TALLER 03, MATEMATICAS BASICAS. ADMINISTRACION FINANCIERA. 24. En una progresión aritmética, el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados. Solución. El undécimo término excede en 2 unidades al octavo: a11=a8+2 El primero y el noveno suman 6: a1+a9=6 Aplicando la definición de termino general a cada termino de las ecuaciones propuestas, se consigue un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a1, d). a11=a1+a1+10d; a8=a1+7d a11=a8-2 a1+10d=a1+7d+2 ; 3d=2 a9=a1+8d a1+a9=6
a1+a1+8d=6 ;
2 a 1+8d= 6 ;
a1+4d=3
3d =2 a1+4d=3 Por sustitución d=2/3 a1= 1/3
a11= a1+10d= 1/3. 2/3 = 7 a8= a1+7d= 1/3+7. 2/3 =5 a9= a1+8d= 1/3+8. 2/3 =17/3
56. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. algunas fórmulas importantes: an = (a1)r^(n-1) la fórmula anterior quiere decir que el término de posición n de una progresión geométrica es igual al primer término por la razón elevada a la n-1
Sn = [(an)r - a1] / (r - 1) = suma de los primeros n términos, conocidos el primero, el último y la razón
Sn = a1(r^n - 1) / (r - 1) = suma de los primeros n términos, conocido el primero y la razón
Problema 1) Nos dan: a2 = 20 S4 = 425 utilicemos la fórmula de la suma, conocido el primer término y la razón: Sn = a1(r^n - 1) / (r - 1) datos: n=4 Sn = 425 a1 = a2/r = 20/r sustituimos: Sn = a1(r^n - 1) / (r - 1) => 425 = (20/r)(r⁴- 1) / (r - 1) => 425r(r - 1) = 20r⁴- 20 => 425r² - 425r = 20r⁴- 20 => 20r⁴- 425r² + 425r - 20 = 0 los valores de r que satisfacen la ecuación anterior (hecho con el Método de Ruffini): r₁= -5.0495 r₂= 0.0495 r₃= 1 r₄= 4 tomamos como solución r = 4, entonces:
a1 = a2/4 = 20/4 = 5 a2 = 20 23 = a2(4) = 20(4) = 80 a4 = a3(4) = 80(4) = 320
Presentado: Ana María Rubiano Jiménez
ANGELA MARIA PARRA OCAMPO EJERCICIO 13 Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión. R/ hallo a1 a5= a1+(n-1)d 18= a1+4x2 a1= 18-8 a1= 10 a9=10+16 a9=26 Sn= (a1 + an)ⁿ 2 S9= (a1 + a) ⁿ 2 S9= (10 + 26)ᴧ9 = 162 es la suma de los nueve términos 2 9 EJERCICIO 45 Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,… R/ a1= 3 r= 2 Sn= (anr – a1) r- 1 S10= 3 (2¹º ₋ 1) = 3069 2-1
ASTRID YAMILE POSADA MANRIQUE (EJERCICIOS 15 Y 47)
EJERCICIO 15 Una progresión aritmética limitada de 10 términos, es tal que la suma de los extremos es igual a 20 y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión.
SOLUCION Esto quiere decir que si tenemos 10 términos, el primero seria a1 y el último seria a10 Tenemos entonces que a1 + a10 =20 Por ser una progresión limitada de 10 términos tenemos entonces que
a2 + a9 = a3 + a8 = 20 Y... que el producto del tercer término y el octavo es 75, entonces
a3 . a8 = 75 Para esto desarrollaremos así: SUSTITUIMOS
a8 = 20- a3 a3 .(20 a3 ) 75
ENTONCES
20a3 a32 75
a3 + a8 = 20
IGUALAMOS A CERO DEJANDO LA EXPRESION AL LADO DERECHO:
0 a32 20a3 75 SOLUCIONAMOS POR ECUACION CUADRATICA PARA ENCONTRAR LOS TERMINOS 3 Y 8
a3
b b2 4ac 2a
De ahí que
a=1
b = -20 c = 75
a3
(20) 202 4(1)(75) 2(1)
a3
20 400 300 = 2
a3
20 100 2
=
a3
20 10 2
TENEMOS ENTONCES QUE:
a3
20 10 5 2
a3
20 10 15 2
REEMPLAZANDO ENTONCES,
a8 = 20- a3
a8 20 5 15
a8 = 20- a3
a8 20 15 5
HALLADOS LOS TERMINOS DEL TERCER Y OCTAVO TERMINO, CORRESPONDIENTES A 5 Y 15, NOS DISPONEMOS ENTONCES A CONOCER LA DISTANCIA PARA CALCULAR LOS 10 TERMINOS DE LA PROGRESION.
CONOCIDOS DOS TERMINOS ENTONCES,
d
an am nm
d
a3 a8 38
d
15 5 2 38
Teniendo la distancia, nos disponemos a encontrar el primer término,
an a1 (n 1).d
a1 a3 (3 1). 2
, a1 = 15 2.(2) 19
Entonces si el primer término es 19 y la distancia es 2, tenemos que los términos de la progresión son:
19,17,15,13,11,9,7,5,3,1 Ahora sí, La suma del primero y el ultimo es = 20 El producto del 3 y el octavo es = 75
EJERCICIO 47 Hallar la suma de los términos de la progresión ilimitada 8,4,2,1.. Indagando nos damos cuenta que es una suma de infinitos términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada, cuyos números tienden a llegar a cero en algún momento, tenemos que se desarrolla con la siguiente fórmula:
Sn
a1 1 r
SOLUCIÓN: Tenemos entonces que:
1 1 1 8,4,2,1, , , ..... 2 4 8 Analizando la progresión de términos, estos se obtienen dividiendo cada término entre 2, que es lo mismo que decir que multiplicamos por ½, por esto decimos que la razón es ½
r
1 2
Y reemplazando esto en la formula dada, entonces:
Sn
8 1 1 2
Sn
8 1 2
S n 16
MATEMATICAS BASICAS – TALLER 03
Alumna Denis Yaneth Valencia Profesor Jorge Zapata
Universidad de Caldas Manizales – marzo 2015
MATEMATICAS BASICAS – TALLER 03 31. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber? Solución: El número de soldados que hay en cada fila es el término de la sucesión: 1, 2, 3,4…etc.
a1= 1
d= 1
an = ?
an = 1 + n-1 an = n
Sn =
1+𝑛 2
𝑛
Sn = 5050 n(1 + n) = 2(5050) n + n2 = 10.100 n + n2 - 10.100 = 0 n2 + n – 10.100 = 0 a= 1 b= 1 c= -10.100 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑛= 2𝑎 𝑛=
−1 ± √12 − 4 (1)(−10.100) 2(1)
𝑛=
−1 ± √1 + 40.400) 2
𝑛=
−1 ± √40.401) 2
𝑛=
−1 ± 201 2
𝑛=
−1+201 2
200
=
2
n= 100 𝑛=
−1−201 2
=
−202 2
n= -101 La solución de esta ecuación son n= 100 y n= -101 como n ha de ser un numero natural mayor que cero la respuesta correcta es 100 filas.
63. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos.
r=
r=
a1 4
a1 + a2 = 24
a1 4
a1 = 4r a1 + a2 = a1 + a1 . r = 4r + 4r . r = 24 4r2 + 4r – 24 =0 r2 + r – 6 = 0 a=1 b=1 c = -6
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑟= 2𝑎 −1 ± √(1)2 − 4(1)(−6) 𝑟= 2(1) 𝑟=
−1 ± √1 + 24 2
𝑟=
−1 ± √25 2
𝑟=
−1 ± 5 2 −1+ 5
𝑟= r=2
2
−1− 5
𝑟= r = -3
2
=
=
4 2
6 2
r=2 a1 = 4.2=8 a2 = 8.2=16 a3 = 16.2=32 a4 = 32.2=64 a5 = 64.2=128
r = -3 a1 = 4. (-3)= -12 a2 = -12. (-3)=36 a3 = 36. (-3)= -108 a4 = -108. (-3)= 324 a5 = 324. (-3)= - 972
TALLER 3 DE MATEMATICAS BASICAS ADMINISTRACION FINANCIERA 27. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos. RESPUESTA: a1 (100 – 2d)
a2 (100-d)
a3 100°
100 – 2d + 100 – d + 100 = 180° 100 – 3d + 100 + 100 = 180 300 – 3d = 180 300 – 180 = 3d 120 = 3d 120 = d 3
d= 40
59. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136.
RESPUESTA: X , Y , Z = 221 Y= X * r Z= x * r2 Z – X = 136 X + Y + Z = 221 X + (X * r) + (X + r2) = 221 X ( 1+r + r2) = 221 X = __221__ ( 1+r + r2) Z – X = 136 X * r2 – X = 136
X (r2 – 1) = 136 X = 136 (r2 – 1) X=X
221 = ( 1+r + r2)
136 (r2 – 1)
221 (r2 – 1) = 136 ( 1+r + r2) 221r2 – 221 = 136 + 136r + 136r2 221r2 – 221 – 136 – 136r – 136r2 = 0 85r2 – 136r – 357 = 0 r = - (– 136) ± √(– 136r)2 – 4 (85)(-357) 2 (85) r = 136 ± √18496 + 121380 170 r = 136 ± √139876 170 r = 136 ± 374 170 r = 136 + 374 170 r = 510 170 r=3
X = __221__ ( 1+r + r2) X = __221__ ( 1+3 + 32) X = __221__ ( 1+3 + 9)
X = __221__ 13 X= 17 Z= x * r2 Z = 17 * 32 Z = 17 * 9 Z= 153
Y= X * r Y= 17 * 3 Y = 51
Daniela Molina Rendón Ejercicio Nº 12 La suma de n números naturales consecutivos tornados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumados? Sn = a1 + an. n 2 an= a1 + (n-1).d Sn= 11 + (n + 10).n = 1715 2 (n+21).n =3430 n² + 21 n 3430 = 0 Formula Cuadrática a=1 b=21 c=-3430 n= - 21 √21²-4(1)(-3430) = n=-21√441 13.720 2 (1)
2 (1)
n=-21 ± 119 2 n1 = 49 n2=-70 Se toma solo el valor positivo porque una progresión de términos no puede ser negativa R/= 49
Ejercicio Nº 44 Halla el producto de los 8 primeros términos de la progresión 3,6,12,24……. .a1=3 r=2 an=? an= 1.rⁿ⁻¹ n=8 a8=3.2⁷ a8=3 . 128 a8=384
Pn=√(a¹. an)ⁿ P8=√(3 . 384)⁸ P8=(3 . 384)⁴ P8=1152⁴ P8=1761 X 10¹²
Daniela Orozco Cano Ejercicios 16) la suma de 3 números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287 Halla estos números. a1+a2+a3= 33 Considerando los tres términos como una progresión limitada, y teniendo en cuenta la constancia de la suma de términos equidistantes y que a2 es el término central a1 +a3=2 a2 Sustituyendo en la ecuación anterior 2 a2+ a2= 33 a2= 11 a1;a2;a3= 1287 a1+ 11+ a3=33
(a1+a3=22
a1 x 11x a3 = 1287
(a1 x a3=117
a3= 22- a1 a1(22-a1)=117
a1=
2 a1 - 22a1+ 117=0
(22) (22) 2 4.1.117 22 4 2.1 2
a1=13 a3=22-a1 a3=9 a1=9
a3=22-a1 a3=13
= 9; 11;13 =13; 11; 9
48) Halla 3 números en progresión geométrica sabiendo que la suma es 26 y su producto 216. a, ar, y ar
2
2 a+ ar+ ar = 26 3 2 a . r =216 r=(216/a3)
1/3
3 1/3 = (6 /a3) =6/a
2 2 a+ ar+ ar = 26 = a +a (6/a) + a(6/a) 2 2 26= a + 6+36/a =26= a +6a +36=26a= a -20a +36= 0 resolvemos esta ecuación de grado 2 2 a - 20 a +36 = 0
a=
(20) (20) 2 4.1.36 20 400 144 20 256 20 16 2.1 2.1 2.1 2.1
a1= 20+16/2= 18 a2=20-16/2=2 =2;6;18
Documento de problemas propuestos de la temática PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA para MATEMÁTICAS
BÁSICAS en
ADMINISTRACIÓN
FINANCIERA de
la UNIVERSIDAD DE CALDAS sede MANIZALES. Los problemas se publican con el objeto de que cada alumno pueda solucionar los problemas asignados y envíe la redacción de las soluciones en un documento de WORD con la utilización de las herramientas apropiadas para la redacción de las formulas. 1. El nombre del documento en WORD debe ser el nombre completo del alumno al que se le asignó la solución del problema.
