ECUACIONES

1º BCT

10. INECUACIONES

Definición de inecuación Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Ejemplos: 2x + 3 < 5

;

2

x – 5x > 6 ;

x ≥0 x −1

Inecuaciones equivalentes Dos inecuaciones se dice que son equivalentes cuando ambas tienen las mismas soluciones. Ejemplos: x+3>5 y mayores que 2

2x > 4

son equivalentes, ambas tienen como solución todos los números

Criterios de equivalencias 1º criterio: Suma de un número o una expresión algebraica.

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene una inecuación equivalente a la primera. Consecuencias: Trasposición de términos: Si en una ecuación se pasa un término de un miembro a otro, cambiándole de signo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Simplificación de términos iguales: Si los dos miembros de una inecuación tienen dos términos iguales, y con el mismo signo, pueden suprimirse sin que varíen las soluciones. 2º criterio: Producto por un número.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un mismo número positivo, resulta otra inecuación equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un mismo número negativo, resulta otra inecuación equivalente a la dada cambiando el sentido de la desigualdad. Consecuencias: Si cambiamos de signo todos los téminos de la inecuación, cambia el sentido de la desigualdad.

Resolver una inecuación es hallar los valores que satisfacen la desigualdad.

Luisa Muñoz

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Resolución de inecuaciones de primer grado. Dada una inecuación de primer grado hay que transformarla, mediante los criterios de equivalencia, a la forma: ax < b ax < b ⇒

b  x < a , si a > 0    b x > , si a < 0 a 

Si a = 0 , no se puede despejar la incógnita; la inecuación tendrá como solución todos los valores reales (si la desigualdad final es cierta) o ningun valor ( si la desigualdad final es falsa). La solución de una inecuación de primer grado con una incógnita es siempre una semirrecta, es decir, un intervalo no acotado, cerrado por el extremo finito si el operador es ≤ o ≥ o abierto si es < o >. Los pasos que se siguen para resolver una inecuación de primer grado son los mismos que empleamos en la resolución de ecuaciones de primer grado; sólo hay que tener en cuenta el cambio de sentido de la desigualdad al multiplicar la inecuación por un númer negativo. Ejemplos: 1) 3x + 1 > 2x + 5 3x – 2x > 5 – 1 → x > 4 2) x + 2 ≥ 6(x + 1) – (3 + 5x) x + 2 ≥ 6x + 6 – 3 – 5x → x – 6x + 5x ≥ 6 – 3 – 2 → 0x ≥ 1 → 0 ≥ 1 Esta desigualdad numérica no se cumple para ningún valor real. Luego inecuación no tiene solución. 3) x + 2 + 5x – 3 > 6(x – 2) x + 2 + 5x – 3 > 6x – 12 → 0x > -11 → 0 > -11 Esta desigualdad se cumple para cualquier valor real. Luego la solución de la inecuación es todo R.

4)

3x +1 5x + 2 ≥ 2 3 3 (3x + 1) ≥ 2 (5x + 2) → 9x + 3 ≥ 10x + 4 → 3 – 4 ≥ 10x – 9x → -1 ≥ x ó x ≤ -1

5)

x x +1 + − x+2< 0 2 7 7x + 2(x + 1) – 14x + 28 < 0 → 30 < 5x → 6 < x ó x > 6

6)

x − 3 2x − 5 x − 3 ≤ − 4 6 20 m.c.m. (4, 6, 20 ) =60, multiplicando la inecuación por 60, se tiene: 15x – 45 ≤ 20x – 50 – 3x + 9 ⇒ -2x ≤ 4 ⇒ 2x ≥ -4 ⇒ x ≥ -2

Luisa Muñoz

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Resolución de inecuaciones polinómicas En el caso de poder descomponer el primer miembro en factores de primer grado, podemos reducirnos al estudio de inecuaciones de primer grado. Los pasos que vamos a seguir son: 1º.- Transformar la inecuación en otra equivalente de la forma ax2 + bx + c>0 (o bien, ax2 + bx + c0 2

Las soluciones de la ecuación x – 5x + 4 = 0 son x1 = 4 , x2 = 1. Podríamos expresar la inecuación de la siguiente forma: (x- 4)(x – 1)>0. La inecuación es cierta cuando los dos factores son positivos o son negativos. Estudiamos por separado el signo de cada factor: x–4>0⇒x>4 x–40 ⇒x >1

x-4>0

x–10

Contrastando las dos gráficas, se obtiene rápidamente la solución de la inecuación: x–4

–

–

+

x–1

–

+

+

(x – 1)(x – 4)

1

+

4

–

+

La solución está formada por los valores de x < 1 y x > 4, es decir, el intervalo (- ∞, 1) ∪ (4, +∞)

