1. GEOMETRÍA ANALÍTICA

¡ FELICIDADES BIENVENIDO AL MUNDO DEL ANALISIS MATEMATICO !

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ANTECEDENTE HISTÓRICOS. La idea básica de geometría analítica y de coordenadas es muy antigua, ya Arquímedes (250 A C) , Apolunio de Perga (210 años A. C) en sus estudios de las secciones cónicas usaron para sus representaciones, las coordenadas. Transcurrieron muchos años para que los estudios de los griegos y otros filósofos y matemáticos llegaran a crear las herramientas que sirven para la representación de las propiedades de las figuras y su análisis. Ideas que culminan con las aportaciones de Descartes (1506-1650). Análisis de las figuras basado en el sistema de los números reales y el uso de un enfoque algebraico sistemático para el estudio de estas figuras y sus propiedades. Con las investigaciones realizadas por el grupo se podrá hacer una ampliación más detallada sobre el desarrollo de la Geometría Analítica. Completa estos antecedentes.

15

Personaje

Menaíemo Apolunio Perga

de

Arquímedes de Siracusa

F. Viète

Periodo de Vida, Siglo IV ac Siglo II ac ( 287 – 212 a.C.)

Nicolás Oresme

15401603 13231382

Johannes. Kepler

15711630

Personaje

René

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica

Se le atribuye la invención de la parábola, elipse, hipérbola equilátera (tíade de Menaíemo) Usa números para representar puntos, considera las secciones cónicas originadas por la intersección del plano y el cono, definiendo las curvas originadas Fue el más grande matemático de la antigüedad inventor y científico practico, invento un tornillo para elevar el agua, estableció las propiedades de las poleas y palancas, construyo un modelo mecánico que reproducía el movimiento de la luna y los planetas;; aportó las formulas del área del circulo, el segmento de la parábola y de la elipse, el volumen y área de la esfera, del cono y de otros sólidos de revolución. Usa números para representar puntos, En sus obras hay aplicaciones del álgebra a la geometría Maneja como coordenadas la latitud y la longitud (coordenadas rectangulares) Determina que en la proximidad de una curva en la cual la ordenada es máxima o mínima, dicha ordenada varía más lentamente, no se considera creador, el atribuye a otras personas sus ieas Alemania: estudio matemáticas y astronomía en la universidad de Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de Praga , adquirió datos exactos sobre las órbitas de los planetas. las máximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento planetario: 1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de sus focos. 2) la recta que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus cuadrados. Hace la misma observación que Oresme. Usa números para representar puntos, emplea la palabra foco para determinar un elemento de la elipse

Periodo Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica de Vida, 1596 - Mejor conocido como un gran filosofo moderno. También fue

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Descartes

1650

F. Van 1615Schooten 1660 Blaise Pascal 1625 – 1662

Pedro Fermat

de 16011665

Isaac Newton

16421727

Gottfriel Wilhelm. Leibniz

16461716

Jacobo Bernoulli Guillaume A. de ‘Hôpital

16541705 F. 1661L 1704

A Parent

16661716

J. E Herman

1678-

un fundador de la biología moderna, físico y matemático. Su trabajo matemático de mayor trascendencia fue la géometrie, publicado en 1637. En el, intento la unificación de la antigua y venerable geometría con el álgebra. En (1637 – 1665) tiene crédito por la unión que llamamos hoy geometría analítica o geometría coordenada. En su obra establece una relación entre el número y el espacio Sugirió el uso de de coordenadas en el espacio tridimensional :Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 años invento la primera maquina de sumar. Tiene el crédito de la iniciación de estudios serios sobre la teoría de la probabilidad. Se da el nombre del triángulo de Pascal al arreglo de números que contienen los coeficientes del teorema del binomio. Determinó el área bajo algunas parábolas, Hace estudios sobre de lugares planos y sólidos interpretando ecuaciones sencillas geométricamente. Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crédito del descubrimiento del Cálculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Método de Fluxiones. Descubrió el teorema del Binomio que lleva su nombre, los elementos del cálculo integral y diferencial , la teoría del color y la ley universal de la gravitación Considera el signo de las coordenadas en los diferentes cuadrantes Considera la hipérbola como una curva con dos ramas Alemania: Comparte con Newton el crédito del descubrimiento del Cálculo, descubrió independientemente de Newton las ideas de éste, sobre el Cálculo, no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los más grandes inventores de los símbolos matemáticos a él se debe el nombre de Cálculo integral y Cálculo Diferencial y el uso de dy/dx para la derivada y  para la integral el término de función y el uso de =, desarrollando con mayor rapidez el cálculo con el uso de estos símbolos Inventa las coordenadas polares que se habían usado para el estudio de espirales Francia: discípulo de Johann. Bernoulli de ahí que en sus trabajos hay disputas entre ambos, Publicó el libro de texto más importante de geometría analítica. Introdujo los dos ejes no por fuerza perpendiculares Representa por primera vez mediante una ecuación cartesiana la superficie de una esfera y otros sólidos, para ello no menciona ni ejes ni planos Indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un 15

1733

Personaje

Leonard Euler

A. C. Clairaut María Gaetana Agnesi

sistema cartesiano, dando impulso a la geometría del espacio. Observa que un punto en cualquier eje tiene las otras coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer grado con tres variables representa un plano, partiendo de esta ecuación deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes de los ejes coordenados.

Periodo de Vida, 17071783

17131765 17181799)

Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica

Suiza: Escribió 75 libros de matemáticas, contribuye con sus estudios a la interpretación de las funciones trascendentes, introdujo al número “e” base de los logaritmos naturales, demostró que e y e2 son irracionales, Complementa dando fundamentos a la geometría analítica del espacio . Estudia las ecuaciones de segundo grado y las clasifica en 5 tipos Amplia los trabajos de Herman y sus trabajos representan un tratado de geometría analítica del espacio Italia. comenzó su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo. su estudio de una curva conocida entonces como la versiera. Milán reconoció a Agnesi dándole en su honor su nombre a una calle.

1736 1813

– Turín Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, dominó esta ciencia. Se cree que a los 19 años, comenzó su obra máxima “Mécanique Analytique”. La carrera de Langrage fue ilustre. En París, ayudo a perfeccionar el sistema métrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el método de multiplicadores de Langrage.

Carl Friedrich 1777 Gauss 1855

– Alemania: La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de la aritmética, expresión de este personaje, el más grande matemático después de Newton, Conocido como el príncipe de las matemáticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de geometría no euclidiana, inventa el método de mínimos cuadrados, resuelve el problema de construir con regla y compás el polígono de 17 lados. Hace la primera demostración del teorema fundamental del Álgebra. Su obra “Disquistiones Arithmeticae” ha influido notablemente sobre la teoría de los números. En Cálculo sus trabajos sobre

Joseph-Louis. Lagrange

16

A: F: Möbius

17901868

superficies curvas incluye el teorema de la divergencia. Una unidad de los campos magnéticos lleva su nombre. Primero que Considera de manera sistemática el signo de los segmentos, ángulos y áreas

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Estas a punto de comenzar un interesante tema, el cual utilizaras en el semestre, te invitamos a que comiences resolviendo el siguiente acertijo. Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y determina si son rectas o paralelas las figuras.

¿Qué lineas encontraste en figura? ¿Qué relación existe entre las lineas que observaste? ¿Qué aparente relación observas en las lineas? ¿Te costo trabajo encontrar las lineas? Ahora comprueba tus respuestas auxiliandote de una regla o una hoja de papel.

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Existen diferencias entre las primeras observaciones y la comprobación realizada? Cuales son estas diferencias. Investiga en algunos de los mediaos que ya conoces lo siguiente: Conceptos de punto Concepto de segmento Recta Plano cartesiano A continuación lee el contenido de tu antología sobre el tema que se presenta a continuación en tu antología. 1.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

1.1.1 Sistema cartesiano Este sistema se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión de álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’ llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta horizontal se llama eje X’, la recta vertical se llama eje Y’; su punto de intersección 0 es el origen del sistema

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Estos ejes coordenadas dividen en planos de cuatro regiones llamados cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas. La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto. Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que la cruza; si estamos en un salón de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan sólo dos datos: el número de la fila y el número de la hilera, así mismo lo podemos hacer en un sistema de coordenadas, mediante la: 1.1.2 Localización de puntos en el plano En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x ,y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le corresponde un par de único de coordenadas (x, y). Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2 , 5) y G (-3 , -4)

16

Ejemplo 2. Grafica los puntos P (3 , -5) Q (-7/2 , 11/3) y R (1.75 , 0.5)

A partir de los ejemplos anteriores realiza las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Contesta las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. 5.

Nombre del fundador de la geometría analítica: ¿Cuál fue el primer descubrimiento matemático de Descartes?. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría?. Explica de qué manera integró Descartes el álgebra y la geometría: ¿Cuál es el concepto de geometría analítica?. 17

6. ¿Cuál es la razón por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina también cartesiano? 7. ¿Cómo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?. 8. Explica cuándo las abscisas y ordenadas son negativas: 9. ¿Cuál es la representación de las coordenadas de un punto de manera general?. II. ¿En qué cuadrante se localizan los siguiente puntos? a) N(3, 2)

b) O(-4, -6)

c) P(7, -8)

d) R(-5, 6)

III. Representa gráficamente los siguientes puntos: a) A(2, -1), B(-3, 6), C(-9, -2)

b) C(1, 4),

M(0 -7),

R(-2, 3)

IV. Representa gráficamente los siguientes triángulos, formados por las coordenadas de sus vértices. a) A(4, 5), B(-7, 0), C(-6, 4)

b) A(-3, 6), B(6, 5), C(-4,-3)

V. Grafica los siguientes polígonos cuyos vértices son: a) A(-4, 2), B(-1,-3), C(2, -6), D(0, 4)

b) A(-3, -5), B(5, -2), C(5, 5), D(1, 5) E(-4, 2)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Grafica y di en qué cuadrantes se localizan los siguientes puntos: 1. S(-4.5,-2.5)

4. O(-8,10)

2. U(9/4,-4/2)

5. N(4,0)

6. A(5,-1)

3. W(13/16,-7/3)

7. A(0,8)

II. Localiza en el plano cartesiano un triángulo isósceles, un rombo y un paralelogramo, cuyos vértices sean los que tú elijas y que queden en el primero, segundo y tercer cuadrante, respectivamente. ¿Te has imaginado cuál es la distancia que hay de tu casa a la escuela? Seguramente ya lo hiciste, lo cual te servirá para comprender el siguiente tema denominado:

1.1.3 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos a continuación. 18

1. Sean P1 (x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es: Fórmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1. P1 P2 = x2 - x1 P2 P1 = x1 – x2 La fórmula de la distancia no dirigida es: P1 P2  = x2 - x1  =  x1 – x2 

Sean P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientes fórmulas: P1 P2 = y2 - y1 P2 a P1 = y1 – y2

La fórmula de la distancia dirigida es: P1 P2  = y2 - y1  =  y1 – y2 

19

Sean P1 (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 , paralela al eje “x”, otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje “y”; estas rectas se intersectarán en un punto Q(x2 , y1) formando así un triángulo P2 QP1 en el cual identificamos: P1 P2  = hipotenusa = d (distancia) P1 Q = cateto adyacente = (x2 - x1) QP2 = cateto opuesto = (y2 - y1)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por: d = ((x2 - x1)2  (y2 - y1)2

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son: P1 (-7 , 2) y P2 (8 , 2)

Si graficamos los puntos dados, tenemos: Observa que los dos puntos pertenecen a una misma recta horizontal, por lo que la distancia dirigida

20

Y

P2( 8, 2)

P1(-7, 2)





