2014

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Profesoras: María Loreto Calot, Silvina Fondere y Flavia Minatelli

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Alderete, J. y otros. (1995)”Matemática para la Educación Básica Serie Roja: El mundo de los números y la aritmética” Dicesare Mirta, Caruso Susana, Fondere, Silvina apuntes de clase: “Nociones de Geometría del plano”, Revista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN MATEMÁTICA Y CURRICULUM: “Los números decimales en la EGB”. www.mendomatica.mendoza.edu.ar Revista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN TEMAS DE MATEMÁTICA: “Los números decimales”. www.mendomatica.mendoza.edu.ar Revista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 12 www.mendomatica.mendoza.edu.ar

Revista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 9 www.mendomatica.mendoza.edu.ar

María Cristina Bisbal de Labato, y otros. Serie Horizontes. Ciclo Básico de Educación Secundaria. Escuelas Rurales. “MATEMÁTICA. CUADERNO DE ESTUDIO 1 Y 2”. LIBROS DE LOS EJERCICIOS Liliana Laurito y otros. Editorial Puerto de Palos: “MATEMÁTICA 8 Activa” Adriana Berio y otros. Editorial Puerto de Palos. MATEMÁTICA 8 3º E.S.B. en estudio Luis Garaventa y otros. Editorial Aique: “CARPETA DE MATEMÁTICA 8”. Mariana Aragón y otros. Editorial Estrada. “MATEMÁTICA Carpetas de actividades 8”.

SELECCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO Profesoras:

Loreto Calot, Silvina Fondere Flavia Minatelli

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PRESENTACIÓN DEL MATERIAL

ESTIMADO ALUMNO El material que encontrarás a continuación contiene tres bloques temáticos, el primer bloque presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos, el segundo bloque presenta una selección de contenidos de Geometría (nociones del plano) y finalmente el tercer bloque presenta algunos problemas para resolver con interpretación, lectura y análisis de gráficos de funciones, tablas, enunciados y fórmulas. Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, que conlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas formas de comunicación y los problemas, la Matemática es mucho más saber hacer que meramente saber. Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprender con los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que te ayudarán a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontrarás numerosos problemas con complejidad creciente. Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y que resuelvas los problemas de cada bloque. En los encuentros de febrero podremos trabajar sobre las temáticas del cuadernillo para que aclares dudas o reafirmes tus conclusiones a través de las explicaciones que recibirás del profesor especializado a cargo

 La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo lo que hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sino tu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño. BERNARDO STAMATEAS

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MARCO TEÓRICO

 Esfuérzate, sé valiente y te darás cuenta de que cuando empieces a moverte, todo lo que hagas va a tener resultados extraordinarios. BERNARDO STAMATEAS

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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.

Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a este conjunto por extensión (haciendo abuso de la notación), será: lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entender que se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que al considerar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en el conjunto IN, resulta ser una relación de orden. Para hacer referencia a los números naturales no nulos, tenemos un símbolo: IN *  1,2,3,... , es decir IN *  IN  0 .

Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y se presentan ordenados en un una sucesión Algunas características de los naturales son:  Se parte de un elemento especial: el cero.  Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después del 12 sigue el número 1, de partida.  Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.  No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En otras palabras entre dos números naturales existe un número finito de números naturales. Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada e informal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente manera:  Tiene primer elemento: el cero.  Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.  Todo número tiene antecesor y sucesor, menos el cero que sólo tiene sucesor Recta numérica. Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural un punto de una recta en la cual previamente se fijó una escala. Entre dos puntos naturales existen infinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numérica se irá completando con números de otra naturaleza. OPERACIONES DEFINIDAS EN lN. Adición. Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales. Los números que intervienen reciben los siguientes nombres: 372 + 421= SUMANDOS

793 SUMA Página 5 de 94

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Propiedades fundamentales: 

Asociativa: ( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b  c )  ( a  b   c  a   b  c  Para toda terna a, b, c de números naturales se cumple que a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)



Conmutativa: ( a , b )( a , b  IN ) :  a  b  b  a 

Para todo par a y b de números naturales, se cumple que a + b = b +a



Existencia del elemento neutro: Es el 0 (cero) porque a + 0 = 0 + a = a. Esto se cumple para todo número natural a.

Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuela primaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como válidas y las verificaremos con ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes. Multiplicación. Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son números naturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es: a x b = a + a + a + ........ b veces el sumando a La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0. Los números que intervienen en la multiplicación se llaman: 372 x 2= FACTORES

744 PRODUCTO

Propiedades fundamentales : 

Asociativa: ( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b  c )  ( a  b   c  a   b  c 

Para todo a, b, c naturales, es a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) 

Conmutativa: ( a , b )( a , b  IN ) :  a  b  b  a  Para todo a y b de lN, es: a x b = b x a



Existencia del elemento neutro: Es el 1 (uno) porque a x 1 = 1 x a = a . Esto se cumple para todo natural.



Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: ( a , b , c )( a , b , c  IN ) :  a  b   c   a  c    b  c 

Sean a, b, y c números naturales cualesquiera, es (a + b) x c = a x c + b x c Potenciación La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación. an = a x a x a x ... n me indica el número de veces que multiplico el número a Página 6 de 94

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Los números que intervienen en la potenciación se llaman: exponente

an = b base

potencia

En estas escrituras hay algunas convenciones: 

Cuando a es un número natural diferente de cero: a0= 1



Cuando a es un número natural cualquiera: a1 = a

Además recordemos que:  a2 se lee “a elevado a la dos” o “a elevado al cuadrado”  a3 se lee “a elevado a la tres” o “a elevado al cubo” ¿Te preguntaste de dónde aparecen estas expresiones? La primera de ellas, por ejemplo, se explica por el hecho de calcular el área de un cuadrado cuyo lado tiene longitud a; en cuanto a la segunda nos permite expresar el volumen de un cubo con arista de longitud a. Recuerda que cuando un número se representa como una potencia, se dice que está escrito con “notación exponencial”. ORDEN – COMPARACIÓN. En el conjunto de los IN (naturales), la igualdad: a  x  b nos sugiere una condición: a  b , que se lee “ a es menor o igual que b”. En efecto: decimos que un número natural a es menor o igual que otro b, si y solo sí, existe un número natural x, tal que sumado a a da como resultado b.   a , x , b )   a . x .b  IN  : a  x  b  a  b

Cuando comparamos dos números naturales por ≤ estamos diciendo que hay dos posibilidades (excluyentes una de la otra):

a  b o a=b

En el caso a ≤ b, con b ≠ a, también se dice que “a es menor estrictamente que b”. Análogamente a ≥ b, que se lee: “a es mayor o igual que b” nos permite indicar a  b o a=b Ten en cuenta que es lo mismo decir:

a b 6 9

o o

ba 96

Lo importante es que dados dos números naturales a, b se verifica una y sólo una de las siguientes afirmaciones: ab ; a=b (en este caso estamos indicando que a y b representan el mismo número). También se dice que todo número natural siempre se puede comparar por la condición a  b o a  b . Página 7 de 94

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La siguiente lista consigna todas las posibilidades que podemos tener en cuenta. a < b; a > b;

a ≤ b; a ≥ b; a < b; a > b; a ≤ b; a ≥ b; a ≠ b;

a=b

La recta numérica facilita la interpretación de cada una de las situaciones que figuran en la lista, por cuanto nos suministran información referente a la posición relativa de los dos puntos correspondientes. Observando la posición relativa de la representación gráfica de dos números naturales en la recta numérica nos damos cuenta que: Si x< y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números, a la izquierda del correspondiente a y. Si x>y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números a la derecha de del correspondiente a y. Mediante la condición x ≤ y, definimos una relación que es un orden. x

y

Posibles cálculos en IN Sustracción Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia a  b a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.

Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de número natural c, si existe, que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si es a≥b en tonces:

abc  cba Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción: 3 7 2 -

Minuendo

1 5 2

Sustraendo

2 2 0

Resta o diferencia

¿Por qué nos salteamos la resta a la hora de definir las operaciones? Porque la sustracción no es una operación dentro del conjunto de los naturales, aunque sí es un cálculo. ¿Cuál es el resultado de restar 5 – 8? ¿La cuenta tiene solución si trabajamos con los números naturales? Sabemos que la suma de dos números naturales existe y siempre es única; lo mismo podemos afirmar del producto entre dos números naturales. Sin embargo no pasa lo mismo cuando hablamos de la resta entre números naturales como pudimos observar en el ejemplo mencionado. Es por ello que no podemos decir que la resta en una operación sino sólo un cálculo. En síntesis: para hablar de una operación es necesario que el cálculo este definido para todo número que pertenezca al conjunto numérico en el que estamos trabajando. Aunque no sea una operación en el conjunto IN, hay que saber calcular restas y manejar el vocabulario que corresponde.

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Observa el análisis de la suma 3+4 y la diferencia 7- 4: 3

+

4

=

7 la suma o adición.

Los términos

7

-

4

la diferencia o resta. =

3

Por todo lo dicho resulta que expresiones como:

a  x  b, con a y b de IN,

Llamadas ecuaciones aditivas en x, tienen a veces, su conjunto solución vacío. Ejemplo:1) x+1200=1720. ¿Cuál es el valor de x? +1200 x

1720 -1200

2) x+8=6. ¿Cuál es el valor de x? Ninguno. S   División. Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, se llama cociente a/b a un número natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica por el divisor.

Esto es: Recordemos:

a / b  c significa que a  c  b

divisor

dividendo

3251 051 resto

8 406

3

cociente

El cociente a/b también es posible expresarlo a : b o Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales. División entera – división exacta División exacta es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero. Ejemplo: 12 :4 =3 División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menor que el divisor. Página 9 de 94

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Esto es:

Si D

d

r

c

D  d c  r

y

0rd

El genio es un uno por ciento de inspiración, y un noventa y nueve por ciento de transpiración. Thomas Alva Edison (1847-1931).

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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Sólo haremos una mención superficial respecto de estos números. Si bien los números enteros recién fueron usados por los matemáticos con la misma categoría que los números naturales en el siglo XVlII, te lo presentamos en segundo término porque para encarar el tema de conjuntos numéricos elegimos partir de los números naturales y por sucesivas ampliaciones llegar a los enteros, decimales y racionales. ℕ⊂ℤ⊂

⊂ℚ⊂ℛ

   

0

Para designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por los enteros positivos ( Z  ), el cero y los enteros negativos ( Z  ).

 

Por extensión, y haciendo abuso de la notación, este conjunto será:

  3; 2; 1;0; 1;2; 3; 4;...

Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos el signo “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismo ocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un número es positivo el signo no se coloca. Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo:

a  x  b con a  b . Ejemplo: 6  x  4 ; dentro de los naturales 4  6  no tiene solución, sin embargo en el conjunto de los enteros es 4  6  2 Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores al nacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa; temperaturas bajo cero etc.

Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operaciones válidas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características. A las propiedades conocidas, se le agregan: Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del número y su opuesto es cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4 es 4, entonces (-4) + 4 = 0 Con esta última propiedad se ha ganado una operación: la sustracción. Características:  No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito.  No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o discreto.  Todo número tiene antecesor y sucesor.  Todo número tiene su opuesto.  El cero es negativo y positivo a la vez. Recta numérica. En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y los números enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada. Página 11 de 94

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-3

-4

-2

-1

0

1

2

3

4

Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero. La distancia que existe entre un número y el cero se llama módulo o valor absoluto. Por lo tanto los números opuestos tienen el mismo módulo. Para expresar el módulo de un número se utilizan las barras de valor absoluto. Ejemplo:

l3l=3

y

l –3 l = 3

El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Adición. Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:  Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus módulos y al resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos. Ejemplos: 12 + 4 = 16 -12 + (-4) = -16  Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo del que tiene el sumando de mayor valor absoluto. Ejemplos: 15 + (-3) = 12 -15 + 3 = -12  La adición en Z cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto. Propiedades de la adición Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera la a + b = b + a suma.

