E=hf;p=mv;F=dp/dt;I=Q/t;Ec=mv2/2; F=KQq/r2;L=rxp;x=Asen(ωt+φo);v=λf c2=1/εoµo;A=πr2;T2=4π2/GMr3;F=ma; L=dM/dtiopasdfghjklzxcvbvv=dr/dt; FÍSICA 2º BT Ejercicios M=rxF;sspmoqqqqqqqqqqqp=h/λ; TEMA 1: R=mv/qBvmax=AAAωF=kxB=µ oI/2πd; HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 2 2 V=KQ/r ;ertyuied3rgfghjklzxc;E=mc 1.1 CÁLCULO VECTORIAL PROFESOR: ÁNGEL L. PÉREZ vmax=Aωqwertyuiopasdfghjklzn=c/v; Em=Ec+Ep;F=GMm/r2;W=∫ 𝑭𝒅𝒓;F=kx; v=Aωcos(ωt+φo);L=mrvsenΦ;n=λ/λo n1seni=n2senr;dA/dt=cte;B=µoI/2πd; Φ=∫ 𝑩𝒅𝒓;vesc=�2𝐺𝑀/𝑟;c=λf;E=kA2/2 amax=Aω2; β=10logI/Io; ω=2πf;T=1/f; κ=1/λ; τ=ln2/λ; P=1/f´(m);E p=∫ 𝒈𝒅𝒓; N=No𝑒 −𝜆𝑡 ; 1/f´=1/s´+1/s; Fc=mv2/r; y(x,t)=Asen(ωt±kx); W=qΔV; F=qvxB; Ec=hf−𝜔𝑜 ; AL=y´/y; g=-GM/r2; V=IR; F=qE; E2-E1=hf; 𝜀 = −𝑑𝛷/𝑑𝑡; F=mg fu=ωo/h; k=mω2; senL=n2/n1; κ=2π/λ TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 1 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 2 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT •

DEFINICIÓN DE VECTOR. MÓDULO

1. Representa gráficamente, halla el módulo y ordena de más largo a más corto los siguientes vectores: a) v= (0, -3, 0) c) z= (4, -4, -4) b) w= (-6, 5, 3) d) x= (3, -5, 6) 2. ¿Qué condiciones deben cumplir dos vectores para ser iguales?

3. Un móvil viaja a una velocidad 𝑣⃗(𝑡) = (−𝑡 2 , 2𝑡, −3)𝑚𝑠 −1 . Calcula: a) su celeridad inicial. b) su celeridad a los 2 s. •

VECTORES UNITARIOS

4. Calcula los vectores unitarios asociados a los vectores del ejercicio 1 y represéntalos gráficamente comprobando que tienen la misma dirección.

5. Dos partículas se encuentran en las posiciones A (-3, 4, 1) m y B (1, -3, -2). a) Halla el vector unitario que marca la dirección de la partícula A a la B. b) ¿Qué habrá que hacer para encontrar el vector unitario que marca la dirección de la partícula B a la A?

6. Encuentra los siguientes vectores: a) un vector paralelo a w y de módulo 4. b) un vector paralelo a z y de módulo 1/3. c) un vector anti paralelo a x y de módulo 2. d) un vector que mida la mitad que v y que tenga la misma dirección pero en sentido contrario. •

BASE ORTONORMAL

7. Expresa los vectores del ejercicio 1 como combinación lineal de la base ortonormal.

8. Halla las componentes de los siguientes vectores: a) F= 3i -2j +4k b) G= -1/3 i +5j -3k •

SUMA VECTORIAL

9. Calcula el vector resultante de todos los vectores del ejercicio 1. Comprueba que su módulo no es la suma de los módulos de cada vector. 10. Representa gráficamente la regla del paralelogramo para la resta de dos vectores. ¿Qué entiendes por vector opuesto?

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 3 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT 11. Demuestra las tres propiedades de la suma vectorial. •

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

12. Calcula, representando gráficamente cada operación: a) 3v – 2w + ¼ z – 2x b) 2(w –x) + 3(z + v) 13. Demuestra las tres propiedades del producto de un escalar por un vector.

14. Halla un vector que sea la mitad que la resultante de los vectores del ejercicio 1. ¿Cómo es su módulo en relación a la resultante?

•

PRODUCTO ESCALAR

15. Realiza todos los posibles productos escalares que pueda haber entre los vectores del ejercicio 1. Halla el ángulo que forma cada pareja de vectores entre sí. Halla el ángulo que forma cada vector con cada uno de los ejes cartesianos.

16. Demuestra que los vectores a= 3i – 4j + 2k y b= -6i + 8j – 4k son anti paralelos. 17. Demuestra que los vectores a= 4i – 2j + 6k y b= -5i + 8j + 6k son perpendiculares.