X´





X

0 entre los dos puntos es: d d d d

= = = =

P 1 P2 P 1 P2 P 1 P2 P 1 P2

= = = =

X2 - X1 8 - ( -7 ) 8 + 7 15

d = P2 P1 = X1 - X2 d = P 1 P2 = - 7 - 8 d = P1 P2 = - 15

Ejemplo 2: Gráfica los puntos: P1 ( -2, 4 ) y P2 ( -2, - 6 ) Y´ Y P1 ( -2, 4   )

X

X ´

0

 

P1 ( -2, 6 ´ Y )

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que la distancia no dirigida entre los dos puntos es:

21

d = P1 P2 = Y2 - Y1 d = P 1 P2 = - 6 - 4 d = P1 P2 = - 10

d d d d

= = = =

P 2 P1 P 1 P2 P 1 P2 P 1 P2

= = = =

Y1 - Y2 4 - (-6) 4 + 6 10

Ejemplo 3: Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A ( - 6, 3 ) y B ( 2, - 3 ) Si graficamos los puntos dados, tenemos:

Y A(-6, 3) 

X

X´ 0 Y´

B( 2, 3)

Observa que los puntos A y B no pertenecen a una distancia recta horizontal o vertival, por lo que su distancia se determina por la fórmula: d =  (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Al sustituir los valores de las coordenadas en la ecuación, resulta: d =  (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

22

d =  ( 2 + 6 )2 + (- 3 - 3 )2 d =  ( 8 )2 + ( - 6 )2 d =  64 + 36

=  100

d = 10 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 1. A ( 3, 5 ) y B ( 4, -1 )

2. A ( -2, -3 ) y B (4, -2 )

II. Demuestra mediante la fórmula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales. 1. A( -5, 6 ), B( 2, 4 ) y C( 16, 0 )

2. A(-2, -5), B(2, -4) y C(10, -2)

III. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. 1. A( -2, 2 ), B( 3, 1 ) y C( -1, -2 )

2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2)

IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. 1. A( 3, 2 ), B( -2, -3 ) y C( 0, -4 )

2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 )

V. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo. 1. A( 4, 2 ), B( 2, 6 ), C( 6, 8 ) y D ( 8, 4 )

VI. Sean A(0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 4, 2 ) y D (1, 2 ) los vértices de un paralelogramo, halla la longitud de sus dos diagonales.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

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I. Grafica y encuentra la distancia entre los dos puntos que se indican. 1. C( 2, 3/4 ), y M( -2, -3/2 ) 2. U( 9/2, -3/4 ), y V( 17/5, -3/4 ) 3. A( 10, 1 ), B ( 6, 1 ) y C( 2, -3 ) 4. A( -4, 2 ), B ( 4, 6 ) y C( 8, 8 ) 5. A( -2, -4 ), B ( -5, 1 ) y C ( -6, -5 ) 6. A( -6, 4 ), B ( -5, -3 ) y C ( -1, -1 ) 7. A( 1, 4 ), B ( -2, -1 ), C ( -1, -5 ) y D (2, 1) 8. P( -2, -8 ), Q ( -6, -1 ) y C ( 0, -4 ) El área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Área de una región triangular Sean P1 ( x1 - x1 ), P2 ( x2 - x2 ) y P3 ( x3 - x3 ) los vértices de un triángulo, su área “A” se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q 1 Q3 P3 P1 y Q3 Q2 P2 P3 y resultando el área del trapecio Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje “x”. Y

P2(x2, x2)



P3(x3, x3)

P1(x1, x1)

 X´

Q1(x1, 0)

Q2(x2, 0) Q3(x3, 0)

X

0 Y´ El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triángulo P1 P2 P3 es: A = área del trapecio Q1 Q3 P3 P1 + área del trapecio Q3 Q2 P2 P3 - área del trapecio Q1 Q2 P2 P1 A = ( x3 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y3 ) + ( x2 - x3 ) ( ½ ) ( y3 + y2 ) - ( x2 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y2 ) A = ½ ( x3 y1 – x1 y3 + x2 y3 – x3 y2 + x1 y2 - x2 y1 ) El área resultante se expresa en una forma más fácil por: (-)

A = ½

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x1

y1

(-)

A = ½ ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 – x2 y1 - x3 y2 - x1 y3 )

(-) (+) 24 (+)

Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar el cálculo. Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa. Ejemplo 1. Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A ( 3, 2 ), B ( 7, 4 ) y C ( -2, 5 ) Y  C(-2, 5) B(7, 4)  A(3, 2)

X´

X

0 Y´ Al sustituir los datos dados en la fórmula, resulta: x1

y1

x2

y2

A = ½

3

2

7

4

= ½ x3

y3

-2

x1

y1

3

5 2

A = ½ [(3)(4) + (7)(5) + (-2)(2) – (3)(5) – (-2)(4) – (7)(2)] A = ½ ( 12 + 35 – 4 – 15 + 8 – 14 ) = 22 / 2 A = 11 unidades cuadradas

Perímetro. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana; matemáticamente se representa por la letra P.

25

Semiperímetro. Es la mitad del perímetro; se representa por la letra “S” y matemáticamente se hace notar por S = P / 2 Ejemplo 2: Encuentra el área, perímetro y semiperímetro del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(-8, 2 ), B(-1, 5), C(7, -1) y D(-2, -6)

A(-8, 2)  X

Y B(-1, 5)0  X

´

C(7,  1) D(-2, - ´ Y 6) 

Con base en la gráfica, los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, es decir: xA

yA

xD

yD

A = ½

-8

2

-2

-6

= ½ xC

yC

7

-1

xB

yB

-1

5

xA

xA

-8

2

Al sustituir los datos dados en la fórmula, resulta: A = ½ [(-8)(-6) + (-2)(-1) + (7)(5) – (-1)(2) – (-8)(5) – (-1)(-1) – (7)(-6) – (-2)(2)] A = ½ ( 48 + 2 – 35 – 2 + 40 – 1 + 42 + 4 ) = 168 / 2 A = 84 unidades cuadradas Para determinar el perímetro, se calculan las longitudes de los lados del polígono dado: dAB =  (-1 + 8)2 + (5 - 2)2

dBC =  (7 + 1)2 + (-1 - 5)2 26

dAB =

=  49 + 9

dBC =  64 + 36

= 7.615

10

dCD =  (-2 - 7)2 + (-6 + 1)2

dAD =  (-2 + 8)2 + (-6 – 2)2

dAB =  81 + 9

dAD =  36 + 64

= 10.295

=

10

El perímetro del polígono es: P = dAB + dBC + dCD + dAD P = 7.615 + 10 + 10.285 + 10 P = 37.91 unidades de longitud El semiperímetro del polígono es: S = P / 2 = 37.91 / 2 = 18.995 unidades de longitud

Y



R2 ( 0, y2 ) 

R ( 0, y ) R1 ( 0, y1 ) 0

X´

ACTIVIDADES

Y´

P ( x, y ) 

P1 ( x1, y1 ) Q1 ( x1, 0 )

Q ( x, 0 )

X Q2 ( x2, 0 )

DE APRENDIZAJE

I. Encuentra el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (3, -3), B (-5, 2 ) y C ( 6, -4 ) 2. A (-4, -1), B (2, -6 ) y C ( 4, 2 )

3. A (4, 9), B (-2, 1 ) y C ( -6, 2 ) 4. A (7, -3), B (-2, 2 ) y C ( 4, 4 )

II. Obtén el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (-3, 3 ), B (6, 2 ), C ( 7, 7 ) y D ( -2, 5 ) 2. K (-3, 1 ), L (-7, 1 ), M ( -2, 8 ), P ( 1, -5 ) y Q ( 7, 4 )

27

3. R (-5, 1 ), X (-4, 7 ), Y ( 3, 5 ), Z ( 7, 2 ) y A ( -2, -4 )

1.1.4 Localización de un punto que divide a un segmento de recta en una razón dada. Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 se aplica el siguiente procedimiento:

P2 ( x2, y2 )

Teorema. Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 son: x1 + rx2

y1 + ry2

x =

y =

1+r

1+r

Siendo r  -1

Ejemplo 1: Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A( 8, 2 ) y B ( -5, 7 ) en la razón = 3 / 4 Al sustituir los datos dados en las fórmulas, resulta: x1 + rx2 x=

x=

y1 + ry2 y =

1+r

1+r

8 + (3/4) (-5) 1 + (3/4)

= 17 / 7

2 + (¾)7 y =

= 29 / 1 + (3/4) 7

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra las coordenadas de un punto P ( x, y ) que divide a un segmento de recta determinado por:

28

1. P1 ( -2, 3 ) y 2. P1 ( -2, 1 ) y

P2 ( 3, -2 ) P2 ( 3, -4 )

r=2/5 r = -8 / 3

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. ¿Cuáles serán las coordenadas del punto de división a partir de los siguientes datos? 1. P1 ( 3, -1 ) y 2. P1 ( 5, 3 ) y

P2 ( 9, 7 ) P2 ( -4, 3 )

r=1/2 r = -3 / 2

Hemos llegado a un punto en que debemos dar un giro a nuestro estado de la geometría analítica. Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones fundamentales y considerando métodos generales para la construcción de curvas y la obtención de la ecuación de un lugar geométrico. Pero todavía no hemos hecho ningún intento sistemático para identificar las ecuaciones y sus lugares geométricos de una manera específica. Más aún, hasta este momento, no hemos establecido ninguna de las propiedades particulares que puede poseer una curva. En éste y en los siguientes capítulos, haremos un estudio detallado de la línea recta y de algunas de las curvas que son de máxima importancia en la geometría analítica y sus aplicaciones. Naturalmente comenzaremos con el estudio de la línea recta debido a que su ecuación es la más sencilla.

29

1.2 LA LÍNEA RECTA

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(χ1, y1) y P2(χ2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la formula

resulta siempre constante.

y1 - y2 χ1 - χ2

, χ1 x2

m=

1.2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN Sea “l” una recta en el plano y  el ángulo que forma dicha recta con el eje x , esto es, el ángulo más pequeño cuyo lado movil gira en sentido positivo (contrario al del reloj) hasta coincidir con la recta dada (véase figura). Sí la recta está inclinada a la izquierda (o sea, desciende al avanzar uno de izquierda a derecha), es claro entonces que 90° <  x1. Se traza un triángulo rectángulo P1 Q P2 (como se indica en las figuras) trazando rectas por P1 y P2 paralelas a los ejes x e y respectivamente.

y 

P2(χ2, y2) P2Q = y2 – y1

 P1(χ1, y1)   Q (χ2 , y1 ) P1Q =χ2–χ1





y P1(x1, y1)

P1Q = χ2 -χ1



 Q (χ2,y1 ) P2Q = y2 – y1

 P2 (x2 , y2)



31

l 0

χ

χ

l En el caso de una recta ascendente, como se ve en la primera figura, es obvio que el ángulo  = K Q P1P2 del triangulo rectángulo, de modo tg  = QP2

P1Q y, por consiguiente.

P2Q y2 - y1 m = P1Q = x 2 - x1

En el caso de una línea descendente, la fórmula anterior es aún válida, pero es necesario extender un poco la demostración para tomar en cuenta el signo negativo. En este caso (segunda figura) Tg  =

P2 Q m P1 Q =

Teorema:Si P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2) son dos puntos de una recta ( no vertical), su pendiente m y -y esta dada entonces por la ecuación m= 2 1 x2 - x1 Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (13, 3)

y (-5

, 7)

Sea (13,3) el punto P2 y ( -5,7) .el punto P1,entonces. m=

y2 - y1 x2 - x1

=

3-7 = 13 – (-5)

-4 13 + 5

=

-4 18

=

-2 9

Puesto que la pendiente es negativa se sabe la recta inclinada a la izquierda.

