1.2. Curvas paramétricas. Definición. Sean x1 , x2 ,

, xn funciones continuas de ℜ → ℜ para un intervalo

[ a, b] definidas como x1 = f1 ( t ) , x2 = f 2 ( t ) ,

, xn = f n ( t )

con t ∈ [ a, b ] . , xn ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

El conjunto de puntos ( x1 , x2 ,

, f n ( t ) ) define una curva C en

ℜn y estas funciones representan las ecuaciones paramétricas de la curva para el parámetro t ∈ [ a, b ] , esto es

 f1 ( t )   x1    f 2 ( t )   x2  n  = f : ℜ → ℜ / f (t ) =          f n ( t )   xn 

C

f(t)

a

t

b

Figura 9. Curva Paramétrica

Si

la

curva

C

está

definida

en

ℜ3

por

la

función

vectorial

f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = f1 ( t ) iˆ + f 2 ( t ) ˆj + f3 ( t ) kˆ , donde f1, f2 y f3 son funciones escalares en un intervalo [ a, b ] . Entonces el conjunto de todos los puntos ( x, y, z ) en el espacio tales que x = f1 ( t ) , y = f 2 ( t ) y z = f 3 ( t ) donde los valores de t pertenecen al intervalo [ a, b ] , se llama curva paramétrica en el espacio. Para esta curva C, la función vectorial definida por f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f3 ( t ) ) es el vector posición del punto P ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f3 ( t ) ) sobre la curva C.

EJEMPLO 5. Represente la curva C en ℜ3 , si ésta esta dada paramétricamente por f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( cos ( t ) , sen ( t ) , t )

Solución. Para la representación en el espacio de esta función evaluamos algunos valores de t y el vector posición resultante es un punto perteneciente a la gráfica de la curva C dada de forma paramétrica, al representar los vectores de posición se obtiene la representación gráfica que se observa en la Figura 10.

C

Figura 10. Representación de la curva paramétrica C del ejemplo 5.

De manera similar una curva C en ℜ2 estará definida por la función vectorial f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = f1 ( t ) iˆ + f 2 ( t ) ˆj , donde las funciones reales f1 y f2, son sus funciones componentes, para un intervalo [ a, b ] . Entonces el conjunto de todos los puntos

( x, y )

en el plano tales que x = f1 ( t ) e y = f 2 ( t ) donde los valores de t

pertenecen al intervalo [ a, b ] , se llama curva paramétrica en el plano. Para esta curva C la función vectorial definida por f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ) es el vector posición del punto P ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ) sobre la curva C.

EJEMPLO 6. Represente la curva C en ℜ2 , definida paramétricamente por

f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( t , 2t 2 ) para −2 ≤ t ≤ 2 . Solución. La representación gráfica de la trayectoria de esta curva C definida por la

representación del vector de posición f ( t ) = ( t , 2t 2 ) , se realiza evaluando al parámetro t, desde t = −2 hasta t = 2 , en la función vectorial que describe la trayectoria de la curva C, y luego al graficar los puntos resultantes en el plano cartesiano se obtiene la representación que se observa en la Figura 11.

f(t)

-2

t

2

Figura 11. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( t , 2t 2 ) .

EJEMPLO 7. Represente la curva C en

ℜ2 , definida paramétricamente por

g : ℜ → ℜ2 / g (θ ) = ( 2 cos θ ,5senθ ) para 0 ≤ θ ≤ 2π . Solución. La curva g es la representación en forma paramétrica de una elipse

centrada en el origen y cuya gráfica en el plano cartesiano es la que se muestra en la Figura 12, el dibujo de dicha curva se obtuvo al realizar la evaluación del parámetro

θ en el intervalo correspondiente.

Figura 12. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( 2 cos (θ ) ,5sen (θ ) ) .

EJEMPLO 8. Represente la curva C en

ℜ2 , definida paramétricamente por

h : ℜ → ℜ2 / h ( t ) = ( 2 − t 2 , t + 1) para 2 ≤ t ≤ 4 . Solución. La gráfica de la curva C dada paramétricamente por la función h, se

corresponde a una parábola de vértice en el punto ( 2,1) , y se muestra su representación gráfica en la Figura 13.

Figura 13. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( 2 − t 2 , t + 1) .

EJERCICOS PROPUESTOS 1.2.

Realice la representación gráfica de las siguientes curvas dadas en forma paramétrica. 1) f : [ 0, 2] → ℜ2 / f ( t ) = ( t , t 2 ) 2) g : [ −1,3] → ℜ 2 / g ( t ) = ( t + 1, t 2 − 2 )

 5π  3) h : 0,  → ℜ2 / g (θ ) = ( cos (θ ) ,3sen (θ ) )  6 

1.2.1. Orientación de una curva

Definición. Si C es una curva definida paramétricamente por la función vectorial

definida por f : ℜ → ℜ n / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

, f n ( t ) ) con t ∈ [ a, b ] , entonces la

orientación de esta curva se define según, si su trayectoria o desplazamiento se realiza desde

f ( a ) hasta

f ( b ) (orientación positiva) o desde

f ( b ) hasta

f (a)

(orientación negativa).

