Diseño Instruccional

Matemáticas. “Trigonometría y Geometría analítica”

Proyecto: Diseño e implementación de un programa para la actualización de docentes de nivel medio superior en las áreas de físico-matemáticas y ciencias naturales. Responsable Técnico: Silvia Melbi Gaona Jiménez. Supervisión y revisión del documento: Silvia Melbi Gaona Jiménez

Contenido Temario ............................................................................................................................................... 2 Banco de preguntas........................................................................................................................... 62 Ejercicios............................................................................................................................................ 84 Vectores ........................................................................................................................................ 84 Puntos y rectas .............................................................................................................................. 87 Lugares geométricos I ................................................................................................................... 88 Lugares geométricos II .................................................................................................................. 89 Coordenadas Polares..................................................................................................................... 93 Ejercicios de Aplicación ................................................................................................................. 95 Tangentes a cónicas ...................................................................................................................... 97

Temario

 Examen Diagnostico Módulo I. Introducción ¡Bienvenidos a este curso de geometría analítica! Éste no es un curso convencional de geometría analítica porque es un curso en línea o un curso "virtual", como se le quiera llamar. Pero lo más importante es que en este curso se busca sacar ventaja de que quien lo tome está conectado a Internet y por tanto tiene en sus manos la fuente de información y autoaprendizaje más importante que ha creado el hombre. Entonces, su objetivo principal no es enseñar la geometría analítica a personas que ya enseñan geometría analítica, sino más bien, tomar como pretexto el enseñar cómo se hace geometría analítica usando vectores (un método poco usado en las aulas), para mostrar una manera de incorporar la tecnología informática en la práctica docente. Es importante empezar el curso con una explicación de su estructura y funcionamiento. Se puede decir que este curso virtual está diseñado en base a lecciones y evaluaciones semanales donde se encuentran integrados contenidos explicativos sobre los temas y ejercicios de práctica relacionados. En este caso una lección es una presentación estructurada de un tema con contenidos y ejercicios. Dentro de los contenidos se encuentran las definiciones y explicaciones necesarias junto con enlaces a documentos externos en conceptos claves. Estos enlaces se encuentran como se muestra aquí en forma de hipervínculos. Al hacer "click" se despliegan y permiten hacer revisiones más extensas del concepto en cuestión. Muchos de estos enlaces son a la enciclopedia conocida como Wikipedia, que es un proyecto educativo muy importante a nivel mundial , pues genera una enorme cantidad de información con un buen estándar de calidad. Los artículos con mala estructura o información dudosa siempre presentan advertencias. Toda la información contenida es de libre acceso y por eso es especialmente importante. Su intención es transmitir cultura a la mayor cantidad de personas en el planeta, por eso es necesario que tanto profesores como alumnos la conozcan y aprovechen. También, dentro del contenido se encontrarán múltiples construcciones geométricas, útiles en un curso como éste. Estas construcciones están diseñadas en una aplicación llamada "Geogebra" (www.geogebra.org), otro programa de libre uso y distribución para fines no comerciales. El Geogebra es una poderosa herramienta para la enseñanza de las matemáticas, puede usarse en cualquier computadora personal y con cualquier sistema operativo. De hecho los invitamos a instalarlo (http://www.geogebra.org/cms/es/installers) en sus propias computadoras personales para usarlo durante este curso y como material en sus propios cursos. El curso no requiere la instalación de geogebra, pues las lecciones son autocontenidas. Pero los exhortamos a instalarlo y practicar su uso, la aplicación se puede considerar amable e intuitiva 2

pero si es necesario, el manual también puede encontrarse en línea. No vamos a hacer un curso de geogebra aquí, pero sí es necesario presentar algunos puntos generales de su operación. En la siguiente figura se observa una ventana de geogebra:

Podemos distinguir las partes importantes de la aplicación, que son: una barra de herramientas y una barra de menú donde se encuentran todas las configuraciones y acciones a que se tiene acceso como usuario; el área principal está dividida en dos partes, una que es el área gráfica donde los dibujos aparecen y una ventana algebraica (panel derecho) donde se listan todos los objetos de la construcción, pero en su definición abstracta, es decir, aparecen las ecuaciones y coordenadas de los objetos dibujados. En la parte baja de la ventana hay una barra de entrada y una lista de comandos, ahí se pueden capturar ecuaciones o funciones contenidas en la lista, que sirven para hacer cálculos avanzados. Noten algo importante, la figura que se muestra es interactiva, de hecho es el programa completo ejecutándose dentro de este documento. Prueben a usarlo, con los botones en las barras se pueden añadir puntos, vectores, líneas, curvas cónicas y muchas cosas más. Como primera actividad practiquen a usarlo aquí mismo. También pueden capturar ecuaciones, por ejemplo en la línea de entrada prueben teclear: "x^2+y^2=3" y chequen el dibujo. 3

En las lecciones encontrarán ventanas como ésta, pero mostrando sólo los componentes que nosotros seleccionemos para la realizar la actividad en cuestión. Si se trata de una animación o construcción automática busquen los botones de inicio dentro de la ventana gráfica que usualmente muestran un triángulo. Debido a la interactividad de las construcciones este curso está pensado para usarse de equipos conectados a internet con bandas anchas. Si la conexión es lenta, la carga de las construcciones puede tomar tiempo, si éste es su caso, es necesario tener un poco de paciencia. La lección correspondiente a cada módulo es la actividad principal de éste . Se puede navegar en ella cuantas veces se quiera, pero para hacer la evaluación correspondiente, es necesario terminarla al menos una vez. Los ejercicios dentro de las lecciones se evalúan sólo como mecanismo de retroalimentación. Si alguien decide terminar la lección sin realizar los ejercicios, no tendrá ninguna retroalimentación. La calificación del módulo depende sólo del resultado del examen correspondiente. Esperamos que disfruten el curso, como nosotros hemos disfrutado su elaboración. 1.

Vectores 1.1. Definición de un vector y sus propiedades Una buena manera de definir lo que es un vector es mediante la noción que intuitivamente tenemos de una flecha. Es decir es una figura geométrica que normalmente nos indica una dirección, pero que además tiene las siguientes propiedades: 1. Tiene un tamaño 2. Indica una dirección 3. Tiene un punto del cual comienza Matemáticamente, los vectores son el conjunto de todas las flechas que podamos imaginar. Así podemos pensar en flechas sobre una recta, en el plano, en el espacio y hasta en hiperespacios. Aquí nos concentraremos en los que viven en un plano, ya que la geometría analítica plana puede sacar mucha ventaja de estos. En la siguiente figura tenemos un ejemplo interactivo que incluye algunos vectores en un plano cartesiano. En este ejemplo es posible, usando el ratón, desplazar los vectores libremente, sin que pierdan su forma (simplemente haz click con el botón izquierdo sobre el centro del vector y mantenlo oprimido mientras lo trasladas). También es posible añadir nuevos vectores utilizando la barra de entrada; por ejemplo tecleando el comando: vector[(2,3),(1,-1)], se dibujará un vector que va del punto (2,3) al punto (1,-1).

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Por esta propiedad se dice que los vectores son ``libres'' porque no importa donde se coloquen siempre son iguales. Una vez colocados en un plano cartesiano un vector se asocia inmediatamente con dos puntos del plano (por ejemplo el vector z se encuentra asociado a los puntos G y H). Si cambio uno de los puntos el vector cambia su forma (se puede probar en el ejemplo a hacerlo). Así se establece una especie de función entre puntos y vectores. Para que esta función sea biyectiva, es decir que, haya una relación única entre un punto y un vector es necesario trasladar a todos nuestro vectores a un punto común, que podría ser al mismo tiempo el origen del plano cartesiano. El ejemplo siguiente los dibuja así:

En el ejemplo anterior también es posible añadir más vectores centrados, tecleando en la barra de entrada una letra minúscula y una coordenada de la siguiente manera: f=(4,2); este comando que se dibujará el vector f del origen al punto (4,2). Ahora se puede notar que los vectores perdieron libertad por estar atados al centro, pero ganamos la posibilidad de matematizarlos, porque un vector ahora puede ser representado por un punto en el plano y por tanto, usando ejes cartesianos, convertirlo en un par de números ordenados (x,y). La importancia de esto radica en que ahora podemos medir sus propiedades y definir operaciones entre ellos. Así para un vector u asociado a la pareja (x,y) su tamaño se puede encontrar usando el \vert u\vert es el tamaño del vector u, entonces \begin{displaymath} \vert u\vert=\sqrt{x^2+y^2}. \end{displaymath} 5

(1) Si quisiéramos saber el ángulo e inclinación del vector u, representado por \theta_u entonces se tendría que echar mano de la trigonometría, usando la función tangente de un triángulo rectángulo, de modo que es sencillo demostrar que: \begin{displaymath} \theta_u=\arctan \frac{y}{x}. \end{displaymath} (2) Todo vector, esté donde esté, debe trasladarse al centro de los ejes cartesianos para poderlo medir sus propiedades con las dos definiciones anteriores. En la siguiente construcción se puede observar el tamaño y el ángulo de inclinación de un vector, si se hace click en el punto B y se deja presionado el botón es posible cambiar el vector u y sus propiedades se recalculan automáticamente. Es de notar que los vectores v y w son vectores que apuntan en las direcciones de los ejes cartesianos sus tamaños coinciden con las coordenadas x y y de u respectivamente formando siempre triángulos rectángulos y por tanto relacionados con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas.

1.2. Suma de vectores Además de sus propiedades, también se pueden definir operaciones entre vectores. Así, podemos definir la suma de vectores como: si tenemos dos vectores v y w descritos por los puntos A=(x_1,y_1) y B=(x_2,y_2), la suma será: v+w=(x_1+x_2,y_1+y_2). (3) En palabras, la suma de dos vectores es otro vector, tal que su abscisa es la suma de las dos abscisas originales y su ordenada, la suma de las dos ordenadas. Al aplicar esta definición y dibujarla, nos encontramos que se forma una figura como la siguiente:

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Nótese que la suma de los vectores u y v es w y que el punto D donde llega el vector w es siempre la suma por competentes de los puntos B y C (que a su vez representan las puntas de los vectores u y v). Si un vector tiene coordenadas (x,y) el vector (-x,-y), que le podríamos llamar su negativo, es un flecha que apunta en la misma dirección, pero en sentido contrario. La resta de dos vectores se puede definir por la suma de un vector por el negativo de otro. Es decir: u-v=u+(-v)=(x_1 - x_2, y_1 - y_2 ) . El vector que resulta de la resta de u y v, coincide siempre en tamaño y dirección con un vector que va del punto (x_2,y_2) al punto (x_1,y_1). Para terminar, un comentario sobre la suma y la resta en el Geogebra. Una vez capturado un vector el Geogebra puede hacer las operaciones vectoriales usando la barra de entrada de comandos. De esta manera, tenemos dos vectores capturados en u y v el comando: u+v, calcula y dibuja el valor de la suma y el comando: u-v, la resta. Hasta aquí con las definiciones asociadas a la suma, el flujo de la lección aquí permite las siguientes opciones: Seguir con ejercicios de esta sección o continuar revisando contenidos. La recomendación es hacer los ejercicios primero. 1.3. Productos vectoriales La segunda operación importante es el producto por escalar. Si tenemos un vector v=(x_1,y_1) y un escalar t el producto entre ambos se define como: t v=(t x_1, t x_2). Este producto tiene la característica de no alterar la dirección del vector y sólo cambiar su tamaño. Se puede ver en el ejemplo siguiente esta característica, prueba la animación.