Propiedad asociativa:

Dados dos o más números enteros la suma final no varía si se a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c) reemplazan varios sumandos por su suma ya efectuada.

Ley del neutro

elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que a + 0= 0 + a = a sumado a cualquier número entero, no altera la suma. Página 12 de 94

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Ley del opuesto

elemento Todo elemento del conjunto Z, admite un opuesto, tal que sumado a + (-a)= (-a) + a = 0 al número dado, da por resultado cero.

Multiplicación. Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos:  Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.  Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el resultado es negativo.

  

  

  

   

La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción. (Ver cuadro de propiedades.) Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa

El orden de los factores no a . b = b . a altera el producto.

Propiedad asociativa:

Dados dos o más números enteros el producto final no varía si se reemplazan varios a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c) factores por su producto ya efectuado.

Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento uno que neutro multiplicado a cualquier 1 . 0= 1 . a = a número entero, no altera el producto. Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que absorbente multiplicado a cualquier a . 0= 0. a = 0 número entero, da por resultado cero. Propiedad El producto de un número distributiva de la entero por una suma d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c multiplicación algebraica, puede ser respecto de la obtenido calculando la suma (a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d suma y la resta de los productos de cada término de la suma por el factor considerado.

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Sustracción. La sustracción no es más que un caso particular de la adición.  Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto. a – b = a + (- b)

Ejemplos:

200 – (-150) = 200 + (+150) =350

- (+150) = 100 + (-150) = - 50

Suma algebraica. Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones. Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo “+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-” Ejemplos:

-17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 = (21 + 3 ) – (17 + 8 +12) = 24

-

37

= -7

Si un mismo número está sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar. Supresión de paréntesis. Recuerda :  Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos que están encerrados en él. a) 2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4 2+ 7 = 13 - 4 9 = 9  Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos los términos que están encerrados en él. b) 12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 4 12 - 7 = 1 +4 5 = 5 Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando las mismas reglas de supresión de paréntesis. POSIBLES CÁLCULOS CON ENTEROS División. Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo que corresponde según la regla de los signos de la multiplicación.

 : 

 : 

 : 

 :  

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Operaciones combinadas. Para resolver cálculos con operaciones combinadas debemos respetar este orden. (+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 = (-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 = (-30) -30

+

(-3) 3

- 3+4= - 3 +4=

-30

+ 4 = -26

 Se separa en términos.  Se resuelven las operaciones indicadas entre paréntesis.  Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.  Cuando dos términos son números opuestos, se pueden cancelar.  Se resuelven las sumas y las restas.

Potencias de números enteros. Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales se cumple en el conjunto de los enteros. Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ello presentamos distintas situaciones. 1) Si a es un número estrictamente positivo, entonces a x a x a x.....x a , n veces, se escribe an

2) Si a es un número estrictamente negativo, entonces  a  x  a  x  a  x.....x  a  , n veces, n

 

se escribe a . La base es  a  y el exponente es n.

3) Si a es 0 y n>0, entonces: 0n  0 .

4) Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0  1

5) Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces a1  a Regla de los signos:  si la base es positiva el resultado es positivo.  Si la base es negativa el resultado depende del exponente: - si es par el resultado es positivo. - si es impar el resultado es negativo.

+par = + -

par

+impar = + -

=+

impar

Para tener en cuenta:

 2 2  ( 2) 2  4  4

Si una potencia tiene base negativa, esta se debe encerrar entre paréntesis.

Radicación. Es la operación inversa de la potenciación. Índice

n

a  r

raíz

radicando

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=-

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Regla de los signos:  Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es positiva.  Si el índice es par y el radicando es negativo, no se puede calcular.  Si el índice es impar, la raíz resulta del mismo signo del radicando par impar

par

 

impar

 

  no tiene solucción  

Recuerda: cualquier raíz de cero es cero: n 0  0

La mejor forma de librarse de un problema es resolverlo.