2. Enviar el documento en WORD adjunto a un mensaje de correo a
[email protected], colocar en asunto "MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03"
3. La fecha máxima para el envío es el día LUNES 23 DE MARZO hasta las 12: 00 pm. 4. Por el volumen de problemas, no se considera que se pueda realizar la verificación de las soluciones antes de ser publicados, lo haré posterior a la publicación. Por lo anterior se solicita que le dediquen el mayor esfuerzo en la solución correcta de cada uno de los problemas.
5. Después de recibidas las soluciones enviadas, se publicaran de forma individual en solución de exámenes en éste sitio web, a partir del día MARTES 24 DE MARZO después de las 2:00pm.
11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064? Primer término= 2 A1=2 Diferencia= 6 D=6 El termino (n) será igual: an= a1+(n-1).d (a sub uno) an=2+6(n-1) Como en una progresión aritmética la suma es: sn= a1+an *n 2 Reemplazando 1.064=2+(2+6(n-1)) *n 2 1.064=4+6n-6 *n 2 1.064=(6n-2).n 2.128=6n-2n (6n elevado a la dos) 6n-2n-2.128=0 ( 6n elevado a la dos) 6n-2n-2.128=0 ( 6n elevado a la dos) Dividiendo entre 2 3n-n-1.064=0 (3n con exponente dos) Aplicando ecuación cuadrática N=-b mas o menos raíz cuadrada de (b) con exponente dos – 4ac 2a N= 1 mas o menos la raíz cuadrada de (1) con exponente dos -4(3)(-1.064) 6
N= 1mas o menos raíz cuadrada de 1 +12.768 6 N=1 mas o menos la raíz cuadrada de 12.769 6 N=1+113 6 Se descarta la respuesta con el signo menos por dar negativo N=114 6 N=19
43. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm3 . Halla la longitud de sus aristas, sabiendo que están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor. A sub dos= a sub uno + 10 cm La razón es p=a sub uno+10 a sub uno Como: an = a sub uno * r elevado a (n-1) a sub 3=a sub 1* r elevado a la 2 a sub 3= a sub 1 (a sub 1 +10) a sub uno v=a sub 1.(a sub 1+10).(a sub uno+10) este paréntesis elevado a la dos a sub 1 v=a sub 1 (a sub 1+10).(a sub 1+10) este paréntesis elevado a la dos y elimino a sub 1 del paréntesis a sub 1 con exponente 2
v= a sub 1 ( a sub 1+10)(a sub uno+ 10) este paréntesis elevado a la dos y elimino a sub uno v=(a sub 1 con exponente 2+10ª con exponente 1)(a sub 1 con exponente 2+20ª sub 1+100) v= a sub 1(a sub 1+10)( a sub uno+10) este paréntesis elevado a la dos a sub uno v=(a sub 1+10)( a sub 1 elevado a la 2+20ª sub 1+100) v=a sub 1 con exponente 3+30ª con exponente dos de sub 1 v=a sub 1 exponente 3 +20ª con exponente dos+100ª sub 1+10ª sub uno y exponente dos+200ª sub 1+1000 v=a sub 1 con exponente 3+30ª sub 1 con exponente dos+300ª sub 1+1.000 3.375=a sub 1 con exponente 3+30ª sub 1 con exponente dos+300ª sub 1-2.375 Se buscan las raíces
1
30 300
-2.375
1
5
175
2375
1
35
475
0
A sub 1=5 satisface la ecuación A sub 1=5 A sub2 = a sub 1+10 A sub2= 15 A sub 3=(a sub1+10) con exponente dos .a sub1 A sub 1 A sub 3=(5+10) con exponente dos *5 5
A sub 3=(15) con exponente dos *5 5 A sub 3= 3 con exponente dos*5 A sub 3= 9*5 A sub 3=45
TRABAJO ELABORADO POR: GUSTAVO ADOLFO VARGAS ARANGO PROBLEMA 7: Calcula los lados de un tríangulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3. d 3 an a n.d a1 0 1(3) 3m a2 a0 2(3) 6 m a3 a0 3(3) 9 m a cateteo a1 cateto a6 hipotenusa (a 6) 2 a 2 (a 3) 2 a 2 12a 36 a 2 a 2 6a 9 ordenemos a 2 6a 27 0 (a 9)(a 3) a 9 Re spuesta : lado 1= 9 lado 2= 12 lado 3= 15 PROBLEMA 39: Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón es
1 , halla el primer término. 2
a2 1 1 2 an a1.r n 1
r
1 a7 a1.( )7 1 1 2 6 a1 2 64 a1 64
23. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primero suman -3 y los tres últimos 24. 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = −3 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 = 24 a1 + a3
( (
2
) 3 = −3 ∗ 1
a4 + a6 ) 3 = 24 ∗ 2 2 a3 = a1 + 2d 𝑎6 = 𝑎4 + 2𝑑
d=
𝑎4 − 𝑎1 4−1
=
𝑎4− 𝑎1 3
𝑎4 − 𝑎1 − 3d = 0 *3
Despejo *1 𝑎1 =
−3−3𝑑 3(−1−𝑑) = 3 3
= −1 − d
𝒂𝟏 = −𝟏 − 𝒅 * 4 Despejo *2
𝑎
4 =
24−3𝑑 3( 8−𝑑) = = 8− 𝑑 3 3
𝐚𝟒 = 𝟖 − 𝐝
*5
Reemplazo en *3 (8-d)-(-1-d)-3= 0 8-d+1+d-3d= 0 -3d+9= 0
d=
9 3
d= 3
Reemplazo en *4 𝑎1= − 1 − 3 = −𝟒
𝒂𝟏= − 𝟒
Reemplazo en *5 𝑎4 = 8 − 3 = 𝟓
1 2 -4 -1
3 2
4 5
𝒂𝟒 = 𝟓
5 6 8 11
55. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. [𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ] 𝑎2 = 𝑎1 + 32 {𝑎3 = 𝑎2 + 96 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘 𝑟 𝑛−𝑘 𝐚𝟐 = 𝐚𝟏 𝐫
r 3−2 = r=
r=
a3 a2
a2 +96 a1 +32
a1 r + 96 a1 + 32
a1 r + 32r = a1 r + 96 32r = 96 𝐫=𝟑 Reemplazo en 1*
a2 = a1 r = 3a1 3a1 = a1 + 32 2a1 = 32 a1 =
32 2
𝐚𝟏 = 𝟏𝟔 𝐚𝟐 = a1 r 2−1 = 16(3) = 𝟒𝟖 𝐚𝟑 = a2 r 3−2 = 48(3) = 𝟏𝟒𝟒
MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03
3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos. a1 4 an 88 d 7 an a1 (n 1).d 88 4 (n 1).7 88 4 7 n 7 88 7 n 3 88 3 7 n 91 7 n 91 n 7 13 n
35. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm? a1 86dm a6 134dm ¿ fila ? 230dm an a1 (n 1).d 134 86 (6 1).d 134 86 (5).d 134 86 5.d 48 5.d 48 d 5 9, 6 d
230 86 (n 1).9, 6 230 86 9, 6n 9, 6 230 76, 4 9, 6n 230 76, 4 9, 6n 153, 6 9, 6n 153, 6 n 9, 6 16 n
Cuando la distancia de la pantalla es de 230dm, la persona se encontrara en la fila n=16
MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 66. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... Como suma de los términos de una progresión geométrica ilimitada.