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La última operación que definiremos es el producto escalar entre dos vectores. Cuando se tienen dos vectores en el plano dados por v=(x_1,y_1) y u=(x_2,y_2) su producto escalar se define como: v \cdot u=x_1 x_2+y_1 y_2. La primera implicación de esta definición es que si se toma el producto de un vector u=(x,y) consigo mismo, es decir u \cdot u , el resultado coincide con la definición de su tamaño, pero al cuadrado, es decir: u \cdot u = x^2 + y^2 = |u|^2. Ahora, observa la siguiente construcción, es un poco más elaborada, pero se explicará con más detalle. En ella se puede notar que hay cuatro vectores u, v, w y z. El ángulo \alpha es el ángulo entre u y v o entre w y z. El producto escalar de u y v se calcula automáticamente y para comparar también se evalúa y se imprime la cantidad |u||v| \cos \alpha. Es importante observar que ambas cantidades son iguales y si se cambia el tamaño de u o v haciendo "click" y arrastrando cualquiera de sus puntas, siempre se conserva esa igualdad. Por tanto, la construcción demuestra que la igualdad siguiente se cumple siempre: u \cdot v = |u||v| \cos \alpha

También es importante remarcar que si el ángulo de inclinación entre ellos es un ángulo recto entonces el producto punto es cero. En otras palabras, vectores perpendiculares siempre tienen producto punto nulo. Es posible verificarlo en la misma construcción, de modo que al mover el punto B o C hasta que los vectores sean perpendiculares sus productos se hacen cero. Si los vectores fueran paralelos entonces su producto punto sería igual al producto de sus magnitudes. El segundo concepto importante que puede obtenerse de la figura anterior está relacionado con los vectores w y z. El vector w se observa como una proyección del vector v sobre el vector u. Además se puede observar que sin importar como se cambie u o v siempre los tamaños de w y z son: |w|=\frac{v \cdot u}{|u|}, 8

|z|=\frac{v \cdot u}{|v|}. Es decir, el tamaño de la proyección del vector v sobre el vector u es siempre el producto punto de ambos entre el tamaño de u y viceversa, la proyección de u sobre v es el producto puto de ambos entre v. Dentro de una ventana de geogebra también es posible calcular los productos vectoriales. Si se capturan un escalar t y dos vectores u y v, es posible hacer productos el producto por escalar, por ejemplo con el comando: t*u, y el producto vectorial con la sintaxis u*v. Cualquier producto se calcula con el símbolo "*" y el programa automáticamente identifica si es un producto por escalar o un producto punto. Las operaciones de suma, resta y multiplicación son las operaciones básicas entre vectores y son suficientes para plantear una gran variedad de problemas geométricos. 1.4. Ejercicios 2. Cuestionario Módulo II. Puntos y Rectas Un plano cartesiano es un sistema de referencia de un espacio de 2 dimensiones. Un punto es cualquier ubicación sobre el plano cartesiano. Para describir la ubicación de un punto sobre el plano cartesiano se utiliza el sistema de referencia del plano, conformado por 2 ejes \left(x,y\right) y un origen. Los puntos también son conocidos como par ordenado, ya que la forma común de representarlos es \left(n1,n2\right) donde cada uno de los números representa coordenadas en cada uno de los ejes del plano. Para representar un plano se utilizan 2 líneas, una horizontal y otra vertical que se cruzan de forma perpendicular. Al punto exacto del cruce de los ejes se le llama origen y se representa con el par ordenado \left(0,0\right). Los ejes forman 4 cuadrantes en los cuales se podrán ubicar puntos.

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Relación punto-vector. Si tenemos un punto A ubicado en (1,1) y lo movemos un punto a la izquierda y un punto arriba vemos que ahora se ubica en (0,2). A este concepto se llama desplazamiento. Partiendo de este concepto para representar la translación de un par ordenado en el plano, también podemos llamar vector a un punto en el plano. Esto se representa con una flecha a la cual llamamos vector geométrico.

Segmento: Distancia entre dos puntos. Dado un punto A y un punto B, la recta comprendida entre ellos se llama segmento. Los puntos A y B se llamaran extremos del segmento y la recta será conocida como segmento AB.

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Recta. En su definición más simple una recta es un conjunto infinito de puntos sobre un plano. Una recta se puede definir de forma algebraica como Ax+By+C=0 siempre que A o B sea diferente a 0. Con base en un plano cartesiano podemos deducir que la unión de 2 vectores se le llama recta, entiendo por vector a un par ordenado de coordenadas (x,y). Así podemos ver que una recta se puede obtener mediante una ecuación vectorial. Si tenemos que A=(4,4) y B=(3,1) son puntos que pasan por la recta a, podemos aplicar la siguiente fórmula para determinar el vector sobre esa recta: \nu=A-B=(5,4)-(2,1)=(3,3) Ejemplo 1. Dados los puntos A=(2,2) y B=(1,-1) obtener el valor del vector AB. Usando la formula anterior podemos ver que \nu=(1,3). Si a esto agregamos la representación geométrica ordinaria de los vectores a y b que corresponden a los puntos A y B respectivamente obtenemos:

Ecuación paramétrica vectorial. La ecuación paramétrica vectorial sirve para obtener puntos que pasen por una recta dada por 2 puntos. La ecuación es: 11

c = b + r (a-b) Ejemplo 2. Obtener la ecuación paramétrica vectorial de la recta a que pasa por A=(-1,3) y B=(-5,2). Para iniciar trazamos un diagrama con los puntos AB. Posteriormente obtenemos: a-b=(-1,3)-(-5,-2)=(4,5) Sustituyendo en la ecuación paramétrica vectorial obtenemos: c=(-5,-2)+r(4,5) Si restringimos el valor de r a un intervalo cerrado {r:a=r=b} entonces lo que obtenemos en la gráfica es un segmento de recta que recorre desde B hasta A. Si r=0 entonces c=b, si r=1 entonces c=A. Si queremos un resultado menor a b entonces r<0 y si queremos un resultado mayor a a entonces r>1.

1.

División de segmentos en una razón dada

Una razón es una división o fracción, por ejemplo AC/CB es una razón. Estas razones se usan para determinar las proporciones de un objeto. ¿Qué significa la división de un segmento en una razón dada? Significa medir el segmento y partirlo, y las medidas de cada pedazo de segmento, al dividirlas, tienen que dar igual a la razón que buscamos. Con estos conceptos partiremos para encontrar las ecuaciones que nos permitan encontrar un punto sobre el segmento. Analicemos primero el escenario de forma análoga, teniendo A(x1,y1) y B(x2,y2) y asumiendo que r=AC/CB podemos enfocarnos en obtener x. NOTA: El orden en el cual nos dan un segmento es importante, así que debemos de poner especial atención en este punto. r=\frac{AC}{CB}=\frac{x1-x}{x-x2} r(x-x2)=x1-x 12

rx-rx2=x1-x rx+x=x1+rx2, factorizando obtenemos x(r+1)=x1+rx2 x=\frac{x1+rx2}{1+r} El mismo procedimiento lo enfocamos para obtener y: y=\frac{y1+ry2}{1+r} Nota: Si r es un valor negativo entendamos que este se encuentra fuera del segmento dado. Si r es un valor positivo se encuentra dentro del segmento. 2.

Pendiente de una recta

Una recta se puede describir considerando un vector w que tiene la misma dirección que la recta, y un punto de inicio del vector. El caso más sencillo es considerar un vector w , y como punto inicial el origen. El vector con punto inicial en el origen se puede expresar como w=(h,k). En la siguiente figura se observa que el vector w forma un ángulo \theta con el eje x. Al utilizar esta geometría se define la pendiente de una recta L como: m=Tan\:\theta=\frac{k}{h}, En caso de que h=1, entonces, m=Tan\:\theta=k,

Una recta L que no intercepta al origen, y contiene a los puntos A(x_1,y_1) y B(x_2,y_2), se puede representar vectorialmente que se muestra en la siguiente figura. Ahí se puede ver que, del origen C al punto A se tiene al vector u, y del origen C al punto B se tiene al vector v, y por lo tanto, el vector diferencia es w=v-u, el cual respecto a las coordenadas se puede expresar

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como w=(x_2-x_1,y_2-y_1). Utilizando la definición de pendiente aplicada a este caso se tiene que: m=Tan\:\theta=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, En la figura se representa la pendiente como: m=Tan\:\theta=\frac{k}{h}=\frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}{1}, es decir, h=1, y m=Tan\:\theta=k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},

3.

Ángulo entre dos rectas

En la siguiente figura se muestran dos rectas L_1 y L_2, que se interceptan en el punto E. La intercepción forma cuatro vértices, y el vértice superior de la intercepción tiene un ángulo \theta, que es considerado el ángulo entre las rectas. El ángulo \theta que se forma en la intersección de las rectas, cumple por la geometría que \theta=\alpha-\beta, por lo tanto, se tiene que Tan\:\theta=Tan(\alpha-\beta), y al usar la identidad trigonométrica para la tangente de la diferencia de dos ángulos se tiene que: Tan\:\theta=Tan(\alpha-\beta)=\frac{Tan\:\alphaTan\:\beta}{1+(Tan\:\alpha)(Tan\:\beta)}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} En esta relación se ha considerado que, la pendiente de la recta L_2 es m_2=Tan\:\beta, y la pendiente de la recta L_1 es m_1=Tan\:\alpha.

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Por otro lado, también se puede relacionar el ángulo entre dos rectas, al considerar los vectores v y w, y al utilizar la relación del producto punto con el Cos\:\theta, se obtiene que: Cos\:\theta=\frac{v\cdot w}{\left\|v\right\|\left\|w\right\|}

4.

