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9.6

Diseño de columnas esbeltas

9.6.1 Introducción Una columna es esbelta si sus dimensiones transversales son pequeñas respecto a su longitud o también si su relación de esbeltez definida como la longitud sobre el radio de giro “ l / r “ supera ciertos limites especificados. El primero que intento resolver el problema fue el matemático Suizo Leonhard Euler ( 1707-1783) quien mediante un simple experimento con una barra de madera logro demostrar como entre mas alta sea la longitud de la barra menor es su capacidad de carga axial y mayor su inestabilidad lateral. Sin embargo este resultado no fue aceptado por la comunidad técnica a pesar de que treinta años mas tarde P. Van Musschenbroek logro demostrar mediante análisis matemático la confiabilidad de los resultados de Euler. Por ejemplo Coulomb ( 1776 ) sostenía que “ La resistencia de una columna era únicamente función de su sección transversal y no dependía de su longitud “ tesis apoyada por numerosos ensayos en columnas de madera y hierro de longitud relativamente corta. El primer científico en dar una explicación satisfactoria de la discrepancia entre el desarrollo teórico y los resultados experimentales fue E. Lamarle quien en 1845 logro demostrar la certeza de la ecuación de Euler. Mas tarde investigadores reconocidos como pioneros en la ingeniería: I. Bauschinger (1889 ), Tetmayer ( 1903 ), Considere ( 1895 ) y Von Karman ( 1910 ) demostraron la confiabilidad de la ecuación de Euler. Hasta ahora se ha estudiado que cuando un elemento de hormigón armado se somete a compresión simple, sin flexión, la capacidad de carga axial esta indicada por la ecuación 9.1 o 9.2 y la falla se presentara ya sea por agotamiento del hormigón a compresión o por fluencia del acero a tracción. En estos casos no se ha considerado el efecto de la esbeltez porque se ha asumido por hipótesis que se trata de una columna corta es decir de baja esbeltez. Si la esbeltez crece por efectos ya sea constructivos o arquitectónicos la capacidad dada en las ecuaciones 9.2 o 9.3 no son las correctas y la falla de la columna estará regida por el “ pandeo o flexión lateral del elemento “. 9.6.2 Esbeltez en columnas cargadas concentricamente 9.6.2.1 Antecedentes La información relativa al comportamiento estructural de estas columnas se inicia con la experiencia de Euler en 1757. En forma generalizada el logro demostrar que un elemento a compresión fallara cuando este alcanza una determinada carga conocida como: carga critica “ Pcr “ o carga de Euler o carga de pandeo. La expresión 9.33 se encuentra deducida en todos los textos de resistencia de materiales por lo que aquí solo se hará referencia a ella recomendándole al lector estudiarla para su posterior aplicación. Al analizar la ecuación 9.33 se observa que la carga critica es directamente proporcional a la rigidez de la sección “ E.I “, es periódica “ ð “, es inversamente proporcional a la longitud “ l “ y depende del grado de restricción de los extremos de la columna “ k “. La ecuación 9.33 se puede representar también como la 9.34 en donde se aprecia como “Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez “ l / r “. La figura 9.77 también muestra la relación grafica entre las dos variables mencionadas y los 136 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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rangos de aplicabilidad de 9.33. Se puede demostrar analíticamente que si la columna esta articulada en sus dos extremos “ k = 1.0 “, igualmente si esta doblemente empotrada “ k = 0.50 “, si esta en voladizo “ k = 2.0 “ y si esta con un extremo empotrado y el otro articulado “ k = 0.70 “. Pcr =

σ cr =

π 2 E.I (k .l )2

( 9.33 )

π 2E  l k.   r

( 9.34 )

2

Se puede notar como la carga de pandeo disminuye rápidamente al aumentar la relación de esbeltez. Si se grafica “ ó cr vs l / r “ se obtiene la grafica de la figura 9.77 en donde se puede apreciar como el tramo AB muestra la región de columna corta, el BC la región de columna intermedia y la CD la zona de columna esbelta. De esta forma se definen unos limites para la relación “ l / r “ como se indica gráficamente.

ó cr

Zona Columna DE .............. Corta EB ............ Intermedia BC .............. Larga

A D E B

óp

Curva de Euler

ó cri

C Zona de columna larga

( l / r ) lim

( l / r )i

(l/r)

Figura 9.77 Relación entre la esbeltez y la tensión critica

La ecuación 9.34 parte de la base de un material elástico por lo tanto su validez solo se da cuando ó cr > óp . En la igualdad se obtiene el valor limite de “ l / r “ por debajo del cual no es aplicable la formula ( Región AB ). Por ejemplo una barra de acero articulada en sus dos extremos de fy = 420 MPa ( óp = 210 MPa ) y Es = 200.000 MPa presenta un “ ( l / r )lim = 100 “. Así para “ ( l / r )lim < 100 “ la tensión de compresión es menor que la tensión critica y la ecuación 9.34 no es aplicable.

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Cuando “ l / r “ es alto el pandeo se presenta antes de que “ óc = óp “ y la capacidad mecánica de la columna se define por medio de una carga de trabajo o de seguridad. Cuando “ l / r “ es bajo lo mas probable es que la columna falle por agotamiento del material antes de que alcance la tensión critica “ ócr “. En estos casos se establece una tensión máxima utilizando un adecuado coeficiente se seguridad. En el caso dela acero una gran cantidad de experimentos han logrado concluir que si “ l / r < 60 “ => se tiene columna corta; si “ 60 < l / r < 100 “ => se tiene columna intermedia y si “ l / r > 100 “ => se tiene columna esbelta. Además para obtener las tensiones admisibles en estas columnas se debe conocer el diagrama de las tensiones de rotura del material y el coeficiente de seguridad “ n “. Este ultimo depende de factores estadísticos tales como: aumento imprevisto de la carga, errores en su aplicación, excentricidades accidentales. Un valor frecuentemente usado por la ingeniería es el de “ n = 2.5 “. Sin embargo existen también ecuaciones que permiten estimar su valor en función de la esbeltez del elemento como lo indica expresión 9.35. En resumen la elección de un adecuado coeficiente de seguridad es una de las tareas mas engorrosas y difíciles que ha tenido la resistencia de materiales. Para 0 < ( l / r ) < 100 =>

l n = 2 .0 + 0 .015 .  r n = 3 .5

Para ( l / r ) > 100 =>

( 9.35 )

9.6.2.2 Columnas impedidas de desplazamiento lateral ( nonsway ) Este caso se presenta cuando la columna esta conectada a un elemento muy rígido que prácticamente le impida moverse lateralmente cuando se someta a cualquier patrón de carga externa. En la practica estos elementos rígidos, de los cuales mas adelante se hablara, representan núcleos de muros estructurales que van desde la cimentación hasta la parte alta del edificio. Si la columna esta doblemente articulada al alcanzar la carga critica “ Pcr “ se pierde la verticalidad original y esta comienza a doblarse en forma de onda senoidal como se muestra en la figura 9.78.a. En este caso los puntos de inflexión se localizan en los dos extremos de la columna por lo tanto la longitud efectiva “ k.l = l “ y “ k = 1.0 “. La columna alcanza la falla cuando las tensiones adicionales creadas por el desplazamiento horizontal sumadas a las originales alcanzan el valor critico. Cuando la columna esta doblemente empotrada el pandeo se manifiesta como se indica en la figura 9.78.b. Los puntos de inflexión se localizan a una distancia “ l / 4 “ de cada extremo para obtener así una longitud efectiva de “ k.l = l / 2 “ por lo tanto “ k = 2.0 “. Esta columna como se puede analizar rápidamente toma cuatro veces mas carga que la columna anterior. Las dos condiciones empotramientos ni intermedias como se entre “ l / 2 y l “

anteriores son teóricas ya que en las estructuras reales no existen ni articulaciones perfectas y lo que se tiene son condiciones muestra en la figura 9.78.c. En estos casos “ k.l “ adquiere un valor dependiendo del grado de restricción de los extremos. Este grado de 138

