DISCURSO DE CONTESTACION POR EL Ilmo. Sr. D. RAFAEL CID PALACIOS

Excmo. Sr. Presidente, Excmos. e Ilmos. Sres. Acad´emicos, Se˜ noras y Se˜ nores:

Aunque por naturaleza suelo ser poco expresivo, sean mis primeras palabras de agradecimiento a la Academia de Ciencias y al Dr. D. Antonio Elipe S´anchez, por solicitar mi presencia en el acto de contestaci´on a su discurso de ingreso en la Academia, como miembro de n´ umero. Este agradecimiento va estrechamente unido a la gran satisfacci´on que siento por refrendar as´ı la val´ıa del Dr. Elipe, que anta˜ no fue mi disc´ıpulo y hoy puedo considerarlo mi maestro en cuestiones de inform´atica, de las que todos dependemos en la actualidad. El Profesor Elipe naci´o en Castej´on del Campo (Soria), el 7 de abril de 1957, obteniendo en la Universidad de Zaragoza el t´ıtulo de Licenciado en Matem´aticas en 1979 y el de Doctor en 1983, con una tesis dirigida por m´ı y por D. Sebasti´an Ferrer. Su vinculaci´on a la Universidad de Zaragoza ha sido constante, pues desde su nombramiento de Profesor Ayudante (1979-1982) y de Profesor Colaborador (1982-1984), pas´ o en 1985 a ser Profesor Titular. Desde un principio su actividad acad´emica ha sido relevante, impartiendo asignaturas de licenciatura como Mec´anica y Astronom´ıa, Astronom´ıa, Mec´anica Celeste, Geodesia, etc., Cursos de Doctorado sobre Din´amica de actitud de s´olidos, Rotaci´on de gir´ostatos, Linealizaci´on y Regularizaci´on, Transformaciones de Lie y Manipuladores algebraicos y complementando esta labor con la direcci´on de tres tesinas de Licenciatura, dos en 1986 y una en 1987, y siete tesis doctorales (dos en colaboraci´on) en los a˜ nos 1989, 1992, 1993, 1995, 1995, 1997 y 1999. A esta actividad acad´emica hemos de a˜ nadir: La publicaci´on de varios libros, seis en total, que elabor´o s´olo o en compa˜ n´ıa y que fueron publicados, en 1983 por la Universidad de Santiago de Compostela, en 1983 y 1990 por el Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza, en 1995 por el Conseil de l’Europe en Luxembourg, en 1997 por la Editorial Kluwer Acad. Pub. y en 1999 por la Academia de Ciencias de Zaragoza, as´ı como sus estancias en Centros extranjeros, uno en Darmstadt (Alemania) de seis semanas en 1986 y dos en el National Institute of Standards and Technology (Gaithersburg, MD. USA) desde Enero de 1989 a Enero de 1990 y desde Agosto de 1992 a Febrero de 1993,

