Listado de Oferta de líneas GRADO EN MATEMÁTICAS Octubre de 2012/2013 Número de líneas ofertadas: 49, Número de plazas ofertadas: 61 Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Álgebra no conmutativa y aplicaciones

DESCRIPCIÓN: El Álgebra no Conmutativa es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas con una operación que no satisface la propiedad conmutativa. A menudo se suele identificar el Álgebra no Conmutativa con la Teoría de Anillos pero también se puede entender que algunos aspectos de la Teoría de Grupos forman parte del Álgebra no Conmutativa, especialmente en las aplicaciones de la Teoría de Representaciones a la Teoría de Grupos. El Trabajo de Fin de Grado se entiende como una continuación de la asignatura Álgebra no Conmutativa del segundo cuatrimestre del Grado en Matemáticas, por lo que para poder elegir esta línea la alumna o el alumno deberá haber cursado esta asignatura o estar matriculado en ella en el momento de la adscripción. El contenido del TFG a desarrollar no está prefijado de antemano y podrá dirigirse a un tema concreto que se elegirá después una discusión entre el tutor o tutores y el alumno o la alumna. A modo orientativo incluímos una serie de temas posibles: El Teorema de Densidad de Jacobson, Anillos semiperfectos, Anillos, perfectos, Álgebras centrales simples, Anillos de grupo y generalizaciones, Grupos de unidades de anillos, El Grupo de Brauer, Representaciones de grupos, Grupos libres, El Problema de las Palabras, Grupos nilpotentes, Grupos resolubles, etc. También se podrán elegir otros temas como aplicaciones prácticas del Álgebra no Conmutativa a problemas prácticos y a otras áreas de las matemáticas o la física, o sobre la historia del álgebra no conmutativa. La elección del tema se realizará en una reunión entre la alumna o el alumno y el tutor o tutores. En esta reunión también se fijará si el trabajo es tutorizado por los dos profesores de la línea o sólo por uno de ellos y en este último caso se decidirá quién es el tutor. Una vez elegido el tema y los tutores, éstos (o éste) recomendarán la bibliografía que el alumno o la alumna deberá consultar y las actividades que deberá realizar para el desarrollo del trabajo. Se marcarán varios encuentros entre el alumno y los tutores para revisar el desarrollo del trabajo, atender las dudas surgidas al alumno y discutir el contenido del TFG a presentar. El alumno deberá entregar un borrador del TFG al menos 20 días antes de la fecha de su entrega definitiva para que los tutores lo puedan revisar. En el plazo máximo de 10 días después de la entrega del borrador los tutores se reunirán con el alumno para explicarle las modificaciones recomendadas. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

RIO MATEOS, ANGEL DEL

1

SIMON PINERO, JUAN JACOBO

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Álgebras de Boole y lógica proposicional

DESCRIPCIÓN: Se pretende introducir al alumno en los conceptos básicos de la lógica proposicional y su importancia dentro de las Matemáticas. El TFG se centrará en la algebrización de la lógica proposicional mediante el concepto de álgebra de Boole y el Teorema de representación de Stone. TUTOR/COTUTOR GUIL ASENSIO, PEDRO ANTONIO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Algunas equivalencias de categorías

DESCRIPCIÓN: Tomando como base los conocimientos adquiridos por el alumno en las asignaturas obligatorias del grado "`Ecuaciones Algebraicas"' y "`Álgebra Conmutativa"' y, en su caso, aunque no necesariamente, los de la optativa "`Álgebra No Conmutativa"', propondremos al alumno una primera inmersión en el lenguaje de la teoría de categorías. En la gran mayoría de las teorías matemáticas hay unos objetos de estudio (conjuntos, espacios topológicos, espacios vectoriales, variedades diferenciables, variedades algebraicas, espacios de Banach...) y unas aplicaciones entre los mismos que mantienen o reflejan las propiedades fundamentales de los mismos (aplicaciones, aplicaciones continuas, aplicaciones lineales, difeomorfismos, morfismos de variedades algebraicas, aplicaciones $C^\propto$, ...). La teoría de categorías surgió en la segunda mitad del siglo pasado como un intento unificador, mostrando que algunos de los resultados obtenidos aisladamente en cada una de las teorías particulares no son sino casos particulares de un resultado válido en el contexto general de la teoría de categorías. Se define una categoría como una serie de objetos y unos morfismos entre los mismos, sujetos a ciertos axiomas elementales, y se elabora a partir de ellos toda la teoría. Un fenómeno especialmente interesante se produce cuando dos categorías son equivalentes, en cuyo caso, todo teorema o resultado válido para una de ellas es válido para la otra. Ello, aun a pesar de que las formas iniciales de las categorías sean totalmente distintas. En este proyecto, propondremos al alumno el estudio de las nociones necesarias para llegar a entender el concepto de equivalencia de categorías. A continuación le propondremos estudiar algunos ejemplos concretos de esas equiva- lencias, como pueden ser: - Teorema de Gabriel: Identifica las categorías que son equivalentes a las categorías de módulos sobre un anillo. Una consecuencia del mismo será el teorema de Morita, que determina la relación entre dos anillos cuyas categorías de módulos son equivalentes. - Teorema de GabrielMitchell: Prueba que la categoría de representaciones vectoriales de un grafo orientado finito es equivalente a una categoría de módulos. - Teorema de Grothendieck: Prueba que la categoría de variedades algebraicas afines es equivalente a la de álgebras conmutativas reducidas. TUTOR/COTUTOR SAORIN CASTAÑO, MANUEL