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restricción esta medido como la rigidez relativa entre los elementos verticales y horizontales. En resumen se puede decir: “ En columnas impedidas de desplazamiento lateral el factor de longitud efectiva “ k “ es siempre menor o al menos igual a la unidad. P

P

P

k.l = l

a) Art-Art.

k.l = l / 2

b) Emp-Emp.

l / 2 < k.l < l

c) Conexión real

Figura 9.78 Longitud efectiva en columnas impedidas de desplazamiento lateral

9.6.2.3 Columnas no impedidas de desplazamiento lateral ( sway ) Este es el caso de aquellas edificaciones en donde las columnas tienen libertad para moverse lateralmente cuando actúan las cargas externas. En la practica el sistema estructural que mas representa este caso es el pórtico simple. Cuando una columna empotrada en un extremo y libre en el otro ( voladizo ) se somete a carga axial, figura 9.79.a, se deflectara en la forma indicada en donde el extremo libre se mueve lateralmente respecto al fijo definiendo una forma deformada típica similar a un cuarto de onda senoidal y equivalente a la mitad de longitud de la columna doblemente articulada de la figura 9.78. Los puntos de inflexión están separados una distancia “ 2.l “ de tal forma que la longitud efectiva es “ k.l = 2.l “ para un valor de “ k = 2.0 “. La longitud efectiva de la columna de la figura 9.79.b la cual esta restringida contra rotación en ambos extremos pero en uno de ellos puede desplazarse lateralmente, esta definida como “ k.l = l “ con un valor de “ k = 1.0 “. Si se compara esta columna con la de la figura 9.78.b se nota que la longitud efectiva ha aumentado el doble con la presencia del desplazamiento lateral; esto significa que la resistencia de pandeo ha disminuido en un 75 % lo que ilustra el hecho de que: “ Los elementos sometidos a compresión con libertad de desplazamiento horizontal son mas débiles que cuando están impedidos de este movimiento “. 139 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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Nuevamente, en las estructuras reales las conexiones de los extremos son variables y dependen del grado de restricción que ofrecen los elementos horizontales ( vigas-losas ). P

k.l = l

k.l = 2.l

a) Voladizo

l < k.l <

b) Emp.- Art.

c) conexión real

Figura 9.79 Longitud efectiva de columnas con desplazamiento lateral En las estructuras fabricadas con hormigón armado la practica común es el ensamble monolítico sin posibilidad de conexiones ni articulaciones lo que caracteriza aun mas la forma como se deforma la estructura. Si existen elementos que impidan el desplazamiento lateral la forma deflectada se ilustra en la figura 9.80.a, mientras que si hay posibilidad de movimiento adquiere la forma 9.80.b. En el primer caso “ k.l < l “ y en el segundo “ k.l > 2.l “ lo que representa una menor carga de pandeo.

k.l < l

k.l > 2.l

a) Pórtico sin desplazamiento

b) Pórtico con desplazamiento

Figura 9.80 Longitud efectiva en pórticos de hormigón armado 140 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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9.6.3 Esbeltez en columnas sometidas a flexión mas carga axial En definitiva las columnas de los edificios están sometidas a la acción simultanea de carga axial y momento, este ultimo producido ya sea por la continuidad del sistema o por la presencia de cargas laterales. En estos casos al igual que el numeral anterior la capacidad resistente de la columna se ve afectada por la esbeltez de los elementos. La figura 9.81 ilustra una columna sometida a carga axial “ P “ y un par de momentos en los extremos “ M e = M o “, si no existiera la carga axial el diagrama de momentos seria constante en toda la longitud de la columna con magnitud de “ M o “ y la forma deflectada es la indicada con la línea punteada en donde “ yo “ es la deflexión en cualquier punto del elemento. Cuando actúa además la carga axial “ P “ el momento en cualquier punto se amplifica en una cantidad igual a “ P “ veces la distancia de la carga a la posición original de la columna “ y “. Este incremento en el momento produce una deflexión adicional, de tal forma que la curva deformada es la indicada con la línea continua. Se concluye que en cualquier punto “ M = M o + P y “ es decir el momento total es la suma del debido a la flexión mas el de la carga axial. P Me

Mo

yo y

Mo + P y

Me P Figura 9.81 comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple Una situación similar se presenta en la figura 9.82 en donde la flexión es producida por una carga lateral “ H “. Cuando no existe “ P “ el momento producido en cualquier punto “ x “ es “ Mo = H.x / 2 “ con un valor máximo de “ Mo max.= H.l / 4 “ la deflexión lateral en cualquier punto es “ yo “. Cuando se aplica “ P “ se producen momentos adicionales “ P. y “ que se distribuyen como se indica en la figura y el momento en cualquier punto es la suma de las dos fracciones indicadas. 141 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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P H/2

yo

Mo

H Mo + P y

y

H/2

P Figura 9.82 Comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple

La deflexión “ y “ de la elástica de una “ viga-columna “ de la forma y tipo indicada anteriormente puede determinarse a partir de la deflexión “ yo “ del elemento sin carga axial utilizando la expresión 9.36 la cual fue deducida por Timoshenko en 1909 y fue propuesta como método alternativo siempre y cuando la relación “ P / Pcr < 0.6 “. Se encuentra deducida en cualquier texto de teoría de elasticidad o de estabilidad elástica. y = yo .

1

( 9.36 )

 P 1 −  P  cr 

La ecuación 9.36 es aproximada y representa la deflexión en función del elemento sin carga axial “ yo “ mas la contribución de la carga axial que es un factor que depende de la relación carga axial sobre carga critica “ P / Pcr “. Sea “ Ä “ la deflexión en el punto de momento máximo en las columnas de la figura 9.81 y 9.82 =>

M max

         1 1   = M o + P. y = M o + P. yo .  = Mo P    P   1 − 1−    Pcr     P cr    

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Esta expresión se puede organizar de forma diferente para tener en cuenta algunos factores no considerados en la deducción inicial. Este trabajo lo realizaron MacGregor, Breen y Pfrang en 1970 y se indica a continuación: 1 + ψ (P Pcr ) M max = M o    1 − (P Pcr )  En donde “ ø “ es un coeficiente que depende del tipo de carga y varia aproximadamente entre – 0.20 y 0.20 para la mayoría de los casos prácticos. Considerando que “ P / Pcr “ por lo general tiene valores significativamente menores que la unidad, el segundo termino del numerador de la ecuación anterior es pequeño comparado con la unidad, por lo tanto si se desprecia este valor se obtiene una expresión simplificada de diseño fácil de manejar y recordar:   1  M max = M o . 1 − P P  cr 

( 9.37 )

la expresión “ 1 / ( 1- P / Pcr ) “ se conoce como el factor amplificador de momentos y refleja la cantidad numérica en que se debe aumentar “ Mo “ por la presencia de la carga axial “ P “. Si se verifica la ecuación 9.37 se encuentra que este factor tiene un valor de 2.5 cuando la relación “ P / Pcr “ es igual a 0.6. Ya que “ Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez es evidente que el momento máximo en el elemento aumenta cuando se presenta este efecto como se ilustra en la figura 9.83 en donde para una carga transversal dada “ H “ la cual produce un momento inicial “ Mo “ la acción de una carga axial “ P “ produce un mayor momento en un elemento de mayor esbeltez que otro.

M Mo + P y2

Mo + P y1

Mo kl/r ( K l / r)1

( K l / r)2

Figura 9.83 Aumento del momento con la esbeltez

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En los casos anteriores se ha considerado como hipótesis que los momentos que producen la flexión mas la carga axial en las columnas se pueden adicionar para obtener el máximo momento en el elemento ( curvatura simple ). Sin embargo a pesar de ser este el caso mas desfavorable no es el caso general y en algunos casos se presentan elementos donde los momentos máximos se dan en diferentes partes tanto para la carga axial como la flexión. Este caso es el de columnas con doble curvatura, es decir momentos en los extremos iguales y opuestos, figura 9.84. En estos casos la deflexión producida por la flexión nuevamente se incrementa con la presencia de la carga axial pero el factor amplificador ya no es el mismo porque el efecto es menor en estos casos. La ecuación 9.38 muestra el valor de la deflexión lateral en elementos sometidos a flexión mas compresión doble curvatura. y = yo .