32

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (4,6).

m=

y2 – y1 6 – (-3) 9 6+3 4.5 = = = x2 – x1 4–2 2 = 2

m = Tg  4.5 = tg 

 = tg-1 4.5

 = 77° 28’ 16”

Para que no te quede nada pendiente en tus conocimientos, realiza las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.- Dados los puntos en cada problema siguientes, encuentre las pendientes y la inclinación de la recta que pase por dichos puntos. 1. P ( 2, -1 ) y Q ( 6, 5 ) 2. A ( 13 – 3 ) y B ( -5, -5 ) 3. M ( -5, 7 ) y N ( 1, -11 ) 4. R ( -1, -2 ) y S ( 5, -5 ) 5. K ( 2, 4 ) y L ( -4, 6 ) ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Encontrar la pendiente y la inclinación de cada recta que pasa por los puntos que se indican. 1. A ( 3, -5 ) y B ( 2, 6 ) 2. C ( -2 , -8 ) y D ( 5, -2 ) 3. E ( 3, 2 ) y F ( 9, 6 ) 4. G (8, -5 ) y H ( -1 , -1 ) 5. I ( 3, 7 ) y J ( -5, -4 )

33

Las rectas para su estudio en relación a sus pendientes pueden ser:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Vamos a observar que pasa con las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares. y

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales: l1 m1

l2

l 1 y l 2 son paralelas, si m1 = m2

m2

0

x

Ejemplo: Determinar las pendientes de l1, que contiene a (1 , 5) y a (3 , 8), y l2 que contiene a (-4 , 1) y a (0 , 7), determinar si l1 y l2 son paralelas, perpendiculares o si no estan dentro de estos casos.

34

3 2

8–5 m1 = 3 - 1 =

m2 = 7 - 1 = 6 0+4 4

Como m1 = m2 entonces paralelas. =

y

l2

son

Dos o más rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario o el producto de sus pendientes es igual a –1, l1 y l2 son perpendiculares si m1 = -1 que es lo m2 mismo que m1 . m2 = -1

3 2

y m2

l1

m1

x l1

l2

Ejemplo: Determine si la recta l1 que pasa por los puntos (1,-3) y (3,1) es perpendicular a la recta l2 que pasa por los puntos (1,-3) y (-1, -2).

1+3 m1 = 3 - 1 =

4 2

-2 +3 1 -1 - 1 -2 4 m2 = =

=2

Como las pendientes son recíprocas y de signo contrario, entonces, las rectas son perpendiculares

A partir de los siguientes ejemplos, analizados y comprendidos podrás realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. Determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos que se citan en cada problema. A continuación determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o no caen bajo ninguna de estas clasificaciones.

35

1. (1 , -2) (-2 , -11) y

(2 , 8) (0 , 2)

2. (1 , 5)

(0 , 3) (2 , 7)

(-1 , -1)

y

3. (1 , 1) (4 , -1) y (-2 , 3) (7 , -3)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.

. Demuestra si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

1. (1 , 2) (3 , 2) y 2. (2 , 1)

(5 , -1)

(4 , 1) (4 , -2) y

(3 , 3) (12 , -3)

3. (1 , 5) (-2 , -7) y (7 , -1) (3 , 0)

Basado en lo anterior podemos concluir diciendo que los elementos básicos de una recta son dos puntos cualesquiera sobre ella, su pendiente, su ángulo de inclinación y sus intercepciones, de la manera en que se usen o combinen esos elementos, la ecuación adopta distintas formas, que estudiaremos a continuación:

1.2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o su pendiente.

36

Teorema 1.- La recta que pasa por el punto P1 ( x1, y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por ecuación.y – y = m ( x – x ) 1 1 P ( x, y )



y

 0

 P1 ( x1, y1 ) 

x

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4,-1 ) y tiene un ángulo de inclinación de 135°.

P ( x, yy)



La recta cuya ecuación se busca es la trazada en la figura.

135°

La pendiente de esta recta es

0

m= tg 135° = -1



x



Por lo tanto, por el Teorema 1, la ecuación de la

P1 (4,-1 )

recta es: y – (-1) = - 1 (x – 4) O sea x + y – 3 = 0

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualquiera de sus puntos. Analíticamente, la ecuación de la recta también queda perfectamente determinado conociendo las coordenadas de sus dos puntos.

Teorema: 2.- La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1 ) y P2(x2, y2) tiene por ecuación. y2 - y1 x2 - x1

( x -x1 )

y x1

x2

 0

37 x

y-y1 =

P1 (x 1 y1 )

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, - 3) y (-4, 5) ean los puntos P1 y P2, respectivamente. La ecuación da: y – ( -3 ) =

5 – (-3)

(x–1)

-4-1

Al simplificarla nos da:

8x + 5y + 7 = 0

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

Sean a

0 y b

0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y, es

decir, sus intercecciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen los segmentos que determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y tenemos, por el Teorema 2, Y–0= De donde

0–b a-0

( x – a),

ay = - bx + ab

Trasponiendo - bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos:

x y + =1 a b 38

A esta igualdad se le llama ecuación simétrica de la recta. De aquí el siguiente:

Teorema 3.- La recta cuyas intersecciones con los ejes x y y, son a

0 y b

0, respectivamente, tiene por ecuación:

x

y

+ recta = 1determina sobre los ejes x y y, son 5 y –2, Ejemplo: Los segmentos que a una b respectivamente; hallar la ecuación: x+ a + x 5-

y = 1 b

y = 1 -2

x

y= 1

5

2

2x – 5y = 10 2x – 5y – 10 = 0

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.

Consideremos una recta l cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su interseccion con el eje Y , es b . Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0 , b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0 , b) y tiene una pendiente dada. Según el teorema, la ecuación buscada es: 39

y – b = m (x-0) o sea, y = mx+b Podemos enunciar este resultado como el :

Teorema 4.- La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación

y = mx+b. y  ( o, b ) 0

 ( x, y ) x

Ejemplo. Determina una ecuación para la recta de pendiente 3 que corta al eje y a -5 unidades de distancia del origen. Si m =3 y b = -5 la ecuación buscada es y – (-5) =3 (x-0) o sea y = 3x-5

Si ya comprendiste y entendiste las distintas formas de la ecuación de la recta, podrás realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. I. Haz una gráfica para cada ejercicio: 1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, -3) y tiene de pendiente 2. 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto B (-4, -2) y tiene un ángulo de inclinación de 45° 3. Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje y es –5.

40

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (6, 4) y B (-5, 7). 5. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2 y –4 respectivamente, halla su ecuación. 6. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D(6, 0), halla las ecuaciones de sus lados.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encuentra y grafica la ecuación de la recta para cada ejercicio que se te propone.

a) Pasa por el punto M (3 , 5) y tiene un ángulo de inclinación de 60°. b) Pasa por el punto N(-4 , 6) y tiene de pendiente 3. c) Tiene pendiente –2 y su intersección con el eje y es 5. d) Pasa por los puntos E(-3 , 5) y L(4 , -2). e) Si los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son –4 y 6 respectivamente. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la forma lineal. (1) Ax + By + C = 0 en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de una recta.

Teorema 5.- Una ecuación lineal en las variables x y y representan una recta y recíprocamente.

41

Ejemplo: Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación general Ax + Bx + C = 0 de una recta, para que pase por los puntos ( -1, 4 ) y

( 3, -2 ).

De ahí hallar la ecuación de la recta. Como los dos puntos estan sobre la recta, sus coordenadas deben satisfaser la ecuacion de dicha recta. Por tanto, para el punto ( -1, 4 ), tenemos : -A + 4B + C = 0

(1)

y para el punto ( 3 – 2 ) Tenemos 3 A – 2B +C = 0

(2)

Resolviendo la ecuacion (1) y (2) para A y B en terminos de C, obtenemos. A = -3/5 C

B = -2/5C

Si sustituimos estos valores de A y B en la forma general. Obtenemos. -3/5Cx - 2/5 Cy + C = 0

Dividiendo todas la ecuaciones por C y simplificando, obtenemos como ecuación de la recta: 3x + 2y – 5 = 0

cuyos coeficientes son: A = 3, B = 2, C = -5.

Posiciones relativas de dos rectas (paralelas y perpendiculares). Ahora consideramos las posiciones relativas de la recta, cuyas ecuaciones pueden ponerse en las formas generales:

Ax + By + C = 0

(1)

A´x + By´ + C´ = 0

(2)

En particular, determinamos las condiciones analiticas bajo las cuales estas dos rectas son: a) paralelas y b) perpendiculares. a) La pendiente de (1) es –A/B si B ≠ 0, y la pendiente de (2) es –A´/B´ si B´ ≠ 0. Por un teorema de un artículo anterior, una condicion necesaria y suficiente para que la recta (1) y (2) sean paralelas en que: -A/B = -A´/B´,

42

o sea, A/A´ = B/B´,

Es decir , los coeficientes de x y y deben ser proporcionales. b) Por un teorema de un articulo anterior, una condición necesaria y suficiente para que las rectas ( 1 ) y ( 2 ) sean perpendiculares es que. (B/ -A) (-A´/B´ ) = -1, o sea, AA´ + BB´ = 0

Podemos hacer el resumen de los resultados anteriores en el:

Teorema 6. Si las ecuaciones de dos rectas son: Ax + By + C = 0 y A´x + B´y + C´ = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

a) Paralelismo,

b) Perpendicularidad,

A/A´ = B/B´, o sea AB´ – A´B = 0;

AA´ + BB´ = 0

Ejemplo: Hallar una ecuacion de la recta que pasa por el punto ( 5,1 ) y sea:

a ) es

paralela a la recta y = 3x +7 y b ) es perpendicular a tal recta.

a) Puesto que la linea ha de ser paralela a la dada debe tener una pendiente 1/3, y como pasa por el punto ( 5,1 ) la ecuación sera:

m=-

y – 1 = 3 (x – 5 ) y – 1 = 3x – 15 O sea y = 3x –14 b) Puesto que la línea ha de ser perpendicular a la dada debe tener una pendiente m = -1/3, y como pasa por el punto ( 5, 1 ) la ecuación sera:

43

y – 1 = - 1/3 (x – 5 ) 3y –3 = - x + 5 O sea, y= +

-x 3

8 3

A partir de los anteriores argumentos ahora podrás realizar:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- En los siguientes problemas se da un punto P y una recta l. Determine una ecuación para la recta que pasa por P y sea a) paralela a l y b) perpendicular a l.

1. P (6, -2), y = x + 10 2. P(0, 5) 2y = x - 7 3. P(-3, 0)

4. P (-1,-1)

5y- 2 x = 9

5. P(100,200), x –3y = 0

3y + x = 11

II.-Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general; 1.-Que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a –2. 2.-Si los segmentos que determinan sobre los ejes x y y es decir sus intersecciones, son 3 y –5 respectivamente. 3.- Que es perpendicular a la recta 3x –4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3).

Otra de las formas de la ecuación de la recta es:

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE LA RECTA Consideramos una recta 0P1 de longitud P y con uno de sus extremos 0 siempre en el origen, tal como pueden verse en la figura. La posición exacta de este segmento de recta sobre el punto coordenado, está determinada por el angulo w, que , como en

44

trigonometría, en el ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del origen. De acuerdo con esto, la longitud p se considera siempre positivo, y la variación de los valores del ángulo w viene dada por 0° ≤ w < 360°

(1)

Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de p y w la recta L trazada por P1 (x1 y y1 ) perpendicular a OP1 queda perfectamente determinada. Ahora obtendremos la ecuación de L por medio de la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Por trigonometría, para cualquier posición de la recta L ,

x1 = p cos w, y1 = p sen w.

