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1.2.- L A R E C T A N U M É R I CA
OBJETIVO.- Que el alumno sepa lo que es una Recta Numérica, conozca su uso y sepa construir una Recta Numérica cualquier. Asimismo que conozca el concepto de intervalo y sepa usarlo en la resolución de problemas. 1.2.1.- Iniciaremos este artículo con un serie de preguntas. Primero: ¿Qué representan los números?. Esto significa abundar un poco acerca de, por ejemplo, el numeral cuatro “4”, ¿Qué representa?. En este caso y dependiendo de la madurez matemática de cada uno, este numeral puede asociarse a, por ejemplo: •
4 Manzanas o
•
4 Naranjas, o, en general
•
4 Objetos muy bien definidos.
Cuando este es el caso, se dice que el número, en este caso el 4, adquiere o tiene un carácter cardinal, en el sentido de que está asociado a un conjunto de objetos bien definidos. La cardinalidad de tal conjunto, es decir, el número de elementos que contiene el conjunto, está determinado por tal número. Por otro lado, el número 4 también puede ser el lugar que ocupa una persona en, por ejemplo, una fila formada ante la ventanilla de una banco. Es claro que antes de tal persona, está la que ocupa el tercer lugar o que tiene el número 3 en la fila y después de ella está la que ocupa el quinto lugar o que tiene el número 5 en tal fila. En este caso se dice que el numeral adquiere o tiene una carácter ordinal, en el sentido de que está asociada al orden que guardan ciertos objetos o personas acomodadas según cierta ley preestablecida. Entonces, un número puede tener un carácter cardinal que es cuando lo asociamos a una cierta cantidad de objetos o un carácter ordinal que es cuando lo utilizamos para ordenar un cierto grupo de objetos. Sin embargo un número existe por si mismo sin necesidad de asociarle la cardinalidad u ordinalidad señalada. En este caso el número es un ente matemático que existe 22 M. C.
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independientemente de cómo se le indique y qué indique él mismo. La necesidad de darle sentido a las cosas y hacerlas caber en nuestra estructura mental nos lleva al carácter cardinal u ordinal de los números. ¿Cómo se representan los número?.- Generalmente y, a menos de que usted diga otra cosa, los se representan mediante una serie de símbolos que la comunidad científica les ha asociado desde el inicio del desarrollo de las matemáticas. Así, estamos de acuerdo en que el símbolo “ 4 “ es el número cuatro, que el símbolo “ 151 “ es precisamente el ciento cincuenta y uno y no otro número diferente. Esta serie de símbolos que usted conoce y que inconscientemente emplea para representar a los números, no es mas que una convención que la humanidad ha aceptado, y no ha cuestionado, y que se emplea para representar a los números. Sin embargo, como los números tienen existencia por ellos mismos, independientemente de lo que representen y de cómo se representen, para efectos de hacerlos caber en nuestra estructura mental, se acostumbra darles una representación geométrica definiendo así lo que se conoce como Numérica y que es el objeto de estudio del siguiente apartado. 1.2.2.- Representación Geométrica de los Números. ¿Qué es una Recta Numérica?. Una Recta Numérica es la representación gráfica sobre una recta arbitraria de un conjunto de números dados. Por ejemplo, el conjunto de los Naturales podemos representarlos sobre una recta marcando el inicio en el extremo izquierdo y a partir de él indicar los números enteros positivos hacia la derecha (1, 2, 3, 4, 5 . . . . ) guardando entre ellos la misma distancia. De acuerdo con lo anterior, los naturales N se pueden representar de la siguiente manera.
1
2
3
.
.
.
k
k+1
Debe ser claro que en esta representación estamos indicando los espacios que hay a la izquierda de un natural dado a partir del inicio o, dicho de otra manera, nos dan los espacios que hemos contado desde el inicio. El uno nos indica que hay un espacio desde el inicio, el dos que son dos los espacios desde el inicio, y así, el natural k, nos indica que hay k espacios desde el inicio. Debido a lo anterior se dice que los naturales nos sirven para contar. El hecho de que podamos 23 M. C.