Para la curva C del Ejemplo 6, se observa las dos orientaciones para una curva C en la Figura 14.

(a) Orientación Positiva

(b) Orientación Negativa

Figura 14. Orientación de una curva paramétrica C, f : [ −2, 2] → ℜ2 / f ( t ) = ( t , 2t 2 )

1.2.2. Parametrización de algunas de las curvas más utilizadas. Tabla 1. Parametrización de una curva dada de forma explicita o implicita.

Curva C

Parametrización de la curva C

y = f ( x)

 x = t   y = f ( x )

x = g ( y)

 x = g ( t )   y = t

 x = r cos (θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π   y = r s en (θ )

Circunferencia: x 2 + y 2 = a 2

Donde θ , es el ángulo que forma el radio vector con el semieje positivo de las x.  x = a cos (θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2π   y = b s en (θ )

x2 y 2 Elipse: 2 + 2 = 1 a b

Donde θ , es el ángulo que forma el radio vector con el semieje positivo de las x.

Segmento de línea recta: Desde

( x0 , y0 , z0 ) hasta ( x1 , y1 , z1 )

 x = x0 + ( x1 − x0 ) t   y = y0 + ( y1 − y0 ) t , 0 ≤ t ≤ 1   z = z0 + ( z1 − z0 ) t Fuente: Propia.

EJEMPLO 9. Realice la parametrización de la curva C definida por la intersección de las superficies definidas por el cilindro x 2 + y 2 = 4 y el plano z + 2 x + 2 y = 5 .

Solución. Una parametrización para la curva implícita dada es  x = 2 cos ( t )   y = 2 cos ( t )   z = 4 − 2 cos ( t ) − 2 Sin ( t ) Es decir, la función vectorial que define a esta curva definida en forma paramétrica vendría dada por f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( 2 cos ( t ) , 2sin ( t ) , 4 − 2 cos ( t ) − 2sin ( t ) ) con 0 ≤ t ≤ 2π , y al realizar la representación gráfica se obtiene la curva mostrada en la

Figura 15

x2 + y 2 = 4

z + 2x + 2 y = 5

Figura 15. Representación en el espacio de la curva C.

EJEMPLO 10. Parametrizar la curva C definida por la recta que va desde el punto

(1,1,1)

al punto

Solución.

( 2,3, 4 ) .

Una

parametrización

para

la

curva

está

dada

por

f ( t ) = (1 + t ,1 + 2t ,1 + 3t ) , t ∈ [ 0,1] , y su representación en el espacio tridimensional se observa en la Figura 16.

Figura 16. Representación en el espacio de la curva C del ejemplo 10.

EJEMPLO 11. Parametrizar la curva C definida por la circunferencia definida en el plano por

Solución.

( x − 1) + ( y + 2 ) 2

Obsérvese

punto ( x0 , y0 ) = (1, −2 ) ,

2

que si

=6 el

centro

ahora

de

tomamos

esta la

circunferencia siguiente

está

en

el

parametrización

h1 : [ 0, 2π ] → ℜ2 / h1 ( t ) =

(

)

6 cos t , 6 sent = ( x1 , y1 ) , referida al punto

( x, y ) = ( x0 + x1 , y0 + y1 ) ,

además como

( x0 , y0 ) ,

una parametrización para la curva dada es

(

)

h : [ 0, 2π ] → ℜ2 / h ( t ) = 1 + 6 cos t , −2 + 6 sent . donde al graficar los vectores de posición de dicha curva se obtiene la representación gráfica que se observa en la Figura 17.

t

(1, −2 )

Figura 17. Representación en el plano de la curva C del Ejemplo 11.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.2. Realice la parametrización de las siguientes curvas. 1) y = x 2 − 1 2) x 2 + y 2 = 2 y 3) 3 x 2 + 2 y 2 = 6

1.2.3. Vector tangente. Definición. Sea la curva C definida en forma paramétrica por la función vectorial f : ℜ → ℜ n / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

(

C en el punto x10 , x20 ,

)

, f n ( t ) ) , se define al vector tangente a la curva

, xn0 = ( f1 ( t0 ) , f 2 ( t0 ) ,

, f n ( t0 ) ) de la siguiente manera

f ' ( t0 ) = ( f1 ' ( t0 ) , f 2 ' ( t0 ) ,

, f n ' ( t0 ) )

f’(t)

C

f(t)

a

t

b

Figura 18. Vector tangente a la curva C

f’(t)

C

C

f’(t)

(a)

(b) Figura 19. Vector Tangente f’(t) (a) En

ℜ2 y (b) En ℜ3

EJEMPLO 12. Sea la curva C definida en forma paramétrica por la función vectorial f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( t , t 3 ) , −2 ≤ t ≤ 2 , calcule sus vectores tangentes en los puntos