𝑘+1
+∞
0,73 = lim ∑ 73 ∗ 10 𝑛→∞
−2𝑖
= 73 ∗ ∑ 10−2𝑖
𝑖=1
𝑖=1
68. Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas.
𝑙,
𝑙
,
𝑙
,
𝑙
√2 √2 √2
𝒍𝟐 ,
,……
𝒍𝟐 𝒍𝟐 𝒍𝟐 , , , …. 𝟐 𝟒 𝟖
𝒍𝟐
𝒍𝟐 𝑺= = = 𝟐𝒍𝟐 𝟏 𝟏 𝟏−𝟐 𝟐
MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 PROGRESIONES
26. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética.
a1 : 90 2 d 90 2(30) 30 a2 : 90 d 90 30 60 a3 : 90 90 2d 90 d 90 180 270 3d 180 270 180 3d 90 3d 90 d 3 d 30
58. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m3 . El volumen es el producto de sus dimensiones: v a1 , a2 , a3 Si están en progresión geométrica: a2 a1 r; a3 a1 r 2 8000 a1 a1r a1r 2 es igual a13r 3 8000 a1r 3 8000 a1r 20
El perímetro es la suma de sus lados: p 4a1 4a2 4a3 p 4 ( a1 a2 a3 ) 4 ( a1 a2 a3 ) 420 420 4 (a1 a2 a3 ) 105
(a1 a2 a3 )
Taller 3 Matemáticas básicas Administración financiera Ejercicios 18 - 51
18. El producto de cinco números en progresión aritmética 12320 su suma 40. Halla estos números sabiendo que son enteros.
x + (x + d) + (x + 2d) + (x + 3d) + (x + 4d) = 40 5x + 10d = 40 x + 2d = 8 x(x+d)(x+2d)(x+3d)(x+4d) = 12320 (8-2d)(8-d)(8)(8+d)(8+2d) = 12320 (8-2d)(8-d)(8+d)(8+2d) = 1540 (8-2d)(8-d)(8+d)(8+2d) = 2*2*5*11*7 (8-2d)(8-d)(8+d)(8+2d) = 2*5*11*14 8 – 2d = 2 r=3 x+6=8 a=2 Los numeros son: 2, 5, 8, 11 y 14
51. determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.
a, el primero ar, el segundo ar², el tercero ar³, el cuarto
a + ar = 0,5 ar² + ar³ = 0,125 r²(a + ar) = (0,5)/4 r²(0,5) = (0,5)/4 r² = 1/4 r = 1/2
a + ar = 0,5 a(1 + r)= 1/2 a[1 + (1/2)] = 1/2 a(3/2) = 1/2 a = 1/3 a2= (1/3)(1/2) a2=1/6 a3= (1/6)(1/2) a3=1/12 a4= (1/12)(1/2) a4= (1/24)
(1/3) + (1/6) = 3/6 = 1/2 = 0,5
(1/12) + (1/24) = 3/24 = 1/8 = 0,125
MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03
DOCENTE Jorge Enrique Zapata Arias
ALUMNA Lina Marcela Castellanos Hernández
UNIVERSIDAD DE CALDAS ADMINISTRACIÓN FINANCIERA MANIZALES 2015 - 1
MATEMÁTICAS BÁSICAS - TALLER 03"
Ejercicios Propuestos:
9. Calcule la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000.
Primero se debe calcular el primer y último múltiplo de 59, entre el rango de valores que se nos ha dado (1000 y 2000)
1000 = 17 Primer múltiplo 59
17 x 59 = 1003 Primer término de la progresión
2000 = 33 Segundo múltiplo
33 x 59= 1947 Último término de la progresión
59
Se averigua la cantidad de posiciones (n), que hay entre ambos términos de la progresión, para lo que se utiliza la siguiente fórmula:
an = a1 + (n − 1) d an = 1947 Último término de la progresión a1= 1003 Primer término de la progresión d= 59
Se reemplazan los valores: 1947= 1003 + (n- 1) 59 1947- 1003= 59n – 59
Despejo “n”: 1947-1003+59= 59n 1003 = 59n 1003 = n
n= 17
59
Como se pide hallar la suma de los múltiplos, se emplea la fórmula: Sn=
a1 + an
n
2
Se reemplazan los valores:
S17 =
S17=
1003 + 1947 2 2950 x 17
2
17
S17 = 50150
S17= 25075
2
La suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000 es 25075.
42. Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor.
