MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM

P. Vásquez (UPRM)

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MATE 3171

¿Qué es una función? En esta parte se recordará la idea de función y su de…nición formal. En casi todos los fenómenos físicos se observa la dependencia de una cantidad sobre otra. Por ejemplo: 1 La altura es una función de la edad. 2 La temperatura es una función de la época del año. 3 Costo de una paquete es función de su peso.

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Ejemplos R1 Otros ejemplos: 1 El área de un círculo en función de su radio. 2 La potencia de un circuito es función de la corriente que ‡uye en el circuito.

De…nción Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, f (x ) en el conjunto B. Los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales. El símbolo f (x ) se lee "f de x" o "f en x" y es llamado el valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto A es el dominio de la función y se de…ne: Dom (f ) = fx 2 Rjpara cada x 2 A existe un único f (x ) 2 B g El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x ) donde x 2 Dom (f ) , esto es: rango (f ) = ff (x ) j x 2 Dom (f )g La variable x es la variable independiente. P. Vásquez (UPRM)

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Se puede pensar una función como una máquina:

O como:

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Representación de funciones Una función se puede representar en: 1 2 3 4

Forma verbal Algebraicamente Visualmente en forma de una grá…ca Numéricamente en forma de tabla.

Ejemplos R2

p 1. Dado f (q x ) = 9 x 2 , evalúe: p f ( 3) = 9 ( 3)2 = 9 9 = 0 q p p f ( 2) = 9 ( 2)2 = 9 4 = 5 q p p f ( 1) = 9 ( 1)2 = 9 1 = 8 q p f (0) = 9 (0)2 = 9 = 3 p p p f ( 2 ) = 9 22 = 9 4 = 5 P. Vásquez (UPRM)

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( 3 7. Dado f (x ) = x 3 f ( 4) = f ( 1) = f (0) = f (1) = f ( 2) f (1) =

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si x < 0 si x

, evalúe:

0

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f (a + h ) f (a ) 2. Si f (x ) = 3x + 5, halle h Solución Se halla: f (a) = 3(a) + 5 = 3a + 5 f (a + h ) = 3(a + h ) + 5 = 3a + 3h + 5 f (a + h ) f (a ) = h

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3. Halle el dominio de f (x ) = x 3 3, Solución El dominio es: Dom (f ) = ( 4, 5]

4 0

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5. Funciones p radicales: p p p f (x ) = x, f (x ) = 3 x, f (x ) = 4 x, f (x ) = 5 x

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6. Funciones recíprocas: f (x ) = x1 , f (x ) =

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1 x2

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7. Función mayor entero f (x ) = [jx j]

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Prueba de la vertical Una curva en el plano coordenado es la grá…ca de una función si y solo si ninguna recta vertical intersecta a la curva más de una vez.

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Ejemplos R2 1 Haga un pareo entre entre las funciones y sus p grá…cas: 2 3 a. f (x ) = x b. f (x ) = x c. f (x ) = x d. f (x ) = jx j

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2. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = 5 x y = f (x ) = 5

2x

1 0 1 2x y

7

6

5

4

3

2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

rango(f ) = R P. Vásquez (UPRM)

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MATE 3171

3. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x 2 x y = f (x ) = x 2 4 Eje Y: x = 0 ) y =

1 0 1

Eje X: y = 0 ) x =

4

2;

4 y

4

3

2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

rango(f ) = [ 4, ∞) P. Vásquez (UPRM)

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MATE 3171

4. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x 3 x y = f (x ) = x 3 1 Eje Y: x = 0 ) y =

1 0 1

1

Eje X: y = 0 ) x = 1;

1 y

4

3

2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

rango(f ) = R P. Vásquez (UPRM)

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p 5. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = x + 3 Domf (f ) = fx 2 Rjx + 3 0g = [ 3, ∞) x p 3 2 1 6 Eje X: y = 0 ) x = 3; y = f (x ) = x + 3 p Eje Y: x = 0 ) y = 3 y