( x0 , y0 ) = (1,1) y ( x0 , y0 ) = ( −1, −1) Solución. El vector tangente a la curva C en un punto genérico t0 es f ' ( t0 ) = (1,3t02 ) , de manera que f ' ( −1) = (1,3) y f ' (1) = (1,3) y en la Figura 20 se observa su representación en el plano cartesiano. C

Figura 20. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 12 en t 0 = −1 y t 0 = 1

EJEMPLO 13. Sea la curva C definida paramétricamente por la función vectorial h : [ 0, 2π ] → ℜ 2 / h ( t ) = ( cos t ,3sent ) , calcule sus vectores tangentes en los puntos  2 3 2  1 3 3 ,  y ( x1 , y1 ) =  − ,  2   2  2 2 

( x0 , y0 ) = 

Solución. El vector tangente a esta curva C para punto genérico t0 es h ' ( t0 ) = ( − sen ( t0 ) ,3cos ( t0 ) ) ,

de

manera

que

2 2 π   ,3 h '   =  −  2  4  2

y

3 3  2π   , −  y en la Figura 21 se observa su representación en el plano h '  =  − 2  3   2 cartesiano.

C

Figura 21. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 13 en

t0 =

π 4

y t1 =

2π 3

EJEMPLO 14. Sea la curva C definida de forma paramétrica por la función vectorial f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( t , t 2 − 1) , −2 ≤ t ≤ 2 , calcule sus vectores tangentes en los puntos

( x0 , y0 ) = ( 0, −1) y ( x0 , y0 ) = (1, 0 ) Solución. El vector tangente para la curva C en punto genérico t0 está dado por f ' ( t0 ) = (1, 2t0 ) , de manera que los vectores tangentes en los puntos señalados son

f ' ( 0 ) = (1, 0 ) y f ' (1) = (1, 2 ) , y su representación en el plano cartesiano se muestran

la Figura 22.

C

Figura 22. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 14 en t0 = 0 y t1 = 1

El vector tangente unitario T ( t ) a la curva C definida paramétricamente por la función vectorial f ( t ) , se define como T (t ) =

f ' (t ) f ' (t )

e indica la dirección de la curva. El vector normal unitario (principal) N ( t ) a la curva C definida paramétricamente por la función vectorial f ( t ) , se define como N (t ) =

e indica la dirección del radio de curvatura.

T '(t ) T '(t )

1.2.4. Curva suave y parcialmente suave. Definición. Sea la curva C definida paramétricamente por la función vectorial f : ℜ → ℜ n / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

, f n ( t ) ) , con t ∈ [ a, b ] se dice que esta curva es

suave si f ' ( t ) es continua y f ' ( t ) ≠ 0 , esto es, si f1 ' ( t ) , f 2 ' ( t ) ,

, f n ' ( t ) tienen

primeras derivadas continuas en el intervalo [ a, b ] y no son simultáneamente iguales a cero. Definición. Una curva C formada por un número finito de trozos o curvas suaves,

unidas de manera continua, se llama curva suave a secciones o curva parcialmente suave, esto es C = C1 ∪ C2 ∪

∪ Cn

siendo Ci , i = 1, 2,… , n curvas suaves.

EJEMPLO 15. Represente la gráfica de la curva C definida por C = C1 ∪ C2 ∪ C3

donde  t  t  t  ,4 ≤ t ≤ 6 C1 : f ( t ) =  3  , 0 ≤ t ≤ 2 , C2 : g ( t ) =   , 2 ≤ t ≤ 4 y C3 : h ( t ) =  3  t + 2 t   3 2 

Solución. Como se observa tenemos una curva C formada por tres curvas suaves, se

graficará cada una de las curvas para los valores del parámetro t respectivo, como se muestra en la Figura 23.

C3 C2

C1

Figura 23. Gráfica de las curvas C1, C2 y C3

1.2.5. Curva simple y curva cerrada simple. Definición. Sea C una curva definida paramétricamente por la función f : ℜ → ℜn / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

, f n ( t ) ) , con

t ∈ [ a, b ] , se dice que C es una

curva simple si la función f ( t ) , de clase C1 a trozos, es inyectiva en el intervalo

[ a, b] . Así pues, una curva simple es aquella que no se corta así misma, siendo f ( a ) y f ( b ) los extremos de la curva.

C

C

f(t) f(t) a

t

b

a

Figura 24. (a) Curva simple y (b) Curva no simple

t

b

Definición. Sea C una curva definida paramétricamente por la función vectorial f : ℜ → ℜ n / f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

, f n ( t ) ) , con t ∈ [ a, b ] , se dice que la curva C es

una curva cerrada simple si la función f ( t ) , de clase C1 a trozos, es inyectiva en el intervalo [ a, b ) , y tal que f ( a ) = f ( b ) . Cuando f ( a ) = f ( b ) , pero f ( t ) no es necesariamente inyectiva en [ a, b ) , se dice entonces que C es una curva cerrada. C

C

f(t)

a

t

f(t)

b

a

Figura 25. (a) Curva cerrada simple y (b) Curva cerrada

t

b