Rectas paralelas

Sabemos de geometría elemental euclidiana que dos rectas en el plano son paralelas si no se cortan en ningún punto. Esto quiere decir, las rectas tienen iguales ángulos que cortan el eje x, es decir, \alpha=\beta. Por lo tanto, \theta=0^{\circ}. Al considerar esto en la relación Tan\:\theta, se tiene que, Tan\:\theta=0=\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} Es decir, m_1=m_2. Por lo tanto, dos rectas paralelas tienen igual pendiente. También, el ángulo \theta entre dos rectas paralelas se puede encontrar al considerar la relación del coseno de \theta, evaluado cuando, \theta=0^{\circ}, o bien, \theta=180^{\circ}. Al considerar 15

que el vector v es contenido en la recta L_1, y el vector w está contenido en la recta L_2, entonces, al aplicarse los dos valores al ángulo \theta, se encuentra que, \frac{v\cdot w}{\left\|v\right\|\left\|w\right\|}=\pm1 El signo "+" corresponde a \theta=0^{\circ}, y el signo "-" corresponde a theta=180^{\circ}. Ésta es la relación que resume la condición de paralelismo entre dos rectas, cuando se conocen un vector contenido en cada una de las rectas. 5.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si forman éstas un ángulo \theta=90^\circ al interceptarse. Para obtener la condición de las pendientes de dos rectas perpendiculares, se considerará la función inversa de la reciproca de la tangente, es decir la cotangente. Sabemos que, Cot\:\theta=\frac{1}{Tan\:\theta}, Al aplicar la relación de Tan\:\theta con respecto a las pendientes de las rectas se obtiene: Cot\:\theta=\frac{1+m_1m_2}{m_2-m_1} Al aplicar en la función cotangente, \theta=90^\circ, se tiene que, Cot\:90^\circ=0=\frac{1+m_1m_2}{m_2-m_1} Por lo tanto, cuando dos rectas son perpendiculares sus pendientes cumplen la relación, m_1m_2=-1. Al considerar que el vector v es contenido en la recta L_1, y el vector w está contenido en la recta L_2, entonces, al aplicarse que \theta=90^\circ en la relación del Cos\:\theta, y se encuentra que, Cos\:90^\circ=0=\frac{v\cdot w}{\left\|v\right\|\left\|w\right\|} Es decir, v\cdot w=0, que es la condición de perpendicularidad de dos rectas, o bien, de los dos vectores contenidos en cada una de las rectas. 6.

Ecuaciones de la recta

La recta puede describirse analíticamente con diferentes expresiones, se iniciará con la descripción paramétrica de ésta.

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Para describir la recta en forma paramétrica se considera que la recta contiene al vector u=(h,k), y que este vector inicia en el punto P_0 (x_0,y_0). Cualquier punto en la recta se representa como P(x,y). Con este punto se obtiene el vector \stackrel{\rightarrow}{PP_0}=v=(x-x_0,y-y_0), y dado que los vectores u y v pertenecen a la recta, entonces son paralelos, por lo tanto, deben cumplir que, v=ru, donde \infty\leqr\leq\infty. Aplicando la condición vectorial se tiene que: x-x_0=rh, y-y_0=rk, y al realizar un poco de álgebra se obtiene: x=x_0+rh, y=y_0+rk. Estas dos ecuaciones son las que describen perimétricamente a cualquier punto de la recta L. 7.

Expresión de la recta en forma general

La recta se expresa comúnmente en forma general como, Ax+By+C=0. La forma general puede relacionarse con la forma paramétrica al observar que, r=\frac{x-x_0}{h}=\frac{y-y_0}{k}, de donde se puede realizar un poco de álgebra hasta obtener que: kx-hy+(hy_0-kx_0)=0 Al comparar la forma general con la ecuación anterior se observa que, A=k;\ B=-h;\ C=hy_0-kx_0. 8.

Recta que pasa por dos puntos 17

Cuando una recta pasa por dos puntos, se genera la geometría que se muestra en la figura siguiente. Al considerar que la recta pasa por los puntos P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2), entonces si se considera un punto P(x,y) de la recta, el vector u y v se expresan como: u=(x_2-x_1,y_2-y_1 );\ v=(x-x_1,y-y_1); Por lo tanto, la pendiente de la recta considerando ambos vectores es: m_L=\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, y al realizar un poco de álgebra se obtiene: y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)

9.

Ecuación de la recta al considerar la pendiente y un punto

En caso de que sea conocida la pendiente de la recta y un punto, la ecuación de la recta se puede obtener al considerar la figura siguiente, si observamos que, cualquier punto P(x,y) genera un vector w con el punto P_1(x_1,y_1) como: \stackrel{\rightarrow}{P_1P}=\stackrel{\rightarrow}{u}=(x-x_1,y-y_1), Por lo tanto, la pendiente se encuentra como: m_L=\frac{y-y_1}{x-x_1}, a partir esta ecuación se obtiene que: y-y_1=m_L(x-x_1). Esta ecuación es la ecuación buscada que describe la recta.

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10. Ecuación de la recta al considerar la pendiente y la ordena al origen Un caso particular de la ecuación de pendiente-punto es la aplicación cuando el punto es el cruce de la recta con el eje y, considerando el punto como P_1(0,b), y a la pendiente se le considera m_L=m, con lo cual, la ecuación de la recta es: y-b=m(x-0), lo cual es común expresar como: y=m_ x+b. La gráfica de este caso se puede ver en la figura siguiente.

Una correspondencia entre expresiones entre la expresión general de la recta y la expresión de ordenada al origen se puede realizar al iniciar con la expresión general Ax+By+C=0, después de realizar un poco de álgebra se obtiene que: y=-\frac{A}{B}x+(-\frac{C}{B}),

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Por lo tanto, por comparación entre coeficientes se obtiene que: m=-\frac{A}{B};\ b=-\frac{C}{B}. 11. Ecuación de la recta en forma simétrica La ecuación de la recta que en forma simétrica considera que la recta intercepta a los ejes x y y, como se muestra en la siguiente figura.

Al considerar la ecuación para la recta a la que pertenecen dos puntos, P_1(a,0) y P_2(0,b), se obtiene el siguiente desarrollo: y-0=\frac{b-0}{0-a}(x-a), -ay=bx-ab, bx+ay=ab, \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1. La relación, \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, es la expresión analítica de la recta en forma simétrica. 12. Distancia punto recta Toda recta L se puede visualizar como una sucesión de puntos P(x,y), los cuales satisfacen la ecuación, Ax+By+C=0, o bien, la ecuación, y=mx+b, donde se ha considerado, 20

m=-\frac{A}{B};\:\:b=-\frac{C}{B}. Un punto exterior a una recta, tiene una distancia a cualquier punto P(x,y) de una recta. Aunque, la distancia d se define como, “La distancia mínima de un punto P_e(x_e,y_e) exterior a un punto P(x,y), es decir, la distancia d mínima del segmento \overline{PP_e}.

Para deducir la ecuación con la que se evalúa d, se ha construido la geometría de la figura. Para deducir la ecuación que evalúa la distancia d se supondrá que los datos conocidos son, la ecuación de la recta en la forma, y=mx+b, y el punto externo P_e(x_e,y_e). Para obtener la distancia d se requiere un punto conocido, y un vector normal unitario. Como punto conocido se usa al punto de la recta que tiene como valor en las abscisas a x=x_e, por lo tanto, el punto conocido es, P_v(x_e,y(x_e)), por lo tanto, el vector V es, V=(x_e-x_e,y_e-y(x_e ))=(0,y_e-mx_e-b), donde se ha usado que la ecuación de la recta es y=mx+b, de donde, y(x_e) es, y(x_e)=mx_e+b. Ahora un vector que es paralelo a la recta es el vector T=(1,m), por lo tanto, un vector normal a este vector es N=(-m,1). Esto se infiere de la condición de perpendicularidad que cumple T\circN=0, lo cual se puede verificar para nuestros vectores. Utilizando estos vectores la distancia d es la componente del vector V sobre el vector normal unitario, que es. \widehat{N}=\frac{N}{\left\|N\right\|}. Con esto, la distancia d se obtiene por, d=\left|V\cdot\widehat{N}\right|=\left|V\cdot\left(\frac{N}{\left\|N\right\|}\right)\right|=\le ft|\frac{V\cdot N}{\left\|N\right\|}\right|=\frac{\left|V\cdot N\right|}{\left|\left\|N\right\|\right|}. d=\frac{\left|\left(0,y_e-mx_e-b\right)\left(m,1\right)\right|}{\left|\sqrt{1+m^2}\right|}=\frac{\left|y_e-mx_eb\right|}{\left|\sqrt{1+m^2}\right|},

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d=\frac{\left|y_e-mx_e-b\right|}{\sqrt{1+m^2}}. Solo para remarcar, la distancia se evaluará por, d=\displaystyle{\frac{\left|y_e-mx_e-b\right|}{\sqrt{1+m^2}}}. Si analizamos la relación vemos que, se utilizan los valores del punto externo x_e y y_e, y de la ecuación de la recta se utilizan los parámetros, m y b. En la literatura es más común utilizar la ecuación de la recta en forma general, por lo tanto, se obtendrá una expresión para obtener la distancia considerando esa ecuación. Recordemos que si se tiene la ecuación general de la recta en la forma, Ax+By+C=0, la pendiente y ordenada al origen se relacionan por: m=-\frac{A}{B};\:\:b=-\frac{C}{B}, valores que se sustituyen en la relación de la distancia d, y se obtiene, d=\frac{\left|y_e-mx_e-b\right|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\left|y_e-\left(-\frac{A}{B}\right)x_e\left(-\frac{C}{B}\right)\right|}{\sqrt{1+\left(-\frac{A}{B}\right)^2}}=\frac{\left|\frac{B}{B}y_e\left(-\frac{A}{B}\right)x_e-\left(-\frac{C}{B}\right)\right|}{\sqrt{\frac{A^2+B^2}{B^2}}, d=\frac{\frac{1}{\left|B\right|}\left|By_e+Ax_e+C\right|}{\frac{1}{\left|B\right|}\sqrt{A^2+B^ 2}}, d=\frac{\left|By_e+Ax_e+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}. Esta ecuación se puede reescribir como, d=\displaystyle{\frac{\left|Ax_e+By_e+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}}. Ésta última relación utiliza la ecuación general de la recta donde se le sustituyen los valores de las coordenadas externas, y se utilizan los coeficientes A y B de la misma ecuación general de la recta. 13. Bisectriz La recta bisectriz L_b de un ángulo, lo divide en dos partes iguales. Además se caracteriza porque cualquier punto de esta recta tiene la misma distancia en valor absoluto con la recta superior e inferior, como se muestra en la figura siguiente. Debemos aclarar que cuando un punto está por debajo de la recta, la distancia resulta negativa, y es la función valor absoluto lo que nos genera el valor positivo. Cuando el punto está arriba de la recta la distancia resulta positiva. Por lo tanto, esto aplicado a la bisectriz, en la figura nos da la condición de la distancia del punto P(x,y) de la recta bisectriz a cada recta del ángulo, cuando las ecuaciones de las rectas L y L' están expresadas en la forma general, se tiene que,

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d_2=-d_1, Es decir, \displaystyle{\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=-\frac{A'x+B'y+C'}{\sqrt{(A')^2+(B')^2}}}, si se definen como, \displaystyle{\vartheta=\sqrt{A^2+B^2}}, \displaystyle{\vartheta'=\sqrt{(A')^2+(B')^2}}, la ecuación de la recta se expresa como, (\vartheta'A+\vartheta A')x+(\vartheta'B+\vartheta B')y+(\vartheta'C+\vartheta C')=0. que es la ecuación que describe a la recta bisectriz. 14. Intercepción entre dos rectas Dos rectas no paralelas se interceptan en un punto P_0(x_0,y_0). Éste se encuentra al resolver de forma simultánea las ecuaciones de las rectas L_1 y L_2, que son: A_1x+B_1y=C_1, A_2x+B_2y=C_2. Dado que el punto pertenece a ambas rectas, debe ser solución del sistema, es decir, se debe cumplir que, A_1x_0+B_1y_0=C_1, A_2x_0+B_2y_0=C_2. Existen varios procedimientos para encontrar x_0 y y_0, no obstante, nosotros para obtener estos usaremos las siguientes ecuaciones: \displaystyle{x_0=\frac{C_1B_2-C_2B_1}{A_1B_2-A_2B_1}}, \displaystyle{y_0=\frac{C_2A_1-C_1A_2}{A_1B_2-A_2B_1}}. 23

De esta forma se obtiene el punto de intercepción P_0(x_0,y_0). 15. Propiedades de los triángulos Un triángulo es una figura geométrica que se forma por la intercepción de tres segmentos continuos de rectas, como se muestra en la figura siguiente. Debido a su forma el triángulo tiene también tres ángulos.