ALUMNOS 1

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LÍNEA: Anillos de enteros de cuerpos de números

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Alberto del Valle Robles Partiendo de los conocimientos y competencias adquiridos sobre álgebra lineal, grupos abelianos finitamente generados, divisibilidad en dominios y teoría de extensiones de cuerpos, se pretende desarrollar un estudio de algunos anillos de enteros de cuerpos de números, su desarrollo histórico y algunas de sus aplicaciones. TUTOR/COTUTOR ASENSIO MAYOR, JOSE

ALUMNOS 1

LÍNEA: Aplicación de técnicas de supercomputación a la estimación de parámetros de funciones predictoras de distancias

Nº PLAZAS: 1

DESCRIPCIÓN: Se estudiará el problema de la estimación de distancias (o tiempos de viaje) entre puntos de una determinada zona geográfica a partir de sus coordenadas. Se suelen emplear funciones "predictoras" de distancias, en las que hay que estimar unos parámetros que las definen para que la función predictora se ajuste a las distancias reales entre los puntos de la zona geográfica bajo estudio. En el trabajo se estudiarán algoritmos para la estimación de tales parámetros según la clase de función predictora de distancias, y se implementarán tanto en secuencial como en paralelo. Se analizará cuánta precisión se pierde en las predicciones al trabajar con una sola función predictora de distancias para toda la zona geográfica frente a la utilización de una función predictora para cada uno de los centros de población de la zona. Requisitos: Se requieren conocimientos de programación para implementar los correspondientes algoritmos. TUTOR/COTUTOR FERNANDEZ HERNANDEZ, JOSE

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Aplicaciones del teorema del punto fijo: fractales

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Antonio José Pallarés Ruiz Se estudiarán varias demostraciones del teorema del punto fijo de Banach. Se estudiarán el hiperespacio de los compactos de $\R^n$ y los fractales deterministas como puntos fijos de funciones en el hiperespacio. Se utilizará el ordenador para programar el cálculo de fractales sencillos. TUTOR/COTUTOR CASCALES SALINAS, BERNARDO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 3

LÍNEA: Cálculo de variaciones

DESCRIPCIÓN: Un problema relevante que se presenta en las aplicaciones de las técnicas que se estudian en Análisis Matemático a problemas físicos, problemas de las ciencias experimentales, ingenierías, economía, etc. es el de la búsqueda de extremos (máximos o mínimos) de funcionales sobre determinados espacios de funciones (un funcional es una función real definida sobre un espacio de funciones). Ejemplos de tales problemas son: determinación de las curvas de mínima longitud en superficies (problema de las geodésicas), estudio de la braquistócrona, o curva en la que se da el descenso más rápido de una masa que se encuentra sobre la misma, superficies de revolución con menor resistencia al movimiento , la curva catenaria, etc. Las ecuaciones de Euler-Lagrange y el principio del máximo de Pontryagin son, enre otras, las herramientas necesarias para resolver dichos problemas. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

BALIBREA GALLEGO, FRANCISCO

1

JIMENEZ LOPEZ, VICTOR MANUEL

1

LINERO BAS, ANTONIO

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Cartografía

DESCRIPCIÓN: Durante décadas, uno de los problemas más atractivos para los geómetras estaba relacionado directamente con la Cartografía, es decir, la representación de una porción del globo terráqueo (la esfera) en un plano (mapa), que fuese "lo mejor posible". En 1828, Gauss, con su famoso "Teorema Egregium" dio al traste con todas las expectativas. El objetivo de esta línea de trabajo es que el alumno estudie la evolución de la cartografía, el cómo la Geometría Diferencial de Superficies resulta ser un pilar básico para el diseño de mapas, y los muy diversos tipos de mapas existentes dependiendo de las necesidades concretas de uso. TUTOR/COTUTOR HERNANDEZ CIFRE, MARIA ANGELES

ALUMNOS 1

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LÍNEA: Conjuntos fractales

DESCRIPCIÓN: Benoit Mandelbrot introdujo la noción de conjunto fractal a mediados de los setente, y desde entonces estos objetos han despertado un enorme interés, dentro y fuera de las Matemáticas. En esta línea de trabajo pretendemos abordarlos desde diversas perspectivas, de manera que puedan participar en ella hasta tres estudiantes. Se tratarán, eventualmente, las siguientes cuestiones: Historia de los conjuntos fractales y conjuntos patológicos en el Análisis. La noción de fractal: dimensión topológica y dimensión de Hausdorff. Ejemplos de conjuntos fractales: autosemejanza. Fractales y sistemas dinámicos. Implementación numérica de fractales. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

BALIBREA GALLEGO, FRANCISCO

1

JIMENEZ LOPEZ, VICTOR MANUEL

1

LINERO BAS, ANTONIO

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Contrastes de hipótesis secuenciales