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indicar específicamente todos los Naturales que hay sobre un segmento dado lo posibilita la característica de ser un Conjunto Discreto. Por su parte el conjunto de los Enteros Z, dado que son los enteros positivos, los negativos mas el cero, los representaremos sobre una recta que NO tiene principio por la izquierda ni tampoco tendrá final por la derecha, sin embargo, en algún instante estaremos en algún numero específico por ejemplo: ( . . . , -k, . . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , k, . . . ). Los números se colocan de izquierda a derecha en orden ascendente. Es decir, dado un número cualquiera, a la izquierda de él se encuentran aquellos que son menores y a la derecha los mayores. La recta de los Enteros se muestra enseguida.
-5 -4 -3 -2
-1 0 1
2 3
4
5
En este caso los números negativos se encuentran a la izquierda del cero y desde el punto de vista de las propiedades de los números, el signo menos ( - ) forma parte del número y lo caracteriza a partir de dos aspectos: •
Se encuentra a la izquierda del cero
•
Es el número que sumado al correspondiente natural nos da el cero que es conocido como elemento identidad para la suma.
Al igual que en el caso de los naturales, el que podamos indicar específicamente los enteros que hay sobre un segmento dado de su recta numérica lo posibilita la característica de ser un conjunto discreto. La recta numérica asociada al conjunto de los Racionales Q tiene un comportamiento semejante con la pequeña variante de que NO es posible identificar exactamente TODOS los Racionales que hay sobre algún segmento arbitrario de la recta. Lo anterior se debe a la característica de DENSIDAD del conjunto de los Racionales. (Entre dos racionales dados siempre podemos encajar al menos otro diferente). En un bosquejo aproximado, un segmento de la recta de los racionales quedaría como se muestra enseguida.
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1/2
-1/3 -1/4
0
¼
1/3
½
1
En este sentido parecería que los racional LLENAN la recta. Sin embargo, como ya dijimos y como mostraremos enseguida, existen números que no son racionales y que se encuentran en esta recta numérica. Es decir, hay huecos en la recta de los racionales, lo que significa que este conjunto no es continuo siendo sin embargo denso, como ya mencionamos en el artículo anterior. Sea por ejemplo la siguiente construcción que nos muestra un número que no es Q y que se encuentra sobre la recta Q. •
Trace un segmento unitario sobre la recta a partir del cero ( 0 ).
•
En el extremo final trace otro segmento unitario pero perpendicular al primero.
•
Una los extremos de estos dos segmentos.
•
¿Cuánto vale el segmento que unió los extremos?.
•
Apoye un compás en el punto inicial del primer segmento y ábralo hasta el extremo final del segundo segmento.
•
Trace un arco de círculo y marque el cruce con la recta de los Q.
•
Este cruce determina un punto sobre la recta de los Q.
•
¿Cuánto vale este punto?.
•
¿Es un elemento de Q?.
•
¿Entonces hay un hueco sobre la recta de los Q?.
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∉ Q
Ejercicios.•
Investigue una demostración de que no es un elemento de los Racionales.
•
Siguiendo una estrategia semejante a la del ejemplo anterior, construya los números: √3 , √5 , √6 , √7 , √8
Los irracionales son los números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros (Ir = π, e, √ 2). Entonces, como ya mencionamos en el artículo anterior, la unión del conjunto de los Racionales con el conjunto de los Irracionales determina el conjunto de los números reales: Q + Ir = IR. 1.2.3.- INTERVALO 1.2.3.1.- ¿Qué es un Intervalo?. Como ya mencionamos al principio, el cálculo es aquella rama de las matemáticas que se define, se desarrolla y se trabaja sobre el conjunto de los Reales; sin embargo, como este conjunto tiene la cardinalidad del continuidad, entonces, trabajar sobre todos ellos es sumamente complicado, por lo que casi siempre estaremos definiendo nuestras funciones, entes matemáticos propios del cálculo, sobre un subconjunto de los Reales. A tales subconjuntos de los Reales se les llama Intervalos. 1.2.3.2.- ¿Cómo se representa un intervalo?. Un Intervalo se indica por los valores extremos del subconjunto, por ejemplo. 26 M. C.
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El intervalo definido por el subconjunto de los reales que inicia en el 1 y termina en el 10: {1,10}.
•
El intervalo definido por el subconjunto de los reales que inicia en el 0.1 y termina en el 1: {0.1,1}.
