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IngresoGGGtçGGjwu
Potenciación en R:
GGGGGGYWXYG
Dado un número real a, que le llamaremos base y un numero
natural n , al que le llamaremos exponente. definimos:
an = a . a . a ……. .a n veces ( exponente)
Propiedades de la potenciación: Estas propiedades se explican mejor si se entiende lo que sugieren simbólicamente, como se detallan a continuación ( la igualdad no solamente es valida de izq.. a derecha):
Distributiva con respecto al producto
( a b c)n = an bn cn
Distributiva con respecto al cociente
( a : b)n = an : bn
Producto de potencias de igual base
an am = an+m
Cociente de potencias de igual base
an :am = an-m
Potencia de otra potencia
(an)m = an.m
Estas propiedades cobran importancia cuando se operan con bases o exponentes no numéricos. Por ejemplo: x . x = x
2
,
3
3
3
m p = (mp) 2
2
4
Errores comunes: a) x +x = x
x7 , 4 x
x3 2 3
3h . 3h+1 = 32h+1
o
6
b)(3x ) = 3 x
x4 c) 2 x
x2
Actividad 17: Aplica propiedades de la potenciación y resuelve cuando sea posible:
a) (- 3)-2. (- 3)-3 =
b) 2-5 . 24. 2-5 =
c) 34.3-3.3-5
d) 2-5 : 24 =
e) 145 : 146 =
f) 2.3.45.45.6-3 =
g) 610 . 60 . 3-2 . 34
h) 2-9 . 34 . 4-3 . 53 . 35 =
i) > (12 a4 b2)-3@ =
j) 3-3 : 56 . 3 -9 =
k) 2h+1 : 24 =
l) 165 : 46 = Nota: Recuerda lo siguiente: 82 = (23)2 = 23.2 = 26
Actividad 18: Aplica todas las propiedades de la potenciación que sean posible:
a) > ( 0,4 )-3 @-7 = b) > (pq)-2 @-3 : > (pq)-3 @6 = c) > 63 . 34 : 26 ]2 = 25
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GGGGGGYWXYG
d) > (2h .4h : 2 h-4 @-2 =
Radicación en R: n
definimos:
Dado un número real a y un numero natural n > 1.
b bn
a
a
Muchas definiciones matemáticas están expresadas utilizando el símbolo ( si y solo si) Que es una condición muy fuerte que tiene que cumplir los números para que sea valido. En este caso, esta definida a partir de la potenciación en R. De hecho es la inversa. Observación: el número real b no existe como tal si, a es negativo ( a < 0 ) y n es par
Propiedades de la radicación: x
n
a.b
x
n
a:b
x
n p n
x
n. p
m
n
n
n
x
n
x
a
a :n b
a
am
a si n es impar
n
n
a .n b n
a
a a a
x
n
a n
si n es par
b a b
Actividad 19: Aplica propiedades de la radicación y resuelve cuando sea posible: 5
75
b)
c)
900.64
d)
e)
xy =
a)
18. 8 3
g)
4
3
2 3
f)
3
64000 8000
18. 2 / 144
h) 25.3 m 2
64
Actividad 20: Aplicar propiedades y reducir la expresión: a.
3
b. 3 125. 32.3 8
3.4 3
Potencia con exponente racional
a
p q
q
ap
26
IngresoGGGtçGGjwu Ejemplo:
3
a
5
a
GGGGGGYWXYG
5 3
27
IngresoGGGtçGGjwu
GGGGGGYWXYG
Como un radical se puede expresar a sus ves como una potencia de exponente racional, es que las propiedades de la potenciación también son válidas en ese caso. Este es el fundamento (además de las propiedades de la radicación), por el cual se aplican procedimientos como: x
Simplificación de raíces de potencias :
x
Extracción de factores de un radical:
3
a 6
a2
Se descompone si es necesario el radicando en factores primos y luego se divide el exponente entre el índice si es que el primero es mayor o igual que el segundo. Ej.: 5.3 16 5.3 24 x
5.2.3 2 10.3 2
Introducción de factores dentro de un radical: Cada factor externo al radical se introduce multiplicando el exponente por el índice del radical. 3 Ej.: x . 3 5 x 2 x3 .5 x 2 3 5 x5
Actividad 21: Hallar el valor de las siguientes potencias: 1 3
1 2
b) 0.125 =
a) 36 = d) 32
1 4
c) 512
§4· ©9¹
1
e) §¨ 121 ·¸ 2 =
=
g) 0,0025
2 3
f) ¨ ¸
© 144 ¹
a) d)
4
=
3 2
Actividad 22: Expresa en forma de potencia: 5
=
3 2
x 2x 4
b)
3
x
c)
x
13
e)
a a6
f)
2
3
5
4 (3x) 5
Actividad 23: Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) 18 3 5 2 c) 98 a b c
e)
1 168 a 5 b 3 2a
b) 3 48 d) 2 75 x 4 y 3 f) 6 54 3
Actividad 24:. Introducir todos los factores posibles en los siguientes radicales:
28
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c) 0,5.m. 4 8.m 3
b) 3x. 3 x 2
a) 2 3 y 2 x3 x
d)
GGGGGGYWXYG
x 2 4x 3 x
e)
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos: Ejemplo 1: 3 2 +5 2 -
2
Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales. ( O sea: 3 + 5 - 1 = 7) Con lo cual se tiene: 3√2 +5√2 - 1√2 = 7 2
Actividad 25. Resuelve
a) 5 3
12
b) 7 10
c) 7 28
63 6 7 6 73
d) 2 75 4 27
e) 4.3 16 2.3 81 5.3 8
1 3 . 24 2
f) 5
40
1 2 12
360 48
1 3
1 27
Actividad 26. Escribe si es verdadero (v) o falso (f) según corresponda. Justifica i)
2 3
iii)
5.2
v)
3 2
6 …………..
