DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

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DISEÑO DE CONTROLADORES

Cuando vamos a implementar un lazo de control se nos plantea una serie de preguntas: ¿Qué tipo de controlador debemos elegir para una situación dada? ¿Cómo seleccionar los valores de los parámetros del controlador? O bien, ¿con qué criterio de performance hacemos la selección y el ajuste de parámetros del controlador? Por ejemplo podemos seleccionar alguno de los siguientes criterios: – Que el bucle cerrado sea estable – Que los efectos de las perturbaciones se minimicen – Que se obtengan respuestas rápidas y suaves frente a cambios en el set point – Que se elimine el offset – Que el sistema sea robusto, esto es, poco sensible a cambios en las condiciones de proceso o debido a errores – Etc. En principio puede considerarse cualquier propiedad para seleccionar la respuesta del sistema, por ejemplo: - Overshoot - Tiempo de decaimiento (“rise time”; hasta alcanzar el valor deseado por primera vez) - Tiempo de asentamiento (“settling time”, hasta quedar en ± 5% del valor deseado, p.ej). - Relación de decaimiento (“decay ratio”, la relación entre la altura del 2º y el 1er. Pico) - Frecuencia de oscilación Uno de los criterios más utilizados es considerar una relación de decaimiento de ¼. Supongamos que tenemos el siguiente bucle de control.

Y elegimos un controlador PI.

 1   Gc s   K c 1   Is 

La relación entre la salida H’ y la perturbación o carga Q1 aplicada sobre el sistema es

H ' s   Q'1 s  donde ILM

K p  p s  1  1    p s  1 1  K OL 1   Is

KOL  K c Kv K p K m 1

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

reordenando

K p I s H ' s   Q1 ' s   I s p s  1  K OL  I s  1

 donde

K3   I

K3s  3 s  2 3 3 s  1 2 2

Kc Kv Km

1  1  K OL   I 3   p 2 K  

3 

OL



 I p K OL

Esto es, tiene una dinámica de segundo orden y entonces la relación de decaimiento tiene la siguiente expresión:   2   decay ratio  exp   1  2    Igualando esta expresión al valor ¼:

 1  1  K OL   I   2   2  K OL   p  exp  2  1  1 1  K OL   I  4 K OL  p 

   1 4   

Hay diferentes pares de Kc y I que pueden cumplir la relación. En general se fija primero Kc y luego de la expresión anterior se saca el otro parámetro. Método de síntesis directa En principio, un controlador feedback puede diseñarse usando un modelo del proceso y especificando una respuesta determinada para el bucle cerrado. Como vimos la respuesta de bucle cerrado para cambios en el set point está dada por

K mGc GvG p Y  R 1  GcGv G p Gm Llamando G = GcGvGpGm y asumiendo que el elemento de medida tiene una dinámica despreciable, esto es, Gm = Km GcG Y  R 1  GcG ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Por lo tanto la función del controlador estaría dada por

Gc 

Y  1  R  G 1 Y  R 

En general, la función de transferencia del proceso G no es conocida y la relación Y/R tampoco, porque depende del controlador que elijamos. Observemos además que nunca podríamos obtener un controlador “perfecto", esto es, que la salida Y reproduzca en forma perfecta el cambio en R con lo cual Y/R = 1, y el denominador se anularía. No obstante se puede asumir determinado modelo G* y determinada relación que deseamos obtener (Y/R)d

Gc 

     

Y 1  Rd *  Y G 1 Rd 

Puede considerarse por ejemplo

Gc  Y entonces

Kc G

Kc Y  R 1  Kc

que tiende a 1 cuando Kc tiende a infinito. Por ejemplo, si la función del proceso es

entonces el controlador sería

Gc s  

Gs  

K  1s  1 2 s  1





Kc  1 2 s 2   1   2 s  1 K

En este caso, el término en s2 implica que el controlador va a responder con la derivada segunda por lo que va a ser en extremo sensible a las perturbaciones; por lo tanto no sería una buena alternativa. Como vimos en el razonamiento anterior el controlador está basado en la idea de un acomodamiento inmediato frente a variaciones del set point. En tal sentido, así diseñados, los controladores anteriores no son muy realistas. Más real es considerar por ejemplo una respuesta de este estilo:

1 Y      R d  c s  1 Entonces

GcG 1 Y       R  d 1  GcG  c s  1

Y por lo tanto el controlador se diseñaría así:

ILM

Gc 

1 1  G  cs

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Nótese que el término 1/cs proporciona un tipo de control integral, con lo cual se elimina el offset. También cabe notar que estamos agregando un parámetro más (c).