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por José María Ruiz Gómez Los contrastes de hipótesis usuales tienen la característica de que solamente lo que se conoce como "`error de tipo I"' está controlado de antemano. Durante la segunda guerra mundial, Wald desarrolló los contrastes secuenciales, básicos en el desarrollo de la teoría de la decisión, con el fin de contrastar hipótesis nulas y alternativas simples donde los errores de tipo I y II están controlados. Se introduce entonces el muestreo secuencial, en el que el tamaño de la muestra no se toma de antemano, sino que en cada fase del muestreo se decide si se continua o no con el proceso. Este trabajo se aplicó con éxito al control de calidad de productos manufacturados. En esta línea se pretende abordar tanto el estudio teórico, computacional como aplicado de los contrastes secuenciales. TUTOR/COTUTOR BELZUNCE TORREGROSA, FELIX LUIS

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Convergencia y divergencia de series de Fourier

DESCRIPCIÓN: Se estudiarían resultados clásicos de convergencia de las series de Fourier (puntual, uniforme o en norma $L_p$), así como algunos contraejemplos de series divergentes (funciones continuas cuya serie diverge en un punto, funciones integrables cuya serie diverge en ctp, ...). TUTOR/COTUTOR GARRIGOS ANIORTE, GUSTAVO ADOLFO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Criptografía aplicada al Internet de las Cosas (IoT)

DESCRIPCIÓN: La aparición del IPv6 y de la amplia proliferación de dispositivos de bajo coste basados en microprocesadores como el MSP430 están permitiendo un desarrollo real del Internet de las Cosas (conocido por sus siglas en inglés Internet of Things, IoT). En un futuro próximo todos los aparatos que nos rodean, por pequeños que sean dispondrán de conectividad a través de estos dispositivos. La necesidad de adaptación de los algoritmos criptográficos clásicos a estos pequeños dispositivos está siendo foco de gran interés en empresas multinacionales y la labor de los matemáticos, una pieza clave en el diseño e implementación de estos algoritmos. En esta línea se introducirá a los estudiantes en las técnicas matemáticas específicas de este tipo de desarrollos y en los problemas de implementación asociados. TUTOR/COTUTOR MARIN MUÑOZ, LEANDRO

ALUMNOS 2

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Cuerpos finitos

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por José Asensio Mayor Partiendo de los conocimientos y competencias adquiridos en las asignaturas de álgebra del Grado, especialmente en "Ecuaciones Algebraicas", se pretende desarrollar una introducción a la teoría de cuerpos finitos, sus propiedades más importantes y alguna de sus aplicaciones. TUTOR/COTUTOR VALLE ROBLES, ALBERTO DEL

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Descomposición de fibrados vectoriales

DESCRIPCIÓN: Un resultado clásico en geometría algebraica es el conocido como Teorema de Grothendieck acerca de la descomposición de fibrados vectoriales sobre la recta proyectiva. En el proyecto se propone estudiar una aproximación matricial de este teorema. Prerrequisitos deseables: haber superado las asignaturas de Álgebra conmutativa, Grupos y Anillos. TUTOR/COTUTOR ESTRADA DOMINGUEZ, SERGIO

ALUMNOS 1

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LÍNEA: Distancia de un punto a un conjunto mediante optimización no lineal

DESCRIPCIÓN: Se estudiará el problema de calcular la distancia de un punto $x$ a un conjunto $A$ en $\R^n$ usando las métricas definidas por las normas $l1$ e $I2$. Se estudiará en primer lugar el caso en que $A$ sea un poliedro y después el caso en que $A$ sea un conjunto convexo cerrado definido por un sistema de desigualdades lineales y no lineales. En cada caso se desarrollarán formulaciones del problema que permitan usar algoritmos de optimización no lineal para su resolución, cuya implementación y estudio computacional será realizado por el alumno. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

PELEGRIN PELEGRIN, BLAS

1

LÍNEA: Ecuaciones de transporte no lineales: estudio teórico y práctico a nivel básico; uso de diferencias Nº PLAZAS: 1 finitas DESCRIPCIÓN: Partiendo de la formación recibida en la asignatura optativa "Métodos Numéricos y Variacionales de las Ecuaciones en Derivadas Parciales" donde hemos estudiado las ecuaciones de transporte lineales nos introduciremos en el mundo no lineal donde la pérdidad de regularidad del dato inicial, la aparición de discontinuidades, conocidas como ondas de choque, y de ondas de rarefacción genera un universo de gran riqueza matemática. Se estudiará en un nivel relativamente básico este tipo de problemas tanto a nivel continuo como discreto y se desarrollarán esquemas en diferencias finitas que garanticen la captura de este tipo de fenómenos. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

CHACON VERA, ELISEO

1

Nº PLAZAS: 3

LÍNEA: Ecuaciones en diferencias

DESCRIPCIÓN: La ecuación lineal de orden $n$. Teorema de Poincaré-Perron. Estudio local alrededor de un punto de equilibrio. Módulos. Apuntes históricos de las ecuaciones en diferencias. Esquemas exactos. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

