones en el micromundo. Intuiciones paradójicas del infinito. A lo largo de nuestras investigaciones con el micromundo encontramos una fuerte intuición que aparecía en alumnos con menos experiencia matemática. Se trata de la intuición de que si un proceso continúa infinitamente, entonces su valor va a crecer indefinidamente (va a ser divergente), y es una intuición que parece estar ligada a la idea de que "más" implica "más grande". Este tipo de intuición espontánea ha sido discutida por otros investigadores, en particular por Nuñez Errázuriz (1993), quien, en su estudio de los aspectos psico-cognitivos que subyacen al concepto de infinito, explica que el problema surge debido a que hay diversos componentes (procesos) presentes; es decir, cuando se confunden dos tipos de iteración de tipo y naturaleza posiblemente diferentes (cardinalidad —número de pasos— vs. medida): el valor del proceso mismo y el proceso de añadir más términos a la sucesión. Así pues, en el caso de sumas infinitas, la intuición aparece como "si aumenta el número de términos o elementos (cardinalidad), entonces la medida de la suma debe ser infinita (debe pasar cualquier valor predeterminado)". Resulta interesante que en el caso de las famosas paradojas de Zenón, también surge un conflicto entre dos componentes de naturaleza diferente. Recordemos la esencia de dichas paradojas (que se pueden considerar como paradojas de lo infinitamente pequeño): Zenón de Elea (c. 450 BC) cuestionó las creencias de que, en palabras de Struik (1967) "la suma de un número infinito de cantidades se pueda hacer tan grande como se quiera, aún si cada cantidad es extremadamente pequeña (∞ x ε = ∞); y también que la suma de un número finito o infinito de cantidades de dimensión cero, es cero"7. Sus argumentos enfatizan la dificultad que surge de decir que la línea está formada por puntos (el problema de la relación entre lo continuo y lo discreto). Zenón planteaba situaciones paradójicas en las que se ilustraba, por un lado8, que si

registraron todas las acciones e interacciones entre los alumnos y la computadora: se utilizaron archivos “dribble” que registran todas las líneas y comandos tecleados por los alumnos; y se guardaron en archivos todos los programas hechos por los alumnos; también se hicieron video-grabaciones de la pantalla y de cualquier señalización que los alumnos hicieran. 7 Traducido del inglés. Op.cit. p. 43. 8 En las paradojas de la Dicotomía o el Corredor; y la de Aquiles y la Tortuga.

magnitudes continuas (como el tiempo y el espacio) fueran infinitamente divisibles, entonces el movimiento no podría existir; pero, por otro lado9, si no fueran infinitamente divisibles (por la existencia de partes indivisibles), entonces ¡tampoco podría haber movimiento! Aristóteles creía que uno de los problemas de las primeras paradojas es que cuando Zenón sugiere que la división infinita del espacio requiere un tiempo infinito para completarse, está mezclando dos tipos de infinito: la divisibilidad infinita del espacio, y una extensión infinita de tiempo. Moore (1991) explica que, para Aristóteles, las paradojas de Zenón revelan la incoherencia de algo que se divide en un número infinito de partes (lo que implica la construcción de un infinito actual). Así pues, para las dos siguientes paradojas, Aristóteles argumenta que es falso asumir que el continuo está formado por elementos indivisibles. Como explica Jones (1987), las paradojas de Zenón surgen al mezclar lo discreto con lo continuo (al aplicar un número a una magnitud), y la solución de Aristóteles consistió en separar lo discreto de lo continuo. (De hecho, no es sino hasta el siglo XX, cuando Russell (1872-1970) explica que los puntos de un segmento no pueden ser contados ya que el conjunto de puntos del continuo de los reales es un conjunto no-numerable. Así pues, las medidas continuas no pueden construirse juntando partículas puntuales). En palabras de Bruyère (1989), la intuición a menudo nos engaña al empujarnos a mezclar el infinito de los números naturales con el de los números reales. A continuación relatamos un episodio de nuestra investigación con el micromundo, que también involucró la coordinación de varios procesos infinitos simultáneos para poder resolver las aparentes paradojas que surgieron. Se muestra cómo el micromundo proporcionó maneras para que los estudiantes investigaran la relación entre los diferentes elementos presentes y encontraran maneras de coordinar estos elementos, ayudándolos para resolver posibles paradojas. Dicho ejemplo se centra en las paradojas de la curva de Koch10, donde un perímetro infinito parece estar formado por segmentos de ¡longitud cero! Dicha paradoja es análoga a las paradojas de Zenón, y, como en ese caso, existen dos componentes presentes: el número de segmentos, y la medida de los segmentos.