18. ¿Bajo qué condiciones se anula el producto escalar? Aplícalas al caso del Trabajo mecánico.

19. Hallar el ángulo formado entre los vectores a= (5, -3, 2) y b= (2, -2, 8). Encuentra la proyección de a sobre b y la de b sobre a. Encuentra los vectores proyección a sobre b y la de b sobre a. 20. Demuestra el Teorema del producto escalar.

21. Demuestra las cuatro primeras propiedades del producto escalar. •

PRODUCTO VECTORIAL

22. Siendo a x b = 0 con a y b no nulos, demuestra que a y b son vectores paralelos. 23. Demuestra que i x j = k y todas las combinaciones de los productos vectoriales de los tres vectores unitarios (hay 6). 24. Demuestra el Teorema del producto vectorial.

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 4 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT 25. Realiza el producto vectorial de los vectores del ejercicio 8 y halla su módulo. Representa gráficamente los tres vectores. 26. Si a= 3i – j + 2k; b= 2i + j – k y c= i – 2j + 2k, hallar: a) (a x b) x c b) a x (b x c)

27. Demuestra las propiedades del producto vectorial.

28. Determinar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores: a= 2i – 6j – 3k; b= 4i + 3j – k.

29. ¿Bajo qué condiciones se anula el producto vectorial? Aplícalas al Momento Angular. •

PROBLEMAS DE VECTORES

30. Dos cargas eléctricas puntuales, de valor q1 = 80 nC y q2 = -40 nC, están situadas respectivamente en los puntos (-1, 0) y (1, 0) del plano XY. Determina: a) El vector campo eléctrico en los puntos A (0, 0) y B (0, 1). b) Los puntos del plano en los que se anula el campo eléctrico.

31. Se tienen tres cargas eléctricas iguales de valor +2,0 nC dispuestas en tres de los cuatro vértices de un cuadrado de lado 1,4 m [pongamos en los puntos (0, 1.4), (1.4, 0) y (1.4, 1.4)]. Determina: a) El campo eléctrico en el cuarto vértice. b) El módulo de la fuerza que ejerce el campo sobre una carga de -0,3 nC situada en el cuarto vértice. 32. Dos cuerpos de masas m1= 2000 kg y m2= 5000 kg, se encuentran fijos en las posiciones (0, 0) m y (100, 0) m, respectivamente. a) Halla y representa gráficamente el valor del campo gravitatorio en el punto medio de ambos cuerpos. b) Halla y representa gráficamente la fuerza que m1 realiza sobre m2 y viceversa.

33. Sean las fuerzas: F1=(-2, 4, 3); F2=(3, -2, -1); F3=(-1/2, -4, -6) y F4=(3/2, 5/4, 0) expresadas en unidades SI. a) Calcula el módulo de las cuatro fuerzas con su unidad correspondiente. b) Calcula la Fuerza Resultante de este campo de fuerzas. Halla su módulo. c) Halla los vectores unitarios asociados a cada una de las fuerzas. d) Encuentra un vector paralelo a F1 cuyo módulo sea 4. e) Encuentra un vector anti paralelo a F3 cuyo módulo sea 2. f) Halla el ángulo que forman F1 y F2; F1 y F3; F3 y F4. g) Halla la proyección de F2 y de F4 sobre la resultante.

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 5 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT 34. Dadas las fuerzas: F1= (-7/5, -2, -3); F2= (3/5, 8, -1/4); F3= (-1/2, -4/3, -3/5) y F4= (2, -4, 3) en unidades del SI. Calcula: a) el momento de fuerza resultante creado por estas fuerzas sobre el punto (-4, 5, 5). b) la aceleración causada a una partícula de 6 kg por la resultante.

35. Sean las fuerzas eléctricas: F1= (3/2, -2, 7) N y F2= (-3/5, 0, -1/3) N; calcula el campo eléctrico resultante para una q= 3μC. ¿Qué ángulo forman ambas fuerzas? Calcula un vector unitario perpendicular a ambas fuerzas. 36. Halla el trabajo que realiza un cuerpo de m= 15 kg al desplazarse 2 m con una aceleración constante a= (0, 0, -3) ms-2, en una dirección que forme 15° con la aceleración.

37. Sea un cuerpo de 14 kg, sabiendo que su aceleración es a= (2/5, -3/5, 1/5) ms-2: a) Halla la fuerza que lo impulsa. b) Si esta fuerza forma un ángulo de 45 ° con respecto al desplazamiento del móvil, calcula el trabajo realizado entre r= 4 m y r= 6 m; y entre r= 4 m y r= 8 m. c) Repite el problema para los ángulos 0 ° y 30 °. Compara y razona los resultados de cada ángulo. 38. Calcula el momento lineal de un móvil de 25 kg que viaja a una v= (-8, 7, 3/2) m/s. ¿Cómo aumentaría el módulo del momento lineal si doblamos la masa? ¿Y si doblamos su velocidad? Calcula la Energía cinética de los tres casos.