BALIBREA GALLEGO, FRANCISCO

1

JIMENEZ LOPEZ, VICTOR MANUEL

1

LINERO BAS, ANTONIO

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El Grupo de coGalois

DESCRIPCIÓN: Dada una clausura algebraica de un cuerpo, tenemos asociado su correspondiente grupo de Galois absoluto. Tal clausura algebraica puede verse como una envoltura en la clase de cuerpos algebraicamente cerrados en la categoría de cuerpos. De manera más general podemos hablar del grupo de Galois asociado a una envoltura de módulos respecto a una clase más general. De forma dual podemos considerar el grupo de coGalois asociado a una cubierta. Este concepto extiende al de grupo de automorfismos recubridores asociado a un espacio recubridor universal. En el proyecto se propone estudiar la estructura del grupo de coGalois para el caso de cubiertas libres de torsión de grupos abelianos. Prerrequisitos deseables: haber superado las asignaturas de Álgebra conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Grupos y Anillos. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

ESTRADA DOMINGUEZ, SERGIO

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El principio de mínima acción: un paseo por el cálculo variacional en variedades

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Miguel Ángel Javaloyes Victoria Se realizará un recorrido por los elementos básicos del cálculo variacional (que los alumnos ya conocen de la asignatura de 3º): integración en variedades, variaciones de curvas, funcionales interesantes (longitud, energía, volumen), fórmulas de la primera y segunda variación, ecuación de Euler, geodésicas, campos de Jacobi, teoremas de comparación, etc. TUTOR/COTUTOR LUCAS SAORIN, PASCUAL

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El problema isoperimétrico en superficies

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por David Alonso Gutiérrez La circunferencia se caracteriza de forma unívoca por la propiedad de que entre todas las curvas planas cerradas y simples de longitud dada, ésta es la que encierra mayor área; es decir, la circunferencia es la solución, en el plano, al llamado problema isoperimétrico. El objetivo de esta línea de trabajo es estudiar el problema isoperimétrico en superficies del espacio euclídeo 3-dimensional, donde la casuística es mucho más rica e interesante, ya que la curvatura de Gauss juega un papel fundamental. TUTOR/COTUTOR HERNANDEZ CIFRE, MARIA ANGELES

ALUMNOS 1

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LÍNEA: El teorema de la esfera

DESCRIPCIÓN: Uno de los logros más bonitos de la geometría riemanniana global es el teorema de la esfera, el cual establece en breves palabras que un variedad riemanniana compacta y sin agujeros cuya curvatura se mueve en un cierto pequeño intervalo semiabierto de números positivos tiene que ser una esfera topológica. Este resultado es un importante ejemplo de cómo la geometría de una variedad impone fuertes restricciones sobre la topología de la misma, mostrándonos la estrecha relación existente entre geometría y topología. La demostración de este teorema requiere de una serie de herramientas de la geometría diferencial, ya de por sí muy interesantes, que el alumno tendrá que estudiar para realizar su trabajo fin de grado. Es muy recomendable haber cursado la asignatura optativa "Geometría de Riemann". TUTOR/COTUTOR MEROÑO BAYO, MIGUEL ANGEL

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El teorema de los 4 colores; coloreando mapas

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizado por María de los Ángeles Hernández Cifre Una de las aplicaciones más sorprendentes de la topología de superficies da como resultado una serie de teoremas que nos describen cuándo y cómo es posible colorear correctamente un mapa. En este tema profundizaremos en la teoría necesaria para alcanzar dicho resultado así como los posteriores desarrollos que este problema suscitó a lo largo de más de cien años de historia. TUTOR/COTUTOR PASTOR GONZALEZ, JOSE ANTONIO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El teorema de representación conforme de Riemann

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Gustavo Garrigós Aniorte. Este importante teorema afirma que para los abiertos simplemente conexos del plano complejo (distintos de C) existe una biyección holomorfa sobre el disco unidad. Se demostraría el teorema de Riemann, estudiando reforzamientos del mismo, y analizando fórmulas explícitas para ciertas clases de abiertos (transformaciones de Mobius, fórmula de Schwarz-Christoffel). TUTOR/COTUTOR CASCALES SALINAS, BERNARDO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: El valor de Shapley

DESCRIPCIÓN: Este año Lloyd S. Shapley (junto al también matemático Alvin Roth) ha recibido el Premio Nobel de Economía "por sus aportaciones a la teoría de las asignaciones estables y el diseño de mercado". El trabajo que se propone trata de hacer una revisión de una de sus aportaciones más relevantes a la teoría de juegos cooperativos; el llamado "valor de Shapley". La teoría de juegos cooperativos trata situaciones en las cuales un grupo de agentes presentes en un sistema cooperan con el fin obtener el mayor rendimiento posible del mismo. El objetivo principal en estas situaciones es determinar cómo repartir entre los agentes el beneficio total derivado de esta cooperación. En 1953, Shapley introduce un valor (una aplicación que propone un reparto para cada juego cooperativo) que se conoce como "valor de Shapley" y está considerado como uno de los principales mecanismos de reparto para los juegos cooperativos. En este trabajo analizaremos, además de la formulación original, las distintas formulaciones equivalente y generalizaciones para distintas situaciones específicas de cooperación. Además, exploraremos distintas aplicaciones prácticas en las que se puede utilizar esta solución, con especial énfasis en el análisis de la distribución de poder en un proceso electoral. TUTOR/COTUTOR PULIDO CAYUELA, MANUEL ANDRES

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Espacios de curvatura constante; otra geometría es posible