(2)

por tanto, las coordenadas del punto P1 son (p cos, p sen w) Para las posiciones (a) y (b) en la figura; el ángulo de inclinación del segmento OP1 es w, y por lo tanto, su pendiente es tgw. Para las posiciones (c) y (d) de la figura: en donde  es el ángulo de inclinación de OP1, tenemos tg w = tg (180° + ) = tg  De aquí que para todas las posiciones del segmento OP1, su pendiente está dada por tg w. Como la recta L es perpendicular a OP1 su pendiente para todas las posiciones es m = - ctg w = -cos w según esto, de ( 2 ) y ( 3 ), la ecuación de L es

(3)

sen w

cos w y – p sen w = sen - w

(x – p cos w),

de donde y sen w – p sen2 w = - x cos w + p cos2 w o sea x cos w + y sen w – p (sen2 w + cos2 w) = 0 45

Como sen2 w + cos2 w = 1, esta última ecuación se reduce a x cos w + y sen w – p = 0 Este resultado conduce al siguiente: Teorema 7.- La forma normal de la ecuación de una recta es x Cos w + y Sen w- p = 0 En donde p es un número positivo, muméricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y w es el ángulo positivo < 360° medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal

l y

 P1(x1 , y1)

p

P1(x1 , y1) 

w

x 

0 o

(a)

w

p

x 

0 o

(b)

y

y

l

l

y

l α

w

α x

o P1(x1 , y1)

p

w (c)

o

p

 P1(x1 , y1)

x 

(d)

Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal. 46

Usualmente, la ecuación de una recta se da en la forma general:

Ax + By + C = 0

(1)

xcos w + y sen w – p = 0,

(2)

Sin embargo, la forma normal:

es útil para ciertos tipos de problemas. Por esto consideramos en este artículo el método de obtener la forma normal a partir de la forma general de la ecuación.

Si las ecuaciones (1) y (2) representan la misma recta, sus coeficientes correspondientes deben ser proporcionales. Por tanto:

cos w = KA

(3)

sen w = KB

(4) (5)

- p = KC

si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3) y (4), y sumamos, obtenemos: Cos2 w + Sen2 w = K2 (A2 + B2 ) Pero como Cos2 w + Sen2 w = 1, esta última relación nos da;

,

1

K=

±

A2

+

(6) A2 + B2 ≠ 0

B2

Si se sustituye este valor de K en cada una de las ecuaciones (3) , (4) y (5), obtenemos las relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes de las dos formas (1) y (2), estas son:

A

Cos w =

±

A2 + B2

,

B

Sen w =

±

A2 + B2

,

C

p=-

±

,

A2 + B2

47

y la recta definida por la forma general (1) tiene por ecuación en la forma normal: A

±

A2 + B2

B

χ +

A2 + B2

±

C

y +

±

= 0

A2 + B2

Teorema 8.- La forma general de la ecuación de una recta; Ax+ By + C = 0,

puede reducirse a la forma normal: x cos w + y sen w – p = 0,

dividiendo cada término de (1) por r = radical r se escoje como sigue:

±

A2 + B2

, en donde el signo que precede al

a).- Si C ≠ O, r es de signo contrario a C. b).- Si C ≠ O y B ≠ O, r y B tienen el mismo signo. c).- Si C = B = O, r y A tienen el mismo signo.

Ejemplo 1: En un círculo de centro en el origen y rádio igual a 5, hallar la forma normal de la ecuación de su tangente en el punto ( - 3, 4 ).

Por geometría elemental sabemos que el rádio que va al punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Por tanto p = 5, y sen w = 4/5 y cos w = - 3/5. Luego la ecuación de L en la forma normal es:

- 3/5x + 4/5 y - 5 = O o también 3x – 4y + 25 = O

48

Ejemplo 2: La ecuación de una recta es 5x – 7y – 11 = O. Reducirla a la forma normal, y hallar los valores de p y w.

Para la ecuación dada A = 5

±

B = -7

±

A2 + B2

=

y

±

52+(-7)2

C = -11.

por tanto

74

=

como C es negativo, damos al radical el signo positivo dividiendo la ecuación dada por

5

±

χ +

74

74

-7 74

obtenemos su forma normal:

y -

11

=O

74

¡Normalízate en tus estudios, realizando! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Dibujar una figura para cada ejercicio. 1. Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w = 60 y p = 5. 2. La ecuacion de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w – 5 = 0. Hallar el valor de w para que la recta pase por el punto (4, -3). 3. Hallar la distancia * del origen a la recta 2x – 3y + 9 = 0.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN. 1. Hallar la ecuación de la recta en forma normal, siendo w = 45° y p = 5 2. La ecuación de la recta en la forma normal es x cos w + y sen w-p = 0, hallar el valor de w para que la recta pase por el punto M (3, 4)

49

3. Hallar la distancia el origen a la recta 6x – 4y – 5 = 0 4. Las rectas pueden chocar en un punto y formar ángulos opuestos por el vértice, cuándo eso sucede se le llama: 1.2.3 INTERSECCIÓN DE RECTAS Sean A1 X + B1 Y + C1 = 0 razonaremos así:

y

A2 X + B2 Y + C2 = 0

dos rectas cualesquiera,

Si P (x , y) es el punto de intersección y pertenece a los dos rectas, sus coordenadas satisfacen simultaneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P son las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas. Ejemplo: calcular el punto de intersección de las rectas 3x – y – 10 = 0 y 2x + y – 10 =0 resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos: 3x – y = 10 2x + y = 10 5x = 20

Sustituyendo este valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones, tenemos: 2x + y – 10 = 0 2(4) + y – 10 = 0 y = -8 + 10 y=2

x = 20 5 x=4

Luego el punto de intersección de las rectas es P(4 , 2) Graficamente nos queda:

3x – y – 10 = 0y

P(4 , 2) 2x + y – 10 = 0 x 0

50

¡Interséctate realizando!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra el punto de intersección de las siguientes rectas y compruébalo graficamente. 1. 3x – 2y = 1

2. 3x – 4y = 5

3. 2x + 3y = 4

6x – 4y = 5

x + 2y = 5

-3x + y = 5

4. 4x – 5y = 8

5. 5x – 2y = 5

2x + y = -10

2x + 3y = 6

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Localiza el punto donde se intersectan los siguientes pares de rectas. 1. 3x – 6y – 13 = 0 4x + 3y + 1 = 0

2. 5x + 4y – 50 = 0 5x – 4y – 50 = 0

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Dos rectas al cruzarse forman cuatro ángulos, siendo iguales los ángulos opuestos por el vértice y se define como el ángulo que forman dichas rectas. Al ángulo positivo mas pequeño que tiene su lado inicial en R1 el lado final en R2 . Este ángulo lo identificaremos con 

Y

R2

R1



1

2 51

x’

x

Y’

Como la inclinación de R1 puede ser mayor o menor que la inclinación de R2 En el caso donde Tan  1 > Tan  2 se tiene que  =  2 -  1 Y

R2

R1



2

R1

1 x

x’ Y’

En este caso se observa que la inclinación de R1 es menor que la inclinación de R2 En este caso Tan  1 < Tan  2 se tiene que  = 180o +(  2 -  1) En los dos casos se tiene una diferencia de ángulos y como una suma o una diferencia de ángulos es : tan A  TanB 1  TanATanB Tan  2  Tan 1 m  m1  1) = por lo tanto Tan  = 2 for 1  Tan 2 Tan 1 1  m 2 m1

Tan (A  B)  Por lo tanto Tan  = tan (  2 -(10)

En estos problemas m1 es la pendiente del lado inicial y m2 es la pendiente del lado final, el ángulo positivo (giro contrario alas manecillas del reloj

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Actividad: hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(-2,1), B(3,4), C(5,-2) 1. Se recomienda graficar el problema par ubicar los ángulos

52

B m=

3 5 m = -3

A m=-

3 7

C

2. Obtener las pendientes de los lados del triángulo utilizando m =

mAB =

3 4 1 = 5 3  ( 2)

m BC =

24 6   3 53 2

mAC =

3. Hallar los ángulos aplicando for (10) Tan  =

3 3  7  18 Tan A = 5 2 3 3 13 1  ( 5 7)

Arc Tan A =

18 13

y 2  y1 x 2  x1

 2 1  3  5  ( 2) 7

m 2  m1 1  m 2 m1

< A = 54o 10’

< B = 77 o 28’ comprobar

Tan B =

Tan B= 4.5

Tan C =

Tan C = 1.125

< C = 48o 22’

A + B + C = 180o 2. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135 o, sabiendo que la recta final tiene una pendiente de - 3 calcular la pendiente de la recta final 3 El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta que pasa por C(-2,-4) y D(9,1) es de 1352, hallar el valor de “y” 4. Hallar el ángulo agudo del paralelogramo cuyos vértices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y D(7,3) ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 5. Encontrar los ángulos interiores de los siguientes triángulos a) A(2,5), B(8,-1) , C(.2,1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2) d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3) 53

LA EXPRESION Ax + By + C En cada punto P de un plano, una expresión de primer grado, como Ax + By + C, tienen un valor definido que se obtiene poniendo las coordenadas de P en lugar de x e y. Así, en el punto (1, 2) la expresión tiene el valor A + 2B + C. Los puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha expresión igualada a cero, constituyen la recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. Si el punto P se mueve lentamente, el valor de la expresión cambia continuamente, solamente puede cambiar de signo pasando por cero. Si el punto P no cruza la recta, la expresión no se anula y por lo tanto no cambia de signo. De esto se deduce que para todos los puntos situados a un lado de la recta Ax + By + C = 0, la expresión Ax + By + C tiene el mismo signo. L

Y Ejemplo 1. Determínese la región en la cual x + y -1 > 0. La ecuación x + y -1 = 0 + + + + + + + + + representa la recta LK (fig. 1). Luego en + + + + + + + + + + + todos los puntos situados a un lado de LK, la + expresión tiene el mismo signo. En (1, 1) + + + + + + + + resulta x + y - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 que es un + + valor positivo. En la figura puede verse que - - - + + + + + + + + (1, 1) queda encima de LK. De esto resulta + X que todos los puntos situados por encima de - - - + + + + + + + LK, x + y - 1 es positiva. En el origen de + K coordenadas resulta - - - - +Fig.+ 1 + + + + + x + y - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 + que es un valor negativo. El origen queda debajo de la - recta, - - -y por + consiguiente, + + + + en + todos los puntos situados por debajo de LK, la expresión +x + y - 1 es negativa, de modo que la región en la que x + y + 1 > 0, es parte del plano por- encima - - -de- la -recta + LK. + + + + Ejemplo 2. Determínese la región en que x + y > 0, x++ 2y - 2 < 0 y x - y - 1 < 0. Y

- - - o - - + + + + + + En la figura 2 las rectas x + y = 0, x + 2y - 2 = 0 - - -señaladas + + (1), + (2) + y (3) y x - y -- 1 - = -0 están + respectivamente. Procediendo como en el - - - - - - + + + ejemplo anterior se encontrará que x + y > 0 + +

(3 ) ( 1, 1 ) X

o (2 )

( -1 1)

Fig. 2

(1 )

queda encima de (1), x + 2 y - 2 < 0 queda debajo de (2), y x - y - 1 < 0 queda a la izquierda de (3). Por consiguiente las tres desigualdades subsisten en el interior del triángulo sombreado, que es la parte común de las tres regiones. 1.2.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

54

Se desea encontrar la distancia de un punto P1(x1, y1) a la recta LK cuya ecuación es Ax + By + C = 0. En la figura 3, sea MP1 perpendicular al eje de las x, y DP1 perpendicular a la recta LK. Sea  el ángulo formado por OX y LK. Se verifica (a) DP1 =Q P1 cos = ( MP1 -MQ) cos En la figura se ve que (b) MP1 = y1 Como Q está sobre la recta LK, sus coordenadas, x1 y MQ tienen que satisfacer la ecuación de LK. Por lo tanto A x1 + B . MQ + C = 0 , y por consiguiente Y

(c)

MQ = - A x1 + C . B La pendiente de LK es tg = - A / B, luego (d)

Cos  =

B   K

B ±

Q

A2+B2

D

) 

O

X

M

L



Fig. 3

Sustituyendo los valores de (b), (c) y (d) (a), resulta

en

DP1 = Ax1 + By1 + C = 0 ±A2+B2

(1)