1

( 9.38 )

P 1− 4 .Pcr

El momento adicional producido por la carga axial “ P.y “ se distribuye como se muestra en la figura 9.84. Aunque el momento “ Mo “ es mayor en los extremos los momentos producidos por “ P “ son de mayor cuantía en los tercios medios de la columna. Dependiendo de las magnitudes relativas, los momentos totales se distribuyen como se indica en la figura 9.84 es decir estos pueden ser mayores en los extremos o en los puntos intermedios entre los extremos y la mitad de la luz. P

Me

P.y

Mo

+

M max

=

o

- Me P Figura 9.84 Momentos en columnas con doble curvatura

En forma general el tratamiento del momento en columnas con simple y doble curvatura se puede resumir así: “ El momento M o producido por la flexión se considera mas o 144 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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menos ampliado si este coincide con el punto de máximo desplazamiento producido por la carga axial, esto se produce en columnas con curvatura simple con momentos extremos iguales y cargas simétricas “. Si los momentos en los extremos son diferentes pero del mismo signo ( curvatura simple ) el Mo se amplifica en forma fuerte aunque no tanto como cuando estos momentos son iguales. De otra parte se presenta una pequeña amplificación o no se presenta cuando los momentos extremos son opuestos y producen un punto de inflexión en el interior de la columna ( doble curvatura ). Se puede demostrar que la forma general de la expresión que toma en cuenta la curvatura en la amplificación de los momentos se puede representar con la ecuación 9.39 la cual se puede consultar en los textos de la referencia. M max = M o .

Cm P 1− Pcr

( 9.39 )

En donde el factor “ Cm “ se conoce como coeficiente de curvatura y se puede estimar con la ecuación 9.40. Cm = 0 .6 + 0 .4

M1 ≥ 0 .4 M2

( 9.40 )

En donde “ M1/ M2 “ es positivo si la columna tiene curvatura simple y negativo en caso contrario. “ M 1 “ es el menor momento en la columna y “ M2 “ es el mayor valor. Cuando los momentos extremos son iguales “ M1 = M2 “ el valor de “ Cm “ es igual a “ 1.0 “. Del análisis anterior se concluye que la ecuación 9.40 solo se aplica en columnas impedidas de desplazamiento lateral, en otros casos el valor de “ Cm “ es igual a uno.

P

P

Mo

Mp

Mo + Mp

H

|

a) pórtico desplazable

Momentos debidos a “ H “

Momentos debidos a “ P “

Momentos debidos a “H+P“

Figura 9.85 Deflexión y momentos en pórticos desplazables lateralmente 145 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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Dentro de los elementos no desplazables lateralmente se incluyen aquellas columnas que pertenecen a sistemas estructurales en donde el movimiento lateral esta impedido en cualquier dirección ya sea por la presencia de muros fuertes y rígidos o por amarres en forma de diagonal entre los pórticos. En los edificios el núcleo de los ascensores o las escaleras tiene este propósito o la ubicación de una pantalla inamovible en la dirección considerada. Si no se provee este componente rígido se presenta el desplazamiento lateral en todas las columnas del piso y el efecto de la combinación de flexión mas fuerza axial es diferente al caso previamente estudiado. Por ejemplo el pórtico de la figura 9.85 esta libre para desplazarse horizontalmente y esta sometido a una carga horizontal “ H “ y a las cargas verticales “ P “. Los momentos “ Mo “ producidos por “ H “ en ausencia de “ P “ se indican en “ b “ la deflexión del pórtico se indica con la línea punteada en “ a “. Cuando se aplica “ P “ se producen momentos adicionales que aumentan las deformaciones como se indica en “ c “. Se puede apreciar como los máximos momentos “ Mo “ y “ Mp “ se presentan e los mismos puntos, es decir en los extremos de la columna, por lo tanto se adicionan llevando a una mayor amplificación. P

P Mo

H

Mp

+ |

a) pórtico no desplazable

Momentos debidos a “ H “

Momentos debidos a “ P “

Figura 9.86 Deflexión y momentos en pórticos no desplazables lateralmente

De otra parte si el mismo pórtico se vincula a un elemento fuerte y rígido que impida su desplazamiento lateral y se carga de la misma forma anterior como se muestra en la figura 9.86 se nota como los máximos momentos producidos por “ H “ y “ P “ no se presentan en los mismos puntos por lo que la amplificación de momentos es menor que la obtenida en el pórtico de la figura 9.85. Se debe notar que los momentos que producen desplazamiento lateral en un pórtico no son producidos únicamente por las cargas laterales, como se indico en la figura 9.85. La asimetría en la geometría de la estructura y en la colocación de las cargas producen efectos similares. En este caso la presencia de las cargas axiales en las columnas producen la misma deflexión y la amplificación del momento que la carga lateral. 146 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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En resumen se pueden establecer las siguientes conclusiones: §

§

§

En elementos a flexión la presencia de la carga axial produce deflexiones adicionales y momentos de magnitud “ P.y “. Si las condiciones se mantienen iguales los momentos adicionales aumentan a medida que se incrementa la relación de esbeltez “ k.l / r “. En elementos no desplazables lateralmente y deflectados en una curvatura, los momentos máximos producidos por “ H “ y “ P “ se presentan en puntos cercanos o iguales y pueden sumarse totalmente. Esto conduce a amplificar en los momentos finales. Si los momentos “ Mo “ producen doble curvatura se presenta menor influencia de la carga axial. En elementos desplazables lateralmente, los momentos máximos producidos por “ H “ y “ P “ se presentan también en los mismos puntos ( en los extremos de las barras ) estos también se suman totalmente sin tener en cuenta los puntos de inflexión. Bajo condiciones iguales, las deflexiones adicionales y los momentos aumentan a medida que se incrementa la relación de esbeltez.

Esta es una discusión importante de un tema muy complejo que ha sido considerado en el ACI sobre la resistencia y el comportamiento de columnas esbeltas de hormigón armado. Las ecuaciones que se han presentado solo consideran en forma aproximada la complejidad del problema ya que en principio el hormigón no es un material elástico y la fisuración es un aspecto que se modifica notablemente la teoría expuesta. En este sentido el procedimiento se conoce como “ Método aproximado del ACI para evaluar los efectos de la esbeltez en columnas de hormigón armado” 9.6.4 Criterios del ACI para no considerar la esbeltez en columnas El procedimiento de diseño de columnas esbeltas es inevitablemente extenso en particular porque envuelve un proceso de ensayo y error. Al mismo tiempo, los estudios en estructuras reales han concluido que la mayor parte de las columnas de los edificios son lo suficientemente gruesas y fuertes que la esbeltez solo logra reducir en un ligero porcentaje su capacidad de carga. En un estudio realizado por el comité conjunto ACIASCE se indico que el 90% de las columnas de las edificaciones están impedidas de desplazamiento lateral y el 40% de estas pueden diseñarse como columnas cortas es decir su capacidad de carga solo depende de la geometría de la sección y la resistencia de los materiales con poco o ningún efecto de la esbeltez. Además muchas edificaciones reales poseen muros de cortante o diagonales que aumentan la resistencia al desplazamiento lateral en comparación con otros sistemas menos restringidos. Se puede concluir que en muchos casos los efectos de la esbeltez son mínimos. Con el fin de permitirle al diseñador disponer en su practica ordinaria de métodos prácticos y ágiles para evaluar los efectos de la esbeltez en lugar de procedimientos largos y complejos el ACI define unos limites por debajo de los cuales la esbeltez es insignificante y por lo tanto su efecto puede no ser tenido en cuenta en el diseño. Estos limites se ajustan a los resultados contabilizados en un máximo de capacidad de reducción de resistencia del 5%. Las recomendaciones son: §

Para columnas impedidas de desplazamiento lateral => 147

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M  k.lu < 34 − 12 . 1  r  M2 

( 9.41)