Expresado de otra manera sería:
1) 124 = a1 + a2 + a3 2) a3 – a1 = 96
Por definición, los términos a2 y a3 se expresan en una PG así: a2= a1 * r a3= a1 * r2
Reemplazo a2 y a3 en la ecuación 1:
1) 124 = a1 + a2 + a3 124 = a1 + a1*r + a1*r2 Se halla factor común (que sería a1):124= a1 (1+ r+ r2)
Reemplazo a3 en la ecuación 2:
2) a3 – a1 = 96 a1. r2 - a1 = 96 Se halla factor común (que sería a1): a1 (r2 - 1) = 96 Despejo a1: a1=
96 (r2 – 1)
Se reemplaza a1 en la ecuación 1, de esa forma queda toda expresada en “r”:
124= a1 (1+ r+ r2) (1+ r+ r2)
124= 96 (r2 – 1)
124 (r2 – 1) = 96 (1+ r+ r2) 124r2 – 124 = 96+ 96r + 96r2 124r2 - 96r2 – 96r = 124 +96 28r2 – 96r= 220 28r2 – 96r- 220= 0
a= 28 b= -96
c= - 220
Se resuelve el trinomio con la fórmula: - b +
- (-96) +
962 - 4(28 *- 220) 2(28)
96 +
9216 - 4(-6160) 56
96 +
33856 56
b2 – 4ac 2a
96 + 184 = 5
96 - 184 = - 1.57
56
56
r=5
Reemplazo r = 5 en
a1=
96
(r2 – 1)
a1=
96 (52 – 1)
a1=
96 (25 – 1)
a1=
96
a1= 4
(24)
Se debe recordar que los términos a2 y a3, se habían expresado según la PG así: a2= a1 * r a3= a1 * r2 Se reemplaza entonces el valor de “a1” y de “r”: a2= a1 * r
a3= a1 * r2
a2= 4 * 5
a3= 4 * 52
a2= 20
a3= 4* 25 a3= 100
Los términos son 4, 20 y 100. Al sumarlos da 124. Si se resta el tercer término (100), del primero (4), el resultado es 96.
Trabajo elaborado por: Miguel Ocampo Vargas PROBLEMA 6: Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. an a1 (n 1).d an 27 a1 7 n 6 (número de términos) 27 7 (6 1) • d 27 7 5 • d 5d 27 7 20 20 d 4 5 La progresión es 7, 11, 15, 19, 23, 27 Por lo tanto los términos pedidos son: 11, 15, 19 y 23. PROBLEMA 38. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? an a1.r n 1 n lugar del término a1 Primer término de la progresión r razón 28672 7 • 2n 1 28672 2n 1 7 4096 2n 1 Log 4096 (n 1) • Log 2 Log 4096 n 1 Log 2 12 1 n n 13
EJERCICIOS DE MATEMATICAS TALLER 3
22. La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros
términos es 585. Halla los términos Solución Formula: an= a1+(n-1).4
a1.(a1+4).(a1+8).(a1+12)=585; a1.(a1+4).(a12+20a1+96)=585 a1.(a13+24a12+176a1+384)=585; a14+24a13+176a12+384a1=585 a14+24a13+176a12+384a1-585=0
El polinomio de grado cuatro que aparece se resuelve y se obtiene una única solución real
a1=1, a2=5; a3=9; a4=13
54. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. En una progresión geométrica de razón r, tres términos se expresan así: a, a*r, a*r^2 Si el producto es 328 509 entonces: a * a*r * a*r^2 = 328 509 a^3 * r^3 = 328 509 Si, por otro lado, el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos: a*r^2 = a + a*r + 115 a*r^2 - a*r - a = 115 a*(r^2 - r - 1) = 115 Así que nos queda un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son a y r: a^3 * r^3 = 328 509 a * (r^2 - r - 1) = 115 Resolviéndolo por sustitución: Despejo "a" en la segunda ecuación: a = 115 / (r^2 - r - 1) --> --> a^3 = (115^3) / (r^2 - r - 1)^3 (desarrollando el cubo) --> a^3 = 1 520 875 / (r^6 - 3r^5 +5r^3 - 3r - 1) Sustituyendo en la primera ecuación: 1 520 875 * (r^3) / (r^6 - 3r^5 +5r^3 - 3r - 1) = 328 509
Dividiendo ambos términos por 12 167 y pasando el denominador de la izquierda a la derecha multiplicando: 125 * r^3 = 27 * (r^6 - 3r^5 +5r^3 - 3r - 1) Operando y reagrupando: 27r^6 - 81r^5 + 10r^3 - 81r - 27 = 0 Así que 3 es una raíz entera. Luego r=3 y si despejamos de la primera ecuación: a^3 = 328 509 / r^3 --> a = raíz cúbica (12167) = 23 Así que los números buscados son 23, 23 * 3 y 23 * 3^2: 23, 69 y 207.
19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 18 𝑥+𝑦 =𝑧−2 𝑧 − 2 + 𝑧 = 18 2𝑧 = 18 + 2 2𝑧 = 20 𝑧 = 10 𝑥 + 𝑦 + 10 = 18 𝑥 + 𝑦 = 18 − 10 𝑥+𝑦 =8 2,
10…
6,
52. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 𝑎1 = 7
𝑎 = 448
𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑠=
𝑠 = 889
𝑎𝑛 𝑟 − 𝑎1 448𝑟 − 7 → 889 = 𝑟−1 𝑟−1 889𝑟 − 889 = 448𝑟 − 7 889𝑟 − 448𝑟 = 889 − 7 441𝑟 = 882 𝑟=
882 441
𝑟=2
448 = 7(2)𝑛−1 448 = 2𝑛−1 7 64 = 2𝑛−1 64 32 16 8 4 2 1
2 2 2 2 2 2
26 = 2𝑛−1 𝑛−1=6 𝑛 = 6+1 𝑛 = 7 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 7,
14,
28,
56,
112,
224,
448,
…
MATEMATICAS BASICAS
TALLER 3
ALUMNA NATALY CASTAÑO ARANGO
PROFESOR JORGE ZAPATA
SEPTIMO SEMESTRE ADMINISTRACION FINANCIERA
UNIVERSIDAD DE CALDAS MARZO DE 2015
EJERCICIOS TALLER 3 Progresiones Capítulo 2.1 – Ejercicio 25 En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos. 𝑆𝑛 = 𝑝 , 𝑎 + 𝑝, 2𝑎 + 𝑝, 3𝑎 + 𝑝, 4𝑎 + 𝑝, 5𝑎 + 𝑝, 6𝑎 + 𝑝 (𝑎 + 𝑝) + (2𝑎 + 𝑝) = 19 𝑎 + 𝑝 + 2𝑎 + 𝑝 = 19 3𝑎 + 2𝑝 = 19 (4𝑎 + 𝑝) + (6𝑎 + 𝑝) = 40 10𝑎 + 2𝑝 = 40 10𝑎 + 2𝑝 − 3𝑎 − 2𝑝 = 40 − 19 7𝑎 = 21 21 𝑎= 7 𝒂=𝟑 𝑝=
40 − 10𝑎 2
𝑝=
40 − 10(3) 2
𝑝=
40 − 30 2
𝑝=
10 2
𝒑=𝟓 5, 3 + 5, 2(3) + 5, 3(3) + 5, 4(3) + 5, 5(3) + 5, 6(3) + 5 …. 𝑆𝑛 = 5, 𝟖, 𝟏𝟏, 14, 𝟏𝟕, 20, 𝟐𝟑 … 2𝑑𝑜 𝑦 3𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 8 + 11 = 19 5𝑡𝑜 𝑦 7𝑚𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 = 17 + 23 = 40
Capítulo 2.2 – Ejercicio 57
Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es 27 veces el menor.