La ecuación (1) nos da la distancia del punto (x1 , y1 ) a la recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. Puesto que la distancia es positiva, el signo del denominador debe ser de tal naturaleza que el resultado sea positivo. Ejemplo 1. Búsquese la distancia del punto (1, 2) a la recta 2x - 3y = 6. La distancia de Y cualquier punto (x1 , y1 ) a la recta es, de acuerdo con (1) DP = 2x - 3y - 6. ± 13

(2)

(1)

(3)

A

O

Luego la distancia de (1, 2) es - 3(2) - 6 = 10 DP 2(1) = ± 13 13

X

B C

Fig. 4

55

Ejemplo 2. Las rectas (1) y - x - 1 = 0, (2)x + y - 2 = 0 y (3)x + 2y + 2 = 0 determinan un triángulo ABC. Determínese la bisectriz del ángulo A formado por los lados (1) y (2) (fig. 4). La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las rectas (1) y (2). Si (x, y) es un punto de la bisectriz, x e y tienen que satisfacer la ecuación y-x-1 = 2 2 ±

x+y2

±

Deben elegirse los signos de modo que estas expresiones resulten positivas para los puntos interiores del triángulo. En el origen de coordenadas, estas expresiones son -1 / (± 2 ), -2 / (± 2 ). Por lo tanto, tiene que adoptarse el signo negativo en ambos denominadores, y la bisectriz que se busca será. y-x-1 = 2 2

x+y2

Simplificando esta expresión, resulta

x=½

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Resuelve y grafica cada ejercicio. 1) Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P(3, 2). 2) Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2 y + 7 = 0 al punto P (-1, 4) 3) Hallar la distancia de la recta 5x + 12 y – 12 = 0 al punto P (3, -2) 4) Hallar la distancia dirigida de la recta 12x- 5 y + 3 = 0 al punto P(6, 4) Ahora, mide muy bien tu distancia y ubícate en un punto de tu salón de clases para realizar:

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Hallar la distancia de la recta al punto que se indica. 1. 3x – y + 6 = 0 , B(2 , -1) 2. 2x + y – 10 = 0 , C(-3 , 5) 3. x + 2y – 5 = 0 ,

D(6 , 8)

4. 2x + 3y – 6 = 0 , E(3 , 4) 56

A continuación estudiaremos la línea recta y algunas curvas que son de gran importancia en matemáticas y que te servirán de apoyo para otras materias.

Iniciaremos con la línea recta.

57

TALLER No. 2. LA LINEA RECTA Temas a cubrir: a) Pendiente y ángulo de inclinación (Definición, Pendiente y Angulo de inclinación) b) Paralelismo y perpendicularidad (líneas que forman rectas paralelas, demostración a través de pendientes, líneas que son perpendiculares o cruzadas) c) Ecuación de una recta - Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen - Caso 2: Punto-Pendiente Metodología:  Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos  Sesión de preguntas y respuestas  Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales  Algoritmos de solución  Repaso de conceptos anteriores a) Pendiente y ángulo de inclinación Se le denomina pendiente ( m ) de una línea recta a la relación que existe entre la elevación (el cambio en la variable dependiente y ) y el avance ( el cambio en la variable independiente x ) A partir de los datos podemos hacer los siguientes cálculos: e = y2 – y1 = 5 - 2 = 3 P2(x2 , y2 )

a = x2 – x1 = 6 – 2 = 4

e

Según la definición anterior sería entonces:

m

elevación y 2  y1  avance x 2  x1

P1(x1 , y1 )

a

En el ejemplo anterior, la pendiente será entonces: m = ¾ = 0.75 Esto se puede leer así: “Por cada unidad que se avance de x, se eleva tres unidades de y “ Ejercicios: Calcula la pendiente de los puntos del ejercicio anterior: 1.

(5, 4), (6, 14) 58

2. 3.

(3, 1), (1, -6) (-1, -2), (-4, -7)

A partir de lo anterior, podemos construir otra definición: “Se le llama ángulo de inclinación a la pendiente convertida a unidades trigonométricas de la tangente” Si estamos utilizando una calculadora científica, el proceso para calcular el ángulo de inclinación, puede realizarse de la siguiente forma suponiendo que cada par de corchetes representa la secuencia de teclas que deberán de oprimirse:

3  4  Shift  Tan Shift   , ,, Nota: En algunas calculadoras la tecla [Shift] es lo mismo que [2nd] y la tecla [º ' "] (grados, minutos y segundos) equivale a la tecla [DMS] (degree, minutes and seconds)

b) Paralelismo y perpendicularidad Definiciones: Paralelas: Son dos rectas cuyas pendientes son iguales Perpediculares: Son dos rectas cuyas pendientes son inversas y con signo contrario. Dicho de otro modo, al cruzarse forman 4 angulos rectos de 90º. Con base en dichas definiciones podemos escribir con símbolos dichas condiciones: Paralelas: m1 = m2 1 Perpendiculares: m1   ó m1 • m2 = -1 m2

Ejercicios: Utilizando las fórmulas anteriores determina si las rectas formadas por los pares de puntos son paralelas o perpendiculares: 59

a) L1 (-5 , 0) (0 , 5) y L2 (-2,2) (0, 0) b) L1 (0, 10) (0, -10) y L2 (1, 2) (10, 2) c) L1 (0, 3), (2 , 0) y L2 (-2, 0) (0, -3) Repaso de conceptos utilizados en esta sesión: 1. 2. 3. 4.

Pendiente Angulo de inclinación Paralelismo: condiciones para que dos rectas sean paralelas Perpendicularidad: condiciones para que dos rectas sean perpendiculares

TALLER No. 3. LA LINEA RECTA Temas a cubrir: a) Ecuación de una recta - Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen - Caso 2: Punto-Pendiente Metodología:  Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos  Sesión de preguntas y respuestas  Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales  Algoritmos de solución Definición: a) Ecuación de una recta Se dice así de una expresión algebraica que muestra la correspondencia o relación entre una variable dependiente “y” (la ordenada) y una variable independiente o “x” (la absisa), de tal forma que esta expresión permite describir toda la recta y cada uno de sus puntos. Algebraicamente esto es: y = f(x) que se lee: “Ye es una función de equis” También, y según sea el caso, se puede presentar la misma ecuación igualada a cero colocando primero a las equis, luego a las yes, y por último el valor de la constante como por ejemplo: 3x +4y -5 = 0 Caso 1: Pendiente-Ordenada en el origen Se puede definir la ecuación de una recta disponiendo simplemente de su pendiente y la ordenada (b) en el origen (el valor de y por donde pasa la línea recta al cortar el eje de las ordenadas). 60

Ejemplo1: Definir la ecuación de una línea recta dados: m= 0.75 b= 3

En este caso, convertimos la fracción decimal (0.75) en una fracción común y simplificamos hasta donde sea posible:

75 15 3 Esta pendiente nos indica que por cada 4 unidades de avance, hay una   100 20 4 elevación de 3 unidades Por otra parte el valor de b=3 nos indica que la línea recta corta al eje de las ordenadas en 3. Gráficamente esto sería así: Matemáticamente, la pendiente nos indica que por cada unidad que cambie el valor de y la x lo hace en 0.75 +3, es decir: Intersecció n

3 Unidades de elevación

4 Unidades de avance

y

3 x3 4

Para comprobar lo anterior, simplemente damos valores a la x y los cotejamos con los de y: Por ejemplo: X=0

X=4

y

3 (0)  3  3 4

y

3 (4)  3  3  3  6 4

Tal como se puede comprobar en la gráfica anterior

Ejemplo 2: Determine la ecuación de la recta dados m=3 , b=0.5

61

Este caso es más fácil si retomamos el esquema anterior. Observa de dicho ejemplo que la pendiente transformada en fracción común multiplicaba a la x, y el valor de y simplemente se colocaba al final de la ecuación respetando su signo. Si asignamos el valor de la ordenada a la variable b, la ecuación pendiente-ordenada al origen se simboliza así: Y = mx +b Por tanto, nuestro problema ya resuelto sería:

y = 3x + 0.5

Ejercicio: Sustituye algunos valores de x para que obtengas los valores de la y . En el espacio que se dá a continuación grafica dichos puntos y comprueba si la formulación es correcta:



y

          









































x 

       

Caso 2: Ecuación Punto-pendiente: Similar al caso anterior, podemos definir este tipo de ecuaciones a partir de dos datos que son un punto P1 (x1 ,y1) y la pendiente. Si utilizamos como referencia un punto cualquiera P(x,y), la pendiente entre estos dos puntos estaría dada por:

62

y  y1 Puesto que esta pendiente es igual que la otra que es dada como dato, al x  x1 igualar dichas pendientes tendríamos: m1 

m  m1 

y  y1 x  x1

Despejando dicha ecuación se tiene entonces:

y  y1  m( x  x1 ) que es la fórmula Punto-pendiente

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta dados P(3,3) y m=5

Utilizando la fórmula obtenida anteriormente, esto sería así:

y-3=5(x-3) y-3=5x-15

Ordenando términos e igualando a cero:

5x-y-12=0

que es la ecuación de la recta que se busca

Ejercicios: Encuentra la ecuación de la recta para cada caso: A) 1. 2. 3. 4. 5.

m=3 , b = -6 m= -5 , b= 2 m=0 , b= 3 m=7 , b= 2/3 m= -3/5 , b = -8

63

B) 1. 2. 3. 4. 5.

(0, 3) , m=1 (-3, -5), m=0 (0, -4), m= -2/3 (-1, -1), m= -5/7 (-5, -5), m= -1/2

Revisión de conceptos: Escribe una definción propia de los siguientes conceptos: a) b) c) d) e)

Punto-Pendiente Pendiente-Ordenada en el origen Variable independiente Variable dependiente Función de una variable

Ejercicio: Grafica las ecuaciones obtenidas en los incisos anteriores este espacio: 

y

          









































x 

       

Aplicaciones:

64

1. El gerente de un negocio, ha determinado que los costos de su empresa en el nivel de producción 0 Unidades, es de $200.00 (Costos Fijos). Si al vender 300 unidades los costos se incrementan en $280.00 (Costos variables), determine la ecuación que define la línea de costos variables y calcule el costo de producción de la empresa cuando se produzcan 1000 unidades 2. Si el punto de equilibrio operativo de una empresa se alcanza cuando se producen 500 unidades a $480.00, y por cada 100 unidades más de venta los costos aumentan en 60 unidades, ¿Cuál sería el nivel de costo cuando se alcance un nivel de producción de 1000 unidades?

TALLER No. 4. LA LINEA RECTA Temas a cubrir: Ecuación de una recta - Caso 3: Ecuación Cartesiana - Caso 4: Reducida a absisa y ordenada en el origen Metodología: b) Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos c) Sesión de preguntas y respuestas d) Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales e) Algoritmos de solución

Conceptos nuevos: Reducida a absisa: Se trata de una forma de expresar que un punto de referencia solo contiene dentro del paréntesis el valor de la absisa ( x ) y en la mayoría de los textos se le representa con una letra a, en el caso análogo, cuando solo hay un valor de y, se le conoce como ordenada al origen y se representa con una letra b. De esta forma, un par de puntos con estas características no requiere expresarse en la forma normal entre paréntesis, simplemente indicando el valor de a y de b.

Caso 3: Ecuación Cartesiana Se le llama así a esta forma de la recta porque se utiliza como base de cálculo dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Basados en el esquema anterior, la forma punto pendiente, bastará con igualar las dos pendientes, m1 y m2 para obtener dicha ecuación, es decir:

65

●

m1 

y  y1 x  x1

P(x,y)

m

1 ● P(x1 , y1)

m2

● P(x2 , y2)

y  y2 m2  1 x1  x 2 m1  m 2 y  y1 y1  y 2  x  x1 x1  x 2

ó

y  y1 y 2  y1  x  x1 x 2  x1

Caso 4. Reducida a absisa, ordenada al origen (Simétrica) Este caso se presenta cuando una línea recta corta a ambos ejes x e y, por lo que sus coordenadas contendrán al menos un valor que sea cero. Ejemplo:

Utilizando la fórmula anterior:

y y  0 0  y1   1 x  x2 x2  0 x2 x 2 ( y  0)   y 1 ( x  x 2 ) x 2 y   y1 x  y1 x 2



P1(0,y1)

P2(x2,0)



Dividiendo entre x 2 y1 x2 y yx yx  1  1 2 x 2 y1 x 2 y 1 x 2 y 1 y x   1 Si y1  b y x 2  a ; y1 x 2 y x  1 b a

Que es la fórmula para una ecuación reducida a absisa y ordenada al origen.