En donde el termino “ [ 34 –12 ( M1 / M2 ) ] “ no debe ser mayor que 40 y la relación de momentos es positiva o negativa según la curvatura. §

Para columnas con desplazamiento lateral =>

k.lu < 22 r

( 9.42 )

En las ecuaciones anteriores “ k “ es el factor de longitud efectiva de la columna; “ lu “ es la longitud libre, o longitud no soportada entre pisos; “ M1 y M 2 “ es el menor y mayor momento en los extremos de la columna. El radio de giro “ r “ para columnas rectangulares puede evaluarse como “ 0.3 x h “ en donde “ h “ es la dimensión de la sección transversal en el sentido en que se esta considerando el desplazamiento lateral. Para columnas circulares “ r = 0.5 x D “ y para otra secciones puede calcularse a partir del área bruta de la sección. Adicionalmente los comentarios del ACI indican que en columnas impedidas contra desplazamiento lateral es suficientemente preciso determinar los valores del factor de longitud efectiva “ k “ con base en los siguientes criterios: § § §

Si esta doblemente articulada => k = 1.0 Si esta restringida por una losa plana => 0.95 < k < 1.0 Si pertenece a un sistema viga-losa-columna => 0.75 < k < 0.90 ó k = 0.90

9.6.5 Criterios para definir columna desplazable y no desplazable ( ACI ) En las discusiones anteriores es evidente la diferencia de comportamiento bajo carga de una columna esbelta no desplazable y desplazable. Para considerar esta situación el ACI recomienda seguir uno de los siguientes métodos para identificar que tipo de columna esbelta se tiene en cada caso en particular. 9.6.5.1 Método por simple inspección Este es un procedimiento muy simple y practico ya que el diseñador lo que hace es comparar la rigidez lateral de las columnas de un piso con la rigidez de los elementos arriostrantes ( macizos rígidos y fuertes ). Una columna puede considerarse impedida de desplazamiento lateral si por simple inspección esta localizada en un piso en el cual los elementos arriostrantes ( muros de cortante, cerchas, diagonales) tienen una rigidez lateral sustancialmente alta para resistir las deflexiones laterales del piso y por lo tanto cualquier deflexión lateral resultante no afecte en forma apreciable la capacidad de carga alguna columna. 148 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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9.6.5.2 Método por teoría de segundo orden En este procedimiento lo que se hace es realizar el análisis estructural del sistema utilizando un algoritmo que permite considerar cíclicamente el efecto de la carga axial en los momentos flectores que produce la flexión. Este enfoque solo se puede realizar mediante un programa de computador y la mayoría de los algoritmos actuales de análisis estructural lo pueden realizar ( SAP, ETABS, RAM, STADD, COMBAT). En este caso se asume que una columna es no desplazable si el aumento en los momentos debido al efecto de segundo orden no excede del 5% de los momentos de primer orden. 9.6.5.3 Método del índice de estabilidad ( Q ) Este enfoque fue presentado inicialmente por MacGregor y Hage a principios de la década de 1970 y fue procedimiento recomendado por el ACI a partir del código ACI 318-83. En este método una columna de un determinado piso se considera impedida de desplazamiento lateral si el valor de “ Q “ evaluado con la ecuación 9.43 es menor o igual a 0.05. En 9.43 “ Vu “ es la cortante lateral en el piso, “ Äo “ es el desplazamiento lateral del piso evaluado con teoría de primer orden, “ P u “ es la suma de las cargas axiales que todas las columnas del piso y “ hs “ es la altura del piso en consideración. Q=

∑ Pu .∆ o

( 9.43 )

Vu .hs

La Norma Sismo Resistente Colombiana NSR-98 define mas rigurosamente las columnas de un piso de acuerdo al valor de “ Q “ así: § § § § 9.6.6

Si Q < 0.10 => Columnas sin posibilidad de desplazamiento lateral Si 0.10 < Q < 0.30 => Evaluar esbeltez con amplificación de momentos Si 0.30 < Q < 0.50 => Evaluar esbeltez por teoría de segundo orden Si Q > 0.50 => Piso inestable, se recomienda rigidizar. Método de amplificación de momentos para columnas no desplazables

Una columna corta de hormigón armado sometida a una determinada combinación de flexión mas carga axial alcanza el limite de capacidad mecánica cuando el hormigón llega a su máxima deformación ( 0.003 ) o el acero inicia su fluencia. Esto es lo que representan los diagramas de interacción del numeral 9.4. Para una columna cualquiera la carga axial permanece prácticamente constante en toda su longitud mientras que el momento varia permitiendo así que se presente la falla en aquella sección donde se sobretensionan los materiales. La figura 9.87 representa el diagrama de interacción de una columna en donde el punto “ A “ es el limite de su capacidad resistente ( Mn, Pn ). De otra parte si la misma columna es lo suficientemente esbelta se presentara una significativa amplificación del momento con la consiguiente disminución de la capacidad a carga axial “ P “. Por lo tanto el momento en el punto mas tensionado se convierte en “ Mmax = Mo [ Cm / ( 1- P / P cr ) ] “ con el valor de “ Cm =1.0 “ si la columna tiene igual excentricidad y simple curvatura. La curva sólida en la figura 9.87 representa el aumento no lineal del momento a medida que disminuye la carga axial.

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El punto donde esta curva corta el diagrama de interacción define la capacidad resistente de la columna esbelta “ B “. Si las excentricidades son diferentes se modifica el valor de “ Cm “ de acuerdo a lo indicado previamente. P

( Pn , Mn )

A ( Pne , Mc )

B

Mo

Mc

M

Amplificación de M

Figura 9.87 Efecto de la amplificación de momento por la esbeltez El ACI especifica que en estos casos las cargas axiales y los momentos pueden determinarse por un análisis elástico convencional y la columna se debe diseñar para la combinación de carga axial “ P “ y momento amplificado “ Mc “ con la expresión 9.44. M c = δ ns .M 2

( 9.44 )

En donde “ Mc “ es el momento de diseño de la columna esbelta sin desplazamiento lateral, “ äns “ es el factor amplificador de momentos que se evalúa con 9.45 y “ M2 “ es el mayor valor en la columna. δ ns =

Cm ≥ 1.0 Pu 1− 0 .75 × Pc

( 9.45 )

El valor de la carga critica “ P cr “ se obtiene de la ecuación ( 9.33 ) con “ l = lu “. Igualmente “ Cm “ se estima con ( 9.40 ) o si se prefiere con ayuda de la figura 9.88. Esta es la forma como el ACI recomienda evaluar en forma aproximada los efectos de esbeltez en columnas no desplazables lateralmente mediante un coeficiente amplificador del momento “ äns “. En algunas aplicaciones se tienen columnas con altas cargas axiales y bajos momentos que también reducen su capacidad resistente por efecto de la esbeltez. En estos casos el

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ACI recomienda lo siguiente: “ Si los cálculos demuestran que no hay momentos en ambos extremos de una columna no desplazable o la excentricidad final “ e “ es menor que ( 15 + 0.03 x h ) el momento de diseño “ M2 “ se debe basar en esta excentricidad mínima evaluando cada eje por separado. En estos caso la relación de momentos “ M1 / M 2 “ necesaria para determinar la curvatura debe cumplir: § §

Si “ e < emin “ se pueden usar los momentos de calculo para hallar “ M1 / M2 “ Si no hay momentos en la columna “ M1 / M 2 =1.0 “.