El triángulo es una figura geométrica que ha sido estudiada ampliamente, y es común que en geometría analítica se le describa considerando que son conocidos los puntos de sus vértices. Luego, a partir de esta información se obtienen los parámetros y ecuaciones de las rectas características de esta figura. Los elementos que se describen son, las ecuaciones de las rectas que contienen a los segmentos que forman el triángulo, la ubicación de los vértices, los valores de los ángulos, las ecuaciones de las bisectrices, las ecuaciones de las medianas, las ecuaciones de las mediatrices, el punto de intercepción de las bisectrices, el punto de intercepción de las mediatrices, el punto de intercepción de las medianas, el punto de intercepción de las alturas, el área y el perímetro del triángulo. 16. Longitudes de los lados del triángulo Las longitudes d_A, d_B y d_C de los lados de un triángulo, al aplicar la relación para obtener la distancia entre dos puntos, con los puntos que se muestran en la figura, se obtienen como: d_A=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2} d_B=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2} d_C=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} 17. Pendientes de las rectas que contienen a los segmentos del triángulo

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Las pendientes de las rectas que contienen los segmentos \overline{AB}, \overline{BC} y \overline{AC} se evalúan usando la ecuación para la pendiente que considera el vector entre los dos puntos de cada segmento, con esto las pendientes se evalúan como, \displaystyle{m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}, \displaystyle{m_{BC}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}}, \displaystyle{m_{AC}=\frac{y_1-y_3}{x_1-x_3}}. 18. Propiedades de los triángulos El ángulo de los vértices se evalúa considerando la relación para calcular el ángulo entre dos rectas. Una consideración que se debe hacer es, tomar como recta 2 de la ecuación a la que tiene mayor ángulo, al medir éste en sentido contrario a las manecillas del reloj, por supuesto, la recta 1 será la que tiene menor ángulo con la misma consideración. \displaystyle{\theta_A=Tan^{-1}\left(\frac{m_{AC}-m_{AB}}{1+m_{AB}m_{AC}}\right)}, \displaystyle{\theta_B=Tan^{-1}\left(\frac{m_{AB}-m_{BC}}{1+m_{AB}m_{BC}}\right)}, \displaystyle{\theta_C=Tan^{-1}\left(\frac{m_{BC}-m_{AC}}{1+m_{BC}m_{AC}}\right)}. 19. Ecuaciones de las rectas que contienen los segmentos del triángulo Para encontrar las ecuaciones de las rectas que contienen a los segmentos que forman un triángulo se usará la ecuación de la recta que considera dos puntos, por lo tanto, para el segmento \overline{AB} pertenece a la recta que se describe por, \displaystyle{y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)}. El segmento \overline{AC} pertenece a la recta que se describe por, \displaystyle{y-y_1=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\left(x-x_1\right)}. El segmento \overline{BC} pertenece a la recta que se describe por, \displaystyle{y-y_2=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}\left(x-x_2\right)}. 20. Ecuaciones de las bisectrices de un triángulo La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Por lo tanto, un triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. A este punto se le denomina “incentro” del triángulo y este punto tiene como característica geométrica, de ser el centro de una circunferencia inscrita dentro del triángulo. Por lo tanto, esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo. 25

Las coordenadas del incentro son una combinación de las coordenadas de sus vértices y las longitudes de sus lados. Si los vértices tienen coordenadas A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) y C(x_3,y_3) y sus lados opuestos tienen las longitudes d_A, d_B y d_C, entonces el incentro se obtiene por medio de la ecuación: \displaystyle{I\left(\frac{d_Ax_1+d_Bx_2+d_Cx_3}{d_A+d_B+d_C},\frac{d_Ay_1+d_By_2+d_Cy _3}{d_A+d_B+d_C}\right)=I\left(x_1,y_1\right)} Es decir, \displaystyle{x_1=\frac{d_Ax_1+d_Bx_2+d_Cx_3}{d_A+d_B+d_C}}, \displaystyle{y_1=\frac{d_Ay_1+d_By_2+d_Cy_3}{d_A+d_B+d_C}}. Una vez que conocemos el incentro nos podemos ayudar con este punto para obtener las ecuaciones de las bisectrices. Dado que el incentro pertenece a las tres bisectrices, se puede usar este punto para obtener la ecuación de la bisectriz, al considerar que la bisectriz contiene al vértice y el incentro. A partir de esto, la bisectriz del ángulo del punto A se obtiene como, \displaystyle{y-y_I=\frac{y_1-y_I}{x_1-x_I}\left(x_x_I\right)}, la bisectriz del ángulo del punto B se obtiene como, \displaystyle{y-y_I=\frac{y_2-y_I}{x_2-x_I}\left(x_x_I\right)}, la bisectriz del ángulo del punto C se obtiene como, \displaystyle{y-y_I=\frac{y_3-y_I}{x_3-x_I}\left(x_x_I\right)}, Los segmentos de las bisectrices, el incentro, y la circunferencia inscrita en el triángulo se muestran en la siguiente figura.

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21. Medianas del triángulo Las medianas como se muestra en la siguiente figura, son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un único punto (G en la figura siguiente) llamado centro de gravedad o centro de masa del triángulo.

Los puntos medios se encuentran por las ecuaciones que considera que un segmento se divide en dos partes iguales, por lo tanto, para el punto D se tiene, \displaystyle{x_{AB}=\frac{x_1+x_2}{2}}, \displaystyle{y_{AB}=\frac{y_1+y_2}{2}}. para el punto E se tiene, \displaystyle{x_{BC}=\frac{x_2+x_3}{2}}, \displaystyle{y_{BC}=\frac{y_2+y_3}{2}}. para el punto F se tiene, \displaystyle{x_{AB}=\frac{x_1+x_2}{2}}, \displaystyle{y_{AB}=\frac{y_1+y_2}{2}}. Al utilizar estos puntos se encuentran las ecuaciones de las rectas, con el uso de la ecuación de la recta que considera dos puntos conocidos, así el segmento \overline{AE} está contenida en la recta, \displaystyle{y-y_1=\frac{y_{BC}-y_1}{x_{BC}-x_1}\left(x-x_1\right)}. el segmento \overline{BF} está contenida en la recta, \displaystyle{y-y_2=\frac{y_{AC}-y_2}{x_{AC}-x_2}\left(x-x_2\right)} el segmento \overline{CD} está contenida en la recta, 27

\displaystyle{y-y_3=\frac{y_{AB}-y_3}{x_{AB}-x_3}\left(x-x_3\right)} El punto G, se obtiene por la solución simultánea de dos de las ecuaciones para los segmentos \overline{AE}, \overline{BF} y \overline{CD}. 22. Mediatrices La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada a partir de su punto medio. Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC como se muestra en la siguiente figura, las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro del triángulo (punto O en la figura). Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia del centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Las ecuaciones de las mediatrices se deducen al saber que son perpendiculares al segmento en el punto medio, esta condición nos hace inferir que la recta M_{AB} tiene pendiente que cumple, (m_{AB})m_{AB\bot}=-1, dado que, \displaystyle{m_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}, entonces, \displaystyle{m_{AB\bot}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}} El punto medio D es,

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\displaystyle{x_{AB}=\frac{x_1+x_2}{2}}, \displaystyle{y_{AB}=\frac{y_1+y_2}{2}}. Utilizando esto, la ecuación de la mediatriz M_{AB} es, \displaystyle{y-\left(\frac{y_1+y_2}{2}\right)=-\frac{x_2+x_1}{y_2-y_1}\left(x\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\right)}. La recta M_{BC} tiene pendiente que cumple, (m_{BC})m_{bc\bot}=-1 dado que, \displaystyle{m_{BC}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}}, entonces, \displaystyle{m_{BC\bot}=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}}. El punto medio E es, \displaystyle{x_{BC}=\frac{x_2+x_3}{2}}, \displaystyle{y_{BC}=\frac{y_2+y_3}{2}}. Utilizando esto, la ecuación de la mediatriz M_{BC} es, \displaystyle{y-\left(\frac{y_2+y_3}{2}\right)=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}\left(x\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)\right)}. La recta M_{AC} tiene pendiente que cumple, (m_{AC})m_{AC\bot}=-1 dado que, \displaystyle{m_{AC}=\frac{y_1-y_3}{x_1-x_3}}, entonces, \displaystyle{m_{AC\bot}=-\frac{x_1-x_3}{y_1-y_3}}. El punto medio F es, \displaystyle{x_{AC}=\frac{x_1+x_3}{2}}, \displaystyle{y_{AC}=\frac{y_1+y_3}{2}}. Utilizando esto, la ecuación de la mediatriz M_{AC} es, \displaystyle{y-\left(\frac{y_1+y_3}{2}\right)=-\frac{x_1-x_3}{y_1-y_3}\left(x\left(\frac{x_1+x_3}{2}\right)\right)}. El punto 0(h,k) se encuentra por la solución simultánea de dos de las tres ecuaciones de las mediatrices, M_{AB}, M_{BC} y M_{AC}. 29

23. Alturas de un triángulo La altura de un triángulo con respecto de un lado del triángulo, es la distancia más corta entre la recta que contiene al lado y el vértice opuesto. Por lo tanto, un triángulo tiene tres alturas que en la figura h_A, h_B y h_C. Las alturas se interceptan en un punto llamado ortocentro que en la figura se muestra por H. Debemos comentar que en todo triángulo, al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo, y que la altura de mayor longitud es la correspondiente al lado menor del triángulo.