DESCRIPCIÓN: Esta línea comprende dos temas de trabajo, englobando el punto de vista histórico y el actual. Respecto al primero, se estudiará el nacimiento y desarrollo de las geometrías no euclídeas a lo largo del siglo XIX (Gauss, Lobachevsky, Bolyai) hasta llegar a Riemann, el estudio del modelo axiomático de Euclides y su comparativa con un modelo de geometría no euclídea clásico (como el modelo proyectivo), o los modelos de métricas semi-riemannianas y su aplicación a las teorías físicas (teoría de la relatividad, teoría de cuerdas, etc). Por otro lado, las variedades con curvatura seccional constante son las variedades riemannianas más simples que podemos encontrar. Asimismo, son los ejemplos de variedades más clásicos conocidos, ya que incluyen los espacios euclídeos, los no-euclídeos descubiertos por Bolyai y Lobachevski, y los esféricos y elípticos cuya geometría fue estudiada por Riemann. El objetivo de esta segunda línea de trabajo es estudiar las propiedades de los espacios de curvatura constante y buscar clasificaciones de los mismos en los casos más sencillos. Es muy recomendable haber cursado la asignatura optativa "Geometría de Riemann". TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

LUCAS SAORIN, PASCUAL

1

MEROÑO BAYO, MIGUEL ANGEL

1

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LÍNEA: Extensiones trascendentes; dimensión

DESCRIPCIÓN: A partir de los conocimientos adquiridos por los alumnos en las asignaturas "Ecuaciones Algebraicas" y "Álgebra Conmutativa", y como extensión natural de éstas, se estudiarán las extensiones trascendentes centrando el trabajo en el establecimiento de la relación del concepto de grado de trascendencia con la dimensión de anillos conmutativos (Krull, Hilbert-Samuel) y variedades algebraicas. TUTOR/COTUTOR MARTINEZ HERNANDEZ, JUAN

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Formulaciones alternativas de la noción de compacidad

DESCRIPCIÓN: La noción de compacidad no resulta tan cercana ni natural como otras nociones topológicas como, por ejemplo, la de conexión. Desde los comienzos de la topología resultaba evidente que un intervalo cerrado y acotado de la recta real tenía cierta propiedad que era crucial en la demostración de teoremas tales como el teorema del valor máximo y el de la continuidad uniforme, pero se tardó muchísimo en poder formular dicha propiedad para espacios topológicos generales en los términos que hoy conocemos como la compacidad. El objetivo de este TFG es estudiar diferentes formulaciones alternativas de la noción de compacidad, tales como la compacidad sucesional, la $\omega$-compacidad y la $\omega$-compacidad débil, y las relaciones existentes entre las mismas para concluir, por ejemplo, que todas las formulaciones son equivalentes en el caso de los espacios metrizables, mientras que para otros tipos de espacios (1AN, 2AN, Lindelöf, $T_1$) se mantienen algunas de las equivalencias y otras no. TUTOR/COTUTOR ALIAS LINARES, LUIS JOSE

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Generación de horarios y calendarios mediante optimización discreta

DESCRIPCIÓN: Mediante técnicas de Optimización Discreta, previamente estudiadas en la asignatura de Grafos y OD, se modelan y resuelven problemas de horarios (de un centro de enseñanza, por ejemplo) y calendarios (de una actividad deportiva, por ejemplo). La implementación puede ser hecha en Xpress, programa utilizado en la misma asignatura, y pueden estudiarse las propiedades teóricas de los modelos y/o aplicarse a casos reales. TUTOR/COTUTOR MARIN PEREZ, ALFREDO N.

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Geometría proyectiva

DESCRIPCIÓN: El álgebra lineal admite una interpretación que, en dimensiones bajas, contiene a la geometría proyectiva, una teoría que reinó en la matemática del siglo XIX como la forma más perfecta y general de geometría. El trabajo propuesto debe desarrollar los conceptos y técnicas básicos de la geometría proyectiva y puede considerar la función de una geometría proyectiva generalizada en el estudio de la relación entre los sistemas de ecuaciones polinómicas y los conjuntos geométricos que son la solución de dichos sistemas. TUTOR/COTUTOR GARCIA HERNANDEZ, JOSE LUIS

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: George Cantor, el constructor del paraiso

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizado por Antonio José Pallarés Ruiz Análisis de la vida y obra del matemático George Cantor, sin duda uno de los diez grandes de la historia de las matemáticas. El alumno estudiará datos relevantes en su vida y obra, analizando la enorme repercusión que tuvo y hoy sigue teniendo en el desarrollo de la matemática. La hipótesis del continuo es sólo la punta del iceberg de una mente maravillosa consagrada al desarrollo de las matemáticas. TUTOR/COTUTOR ORIHUELA CALATAYUD, JOSE

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Grafos minimales y teorema de Bernstein

DESCRIPCIÓN: Una superficie minimal en $\mathbb{R}^3$ es una superficie con curvatura media cero en todos sus puntos. Uno de los teoremas más importantes de la geometría global de superficies minimales es el teorema clásico de Bernstein (1910), que establece que los planos son las únicas superficies minimales que se pueden escribir como el grafo de una función diferenciable globalmente definida en todo $\mathbb{R}^2$. En otras palabras, los planos son los únicos grafos enteros minimales. El objetivo de este trabajo fin de grado es estudiar en profundidad dicho resultado, analizando alguna de las distintas demostraciones del mismo que existen en la literatura. TUTOR/COTUTOR ALIAS LINARES, LUIS JOSE