39. Dados los vectores u = (7, -4, -2) y v = (3, 2, 3). a) Halla u x v; │u x v│ y el ángulo que forman entre sí. b) Halla v x u y │v x u│ utilizando su definición. c) Calcula las áreas del paralelogramo y triángulo que determinan ambos vectores. d) Halla las componentes de un vector de módulo 10 perpendicular a u y v. e) Si el análisis dimensional de la magnitud u x v es ML2 T-2, ¿sabrías decir de qué magnitud se trata? Razona la respuesta. 40. Sea la magnitud física momento angular L = r x p. a) Hacer su análisis dimensional y hallar su unidad de medida en función de las unidades básicas del SI. b) Calcula el momento angular en el origen, de una partícula A de 5 kg de masa situada en el punto (-3, 2, -2) m que se desplaza a una velocidad v = (4, -2, 3) ms-1. c) Calcula el momento angular en el origen, de una partícula B de m = 25 kg que se encuentra en el punto (-2, 2, 3) m y se desplaza a una velocidad constante de 13 ms-1, siendo la dirección de la velocidad la resultante de sumar los vectores unitarios i + j. d) ¿Cuál será el momento cinético causado por la partícula B sobre el punto (-1, 1, -1) m en esas mismas condiciones?

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 6 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT

SOLUCIONARIO 1-_________________________________________________________________________ a) 𝑥 = 𝑤 = 8,37 > 𝑧 = 6,93 > 𝑣 = 3 2-_________________________________________________________________________ Tener mismo módulo, dirección(o paralela) y sentido. 3-_________________________________________________________________________ a) 𝑣(0) = 3 𝑚𝑠 −1 ; b) 𝑣(2) = 6,4 𝑚𝑠 −1 4-_________________________________________________________________________ a) 𝑣� = −𝚥̂; b) 𝑤 � = (−0.72, 0.60, 0.36); c) 𝑧̂ = (0.58, −0.58, −0.58); (0.36, d) 𝑥� = −0.60, 0.72) 5-_________________________________________________________________________ a) 𝑢�𝐴𝐵 = (0.47, −0.81, −0.35); b) Multiplicarlo por -1. 6-_________________________________________________________________________ a) 𝑤 �´ = (−2.88, 2.40, 1.44) c) 𝑥�´ = (−0.72, 1.20, −1.43) b) 𝑧̂ ´ = (0.19, −0.19, −0.19) d) 𝑣�´ = (0, 1.5, 0) 7-_________________________________________________________________________ a) 𝑣⃗ = −3𝚥̂; 𝑤 ��⃗ = −6𝚤̂ + 5𝚥̂ + 3𝑘�; 𝑧⃗ = 4𝚤̂ − 4𝚥̂ − 4𝑘�; 𝑥⃗ = 3𝚤̂ − 5𝚥̂ + 6𝑘� 8-_________________________________________________________________________ 1 a) 𝐹⃗ = (3, −2, 4); b) 𝐺⃗ = (− 3 , 5, −3) 9-_________________________________________________________________________ a) 𝑅�⃗ = (1, −7, 5); 𝑅 = 8,66; |𝑣⃗| + |𝑥⃗| + |𝑤 ��⃗| + |𝑧⃗| = 26,67 10-_______________________________________________________________________ Vector opuesto tiene mismo módulo y dirección(o paralela) pero sentido contrario. 11-_______________________________________________________________________ Teoría. 12-_______________________________________________________________________ a) (7, −10, −19) b) (−8, −3, −2) 13-_______________________________________________________________________ Teoría. 14-_______________________________________________________________________ 1 1 a) 𝑅�⃗ ´ = 2 𝑅�⃗ = (0.5, −3.5, 2.5); 𝑅´ = 2 𝑅 = 4,33 15-_______________________________________________________________________ a) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ��⃗ = −15; 𝑣⃗ ∙ 𝑧⃗ = 12; 𝑣⃗ ∙ 𝑥⃗ = 15; 𝑤 ��⃗ ∙ 𝑧⃗ = −56; 𝑤 ��⃗ ∙ 𝑥⃗ = −25; 𝑧⃗ ∙ 𝑥⃗ = 8 b) 126,7 °; 54,7 °; 53,3 °; 165 °; 110,9 °; 82,1 °. (Ángulo entre los vectores) c) 𝑣⃗ (𝑐𝑜𝑛 𝑋, 𝑌, 𝑍), 0𝑜 , 90𝑜 , 0𝑜 ; 𝑤 ��⃗, 135,8𝑜 , 53,3𝑜 , 69,0𝑜 𝑧⃗, 54,7𝑜 , 125,3𝑜 , 125,3𝑜 ; 𝑥⃗, 69,0𝑜 , 126,7𝑜 , 44,2𝑜 16-_______________________________________________________________________ Calcula el ángulo entre ellos, es 180°. 17-_______________________________________________________________________ 𝑎⃗ · 𝑏�⃗ = 0 18-_______________________________________________________________________ Teoría.