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En las paradojas de la Flecha; y la del Estadio La curva de Koch es una figura fractal clásica que se construye comenzando con una figura básica, y en el siguiente paso se sustituye cada segmento de la figura original por una copia de escala 1/3 de la misma figura (ver figura más delante en el texto principal). El proceso de sustituir cada segmento por una copia de la figura original se repite infinitamente, siendo el límite de dicha sucesión infinita de figuras, la "curva" de Koch. 10

Exploraciones de la curva de Koch en el micromundo computacional El estudio de la curva de Koch formaba parte de la exploración de fractales como objetos límite. Dicha curva es el resultado de una sucesión de figuras geométricas (ver figura abajo) donde su código de programación refleja su estructura recursiva. Dicho código tiene la siguiente estructura, donde :L es la variable para la altura de la figura inicial, y :N: representa el nivel de la figura: PARA KOCH :L :N SI :N = 1 [ADELANTE :L ALTO] KOCH :L / 3 :N - 1 IZQUIERDA 60 KOCH :L / 3 :N - 1 DERECHA 120 KOCH :L / 3 :N - 1 IZQUIERDA 60 KOCH :L / 3 :N - 1 FIN

Primeros pasos en el proceso de construcción de la curva de Koch

Las investigaciones de esta figura se centraron en el estudio de su longitud o perímetro. Diferentes alumnos tuvieron diferentes intuiciones acerca de lo que sucedería con la figura cuando el nivel (:N) se acercara al infinito. Una pareja de alumnas11 de catorce años, al igual que los demás alumnos, en sus investigaciones de la longitud del perímetro de la curva, reconocieron el proceso de "tomar tercios" que habían visto en actividades anteriores cuando estudiaron la sucesión {1/3n} (ver Sacristán & Moreno en esta misma publicación) y concluyeron que la longitud de cada segmento era dada por la fórmula 1/3:N, un valor que se aproxima a cero a medida que :N crece, aunque no consideraban que podría llegar a ser cero: Va a ser muy pequeño, va a llegar al límite cero…. Mmm… No, no va a llegar a cero. Va a ser 0.000…9 o 0.000….1…

Estas alumnas estuvieron entre aquellos estudiantes que consideraron originalmente que la longitud total de la curva se volvería una constante (i.e. que tendría un límite). La concepción que prevalecía era "aquello que se añade es demasiado pequeño" aunque habían tres factores de

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Dichas alumnas no tenían ninguna instrucción ni conocimiento previo sobre los temas de límites y sucesiones en matemáticas.

influencia: (i) cada uno de los segmentos que se añaden es muy pequeño; (ii) visualmente la figura es aparentemente invariante después de cierto nivel; y (iii) toda la figura está acotada dentro de un área finita. Una alumna señaló: Va a crecer poco a poco hasta cierto punto donde va a crecer tan poquito, que aunque [el crecimiento] no sea cero, [la longitud] va a ser la misma.

En contraste, para casi todos los demás alumnos, la intuición original con respecto a la longitud del perímetro era que crecería infinitamente; la concepción prevalente era la discutida en la sección anterior sobre intuiciones del infinito: si el número de segmentos que se añade es infinito, entonces la longitud de la curva tiende a ser infinitamente grande. Para todos los alumnos, el descubrimiento y aceptación de qué sucede con el perímetro, sólo vendría después de extensas exploraciones visuales y numéricas. Todos los estudiantes construyeron tablas de valores como la que se presenta en la Tabla 1, y analizaron en detalle qué sucedía con la longitud de la figura en cada nivel. A través de las figuras generadas por la computadora, los alumnos pudieron observar el número de segmentos en cada caso, y así observar cómo cada segmento, en cada siguiente etapa, se remplaza por cuatro nuevos segmentos (por lo que el número de segmentos sería una potencia de 4). Así, utilizando y trabajando con la tabla, fueron generalizando y deduciendo el número de segmentos (4N-1) y el tamaño de dichos segmentos (L/3N-1) en función del nivel N. Para L = 100 Nivel 1 2