4

3

2

1

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

rango(f ) = [0, ∞) P. Vásquez (UPRM)

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6. Trace la grá…ca, construyendo una tabla de valores: f (x ) = jx j

x

x x si x 0 0 si x 0 = , Domf (f ) = R x x si x < 0 2x si x < 0 x 0 : La grá…ca de y = f (x c ), se obtiene al mover c unidades hacia la derecha la grá…ca de y = f (x ) . La grá…ca de y = f (x + c ), se obtiene al mover c unidades hacia la izquierda la grá…ca de y = f (x ) .

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MATE 3171

Ejemplos 2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x ) = (x + 3)2 y

y

4

4

x^2 3

3

2

2 1

1

x x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

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2

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MATE 3171

Ejemplos 3 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x ) = (x + 3)2 y

y

4

4

x^2 3

3

2

2 1

1

x x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

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2

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4. Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. p f (x ) = x 2 y

y 4

4

3

3 x^.5

2

2

1

1 x

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−2 −1

−1

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

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MATE 3171

Re‡exiones Dada la grá…ca de y = f (x ), se desea conocer que sucede al gra…car y = f (x ) o y = f ( x ) . La grá…ca de y = f (x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el eje X . La grá…ca de y = f ( x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el eje Y .

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MATE 3171

5 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función conocida y luego aplique la transformación. p p x g (x ) = x f (x ) = y

y 4

4

3

3

(-x)^.5

x^.5

2

2 1

1

x

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−4

−3

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

−3

2

3

4

-x^.5

−3

−4

−4

−5

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MATE 3171

Composición de funciones

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MATE 3171

Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g

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MATE 3171

Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g y se halla la imagen g (x ) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcular el valor de f (g (x ))

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MATE 3171

Composición de funciones

En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g y se halla la imagen g (x ) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcular el valor de f (g (x )) . El resultado es una nueva función h (x ) = f (g (x )) que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición de funciones y se denota por: f g y se lee "f compuesta con g ". Dadas dos funciones f y g , la función composición f g (también llamada composición de f y g ) se de…ne:

(f

g ) (x ) = f (g (x ))

El dominio de f g es el conjunto de todos los x en el dominio de g talque g (x ) está en el dominio de f . P. Vásquez (UPRM)

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1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. Halle (f

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4, halle:

g ) (0)

Conferencia

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MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2

4, halle:

a. Halle (f g ) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g ) ( 1)

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

43 / 77

MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2

4, halle:

a. Halle (f g ) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g ) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g ) (2)

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

43 / 77

MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d.

Halle Halle Halle Halle

4, halle:

(f g ) (0) = f (g (0)) = (g g ) ( 1) = g (g ( 1)) = (f g ) (2) = f (g (2)) = (f f ) (3)

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e.

Halle Halle Halle Halle Halle

(f (g (f (f (f

P. Vásquez (UPRM)

4, halle:

g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x )

Conferencia

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MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f.

Halle Halle Halle Halle Halle Halle

(f (g (f (f (f (g

P. Vásquez (UPRM)

4, halle:

g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 f ) (x )

Conferencia

4 =

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MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f. g.

Halle Halle Halle Halle Halle Halle Halle

(f (g (f (f (f (g (g

P. Vásquez (UPRM)

4, halle:

g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 4 = f ) (x ) = g (f (x )) = g (4x + 6) = g ) (x )

Conferencia

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MATE 3171

1 Si f (x ) = 4x + 6 y g (x ) = x 2 a. b. c. d. e. f. g.

Halle Halle Halle Halle Halle Halle Halle

(f (g (f (f (f (g (g

P. Vásquez (UPRM)

4, halle:

g ) (0) = f (g (0)) = g ) ( 1) = g (g ( 1)) = g ) (2) = f (g (2)) = f ) (3) = f (f (3)) = g ) (x ) = f (g (x )) = f x 2 4 = f ) (x ) = g (f (x )) = g (4x + 6) = g ) (x ) = g (g (x )) = g x 2 4 =