ALUMNOS 1

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LÍNEA: Holonomía, curvatura y el péndulo de Foucault

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por María de los Ángeles Hernández Cifre. El concepto de holonomía se define a partir del de transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada. Es posible definir la curvatura de una superficie a partir de una medida del desplazamiento que sufre un vector a lo largo de curvas cerradas suficientemente pequeñas. Por otra parte, el transporte paralelo se identifica claramente con el movimiento de un partícula en un sistema de referencia inercial. Este hecho nos permitirá explicar fenómenos como el péndulo de Foucault, cuyo desplazamiento aparente se debe en exclusiva a que nuestra visión está mediatizada por encontrarnos inmersos en un ambiente no inercial. TUTOR/COTUTOR PASTOR GONZALEZ, JOSE ANTONIO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: John von Neumann, el matemático del siglo XX

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Antonio José Pallarés Ruiz. Análisis de la vida y obra del matemático John von Neumann. El alumno estudiará datos relevantes en su vida y obra, analizando la enorme repercusión que tuvo y hoy sigue teniendo en el desarrollo de la matemática, como por ejemplo, formulación de la mecánica cuántica, teoría de juegos, ciencias de la computación, etc. TUTOR/COTUTOR ORIHUELA CALATAYUD, JOSE

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Juegos de búsqueda

DESCRIPCIÓN: En ciertos casos los problemas de búsqueda se pueden modelizar como juegos de búsqueda (de forma simétrica de emboscada). La mayoría de los juegos de este tipo son juegos de dos personas de suma nula cuyo conjunto base se puede considerar finito dotado de alguna estructura geométrica. Resulta de interés analizarlos, estudiar métodos de resolución e indicar posibles aplicaciones. TUTOR/COTUTOR ZOROA ALONSO, CARMEN NOEMI

ALUMNOS 2

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: La compactificación de Alexandrov

DESCRIPCIÓN: La compacidad es una propiedad soñada en cualquier espacio topológico, pues ella le dota de un fructífero escenario de trabajo. Por tanto, se busca desesperadamente "hacer compacto" un espacio que no lo sea. Por ejemplo, sabemos que el círculo unidad $\mathbb{S}^1$, centrado en el origen y de radio $1$, con la topología euclídea es compacto. Si ahora le damos un corte, por un punto cualquiera, y lo estiramos, vemos que aquél círculo "se parece mucho" al intervalo abierto $(-1,1)$, que, con la topología euclídea, ya no es compacto. ¿Y al revés? ¿Podríamos añadir a la recta real $ \mathbb{R}$ un punto de manera que el nuevo espacio fuese compacto? La respuesta es afirmativa. TUTOR/COTUTOR FERRANDEZ IZQUIERDO, ANGEL

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Modelos de evolución temporal de poblaciones

DESCRIPCIÓN: Se discutirá la modelización continua y/o discreta para poblaciones de una determinada especie de acuerdo a hipótesis razonables sobre su etiología. Se analizará la evolución en el tiempo del modelo obtenido y se comparará con los datos experimentales disponibles. Posteriormente se modelizará la interacción de poblaciones, desde las clásicas ecuaciones de Lotka-Volterra hasta los sistemas usados hoy día en los modelos ecológicos. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

RAJA BAÑO, MATIAS

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LÍNEA: Paralelización de modelos matemáticos

DESCRIPCIÓN: En la asignatura "Laboratorio de Modelización" del grado se ha abordado la construcción de modelos matemáticos de diversos fenómenos físicos y su implementación en computadoras digitales. A menudo, la complejidad de estos modelos requiere que se realicen una gran cantidad de cálculos que ralentizan la ejecución del modelo en ordenadores con un único procesador. Una posible solución consiste en utilizar un ordenador con más de un procesador (CPU) y paralelizar los cálculos, de modos que varios procesadores trabajen concurrentemente en la solución numérica del modelo. Este proceso de paralelización requiere, por una parte, la toma en consideración de diversos artificios informáticos que permiten efectivamente la mejora del tiempo de ejecución, la medida de los beneficios obtenidos realmente con una paralelización dada, por otra, y, finalmente, la posible reestructuración de los modelos para una mejor eficiencia del cálculo paralelo. Esta línea de TFG tiene relación con las asignaturas de Informática, Física y Modelización del Grado, así como con las de Ecuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos. En ella, se paralelizarán algoritmos para la resolución de diversos problemas matemáticos y físicos. Además, se aprenderán las cuestiones técnicas a considerar en la paralelización de procesos y la medida de la eficiencia o del escalado de una paralelizacion dada. Como la mayoría de los materiales disponibles están en inglés, es muy recomendable, si no imprescindible, que el estudiante pueda leer inglés con fluidez. TUTOR/COTUTOR ESQUEMBRE MARTINEZ, FRANCISCO

ALUMNOS 1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Polinomios ortogonales clásicos

DESCRIPCIÓN: Se estudiarán las propiedades genéricas de las familias de polinomios ortogonales respecto a un núcleo, como fórmula de recurrencia, ecuación diferencial, función generatriz, autofunciones de un problema de Sturm-Liouville, etc. Después se estudiarán las propiedades específicas de los polinomios de Legendre, Laguerre, Chebichev, Hermite, etc. y su relación con otros tópicos, como la aproximación uniforme (Chebichev), solución de ecuaciones diferenciales de la Física como la de Schrödinger (Hermite), por ejemplo. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