Lado de cada segmento 100 100/3

Número de segmentos 1 4

Distancia total (perímetro) 100 (100/3) * 4

3

100/9 (32)

4 x 4 = 16

(100/9) * 16

4

100/27 (33)

16 x 4 = 43 =64

(100/27) * 64

133. 33 177. 77 237. 037

5

100/81

256

(100/81) * 256

316.0493827

4N-1

" 100 % N !1 $ N !1 '( 4 #3 &

N

L 3

N !1

= Total 100

( )

" L % N !1 $ N !1 '( 4 #3 &

( )

100 233848680765595.64783 Tabla 1. Tabla creada por los alumnos (Manuel y Jesús) en su estudio de la curva de Koch.

Para un estudio más detallado del comportamiento del perímetro, los alumnos, habiendo encontrado la fórmula para la longitud del perímetro, la tradujeron en el código de un procedimiento (PERIMETRO12) que permitió calcular el perímetro de la curva para cualquier nivel (:N). Usando este procedimiento los estudiantes pudieron extender sus investigaciones numéricas para confirmar o descubrir la divergencia del perímetro (por ejemplo, en el nivel 100, como se muestra en la tabla, el valor del perímetro es ya muy, muy grande), aunque sería en casi todos los casos, un proceso que llevaría más de una sesión. Las paradojas de la curva de Koch: el caso de Manuel y Jesús. Nos parece interesante relatar en detalle el caso de dos alumnos, Manuel y Jesús13, de 17 y 18 años de edad respectivamente, quienes tuvieron que enfrentarse a una situación paradójica cuando se desconcertaron al pensar en el perímetro como una longitud formada por segmentos de longitud nula. Originalmente dichos alumnos habían pensado que el perímetro de la curva tendía al infinito, pero surgieron confusiones cuando intentaron reconciliar esto con el hecho de que cada uno de los segmentos que formaban la curva tendían a cero. Manuel: [Si el nivel fuera infinito] el perímetro sería infinito. Investigadora: Y ¿qué pasaría con el tamaño de cada segmento? Jesús: Decrece. Manuel: Se hace cero.. Jesús: ¡Ay!… es cero. Entonces no puede ser infinito, el perímetro, como dijimos… ¿o puede?

A partir de este punto se inició una larga discusión y exploración que duraría más de una sesión, para intentar determinar qué sucedería con la curva en el infinito. Una de las primeras conclusiones de Manuel, al enfocarse en la idea de que la línea está formada por una infinidad de puntos, fue la siguiente: Manuel: Entonces será evidentemente una curva [suave]. No tendría segmentos. Sería una curva o línea… Sería una secuencia infinita de puntos.

En su hoja de trabajo estos alumnos escribieron sus argumentos para justificar porqué el perímetro tendría que ser infinito:

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PARA PERIMETRO :L :N OUTPUT ( POTENCIA ( 4 / 3 ) ( :N - 1 ) ) * :L FIN 13 Manuel y Jesús, alumnos en las áreas de física e ingenieria de la escuela preparatoria, tenían ambos inclinaciones matemáticas y alguna instrucción en pre-cálculo.

" Si N = ∞, es una sucesión infinita de puntos, y el perímetro tiene que ser infinito. " Si el nivel es infinito, el perímetro también es (podría ser) infinito, porque no dejaría de crecer aún si el tamaño de los segmentos es muy pequeño".

