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1. [ANDA] [EXT-A] En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días 11t+17 trabajados según la función M(t) = , t  1, donde t es el número de días trabajados. 2t+12 a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuantos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. d) Dibuje la gráfica de la función. x2-bx+1 si x  2 . 2x+a si x > 2 a) Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2 y, además, tenga un mínimo en x = 1. b) Para a = 2 y b = 6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = -2.

2. [ANDA] [EXT-B] Sea la función f(x) =

3. [ANDA] [JUN-A] Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función: t3 - 3t2 + 9t , 0  t  8 4 donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación. a) Estudie la monotonía y los extremos de B(t). b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0,8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia. B(t) =

4. [ANDA] [JUN-B] Sea f(x) una función cuya función derivada, f'(x), tiene por gráfica una parábola que corta el eje OX en los puntos (-1,0) y (5,0) y con vértice (2,-4). a) Estudie razonadamente la monotonía de f(x). b) Determine las abscisas de los extremos relativos de la función f(x). c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2, sabiendo que f(2) = 5. 5. [ARAG] [EXT-A] Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 1000 euros y menor o igual que 9000 euros. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida x de la siguiente manera: x-1 si 1  x < 4 B(x) = 2 -x +10x-21 si 4  x  9 donde tanto x como B(x) están expresados en miles de euros. a) Estudiar la continuidad de la función B en el intervalo (1,9). b) ¿Para qué valores de x[1,9] el beneficio es positivo? c) Encontrar el máximo valor que alcanza el beneficio con x[4,9].

6. [ARAG] [JUN-B] Dada la función f(x) =

x+2 , determinar: x+1

a) Su dominio. b) Sus cortes con los ejes. c) Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7. [ASTU] [EXT-A] Se lanza una pelota hacia arriba desde lo alto de una torre. La trayectoria que describe la pelota viene dada por la siguiente expresión (f(x) representa la altura a la que se encuentra la pelota, en metros, y x es el tiempo transcurrido, en segundos, desde su lanzamiento): f(x) = 20x-5x2+60, x  0. a) Dibuja la gráfica de la función f. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace? b) ¿Desde qué altura se lanza la pelota? ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en caer al suelo? 8. [ASTU] [JUN-A] La temperatura de un horno viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo que lleva encendido

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(f(x) representa la temperatura en ºC a los x minutos): 900x+200 , x > 0. x+10 a) Representa gráficamente la función f. ¿Disminuye la temperatura del horno en algún instante? b) Sabiendo que los materiales del horno se deterioran si éste alcanza lso 1000ºC, ¿habría que apagar el horno en algún momento para que no sufra daños? f(x) =

9. [C-LE] [EXT-A] Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3600 libros a dos bibliotecas A y B. En las instrucciones de donación, deja fijado que los lotes de libros se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B sea máximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada bilbioteca. x si x  2 x-2 0 si x = 2 a) Halla el valor de a para el que la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (0,3) es m = 1. b) Para a = 1, estudia la continuidad de la función f(x) y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

10. [C-LE] [EXT-B] Sea la función f(x) =

ax+3+

11. [C-LE] [JUN-A] Un estudio realizado por una empresa de producción de películas de acción prueba que el coste anual (en millones 2x2+60x+800 , donde 100x x > 0 es el número de actores contratados. Calcula el número de actores secundarios contratados que hace mínimo el coste de contratación. ¿A qué cantidad asciende ese coste mínimo?

de euros) de contratación de los actores secundarios que utiliza en sus películas sigue la función f(x) =

12. [C-MA] [EXT-A] a) Calcula el valor del parámetro a para que la función f(x) = ax3+3x2-12x+5 tenga un mínimo en el punto de abscisa x = 1. b) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, halla el máximo relativo de la función anterior.

13. [C-MA] [EXT-B] Se considera la función f(x) =

x2+x+1 si x < 1 0 si x = 1 (x-2)2+2 si x > 1

a) Estudia su continuidad de x = 1. b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (-,1). c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (-,1). 14. [C-MA] [EXT-B] El ruido, medido en decibelios, producido por la música y los clientes de un local nocturno, se ajusta a la función: R(t) = -4t2+24t+54, siendo t el tiempo medido en horas, 0  t  6. a) En la primera hora (t = 1) ¿cuántos decibelios se registraron? b) ¿En qué momento se produce mayor ruido y a cuántos decibelios asciende? 15. [C-MA] [JUN-A] Calcula los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = x2+ax+b tenga un mínimo en el punto (2,1).

16. [C-MA] [JUN-B] Se considera la función f(x) =

|x-t|

si x  2

2

(x-3) -1 si x > 2 a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 2? b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (2,+). c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (2,+).

17. [C-MA] [JUN-B] En un tramo de una montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función f(t) = t3-9t2+15t+38, siendo t el tiempo medido es segundos, 0  t  6.