Gs  

Por ejemplo si tenemos un proceso de orden uno:

K  s 1

El controlador se diseñaría así:

Gc s  

 s  1   1   1 K c s  c K   s 

Que lo podemos expresar como un controlador PI

 1   Gc  K c 1   s I   donde

Kc 

 cK

I 

Gs  

Si por ejemplo el proceso es de orden dos: El controlador será

Gc s  

 1   2  1  cK

 

K  1s  1 2 s  1

1   1 2  1   2 s  1   2

 s  

Que tiene la forma de un controlador PID

  1 Gc  K c 1    D s   Is  donde

Kc 

1 1   2 K c

 I  1   2

D 

 1 2 1   2

Si el proceso presenta un delay o tiempo muerto conviene tomar

e  c s Y      R d  c s  1 Debe tomarse c ≥  para que la variable controlada pueda responder a los cambios de set point. Tomando c =  para simplificar, el controlador queda  s

Gc 

1 e  G  c s  1  e  s

Expresión que es difícil de manejar. Pero podemos aproximar y entonces  s 1 e Gc   G  c   s ILM

e

 s

 1 s

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Si el modelo de proceso es de primer orden con tiempo muerto  s

Ke G s    s 1 el controlador queda con formato PI, siendo

Kc 

Si el proceso es de segundo orden con tiempo muerto

1   K c 

I   s

Ke Gs    1s  1 2 s  1

el controlador queda como PID, siendo

Kc 

1 1   2 K c 

 I  1   2

D 

 1 2 1   2

Control por modelo interno (IMC) Consideremos el bucle de control en su forma más simplificada:

controlador Gc

-

L

P

E

+

proceso G

+

C

+

C

+

Este esquema se sustituye por el siguiente:

controlador E

+

-

Gc

*

proceso

L

P G

+

𝐶 𝐺𝑐

+

-

modelo interno 𝐶−𝐶

Para que los dos diagramas sean iguales se tiene que cumplir que ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

*

Gc Gc  *~ 1  Gc G Esto es, se pueden obtener los parámetros del controlador PID (Gc) en función del ~ y de G *. Modelo Interno G c La respuesta debida a variaciones en la carga y en el set point resulta entonces

Gc G 1  Gc G ~ R ~ L * * 1  Gc G  G 1  Gc G  G *

C

Si el modelo fuera perfecto

*







G~  G  quedaría







C  Gc GR  1 Gc G L *

*

El controlador IMC se diseña en dos etapas: ~ ~ ~ ~ G  GG 1) El modelo de proceso se factorea como donde G contiene todos los delays y los “zeros” positivos especificando la ganancia como 1. (Como la Gc va a ser proporcional al inverso de la del proceso se trata de evitar comportamientos “no deseados”) 1 * Gc  ~ f 2) El controlador se especifica según G 1 donde f es un filtro con ganancia uno, típicamente f   c s  1r con r un entero positivo (elegido de modo que el numerador sea al menos de igual orden que el denominador) y c la constante de tiempo. Por ejemplo, supongamos que queremos diseñar un controlador PI cuando el proceso se puede aproximar a uno de primer orden K ~ G s    s 1 Realizamos la factorización

~ ~ ~ G s   G G

Seleccionamos un proceso de primer orden

Entonces

~ G s  

f s  

K  s 1

~ G s  1

1  cs 1

 s 1 1 * Gc  ~ f  K  c s  1 G

Y obtenemos la estructura del PI *

Gc 

Gc  *~ 1  Gc G

 s 1 K  c s  1

  s 1  K  1     K  c s  1  s  1   1   1 K c   s 

ILM



 s 1 K c s

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Kc 

donde

 K c

I 

Observemos que si el modelo es perfecto



G~  G  sustituyendo



~ ~ C  G fR  1  fG L

1 * Gc  ~ f G

C ~  G f R

Y si solo hubiera cambios en el set point

Se pueden derivar relaciones para fijar los parámetros de un controlador según el modelo de proceso: modelo

KcK

K  s 1

 c

K  1s  1 2 s  1 K 2 2  s  2 s  1

1   2 c 2

K  s  1  s 2  2 s  1 2

 0

c 2 c  

I

D



-

1   2

 1 2 1   2

2

 2

2

 2

-

-

1

K s K s  s  1

c 1

-

c



Veamos un ejemplo: derivar las relaciones para el ajuste de un PID para un modelo de primer orden con tiempo muerto. Utilizaremos la aproximación de Padé 1/1:

   K 1  s  ~  2  G s      1  s   s  1  2 



Factoreamos

~ ~ ~ G  GG

 ~ G  1  s 2 Elegimos

ILM

f 

1  cs 1



de este modo:

~ G 

K    1  s   s  1  2 





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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Entonces

   1  s   s  1 2  * Gc   K  c s  1





   1  s   s  1 2  Gc     K  c   s 2 



Y por lo tanto el controlador es



por lo que los parámetros del controlador PID son

  2   1 1   Kc  K c  2   1  

I 

 2



D 

   2   1  

Diseño en base a relaciones Muchas veces, cuando se introduce una señal en escalón en la entrada de un proceso la señal de salida se puede aproximar a una función de primer orden con tiempo muerto:  s

Ke G s    s 1 y B

S 

t

Los parámetros de la función pueden determinarse gráficamente en forma aproximada, de modo que K = B / altura del escalón aplicado  =B/S  = tiempo que “demora” en responder

ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Cohen y Coon desarrollaron empíricamente ciertas relaciones para obtener respuestas de bucle cerrado con una relación de decaimiento de ¼:

controlador

parámetro

P

Kc

I

1    0.9   K 12  θ 30  3 θ τ θ 9  20 τ

Kc

1   16  3    K   12 

Kc PI



PID

relación de Cohen - Coon 1   1   K   3 

I 

D





 32  6  13  8  4 11  2 





Véase „ejem15.1.sce‟.

Diseño basado en la integral del error Cuando se producen cambios en la carga en un ciclo de control feedback, normalmente la salida presenta oscilaciones en torno al punto de trabajo que, si el sistema está bien diseñado van disminuyendo hasta extinguirse.

y

t La diferencia entre el valor de la salida y el de referencia es el error; el área sombreada es la integral del error a lo largo del tiempo.

ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS De la misma manera cuando se cambia el set point también ocurre un comportamiento similar: y

t Se trata entonces de minimizar determinados índices relacionados con esa integral del error, a saber: -



IAE   et  dt

Integral del valor absoluto del error

0

-

Integral del cuadrado del error (tiende a penalizar los errores grandes) 

ISE   e 2 t dt 0

-

Integral del valor absoluto del error ponderado por el tiempo (tiende a penalizar los errores persistentes)  ITAE   t et  dt 0

Se han preparado tablas empíricas que permiten calcular fácilmente los parámetros del controlador en función de minimizar alguno de estos índices. Por ejemplo para ITAE: input

controlador

modo

A

B

carga

P

P

0.490

-1.084

PI

P

0.859

-0.977

I

0.674

-0.680

P

1.357

-0.947

I

0.842

-0.738

D

0.381

0.995

P

0.586

-0.916

I

103 b

-0165 b

P

0.965

-0.85

I

0.796 b

-0.1465 b

D

0.308

0.929

PID

Set point

PI

PID

ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

La relación de diseño es: Y = A()B con Y = KKc , I ó D/ proporcional, integral o derivativo respectivamente b) en este caso = A+B() En todos los casos se asume que GP = GL Véase „ejem15.2.sce‟.

para modo

Para IAE la tabla es input

controlador

modo

A

B

carga

P

P

0.902

-0.985

PI

P

0.984

0.986

I

0.608

0.707

P

1.435

-0.921

I

0.878

0.748

D

0.482

1.137

P

0.758

-0.861

I

1.02 b

-0.323 b

P

1.086

-0.868

I

0.740 b

-0.130 b

D

0.348

0.914

PID

Set point

PI

PID

Para ISE input

controlador

modo

A

B

carga

P

P

1.411

-0.917

PI

P

1.305

-0.959

I

0.482

0.738

P

1.495

-0.845

I

1.101

0.771

D

0.560

1.006

PID

ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

En general pueden realizarse las siguientes consideraciones: • • • • • •

ILM

La ganancia del controlador Kc tiende a ser inversamente proporcional a la ganancia del resto del loop Debe disminuirse Kc en la medida en que aumenta  . La relación D/I típicamente se encuentra entre 0.1 y 0.3 . Cuando se agrega la acción de control integral la Kc puede reducirse. Por el contrario si se agrega una acción derivativa puede aumentarse. Las relaciones Cohen-Coon tienden a generar respuestas oscilatorias. Para disminuir esta tendencia puede disminuirse Kc o aumentar I . De los tres criterios integrales ITAE es el más conservador e ISE el menos. El ISE tiende a penalizar los grandes errores; el ITAE tiende a penalizar los errores que persisten en el tiempo.

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