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Examen Final Extra / 15 diciembre 2000

1. El plano vertical representado en la figura gira alrededor del eje Oz z, z’ con velocidad angular constante de 120/π r.p.m. Un disco de 2 cm de radio, contenido en dicho plano, rueda sin deslizar sobre la intersección del mismo plano con el plano xy, con una velocidad de traslación de 4 m/s. Calcular la velocidad y la aceleración del punto P del disco diametralmente opuesto al de contacto con el plano xy cuando el centro del disco está a 3m del eje z y θ = π/2.

P C

O

vC

y

Consideremos un sistema de referencia fijo (xyz) y otro θ sistema de referencia móvil (x’y’z’) cuyo plano y’z’ es x y’ solidario al plano vertical representado en la figura. En el instante considerado el plano móvil coincide con el plano yz, de modo que, en ese instante, coinciden las bases vectoriales de ambos referenciales. El movimiento relativo del disco es una rodadura pura sobre el eje Oy’ y el movimiento de arrastre es una rotación pura alrededor del eje Oz con velocidad angular ωarr =

⎛0⎟⎞ 120 2π ⎜ × = 4 rad/s ⇒ ω arr = ⎜⎜0⎟⎟⎟ rad/s ⎜⎜⎝4⎟⎠ π 60

La rodadura del disco en el plano móvil nos relaciona la velocidad del centro del disco, vC = 4 j m/s con la velocidad angular de rotación ωrel del mismo; i.e., ⎛−200⎟⎞ vC 4 ⎜⎜ ω vC = ωrel R → ωrel = = = 200 rad/s → 0 ⎟⎟ rad/s rel = ⎜ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ R 0.02

La velocidad absoluta del punto P (vP) será la suma de su velocidad relativa (vrel) y su velocidad de arrastre (varr): ⎧⎪ JJJG ⎛⎜0⎟⎞ ⎛⎜−200⎟⎞ ⎛⎜ 0 ⎟⎞ ⎛⎜0⎟⎞ ⎪⎪ v = v + ω × CP = ⎜⎜4⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜8⎟⎟⎟ m C rel ⎪⎪ rel ⎜⎝⎜0⎟⎠ ⎜⎝⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝⎜0.02⎟⎠ ⎜⎝⎜0⎟⎠ s ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ JJJG ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛−12⎞ ⎪⎪ v = ω × OP = ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜ 3 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m arr ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ s ⎪⎪ arr ⎝⎜4⎟⎠ ⎜⎝0.04⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎪⎩

⎛−12⎞⎟ ⎜ v P = v rel + v arr = ⎜⎜ 8 ⎟⎟⎟ m/s ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠

La aceleración absoluta punto P (aP) la calculamos como la suma de la aceleración relativa (arel), la de arrastre (aarr) y la de Coriolis (aCor): ⎛ dω JJJG ⎞ JJJG JJJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟ 2 rel a rel = a C + ⎜⎜⎜ × CP⎟⎟⎟ + ω rel ×(ω rel × CP) = −ωrel CP = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m 2 ⎟⎠ ⎜⎜⎝−800⎟⎠ s ⎜⎝ d t ⎛ dω JJJG ⎞ JJJG ⎛⎜0⎞⎟ ⎛⎜−12⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟ arr × OP⎟⎟⎟ + ω arr ×(ω arr × OP) = ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜−48⎟⎟⎟ m 2 aarr = ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎜⎝4⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ s ⎜⎝ d t ⎛0⎞⎟ ⎛0⎟⎞ ⎛−64⎟⎞ ⎜ ⎜ ⎜ a Cor = 2ω arr × v rel = 2 ⎜⎜0⎟⎟⎟×⎜⎜8⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ m 2 ⎜⎜⎝4⎟⎠ ⎜⎜⎝0⎟⎠ ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠ s

⎛ −64 ⎞⎟ ⎜ → a P = a rel + a arr + a Cor = ⎜⎜ −48 ⎟⎟⎟ m 2 ⎜⎜⎝−800⎟⎠ s

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2. Una semiesfera hueca de 10 kg descansa sobre un plano horizontal. Sobre un punto de su borde se coloca una masa m, inclinándose la semiesfera un ángulo de 45º. Calcúlese el valor de la masa m.