Brendan Francis

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES

En este apunte vamos a tratar sobre los números Decimales y sus operaciones, es decir vamos a tratar nociones referentes al Sistema de numeración decimal. Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntos numéricos.



ID

IN



0

1 2

-1 -3 -15 0,2

-

5 3

 7 0,3 6

-1,5

2 7

5

-26

-0,333

25,4 3,25

 1,26

El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z IDQ Donde:  IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; … 

Z (del alemán Zahl) es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

 ID es el conjunto de los números decimales que como ya nos explayaremos más adelante

2 5

3 2

acepta dos formas de escritura, la posicional y la fraccionaria … ;0,4;  ; 1,5;0;1; 5

5 3

 Q es el conjunto de los racionales :  ; 0;

 1  4 ; 0, 3;  ; 1, 26; 3... 2 4 Página 16 de 94

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 A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0, 3 y 0, 3 que justifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma es un número decimal?

¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la coma. Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enteros a, b con b≠0. Veamos las siguientes situaciones:

105 35 0

5

10

20

2, 0

0

20

20

7

15 4

1,25

7

0,666…

2

105=7 x 15 15 es el cociente de 105 por 7. Se escribe 105:7=15 5=4 x 1,25 1,25 es el cociente de 5 por 4. Se escribe 5: 4= 1,25 La división de 2 por 3 “no se termina”. El cociente de 2 por 3 no es un decimal. 0,666 es un valor aproximado de ese cociente.

Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se buscó el número x, tal que b  x  a . Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al resto cero. Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID. Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se pueden obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nos impide que los escribamos con coma. Así por ejemplo

6  6, 0  6, 00  6, 000.... OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NÚMEROS DECIMALES Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma d  n 10 p donde n y p son números enteros. Si p es positivo, el decimal d  n 10 p es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo:  200 es un entero pues 200  2  102 , o –3 es un entero pues 3  3  100

Si p es negativo, el decimal d  n 10 p es un decimal, por ejemplo:

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 0,25 es un decimal pues 0,25  25  102  25 

1 1  25   0,25 , 2 100 10

 como lo es también 2,5 pues 2,5  25  101  25 

1 1  25   2,5 1 10 10

Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, los algoritmos desarrollados en  , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente a ID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la multiplicación; por lo tanto todo lo que se sabe de  , se aplica naturalmente a ID. También cabe destacar la similitud entre IN y , por lo que lo aprendido en IN, se extiende a . La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte del numeral de un número hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y un valor relativo que depende de su posición. Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos de ellas: Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1 Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100 Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:  Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del orden inmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del orden inmediato inferior.  Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del orden inmediato inferior. Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escritura posicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue la parte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del número decimal.

134,256 Parte entera

Coma

Parte decimal

¿Cuáles son las unidades de los diversos órdenes decimales? Algunos son: DÉCIMOS

Se escribe 0,1

CENTÉSIMOS

Se escribe 0,01

MILÉSIMOS

Se escribe 0,001

10 10

Ejemplo CENTENAS DECENAS UNIDAD 1

3

4

1 10 1 100 1 1000

10

DÉCIMOS CENTÉSIMOS MILÉSIMOS ,

2

5

6 Página 18 de 94

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Escritura multiplicativa (mixta): 134,256  1  100  3  10  4  1  2  0,1  5  0,01  6  0,001

Escritura expandida 134,256  1  102  3  101  4  100  2  10 1  5  10 2  6  10 3

a con a, b enteros y b  0 . Nos b explayaremos sobre esta forma de escritura cuando hablemos del conjunto de los racionales.