RAJA BAÑO, MATIAS

1

Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Resultados paradójicos y axiomática

DESCRIPCIÓN: El Teorema de Banach-Tarski afirma que una esfera puede ser dividida en una cantidad finita de trozos que pueden ser reorganizados en movimientos rígidos para formar dos esferas. Se desarrollará la demostración de este o de otros resultados similares aparentemente paradójicos, y se discutirán los aspectos lógicos y de fundamentos que subyacen. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

AVILÉS LÓPEZ, ANTONIO

1

RODRIGUEZ RUIZ, JOSE

1

Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Semigrupos y autómatas

DESCRIPCIÓN: La teoría de autómatas finitos fue iniciada en la década de los 50 y ha resultado muy útil en contextos muy diversos: teoría de circuitos digitales, lenguajes formales, lógica formal, teoría de algoritmos, etc. En este trabajo se estudiarán los conceptos básicos de la teoría de autómatas y se abordará su relación con los lenguajes formales, llegando a demostrar los teoremas de Myhill-Nerode y Kleene que caracterizan los lenguajes aceptados por un autómata finito. Para todo ello se utilizará como herramienta la teoría de semigrupos. Para este trabajo no son necesarios especiales conocimientos previos más allá de la asignatura de grupos y anillos, aunque sí es imprescindible poder leer con soltura textos en inglés. TUTOR/COTUTOR BUSQUE ROCA, CLAUDIO

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Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Simulación de fenómenos físicos

DESCRIPCIÓN: Co-tutorizada por Gregorio José Molina Cuberos El trabajo consistirá en realizar una o varias simulaciones de varios fenómenos físicos mediante herramientas simples como Easy Java Simulations. La simulación debe servir para poner de manifiesto las características específicas del fenómeno al mismo tiempo que profundizar en las posibilidades de la herramienta de simulación utilizada. TUTOR/COTUTOR MARGINEDA PUIGPELAT, JOSE

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Listado de Oferta de líneas GRADO EN MATEMÁTICAS Octubre de 2012/2013 Número de líneas ofertadas: 49, Número de plazas ofertadas: 61 Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Sistemas de posicionamiento global y teoría de la relatividad

DESCRIPCIÓN: El funcionamiento de los sistemas de posicionamiento global involucra una constelación de satélites geoestacionarios en órbita ecuatorial a enormes velocidades y grandes alturas. En este tema estudiaremos la matemática que hay detrás de los sistemas GPS así como la necesidad de contemplar los efectos relativistas en dicho análisis, tanto en lo que se refiere a velocidades (relatividad especial) como en lo que respecta a la posición en un campo gravitatorio (relatividad general). TUTOR/COTUTOR PASTOR GONZALEZ, JOSE ANTONIO

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LÍNEA: Sumersiones riemannianas

DESCRIPCIÓN: Una aplicación diferenciable $f : M \to M'$ entre variedades de Riemann se dice una sumersión si $V_p(M,f) = {\rm ker}f_{*p}$ es no degenerado y $f_{*p}: V^{\perp}_{p}(M,f) \to T_{f(p)}M'$ es una isometría para todo $p\in M$. En tal caso, los subespacios $H_p(M,f)= V_{p}^{\perp} (M,f)$ y $V_p(M, f)$ de $T_pM$ se llaman horizontal y vertical, respectivamente. Las correspondientes distribuciones $H(M,f)$ y $V(M, f)$ son diferenciables y dan lugar a la suma directa $TM=H(M,f)+ V(M,f)$, la cual origina una fuente de excelentes propiedades para el estudio de la geometría de las variedades implicadas. TUTOR/COTUTOR JAVALOYES VICTORIA, MIGUEL ANGEL

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LÍNEA: Superficies de curvatura media constante y superficies de Delaunay

DESCRIPCIÓN: La curvatura media de una superficie es una cantidad extrínseca que mide cómo se curva la superficie en el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Una superficie cuya curvatura media es cero en todos puntos se llama una superficie minimal y son el modelo matemático de una película de jabón. Análogamente, una superficie cuya curvatura media es constante pero distinta de cero surge cuando intentamos minimizar el área de una superficie cerrada conservando el volumen interior. Las superficies de curvatura media constante han sido, y todavía son hoy, objeto de estudio de numerosos trabajos de investigación en geometría diferencial. El objetivo de este trabajo fin de grado es estudiar en profundidad tales superficies, profundizando en particular en la clasificación de las superficies rotacionales de curvatura media constante, que fueron descubiertas por Delaunay en 1841. TUTOR/COTUTOR ALIAS LINARES, LUIS JOSE

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LÍNEA: Técnicas de descomposición de dominios; uso de elementos finitos