66

Revisión de conceptos: a) Reducida a absisa-ordenada en el origen b) Cartesiana Ejercicios: Determina y grafica la ecuación de la recta dados: a) a = 4, b=-8 b) a= -3 , b= -9 c) a= 3/8 , b= -9/10 d) a= 36/6 , b= 48/6 e) P1(-2, -6), P2(-3, -3) f) P1(1, 1100), P2(5, 1700) g) Suponiendo que los datos anteriores son la gráfica de poblacion de Pantanal, y el 5 representa el año 2003, Calcule la población estimada para el 2004 y el 2005. Aplicaciones: h) Un consumidor está dispuesto a pagar $5.00 por 2 Unidades de producto. Si el costo aumenta a $6.00, el consumidor reduce a 1 Unidad su consumo. Determine la ecuación que define la línea de indiferencia de dicho consumidor. i) Teóricamente, ¿cúanto pagaría al nivel cero de producto?¿Cuál sería el nivel máximo de consumo si el precio fuese cero?

TALLER No. 5. LA LINEA RECTA Temas a cubrir: j) Ecuación de una recta  Caso 5: Ecuación General  Caso 6: Ecuación normal Metodología: f) g) h) i)

Lectura en grupo del material bibliográfico aportado por los alumnos Sesión de preguntas y respuestas Planteo de situaciones problemáticas ideales o reales Algoritmos de solución

Conceptos nuevos: Ecuación general de la recta: Se le denomina así a la expresión matemática de una recta en donde se presentan de manera ordenada los tres elementos de una recta, representados por tres coeficientes que son A, B y C. Ecuación normal de la recta: De forma similar, los coeficientes aparecen ahora, como una expresión trigonométrica calculados a partir de un segmento OP, que sale desde el orígen hasta el punto P y el ángulo que forma está dado por la expresión 0°  w < 360°

67

Caso 5: Ecuación General Se le llama así a esta forma de la recta porque se obtiene de las formas anteriores. Es decir, se generaliza partiendo de una ecuación que ha sido igualada a cero, donde se pueden observar que existen tres tipos de coeficientes: el primero para un valor de la x, el cual se representa por una letra A, el segundo para un valor de la y, representado por una letra B, así como un valor que representa la ordenada cuando el valor de x=0, que se simboliza con una letra C. Esto es:

Ax + By + C = 0

Si despejamos el valor de y podemos deducir dos fórmulas más: una para la pendiente (m) y otra para el valor de la ordenada (b) :

m

A B

y

b

C B

Ejercicio: 1. De los problemas planteados para los talleres 3 y 4, expresa las respectivas ecuaciones en su forma general indicando el valor de sus coeficientes, sus pendientes y sus ordenadas. Grafica ahora, en función de m y de b 2. ¿Qué ventajas le ves a esta forma de expresar una línea recta? a. Para graficar b. Para expresar una relación elevación-avance y posición respecto al eje y Caso 6. Ecuación normal Si tomamos el segmento dado por los puntos OP de la recta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, los valores de x e y están dados por:

68

X1= p(Cos w) Y1= p(Sen w) Cosw m Senw P(x,Y )

o

Si ahora utilizamos la expresión para la forma Punto-Pendiente la expresión cambia a: y-y1=m(x-x1)

Cosw ( x  pCosw) Senw ySenw  pSen 2 w   xCosw  pCos 2 w Igualando a cero y factorizando : y  pSenw  

xCosw  ySenw  p( Sen 2 w  Cos 2 w)  0 Puesto que : Sen 2 w  Cos 2 w  1 xCosw  ySenw  p  0

Que es la fórmula para una ecuación normal. Nota: Conviene para este caso, recordar la identidad fundamental Sen2x + Cos2x = 1 obtenida a partir de un triángulo rectángulo donde a es el cateto adyacente, b el cateto opuesto y c la hipotenusa, así:

Sen ( x)  2

b c

y

Cos ( x) 

a c

2

b a      1 c c b2  a 2  1 ; b2  a 2  c2 c2

Que es el teorema de Pitágoras

69

Ejercicios: 1. Hallar la ecuación y graficar la recta en la forma normal siendo: a. W=-130° , p = -4 b. W=135° , p = -1 c. W=-15° , p= 0 2. Transforma las ecuaciones encontradas a la forma general y encuentra las pendientes de dichas ecuaciones y el valor de su ordenada. Grafica.



y

          









































x 

       

70

CÓNICAS Las cónicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Es importante tener en cuenta que son líneas curvas y no superficies. Las cónicas son: 

Circunferencia. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base.



Elipse. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.



Parábola.- Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a una generatriz.

71



Hipérbola.- Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un perpendicular a la base del mismo.

plano

Si el plano que intersecta al cono perpendicularmente a la base contiene al vértice, se

obtienen dos semirrectas que se cortan, también llamadas hipérbola degenerada.

72

En estos momentos vas a iniciar un nuevo tema en tu transitar por esta asignatura, tema que tiene aplicación en diversos problemas de construcción. distancias, etc. te invitamos a que comiences observando la siguiente figura. Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y determina si las líneas curvas son circunferencias o espirales.

¿Qué es lo que ves? ¿Qué curva identificaste en el dibujo? ¿Cuál es tu concepto de circunferencia? 73

¿Cuál es tu concepto de círculo? ¿Qué relación encuentras en estos conceptos? El tema que estudiarás ahora es la circunferencia, con los materiales que tienes a la mano traza una circunfería y de acuerdo a lo realizado rectifica o ratifica tu concepto de circunferencia. Ahora consulta tu guía de trabajo y analiza los contenidos expuestos sobre la circunferencia

A partir de este ejemplo, analizaremos una de estas curvas, la circunferencia:

1.3 LA CIRCUNFERENCIA 1.3.1 Análisis de la circunferencia.

Circunferencia.- Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O

o

r

C (O, r) se lee: circunferencia de centro O y radio r. Círculo.- Se llama círculo al conjunto de puntos de una circunferencia, más los puntos interiores a la misma.

O 

74

Aunque a veces se confunden ambos conceptos, observa que geométricamente, la circunferencia es una línea; en cambio el círculo es una superficie. Posiciones relativas de un punto con respecto a una circunferencia. A pertenece a la circunferencia B interior a la circunferencia C exterior a la circunferencia

A O B C

Para determinar la gráfica y la ecuación algebraica que representa a una circunferencia, es suficiente conocer su centro y su radio. La representación geométrica y su definición, nos conducen a la expresión algebraica que le corresponde.

y

P(x,  y)

 C(h, k) 0

x 1. Con la ayuda de un compás traza una circunferencia, llamando centro al punto fijo y asignándole las coordenadas C(h,k). 2. Toma un punto cualquiera de la circunferencia y llámale P(x,y)

75

3. Traza un segmento que una al centro C(h,k) con el punto P(x,y), llamándole radio a la distancia que los separa. 4. Definidas las coordenadas del centro y del punto, sustitúyelas en la fórmula de la distancia entre dos puntos. P(x, y); C(h, k) d PC = r=

(x2 - x1)2  (y2 - y1)2 (x - h)2  (y - k)2

r= de donde r2 = ( x - h)2 + (y - k)2

Al observar esta ecuación notarás que es de segundo grado con dos variables, en la cual se requiere conocer el centro y el radio para determinar la ecuación de cualquier circunferencia. Esta ecuación es conocida como forma ordinaria de la circunferencia. Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C(1,2) y radio r=3 y r=3 0

 C(1, 2)

x

Sustituyendo los valores conocidos C(1, 2) y r = 3 en: r2 = (x - h)2 + (y - k)2

76

Tenemos: 32 = (x - 1)2 + (y - 2)2 9 = ( x2 –2x + 1) +( y2 – 4y + 4 ) desarrollando binomios: 9 = x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 al pasar todo a un solo lado y ordenando, nos queda: x2 + y2 – 2x – 4y – 4 =0 cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, h=0 y k=0, se obtiene una forma más sencilla:

r2 = (x - h)2 + (y - k)2 r2 = (x - 0)2 + (y - 0)2 r2 = x2 + y2 A esta forma se le conoce como forma canónica de la circunferencia.

Ejemplo 2: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro C(0, 0) y radio r = 2 y

r=2

x

C(0, 0)

Sustituyendo los datos C(0, 0) y radio r=2. (x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x - 0)2 + (y - 0)2 = 22 desarrollando los binomios: x2 + y2 = 4 o bien:

77

x2 + y2 – 4 = 0 Observa que al conocer el centro y el radio de la circunferencia, es muy sencillo obtener la ecuación que la representa. En cualquier otra situación donde se desconozcan esos valores, se deben analizar las condiciones planteadas para obtenerlos. Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento formado por los puntos: M(1, 2) y N(-5, 4) y

n(-5, 4) •

m(1, 2) • x

0

Como el segmento MN es el diámetro, su punto medio es el centro C(h, k) de la circunferencia; al usar la fórmula de punto medio, obtenemos: h = x1 + x2 2 h = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2 k = y1 + y2 2 k = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 El radio “r” es la mitad de la distancia MN, r = d MN = 2

(1+5)2 + (2-4)2 2

=

36+4 2

= 40 = 2

4 x 10 = 2 10 = 10 2 2

por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 10 Forma general de la ecuación de la circunferencia Al desarrollar los binomios de la forma ordinaria, para la circunferencia (y-k)2 = r2 se obtiene:

(x-h)2 +

78

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 Si se hacen las sustituciones de –2h por D, -2k por E y h2 + k2 – r2 por F; la ecuación queda: x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuación a la que se llama forma general de la ecuación de la circunferencia. Para conocer los elementos de una circunferencia dada su ecuación general, necesitamos pasar de la forma general a la forma ordinaria, desarrollando los siguientes pasos:

1.- Ordenar los términos de la forma general, agrupando a las variables iguales: (x2 + Dx) + (y2 + Ey) = -F 2.- Completar los trinomios cuadrados perfectos, agregando: D2 + E2 4

4

a ambos lados de la igualdad: (x2 + Dx + (D2 / 4)) + (y2 + Ey + (E2 / 4)) = D2 + E2 – 4F 4 3.- Transformar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado: (x + D/2)2 + (y + E/2)2 = D2 + E2 – 4F 4 quedando así expresada en la forma ordinaria, donde el centro y el radio son en este caso: C ( -D/2 , – E/2) Y r =

D2 + E2 – 4F 4

Recuerda que todo número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero, por lo que la forma ordinaria expresada como (x-h)2 + (y-k)2 = r2 o bien como: (x- D/2)2 + (y – E/2)2 = D2 + E2 – 4F 4

79

Representa a la ecuación de una circunferencia sólo si el miembro del lado derecho, que representa al radio, es mayor que cero. En el caso en que el radio sea igual a cero, la ecuación representa a un punto de coordenadas (h,k).