Para obtener la ecuación de la recta que contiene a “la altura” se tiene que considerar el punto vértice de donde se genera la altura y la pendiente de la recta que contiene a la altura, al saber que es perpendicular a la recta que contiene al segmento del lado del triángulo opuesto al vértice. Para el caso de nuestra figura, la recta H_A, el punto vértice es A(x_1,y_1), y la pendiente es, \displaystyle{m_{BC\bot}=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}}, con esto, la ecuación de la recta que contiene a esta altura es, \displaystyle{y-y_1=-\frac{x_3-x_2}{y_3-y_2}\left(x-x_1\right)}. Para encontrar la longitud de la altura se considera la ecuación de la recta del segmento contrario al vértice y en esta ecuación se aplica las coordenadas del vértice como se mostró en la fórmula de la distancia de un punto a una recta. En este caso, la ecuación de la recta del segmento \overline{BC} es, \displaystyle{y-y_2=-\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}\left(x-x_2\right)}, 30

o bien, \left(y_3-y_2\right)x-\left(x_3-x_2\right)y+\left(x_3-x_2\right)y_2-\left(y_3-y_2\right)x_2=0, al considerar esta ecuación la altura se obtiene como, \displaystyle{h_A=\frac{\left|\left(y_3-y_2\right)x_1-\left(x_3-x_2\right)y_1+\left(x_3x_2\right)y_2-\left(y_3-y_2\right)x_2\right|}{\sqrt{\left(y_3-y_2\right)^2+\left(x_3x_2\right)^2}}}, La recta H_C, el punto vértice es C(x_3,y_3), y la pendiente es, \displaystyle{m_{AB\bot}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}}, con esto, la ecuación de la recta que contiene a esta altura H_C es, \displaystyle{y-y_1=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\left(x-x_3\right)}. Para encontrar la altura h_C se considera la ecuación de la recta del segmento contrario al vértice C, y en esta ecuación se aplica las coordenadas de este vértice, como fue mostrado en la fórmula de la distancia de un punto a una recta. En este caso, la ecuación de la recta del segmento \overline{AB} es, \displaystyle{y-y_1=-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)} o bien, \left(y_2-y_1\right)x-\left(x_2-x_1\right)y+\left(x_2-x_1\right)y_1-\left(y_2-y_1\right)x_1=0, al considerar esta ecuación la altura h_C se obtiene como, \displaystyle{h_C=\frac{\left|\left(y_2-y_1\right)x_2-\left(x_2-x_1\right)y_3+\left(x_2x_1\right)y_1-\left(y_2-y_1\right)x_1\right|}{\sqrt{\left(y_2-y_1\right)^2+\left(x_2x_1\right)^2}}}. La recta H_B, el punto vértice es B(x_2,y_2), y la pendiente es, \displaystyle{m_{AC\bot}=-\frac{x_1-x_3}{y_1-y_3}}, con esto, la ecuación de la recta que contiene a esta altura H_B es, \displaystyle{y-y_2=-\frac{x_1-x_3}{y_1-y_3}\left(x-x_2\right)}. Para encontrar la altura h_B se considera la ecuación de la recta del segmento contrario al vértice B(x_2,y_2), y en esta ecuación se aplica las coordenadas de este vértice, como fue mostrado en la fórmula de la distancia de un punto a una recta. En este caso, la ecuación de la recta del segmento \overline{AC} es,

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\displaystyle{y-y_1=-\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\left(x-x_1\right)} o bien, \left(y_3-y_1\right)x-\left(x_3-x_1\right)y+\left(x_3-x_1\right)y_1-\left(y_3-y_1\right)x_1=0, al considerar esta ecuación la altura se obtiene como, \displaystyle{h_B=\frac{\left|\left(y_3-y_1\right)x_2-\left(x_3-x_1\right)y_2+\left(x_3x_1\right)y_1-\left(y_3-y_1\right)x_1\right|}{\sqrt{\left(y_3-y_1\right)^2+\left(x_3x_1\right)^2}}}. La intercepción de las alturas se puede obtener por la solución simultánea de dos de las tres ecuaciones de las rectas H_A, H_B y H_C. Debemos comentar que en un triángulo equilátero, las medianas coinciden con las mediatrices de los lados, con las alturas del triángulo, y con las bisectrices de los tres ángulos. 24. El perímetro y el área del triángulo El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. Por lo tanto, es, P=d_A+d_B+d_C. El área de un triángulo se encuentra por la conocida fórmula, \displaystyle{A=\frac{b \cdot h}{2}}, en este caso, puede ser, \displaystyle{A=\frac{d_Ah_A}{2}}, \displaystyle{A=\frac{\left(\sqrt{\left(x_3-x_2\right)^2+\left(y_3y_2\right)^2}\right)\left(\frac{\left|\left(y_3-y_2\right)x_1-\left(x_3-x_2\right)y_1+\left(x_3x_2\right)y_2-\left(y_3-y_2\right)x_2\right|}{\sqrt{\left(x_3-x_2\right)^2+\left(y_3y_2\right)^2}}\right)}{2}}, \displaystyle{A=\frac{\left|\left(y_3-y_2\right)x_1-\left(x_3-x_2\right)y_1+\left(x_3x_2\right)y_2-\left(y_3-y_2\right)x_2\right|}{2}}. O bien, al considerar d_B y h_C, o d_C y h_B, se obtiene, \displaystyle{A=\frac{\left|\left(y_3-y_1\right)x_2-\left(x_3-x_1\right)y_2+\left(x_3x_1\right)y_1-\left(y_3-y_1\right)x_1\right|}{2}}, \displaystyle{A=\frac{\left|\left(y_2-y_1\right)x_3-\left(x_2-x_1\right)y_3+\left(x_2x_1\right)y_1-\left(y_2-y_1\right)x_1\right|}{2}}.

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Con esto se ha definido las propiedades de un triángulo 25. Problemas Módulo III. Lugares geométricos I: Circunferencia y elipse En esta lección repasaremos uno de los conceptos más importantes en la geometría analítica, el de “lugar geométrico”. También con especial atención estudiaremos dos lugares geométricos notables: la circunferencia y la elipse. Así, los objetivos de la lección se pueden resumir en los siguientes tres puntos: 1. Hacer conciente el significado de ``lugar geométrico'' y el proceso para representarlo matemáticamente. 2. Revisar la representación matemática de las circunferencias utilizando la herramienta vectorial. 3. Revisar la representación matemática de las elipses utilizando la herramienta vectorial. 1.

Sobre los lugares geométricos

Una definición simple de lugar geométrico nos dice que es un conjunto de puntos que obedecen alguna restricción geométrica. Los lugares geométricos, generalmente permiten derivar relaciones matemáticas entre los puntos que los conforman y usualmente estas ecuaciones son la forma más práctica de caracterizarlos. Entonces el problema matemático asociado a este concepto es comúnmente encontrar las ecuaciones matemáticas que los definen. Supongamos ahora, como ejemplo, que se quiere encontrar la ecuación que representa al lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos A=(1,4) y B=(3,1). Para hacerlo se puede usar una construcción como la que se muestra en la figura siguiente:

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En la figura se trazaron los vectores u y v, asociándolos a los puntos A y B respectivamente. Un vector w=(x,y) que apunte a cualquier punto contenido en el lugar geométrico debe cumplir (como también puede verse en la figura) que sus distancias a los puntos A y B son iguales. Esta condición se puede expresar usando operaciones vectoriales sobre los vectores z y s, los cuales, como se observa, apuntan de D a A y de D a B respectivamente. La condición de equidistancia se puede escribir entonces así: \begin{displaymath} \vert z\vert=\vert s\vert, \end{displaymath} (1) o bien \begin{displaymath} \sqrt{z \cdot z}=\sqrt{s \cdot s} \end{displaymath} (2) que equivale a igualar los argumentos de las raíces: \begin{displaymath} z \cdot z= s \cdot s \end{displaymath} (3) Pero como podemos ver se cumple que z=u-w y s=v-w por lo que sustituyendo en 3, \begin{displaymath} (u-w) \cdot (u-w) - (v-w) \cdot (v-w) =0. \end{displaymath} (4) Esta última ecuación es la relación vectorial que obedecen los puntos del lugar geométrico. Para obtener una relación cartesiana entre sus coordenadas, sustituimos los valores de u=(1,4), v=(3,1) y w=(x,y) quedando: \begin{displaymath} (1-x)^2+(4-y)^2-(3-x)^2-(1-y)^2=0.\end{displaymath} (5) Desarrollando los binomios al cuadrado y simplificando nos lleva directamente a la ecuación: \begin{displaymath} 4x-6y+7=0, \end{displaymath} (6) que es la ecuación de la recta que se muestra en color rojo. Noten que en la construcción es posible mover el punto D arrastrándolo con el ratón y al mismo tiempo verificar que cualquier punto en la recta cumple la condición pedida. También es interesante jugar con la construcción variando A y B notando que se puede obtener la solución para cualquier par de puntos. Esto quiere decir que todas las rectas están descritas por un lugar geométrico como 34

este. En otras palabras una recta también es ``el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos''. El ejemplo tiene dos enseñanzas: primero la manera como enunciar un lugar geométrico y segundo la manera como encontrar la relación matemática que lo describe. Así el proceso para encontrar la ecuación de un lugar geométrico puede resumirse como sigue: 1. Entender la definición propuesta. 2. Traducir a una construcción geométrica (basada en vectores o en cualquier otra técnica). 3. Obtener la relación matemática más simple que describe al lugar geométrico. Esto es mediante una simplificación algebraica. Elige ahora el siguiente paso, que puede ser ir a una serie de ejercicios de práctica o de continuar con la sección de circunferencia. 2.

La circunferencia

Esta sección la empezaremos con un problema y discutiremos su solución: El problema consiste en encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que están a una distancia igual a 3 del punto A=(1,1). Construcción: Usando vectores se puede hacer la siguiente construcción:

El vector u está asociado al punto A, el vector v es apunta al punto C, el cual pertenece al lugar geométrico. El vector w va de A a C y por tanto cumple que w=v-u. La línea roja es el lugar

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geométrico buscado, que claramente es una circunferencia. Prueba a mover con el ratón el punto C, cualquier punto verifica la condición de estar a 3 unidades del punto A. Solución matemática: Cualquier punto en el lugar geométrico esta a una distancia 3 de A, esto en lenguaje de vectores se escribe así de simple: |w|=3. (7) Pero por construcción w=v-u, entonces: |v-u|=3, (8) que usando la relación entre el tamaño y el producto punto se puede escribir: \sqrt{(v-u)\cdot(v-u)}=3. (9) Elevando al cuadrado la ecuación anterior también se puede escribir así: \begin{displaymath} (v-u)\cdot(v-u)=9. \end{displaymath} (10) Esta última ecuación es la relación vectorial entre los puntos del lugar geométrico. La relación cartesiana se puede hacer sustituyendo u=(1,1) y v=(x,y) de modo que: \begin{displaymath} (x-1)^2+(y-1)^2=9. \end{displaymath} (11) Que es una relación más familiar. Prueben a mover el punto A en le construcción. Es claro que la circunferencia sigue siendo la misma pero el lugar geométrico es diferente. Sin embargo la ecuación (10) es la misma solo hay que cambiar el valor al vector u. Si este fuera un valor cualquiera u=(x_0,y_0) la ecuación cartesiana sería (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=9. (12) Finalmente la distancia de los puntos del lugar geométrico al punto A coincide con el radio de la circunferencia, si lo definimos con R entonces las ecuaciones vectoriales y cartesianas de la construcción geométrica quedarían así: 36

\begin{displaymath} (v-u)\cdot(v-u)=R^2, \end{displaymath} (13) y \begin{displaymath} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \end{displaymath} (14) En general, una circunferencia es entonces el lugar geométrico de los puntos que equidistan a una distancia R de un punto fijo llamado centro. 3.

Elipses

Esta sección se puede iniciar enunciando la definición de elipse: ``una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante''. Gráficamente la construcción siguiente muestra los puntos que forman a una elipse, definida por los puntos F1 y F2 (que son los focos) y la suma de distancia S (en este caso se escogió S=9).