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patrocinados, respectivamente, por una ESA Fellowship y por una Beca del Ministerio de Educaci´on y Ciencia. Su actividad investigadora ha sido inmensa, pues en la actualidad ya ha participado en la publicaci´on de 60 trabajos, 3 en Revistas Nacionales y 57 en prestigiosas revistas extranjeras, as´ı como en la presentaci´on de 52 comunicaciones a Congresos (20 nacionales y 32 extranjeros). Su participaci´on en proyectos de investigaci´on subvencionados puede resumirse de la forma siguiente: Ha dirigido 1 proyecto para IBERCAJA, 1 proyecto para CICYT y 3 proyectos para DGICYT. Ha participado como investigador en 1 proyecto para IBERCAJA, 2 proyectos para CICYT, 1 proyecto para CAICYT, 1 proyecto para CONAI y 1 proyecto de la Uni´on Europea. Ha participado como investigador principal en 11 contratos de especial relevancia con Empresas y m´as concretamente con Cisi Ingenierie y Centre National d’´etudes Spatiales de Toulouse (Francia). Su buen hacer ha dado lugar a que haya sido invitado a pronunciar conferencias cient´ıficas en importantes Centros extranjeros como en: European Space Operation Centre (1986), University of South Florida. Tampa (1989) y 2000), Computing and Applied Mathematics Laboratory (USA) (1990), Observatoire Royal de Belguique (1991), Universit´e de Pau (1992 y 1995), Centre National d’Etudes Spatiales de Toulouse (1994), Po´znan Astronomical Observatory de Polonia (1999), etc., as´ı como un conjunto de conferencias y Cursos de iniciaci´on a la Astronom´ıa de car´acter divulgativo en Centros o Universidades Nacionales. Para completar este extenso curriculum a˜ nadiremos que ha recibido el Premio del VII Concurso de Tesis Doctorales, y el Premio a la Investigaci´on de la Academia de Ciencias de Zaragoza. Que pertenece a numerosas Sociedades cient´ıficas y profesionales como IAU, American Astronomical Society, European Astronomical Society, American Astronautical Society, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Sociedad Espa˜ nola de Astronom´ıa y Associa¸cao Brasileira de Ciencias Mecˆanicas y que es o ha sido “Referee” de prestigiosas Revistas (Celestial Mechanics, Astronomy and Astrophysics, Journal of Astronautical Sciences, Astrophysics and Space Sciences, Mechanics Research Communications, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, Revista Matem´atica Complutense, Revista Espa˜ nola de F´ısica y Revista de la Academia de Ciencias de Zaragoza). No es necesario a˜ nadir otras cualidades del Profesor Elipe para comprender que su elecci´on por parte de la Academia est´a plenamente justificada y por la que yo personalmente siento una gran satisfacci´on, confiando en que su futuro quehacer responder´a a todas nuestras esperanzas. Pasando a comentar el discurso del Dr. Elipe, comprendo que poco puedo a˜ nadir a

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su documentada exposici´on sobre los diversos m´etodos de c´alculo de o´rbitas de sat´elites artificiales que se han ido utilizando y perfeccionando desde sus comienzos. Comienza su discurso dando una idea global sobre el problema del movimiento de dos cuerpos atraidos por la ley de Newton, que es b´asico en el c´alculo de o´rbitas. Poco a poco este problema se complica, sea por la estructura no esf´erica de los cuerpos o por la existencia de otros cuerpos, dando lugar a problemas de movimientos con perturbaciones, en cuyo caso el c´alculo de las o´rbitas requiere un mayor n´ umero de operaciones, obteniendose soluciones representadas, en general, por desarrollos en serie. En todo caso, con el fin de esquematizar diferentes c´alculos que suelen presentarse en los problemas de la Astron´autica, iremos dando noticia de los m´as importantes. As´ı, el Profesor Elipe en su exposici´on hace referencia, de forma resumida, a los problemas de lanzamiento de sat´elites artificiales por medio de diferentes sistemas de propulsi´on, entre los cuales pueden citarse: 1.- Propulsi´on qu´ımica, con propergoles l´ıquidos o s´olidos 2.- Propulsi´on nuclear o at´omica, donde el manantial de calor es un reactor nuclear. 3.- Propulsi´on i´onica, que consiste en la atracci´on de iones por medio de un acelerador, que confiere velocidades muy grandes a las part´ıculas electrizadas. 4.- Propulsi´on pl´asmica, variante de la anterior, que expulsa una mezcla de part´ıculas positivas y negativas. 5.- Propulsi´on fot´onica, con expulsi´on de fotones, que llegan a alcanzar velocidades del orden de 300.000 km/seg. Para que se comprenda de manera m´as profunda este problema fundamental, desarrollaremos de forma m´as amplia el caso de lanzamientos con propulsante qu´ımico. Se trata, en realidad, de conseguir una velocidad de lanzamiento que supere a la atracci´on de la gravedad, por medio de cohetes que, al desprender su combustible, originan un aumento de su velocidad. Es decir que se trata de un movimiento con masa variable, al que no podemos aplicar la ley fundamental de la Din´amica: Fuerza igual a masa por aceleraci´ on (F = ma). Aunque tal dificultad se elude f´acilmente partiendo de la ecuaci´on mv dQ = =F dt dt que nos proporciona la variaci´on de la cantidad de movimiento Q. Idealizando el problema, consideremos una part´ıcula de masa m, que en el instante t se mueve con velocidad v respecto a un cierto sistema de ejes. Supongamos, adem´as que en el intervalo de tiempo ∆t var´ıa su masa en una cierta cantidad ∆m. Esta variaci´on de la masa unida a la variaci´on de velocidad, originan un cambio en el movimiento de la part´ıcula, de manera que en el instante t + ∆t, ´esta se mover´a con una cierta velocidad v + ∆v. Ahora bien, si Q es la cantidad de movimiento del sistema en el instante inicial 37