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

P. Vásquez (UPRM)

y g (x ) = x + 4, halle: f

Conferencia

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ;

P. Vásquez (UPRM)

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (g ) = ( ∞, ∞)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; (f g ) (x ) = f (g (x ))

P. Vásquez (UPRM)

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (g ) = ( ∞, ∞)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

44 / 77

MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞)

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x )

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f )

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x )

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x

dom (f

f)

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x

dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x )

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x

dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x ) = g (g (x )) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g )

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Si f (x ) = dominios

4 x

y g (x ) = x + 4, halle: f

g, g

f ,f

f ,g

g y sus

dom (f ) = ( ∞, 0) [ (0, ∞) ; dom (g ) = ( ∞, ∞) (f g ) (x ) = f (g (x )) = f (x + 4) = x +4 4 dom (f g ) = fx 2 Rjx + 4 6= 0g = ( ∞, 4) [ ( 4, ∞) (g f ) (x ) = g (f (x )) = g x4 = x4 + 4 dom (g f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (f f ) (x ) = f (f (x )) = f x4 = 44 = x x

dom (f f ) = fx 2 Rjx 6= 0g = ( ∞, 0) [ (0, ∞) (g g ) (x ) = g (g (x )) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g ) = R = ( ∞, ∞)

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MATE 3171

Funciones 1-1 Las funciones que son 1-1 son importantes para el estudio de funciones inversas, observe el siguiente par de grá…cas:

De…niciónUn función con dominio A se dice que es una función1-1 si cualquier par de elementos de A siempre tienen diferentes imágenes, es decir: f (x1 ) 6= f (x2 ) cuando x1 6= x2 P. Vásquez (UPRM)

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MATE 3171

Función inversa Toda función que es 1-1 posee inversa. De…niciónSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se de…ne por: f

1

(y ) = x () f (x ) = y

para cualquier y 2 B. Se satisface: dom f 1 = rango (f ) y dom (f ) = rango f

1

Propiedad de función inversa Sea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Su función inversa f satisface las siguientes propiedades:

1

f 1 (f (x )) = x para todo x 2 A f f 1 (x ) = x para todo x 2 B Una función f

1

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que satisface las ecuaciones anteriores es la inversa de f . Conferencia

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MATE 3171

Pasos para hallar la inversa de una función 1

Escriba y = f (x ) .

2

Resuelva la ecuación para x en términos de y (si es posible)

3

Intercambie x con y . La ecuación resultante es y = f

Nota:

La grá…ca de f

1

1

(x ) .

se obtiene re‡ejando la grá…ca de f en la recta

y = x.

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Conferencia

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MATE 3171

Ejemplos 1 La grá…ca de una función f es dada,:

Indique cual de ellas es 1-1:

P. Vásquez (UPRM)

Conferencia

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MATE 3171

2 Determine si la función dada es 1-1: a. y = f (x ) = 6x + 2, si es 1-1, recuerde su grá…ca es una recta, además: para cualquier par:

f (x1 ) = 6x1 + 2, 6x2 + 2 = f (x2 ) ) 6x1 + 2 6= 6x2 + 2 si x1 6= x2 1

b. y = f (x ) = jx + 2j no es 1-1, un contraejemplo: 4 6= 0 sin embargo f ( 4) = 2 = f (0) , se tiene que para un par de valores diferentes en el dominio, sus imágenes son iguales c. y = f (x ) = x 4 + 5, 0 x 2 veri…que que es 1-1.

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Conferencia

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MATE 3171

3 Asuma que f es una función 1-1: a. b. c. d.

Si Si Si Si

f f f f

(2) = 5, halle f 1 (5) =? 1 (4) = 6, halle f (6) = ? (3) = 10, halle f 1 (10) =? 1 ( 2) = 5, halle f ( 5) = ?