Cm Columnas desplazables 1.0 0.8

0.4 0.2

-1.0

-0.50

0

0.50

1.0

M1 / M 2

Figura 9.88 Determinación grafica del coeficiente de curvatura “ Cm “ La determinación de la carga critica requiere también conocer la rigidez “ E.I “ de la columna. En elementos elásticos y homogéneos esto es particularmente sencillo, sin embargo en el hormigón armado se deben considerar efectos no lineales y la fisuración del hormigón que alteran en forma apreciable los resultados. Sobre las bases de varios estudios tanto analíticos como experimentales el ACI recomienda estimar “ E.I “con las expresiones 9.46 o 9.47 siendo la ultima mas utilizada para columnas poco reforzadas. E.I =

E.I =

0 .2.Ec .I g + Es .I se

( 9.46 )

(1 + β d )

0 .4.Ec .I g

( 9.47 )

(1 + β d )

El factor “ âd “ considera en forma aproximada los efectos de la fluencia en la columna. Esto es a mayor carga axial sostenida mayor es la fluencia y las correspondientes

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curvaturas. A mayor carga sostenida relativa a las cargas temporales mayor es “ âd “ y menor es la rigidez relativa como lo indican las expresiones anteriores. Respecto a los valores del factor de longitud efectiva “ k “ se pueden utilizar las ecuaciones del código Británico ( B.S ) o los nomogramas de Jackson y Moreland. Desde un punto de vista teórico se concluye que en columnas no desplazables lateralmente “ 0.5 k 1.0 “ mientras que en columnas desplazables “ 1.0 < k < “. En realidad las columnas de los edificios están conectadas a vigas y losas que restringen en determinado grado el giro y los desplazamientos relativos por lo tanto “ k “ depende de este grado de restricción “ ø “ en cada extremo de la columna. El valor de “ ø “ se evalúa como la relación entre la rigidez relativa de la columna y la rigidez de los elementos horizontales que la conectan en cada extremo. La expresión 9.48 facilita la forma de calculo. Conocidos los coeficientes “ øA y øB “ para cada extremo de la columna se determina el valor del coeficiente “ k “ con ecuaciones o nomograma.

a) Columnas no desplazables

b) Columnas desplazables

Figura 9.89 Nomogramas de Jackson y Moreland para determinar “ k “

ψ =

∑(E .I / l ) ∑( E.I / l )

columnas

( 9.48 )

vigas

Si se quiere obviar la lectura del grafico 9.89 para obtener “ k “ =>

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§

Para columnas no desplazables lateralmente: k = 0.7 + 0.5(ψ a + ψ B ) ≤ 1 .0

k = 0.85 + 0.05.ψmin ≤ 1.0 §

( 9.49 )

Para columnas desplazables: “øm = valor promedio de ø “

Cuando “ øm < 2.0 =>

k=

20 − ψ m . 1 +ψ m 20 ( 9.50 )

Cuando “ øm

2.0 “ =>

k = 0 .9 . 1 + ψ m

Como el valor de “ k “ depende de la rigidez relativa del elemento ( E.I / l ) y de sus condiciones de conexión el proceso de diseño es iterativo. Inicialmente se asumen unas dimensiones para la columna, se calcula la rigidez, los valores de “ ø “ y el coeficiente “ k “ con este valor de nuevo se calculan las dimensiones de la columna y se repite el proceso hasta lograr una solución satisfactoria. El problema de la determinación correcta de la rigidez relativa “ E.I / l “ tanto para vigas como para columnas no es simple. En estados cercanos a la falla las vigas están fisuradas y las columnas pueden estar o no fisuradas dependiendo de la relación entre excentricidad y altura de la sección. El ACI especifica que al determinar “ k “ se deben considerar los efectos que tienen sobre la rigidez tanto el refuerzo como la fisuración del hormigón. Una primera aproximación, para usar los nomogramas y estimar el tamaño de la sección, es considerar la mitad del momento de inercia de las vigas y la inercia total para las columnas. Esto refleja el hecho de que la fisuración es mayor en vigas que en columnas. Los comentarios del ACI consideran que bajo estas circunstancias se obtienen tamaños adecuados siempre y cuando “ k.lu / r < 60 “. En el caso de vigas T se puede considerar la inercia como el doble de la inercia de una sección rectangular de ancho “ bw “ y altura “ h “. Cuando “ k.lu / r > 60 “ el soporte experimental indica que la inercia de las vigas se determine tomando como base la sección elástica fisurada y un valor promedio entre los apoyos y la mitad de la luz y determinar la inercia de las columnas con la ecuación 9.46 tomando “ âd = 0.0 “. Un procedimiento paso a paso para realizar el diseño de columnas esbeltas no desplazables puede seguir la siguiente secuencia de calculo: 1. Seleccionar las dimensiones de la columna de ensayo para soportar la carga axial mayorada “ Pu “ y el momento flector mayorado “ Mu = M2 “ obtenidos del análisis estructural de primer orden. Se considera inicialmente columna corta. 2. Se determina si el sistema estructural es desplazable o no lateralmente. 3. Se halla la longitud si soporte “ lu “ de la columna y se estima un valor apropiado para “ k “ de acuerdo a lo indicado 9.6.4. 4. Revisar si se deben considerar los efectos de esbeltez según 9.6.4.

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5. Si se encuentra que la columna es esbelta se deben refinar los cálculos anteriores determinando “ k “ de las ecuaciones o la grafica 9.89. En este caso se determinan la rigidez de cada elemento y los coeficientes “ ø “ respectivos usando los momentos de inercia brutos y el tamaño de ensayo del elemento. Revisar nuevamente con estos valores si la columna es o no esbelta. 6. Revisar si los momentos obtenidos del análisis estructural son mayores que los valores mínimos considerados y hacer las correcciones del caso. 7. Determinar el coeficiente de curvatura “ Cm “ 8. Hallar los factores: “ âd, E.I, Pcr “ para la columna de prueba. 9. Determinar el factor de amplificación de momentos “ äns “ y el momento de diseño “ Mc “ 10. Revisar si la columna es adecuada para resistir la combinación “ Mc, Pu “ utilizando los diagramas de interacción de columnas cortas. 11. Si los resultados indican modificaciones se deben refinar los cálculos para “ ø, k y Pcr “ teniendo en cuenta ahora la fisuración y el refuerzo de la sección. Finalmente hacer las modificaciones requeridas. Ejemplo 9.18 Se requiere diseñar la columna “ C3 “ de la estructura de seis pisos que se indica en la figura 9.90 la cual esta impedida de desplazamiento lateral por el foso de ascensores y el de escaleras los cuales actúan como núcleos arriostrantes en las dos direcciones ortogonales del edificio. Las vigas son de bv =1.2 m y hv = 0.30 m la altura libre del piso es de lu = 3.55 m, las columnas exteriores tienen bc = hc = 0.40m y las interiores bc = hc = 0.45 m. Usar un f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y los siguientes resultados del análisis de primer orden para la combinación de carga muerta mas viva indicada. La columna se deflecta en una curvatura para esta condición de carga. Carga muerta

Pm ( kN ) 1050

M1m (kN.m) -2.8

Carga viva

M2m (kN.m) 2.8

P v (kN) 790

M1v (kN.m) 140

M2v (kN.m) 150

6 5 4

Col C3

6 pisos de 4.25 m

3 2

1 A

B

C

D

E

F

5 luces de 7.30 m

Figura 9.90 Estructura del ejemplo 9.18 para diseño de columnas esbeltas 154 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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Solución: Se asumirá inicialmente que la columna es corta considerando que no existen problemas de esbeltez => Las cargas mayoradas para la combinación indicada son: Pu = 1.2 × 1050 + 1 .6 × 790 = 2524 .kN M u = 1.2 × 2 .8 + 1 .6 × 150 = 243 .kN.m Ya que la columna tiene una sección de bc = hc = 450 mm ( interior ) y considerando un recubrimiento d´= 55 mm se tiene: γ =

450 − 2 × 62 .5 ≈ 0 .75 450

La grafica de interacción para “ e / h

e=

243 = 0 .096 .m 2524

e 0 .096 = = 0.21 h 0 .45

0.20 “ es R28.420:75

Pu 2524 × 10 3 = = 0 .445 Ag . f c´ 450 × 450 × 28

Mu 243 × 10 6 = = 0.095 Ag .h. f c´ 450 × 450 × 450 × 28

Del grafico de la figura 9.59 se obtiene: ñ = 0.02 la cual es una cuantía lo suficientemente baja para que si hay que considerar esbeltez no se supere las cuantías de refuerzo aceptables ( Por lo general menos del 4% ). Para una primera revisión de los efectos de esbeltez se puede asumir en forma conservadora que el factor de longitud efectiva “ k “ es igual a 0.90 =>