Cuando el radio es menor que cero, la ecuación no representa ningún punto real. Ejemplo. Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación a: x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 Aplicando las fórmulas anteriores:

y r 

C(-2,3)

r 0

C

D 2 ,

E 2

=

C

4 2 ,

(-6) 2

x

= C(-2,3)

D2 + E2 – 4F = 42 + (6)2 – 4 (-3) = 16 = 4 4 4 Por otro lado, si seguimos los pasos empleados para transformar la forma general a la forma ordinaria, tenemos: r=

1. (x2 + 4x) + (y2 – 6y) = 3 2. x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 3 + 4 + 9 3. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16 80

De donde el centro es el punto C(-2,3) y el radio es r = 4, resultados que por el método anterior.

obteniendo los mismos

1.3.2 Relación entre circunferencia y recta La geometría plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tiene un solo punto en común con dicha curva. En general, la definición anterior no es aplicable para todas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente en un punto corta a la curva en uno o más puntos distintos.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera f (x, y ) = 0. Sean P1(x1, y1), P2 (x2, y2), dos puntos distintos cualesquiera de la curva, de tal manera que el arco de curva que los une sea continuo, es decir, el P2 se puede aproximar a P1 permaneciendo siempre sobre la curva.

y tg

Sec p2

Sec

Sec p2

Sec P2(x2,y2)

P1(x1,y 1) p2 (x,y)=0

0

x

Sea una recta secante que pasa por P1 y P2 de la curva, en donde P2 es el punto que se mueve sobre la curva hacia P1 y a medida que el punto móvil se acerca al punto fijo, la recta secante gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al punto fijo; en general, tiende a una posición límite representada por la recta P1T que se define como la tangente a la curva en el punto P1, que particularmente se denomina punto de tangencia. La pendiente de la curva f(x, y) = 0 en el punto P1 se define como la pendiente de la tangente a la curva en P1.

81

Tangente a una circunferencia La tangente a una circunferencia es la perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. La ecuación de la tangente a una circunferencia queda perfectamente determinada si se conocen su pendiente y el punto de tangencia o algún otro de sus puntos. Cuando se conoce cualquiera de dichos datos, el otro se determinará a partir de las condiciones dadas en el problema. Por lo anterior, consideramos los siguientes casos. 1. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto dado de tangencia. 2. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que tiene una pendiente dada. 3. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto exterior dado. El método de solución para cada uno de estos casos es muy semejante, en cada problema se presenta una condición y con base en ello, se escribe la ecuación de la familia de rectas que cumplan con dicha condición; la ecuación resultante contiene un parámetro que se calcula por medio de la condición de tangencia. Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada del punto A (11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0 (doble solución).

Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (11, 4), es: y – y1 = m (x – x1) y – 4 = m (x – 11) En la ecuación, m representa la pendiente de la recta tangente por determinar; al despejar con respecto a y, tenemos: y – 4 = m (x – 11) y – 4 = m x – 11m  y = mx – 11m + 4 Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta: x2 + y2 – 8x – 6y = 0 + (mx – 11m + – 8x – 6 (mx – 11m + 4) = 0 2 2 2 2 2 x + m x + 121m + 16 – 22m x + 8mx – 88m – 8x –6mx +66 m – 24 = 0 x2 + m2x2 – 22m2x + 2mx – 8x +121m2 – 22m – 8 = 0 x2

4)2

82

(1 + m2) x2 – (22m2 – 2m + 8) x + (121m2 – 22m – 8) = 0 Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; si se aplica la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:  - (22m2 – 2m + 8)2 – 4 (1 + m2 ) (121m2 – 22m – 8) = 0 4 2 484m + 4m + 64 – 88m3 + 352m2 – 32m – 484m2 + 88m + 32 – 484m4 + 88m3 + 32m2 = 0 -96m2 + 56m + 96 = 0 Al simplificar tenemos: -12m2 + 7m + 12 = 0 Al multiplicar por (-1), tenemos: 12m2 – 7m – 12 = 0 Al factorizar: (4m + 3) (3m – 4) = 0 4m + 3 = 0 3m – 4 = 0 m1 = - 3 m2 = 4 4 3 Las ecuaciones de las tangentes son: Para m1 = - 3 4 y – 4 = m1 (x – 11) y – 4 = - 3 (x – 11) 4 3x + 4y – 49 = 0 Para m2 = 4 3 y – 4 = m2 (x – 11) y – 4 = 4 (x – 11) 3 4x – 3y – 32 = 0 Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A(11, 4) a la circunferencia x 2 + y2 – 8x – 6y = 0, son: 3x + 4y – 49 = 0 y 4x – 3y – 32 = 0.

Ejemplo 2:

83

Determinar las ecuaciones de la tangente a la circunferencia x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 en el punto A (4, 1). Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (4, 1), es: y – y1 = m (x – x1 ) y – 1 = m (x – 4 )

Si se despeja para y, tenemos: y = mx – 4m + 1 Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta: x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 + (mx –4m + – 14x – 10 (mx – 4m + 1) + 49 = 0 2 2 2 2 2 x + m x + 16m + 1 - 8m x + 2mx – 8m – 14x - 10 mx + 40m – 10 + 49 = 0 x2 + m2x2 – 8m2x - 8mx – 14x +16m2 + 32m + 40 = 0 (1 + m2) x2 – (8m2 + 8m + 14) x + (16m2 + 32m + 40) = 0 x2

1)2

Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; al aplicar la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:  - (8m2 – 8m + 14)2 – 4 (1 + m2 ) (16m2 + 32m + 40) = 0 4m4 + 64m2 + 196 + 128m3 + 224m2 + 224m – 64m2 - 128m - 160 - 64m4 - 128m3 – 160 m2 = 0 64m2 + 96m + 36 = 0

Al simplificar: 16m2 + 24m + 9 = 0 Al factorizar: (4m + 3) (4m + 3) = 0 4m + 3 = 0 4m + 3 = 0 m1 = - 3 m2 = - 3 4 4 La ecuación de la tangente es: y – 1 = m (x – 4) y – 1 = - 3 ( x – 4) 4 4y – 4 = -3x + 12 3x +4y – 16 = 0

84

1.3.3 Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones. Analizando las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia, notarán que hay tres valores independientes: “h”, “k” y “r” en la primera y D, E, F en la segunda. Significa que, como toda circunferencia, puede plantearse analíticamente con cualquiera de las formas mencionadas, sólo se requiere encontrar el valor de tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes. Geométricamente, el trazo de la circunferencia requiere también de tres condiciones independientes para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser tres puntos, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un triángulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc. El objetivo será plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistemas de ecuaciones. Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, - 3), B(4, - 1) y C(2, 1). Solución: como la circunferencia pasa por estos puntos, cada uno de ellos debe satisfacer a la fórmula general, por lo cual se sustituyen “x” y “y” en la ecuación por los valores de las coordenadas de los puntos. Para A(2, -3) queda 22 + (-3)2 + 2D - 3E + F = 0 para B(4, -1) queda 42 + (-1)2 + 4D – 1E + F = 0 para C(2, 1) queda 22 + 12 + 2D + 1E + F = 0 Formándose un sistema 3x3 que ya reducido se expresa: 2D – 3E + F = - 13 4D – E + F = - 17 2D + E + F = -5 Al resolver este sistema con uno de los métodos ya estudiados, en cursos anteriores, nos quedan los siguientes resultados. D = -4

E=2

F=1

sustituyendo estos valores en la forma general: x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0

obtenemos: 85

X2+ y2 –4x + 2y + 1 = 0 que es la ecuación de la circunferencia buscada. Su centro y su radio están dados por:

h=- D

k=-E

2

2

y

r=

D2 + E2 – 4F 4

h = - (-4) = 2

k = - 2 = -1

2

2

y r=

16 + 4 – 4

= 2

4

de modo que, la gráfica correspondiente es: (Ver figura ). Y

| •| 0

• C (2,-1) r=2 • C (2,-1)

x

r =2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Encuentra la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y redúcela a la forma general. a) Centro en (-6,4), b) Centro en (-2, -5),

radio 8. radio 4.

2. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) b) c) d)

(x – 6)2 + (y + 4)2 = 25 (x + 3)2 + (y – 1)2 = 100 x2 + y2 – 20x + 40y + 379 = 0 3x2 + 3y2 + 36x – 12y = 0

86

3. Encuentra las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes condiciones: a) Tiene su centro en (-4, -2) y pasa por (2, 5). b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje x. c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x – 2y + 10 = 0. 4. Graficar las circunferencias que se dan en los incisos a, b, c del problema 3

5. Describir el lugar geométrico que representa cada una de las siguientes ecuaciones: a) x2 + y2 – 10x + 8y + 5 = 0 b) 4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0 c) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0

6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) A(0, 0), B(3, 6) y C(7, 0). 7. Encuentra la ecuación de la circunferencia con radio = 5 y tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0

en (4, 1).

8. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (3, 2) y B (-1, 6) y su centro está sobre la recta 6x + 15y + 3 = 0.

9. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al orígen es siempre el triple de su distancia al punto (8,0).

10. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas en el punto indicado. 1. x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0 en A (1,2) 2. x2 + y2 – 2x – 6y - 3 = 0 en A (-1,6) 3. x2 + y2 – 100 = 0 en A (6, -8)

87

11. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas y que tengan la pendiente que se indica (todos los problemas tienen doble solución). 1. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0

para m = 3 / 4

2. x2 + y2 + 8x – 12y + 34 = 0

para m = -1

3. x2 + y2 – 10x + 2y + 18 = 0

para m = 1

4. x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0

para m = - 2 / 3

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias.

a) Centro en (0, -5), radio 8. b) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambos ejes y radio igual a 4 c) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6 d) Circunscrita al triángulo de vértices: A(6, 2), B(7, 1) y C(8, -2)

II. Encuentra el centro y el radio de la siguiente circunferencia. 9x2 + 9y2 + 72x – 12y – 103 = 0

III. Encuentra el área del círculo y el perímetro de la circunferencia. 7x2 + 7y2 + 4x – 82y + 55 = 0

IV. Demuestra que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) y (5, 2) están sobre una misma circunferencia.

V. Determina la ecuación de la tangente a la siguiente circunferencia en el punto indicado. x2 + y2 – 8x +3 = 0

en

A (6,3)

88

Sin duda alguna conoces este dibujo: ¿Qué representa? ¿En que se utiliza? ¿Cómo funciona?

¿Quieres aprender más sobre la forma de esta antena?

Analiza los contenidos que a continuación se presentan y descubre nuevos conocimientos sobre la:

1.4 LA PARÁBOLA La parábola es una trayectoria común en nuestra vida cotidiana. Es el recorrido que sigue cualquier objeto cuando lo lanzamos con cierta velocidad e inclinación respecto a la horizontal. Este movimiento queda dibujado en el recorrido de las partículas de agua que salen de una manguera. También forman parte de nuestro mundo las antenas parabólicas, en éstas cualquiera de las curvas contenidas, que pasan por el vértice de la antena es una parábola. El propósito de esta disposición es dejar las señales electromagnéticas (de televisión o de radio) de manera que todas ellas se concentren en un solo punto. Un propósito similar cumplen los espejos parabólicos de los grandes telescopios, tales como el que posee México en San Pedro Mártir, o el de Monte Palomar, en Estados Unidos.

89

Como puede apreciarse existe una gran diversidad de aplicaciones que se generan al estudiar las propiedades de una curva, en esta ocasión la trayectoria parabólica, cuya definición es: PARÁBOLA. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Se compone de los siguientes elementos como se observa en la gráfica:

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

D

VÉRTICE (V)

L

FOCO (F) LADO RECTO (LR) v

DIRECTRIZ (DD)

F

EJE DE SIMETRIÁ D´

R

DISTANCIA FOCAL (VF) Un aspecto de gran importancia para la parábola es la distancia que existe entre su vértice y su foco. Sabemos por definición que ésta es equivalente a la distancia entre la directriz y el vértice, por lo general esta distancia suele representarse mediante la letra "a", es decir: VF

= VD  = a

La importancia de "a" radica en que determina la forma de la parábola.

1.4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen La parábola a diferencia de la circunferencia, presenta posiciones distinguibles respecto a los ejes coordenados. Será necesario por esto, establecer una ecuación para cada posición; para su estudio dividiremos en cuatro casos en cuanto a su posición en los ejes coordenados. Analicemos la forma que presenta su ecuación si su vértice es en el origen y eje de simetría se encuentra sobre el eje de las abscisas.