45º m

M

Determinación del centro de masa de una capa hemiesférica: z r

Rdθ R

θ

1 zcm = S

π /2

∫ 0

zcm =

⎧⎪d S = (2πr ) R d θ = 2π R 2 sen θ d θ ⎪⎪ ⎪⎪r = R sen θ ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪ z = R cos θ ⎪⎪ ⎪⎪⎩S = 12 (4π R 2 ) = 2π R 2

∫ zdS S

2π R 3 ( R cos θ )2π R sen θ d θ = 2π R 2 2

∫

0

π /2

π /2

sen 2 θ R = sen θ cos θ d θ =R 2 0 2

Condición de equilibrio: Tomamos momentos en O.

∑M R mg

φ

O

45º

O

= 0 ⇒ mgR cos φ = MG ⇒

m = 12 M tg φ

para φ = 45º,

G N

R sen φ 2

será m = 12 M

para M =10 kg, será m = 5 kg

Mg

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3. La rueda representada en la figura consiste en un semicírculo de madera que pesa 100 N contenido en un aro circular de acero de 45cm de diámetro y peso y grosor despreciables. Si rueda sin deslizamiento por un piso horizontal y tiene una velocidad angular de 15 rad/s en sentido horario cuando su centro de masa G se halla directamente debajo del centro C de la rueda. a) Determinar la velocidad angular de la rueda cuando G se halle directamente a la izquierda de C. b) Calcular las componentes normal y de rozamiento de la fuerza que el suelo ejerce sobre la rueda cuando G se halla directamente a la izquierda de C.

G

Determinación del c.m. de un semicírculo:

O

2º teorema de Pappus: V=2πycmS ycm =

ω

C

1 V 1 43 π R 3 4 R 4 R 4× 0.225 = = δ = = = 0.0955 m 2 2π S 2π 12 π R 3π 3π 3× π

δ P

G C

Cálculo del momento de inercia:

IC=½mR2=0.258 kg.m2 IG=IC-mδ2= 0.165 kg.m2 2

2

2 O

−mgδ + I O ω = I P ω 1 2

P

O

a) Conservación de la energía: 1 2

C

G

IP=IG+m(R + δ )=0.774 kg.m 2

G

C

IO=IG-m(R-δ)2=0.336 kg.m2

I O ωO2 − 2mg δ → ω = IP

2 P

2 P

0.336×152 − 2×100×0.0955 ω = = 73.0035 (rad/s) 2 0.774 2 p

→ ωP = 8.54 rad/s

b) Ecuaciones del movimiento:

⎧ ⎪ − f = max ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ N − mg = ma y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ fR − δ N = I G α

ya que

con

⎧⎪ax = α R + δω 2 ⎪⎨ ⎪⎪a y = αδ ⎩ G

JJJG JJJG aG = aC + α × CG − ω 2 CG =

C

mg

⎛α R⎟⎞ ⎛ 0 ⎟⎞ ⎛−δ ⎞⎟ ⎛−δ ⎟⎞ ⎛⎜α R + ω 2 δ ⎟⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ 2⎜ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟×⎜ 0 ⎟ − ω ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ αδ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎝−α⎟⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ ⎟⎠ 0

f

N P

De modo que ⎧⎪− f = m(α R + ω 2δ ) ⎪⎪ ⎪⎨ N − mg = mαδ ⇒ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ fR − δ N = I G α

f = 6.08 N N = 72.4 N α = - 33.6 rad/s 2

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4. Una cuerda con una densidad lineal de 4 g/m está sometida a una tensión de 360 N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz; la siguiente frecuencia más alta es de 450 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? b) ¿Qué armónicos son los que se dan en el enunciado de este problema? c) ¿Cuál es la longitud de la cuerda?

a) Las frecuencias de las ondas estacionarias que pueden residir en la cuerda son múltiplo de la frecuencia fundamental o primer armónico.