Los números decimales también admiten representación fraccionaria

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Adición La suma o adición en los , como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lo tanto tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,  es asociativa.  el cero es elemento neutro para la adición,  es conmutativa. Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismas propiedades que en este conjunto numérico. Propiedades de la adición Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma.

a+b=b+a

Propiedad asociativa:

Dados dos o más números decimales la suma final no varía si se reemplazan varios sumandos por su suma ya efectuada.

a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c)

Existe en el conjunto ID, el elemento cero que sumado a cualquier número entero, no altera la suma.

a + 0= 0 + a = a

Todo elemento del conjunto ID, admite un opuesto, tal que sumado al número dado, da por resultado cero.

a + (-a)= (-a) + a = 0

Ley del elemento neutro

Ley del opuesto

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Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que cualquiera sean los decimales a y b,

a  b  a   b  Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números uno debajo del otro de manera que los diversos órdenes de unidades se correspondan, esto se consigue haciendo que las comas de los distintos números queden en columna. Por ejemplo: 1 3 2 ,

5 3

+ 9 , 4 2 ,

8 3 3

Intuitivamente aceptamos que la sustracción de decimales siempre existe y su resultado es único, por lo que la sustracción en decimales es una operación. Multiplicación De igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porque cumple con las mismas propiedades.

Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: se multiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales como tengan los factores. Por ejemplo: 0,3  12  3, 6 La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en por lo que operamos de la misma manera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicar decimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar: Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.

Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo. Ejemplo: 0,3  12  3, 6

 0,3  2,5  7,5

Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación en enteros. Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Propiedad asociativa:

Dados dos o más números decimales el producto final no varía si se reemplazan varios factores por su producto ya efectuado.

Ley del elemento neutro

Existe en el conjunto ID, el elemento uno que multiplicado a cualquier número entero, no altera el producto.

a.b=b.a a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)

1 . 0= 1 . a = a Página 20 de 94

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Ley del elemento Existe en el conjunto Z, el elemento cero que multiplicado a a . 0= 0. a = 0 absorbente cualquier número entero, da por resultado cero. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta

El producto de un número decimal d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c por una suma algebraica, puede ser obtenido calculando la suma de los productos de cada término de (a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d la suma por el factor considerado.

El trabajo con la potenciación y la radicación y sus propiedades se trabajaran con el conjunto de los racionales. Un elemento importante a considerar en la construcción de los números decimales, es que están asociados con el concepto de medida, así como los números naturales lo están con la noción de contar. Tanto en uno como en el otro se trata de determinar la cantidad de veces que un objeto dado está presente dentro de un conjunto de objetos similares. Pero hay una diferencia. Contar está relacionado con el campo de los objetos discretos, mientras que medir lo está con el campo de los objetos continuos. En síntesis debe comprender que medir es la estrategia desarrollada para contar lo continuo, por lo tanto contar y medir están íntimamente relacionados y que, en el hecho de medir, aparecen conceptos como “precisión”, “truncamiento”, “aproximación”, “encuadramiento” que son necesarios ya que la media absoluta, sin error no existe. Todo aparato de medición y el ojo humano provocan errores insalvables y acotables. ORDEN – COMPARACIÓN – VALOR ABSOLUTO Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.  Todo número decimal tiene su lugar en la recta numérica. (Más adelante te mostraremos un procedimiento para ubicarlos)  Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es negativo su opuesto es positivo.  0 es el único decimal que es igual a su opuesto.  Recuerda que se llama “valor absoluto” o “módulo” de un número a, y se expresa “| |” a la distancia que existe de dicho número al cero.  El valor absoluto de cero es 0: | | =

Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con los números enteros: (1) Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será el mayor. Ejemplo: 12,5 < 18,87

65,125 > 50, 235

(2) Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando atención a las unidades de distinto orden. Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50 –0,150

-1,5 < –1,18

10,50 < 10,8

22- Ordenando racionales. a) Copia y completa con o = según corresponda.

b) Escribí las siguientes expresiones completando cada afirmación con un número racional de modo que resulte verdadera.

c) ¿Cuántos números racionales podés elegir en cada caso? Responde caso por caso. 23- Escribe V o F cada afirmación. Justifica. a)

2 es un número racional. …………

b)



c)

-3 es un número natural. ………..

d)

5 es un número racional ………..

e)

Algunos números enteros son racionales ………..

f) g)

Todo número racional puede expresarse como fracción ……….. 18,6 es un número racional …………

h)

ˆ 1,3

3 es un número racional ……….. 4

es un número decimal ………….