Sin embargo, las confusiones continuaron y los alumnos se percataron de la necesidad de analizar a mayor profundidad la situación, utilizando exploraciones algebraicas y numéricas. Jesús: Estaba analizando esto, y el tamaño del segmento se hace muy pequeño, pero lo que siempre aumenta es la cantidad de segmentos, y eso sucede hasta el infinito, por lo que hay una infinidad de segmentos… Manuel: Que miden cero… Jesús & Manuel: Así es que son puntos…. Investigadora: Y ¿el perímetro? Manuel: Bueno… observando su comportamiento… ¿Porqué no usamos la formula como guía? Jesús: Bueno… observando el comportamiento numérico debe darnos una idea de que el perímetro va a ser muy grande.. Manuel: Si el número de términos es infinito, entonces será infinito. Jesús: Eso es de acuerdo a los números, de acuerdo a cómo crece… Pero hay un problema: el número de segmentos aumenta, pero también se hacen muy pequeños. De hecho ya vimos que esta función tiene un límite cuando es 1/3:N se va a cero. Manuel: Y ¿si hay infinitos segmentos?… Jesús: Entonces no hay perímetro. Manuel: Sería cero. Jesús: Es como si no hubiera perímetro. Sería cero. Manuel: Lo que digo es que los segmentos ya no serían segmentos de línea, serían puntos, y por lo tanto ya no tendría una forma puntiaguda, formaría una "curva", por llamarlo algo, pero no sé que forma tendría después de eso….

Como muestra esta transcripción, por un lado, Jesús era consciente del problema de que dos tipos de procesos estaban involucrados en el cambio del perímetro: el aumento del número de segmentos; y la disminución del tamaño de los segmentos. Se percató que el comportamiento de los valores numéricos indicaba que el perímetro se volvía muy grande (y Manuel consideraba que tendía a ser infinito). Pero cuando consideraron que los segmentos en el infinito medirían cero, esto parecía indicar que ¡en el infinito el perímetro mediría cero! De hecho, el poner la atención en lo último, provocó que Jesús dudara de la divergencia del perímetro: "Los segmentos se hacen más pequeños… El perímetro no puede ser infinito…". Pero Manuel tenía una perspectiva diferente: se enfocó más en cómo los segmentos "de tamaño cero" afectarían la forma de la figura. Estos alumnos se estaban enfrentando a lo que se define como una indeterminación en matemáticas, al hablar de un número infinito de segmentos de tamaño cero se tiene una situación ∞ x 0. Cuando Manuel decidió volver a analizar el proceso desde una perspectiva algebraica, pronto descubrió esto.

Manuel: Mejor veamos a donde vamos. Un número infinito… 100/3:N-1 Si N es infinito, entonces es cero, ¿verdad? Y 4:N-1, si N es infinito, es infinito. Y ¿cuánto es cero por infinito? … ¡Ay! ¡Qué horror! ¿Cuánto es infinito por cero?

Al principio no pudieron resolver esta situación que les causó mucha ansiedad: Manuel: Realmente no sé del perímetro: una teoría dice que va a ser infinito; y la otra que es cero… No me lo puedo siquiera imaginar. Jesús: El problema es que estamos multiplicando un número exageradamente pequeño por uno exageradamente grande… Manuel: ¡Esto parece estar más allá del límite de mi imaginación! Jesús: ¡Ay, Dios mío! Creo que voy a estar pensando todo el día…

Cuando Jesús regresó a la siguiente sesión, trajo consigo una lista escrita de conjeturas que intentaban resolver la situación paradójica, y estaba convencido de que el perímetro tendería al infinito. Escribió: " 1) El perímetro va a ser infinito, porque la longitud de los segmentos nunca va a ser igual a cero, y su número aumenta permanentemente. " 2) Porque el perímetro se obtiene multiplicando el número de segmentos por su longitud, entonces se obtiene un producto donde un número extremadamente pequeño se multiplica por otro extremadamente grande, y por lo tanto siempre crece. " 3) La sucesión 1/3n tiende a un límite, pero 4n no tiene uno, por lo tanto el perímetro debe ser infinito. " 4) Tal vez necesitamos observar por cuánto 1/3n reduce a 4n; es decir, cuantos decimales se mueven a la derecha después de hacer el producto".