𝑎 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 = 360° 𝑎 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 = 360° 𝑎𝑟 3 = 27 𝑎 3
3
√𝑟 3 = √27 𝑟=3 𝑎 + 3𝑎 + 9𝑎 + 27𝑎 = 360 40𝑎 = 360 360 𝑎= 40 𝑎=9 𝑆𝑛 = 9° + 27° + 81° + 243°
21. Halla cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.
Simplifico:
y
=
=
53. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos. S₇ = 7651 Razón q = 3
a₁ a₇ a₁ (q⁷ - 1) S₇ = a₁ · ——— q–1
(3⁷ - 1) 7651 = a₁ · ——— 3-1
2186 7651 = a₁ · ——— 2
7651 = a₁ · 1093 7651 —— = a₁ 1093 7 = a₁ ◄ RESPUESTA
a₇ = a₁ · q⁷⁻¹ a₇ = 7 · 3⁶ a₇ = 5103 ◄ RESPUESTA
14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética. La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos.
Si son 16 términos y la diferencia de los extremos es 16, es decir que la diferencia entre cada termino es 1, por lo tanto: (𝑥 + 3) + (𝑥 + 12) = 18
𝑥 − 𝑦 = 16
Despejamos x 𝑥 + 3 + 𝑥 + 12 = 18 2𝑥 =
3 2
𝑥 = 1,5
𝑎1= 1,5
𝑑=1
𝑎16= ?
𝑎16= 1,5 + 16(1) 𝑎16= 17,5
R/ El primer término es 1,5 y el último es 17,5
46. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.
𝑆8=17× 𝑆4
𝑆
=
𝑎 (𝑟 8 −1) 8= 1 𝑟−1
𝑆8 ⁄𝑆4=17
𝑆
𝑎 (𝑟 4 −1) 4= 1 𝑟−1
Tenemos 𝑆8 ⁄𝑆4=17
𝑎1(𝑟8 −1)/(𝑟−1) 𝑎1(𝑟4 −1)/(𝑟−1)
= 17
Simplificamos (𝑎1 ), (𝑟 − 1)
(𝑟 8 − 1) = 17 (𝑟 4 − 1)
Diferencia de cuadrados (𝑟 8 − 1) = (𝑟 4 )2 − 1
=
(𝑟 4 − 1)(𝑟 4 + 1) = 17 (𝑟 4 − 1)
Simplificamos (𝑟 4 − 1)
= 𝑟 4 + 1 = 17 𝑟 4 − 16 = 0
Diferencia de cuadrados 𝑟 4 − 16 =
(𝑟 2 )2 − 16 (𝑟 2 − 4)(𝑟 2 + 4) = 0
Tenemos 𝑟 2 − 4 = 0 𝑟 2 − 22 = 0 (𝑟 − 2)(𝑟 + 2) = 0 𝑟1= 2 𝑟2= − 2
Tenemos (𝑟 2 + 4) = 0 𝑟 2 = −4 𝑟 = ±√(−4) No existe en los reales
R / 𝑟 = {2, −2}
MATEMATICAS BASICAS TALLER 03 PROGRESIONES
4. Hallar el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3= 24 y a10=66.
a3 24
a10 66
an a1 (n 1)d a3 a1 (3 1)d 24 a1 2d a1 2d 24 an a1 (n 1)d a10 a1 (10 1)d 66 a1 9d a1 9d 66 a1 24 2d a1 66 9d Método de igualación : 24 2d 66 9d 2d 9d 66 24 7 d 42 42 7 d 6
d
a1 24 2d a1 24 2(6) a1 24 12 a1 12
a1 ?
d ?
36. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2. an ak r n k a11 a1 2111 a11 1 210 a11 11024 a11 1024
EJERCICIOS PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA
5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia ½. Halla el termino 20. a6= 4 d= 1 2 a20= ? a20= a6 + (20 – ½) d a20= 4 + 19/2 (1/2) a20= 23 = 11,5 2 37. El quinto término de una progresión aritmética es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de una progresión. a5=81 a1=1 q= 4 81 /1 q= 3 a1= 3 a2= 1(3)= 3 a3= 3(3)= 9 a4= 9(3)= 27 a5= 27(3)= 81
Matemáticas básicas Taller numero 3 Progresiones VIVIANA PATRICIAECHEVERRY MARIN
29. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60º, Calcula el valor de cada ángulo. Solucion, a6, a5,a4,a3,a2,a1 a (a+x) (a+2x) (a+3x)(a+4x)(a+5x) (a+5x)-a= 60 a+5x-a= 60 5x=60 x=60/5 x=12 El valor de cada ángulo es 12° Se suman los ángulos así, Formula=180 (n-2) =180 (6-2) =180 (4) = 720° Entonces: a+a+x+a+2x+a+3x+a+4x+a+5x=720
6a +15x= 720 6a=720-15x 6a=720-15(12) 6a=720-180 6a=540 a=540/6 a=90 Asa, el valor de cada ángulo es:
a6= 90 a5=102 a4=114 a3=126 a2=138 a1=150
62. En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54, respectivamente. Halla el término sexto. Solución, An=a1.r(n-1 A15=a1.r(15-1) =6.r14 54/6=r14 9=r14 R14=9... 14
√r14=14√9
R=1.16 Entonces, A6=a1 .r(n-1) A6=6*1.16(6-1) A6=6*1.16(5) A6=6*2.10 A6=12.6
TALLER 03 PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS
MATEMATICAS BASICAS
PRESENTADO A: JORGE ENRIQUE ZAPATA
POR: VANESSA RIVAS A
UNIVERSIDAD DE CALDAS MANIZALES 2015
1. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia, y se denota por “d”. Luego tus tres números serán, si al primero le llamamos a, a; a+d; a+2d si los aumentas en 5, 4 y 7, se convertirán en: a+5; a+4+d; a+7+2d y te dicen que son proporcionales a 5, 6 y 9, o sea; a+5 = 5k a+4+d = 6k a+7+2d = 9k Es decir los números aumentados de la progresión son múltiplos de 5, de 6 y de 9. a + 5 = 5k a = (5k – 5) a= 5 (k–1) a+4+d = 6k Reemplazo a 5k – 5 + 4 + d = 6k -5+4+d=6k-5k –1+d = k d=k+1 a+7+2d = 9k Vuelvo a reemplazar x y también reemplazo d 5k – 5 + 7 + 2(k + 1) = 9k 5k + 2 + 2k + 2 = 9k 4+7k=9k 4=9k-7k 4= 2k k=2 Por tanto a = 5k – 5 = 5 porque k=2 entonces reemplazo a=5(2)-5=5 d = k + 1 = 3 porque k=2 entonces reemplazo d=2+1=3 Lo que quiere decir que: a=5 d=3 Luego los números son: 5; 8; 11;
Según la formula An=a1+(n-1)d entonces reemplazo para hallar la 4ta, 5ta, 6ta 7ta … posición y donde a1=5 y d=3 A4=a1+(n-1)d A4=5+(4-1)3 A4=5+(3)3 A4=14 A5=a1+(n-1)d A5=5+(5-1)3 A5=5+(4)3 A5=17 A6=a1+(n-1)d A6=5+(6-1)3 A6=5+(5)3 A6=20 A7=a1+(n-1)d A7=5+(7-1)3 A7=5+(6)3 A7=23
2. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. En éste me dan datos sobre dos términos: el que está en la posición 15, y el que está en la posición 10. Me dice que: a15 = 512 a10 = 16 Para cada uno, planteo la fórmula y reemplazo con lo que me dan: "n" (la posición), y el valor del término que está en esa posición: an = a1.rn-1 a15 = a1.r15-1 512 = a1.r14
an = a1.rn-1 a10 = a1.r10-1 16 = a1.r9 Me quedaron dos ecuaciones con dos incógnitas: a1 (el primer término) y "r" (la razón). Con ellas formo un sistema de ecuaciones y lo resuelvo: 16 = a1.r9 512 = a1.r14 Una forma práctica de resolver un sistema así es dividiendo miembro a miembro las ecuaciones. Porque la a1 se va a simplificar, y así queda solamente la incógnita "r": 512
a1.r14
---- = -------16
a1.r9
32 = r14-9
(Como son potencias de la misma base, se dividen restando los exponentes)
32 = r5 5
√32 = r
2=r Ya encontramos la razón "r". Entonces para encontrar a1 podemos reemplazar con ese valor en alguna de las dos ecuaciones: 16 = a1.r9 16 = a1.29 16 = a1.512 16/512 = a1
1/32 = a1
Ahí encontré las dos cosas que me pedían: la razón es r = 2, y el primer término es a 1 = 1/32. Y podría verificar si está bien, buscando los 15 primeros términos de la progresión, a ver si el décimo y el décimo quinto son 512 y 16 respectivamente:
a1 = 1/32 a2 = (1/32).2 = 1/16 a3 = (1/32).2.2 = 1/8 a4 = (1/32).2.2.2 = 1/4 a5 = (1/32).2.2.2.2 = 1/2 a6 = (1/32).2.2.2.2.2 = 1 a7 = (1/32).2.2.2.2.2.2 = 2 a8 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2 = 4 a9 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2 = 8 a10 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 16 a11 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 32 a12 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 64 a13 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 128 a14 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 256 a15 = (1/32).2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 512
2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término.
an a k ( n k ) d a1 a10 (1 10)4 a1 45 ( 9)4
a10 45
a1 45 36
d 4 a1 ?
1 9
a1 9
2 13
3 17
4 21
5 25
6 29
7 33
8 37
9 41
10 45
34. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?
a1 60 d 10 a15 ? a30 ?
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
a15 a1 (15 1)10
a30 a1 (30 1)10
a15 60 (15 1)10
a30 60 (30 1)10
a15 60 140
a30 60 290
a15 200
a30 350
Tiempo dedicado en 30 días:
a a Sn 1 n n 2 60 350 S30 30 2 410 S30 30 2 S30 205 30 S30 6150 _ min
MATEMATICAS BASICAS –TALLER 03 YENI LICETH GUZMÁN LOAIZA EJERCICIOS 17 Y 49
17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos. a1x a2x a3= 16640 a1= 20 a1=20; a2=20+d; a3=20+ 2d=16640 20(20 +d) (20+2d)=16640 (20+d) (20+2d)=
16640 =832 20
(20+d) x 2(10+d) =832 (20+d) (10+d)=
832 =416 2
d2+ 30d+ 200-416=0 d2+ 30d-216=0
b b2 4ac 2a
a=1; b= 30; c=-216 =
(30) 302 4(1)(216) = 2(1)
=
30 42 2
=
30 42 12 6 2 2
=
30 42 72 36 2 2
d= 6 a1=20; a2=26; a3= 32 d= -36
30 900 864 30 1764 = 2 2
a1=20; a2=-16; a3= -52 49. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2. an= a1 8n-1 a12=a1 212-1 a12=a1 211 a12=a1 2048 a12 -a1 =2048 a11= 2048
MATEMATICA APLICADA
MARIA ALEJANDRA GRISALES CARDONA
PROFESOR: JORGE ZAPATA ASIGNATURA: MATEMATICA
UNIVERSIDAD DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS JURIDICA Y SOCIALES ADMINISTRACION FINANCIERA MARZO 23 DE 2015
1.Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años?
an a1 (n 1)d a1 80000 n 12 d 6000 an 80000 (12 1)6000 an 146000 Al cabo de 12 años se deberá pagar mensualmente 146.000 pesetas 2. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica
x 1, x 1 2( x 1) ( x 1) / ( x 1) 2( x 1)( x 1) x 1 2( x 1) x 1 2x 2 2x 2 x 1 2x x 2 1 x3
Reemplazamos x
( x 1) 3 1 2 ( x 1) 3 1 4 2( x 1) 2(3 1) 8
Presentado por: PAULA ANDREA VILLEGAS GRISALES 28- Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que est疣 en progresi aritm騁ica , que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m3 .
