Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.

4.1 - 1

Ejemplo de repaso Use la siguiente distribución de probabilidad para contestar las preguntas. a. P(x = 2) = X

P(x)

0

0.22

1

0.08

2

b. P(x < 3) = P(0) + P(1) + P(2)

?

3

0.35

4

0.15

5

0.15

c. P(x ≠ 3) = 1 – P(3) d. P(x < 5) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) = 0.85

e. P(x es al menos 2) =

P(2) + P(3) + P(4) + P(5)

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4.1 - 2

Criterios para un experimento de probabilidad binomial

Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.

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6-3

Notación usada en la distribución de probabilidad binomial

• Número de ensayos independientes del experimento se denota n • Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso. • Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces los valores posibles de x están entre 0,1,2, …, n. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

6-4

EJEMPLO

Indique si el experimento es binomial o no

(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.

Solución:

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6-5

EJEMPLO

Indique si el experimento es binomial o no

(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Solución:

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La distribución de probabilidad binomial usando un árbol En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron.

Solución: X es una variable aleatoria discreta. número de ensayos = 3 P(copia)= 0.8 P(no-copia)= 0.2

(cont.) P(éxito)= 0.8 P(no-éxito)= 0.2 valor de X 3 CCC

CC𝐂 C𝐂C C𝐂𝐂 𝐂CC

2

𝐂𝑪𝐂 𝐂𝐂C

1 1 0

𝐂𝑪𝐂

2 1 2

• La distribución de probabilidad para X es: X

P(x)

0 1 2 3

0.128+0.128+0.128= 0.384

La distribución de probabilidad binomial con fórmula La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es 𝑃 𝑥 = ( 𝑛𝐶𝑥 )( 𝑝 𝑥 ) 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 donde • x = 0, 1, 2, …, n • p es la probabilidad de éxito • 𝒏 𝑪𝒙 es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

6-9

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles.

(a) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos? n = 20, x = 5, p = 0.35, 1-p = 0.65

𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝

𝑛−𝑥

Interpretación: • La probabilidad de elegir aleatoriamente exactamente 5 hogares con al menos 3 autos es 0.1272 • Si se eligen 5 hogares en 100 ensayos diferentes, se espera que en aproximadamente 13 ensayos se encontrarán 5 hogares que poseen al menos de 3 autos. 6-10

EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ? 𝑃 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 𝑃 𝑋