Observen en la construcción geométrica lo siguiente: el valor de S puede escogerse moviendo el deslizador con el ratón, prueben cambiarlo y noten como cambia la elipse. También pueden moverse los focos para cambiar la elipse. El punto B es parte del lugar geométrico y noten que si se suman los tamaños de los vectores que lo unen con los focos u y v coincide con el valor de S. Prueben mover B y noten que la suma siempre es S. Otra observación importante es que 37

hay un valor de S debajo del cual las elipses comienzan a dibujarse como rectas por que el lugar geométrico realmente no existe. Esto sucede cuando S es menor que la distancia entre los focos. En otras palabras, la suma de las distancias de cualquier punto en la elipse a los focos debe ser siempre mayor a la distancia focal. También es importante destacar que en la elipse se pueden ver dos ejes de simetría uno en la dirección más larga y el otro perpendicular a éste. Cada uno de estos ejes divide a la figura en partes iguales. De manera natural para distinguirlos se les llama eje mayor y eje menor. Los puntos extremos de la elipse sobre los ejes se les llama vértices y el punto de intersección de ellos es el centro de la figura. Finalmente un semieje de la elipse se define como un segmento formado entre el centro y alguno de los vértices. Los vectores u y v, de la figura son la base para deducir la ecuación que describe este lugar geométrico pues su definición puede traducirse matemáticamente así: \begin{displaymath} \vert u\vert+\vert v\vert=S. \end{displaymath} (15) Pero u y v son vectores relativos entre B y los focos F1 y F2. Para medirlos desde el origen podemos usar los vectores auxiliares w, l y z, dibujados en líneas punteadas. En función de estos u=l-w y v=l-z. Noten que l=(x,y) es cualquier punto en el lugar geométrico y en general las coordenadas de los focos coinciden con w=(x_1,y_1) y z=(x_2,y_2). Entonces en general una ecuación vectorial anterior se ve así: \begin{displaymath} \vert l-w\vert+\vert l-z\vert=S, \end{displaymath} (16) o bien: \begin{displaymath} \vert(x-x_1,y-y_1)\vert+\vert(x-x_2,y-y_2)\vert=S, \end{displaymath} (17) que equivale a la siguiente ecuación cartesiana: \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=S. (18) Esta ya es la ecuación cartesiana de la elipse pero en una versión poco elegante. Para convertirla en una ecuación mas estandarizada hay que simplificar y el proceso algebraico para hacerlo implica un buen rato de algebra. El proceso consiste tomar la ecuación elevarla al cuadrado, desarrollar binomios al cuadrado, simplificar, volver a elevar al cuadrado y simplificar de nuevo. El proceso es arduo y es un buen ejercicio algebraico. Sin embargo es posible seguir un camino un poco mas heurístico partiendo de algunas simplificaciones. 38

Primero planteemos una elipse con centro en el origen como la que se muestra de rojo en la siguiente figura:

Toda elipse tiene un eje mayor y un eje menor. En este caso el eje mayor esta en dirección al eje x. Los valores a y b que se encuentran como deslizadores en la figura corresponden al valor de los semiejes, en el caso inicial a el mayor y b el menor. Si se mueven los deslizadores la elipse que se dibuja cambia e incluso a puede pasar a ser el mayor y b el menor. La construcción importante es la circunferencia azul, la cual tiene un radio que coincide con el semieje a. El vector r' describe un punto arbitrario sobre esta circunferencia, de hecho en la figura puede moverse a voluntad arrastrándolo con el ratón, por esto lo describiremos como r'=(x',y'). El vector r=(x,y) se construyó con las condiciones x'=x e y'=\frac{a}{b}y. Noten que así definido el vector r' apunta siempre a un punto en la elipse. Ahora bien, como r' apunta a la circunferencia sus coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia \begin{displaymath} x'^2+y'^2=a^2, \end{displaymath} (19) su se sustituyen las condiciones mencionadas la ecuación anterior queda: \begin{displaymath} x^2+(\frac{a}{b}y)^2=a^2, \end{displaymath} (20) que también al dividirse toda entre a^2 puede escribiese como: \begin{displaymath} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \end{displaymath} (21)

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Que corresponde a la ecuación que describe al lugar geométrico de una elipse centrada en el origen con semiejes de medida a y 0$$ kkkkk. $$r\=-2a \cos\{20\}$$, donde $$a>0$$ lllll. $$r\=-a \sin\{20\}$$, donde $$a>0$$ mmmmm. $$r\=2a \cos\{20\}$$, donde $$a>0$$ nnnnn. $$r\=\frac\{1\}\{2\}a \cos\{20\}$$, donde $$a>0$$ Una circunferencia representada por la ecuación (x-3)^2+(y+1)^2=9 tiene su centro en: ooooo. $$(-3,1)$$ ppppp. $$(3,1)$$ qqqqq. $$(-1,3)$$ rrrrr. $$(3,-1)$$ sssss. $$(-3,-1)$$ Los vértices de la hipérbola representada por la ecuación \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 son: ttttt. $$(0,-4)$$ y $$(0,4)$$ uuuuu. $$(0,3)$$ y $$(0,-3)$$ vvvvv. $$(-16,0)$$ y $$(9,0)$$ wwwww. $$(-4,0)$$ y $$(4,0)$$ xxxxx. $$(-3,0)$$ y $$(4,0)$$ La relación x^2+y^2=9 representa: yyyyy. Una parábola con vértice en el origen y foco en $$(3,0)$$. zzzzz. Una circunferencia de radio $$3$$ y centro en el origen. aaaaaa. Una circunferencia de radio $$9$$ y centro en el origen. bbbbbb. Una elipse centrada en el origen con semieje mayor igual a $$9$$. cccccc. Una parábola con vértice en el origen y foco en $$(0,3)$$. La elipse de la figura siguiente se representa por la ecuación:

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dddddd. $$x^2 /4 + y^2/9 \= 1$$ eeeeee. $$x^2 /2 + y^2/3 \= 1$$ ffffff. $$x^2 /3 + y^2/2 \= 1$$ gggggg. $$3 x^2 + 2 y^2 \= 1$$ hhhhhh. $$x^2 /9 + y^2/4 \= 1$$ 56. La ecuación que representa la siguiente gráfica es:

iiiiii. $$2x\=y^2+8y+22$$ jjjjjj. $$2x\=y^2-8y+22$$ kkkkkk. $$2x\=x^2+8x+22$$ llllll.$$x\=y^2+8y+22$$ mmmmmm. $$2x\=y^2-8y+22$$ 57. La ecuación de una circunferencia con centro en el origen y diámetro igual a 8 se representa por la ecuación: nnnnnn. $$x^2+y^2\=8$$ oooooo. $$x^2+y^2\=\sqrt\{8\}$$ pppppp. $$x^2+y^2\=16$$ qqqqqq. $$x^2+y^2\=64$$ rrrrrr. $$x^2+y^2\=4$$ 58. Determine una ecuación para la parábola con vértice en (4,-1), eje paralelo al eje y y que pasa por el origen: ssssss. $$(x-4)^2\=16(y+1)$$ tttttt. $$(x-4)^2\=16(y+1)^2$$ 82

uuuuuu. $$(x-4)^2\=16(y-1)$$ vvvvvv. $$(x-1)^2\=16(y+4)$$ wwwwww. $$(x-1)^2\=16(y-1)$$

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Ejercicios

Vectores 1. Se tiene un vector u=(3,2), ¿ Cuáles son las coordenadas al que apunta este vector si comienza del punto A=(-1,2) ? a. El punto final queda en (2,4). b. El punto final queda en (4,4). c. El punto final queda en (4,0). 2. ¿Cuáles son las coordenadas del punto final de un vector v=(3,-2) si tiene como punto inicial A=(-1,2). a. (3,-2) b. (-2,-2) c. (2,2) 3. Dos pares ordenados (a,b) y (c,d), ya sea que representen un punto o un vector son iguales entre si sólo si cumplen que a=c y b=d. De esta manera encuentra que valores de x e y cumplen que: (x-2y,2x+y)=(-1,3). a. x=-1, y=-1 b. x=1, y=1 c. x=\frac{7}{5}, y=\frac{1}{5} 4. En la siguiente construcción se tiene un vector que va del punto Q al punto R. ¿A qué punto llegaría este mismo vector si empezará del punto S?

a. (6,2) b. (-1,-2) c. (5,-4) 5. Se tiene un punto indeterminado P=(x,y), pero que cumple la condición de que el vector que va del punto A=(-1,-2) a P es igual que el vector que va de B=(2,4) a C=(8,-2). Determina las coordenadas de P y elige la opción correcta. a. P=(7,-8) b. P=(5,-8) c. P=(5,-4) 84

6. Se tienen los siguientes vectores: u=(0,1), v=(3,2) y w=(-1,4). De las opciones siguientes elige un vector t, tal que verifique la relación: w+v=t-u a. t=(2,7) b. t=(2,5) c. t=(-4,3) 7. En la siguiente construcción se tienen los puntos A, B , C y D. Si se trazan cuatro vectores entre ellos, el primero del punto A al B, el segundo de B a C, el tercero de C a D y el último de D a A, ¿cuánto vale el vector suma de estos cuatro?

8.

9.

10.

11.

a. (0,0) b. (0,1) c. (-1,0) Imagina que un avión se mueve desde su punto de despegue en línea recta recorriendo 300 Km hacia el este y 100 Km hacia el norte de su punto de partida. En ese punto vira y después de cierto tiempo, se desplaza a partir de ese punto otros 100 Km al norte y 50 Km hacia el oeste. ¿A qué distancia se encuentra el avión del punto de partida? a. 320.16km b. 403.11km c. 206.155km Una persona inicia un viaje en automóvil y llega a su destino situado a 100Km al sur. La carretera que tomó pasa por una población situada a 30Km al este y 10Km al sur del punto de partida. ¿Qué distancia, en línea recta, hay del poblado al destino final del viajero? a. distancia=94.86 Km b. distancia=114.02 Km c. distancia=130.38 Km Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A=(1,2), B=(-1,2) y C=(0,-4). De entre las opciones de abajo, escoge la que contenga tres vectores que representen los lados del triángulo y el valor de su perímetro. a. Vectores: (2,0), (-1,6) y (-1,-6), Perímetro: 14.1655. b. Vectores: (0,4), (-1,-2) y (1,-2), Perímetro: 8.47214. c. Vectores: (1,2), (-1,2) y (0,-4), Perímetro: 8.47214. Tenemos dos vectores, u=(1,2) y v=(3,1), analicen la siguiente operación, si tomamos los siguientes valores de t: t=-1, t=1 y t=\frac{1}{2}: w=u+ t v. Los valores de w correspondientes son: 85

a. w=(-2,1), w=(4,3), w=(\frac{5}{2},\frac{5}{2}) b. w=(2,-1), w=(-4,-3), w=(\frac{5}{2},\frac{5}{2}) c. w=(2,1), w=(4,-3), w=(-\frac{5}{2},\frac{5}{2}) 12. ¿Por qué escalar t hay que multiplicar un vector u=(3,-2) para obtener el vector v=(-1,2/3)? a. t=-\frac{1}{3} b. t=3 c. No existe el valor porque no apuntan en la misma dirección. 13. Se tiene un vector u=(3,2) en la construcción que se muestra. Utilizando la barra deslizadora, encuentra el valor de t necesario para que el tamaño del vector w=t u sea aproximadamente 1. Calcula el valor exacto de t utilizando las propiedades de los vectores. ¿Cuáles son los valores de t encontrados?

a. Valor aproximado: t=0.27. Valor exacto: t=0.27 b. Valor aproximado: t=0.28. Valor exacto: t=\frac{1}{\sqrt{13}} c. Valor aproximado: t=0.56. Valor exacto: t=\frac{2}{\sqrt{13}} 14. Tenemos un vector v=(4,2), de las opciones siguientes, escoge un vector w que sea unitario y que apunte en la misma dirección de v. a. w=(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}) b. w=(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}) c. w=(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}) 15. Como se mencionó en las definiciones, un vector es perpendicular a otro si su producto punto es igual a cero, pues esto indica que el ángulo entre ellos es de 90^\circ (o \pi/2 radianes). En la siguiente construcción, encuentra un vector perpendicular a u=(1.5,1) usando los vectores i=(1,0) y j=(0,1) y las operaciones vectoriales (producto punto, producto escalar y suma de vectores). ¿Cuál de las siguientes expresiones es adecuada para esta relación y cuál es el valor de un vector perpendicular a u?

