1. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones. 2x −1 2x2 + 9x + 6 x − 1 3x + 2 a) ≤ 1 ; b) ≥ 1; c) ≤ ; 3x + 2 x+2 3x + 4 x

d)

x −1 x −1 = ; e) x − 1 x + 1 = 0 ; f) x − 5 < x + 1 ; x +1 x +1

g) x 2 − x + 1 > 1; h) 1 < x −

j)

1 < 2 ; i) x + x − 1 < 2 ; 2

1 < x−2 . 1 + x −1

Soluciones: a) x ≤ −3 ó x >

c) x ≤

−2 ; b) − 2 − 2 ≤ x < −2 ó x ≥ 2 − 2 3

− 105 19 −4 105 19 − ó 0 ; d) x < −1 ó x ≥ 1 ; 16 6 3 16 16

e) x = −1 ó x = 1; f) x > 2 ; g) x < 0 ó x > 1; h) 3 2

i) x < ; j) x < 1 ó x > 2 + 1 .

1

3 5 −3 −1 1

Solución: es derivable en ¬-{1}; f ´(1− ) = −1, f ´(1+ ) = 0 . 7. Dada la siguiente función, obtener los valores de a y b para que sea derivable en cualquier punto.  x 2 si x ≤ 2 f ( x) =   ax + b si x > 2

Solución: a=4, b=-4. 8. Dada la parabola y = x 2 − 2 x − 2 , se considera la cuerda que une los puntos de abscisas x=1 y x=3. Obtener la ecuación de la recta tangente a la parábola y paralela a dicha cuerda. Solución: y = 2 x − 6

4

9. Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva 2 x2 y = ln( ) , en el punto de abscisa x=1. x +1 2 3

Solución: y = ( x − 1) 10. Obtener las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la curva y = 4 x − x 2 Solución: y = 2 x + 1, y = −2 x + 9 11. Una nave espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x 2 . Cuando el astronauta que la dirige apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que se encuentre en ese momento. Obtener las coordenadas del punto donde se deben apagar los motores para que la nave alcance el punto (4, 15). Solución: (3, 9) . 12. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de la parte superior de la curva y = 7 − x 2 . Una arña espera en el punto (4, 0). Determinar la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. Solución: 3 5 .

5

13. Obtener las derivadas de las siguientes funciones. 3 3 23 x 2 −x a) y = x x ; b) y = ( x + 2 x + 2)e ; c) y = 2 x 4 3 x x 1 + sen x d) y = ( sen( ) − cos( )) 2 ; e) y = ln ; 2 2 1 − sen x

x 2 a2 x 2 f) y = a − x + arcsen ; g) y = arctan 4 x 2 − 1 ; 2 2 a 3 2x ln x 1 h) y = arcsen( ) ; i) y = ln(sec x + tan x ) ; j) y = + 1 + x6 x5 5 x5

8 9

8 9

Soluciones: a) y´= 3 x ; b) y´= − x 2e− x ; c) y´= ( ) x ln( ) d) y´= − cos x ; e) y´=

1 1 ; f) y´= a 2 − x 2 ; g) y´= cos x x 4 x2 − 1

6 x2 5ln x h) y´= ; i) y ´ = sec x ; j) y ´ = − . 6 6 1+ x x

14. Con un hilo metálico de longitud k, se construye un rectángulo. Obtener las dimensiones del rectángulo de área máxima. Solución:

6

k k , . 4 4

15. De entre todos los conos de generatriz k, obtener el de volumen máximo. Solución: V =

2π 3 3 k . 27

16. Estudiar si la función f ( x) = 3 x − 4 x , verifica las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange, en el intervalo [1, 4] . Calcular, en su caso, el punto cuya existencia se afirma en el teorema. Solución: Si verifica las hipótesis del teorema considerado. c =

9 4

17. Demostrar que la ecuación e x − 2 − x = 0 , tiene solo una raiz real y, encontrar un intervalo de longitud 1 donde se encuentre dicha raiz. Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( x) = e x − 2 − x , en el intervalo [1, 2] y, tener en cuenta que la función es creciente en dicho intervalo. 18. Demostrar la igualdad:

sen b − sen a = cot g c , cos a − cos b

donde c ∈ (a, b) ⊂ (0, π ) . Solución: aplicar el teorema del valor medio de Cauchy a las funciones f ( x) = sen x, g ( x) = cos x en el intervalo [ a, b ] .

7

19. Calcular las siguientes integrales. a)

∫

dx 5

x

; b)

∫

2 − 1 − x2 1 − x2

2 − x4 2 dx ; c) ∫ dx ; d) tg ∫ xdx 1 + x2 1 3

e) ∫ x cos( x )dx ; f) ∫ (ax + b) dx ; g) 2

2

∫

senx cos xdx

h) ∫ cos( senx) cos xdx . 55 4 x3 x + C ; b) 2arcsenx − x + C ; c) arctgx + x − + C ; Soluciones: a) 4 3 4 1 3 2 2 d) tgx − x + C ; e) sen( x ) + C ; f) (ax + b) 3 + C ; 2 8a

g)

2 senx senx + C ; h) sen( senx) + C 3

20. Dada la curva y = x 2 − 4 x , se pide: a) Las ecuaciones de las rectas a la curva en los puntos de corte con el eje X. b) El área del recinto limitado por la curva y las rectas tangentes. Soluciones: a) y = −4 x, y = 4( x − 4) ; b)

16 . 3

21. La curva y = a(1 − ( x − 2) 2 ) , con a > 0 , limita con el eje de abscisas un recinto de área 12. Obtener el valor de a . Solución: a = 9 . 8

22. Obtener el área del recinto limitado por las curvas: y = e x , y = e2 x , y = e2 . Solución:

1 2 (e + 1) . 2

23.Dadas las obtener:

funciones:

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + 4 x, g ( x) = −3 x 2 + 6 x ,

a) Los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos de las dos funciones. b) El área del recinto delimitado por ambas. 2 f : crece en (−∞, ) ∪ (2, + ∞) ,decrece 3 2 2 32 en ( , 2) , máximo en ( , ) , mínimo en (2, 0) ; para g: crece en 3 3 27 37 (−∞, 1) , decrece en (1, + ∞) , máximo en (1, 3) . b) 12

Soluciones: a) para

24. Calcular el área determinada por la gráfica de la función, y = 3 x 1 + x 2 ,el eje de abscisas y, las rectas x = 0, x = 3 . Solución: 7 .

9