y Q + ∆Q la cantidad de movimiento en el instante t0 + ∆t, tendremos Q = mv + v 0 ∆m,

Q + ∆Q = (m + ∆m)(v + ∆v) ≈ mv + m∆v + v∆m,

donde se ha omitido el t´ermino de segundo orden. Restando ambas igualdades, dividiendo por ∆t y pasando al l´ımite, para ∆t → 0, resultar´a dv dm dQ =F =m + (v − v 0 ) , dt dt dt que es en primer orden la f´ormula fundamental del movimiento de un cuerpo con masa variable. Multiplicando ambos miembros por dt y dividiendo por m, resulta finalmente dv =

dm F dt − (v − v 0 ) . m m

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Pasemos por u ´ltimo a los sistemas que se emplean actualmente para colocar un sat´elite artificial en o´rbita, es decir a cohetes. Un cohete a reacci´on es un artefacto cuya masa inicial se compone de dos partes: una masa fija, constituida por la estructura met´alica del cohete, y una masa variable, el combustible, que sale en forma gaseosa por la parte posterior del mismo. Al salir estos gases, se produce un movimiento de avance del cohete, al propio tiempo que su masa total disminuye. El incremento de velocidad u = −(v − v 0 ) que se origina, podemos suponerlo constante, por lo cual, si integramos la f´ormula (1) entre los l´ımites t0 y t, tendremos m0  t F v − v 0 = u log + dt m t0 m

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El vector F contiene el conjunto de fuerzas exteriores que act´ uan sobre el cohete, entre las cuales se encuentra la gravedad. Vemos, pues, que en ausencia de fuerzas exteriores, el incremento de velocidad se debe a la velocidad de salida de gases y a la relaci´on de masas m0 /m. Las dificultades para obtener velocidades de salida de gases superiores a 5 km/seg. o relaciones de masas adecuadas, ha llevado a la construcci´on de cohetes m´ ultiples, es decir, cohetes que funcionan en tiempos diferentes y que van inutiliz´andose y separandose de aquel que porta el sat´elite, a medida que se agota su combustible. En tal sentido, consideremos un cohete compuesto de varios, por ejemplo tres, que se van separando sucesivamente, a medida que se acaba su combustible. Si designamos por m1 , m2 , m3 , las masas de sus estructuras met´alicas, m1 , m2 , m3 , las masas de combustible, Mi = mi + mi , la masa total de cada cohete que se separa, y por v1 , v2 , v3 , las velocidades finales al producirse cada separaci´on, 38

por aplicaci´on de la ecuaci´on (2), tendremos M1 + M2 + M3  t1 F + v 1 − v 0 = u1 log dt, m 1 + M2 + M 3 t0 M v 2 − v 1 = u2 log

M2 + M3  t2 F + dt, m 2 + M3 t1 M

M3  t3 F v 3 − v 2 = u3 log + dt. m3 t2 M Sumando estas tres igualdades, obtenemos v 3 − v 0 = u1 log