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 7 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT 19-_______________________________________________________________________ 52,28 °; a´= 3,77; b´= 5,19; ���⃗ 𝑎` = (3.05, −1.84, 1.21); ���⃗ 𝑏` = (1.25, −1.25, 4.88) 20-_______________________________________________________________________ Teoría. 21-_______________________________________________________________________ Teoría. 22-_______________________________________________________________________ Teoría. 23-_______________________________________________________________________ Teoría. 24-_______________________________________________________________________ Teoría. 25-_______________________________________________________________________ F x G= (-14; 23/3; 43/3); │F x G│= 21,45. 26-_______________________________________________________________________ a) (a x b) x c= (24, 7, -5) b) a x (b x c)= (15, 15, -15) 27-_______________________________________________________________________ Teoría. 28-_______________________________________________________________________ (3/7; -2/7; 6/7) 29-_______________________________________________________________________ Teoría. 30-_______________________________________________________________________ a) 𝐸�⃗ (𝐴) = 1080𝚤̂ 𝑁/𝐶; 𝐸�⃗ (𝐵) = (382𝚤̂ + 127𝚥̂) 𝑁/𝐶 b) (5.88, 0) m 31-_______________________________________________________________________ a) 𝐸�⃗ = (−12.4𝚤̂ − 12.4𝚥̂) 𝑁/𝐶 b) 𝐹 = 5.27 · 10−9 𝑁 32-___________________________________________________________________________ a) 𝑔⃗ = 7.96 · 10−11 𝚤̂ 𝑁/𝑘𝑔 b) �����⃗ 𝐹12 = 6.67 · 10−3 𝚤̂ 𝑁; �����⃗ 𝐹12 = −6.67 · 10−3 𝚤̂ 𝑁 33-___________________________________________________________________________ a) F1= 5.385 N, F2= 3.741 N, F3= 7.228 N, F4= 1.953 N b) R= (2, -0.75, -4) N, R= 4.53 N c) u1= (-0.371, 0.743, 0.557), u2= (0.802, -0.535, -0.267), u3= (-0.069, -0.553, -0.830), u4= (0.768, 0.640, 0) d) F1´=(-1.484, 2.972, 2.228); e) F1´=(0.138, 1.106, 1.660); f) α12 = 147.53 °; α13 = 147.97 °; α34 =114.04 °; g) F2´= 2.539 N, F4´= 0.455 N 34-___________________________________________________________________________ a) M= ( -7.6, 0.1, -6.2) N·m b) a= (0.12, 0.11, -0.14) ms-2 35-________ __________________________________________________________________ E= F/q= (0.3, 0.66, 2.22)·106 N/C; α= 126.89º; u= (0.17, -0.94, -0.30) 36-___________________________________________________________________________ W= 86.93 J

TEMA 1: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 8 (1.1- CÁLCULO VECTORIAL) FÍSICA 2º BT 37-_______________________________________________________________________ a) F= (5.6, -8.4, 2.8) N; F= 10.48 N b) W46= 14.8 J; W48= 29.64 J c) Si α= 0 °, W46= 20.96 J; W48= 41.92 J; si α= 30 °, W46= 18.15 J; W48= 36.30 J. A medida que crece el ángulo, decrece el trabajo. 38-_______________________________________________________________________ p= (-200, 175, 37.5) kg·m·s-1; p= 268.39 kg·m·s-1; con 2m→ p= 536.77 kg·ms-1 (utiliza la propiedad │ p│=│mv│= m│v│); con 2v → p= 536.77 kg·ms-1; Ec= 1440.625 J; con 2m → Ec= 2881.005 J; con 2v → Ec= 5762.011 J 39-________________________________________________________________________ a) u x v= (-8, -27, 26), │u x v│=38.33, α= 79,57 ° b) v x u= (8, 27, -26), │u x v│= 38.33 c) Aparalelogramo= 38.33 u2; Atriángulo= 19.17 u2 d) a= (-2.09, -7.0, 6.8); e) Momento de la fuerza. 40-________________________________________________________________________ a) [L]=ML2T –1 b) L= (10, 5, -10) kg m2 s-1 c) L= (-692.25, 692.25, -923) kg m2 s-1 d) L= (-923, 923, -461.5) kg m2 s-1