}

ν n = nν1 ν n+1 = (n + 1) ν1

ν1 = (ν n+1 − ν n )

En consecuencia, la frecuencia fundamental es: ν1 = 450 − 375 Hz

⇒

ν1 = 75 Hz

b) En el enunciado del problema se dan el quinto y el sexto armónico, ya que:

n=

νn ν1

⇒

375 =5 75

450 = 6 75

c) La longitud de la cuerda es la mitad de la longitud de onda del primer armónico

360 F = = 300 m/s 4×10−3 μ

c=

λ=

c ν

⇒ λ1 =

c 300 = = 4 m ⇒ L = 2λ1 = 8 m ν1 75

L=

λ1 2

⇒

L=2m

primer armónico fundamental (n = 1)

segundo armónico (n = 2)

tercer armónico (n = 3)

cuarto armónico (n = 4)

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5. Un depósito de grandes dimensiones desagua mediante un tubo sifón de sección S y terminado en un estrechamiento de sección S/4, como se indica en la figura. a) Determinar la presión en A. b) Calcular valor máximo de h3 para que el depósito continúe desaguando.

A h1

B

h2

a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre B-C: patm + ρ g (h2 + h3 ) + 0 = patm + 0 + 12 ρvC2

h3

→ vC2 = ρ g (h2 + h3 )

Nivel de ref.

Ecuación de continuidad entre A-C: vA S = vC

S 4

⇒ vA = 14 vC

Ecuación de Bernoulli entre B-A: patm + ρ g (h2 + h3 ) = pA + ρ g (h1 + h2 + h3 ) + 12 ρvA2

⇒

2

⎛v ⎞ patm = pA + ρ gh1 + ρ ⎜⎜ C ⎟⎟⎟ = pA + ρ gh1 + 161 ρ g (h2 + h3 ) ⇒ ⎜⎝ 4 ⎠ 1 2

pA = patm − ρ gh1 − 161 ρ g ( h2 + h3 ) = patm − ρ g [ h1 + 161 (h2 + h3 ) ]

b) Para pA ≈ 0, (en realidad pA ≈ ps, presión de vapor saturante), será:

patm = h1 + 161 (h2 + h3 ) ⇒ ρg

h3 =

16 patm −16h1 − h2 ρg

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6. Un recinto de paredes rígidas y adiabáticas está dividido en dos compartimentos mediante un tabique ligero y móvil. Uno de los CO2 vacío compartimentos contiene un mol de anhídrido carbónico a una presión inicial de 50 atm y una temperatura de 300 K; en el otro compartimiento existe el vacío. Permitimos que el gas se expansione espontáneamente hasta que su volumen se hace 20 veces superior a su volumen inicial. Supongamos que el CO2 se comporte como un gas perfecto. a) Explicar si el proceso es reversible o no. ¿Se intercambia calor? ¿Se realiza trabajo? b) Calcúlense los cambios de energía interna, de temperatura y de entropía, experimentados durante el proceso. Datos: R = 1.987 cal/(mol⋅K) = 0.082057 (atm⋅L)/(mol⋅K).

a) El proceso es irreversible, espontáneo, ya que al expansionarse contra el vacío los estados intermedios no serán estados de equilibrio. Por consiguientes: • No se intercambia calor (paredes adiabáticas) • No se realiza trabajo, por tratarse de una expansión contra el vacío. b) Según el primer principio de la termodinámica

ΔU = Q −W y, puesto que no se intercambia calor ni trabajo, es ΔU = 0 . Entonces, dado que la energía interna del gas ideal es tan solo función de la temperatura, será ΔU = nCV ΔT = 0 ⇒

ΔT = 0

y la temperatura permanece constante (efecto de Joule-Kelvin). La variación de entropía la calculamos como ΔS = ∫

đQ rev T

Como el proceso que se describe en el enunciado es irreversible, para calcular ΔS debemos imaginar una transformación reversible que lleve al sistema del estado inicial al final. Puesto que la temperatura inicial es igual a la final podemos considerar un proceso isotermo:

T = cte ⇒ d U = đQ − p d V = 0 ⇒ đQ = p d V 20V0 d V 20V0 đQ p dV =∫ = nR ∫ = nR ln = nR ln 20 V0 T T V V 0 rev

ΔS = ∫

ΔS = 1mol×1.987

cal × ln 20 ⇒ mol ⋅ K

ΔS = 5.95 cal/K

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7. Dos condensadores de placas paralelas, cada uno con una capacidad de C1 = C2 = 2 μF, están conectados en paralelo a una batería de 12 V. Determinar: a) la carga en cada condensador y la energía total almacenada por los condensadores. A continuación, los condensadores se desconectan de la batería y entre las placas del condensador C2 se inserta un dieléctrico de constante k = 2.5. En estas condiciones, determinar: b) la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador, c) la carga depositada sobre cada uno de ellos y la energía total almacenada por ambos.