Para que sea una progresion aritmetica debe exixstir emos que razon "r" ...... solo sabemos que la progresion aritmetica de tres terminos que corresponden a sus dimensiones: L (largo) , PA →
H (altura) ,
L+H+A
y
A (ancho)
= 78
L * H * A = 15470 Suma de n terminos de una progresion aritmetica Suma = ((primer termino + ultimo) * ( numero de terminos)) / 2 Reemplazo: 78 = ( L +A ) * ( 3 ) / 2 78 *2 / 3 = ( L + A ) = 78 * 2 / 3 ( L + A ) = 156 / 3
( L + A ) = 52
L + H + A = 78
H = 78 - ( L + A ) H = 78 – 52 H = 26
L+ A = 52
L = 52 - A
Reemplazo en el volumen L * A * H = 15470
→
( 52 – A ) * A * H = 15470
( 52 – A ) * ( A ) = 15470 / 26
52A - Aｲ (al cuadrado)= 595 0 = A ｲ (al cuadrado) – 52A + 595 ( A – 35 ) ( A – 17 ) A – 35 = 0 A = 35
A - 17 = 0 A = 17
Uno de estos resultados es el ancho y el otro es el largo. Entonces las dimensiones son : A = 17
H = 26
L = 35
61- . Halla cuatro n伹eros en progresi geom騁rica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos 伃timos 175. X + Y +Z + W = ? Y = X * r (1 ) Z = X * rｲ (al cuadrado) ( 2 ) W = X * rｳ (al cubo) ( 3 ) X + Y = 28
Z + W = 175
X + ( X * r ) = 28 cubo) ) = 175
( X * rｲ (al cuadrado) ) + ( X * rｳ (al
Factor comun X ( 1 + r ) = 28
X * r² (al cuadrado) ( 1 + r ) = 175
X = 28 / ( 1 + r ) → 4
X = 175 / rｲ (al cuadrado) ( 1 + r ) →
5 Se igualan 4 y 5 28 / ( 1 + r )
= 175 / rｲ (al cuadrado) ( 1 + r )
28 * rｲ (al cuadrado) * ( 1 + r ) / ( 1 + r ) = 175
28 * rｲ (al cuadrado) = 175 → rｲ (al cuadrado) = 175 / 28 cuadrado) = 25 / 4 → Ѵ rｲ (al cuadrado) = Ѵ 25 / 4 r =5/2
→
rｲ (al
Se reemplaza r en 4 X = 28 / r + 1 → x = 28 / 1+ 5 / 2
→ X = 28 / 2+5 / 2
→ X = 28 / 7 / 2
X = 56 / 7 → X = 8
Se reemplaza en 1 Y=X*r
→ Y = 8 * 5 / 2 → Y = 40 /2
→ Y = 20
Se reemplaza en 2 Z = X * r² (al cuadrado) → Z = 8 * ( 5 / 2 )² (al cuadrado) 4 → Z = 200 / 4 → Z= 50
→ Z = 8 * 25 /
Se reemplaza en 3 W = X * rｳ (al cubo) W = 125
→ W = 8 * (5 / 2 ) ｳ (al cubo) → W = 8 * 125 / 8 →
2,4 Ejercicio 14) (Interés compuesto) por cada $ 100 invertidos en préstamos comerciales con garantía, un banco recibe $ 116.64 después de dos años esta cantidad representa el capital y el interés compuesto anualmente. ¿Cual es la tasa de interés anual?
Interés al 5% = 0,05x Interés al 8% = 0,08·2x 0,05x + 0,08·2x = 840 0,21x = 840... Así que x = $4.000 que es el dinero invertido al 5% Como el invertido al 8% es el doble, será $8.000 Tasa de interés anual es del 8%
2.4 14) La distancia de P al punto A (2,1) es dos veces su distancia al punto B (-1,3) X1= (2) X2 = (-1) Y1 = (1) Y2 = (3) 2d=√(-1-2)2+(3-1)2
2d=√9 +4=√13= 3,6055 d =P:A 2d=3,6055 d=3,6055/2= 1.8027 d= P:B ; 4.3 21) (Reducciones de inventarios) la tienda “el mayorista” tiene 650 unidades del articulo X en bodega y su promedio de ventas por día de este artículo es de 25 unidades.
a) Si y representa el inventario (de artículos X en bodega) al tiempo t (medido en días), determine la relación lineal entre Y y t (use t =1 para representar el término del primer día, Etcétera.) b) ¿Cuánto llevara vaciar la bodega?
c) ¿En cuántos días de ventas deberán hacer un nuevo pedido si han decidido hacerlo cuando el nivel de la bodega sea de 125 unidades?
a) 𝑦 = 25𝑡 𝑦 = 25(1) = 25 b) 26 días dura el inventario 650 = 25. 𝑡
650 = 𝑡 = 26 𝑑𝑖𝑎𝑠 25
c) 125 = 25𝑡
125 =5 25 26 − 5 = 21 𝑑𝑖𝑎𝑠 A los 21 días se hará el siguiente pedido 𝑡=
33. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos.
a1 an )n 2 sn 32 n4 a1 ? sn (
an a4 a1 a4 )4 2 32 (a1 a4 )2
32 (
16 (a1 a4 )
El mayor tiene 6 años masque el menor
a4 a1 6 a1 a4 16 a4 a1 6 a1 a1 6 16 2a1 6 16 2a1 16 6 2a1 10 10 2 a1 5
a1
an a4 a1 5 n4 d ? a4 a1 6 a4 5 6 a4 11 an a1 n 1 a 5 d 4 4 1 6 d 3 d 2 d
a2 a1 d 5 2 7 a3 a2 d 7 2 9 Las edades de los cuatro hermanos son 5, 7, 9, 11 respectivamente.
65. A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo.
sn 700 a1 100 n3 r ? r n 1
an a1
r 31
700 100
r27 r2 a1 100 an a1 * r n 1 a2 100* 221 200 a3 100* 231 400