DESCRIPCIÓN: Partiendo de la formación recibida en la asignatura optativa "Métodos Numéricos y Variacionales de las Ecuaciones en Derivadas Parciales" donde hemos estudiado las ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico y el uso de los elementos finitos nos plantearemos la resolución de este tipo de problemas en situaciones donde el tamaño del problema es excesivamente grande como para ser resuelto en un solo computador o procesador. Esto nos llevará al estudio de procesos de descomposición de la ecuación elíptica original en dos o más ecuaciones elípticas acopladas entre sí. Cada una de ellas estará asociada a una porción del dominio de cómputo original. Una vez realizada esta descomposición a nivel continuo, un proceso de cáculo iterativo permite obtener la solución global a partir de cálculos locales. Se estudiará en un nivel relativamente básico este tipo de problemas y se plantearán diversas alternativas de cálculo. TUTOR/COTUTOR CHACON VERA, ELISEO

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LÍNEA: Teorema del índice de Poincaré; aplicaciones geográficas y meteorológicas

DESCRIPCIÓN: El teorema del Índice de Poincaré en su versión diferenciable está directamente relacionado con la fórmula de Gauss-Bonnet para superficies. En este tema trataremos de estudiar dicha relación y presentaremos diversas consecuencias de este potente resultado. En concreto, se puede establecer una relación cuantitativa entre las singularidades de un campo de líneas y la topología de la superficie en el que está definido. Cualquier situación física que admita una modelización en términos de campos de líneas cabe dentro del estudio. Como casos particulares consideramos aplicaciones meteorológicas y geográficas. TUTOR/COTUTOR PASTOR GONZALEZ, JOSE ANTONIO

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Listado de Oferta de líneas GRADO EN MATEMÁTICAS Octubre de 2012/2013 Número de líneas ofertadas: 49, Número de plazas ofertadas: 61 Nº PLAZAS: 2

LÍNEA: Teoría de códigos y criptología

DESCRIPCIÓN: La Teoría de Códigos estudia el desarrollo de códigos para el almacenamiento y transmisión de información. La Criptología está formada por la Criptografía, que busca técnicas de cifrado de información es decir de representación de la información de forma que sólo pueda ser comprendida por el receptor legítimo, y el Criptoanálisis que estudia los métodos para comprender la información cifrada. El Trabajo de Fin de Grado se entiende como una continuación de la asignatura Códigos y Criptografía del segundo cuatrimestre del Grado en Matemáticas, por lo que para poder elegir esta línea el alumno o la alumna deberá haber cursado esta asignatura o estar matriculado en ella en el momento de la adscripción. El contenido del TFG a desarrollar no está prefijado de antemano y podrá dirigirse a un tema concreto que se elegirá después una discusión entre los tutores y la alumna o el alumno. A modo orientativo incluímos una sería de temas posibles: Códigos BCH, Códigos algebraico geométricos, Códigos combinatorios, cotas en Teoría de Códigos, los Teoremas de Shannon, compresión de datos, protocolos criptográficos basados en curvas elípticas, protocolos criptográficos basados en grupos, problemas computacionales, estudio de utilizaciones prácticas concretas de códigos o criptosistmas, etc. Los trabajos podrán incluir la utilización de software o el desarrollo de programas informáticos. La elección del tema se realizará en una reunión entre el alumno o la alumna y el tutor o tutores. En esta reunión también se fijará si el trabajo es tutorizado por los dos profesores de la línea o sólo por uno de ellos y en este último caso se decidirá quién es el tutor. Una vez elegido el tema y los tutores, éstos (o éste) recomendarán la bibliografía que el alumno o la alumna deberá consultar y las actividades que deberá realizar para el desarrollo del trabajo. Se marcarán varios encuentros entre el alumno o la alumna y los tutores para revisar el desarrollo del trabajo, atender las dudas surgidas y discutir el contenido del TFG a presentar. El alumno o la alumna deberá entregar un borrador del TFG al menos 20 días antes de la fecha de su entrega definitiva para que los tutores lo puedan revisar. En el plazo máximo de 10 días después de la entrega del borrador los tutores se reunirán con el alumno o la alumna para explicarle las modificaciones recomendadas. TUTOR/COTUTOR

ALUMNOS

RIO MATEOS, ANGEL DEL

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SIMON PINERO, JUAN JACOBO

1

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LÍNEA: Teoría de subvariedades riemannianas: de la dimensión 2 a la dimensión n

DESCRIPCIÓN: Ampliación de los conceptos y resultados básicos sobre la teoría de subvariedades en una variedad de Riemann que los alumnos han visto en la asignatura "Geometría de Riemann": inmersión isométrica, 2ª forma fundamental, operadores de Weingarten, ecuaciones fundamentales de una subvariedad, conexión inducida, operadores diferenciales, hipersuperficies isoparamétricas, etc. TUTOR/COTUTOR LUCAS SAORIN, PASCUAL

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Nº PLAZAS: 1

LÍNEA: Topología de variedades

DESCRIPCIÓN: Se sabe que una estructura diferenciable sobre un conjunto $M$, que lo convierte en una variedad, induce una topología sobre $M$, la cual está generada tomando como base los dominios de las cartas de $M$. Tal topología es muy pobre, es decir, satisface $1AN$, pero no es Hausdorff, lo cual es un serio problema. Ahora bien, si $M$ viene ya equipado con una topología y luego definimos una estructura diferenciable, es lícito y saludable preguntarse si la topología inducida por la estructura diferenciable coincide con la topología primitiva. La respuesta a esta, y otras cuestiones sobre la condición de Hausdorff y la compacidad, serán el objeto de esta propuesta. TUTOR/COTUTOR FERRANDEZ IZQUIERDO, ANGEL

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