(

)

0 .300 k.lu 0.90 × 4 .25 − 2 × 2 = 26 .33 = r 0.3 × 0.45 El limite de columna corta es: 34 − 12 ×

M1 1.2 × (−2 .8) + 1.6 × 140 220 .64 = 34 − 12 × = 34 − 12 × = 23 .12 M2 1.2 × 2 .8 + 1.6 × 150 243 .36

Se comprueba que “ k.lu / r > 34 – 12 ( M1 / M2 ) “ => se debe considerar la esbeltez. Ahora se refinaran mas los cálculos para determinar un valor mas elaborado para “ k “. Para las columnas interiores => Se considera el 70% de la inercia bruta: Ig =

0 .7 × I g 0.7 × 3417 × 10 6 450 × 450 3 = = 563 × 10 3 mm 3 = 3417 × 10 6 mm 4 è lc 4250 12

Para las vigas se considera el 35% del doble del momento de inercia del alma de la viga T con bw = 1200 mm y h = 300 mm =>

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(I ) g

1200 × 300 3 = = 2700 × 10 6 mm 4 vigas 12

=>

0 .35 × 2 × I g lv

= 259 × 10 3 mm 3

El factor “ ø “ en ambos extremos de la columna es el mismo y vale: ψ A =ψ B =

2 × 563 = 2.17 2 × 259

al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y dos vigas.

Utilizando la figura 9.89.a se obtiene un valor de “ k = 0.86 “ el cual es un valor adecuado para refinar los cálculos anteriores ( Es importante aclarar que si se utilizan las ecuaciones el valor de k es > a 0.90 por lo tanto no se ajusta a los refinamientos exigidos. En la practica es mas seguro trabajar con los gráficos que con las ecuaciones). k.lu 0.86 × 3 .95 = = 25 .16 r 0.3 × 0 .45 Este valor continua siendo mayor que “ 23.12 “ confirmando el resultado de que la columna debe diseñarse como esbelta. La excentricidad mínima para esta columna es: emin = 15 + 0.03× 450 = 28.5.mm la cual es menor que la obtenida “ e = 96 mm “ por lo que no controla el diseño. Cm = 0 .6 + 0 .4 ×

βd =

E.I =

M1 220 .64 = 0 .6 + 0 .4 × = 0.96 ≤ 1.0 M2 243 .36

1.2 × 1050 = 0 .50 1.2 × 1050 + 1 .6 × 790

4790 × 28 . × 3417 × 10 6 = 2310 × 10 10 N .mm 2 2.5 × (1 + 0 .50 )

Pcr =

π 2 .2310 × 1010 = 19753 × 10 3 N = 19753 kN 2 (0.86 × 3950 )

Usando la ecuación 9.45 se determina el factor amplificador de momentos “ äns “: δ ns =

0.96 = 1.16 2524 1− 0 .75 × 19753

El momento amplificado por esbeltez se obtiene de 9.44 => M c = 1 .16 × 243 = 282 .kN.m

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Con estos nuevos valores de “ Pu = 2524 kN “ y “ Mc = 282 kN.m “ se va al diagrama de interacción R28.420:75 => Pu 2524 × 10 3 = = 0 .445 Ag . f c´ 450 × 450 × 28

Mc 282 × 10 3 = = 0.110 Ag .h. f c´ 450 × 450 × 450 × 28

Se obtiene una cuantía de refuerzo de “ ñ = 0.032 “ es decir un incremento del 60% en la cantidad de acero requerido por efecto de la esbeltez. Ast = 0.032 x 450 x 450 = 6480 mm2 que equivalen a: 8 # 10 ( Ast = 6552 mm2 ).

# 3 @ 450 mm

8 # 10

450 mm

450 mm

Figura 9.91 Sección definitiva de columna del ejemplo 9.18 Nota: El ejercicio se puede refinar aun mas considerando ahora el refuerzo obtenido y modificando la inercia de la columna con la ecuación 9.46. Sin embargo en muchos casos no se justifica mas trabajo de calculo porque los resultados obtenidos son aproximadamente iguales a los aquí realizados. 9.6.7 Método de amplificación de momentos en columnas desplazables ( sway ) Las diferencias mas importantes entre columnas desplazables y no desplazables se discutió en los numerales anteriores. La carga critica para una columna “ P cr ” depende de la longitud efectiva “ k.lu “ y aunque el factor de longitud efectiva “ k “ esta entre 0.5 y 1.0 para columnas no desplazables este varia entre 1.0 e infinito para columnas desplazables. En consecuencia una columna desplazable se deforma para una carga mas pequeña que la de una columna idéntica no desplazable. Las columnas que pueden desplazarse lateralmente por lo general lo hacen en conjunto porque pertenecen a un sistema de piso muy rígido en su propio plano que obliga a que todas ellas experimenten idénticos desplazamientos laterales. Esta es la razón por la cual cuando se evalúa la amplificación de momentos en estructuras desplazables se deben considerar todos las columnas del piso en consideración. El uso del método de amplificación de momentos es todavía útil siempre y cuando “ k.lu / r < 60 “ en otros casos es definitivo el uso del

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análisis estructural de segundo orden. Nuevamente los efectos de la esbeltez se puede despreciar si “ k.lu / r < 22 “. Los momentos “ M1 ” y “ M2 “ obtenidos del análisis de primer orden se deben amplificar de acuerdo a las siguientes ecuaciones, siempre y l cuando u < 35 Pu f c´ Ag r

{

}

M 1 = M 1ns + δ s M 1s ( 9.51 ) M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s Si el M2 > M1 el momento de diseño de la columna es: M c = M 2 ns + δ s M 2 s

( 9.52 )

En donde: M2ns es el mayor de los dos momentos mayorados de los extremos de una columna debido a las cargas que no producen un apreciable desplazamiento lateral y obtenido de un análisis estructural elástico de primer orden. “ M 2s “ es en forma similar el mayor de los dos momentos mayorados pero debido a las cargas que si producen desplazamiento lateral apreciable. El termino desplazamiento lateral apreciable tiene que ver con un “ > hs / 1500 “ donde “ hs “ es la altura del piso. δsMs =

M 2s

 ∑ Pu   1−   0.75 P  ∑ cr  

≥ Ms

Donde δ s ≤ 2.5

( 9.53 )

P u es la sumatoria de todas las cargas verticales en un piso y P c es la sumatoria de todas las cargas criticas para el piso en consideración. Cuando se presente en una l determinada columna que u > 35 Pu f c´ Ag esta se debe diseñar para la carga axial r mayorada y un momento de diseño: M c = δ ns M 2 ns + δ s M 2 s .

{

}

Es importante aclarar que los factores “ äns “ se aplican a una columna en particular y los “ äs “ se aplican a todas las columnas de un piso y el momento ( äs – 1 ) M2 se debe aplicar a las vigas que llegan al nudo de la columna. En resumen el método de amplificación de momentos presentado, originalmente desarrollado para columnas prismáticas puede extrapolarse en su aplicación a casos dónde la esbeltez sea menor o igual a 100 siempre y cuando el sistema este impedido de desplazamiento lateral. En el caso de sistemas desplazables con relaciones de esbeltez del orden de 100 es necesario utilizar el análisis de segundo orden como se ha insistido en varias oportunidades en la presentación de esta teoría. Si se utiliza el índice de estabilidad para determinar “ äs “ tal como lo presenta la NSR98 se puede reemplazar la ecuación 9.53 por la siguiente:

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δsMs =

Ms ≥ Ms 1− Q

( 9.54 )

La solución de una columna para este caso requiere que las cargas se clasifiquen en aquellas que producen bajos desplazamientos laterales ( las cargas de gravedad muertas y vivas ) y las que producen apreciables movimientos horizontales ( viento y sismos). Además se deben considerar las combinaciones de carga adecuadas para cada caso, por ejemplo cuando actúan: carga muerta ( D ) carga viva ( L ) y viento ( W ) se recomiendan las siguientes combinaciones básicas: C1 = 1.2 D + 1.6 L C2 = 1.2 D + 1.0 L + 1.6 W