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a. Expresión: (u \cdot j) i + (u \cdot i) j. Valor: (1,1.5). b. Expresión: -(u \cdot j) i + (u \cdot i) j. Valor: (-1,1.5). c. Expresión: (u \cdot i) i + (u \cdot j) j. Valor: (1.5,1).

Puntos y rectas 1. Si A(8,10) y B(4,2) son puntos extremos del Segmento dirigido AB. Hallar las coordenadas del punto C(x,y) que divide a este segmento en la razón AC/CB=\frac{2}{3}.

a. C(6,6) b. C(\frac{32}{5},\frac{34}{5}) c. C(\frac{64}{5},\frac{40}{5}) 2. Si A(5,0) y B(-1,3) son puntos extremos del Segmento dirigido AB. ¿Cuáles son las coordenadas del punto C(x,y) que divide a este segmento en la razón AC/CB=-4?

a. C(-3,4) b. C(\frac{2}{-3},\frac{1}{-3}) c. C(1,2) 87

Lugares geométricos I 1. Obtenga y seleccione la ecuación cartesiana del lugar geométrico de todos los puntos H=(x,y) tales que la pendiente del segmento que conecta a cada punto de H con S=(1,1) es la mitad de la pendiente del segmento que los conecta con T=(2,5). a. y=\frac{1-3x}{x+3} b. y=\frac{x+3}{x-3} c. y=\frac{1+3x}{x-3} 2. Calcula y elige la ecuación que representa el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a la recta definida por la ecuación cartesiana y=x y al punto F=(-1,1) son siempre iguales. a. 2 + 2 x + \frac{x^2}{2} - 2 y + x y + \frac{y^2}{2}=0 b. 2 + 2 x - 2 y + 2 x y=0 c. 2 + 2 x + \frac{x^2}{2} - 2 y - x y + \frac{y^2}{2}=0 3. Obtenga una ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos tales que el segmento que va de cualquier punto de P=(x,y) a A=(-2,0) es perpendicular al segmento que va del punto a B=(2,0). a. x^{2}+ y^{2}=4 b. x + y=4 c. x^2 + y^2 =2 4. Una circunferencia pasa por los puntos A=(0,0), B=(7,0) y C=(3.5,3). Usando geogebra determina la ecuación cartesiana de la circunferencia que pasa por ellos. a. (x-3.5)^2+(y+0.54)^2=12.54 b. (x-3.5)^2+(y+0.04)^2=12.25 c. (x-0.04)^2+(y-3.5)^2=12.25 5. Determina y elige el centro y el radio de la circunferencia descrita por la ecuación cartesiana x^2+y^2+4x-9y=0 a. Centro=(-2,4.5), Radio=4.92 b. Centro=(2,-4.5), Radio=24.25 c. Centro=(2,4.5), Radio=24.25 6. Elije la ecuación vectorial de la recta que es tangente en el punto A=(6,-4) a la circunferencia cuya ecuación es: x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 a. (x,y)=(6,-4)+t(3,4) b. (x,y)=(6,-4)+t(-3,4) c. (x,y)=(2,-1)+t(4,-3) 7. Determinación de los focos de la elipse. Se tiene una elipse descrita por la ecuación: \begin{displaymath} \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1, \end{displaymath} por lo que su centro está en (0,0) y sus semiejes valen a=2 y b=5. ¿Cuánto valen las coordenadas de los focos de la elipse? a. F1=(0,\sqrt{21}) y F2=(0,-\sqrt{21}) b. F1=(\sqrt{21},0) y F2=(-\sqrt{21},0) c. F1=(\sqrt{25},0) y F2=(-\sqrt{25},0)

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8. El lado recto de una elipse es un segmento que se forma con los dos puntos de intersección de la elipse con una recta perpendicular al eje mayor que pasa por un foco. Traducido a un dibujo esta definición se muestra en la figura que sigue, donde los lados rectos se trazaron en color rojo:

Es claro que toda elipse tiene dos lados rectos cuyo tamaño es igual. El problema dice así: ¿cuánto vale el tamaño del lado recto de una elipse descrita por la ecuación: \begin{displaymath} \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1 \end{displaymath}? a. 16/3 b. 8/3 c. 4/2 9. Escoge el valor del lado recto de una elipse que tiene focos en (2,2) y (5,2) y tiene un vértice en (0,2). a. 5.71 b. 2.85 c. 11.42

Lugares geométricos II 1. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco F(2,0), y cuál es la ecuación de su directriz? a. Parábola: y^2=8x, Directriz: x=-2. ¿Cómo se hace? Sabemos que: \left|\left(x,y\right)-\left(2,0\right)\right|=\left|\left(x,y\right)-\left(-2,y\right)\right|, \left|\left(x-2,y\right)\right|=\left|\left(x+2,0\right)\right|, \sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y\right)^2}=\sqrt{\left(x+2\right)^2}, \left(x-2\right)^2+y^2}=\left(x+2\right)^2, 4-4x+x^2+y^2= 4+4x+x^2, y^2=8 x.

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2. Calcule las coordenadas del foco, obtenga una ecuación cartesiana de la directriz y de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos S(-5,5), T(-5,-5). a. Parábola: y^2=-5x, Directriz: x=1.25 ¿Cómo se hace? Al graficar S y T nos damos cuenta que el eje de la parábola debe ser el eje x, y como la parábola tiene vértice en el origen, entonces debe abrir hacia la izquierda. Por lo que sabemos que su ecuación es de la forma y^2=4px. Por lo tanto la parábola tiene foco F\left(\frac{-25}{20},0\right) y directriz x=\frac{25}{20}. De donde se deduce que su ecuación es y^2=-5x.

3. Emplea la definición de la parábola para obtener una ecuación cartesiana de la parábola con foco F(-2,-5) y directriz y=-4. a. Parábola: x^2=-4x-2y-13. ¿Cómo se hace? Un punto U(x,y) está sobre la parábola si: |u-f|=|u-w| |(x,y)-(-2,-5)|=|(x,y)-(x,-4)|, |(x+2,y+5)|=|(x-x,y+4)|, \sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2} =\sqrt{(y+4)^2}, (x+2)^2+(y+5)^2}=(y+4)^2, 4+4x+x^2+25+10y+y^2=16+8y+y^2, 90

x^2=-4x-2y-13.

4. Cuando se arroja una piedra desde un punto A, la piedra viaja aproximadamente a lo largo de un arco parabólico con eje vertical. Si se arroja la piedra en una dirección que forma un ángulo de 45^\circ con la horizontal, entonces el foco de la parábola está sobre una recta horizontal que pasa por A.

Supongamos que una piedra que se lanza con este ángulo de elevación llega a una altura máxima de 40m. ¿Qué distancia recorre la piedra horizontalmente hasta el momento de alcanzar una altura igual a la del punto A? a. 80m. ¿Cómo se hace? Primero notemos que lo que deseamos es calcular la distancia entre los puntos A y B. Este segmento que es perpendicular al eje focal de la parábola, cuyo punto medio es el foco y cuyos extremos A y B, están sobre la parábola es el lado recto, y su longitud se llama ancho focal y mide |4p|. De esta manera. La ecuación de la parábola que describe la piedra lanzada es x^2=4py, donde p<0. Entonces en y=p, x=\pm|2p|, por lo que la distancia entre A y B, la distancia horizontal que recorre la piedra es de 160m. 5. Calcula la ecuación de la hipérbola con focos F1(0,5) y F2(0,-5); y con vértices V1(0,4) y V2(0,4). a. \displaystyle{\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1}. ¿Cómo se hace?

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Observando la figura notamos que un punto U con coordenadas (x,y) está sobre la hipérbola si cumple con: \left\|U-F1\right\|-\left\|U-F2\right\|=2ª \left\|\left(x,y\right)-\left(0,5)\right\|-\left\|\left(x,y\right)-\left(0,-5\right)\right\|=8 \left\|\left(x,y-5\right)\right\|-\left\|\left(x,y+5\right)\right\|=8 \sqrt{x^2+\left(y-5\right)^2}-\sqrt{x^2+\left(y+5\right)^2}=8 Con un poco de álgebra obtenemos que la ecuación es: \displaystyle{\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1} 6. Obtén la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y cuya longitud del eje conjugado es 2a=10, y del eje transversal es 2b=8, y con eje principal el eje x. a. \displaystyle{\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1}. ¿Cómo se hace? Puesto que la longitud del eje conjugado es 10, la parábola tiene su centro en el origen y eje principal el eje x, las coordenadas de sus vértices son: (-5,0) y (5,0). Por otra parte sabemos que la longitud del eje transversal es 8, por lo que b=4. Por tanto la ecuación es: \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1. La hipérbola se ve como en la figura.

7. Calcula las coordenadas de los vértices y los focos de la hipérbola con ecuación \frac{x2}{25} \frac{y2}{9}=1. a. De la ecuación deducimos que a=5 y b=3. Por lo que las coordenadas de los vértices son (-5,0) y (5,0). Por otra parte, como c^2=b^2-a^2, entonces c^2=34, y las coordenadas de los focos son (-\sqrt{34},0) y (\sqrt{34},0).

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8. Obtén la ecuación cartesiana de la hipérbola con centro en el origen, cuyos focos son F1(4,0) y F2(-4,0), y que pasa por el punto S(14,24). a. \displaystyle{\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1}. ¿Cómo se hace? Sabemos que: \left\|u-f1\right\|-\left\|u-f2\right\|=2ª \left\|(14,24)-(4,0)\right\|-\left\|(14,24)-(-4,0)\right\| \left\|(10,24)\right\|-\left\|(18,24)\right\|=4 Por lo tanto a=2. Por otra parte sabemos que: b^2=c^2-a^2, y de las coordenadas de los focos sabemos que c=4. Por lo tanto b^2=c^2-a^2=16-4=12. De donde concluimos que la ecuación de la hipérbola es: : \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1.