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a) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es dicha altura? b) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en el tramo mencionado, y cuánto vale dicha altura? 18. [CANA] [EXT-A] En un periodo de 8 años, el nivel de los depósitos de una entidad financiera, en miles de millones de euros, sigue la función: (t-2)2 + 2 , si 0  t  2 4 (t mide el tiempo en años) n(t) = t + 1 , si 2 < t  8 2 a) ¿Cuándo es creciente y cuándo es decreciente n(t)? b) ¿Cuáles son los máximos y mínimos relativos? ¿Cuál es el nivel mínimo de los depósitos y cuándo se alcanza? ¿En qué momento, después del tercer año, el nivel de depósitos es igual a 2500 millones? c) ¿Es n(t) continua? ¿Es n(t) derivable? Justificar las respuestas. 19. [CANA] [EXT-B] Se quiere abrir un tragaluz de forma rectangular en el techo de un recinto cuya superficie sea de 162 metros cuadrados y rematar la obra con un marco, de perfil de alumninio, de solo tres lados ya que uno de los lados del tragaluz da hacia el exterior y no necesita marco. a) Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear el mínimo de metros posible de perfil de alumniio? b) ¿Cuántos metros de perfil de alumninio son necesarios? 20. [CANA] [JUN-A] En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en la función: e0'02x si 1  x  100 A(x) = 1 x + 8 si 100 < x  390 50 Donde x es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y A es el número de miles de hojas ahorradas. a) Estudiar si la función es creciente o decreciente. b) ¿Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el incio de la campaña? c) ¿En qué momento el ahorro es de 5000 hojas? 21. [CANA] [JUN-B] Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las funciones: x f(x) = -x2+10x+600 y g(x) = + 615 ; 0  x  10 2 a) ¿En qué momento están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes? b) ¿En qué intervalo es decreciente la produciión de la primera fuente? c) ¿En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes? 22. [CATA] [EXT] Dada una función f, sabemos que f'(x) = e-x 2x2-3x . a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Si la función f tiene extremos relativos, indique sus abscisas y clasifíquelos. 23. [CATA] [EXT] La demanda de energía eléctrica de una ciudad, contada a partir de la medianoche y hasta las ocho de la mañana, t2-6t+12 , donde t se expresa en horas (h) y f(t) en millones de kilovatios hora (kWh). 6 a) A qué hora el consumo coincide con el de la medianoche, y cuál es este consumo? b) A qué hora se dará el mínimo consumo? Justifique que, efectivamente, se trata de un mínimo.

viene dada por la función f(t) =

24. [CATA] [JUN] Un equipo científico ha estudiado la evolución de la población de una pequeña isla de la Polinesia. Como conclusión, ha determinado que, para obtener una buena estimación de la población, debe utilizarse la expresión 3 2

P(t) = 400 + 18t - 6t , donde t indica los años transcurridos desde el principio del estudio.

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a) Determine la población de la isla cuando empezó el estudio, y al cabo de un año. ¿Cuál ha sido la tasa de crecimiento en este período? b) ¿Al cabo de cuántos años desde el principio del experimento dejó de crecer la población de la isla? ¿Cuál fue el número máximo de habitantes? 25. [CATA] [JUN] En un huerto hay plantados 50 manzanos. Cada árbol produce 800 manzanas. Por cada árbol adicional que plantamos, la producción de cada árbol se reduce en 10 manzanas. ¿Cuántos árboles más debemos plantar parfa obtener la producción más alta posible? ¿Cuál es dicha producción? 26. [CATA] [JUN] Los beneficios de una compañía de transporte de viajeros se describen por la función B(x) = ax2+bx+c, donde x es el precio que la compañía cobra por cada viaje. Sabemos que si cobran 40 € por viaje, los beneficios son de 19.000 €. Además, si aumentamos el precio un 25%, el beneficio que se obtiene es el máximo, de 20.000 €. Teniendo en cuenta estos datos, determine los valores de a, b y c. 27. [CATA] [JUN] Determine los valores de los parámetros a, b y c que hacen que las curvas de ecuación 3

f(x) = x3+ax+b

y

2

g(x) = x +cx -2 tengan la misma recta tangente en el punto (1,1). 28. [EXTR] [EXT-A] La concentración de ozono en microgramos por metro cúbico en una ciudad viene dada por la función C(t) = 640 + Bt + At2, 0  t  15, donde C denota la concentración y t el tiempo transcurrido, en años, desde el año 2000. Se sabe que la concentración máxima se alcanzó en el año 2010 (t = 10) y alcanzó un valor de 1340 microgramos. a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta. b) Representar gráficamnte la concentración de ozono en función del tiempo. 29. [EXTR] [EXT-B] Una empresa que fabrica televisores 3D ha estimado que sus costes de producción en función del número de unidades fabricadas se ajusta a la expresión C(x) = 0.01x2 + 1946x + 2300, donde C es el coste en euros y x el número de televisores 3D fabricados. Se pide: a) Determinar la función que representa los beneficios obtenidos por la empresa. Dichos beneficios son la diferencia entre los ingresos producidos por la venta de x televisores 3D a 2000 euros la unidad y sus costes de producción. b) Cuántos televisores 3D han de fabricar para obtener el máximo beneficio? c) ¿Cuál es el valor de dicho beneficio máximo? 30. [EXTR] [JUN-A] En una etapa contrarreloj de 40 km en el último Tour de Francia la velocidad, en km/h, de un determinado ciclista, en función de la distancia recorrida, viene dada por la expresión siguiente: V(x) = -0,05x2 + 3,2x , 0  x  40 siendo x la distancia recorrida en km. Se pide: a) ¿Qué distancia ha recorrido el ciclista cuando alcanza la velocidad máxima? b) ¿Cuál es el valor de dicha velocidad máxima? c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función V(x). 31. [EXTR] [JUN-B] La evolución del número de bacterias en un laboratorio como función del tiempo sigue la expresión N(t) = -t2+At-B, 0  t  30, donde N(t) denota el número de bacterias y t el tiempo en horas. Se sabe que el número máximo de bacterias se alcanza a las 10 horas y que a las 30 horas no hay ninguna bacteria. Se pide: a) Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta. b) Representar gráficamente el número de bacterias en función del tiempo.