ii) x 2
5. 2 ..................
iv)
5 5
2 5 ..................
3 ....................
vi)
3 2 x
3x .........................
4
x 2 .............
Producto de radicales: Para multiplicar dos o mas radicales se debe observar sus índices antes. Si son iguales se aplica la propiedad distributiva directamente. Caso contrario se calcula un común índice y se lo reduce a ese número mediante cálculos de división y multiplicación entre los índices y los exponentes de cada radical. Ejemplo: 1) 10 . 2
20
2)
3
4. 2
6
4 2 .6 2 3
6
4 2.2 3
6
128
Actividad 27: Averiguar si el resultado es racional o irracional: a) 27 . 3 c) 2 .(2 8 )
b) (2 7 ).(2 7 ) d) ( 3 3 ) ( 27 3 )
29
IngresoGGGtçGGjwu e) g)
10. 0,01 2
2
GGGGGGYWXYG
f) ( 8 2 ) 2
3 18 18
30
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GGGGGGYWXYG
Racionalización de denominadores: Primer caso: El denominador es un radical único. Ejemplo: 3 3
=3
2
3
.
2
3
22
3
22
=.
3
3
3. 2 2 3
3 22 2
23
Segundo caso: El denominador es un binomio con uno o dos de sus términos irracionales cuadráticos. Ejemplos:
2
3 5
,
2 3
7 3
Asi para el primer ejemplo, hacemos: 2 2 3
.
2 3 2 3
=
2. 2 3
2
2
2. 2 3 29
32
2. 2 3 7
Actividad 28: Racionalice: a) c) e) g)
i)
8 3 1
3
b)
6 10
d)
6 ab ab
3
2 4 xy 2
f) 3
11
h)
3 5
2 xy 2
3 3 5
2 1 2 1
Actividad 29: Resuelva aplicando propiedades de la potenciación o radicación:
§1· b) ¨ ¸ ©2¹
a) 3 . 3 = 1 3
d)
5 3
5. 2. 10 § 2 · ¨ ¸ 2 ©5¹
1
§1· f) 3. 3 3 ¨ ¸ ©9¹ 2
1 4
3
§1·2 :¨ ¸ = ©2¹
c)
4 2
3 2
=
8
§1 · 2 1 ¸ 3 8 ©2 ¹
e) ¨ 1
g)
4 8 2
31
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Logaritmo: a y b , con a > 0 y b z 1
Sean los números reales Definición:
Log b a = x
bx= a
Casos particulares: si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe, por ej. log 8 Si la base es e= 2,71… , el logaritmo se llama neperiano y se escribe ln
Propiedades:
x, y R+
b>1
log b (x . y) = log b x + log b y log b (x : y) = log b x – log b y log b x n = n . log b x log b nx = 1/n .logb x
con y z 0
Actividad 30: Calcular, aplicando la definición de logaritmo: a) log
5
c) log
4
e) log
16
625 =
b) log10
1/64 =
d) log
8=
f) log
2
10 = 0,5 =
0,01
10 =
Actividad 31: Desarrollar, aplicando las propiedades de los logaritmos: a) log 2
64 128 2 .4 8 3.512
ª a 2 .(b.c) 3 º » a. ¼ ¬
b) ln «
c) log 2
x 2 1 2x
ª p2. p2 1º » d) ln « e8 «¬ »¼
Actividad 32: Transforme en un único logaritmo, las expresiones siguientes: a) b)
log ( 2x – 2 ) - log 2 x = 4 ln x + 5 ln ( x + 1) – 2 ln (x – 3) =
Actividad 33: Halla el valor de x. aplicando definición y/o propiedades: a) 2x = 128.64
b) 3 x-3 . 9 =
b) 6x+1 = 216. 6
81
c) 10 = 100.(0.5+i)x
3
d) log2 (2x + 5) =3
e) log (x+1) – log (x – 1) =1
f) log x + log (2x – 1) =log 6
g) e
0.4x
=8
Actividad 34: Sabiendo que: log 2= 0.3010 , log 3= 0.4771 y log 5 =0.6990 ,
utilizar las propiedades de logaritmos para determinar: a) log 15
b) log 7,5=
c) log 81
d) log 50 32