Coordenadas Polares 1. Se tiene un vector u=(1,-1), ¿Cuál es su representación en coordenadas polares si se usan ángulos en radianes medidos de 0 a 2\pi? a. u_\alpha=(\sqrt{2},\frac{7}{4} \pi) b. u_\alpha=(2,\frac{1}{4} \pi) c. u_\theta=(\sqrt{2},\frac{3}{4} \pi) 2. Se tiene un vector v=(-2,3), ¿Cuál es su representación en coordenadas polares si se usan ángulos en grados medidos de 0^\circ a 360^\circ? a. v_\alpha=(\sqrt{13},123.69^\circ) b. v_\alpha=(13,303.69^\circ) c. v_\alpha=(\sqrt{13},-123.69^\circ) 3. Utilizando las relaciones entre coordenadas polares y cartesianas, transforma la ecuación y=x+1 a una ecuación polar de la forma R=f(\alpha) y elige la respuesta correcta. a. R=\frac{1}{\sin \alpha-\cos\alpha} b. R=\frac{1}{\sin \alpha +\cos\alpha} c. R=-\frac{1}{\sin \alpha +\cos\alpha} 4. Transforme la ecuación polar R=\dfrac{1}{1-\cos\alpha} a una ecuación cartesiana y seleccione la solución correcta de las opciones que se muestran. a. y^{2}=2x+1 93

b. y=2x^2+1 c. y^{2}=-2x-1 5. Si se tiene un vector en coordenadas polares descrito por u_\alpha=(3 + 3 \sin \alpha, \alpha), de las opciones siguientes ¿qué gráfica se obtendrá si variamos \alpha entre 0 y 2 \pi radianes?

a.

b.

c. 6. Siguiendo el razonamiento presentado para la elipse selecciona ahora la ecuación correcta en coordenadas polares que describe a la hipérbola que tiene los focos en F1=(0,0) y F2=(4,0) y tiene sus vértices en (1,0) y (3,0). a. \begin{displaymath} R=\frac{3}{1+2 \cos \alpha } \end{displaymath} b. \begin{displaymath} R=\frac{2}{1-3 \cos \alpha } \end{displaymath} c. \begin{displaymath} R=\frac{3}{1-2 \cos \alpha } \end{displaymath} 7. Aplicando los razonamientos anteriores ahora determina y selecciona la ecuación polar de una parábola con foco en F=(0,0) y vértice en V=(2,0). a. \begin{displaymath} R=\frac{4}{1+\cos \alpha}. \end{displaymath} b. \begin{displaymath} R=\frac{4}{1-\cos \alpha}. \end{displaymath} c. \begin{displaymath} R=\frac{1}{1+4\cos \alpha}. \end{displaymath} 8. Finalmente, calcula y elige la ecuación polar de la circunferencia centrada en el origen y de radio igual a l. a. R=l b. R=l \cos \alpha c. R=l \sin \alpha 9. Se sabe que la trayectoria del cometa Halley tiene una excentricidad de e= 0.967990 y su afelio vale 35.1 UA (unidades astronómicas), ¿Cuánto vale el lado recto de su trayectoria? a. Lado recto=2.2471 UA. b. Lado recto=69.0764 UA 94

c. Lado recto= 1.12355 UA 10. Halla la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F1=(0, 0) y F2=(10, 0), y 6 como diferencia absoluta de las distancias a los focos. a. excentricidad=\frac{5}{3} b. excentricidad=\frac{10}{3} c. excentricidad=\frac{6}{10} 11. ¿Cuál será la excentricidad de una elipse representada por la ecuación cartesiana: \frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{81}=1 ? a. e=\frac{\sqrt{7}}{8} b. e=\frac{12}{3\sqrt{7}} c. e=\frac{3\sqrt{7}}{12} 12. Se tiene la ecuación cartesiana de una cónica: \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1. Selecciona una ecuación polar de una cónica idéntica pero con un foco en el origen. a. R=\frac{1.33}{1-1.2 \cos \alpha} b. R=\frac{2.67}{1-0.36 \cos \alpha} c. R=\frac{1.33}{1-2.67 \cos \alpha}

Ejercicios de Aplicación 1. El arco de un puente con una luz de 6m y una altura de 5m tiene una forma semielíptica. Un camión de carga con una altura de 4m desea pasar por abajo. ¿Cuál es el ancho máximo permitido para el camión? a. 4.8 m b. 3.6 m c. 3.4 m d. 4.9 m 2. Un jardinero quiere trazar una elipse que tenga de ancho 6m, ayudado con un lazo y dos estacas. Las estacas las coloca en los focos separados entre sí 7m. ¿Cuál es la longitud del lazo? a. 9.34 m b. 13.36 m c. 9.22 m d. 9.64 m 3. La órbita del satélite Morelos alrededor de la Tierra tiene forma elíptica con respecto a ella en uno de sus focos. Si la máxima y la mínima distancia del satélite a la Tierra es de 800 y 400 kilómetros, respectivamente, ¿Cuál es la excentricidad de la órbita? a. 0.353 b. 0.234 c. 0.333 d. 0.345 4. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y están separados una distancia de 500m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10m sobre la calzada del puente. 95

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Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar la ecuación de esta. Calcular la altura de un punto situado a 80m del centro del puente. a. x^2-1250y+12500=0; 15.12m b. x^2-125y+125=0; 15.12m c. x^2-1250y+12500=0; 17m d. x^2-125y+125=0; 17m Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 185m de altura con una velocidad de 15m/s. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre suponiendo que el suelo es horizontal. a. 92.5m b. 95.2m c. 90m d. 98.5m Un avión que vuela hacia el Sur a una altura de 1.500m y a una velocidad de 200km/h deja caer una bomba. Calcular la distancia horizontal del punto de caída a la vertical del punto de lanzamiento. a. 972m b. 927m c. 729m d. 792m Un arco parabólico tiene una altura de 25m y una luz de 40m. Hallar la altura de los puntos del arco situados 8m a ambos lados de su centro. a. 21m b. 12m c. 25m d. 18m Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 150m siendo su máxima altura de 45m. Hallar la longitud de dos soportes verticales situados cada uno a igual distancia del extremo del arco. a. y=30\sqrt{2} metros. b. y=1800 metros. c. y=225\sqrt{8} metros. d. y=25\sqrt{2} metros. La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en un de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1485\times10^8km y que la excentricidad es, aproximadamente, 1/62, hallar la máxima y la mínima distancias de la Tierra al Sol. a. Max: 1509\times10^8 km, Min: 1461\times10^8 km b. Max: 1590\times10^8 km, Min: 1641\times10^8 km c. Max: 2400\times10^8 km, Min: 1485\times10^8 km d. Max: 1950\times10^8 km, Min: 1485\times10^8 km 96

10. Se lanza un proyectil desde un punto A con una velocidad inicial de 1000m/s formando un ángulo de 35° con la horizontal. Hallar el alcance del proyectil y la duración de la trayectoria. a. 95800m, 118s. b. 9580m, 181s. c. 9058m, 118s. d. 98050m, 181s. 11. Hallar el ángulo con el que se debe lanzar un proyectil a una velocidad de 400m/s para que su alcance sea de 12000m. Hallar, asimismo, la duración de la trayectoria. a. 23° 42’; 32.8s. b. 23° 24’; 23.8s. c. 24° 43’; 38.2s. d. 32° 24’; 32.8s. 12. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 60° y una velocidad inicial de 800m/s. Hallar el alcance y el vértice de la trayectoria. a. 56500m, 25000m. b. 565m, 250m. c. 55600m, 23000m. d. 556m, 23m.

Tangentes a cónicas 1. Usando geogebra, o por inspección, obtenga una ecuación de la tangente a la grafica de 3x^{2} + 4y^{2} + 2x - 3y=0 en el origen. Elija la respuesta correcta entre las opciones que se dan. a. 2x-3y=0 b. x-3y=0 c. x-y=0 2. Aplica la idea del problema anterior para obtener la ecuación de la recta que es tangente en el punto S=(2,-1) a la elipse cuya ecuación es x^{2}+4y^{2}=8. a. x-2y-4=0 b. x - 2y=0 c. 2 x - y=0 3. Se tiene una elipse descrita por la ecuación 4x^2+2y^2=1 y un punto R=(1,1) fuera de ella. Existen dos rectas tangentes a la elipse que pasan por R. Calcula, usando geogebra las coordenadas de los dos puntos donde cada tangente toca a la elipse y elige la respuesta correcta. a. los puntos son: (-0.1,0.69) y (0.43,-0.36) b. los puntos son: (0.1,0.7) y (0.4,0.4) c. los puntos son: (-0.1,0.7) y (0.4,-0.3) 4. Dos rectas que pasan por le punto R=(-3,4) son tangentes a la parábola cuya ecuación es y^{2}=16x. Calcula y elige las ecuaciones correctas de estas rectas. a. 2x-3y+18=0 y 2x+y+2=0 b. 3x-2y+18=0 y x+2y+2=0 97

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c. 3x-2y-18=0 y x+2y-2=0 La ecuación de la tangente a la curva 4x^2+6y^2-24=0 en el punto A=(0,2) tiene la forma y=mx+2. Si se resuelven simultáneamente ambas ecuaciones ¿cuál es el valor del discriminante de las soluciones en x? a. El discriminante es: 576m^2 b. El discriminante es: 576m^2-4(4+6m^2). c. El discriminante es: 24m. Obtener la ecuación de la tangente en el punto S=(3,4) a la hipérbola cuya ecuación es x^{2}\frac{y^{2}}{2}=1, y elegir entre las opciones la correcta. a. 3x-2y-1=0 b. 3x-2y=0 c. 3y-2x-1=0 Usando geogebra determina la ecuación de la tangente a la cónica 3x^2 - 9x y - y^2 + x - y = 2 en el punto A=(-1,0) y selecciónala entre las opciones que se dan. a. -5x+8y=5 b. -2x+4y=2 c. -2.5y+4x=2.5 Utilizando el método diferencial encuentra la pendiente m de la tangente a la ecuación 6x^22x+6y+12=0 en un punto arbitrario (x_0,y_0) sobre ella. a. m=-\frac{6x_0-1}{3} b. m=-\frac{3}{6x_0-2} c. m=\frac{3}{12x_0-2} Se tiene una cónica representada por la ecuación x^2 + x y + y^2 + 2x + 4y+1 =0. También se sabe que el punto A=(0,-2+\sqrt{3}) está en la cónica. De entre las opciones siguientes escoge la que contenga la información correcta. a. La cónica es una elipse y la pendiente de su tangente en A vale: m=-\frac{1}{2} b. La cónica es una elipse y la pendiente de su tangente en A vale: m=-0.5029 c. La cónica es una hipérbola y la pendiente de su tangente en A vale: m=2 Dos cónicas con ecuaciones y^2=4x+3 y \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1 se intersectan. El ángulo de intersección entre ambas curvas se define como el ángulo que forman las dos rectas tangentes a ellas en el punto de intersección. Usando GeoGebra encuentra el ángulo de intersección entre ellas y selecciona la respuesta correcta. a. 127.46^\circ b. 197.46^\circ c. 297.46^\circ

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