Según el ACI-318-02

C3 = 0.9 D + 1.6 W C1 = 1.4 D + 1.7 L C2 = 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.7 W )

Según el NSR-98 ( ACI-318-99)

C3 = 0.9 D + 1.3 W En forma similar se deben considerar los casos de carga sísmica ( E ), empuje de tierras ( H ), presión de fluidos ( F ). Ejemplo 9.19 Considerando nuevamente la estructura de la figura 9.90 pero ahora con la hipótesis de que no existen elementos que impidan el desplazamiento lateral de la edificación se requiere diseñar la columna C3. Además de las cargas muertas y vivas ahora se consideraran las cargas laterales de viento. El análisis elástico de primer orden entrega los siguientes resultados:

Pm ( kN) Pv (kN) Pw (kN) Vw ( kN) M2m (kN.m) M2v (kN.m) M2w (kN.m) M1m (kN.m) M1v (kN.m) M1w (kN.m)

Columnas A3 y F3 520 410 ± 140 25 -------------------

Columnas B3 y E3 1050 790 ± 80 50 -------------------------------

Columnas C3 y D3 1050 790 ± 27 50 2.8 150 ± 115 - 2.8 140 ± 97

La deflexión relativa del tercer piso para una carga total de viento de Vw = 250 kN es de o = 19.5 mm. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.

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Solución: El primer paso es revisar si el diseño debe considerar los efectos de la esbeltez en columnas desplazables o no desplazables => Se debe estimar “ Q “. Vu = 1.6 x 250 = 400 kN Columnas A3 y F3 => Pu = 1.2 x 520 + 1.0 x 410 ± 1.6 x 140 = 1034 kN Columnas B3 y E3 => Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 ± 1.6 x 80 = 2050 kN Columnas C3 y D3 => Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 ± 1.6 x 27 = 2050 kN Pu = 2 x ( 1034 +2050 + 2050 ) = 10268 kN u = 1.6 x 19.5 = 31 mm

Q=

∑ Pu .∆ o Vu .hs

=

10268 × 31 = 0.19 400 × 4250

Ya que el índice de estabilidad es mayor que 0.05 ( 0.10 < Q < 0.30 ) se debe asumir el piso 3 del edificio como desplazable lateralmente ( en un determinado edificio se pueden tener pisos desplazables y no desplazables dependiendo de su índice de estabilidad ) y se puede utilizar el método de amplificación de momentos. El análisis se debe realizar por separado, inicialmente para las cargas que producen un bajo desplazamiento lateral ( 4250 / 1500 = 2.8 mm ) y posteriormente para las cargas que producen > 2.8 mm. a) Análisis para cargas que producen

2.8 mm

En este caso se considera que las columnas no tienen posibilidad de desplazarse lateralmente ( están restringidas a este movimiento ) y solo se presenta una combinación de carga en el diseño: Pu = 1.2 × 1050 + 1 .6 × 790 = 2524 .kN M u = 1.2 × 2 .8 + 1 .6 × 150 = 243 .kN.m Esta verificación fue realizada en el ejemplo 9.18 por lo tanto aquí no se incluirá. b) Análisis para cargas que si producen desplazamientos laterales Cuando se presentan las cargas de viento existen dos posibles combinaciones de carga: U = 1.2 D + 1.0 L + 1 .6W

y

U = 0 .9 D + 1.6W

En este caso es la primera combinación la que controla por la posición central de la columna C3 que le permite atenuar el efecto de levantamiento producido por el viento. 160 ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C.

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Los momentos mayorados en la columna C3 para el caso sin desplazamiento lateral son: M 1ns = 1.2 × −2 .8 + 1 .6 × 140 = 221 .kN.m M 2 ns = 1 .2 × 2 .8 + 1.6 × 150 = 243 .kN.m Los momentos mayorados en C3 para la condición desplazable => M 1s = 1 .6 × −97 = −155 .kN.m M 2 s = 1.6 × 115 = 184 .kN.m Del ejemplo 9.18 se obtienen los coeficientes de restricción rotacional de los dos extremos de la columna “ C3 “: øA = øB = 2.17. de la figura 9.89.b para columnas desplazables de obtiene un “ k = 1.64 “ => k.lu 1 .64 × 3.95 = = 47 .99 ≈ 48 .0 r 0.3 × 0 .45 Se comprueba que “ k.lu / r “ es > que 22 por lo tanto se deben considerar los efectos de esbeltez. Para determinar los momentos amplificados por esbeltez se pueden utilizar uno de los dos siguientes procedimientos: a ) Con la ecuación 9.53 el factor de amplificación de momentos “ äs “ depende de P c y P u b) con la ecuación 9.54 utilizando el índice de estabilidad “ Q “. a) Utilizando la ecuación 9.53 => Se determinan los “ Pcr “ de las columnas: § Ig =

Para las columnas A3 y F3 => bc = hc = 400 mm 0 .7 × I g 0 .7 × 2133 × 10 6 400 × 400 3 = = 351 × 10 3 mm 3 = 2133 × 10 6 mm 4 è l 4250 12 c

Vigas => bw = 1200 mm, hv = 300 mm

(I ) g

= vigas

1200 × 300 3 = 2700 × 10 6 mm 4 12

=>

0 .35 × 2 × I g lv

= 259 × 10 3 mm 3

El factor “ ø “ es igual en ambos extremos de la columna: ψ A =ψB =

2 × 351 = 2 .71 259

al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y una viga.

Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un “ k = 1.77 “. Por la presencia de la carga de viento “ âd = 0.0 “. El valor de “ E.I “ se puede estimar con la ecuación 9.47 o con la

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9.46 si se conociera un dato aproximado de la cantidad de refuerzo. Como estas columnas están muy reforzadas es mejor trabajar con 9.46 y asumir un ( Ast = 8 # 8 ). 0.20 × 4790 × 28 × 2133 × 10 6 + 204 × 10 3 × 6 × 510 × 150 2 = 2486 × 10 10 N .mm 2 (1 + 0.0)

E.I =

La carga critica es: Pcr = §

π 2 × 2486 × 1010 = 4385 × 10 3 N = 4385 .kN 2 (1.77 × 4250 )

Para las columnas interiores B3, C3, D3 y E3 => bc = hc = 450 mm 0 .7 × I g 0.7 × 3417 × 10 6 450 × 450 3 = 3417 × 10 6 mm 4 è = = 563 × 10 3 mm 3 12 lc 4250

Ig =

Vigas => bw = 1200 mm, hv = 300 mm

(I ) g

= vigas

1200 × 300 3 = 2700 × 10 6 mm 4 12

=>

0 .35 × 2 × I g lv

= 259 × 10 3 mm 3

El factor “ ø “ es igual en ambos extremos de la columna: ψ A =ψB =

2 × 563 = 2.17 2 × 259

al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y dos vigas.

Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un “ k = 1.64 “ E.I =

0 .20 × 4790 × 28 × 3417 × 10 6 + 204 × 10 3 × 6 × 819 × 150 2 = 3988 × 1010 N .mm 2 (1 + 0.0) Pcr =

π 2 × 3988 × 1010 = 8102 × 10 3 N = 8102 .kN 2 (1.64 × 4250 )

La suma de las cargas criticas en todas las columnas es:

∑P

c

= 2 × 4385 + 4 × 8102 = 41178 .kN

Los momentos amplificados para la columna C3 se obtienen aplicando 9.53 => M1s

δ s M1s = 1−

∑ Pu 0 .75 ∑ Pc

=

− 155 − 155 = = − 231 .kN.m 10268 (1 − 0.33) (1 − ) 0 .75 × 41178

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δ s M 2s =

184 = 275 .kN.m (1 − 0.33)

Los momentos amplificados totales para el diseño de la columna C3 son => M 1 = M 1ns + δ s M 1s = 221 − 231 = − 10 .kN.m M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s = 243 + 275 = 518 .kN.m La columna C3 se debe diseñar para soportar un momento máximo amplificado “ Mc = 518 kN.m “ y un “ Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 + 1.6 x 27 = 2093 kN “. Utilizando el grafico de interacción R28.420:75 => Pu 2093 × 10 3 = = 0.37 Ag . f c´ 450 × 450 × 28

y

Mc 518 × 10 6 = = 0.20 Ag . f c´ .h 450 3 × 28

Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía “ ñ = 0.065 “ mayor a 0.06 por lo tanto se recomienda aumentar la sección para lograr cuantías del orden del 0.035%. b) utilizando la ecuación 9.54 del índice de estabilidad “ Q “ => δ s M1s =

− 155 = −191 .kN.m (1 − 0.19)

δ s M 2s =

184 = 227 .kN.m (1 − 0.19)

Los momentos amplificados totales para el diseño de la columna C3 son => M 1 = M 1 ns + δ s M 1s = 221 − 191 = 30 .kN.m M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s = 243 + 227 = 470 .kN.m La columna C3 se debe diseñar para soportar un momento máximo amplificado “ Mc = 470 kN.m “ y un “ Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 + 1.6 x 27 = 2093 kN “. Utilizando el grafico de interacción R28.420:75 => Pu 2093 × 10 3 = = 0.37 Ag . f c´ 450 × 450 × 28

y

Mc 470 × 10 6 = = 0 .18 Ag . f c´ .h 450 3 × 28

Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía “ ñ = 0.06 “. Este método es menos conservador que el anterior y es el preferido en la NSR-98.

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Nota: Este mismo diseño trabajado con los factores de carga “ ã “ y los coeficientes “ Ö “ de la NSR-98 ( ACI-318-99 ) entrega resultados satisfactorios respecto a la cantidad de acero “ ñ = 0.032 “. Es decir se concluye que el bajar los factores de mayoracion de cargas y disminuir los coeficientes de minoración de resistencias se trabaja con altos márgenes de seguridad. La cantidad de refuerzo para esta columna es: Ast = 400 x 400 x 0.06 = 9600 mm2 que se pueden reemplazar por 12 # 10 ( 9828 mm2). Este refuerzo se puede disponer como se indica en la figura 9.92.

450 mm 12 # 10

340 mm

# 3 @ 450 mm

450 mm

Figura 9.92 Sección de columna del ejemplo 9.19

Finalmente se deben realizar dos revisiones adicionales para comprobar el ajuste del diseño realizado. a) comprobar si “ lu / r < 35 / ( Pu / f´c Ag )0.5 “ y b) que el índice de estabilidad no sea mayor de 0.20 para utilizar el método de amplificación de momentos. a) Revisión de la relación de esbeltez: lu 3950 = = 29 r 0 .3 × 450

35 2093 × 10 3 450 × 450 × 28

= 57 .6 ≈ 58

Por lo tanto se cumple que 29 < 58 y el procedimiento realizado es correcto. b) El índice de estabilidad obtenido para el piso en consideración es de 0.19 < 0.30 por lo tanto el procedimiento de amplificación de momentos es aceptable.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para las siguientes columnas sometidas a carga axial pura determinar el refuerzo longitudinal y los amarres requeridos mostrando la distribució n en planta de la sección. Considerar columna corta en condiciones interiores de edificios. a) Columna rectangular: PD = 600 kN, PL = 800 kN, f´c = 24 MPa, fy = 420 MPa b) Columna rectangular, considerando la menor sección posible: PD = 700 kN, PL = 300 kN, f´c =28 MPa y fy = 300 MPa c) Columna circular: PD = 500 kN, PL = 650 kN, f´c = 35 MPa, fy = 420 MPa Para todos los casos asumir un d´= 65 mm. 2. En las siguientes secciones de columna determinar el centroide plástico si f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa 400 mm 75

400 mm

75

75 300

2#8

2 # 10

150

500 mm

4#9

75

550 mm

75 175 75

75

3. Usando las ecuaciones de equilibrio determinar los valores de Pn y Mn considerando que el perfil de deformaciones va de los puntos – 0.003 a 0.002. Considerar un f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa åc 300 mm 75

600 mm

4#9

450

75

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4. Para las secciones y las excentricidades que se indican determinar los valores de carga axial “ Pn “ usando los diagramas de interacción respectivos. Utilizar los siguientes materiales: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.

a)

ex = 0.30 m ex = 0.20 m 400 mm 80 mm

290 mm

450 mm

80 mm

80

b)

ey = 0.125 m

3 @ 80 = 240

80

Y

75 mm

150 mm 450 mm

X 150 mm

75 mm

75

250 mm

75

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c)

Y

ey = 0.25 m

300 mm

65 mm

500 mm

370 mm

X

65 mm

65

d)

ex = 0.25 m

170 mm

65

Y 65 mm

550 mm

8 # 10

X

420 mm

65 mm

5. Seleccionar el refuerzo requerido para las siguientes columnas cortas utilizando los gráficos de interacción. f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. a) Rectangular: b = 400 mm, h = 500 mm, d´= 65 mm, Pu = 1350 kN y ex = 0.15 m b) P L = 450 kN, PD = 225 kN, ML = 290 kN.m y MD = 115 kN.m. c) Circular: Pu = 1150 kN, Mu = 580 kN.m

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6. Una columna esquinera de un edificio esta sometida a flexión en sus dos ejes principales con ex = ey = 0.18 m. Si la carga ultima es de Pu = 910 kN determinar sus dimensiones y el refuerzo si f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa. 7. Se requiere diseñar una columna sometida a flexión biaxial para las siguientes condiciones: Pu = 910 kN, ex = 0.25 m, ey = 0.15 m. Seleccionar una cantidad de refuerzo no menor que el 2.5%. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. 8. Una columna rectangular de un edificio de varios pisos impedido contra desplazamiento lateral tiene dimensiones b = 400 mm y h = 550 mm y soporta una carga axial ultima de Pu = 2270 kN y un momento ultimo Mu = 405 kN.m. Si la altura libre es de lu = 3.05 m determinar el refuerzo requerido si los momentos en sus dos extremos son iguales y f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y d´= 65 mm. 9. Se requiere diseñar la columna exterior de un edificio desplazable lateralmente y sometida a una carga Pu = 2270 kN. Los momentos mayorados en sus extremos son: M1 = 290 kN.m y M2 = 405 kN.m. La altura libre de la columna es de lu = 5.50 m. Considerar los siguientes casos: a) Si las cargas de gravedad no producen un desplazamiento lateral apreciable, b) Las cargas laterales de viento producen un momento mayorado de Mu = 240 kN.m . f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa. Además se tiene: øA = 2.0 y øB = 1.2. Pu = 90910 kN y Pc = 200000 kN. 10. Las columnas del primer piso de un edificio de oficinas de nueve pisos, con tres luces en dirección X y siete luces en dirección Y, tienen una altura libre de 5.50 m. El edificio no esta impedido de desplazamiento lateral y la altura de los pisos por encima del primero es de 3.35 m. Diseñar una columna típica del primer piso para las siguientes condiciones: a) todas las secciones de columnas son iguales b) Pu = 72730 kN y Pc = 172730 kN c) EI / l ( vigas ) = 50850 kN.m d) Cargas axiales en servicio de columnas interiores: P D = 1640 kN, P L = 590 kN y P W = 30 kN e) Cargas axiales en servicio de columnas exteriores: PD = 365 kN, PL = 295 kN y P W = 20 kN f) Momentos en servicio para columnas interiores: Nudo A) MD = 25 kN.m, ML = 20 kN.m, MW = 70 kN.m. Nudo B) MD = 60 kN.m, ML = 45 kN.m, MW = 70 kN.m. g) Momentos en servicio para columnas exteriores: Nudo A) MD = 50 kN.m, ML = 30 kN.m, MW = 35 kN.m. Nudo B) MD = 80 kN.m, ML = 40 kN.m, MW = 35 kN.m. h) F´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y d´= 65 mm Revisar el índice de estabilidad “ Q “. Asumir un Vu = 680 kN / piso y Äo = 38 mm.

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