El primer argumento muestra que Jesús concibe al proceso solo como potencialmente infinito, y que por lo tanto el límite cero del tamaño de los segmentos nunca puede ser alcanzado. Su razonamiento era entonces, que si el número de segmentos de medida no-nula (sin importar qué tan pequeña) aumenta, entonces el total debe siempre crecer sin límites; este es un argumento que aunque está erróneamente expresado, le ayudó de manera intuitiva a apoyar su idea de que el perímetro tendía hacia el infinito. El segundo argumento sigue un razonamiento similar. En el tercer argumento, tal vez quiere decir que porque 1/3n tiene límite y 4n no, es como multiplicar algo que tiende al infinito por un valor finito que no puede cambiar esa tendencia. Pero la más interesante es su última observación: se interesa por como cada uno de los factores (1/3n y 4n) afecta al otro. Este es un punto clave, puesto que es la diferencia en la velocidad en que cada una de las dos secuencias progresan que determina el resultado final. Jesús es consciente de esto, como lo demuestran sus explicaciones que presentamos a continuación (las cuales también aclaran la forma de pensar que subyace a su segundo argumento dado arriba).

Jesús utilizó exploraciones numéricas para explorar el comportamiento del perímetro, verificar su hipótesis, y convencerse de la divergencia del perímetro, concluyendo lo siguiente: Jesús: Sí, ahora estoy totalmente convencido de que el perímetro de la curva es infinito. Estaba analizando que pasa con cada uno de los elementos del producto. Por un lado la longitud del segmento: aún si N es muy muy grande, la función L/3N-1 nunca llega a ser cero. Siempre será un número extremadamente pequeño. Y el otro elemento que es 4N-1, ese va a ser muy, pero muy, muy grande… Así es que el número de segmentos aumenta, y se multiplica por un número muy pequeño, lo cual lo reduce un poco, pero el aumento es más que la disminución… así es que aunque los segmentos sean extremadamente pequeños, el perímetro siempre va a aumentar. Así es que por eso digo que el perímetro va a ser infinito. Incluso hice algunos cálculos con una calculadora científica, y pude llegar hasta 320 [para N], y ese número ya es muy, muy grande. Así es que con ese resultado, y el razonamiento que hice, puedo decir que el perímetro será infinito.

En contraste, Manuel aún tenía conflictos entre lo que sus intuiciones le decían, y su intento por aplicar razonamientos y principios de lógica finita: "un número multiplicado por cero, es cero" vs. "un número multiplicado por el infinito, es infinito", lo cuál le llevó a conclusiones paradójicas: Manuel: ¿Qué pasa con la curva? Y ¿si se hiciera cero?…Entonces..., entonces solo sería un punto, parece, al menos ahora que pienso en eso, eso es lo que parece… Así es que si el número es infinito, el perímetro es cero, y ¿qué pasaría? Que ¡todo esto se convierte en un punto! Jesús: No, No estoy de acuerdo, porque el número de segmentos siempre aumenta, y el perímetro siempre será un número grande. Manuel: Estoy de acuerdo que el número de segmentos es infinito, pero dime, ¿qué tamaño tienen? Jesús: Extremadamente pequeño. Manuel: De tamaño cero. Jesús: Bueno, serían como de tamaño cero, pero no serían exactamente cero. Manuel: No, serían de tamaño cero. Jesús: ¿Porque? ¿Porque estamos alcanzando el infinito? ¿Por eso dices que tendrían tamaño cero y que serían puntos? Manuel: De acuerdo con la fórmula, sí. Jesús: Pero lo que yo digo es que relativo al perímetro, sabemos que la longitud de los segmentos no puede ser cero. Manuel: Sí es, es enteramente igual a cero. Jesús: No, no sería igual a cero. Sería extremadamente pequeño, pero no sería igual a cero. … Lo que dices es que ¿sólo quedaría un punto? Manuel: Sí. Se hace muy muy pequeño. Jesús: No, no estoy de acuerdo. ¿Cómo es posible que después de tener algo tan grande de repente se haga así? ¡No!