a) Ambos soportan la misma tensión (12 V), y como tienen la misma capacidad, será

Q1 = Q2 = CV = 2 × 12 = 24 μC

C2

C1

V

2 μF

2 μF

12 V

Qtotal = Q1 + Q2 = 48 μC 2 2 1 1 ⎧ ⎪ ⎪U1 = 2 C1V = 2 × 2×12 = 144 μJ U = U + U = 288 μJ ⎨ 1 2 2 2 1 1 ⎪ ⎪ ⎩U 2 = 2 C2V = 2 × 2×12 = 144 μJ b) La carga total permanece invariable después de desconectar la batería.

⎧⎪C1′ = C1 = 2 μF ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩C2′ = kC1 = 5 μF

⎧⎪Q1′ = C1′V ′ ⎪⎨ con Q1′ + Q2′ = Qtotal ⎪⎪⎩Q2′ = C2′V ′ Qtotal 48 μC ∴ (C1′ + C2′ ) V ′ = Qtotal ⇒ V ′ = = = 6.86 V C1′ + C2′ 7 μF

C1’ 2 μF

C2’ 5 μF

c) Ambos condensadores soportan la misma d.d.p.

⎧ ⎪ Q1′ = C1′V ′ = 2× 6.86 = 13.7 μC ⎪ ⎪ ⎨ ⎪Q ′ = C ′V ′ = 5× 6.86 = 34.3 μC ⎪ 2 ⎪ ⎩ 2

con Q1′ + Q2′ = 48 μC

2 2 1 1 ⎧ ⎪ ⎪U1′ = 2 C1′V ′ = 2 × 2× 6.86 = 47 μJ ⎨ 2 2 1 1 ⎪ ⎪ ⎩U 2′ = 2 C2′V ′ = 2 × 2× 6.86 = 118 μJ

U ′ = U1′ + U 2′ = 165 μJ

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8. Un circuito serie, alimentado con tensión alterna de 125 V y 50 Hz de frecuencia, está formado por una resistencia de 8 Ω, una autoinducción 12 Ω de reactancia y un condensador de 6 Ω de reactancia. a) ¿Qué intensidad circulará por el circuito? b) Si la corriente alterna varía su frecuencia a 25 Hz, sin variar su tensión, ¿qué intensidad circulará por el circuito? c) Determinar elemento en paralelo necesario para corregir completamente el factor de potencia, en cada caso.

a) Tensión alterna de 125 V y 50 Hz de frecuencia

ω = 2πν = 100π rad/s

I=

8j Ω

12 Ω

Z = 8 +12 j - 6j = 8 + 6j = 10 36.9º Ω (inductivo) V 125 0º = = 12.5 −36.9º = 10 − 7.5 j A Z 10 36.9º

-6j Ω

125 V 50 Hz

b) Tensión alterna de 125 V y 25 Hz de frecuencia

ω ′ = 2πν = 50π rad/s ⇒

⎧ ′ ′ ′ ⎪ ⎪⎪ X L = ω L = ω = 1 ∴ X L′ = 6 Ω ⎪ ωL ω 2 ⎪ X L′ ⎨ ⎪ X C′ ωC ω ⎪ = = = 2 ∴ X C′ = 12 Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ X C′ ω ′C ω ′

Z ′ = 8 + 6 j -12 j = 8 - 6 j = 10 -36.9º Ω (capacitativo) I′ =

12 Ω

125 0º V′ = = 12.5 36.9º = 10 + 7.5 j A Z ′ 10 −36.9º

6j Ω

-12j Ω

125 V 25 Hz

c1) Como el circuito es inductivo, hay que colocar un condensador en paralelo. I react = I sen φ = C=

V = ω CV XC

I sen φ 7.5 = = 191×10−6 F = 191 μF ωV 100π ×125

c2) Como el circuito es capacitativo, hay que colocar una autoinducción en paralelo. I react = I sen φ = L=

V V = X L ωL

V 125 = = 106×10−3 H = 106 mH ω I sen φ 50π ×7.5

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