32. [MADR] [EXT-A] Se considera la función real de variable real definida por f(x) =

x3 x2-9

.

a) Hallénse las asíntotas de f. b) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

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33. [MADR] [JUN-B] Se considera la función real de variable real f(x) =

ex a+3x 2

si x < 0 si x  0

.

x -4x+3 a) Estúdiese la continuidad def en x = 0 para los distintos valores del parámetro a. b) Determínense las asíntotas de la función.

34. [MADR] [JUN-B] Se considera la función real de variable real definida por f(x) = x(5-x)2. a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Determínense los intervalos de concavidad y convexidad de f. 35. [MURC] [EXT-A] Se sabe que la expresión que representa el número de personas N(t) que acude un día a un centro médico, en función del número de horas que lleva abierto, es N(t) = at2+bt, 0  t  8, a,b. Sabiendo que el número máximo de personas que ha habido ese día ha sido de 128, y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. 36. [MURC] [EXT-B] Los ingresos obtenidos por la fabricación de x unidades diarias de cierto producto vienen dados por I(x) = -28x2+5256x, y los costes vienen dados por la función C(x) = 22x2+4456x+814. a) Determinar la función que expresa los beneficios obtenidos por la fabricación de x unidades diarias del producto (sabiendo que los beneficios se definen como los ingresos menos los gastos) y calcular el número de unidades diarias que hay que fabricar para obtener un beneficio máximo. b) ¿Cuánto vale dicho benefico m´záximo? 37. [MURC] [JUN-A] Las funciones I(t) = -0,5t2+17t y C(t) = 0,5t2-t+32 con 0  t  18 representan, respectivamente, los ingresos y los costes de una empresa en miles de euros en función de los años transcurridos desde su comienzo y en los últimos 18 años. a) ¿Para qué valores de t, desde su incio, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Hallar la función que expresa los beneficios (ingresos menos costes) en función de t y representarla gráficamente. c) ¿Cuántos años despues del comiendo de su actividad la empresa alcanzó el beneficio máximo? Calcular el valor de dicho beneficio. 38. [MURC] [JUN-A] Calcular las derivadas de las siguientes funciones: 3+2x

a) f(x) = ex

;

b) g(x) =

1 2x-1

39. [MURC] [JUN-B] Dada la función f(x) = x4+ax+b, hallar a y b sabiendo que en x = 1 la función tiene un extremo relativo (un máximo o un mínimo relativo) y que f(1) = 2. ¿Se trata de un máximo o un mínimo relativo? 40. [RIOJ] [EXT] Sea la función f(x) = ax3+b. Calcular los valores de a y b para que f(x) pase por el punto (1,1) y, además, la recta tangente a f(x) en dicho punto tenga pendiente -3. x2-1

. x2+1 a) Determinar los cortes con los ejes de la función y, en caso de haberlas, sus asíntotas. b) Estudiar los intevalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos. c) Usando la información de los apartados anteriores, hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función.

41. [RIOJ] [EXT-B] Sea la función f(x) =

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42. [RIOJ] [JUN] Sea f(x) una cierta función definida en el intervalo (-2,2). Si su función derivada f'(x) tiene la representación gráfica que aparece a la derecha, determinar, razonadamente, los extremos relativos de la función en el intervalo (-2,2).

43. [VALE] [EXT-A] Una cadena de montaje está especializada en la producción de cierto modelo de motocicleta. Los costes de producción en euros, C(x) están relacionados con el número de motocicletas fabricadas, x, mediante la siguiente expresión: C(x) = 10x2+2000x+250000. Si el precio de venta de cada motocicleta es de 8000 euros y se venden todas las motocicletas fabricadas, se pide: a) Definir la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función de las ventas de las motocicletas producidas. b) ¿Cuál es la función que expresa los beneficios de la cadena de montaje? c) ¿Cuántas motocicletas debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? -x2+4x-4

, se pide: x2-4x+3 a) Su dominio y puntos de corte con los eje coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales. e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.

44. [VALE] [JUN-A] Dada la función f(x) =

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