Como ya lo señalamos arriba, la paradoja de la curva de Koch es análoga a las paradojas de Zenón, y como en ese caso, involucra dos componentes: el número de segmentos, y la medida de los segmentos. También, al igual que en las paradojas de Zenón, la construcción de la curva de Koch involucra subdivisiones infinitas del continuo, tocando así diversas áreas de la

matemática que se relacionan con el infinito: límites de procesos infinitos, conjuntos infinitos, y la naturaleza del continuo. Manuel quería concebir al proceso como terminado, y consideraba que en ese punto (en el infinito) los segmentos que forman al perímetro se anularían (tendrían valor cero) por lo que se tendría un "colapso” de la curva en un punto. Esta paradoja nos recuerda las dificultades, como las que señala Galileo, que surgen cuando intentamos pensar en los conjuntos infinitos usando los esquemas conceptuales de lo finito (un error común a lo largo de la historia, y detectado por muchos investigadores —e.g. Waldegg, 1988). Jesús, por otro lado, y como ya se discutió, no aceptó que los segmentos pudieran jamás ser iguales a cero; para él los segmentos serían muy, muy pequeños (tal vez infinitesimalmente pequeños), pero nunca cero. Su concepción del proceso, es de un proceso potencialmente infinito. Pero lo que cabe destacar, es que en su enfoque, Jesús toma en cuenta ambos procesos que están presentes, y considera la idea de que de manera "relativa al perímetro", los segmentos nunca pueden llegar a ser cero: considera que el crecimiento del perímetro es mucho más rápido que la convergencia a cero de los segmentos que lo forman. Más aún, rechaza de manera intuitiva la proposición de Manuel de que la curva, tras volverse muy grande, de pronto se colapsaría en un punto. En cuanto a Manuel, a este le tomaría más tiempo de exploraciones (particularmente numéricas) y de reflexión para lograrse convencer de la divergencia del perímetro. Resulta interesante observar la influencia de la manera en la que los alumnos concibieron la fórmula para la longitud del perímetro —en términos de una multiplicación de la medida del lado de cada segmento (dado por 1/3N) por el número de segmentos (4N) —, en el sentido de que los alumnos no separaron esta concepción de la formula que obtuvieron, y por lo tanto no consideraron que desde el punto de vista puramente algebraico se puede deducir que 1 3

N

N

.4 =

4

N

3

N

!4$ =# & " 3%

N

lo cuál resuelve la "indeterminación", y por lo tanto, puesto que

4 > 1, 3

implica que dicho proceso es divergente. Mientras que las indeterminaciones de los límites tradicionalmente se resuelven mediante manipulaciones algebraicas, en este caso Jesús resolvió esta indeterminación a través de un análisis del comportamiento de cada uno de los elementos involucrados, observando

específicamente la diferencia en la velocidad de divergencia o convergencia de cada uno de los elementos. De esta manera, coordinó los procesos involucrados. Este tipo de análisis puede resolver dudas intelectuales que una prueba puramente algebraica no lograría. 5.

Conclusiones A partir de la evidencia derivada de todas las experiencias en el micromundo — tanto de

las actividades presentadas en este artículo, como de las restantes que formaron parte del diseño del estudio (ver Sacristán, 1997) — y como ilustra el episodio presentado arriba, observamos que los alumnos, mediante sus actividades de exploración, lograron llevar a cabo un análisis de los procesos infinito bajo estudio de la siguiente manera: ♦ Observando el comportamiento, en lo finito, de los procesos infinitos, obteniendo así indicaciones acerca del posible comportamiento en el infinito; ♦ Efectuando un análisis "parte por parte" del proceso, utilizando las herramientas del micromundo, para discernir los elementos presentes en el proceso; identificando, separando, y relacionando los diferentes sub-procesos simultáneos y así coordinando sus diferentes comportamientos para resolver las posibles paradojas; y ♦ Teniendo un medio para explorar, conversar, expresar sus ideas, y reflexionar sobre el infinito, por lo que les fue posible hacer “matemática” (aún y cuando fuera matemática contextualizada14 dentro del ambiente de exploración computacional), en lugar de ser receptores pasivos de información —posiblemente descoordinada, y por lo tanto, paradójica— acerca del infinito. El episodio aquí descrito, ilustra cómo los estudiantes pueden aprovechar las herramientas tecnológicas provistas en este tipo de ambientes de exploración computacional para ir más allá de un enfoque puramente analítico-algebraico, pudiendo analizar el comportamiento en lo finito de los procesos infinitos y obteniendo así pistas sobre el comportamiento en lo infinito. En este caso, el diseño y herramientas del micromundo les permitió llevar a cabo un análisis "parte por parte" mediante el cuál pudieron discriminar y coordinar los múltiples elementos presentes