M1 + M2 + M3 M 2 + M3 M3  t3 F dt, + u2 log + u3 log + m 1 + M2 + M3 m 2 + M3 m3 t0 M

que nos permite calcular la velocidad final del cohete al agotarse el combustible de su tercer cuerpo. Te´oricamente el n´ umero de componentes puede ser cualquiera, pero debido a la complejidad que se produce al aumentar este n´ umero, se ha comprobado que las mejores combinaciones se consiguen con cohetes de tres y cuatro componentes. En el caso concreto de sat´elites que se mueven alrededor de la Tierra, las principales perturbaciones derivan de la forma no esf´erica de nuestro planeta, que es tratada con detalle en el discurso, especificando la expresi´on habitual del geopotencial con desarrollos en serie de polinomios de Legendre, el frenaje atmosf´erico, que act´ ua de manera importante en sat´elites pr´oximos a la Tierra, la presencia de la Luna y el Sol en sat´elites m´as alejados, y en ocasiones la presi´on de la radiaci´on solar. Todas estas perturbaciones y su influencia sobre el movimiento del sat´elite han sido descritas por el Profesor Elipe con suficiente claridad. Las ´orbitas de espera o de aparcamiento son aquellas en que un sat´elite es colocado en una o´rbita previa, esperando el momento propicio para que sea lanzado a la o´rbita definitiva. Este tipo de operaciones se incluye en el apartado de ´orbitas de transferencia, de gran importancia en la din´amica espacial. La forma de realizar estas operaciones suele ser la puesta en funcionamiento de motores cohete que proporcionan un empuje durante un cierto tiempo, aunque existe otra manera de realizarlo mediante la aplicaci´on continua de un microempuje, empleado preferentemente en viajes interplanetarios. Es ya cl´asica la transferencia entre o´rbitas circulares coplanarias, por medio de dos impulsos tangenciales, en el sentido del movimiento (transferencia de una o´rbita interior a otra exterior), o en sentido contrario (transferencia de una o´rbita exterior a otra interior). La o´rbita el´ıptica que describe el m´ovil en su movimiento se conoce con el nombre de elipse de Hohmann, como consecuencia del trabajo publicado por este autor en 1925. Este tipo de transferencias entre o´rbitas coplanarias, ha sido extendido posteriormente a otros casos (cambio de circular a el´ıptica, de elipse a circunferencia y de elipse a elipse). 39

Algo m´as complicada es la transferencia entre o´rbitas no coplanarias, por medio de dos impulsos, que ha sido aplicado, por ejemplo, en el paso de una o´rbita previa, por lanzamiento desde una base fuera del ecuador, a una o´rbita ecuatorial geoestacionaria. Se˜ nalemos finalmente, la importancia de los conceptos de superficie l´ımite, esfera de influencia y el efecto de trampol´ın lunar, que pueden estudiarse con detalle en la magn´ıfica tesis doctoral de D. Vicente Camarena Bad´ıa, que los define del siguiente modo: Cuando se considera el movimiento perturbado de un cuerpo P2 respecto a otro P1 , puede tener inter´es conocer el conjunto valores de r = P1 P2 , para los cuales la aceleraci´on de perturbaci´on debida a otro cuerpo P3 , resulta ser aproximadamente igual a la aceleraci´on debida a P1 . La superficie que define esta condici´on se denomina superficie l´ımite. Cuando se considera el movimiento de P2 , con respecto a P1 , perturbado por P3 , o con respecto a P3 , perturbado por P1 , se definen unas razones R1 y R3 , de manera que cuando R1 = R3 , se obtiene una superficie aproximadamente esf´erica, que se denomina esfera de influencia. El problema del efecto de trampol´ın lunar, utilizado con frecuencia en viajes interplanetarios, consiste en encontrar trayectorias optimales que aprovechen la atracci´on lunar, para que el veh´ıculo alcance teoricamente el infinito del sistema Tierra-Luna. Finaliza aqu´ı mi modesta intervenci´on se˜ nalando la magn´ıfica exposici´on del Dr. Elipe, por lo que le felicito y en nombre de la Academia y del mio propio, le doy la bienvenida como miembro de n´ umero de nuestra Academia. He dicho.

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