2

2.- Resolver la inecuación: x + 3 ≤ 4x 2

En primer lugar transformamos la inecuación a su forma general, x – 4x + 3 ≤ 0 2

Calculamos las raíces de la ecuación asociada: x – 4x + 3 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3 x–1 x-3

– –

+ –

+ +

1

-∞

+∞

3

(x –1)(x –3)

+

–

+

Intervalos

(- ∞, 1)

(1, 3)

(3, +∞)

SOLUCIÓN [1,3]

Para determinar el signo en cada intervalo se puede tomar cualquier valor y ciomprobar el signo. Para x = 0 ⇒ x – 1 < 0, x – 3 < 0

ya que 0 – 1 = -1 , 0 – 3 = -3

Para x = 2 ⇒ x – 1 > 0, x – 3 < 0

ya que 2 – 1 = 1 , 2 – 3 = -1

Para x = 9 ⇒ x – 1 > 0, x – 3 > 0 ya que 9 – 1 = 8 , 9 – 3 = 6

Luisa Muñoz

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Resolución de inecuaciones fraccionarias El procedimiento anterior se puede aplicar en este caso: 1º. Determinamos las raíces de los polinomios del numerador y del denominador. 2º. Representamos estos valores sobre la recta real y se estudia el signo de cada factor en cada uno de los intervalos obtenidos. De seta forma se tendrá el signo de la inecuación en cada uno de ellos. Importante: En este tipo de inecuaciones siempre hay que excluir como solución aquellos valores reales que anulen el denominador, es decir, las raices de la ecuación asociada al denominador. Ejemplos: x −7 ≤0 x+4

1.- Resuelve la inecuación:

Estudiamos el signo de cada factor: x–7>0⇒x>7 x–7 0 ⇒ x > -4 x-7>0

x+40

Contrastando las dos gráficas, se obtiene rápidamente la solución de la inecuación: x–7

–

–

+

x+4

–

+

+

-4

-∞

+∞

7

x−7 x+4

+

–

+

Intervalos

(- ∞, -4)

(-4, 7)

(7, +∞)

SOLUCIÓN (-4,7]

El valor -4 queda excluido porque para este valor no está definido el cociente

2.- Resuelve la inecuación:

x2 − 9 ≥0 x +1

En primer lugar calculamos las raíces del numerador y del denominador. x – 9 = 0 ⇒ x = ±3 2

x + 1 = 0 ⇒ x = -1 ( Este valor queda excluído como solución de la ecuación) x+3 x+1 x-3

– – –

– – + -3

-∞

– + + -1

+ + + +∞

3

x −9 x +1

–

+

–

Intervalos

(- ∞, -3)

(-3, -1)

(-1, 3)

2

+

SOLUCIÓN [-3,-1) ∪ [ 3, +∞)

( 3, +∞)

Este mismo proceso se extiende a tres o más factores. Si uno de los factores siempre toma valores positivos, puede eliminarse: x (x – 1) > 0 ⇔ x – 1 > 0 2

Luisa Muñoz

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Resolución de sistemas inecuaciones con una incógnita En ocasiones nos podemos encontrar con situaciones en que se necesiten obtener valores que cumplan más de una inecuación a la vez. Llamamos sistema de inecuaciones con una incógnita a un conjunto de dos o más inecuaciones que deben verificarse a la vez por los mismos valores de la incógnita. Estos valores son las soluciones del sistema. Resolver un sistema de dos o más inecuaciones consiste en encontrar los valores de la incógnita que verifiquen a la vez todas las inecuaciones. El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. - Resolver cada inecuación por separado 2. - Representar en la misma recta el conjunto solución de cada inecuación 3. - Determinamos las soluciones comunes a dichos conjuntos.

Ejemplos:  x > −3 1.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:  x ≤ 2 La solución sería los valores mayores que –3 y menores o iguales que 2, es decir, el conjunto (-3, 2]

2.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

 x 2 − 5 x − 6 ≤ 0   2 x − 4 ≤ x Resolvemos cada inecuación: 2

x – 5x – 6 ≤ 0 ⇒ Solución: [-1,6]

-1

4

6

2x – 4 < x ⇒ x < 4 ⇒ x < 4 ⇒ Solución: (-∞, 4) Luego, la solución del sistema es [-1,4)

3.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 3 < 2x + 1 ≤ 5

2x + 1 > 3 Esta desigualdad doble se puede desdoblar en dos:  2x + 1 ≤ 5 2x + 1 > 3 ⇒ 2x > 2 ⇒ x > 1 ⇒ Solución: ( 1, +∞)

1

2

2x + 1 ≤ 5 ⇒ 2x ≤ 4 ⇒ x ≤ 2 ⇒ Solución: (-∞, 2] Luego, la solución del sistema es (1,2]

Luisa Muñoz

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