dentro de un proceso infinito. Queremos señalar que en ningún momento estamos afirmando que con estas experiencias se resuelven todas las dificultades que presenta el infinito, ni que los alumnos hayan generado un aprendizaje formal del infinito matemático. Los elementos de los procesos infinitos que los alumnos lograron discriminar y coordinar se encuentran dentro del contexto de las actividades bajo estudio. Sin embargo, a través de estas ricas experiencias se amplían las oportunidades de que se dé, por parte de los alumnos, una reflexión constructiva (actividad fundamental en cualquier proceso de desarrollo matemático) en torno a los problemas que subyacen al concepto de infinito. Más aún, la evidencia del estudio completo (ver Sacristán, 1997) sugiere que los alumnos aprendieron a tomar en cuenta los diferentes elementos, y a analizar sus relaciones, siendo menos susceptibles de dejarse llevar por apariencias iniciales. Todas estas experiencias pueden servir de base para un aprendizaje más significativo en el estudio posterior de los conceptos formales relacionados con el infinito matemático. Referencias Bruyère, V. (1989) 'Paradoxes en Mathématiques' , Mathématique et Pédagogie, No. 70, pp. 2532. Cornu, B. (1991) 'Limits'. En Tall, D.O. (ed.) Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Publishers; pp. 153-166. diSessa, A. (1997) 'Open Toolsets: New Ends and New Means in Learning Mathematics and Science with Computers', Proceedings PME-21, Erkki Pehkonen (Ed.), pp. 47 - 62. Fischbein et al. (1979) The Intuition of the Infinite. Hoyles, C. & Noss, R. (1987) ‘Synthesising Mathematical conceptions and their formalisation through the construction of a Logo-based school mathematics curriculum.’ International Journal of Mathematics Education in Science and Technology 18, 4 (1987), pp.581-595. Jones, C.V. (1987), 'Las paradojas de Zenón y los primeros fundamentos de las matemáticas', Mathesis, Vol. III, No. 1, Feb., 1987.

14

La idea de aprendizaje contextualizado fue presentada y discutida por Noss & Hoyles (1996). Para una ilustración del tipo de aprendizaje contextualizado que se observó en nuestro estudio, ver Sacristán & Moreno en esta misma publicación.

Moore, A.W. (1991) The Infinite. Routledge; London and New York. Moreno, L. & Sacristán, A. (1998). A Logo-Based Microworld as a Window on the Infinite. En Berenson, S. Dawkins, K. (eds) Proceedings of the twentieth Annual Meeting, PMENA, North Carolina State university, Raleigh, USA. Pp. 126-130 Moreno, L. & Waldegg, G. (1991) 'The Conceptual Evolution of Actual Mathematical Infinity', Educational Studies in Mathematics, 22, pp.211-231. Noss, R. & Hoyles, C. (1996), Windows on Mathematical Meanings. Learning cultures and computers. Kluwer Academic Press. Nuñez Errázuriz, R. (1993) En Deçà du Transfini. Aspects psychocognitifs sous-jacents au concept d'infini en mathématiques. Éditions Universitaires Fribourg Suisse. Vol. 4. Sacristán, A.I. (1997). Windows on the Infinite: Creating Meanings in a Logo-Based Microworld, Tesis Doctoral. Instituto de Educación, Universidad de Londres, Inglaterra. Sacristán, A.I. & Moreno, L. (en esta misma publicación) ‘Abstracciones y Demostraciones Contextualizadas:

Conjeturas

y

Generalizaciones

en

un

Micromundo

Computacional’. Struik, D.J. (1967) A Concise History of Mathematics. Dover Publications: New York. Tall, D.O. (1980) 'The Notion of Infinite Measuring Number and its Relevance in the Intuition of Infinity', Educational Studies in Mathematics 11, pp. 271-284. Waldegg, G. (1988) Esquemas de Respuesta ante el Infinito Matemático. Transferencia de la Operatividad de lo Finito a lo Infinito. Tesis Doctoral. Cinvestav, México. Wilensky, U. (1991) 'Abstract Meditations on the Concrete, and Concrete Implications for Mathematics Education', en Harel, I. & Papert, S. (eds.) Constructionism, pp. 193204; Ablex Publishing Corporation, Norwood, NJ.