4 Si g (x ) = x 2 + 4x, con x

2, halle g

1

(5)

Se halla el valor de x tal que g (x ) = x 2 + 4x = 5 y se resuelve la ecuación cuadrática: x 2 + 4x 5 = 0, cuya solución es: x = 1, x = 5, de donde se obtiene que g 1 (5) = 1 ¿porqué?

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5 Demuestre que las funciones f (x ) = 2x inversas una de otra. Se debe veri…car que: (f g ) (x ) = f (g (x )) = f x +2 5 = 2 (g f ) (x ) = g (f (x )) = g (2x 5) = 6 Halle la función inversa de f (x ) =

x +5 2 2x 5 +5 2 1 x +1

5 y g (x ) =

x +5 son 2

5=x =x

Se debe veri…car que: Dom (f ) = fx 2 Rjx 6= 1g = rango f 1 1 1 Sea y = x + 1 , despejando x : x + 1 = y ) x = Por lo tanto la función inversa es: f 1 (x ) = Dom f 1 = fx 2 Rjx 6= 0g = rango (f )

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Funciones Polinómicas y sus grá…cas De…niciónUna función polinómica de grado n se de…ne por: P ( x ) = an x n + an

1x

n 1

+

+ a1 x + a0

donde n 2 N, an 6= 0 y an , an 1 , , a1 , a0 2 R. Los números an , an 1 , , a1 , a0 son llamados los coe…cientes del polinomio. El número a0 es llamado el coe…ciente constante o término constante. El número an es el coe…ciente de la potencia mayor, y es llamado el coe…ciente principal, y an x n es llamado el término principal.

Características de las grá…cas de FP Se han discutido algunos casos anteriormente, por ejemplo: 1 2

La función lineal: f (x ) = b + mx, su grá…ca es una línea. La función cuadrática: f (x ) = ax 2 + bx + c, cuya grá…ca es una parábola. P. Vásquez (UPRM)

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A continuación se presentan las grá…cas de algunas funciones polinómicas básicas:

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1 Paree cada una de las funciones polinómicas con sus grá…cas: a.P (x ) = x x 2 4 b.P (x ) = x 2 x 2 4 d.P (x ) = 12 x 6 2x 4 e.P (x ) = x 4 + 2x 3

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c.P (x ) = x 5 + 5x 3 4x f .P (x ) = x 3 + 2x 2

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Funciones exponenciales De…niciónUna función exponencial con base a está bien de…nida para todos los números reales x y se denota por: f (x ) = ax , donde a > 0, a 6= 1.

Grá…cas de funciones exponenciales La función exponencial f (x ) = ax , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio R y rango (0, ∞) . La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La grá…ca de f tiene una de las siguientes formas:

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Ejemplos 1 Paree las siguientes funciones con sus grá…cas: a.f (x ) = 2x b.f (x ) = 2 x c.f (x ) = 2x a.f (x ) =

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2

x

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Funciones logarítmicas Toda función exponencial f (x ) = ax , donde a > 0, a 6= 1, es 1-1, y por lo tanto posee inversa. La función inversa es llamada función logarítmica y se obtiene: y = ax para despejar x se aplica loga a ambos lados y se obtiene: loga y = loga ax = x loga a = x, porque loga a = 1 para todo a > 0, a 6= 1 La función inversa de la exponencial es: f 1 (x ) = loga x De…niciónUna función logarítmica con base a > 0, a 6= 1 se de…ne por: f (x ) = loga x, donde a > 0, a 6= 1. y se satisface: y = loga x , x = ay

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Grá…cas de funciones logarítmicas La función logarítmica f (x ) = loga x, (a > 0, a 6= 1) tiene dominio (0, ∞) y rango R. La recta x = 0 es una asíntota vertical. La grá…ca de f tiene una de las siguientes formas: y 9

a^x, 0