1.2.3.3.- Clases de Intervalos.- Existen diferentes tipos de intervalos, en función de que el subconjunto contenga o no los valores extremos; entonces se habla de: •
Intervalo Cerrado, que es aquel que contiene los valores extremos y se indica con un paréntesis cuadrado, por ejemplo, el intervalo que inicia en el 1 y termina en el 10 y que contiene tanto al 1 como al 10; se indica como, [1, 10] = (1 ≤ x ≤ 10).
•
Intervalo Abierto, que es aquel que NO contiene los valores extremos y se indica con un paréntesis redondo, por ejemplo, el intervalo que inicia en el 1 y termina en el 10 pero NO contiene NI al 1 NI al 10, se indica como: (1, 10) = (1 < x < 10).
•
Intervalo Semi Abierto (que también podría ser Semi Cerrado), que es aquel que contiene solamente a uno de los valores extremos pudiendo ser el del inicio o el del final y se indica con un paréntesis cuadrado donde contiene al valor extremo y un paréntesis redondo en el extremo que no contiene, por ejemplo, el intervalo que inicia en el 1 y termina en el 10 y que contiene al 1 pero no al 10, se indica como: [1, 10) = (1 ≤ x < 10), o el intervalo que inicia en el 1 y termina en el 10 y que NO contiene al 1 pero SI contiene al 10, se indica como: (1, 10] = (1 < x ≤ 10).
Los intervalos también aceptan una notación de conjuntos, es decir, empleando llaves, como mostramos en los siguientes Ejemplos: A = { x ∈ IR / x ∈ (1, 10) } B = { x ∈ IR / x ∈ [1, 10] } C = { x ∈ IR / x ∈ (1, 10] } D = { x ∈ IR / x ∈ [1, 10) } Finalmente mencionaremos que cuando un intervalo inicia o termina en el INFINITO, siempre es abierto por ese extremo, como sería el intervalo de los Reales Positivos indicado como: IR+ ≡ (0,∞) y se lee como IR mas.
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T R A B A J O (continuación) II.- Suponga que durante el inflado del globo se hicieron las mediciones consignadas en la tabla siguiente: TIEMPO (seg)
DIAMETRO (cm)
0
0.00
0.10
5.00
0.40
10.50
0.53
14.10
0.80
15.20
1.10
22.40
1.20
22.40
1.43
24.00
1.60
24.30
1.90
26.10
2.00
27.20
2.17
28.90
2.50
30.50 Tabla 1
Analice los datos contenidos en la tabla anterior, con tanto detalle como considere necesario y, a partir de dicho análisis, realice las siguientes actividades. II.1.- Describa verbalmente lo que sucede con el diámetro globo durante el proceso. 1.- ¿Cómo fue la entrada de gas que le proporcionó el depósito?. •
Constante?
•
Variable?
•
Lineal?
•
Continua?
•
Discontinua?
Justifique su respuesta. 28 M. C.
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2.- ¿Cómo fue la variación del volumen del globo?. •
Constante?
•
Variable?
•
Lineal?
•
Continua?
•
Discontinua?
Justifique su respuesta. 3.- El radio del globo tendrá un comportamiento semejante?. Justifique su respuesta. 4.- El color del globo como parámetro de descripción del proceso tendrá un comportamiento semejante?. Justifique su respuesta. 5.- La opacidad del hule del globo como parámetro de descripción del proceso tendrá un comportamiento semejante. Justifique su respuesta. II.2.- Ahora describa nuevamente lo que sucede con el globo utilizando los elementos distinguidos en los tres puntos anteriores. II.3.- Con los datos contenidos en la tabla podemos determinar la variación del volumen del globo con respecto a su radio?. •
Si su respuesta es si: ¡Hágalo!.
•
Si es no justifique su respuesta.
II.4.- Con los datos contenidos en la tabla podemos determinar la variación del área del globo con respecto a su radio?. •
Si su respuesta es si: ¡hágalo!.
•
Si es no justifique su respuesta.
II.5.- Con los datos contenidos en la tabla podemos determinar la variación del volumen del globo con respecto a su área?. •
Si su respuesta es si: ¡Hágalo!.
•
Si es no justifique su respuesta. 29 M. C.
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