90

Y

D ( -a,0) y )

P(x,y )

X V

F ( a,o )

La figura ilustra el caso, en donde la parábola se extiende hacia la derecha. Observe que las coordenadas del foco son F(a,0), P (x,y) un punto cualquiera de la parábola; la directriz corresponde al lugar geométrico cuyas abscisas son -a, su ecuación es: x =-a

El punto D se localiza sobre la directriz, por lo cual su abscisa es -a, además se encuentra colocado a la misma altura que P, por lo que la ordenada de ambos es la misma, entonces las coordenadas de D son: D ( -a , y )

Una vez determinadas las coordenadas de P, D y parábola:

PF

F , recordemos la definición de

= PD  = a

Que es equivalente a: (x - a)2  ( y - 0 ) 2

=

(x  a ) 2  ( y - y ) 2

Elevando ambos miembros De la igualdad al cuadrado

(x -a)2 + y 2

Desarrollando los binomios

x2 - 2ax + a2 + y 2 = x 2 + 2ax + a2

= (x + a ) 2

91

Despejamos y2

:

y2 = x2+ 2ax + a2 - x2 + 2ax - a2

Reduciendo términos semejantes:

y2 = 4ax

Esta es la forma más simple como puede expresarse la ecuación de la parábola sujeta a las condiciones iniciales .

Para determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coincidente con x que se extiende hacia la izquierda, la única modificación que existe es la ubicación de F, ahora con abscisa negativa y D cuya abscisa es positiva; para distinguir lo anterior basta con dar signo a "a" :

Si a > 0 ( positivo) la parábola se extiende a la derecha

Si a < 0 (negativo ) la parábola se extiende a la izquierda

Resumiendo lo anterior quedaría de la siguiente manera:

Caso I

Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "x"

Ecuación de la parábola

y2 = 4ax

V ( 0 , 0 ) F ( a, o ) LR = 4a

Ecuación de la directriz

x = -a

y2 = - 4ax V(0,0)

F (- a, o ) LR = 4a

x=a

Posición de la curva

a>0

X

a 0 ( positivo ) la parábola se extiende hacia arriba a < 0 ( negativo ) la parábola se extiende hacia abajo

93

Resumiendo lo anterior esto quedaría así:

Caso II

Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "y"

Ecuación de la parábola x2 = 4ay V( 0 , 0 )

F( o, a ) LR = 4a

x2 = - 4ay V( 0 , 0 ) F( o, - a ) LR = 4a

Ecuación de la directriz y = -a Posición de Y la curva a>0

y=a Y a0

F( h - a, k) LR = 4a

V( h , k )

x=h+a

a0

a< 0

Y

k

k X

h

h

X

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V (-2, 5) y foco en F (3, 5) Si graficamos al vértice y foco podemos saber que el eje de simetría es paralelo a las "x" y que la parábola se extiende hacia la derecha, debido a que a > 0

Y V(-2, 5)



 F(3, 5)

-2

3

X

98

Con la gráfica anterior podemos recordar que la magnitud de "a" es VF , por lo tanto podemos concluir que a = 5, y su ecuación sería: ( y - 5 )2 = 4 (5) (x + 2) (y - 5) 2 = 20 (x + 2)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.

II.

Determina la ecuación de la parábola dado el vértice y el foco: 1.

V (3, -5)

F(-4, -5)

2. V (5, 3 )

3.

V (5, -6)

F (5, 2)

4. V (4, -1)

F (4, 6)

5.

V (3, 6)

F (-2, 6)

6. V (-6, 3 )

F(4, 3)

Encuentra la ecuación de la parábola y las coordenadas del foco, si el vértice y la directriz son las siguientes: 7. V ( 8, 5) y = 7 8. V (3, 5) y= -6 9.

V (-3, 6)

11. V (-7, -2)

III.

F (3, 3)

x = -5

10. V (2, -4)

x = -7

y = 10

11. V (5, -3)

y-5=0

Dadas las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz, encontrar la ecuación de la parábola. 13. F (-9, 6)

x = -5

14.

F (7, -4)

x+1=0

15. F (3, -3)

y=4

16.

F (6, 2)

y = -16

17. F (8, -4)

x + 12 = 0

18.

F (7, -5)

y+5=0

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. A partir de los siguientes elementos, encuentra y grafica la ecuación de la parábola. 1. V (-3, 4) 3. V (7, 2) 5. V (4, 7) 7. F (1, 4)

F(-2, 6) F (6, 5) el eje y Y+8=0

2. 4. 6. 8.

V (10, 9) V (1, 3) V (0, 3) F (-8, 0)

F(13, 11) F (-4, 0) Y - 16 = 0 X = -9 99

1.4.2 Forma general de la ecuación de la parábola

Si partimos de la forma de una parábola con vértice V (h, k) y eje de simetría paralelo al eje "x", tendremos: ( y - k )2 = 4a ( x - h )

si desarrollamos el binomio:

y2- 2ky + k2 = 4ax - 4ah

trasladando todos los términos al primer miembro:

y2 - 2ky + k2 - 4ax + 4ah = 0

Acomodando términos:

y + (-2k)y + (-4a)x + (k + 4ah) = 0

Si:

D = - 2k

Entonces la ecuación general sería:

E = - 4a

F = k2 + 4ah

y2 + Dy + Ex + F = 0

Esta forma de la ecuación nos puede representar a cualquier parábola. De manera semejante la forma general para una parábola con v (h, k) y eje de simetría en las "x" sería: (x - h) 2 = 4a (y - k) se transforma en:

x2 + (-2h)x + (-4 a)y + (h2 + 4ak) = 0

por lo que:

D = - 2h

la ecuación se expresa así :

x2 + Dx + Ey + F = 0

E = - 4a

F = h2 + 4ah

Ejemplo: La forma estándar de la ecuación de la parábola es ( x - 3)2 = 20 (y - 1), transformarla a su forma general: ( x - 3) 2 = 20 ( y - 1 ) x2 -6x + 9 = 20y - 20 x2 - 6x + 9 - 20y + 20 = 0 x - 6x - 20y + 29 = 0 Si dada una ecuación general se desea conocer el vértice, foco, directriz, etc. además graficar el lugar geométrico, es necesario la: Determinación de los elementos de una parábola a partir de la ecuación general: 100

Ejemplo 1: Encuentre el vértice, foco, ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola 6y2 - x = 0 ¿Hacia dónde se extiende? Si analizamos la ecuación podemos decir que se trata de una parábola con vértice en el origen del plano y que tiene su eje simétrico en las "x" . Realizando operaciones quedaría: 6y2 = x y2 =

1 6

x

comparando con la forma canónica y2 = 4ax

4a=

O bien

entonces :

a=

V (0, 0)

1/6

1 / 24

F (1 / 24, 0 )

Directriz x = - a x = - 1/24

LR = 1 / 6

Finalmente la parábola quedaría: 1

1

1 -1

Ejemplo 2. A partir de la ecuación 4x2 - 4x + 16y + 49 = 0 de la parábola encuentra y grafica los elementos: Despejemos a los términos en "x"

4x2 - 4x = -16y - 49

101

Puesto que el coeficiente de "x" debe ser 1, dividiremos entre 4: x2 - x = -4y - 49/4 Completando el trinomio:

x2 - x + 1/4 = -4y - 49/4 + 1/4

Factorizando:

( x - 1/2 ) 2 = -4y - 48/4 ( x - 1/2 ) 2 = -4y - 12

Transformando:

( x - 1/2) 2 = -4 ( y + 3 )

Entonces:

h = 1/2

Se desprende que:

a = -1

V (1/2, -3)

k = -3

4a=-4

F (1/2, - 4)

y = -2

LR = 4

La gráfica quedaría así:

Y x

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.

A partir de la ecuación de la parábola encuentra sus elementos y grafica.

1.

x2 - 32y = 0

2.

y2 + 4x = 0

3.

x 2 - 64y + 20 = 0

4.

x2 - 8x - 16y - 32 = 0

5.

x2 + 12x - y + 6 = 0

6.

y2 - 16y - 40x – 36 = 0

102

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. A partir de la ecuación general de la parábola, determina: Vértice, Foco, Ecuación de la directriz, longitud del lado recto y grafica. 1. x2 - 16y = 0 3. x2 + 24x + 16y + 54 = 0

2.

y2 + 32y =0

4. y2 – 16y – 40x – 64 = 0

II. Un jugador de basquetbol hace un lanzamiento logrando la anotación, siendo su distancia al aro, en ese momento 5 m. La salida del balón se efectuó a 2m. Sobre el piso, la altura de la canasta es de 3 m. Si un espectador estima que el máximo alcance vertical de la pelota fue el doble de la altura del aro, ¿a qué distancia del jugador la pelota tocó el piso?. Considera que nada infirió con el movimiento hasta entonces.

103

En este apartado recorrerás otros espacios que son comunes en el entorno donde habitas, esta es una fuente que se encuentra en la capital del estado de Zacatecas. Observa:

¿Qué forma tiene la fuente?

¿Escribe otros espacios o construcciones donde has identificado estas formas?

Para conocer más sobre esta nueva curva analiza los conceptos que se enuncian en la guía del curso relacionados con esta curva: ¡adelante!

104

LA ELIPSE Hasta este momento se han analizado algunas formas geométricas, entre ellas la recta, la circunferencia y la parábola; ahora iniciaremos el estudio de otra figura formada por un conjunto de puntos que cumplen, al igual que en las anteriores figuras, con propiedades específicas que son diferentes a las anteriores figuras ya estudiadas. De cualquier forma la elipse es una cónica que resulta por el corte que se hace de un cono por un plano oblicuó a la base del cono. ¿has observado esta figura? Enumera ejemplos:

Definición: Elipse es el lugar geométrico determinado por la trayectoria de un punto que se mueve de tal manera que las sumas de las distancias del punto a dos puntos fijos llamados focos es una constante. Esa constante se llama eje mayor.

P(x,y)

O’ F(-c,0) Trazo:

Para

comprender

F(c,0) este

concepto

y

familiarizarnos

con

los

elementos de esta curva, realicemos el trazo, para ello seguiremos los siguientes pasos. a. Sobre una recta determinar los puntos A y A’ que formarán el eje mayor = 2ª 105

b. Localizar el punto medio de A’A, que será el centro de la elipse O’ c. Localizar en A’A, F y F’ que serán los focos de le elipse, considerar que O’F = O’F’ y O’F < O’A d. Con distancia O’A y haciendo centro en F y F’ se marcan los puntos B y B’ , extremos del eje menor B’B = 2b e. trazar entre O’F los puntos: S, T, U, etc. f. Con distancias SA y SA’ y haciendo centro en F y

F´ ,

trazar y cortar arcos para determinar los puntos M, M’, N, N’, que cumplirán con la definición y por lo tanto pertenecerán a la curva g. repetir el proceso con los puntos T, U, etc. h. Unir a mano alzada los puntos pasando por A y A’ para cerrar la curva

B *P(x,y)

A’

F’

O’

F

A

STU

B’

106

NOMENCLATURA: A’A y B’B: son los diámetros principales o ejes de simetría, eje mayor y eje menor respectivamente A, A’ vértices de la elipse A’A : es eje focal, eje mayor, se representa con 2a B’B: es eje no focal, eje menor, se representa con 2b F y F’ son los focos, F¨F es la distancia focal se representa con 2c PF y PF’ se llaman radios vectores y PF + PF’ = 2 a = eje mayor las cuerdas perpendiculares a los focos se llaman lado recto Lr = 2b2/a Cualquier cuerda que pase por el centro se le llama diámetro Las curdas que pasen por el foco y no por el centro se llaman cuerdas focales O’ : centro de simetría La relación entre la distancia focal y el eje mayor se llama excentricidad e = c/a, si e se acerca a 1 la curva se acerca a una recta , si e se acerca a cero la curva se aproxima la circunferencia por lo que

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