24- ¿Todos estos dibujos representan

1 ? Explica tu respuesta. 4

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25- Marca con una cruz cuáles de las siguientes fracciones son decimales

26- Marca con una cruz cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números decimales 5 ; 4

5 ; 10

2 ; 3

12 ; 4

44 ; 6

12,5 ;

27- Expresar los siguientes números en escritura posicional 6 14  .................  ................. 100 1000 19 218  .................  ................. 10 100

 0,3 ;

8

28- Escribir en forma de fracción a) 59,73 = ………………………

b) 45,9= ………………………

c) 0,37 = ………………………

d) 0,0037= ………………………

29- Calculando con números racionales.

a) Fijate que a y b tienen los valores indicados en las primeras columnas. Para completar la última fila elegí vos un valor. b) Observa el cuadro y responde en tu carpeta: i. ¿Qué operación da siempre el mismo resultado que a – b? ii. ¿Cuál es el resultado de sumar 0 a un número racional? iii. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el minuendo es 0? iv. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el sustraendo es 0?

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30- Al repartir 6 pizzas en partes iguales entre 4 amigos uno decía que a cada uno le tocaba

6 ; 8

3 1 1 y algunos decían que le tocaba y . ¿Quiénes tienen razón? 4 2 4 1 1 31- Con una botella de 2 y , ¿Cuántas botellitas de se pueden llenar? 4 4 1 32- El café se vende en paquetes de , ¿cuántos paquetes hay que comprar para tener medio 4

otro decía

kilo?

33- Calcular: a) 3,6 + 4,7 = c) 9,3 + 5,7 + 3,2 =

b) 43,6 + 39,7 + 23,86 = d) 0,7 + 0,56 =

34- Efectuar: a) 4,7 - 3,2 =

b) 9,36 - 4,59

c) 45,6 - 23,80=

35- ¿Cuál es la suma de cuatro números si el primero es 538,243 y cada uno de los siguientes es igual al anterior más 23,86? 36- De un depósito con agua se sacan 36,6 litros y después 23,86 litros; finalmente se sacan 9,6 litros. Al final en el depósito quedan 239 litros. ¿Qué cantidad de agua había en el depósito? 37- Hallar las fracciones irreducibles de los siguientes decimales. a) 0,64

b) 0,47

c) 4,5

d) 6,3

e) 5,8

38- Hallar las fracciones irreducibles de las siguientes expresiones. 

a) 0,24

 b) 0,25



c) 0,46

 d) 2,34

 4,478

39- Si solo tenés monedas de $1; de 50 centavos; de 25 centavos; de 10 centavos y de un centavo, escribí con cuáles formarías la suma de $3,87. ¿Cómo podés pagar la misma cantidad si no tenés monedas de $1? Si hay más de una posibilidad, escribe al menos tres diferentes. 40- ¿Qué número se forman con un entero, 25 décimos y 4 centésimos? 41- Buscá dos fracciones entre qué?

3 4 y . ¿Podrías haber encontrado más? ¿Cuántas más? ¿Por 5 5

42- Armá el número 4,035 con los valores 0,1; 0,01; 0,001. ¿Cuántos de cada uno necesitas? ¿hay una sola manera de responder a la pregunta? Explica por qué. 43- Sin hacer la división escribí dos fracciones no equivalentes que puedan expresarse como una expresión decimal finita, y otras dos con una expresión decimal periódica. 44- Nicolás dice que el siguiente de 2,325 es 2,326. ¿Tiene razón? ¿Por qué? 45- Intercala seis números racionales entre los siguientes valores:

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a) 1,089 y 1,1 ........................................................................

b) 2,21 y 2,211 ........................................................................  c) 1,6 y 7 ........................................................................

46- Indica entre que números enteros consecutivos se encuentran los siguientes números. 7  ....... 3  .......  3, 4  ....... ....... 

9  ....... 2 12 .......    ....... 5 ....... 

6  ....... 5 22 .......   ....... 4 .......  

47- Los valores que aparecen en el siguiente cuadro se refieren a un grupo de 300 personas que fueron encuestadas sobre temas diversos. Completa los datos que faltan. Expresión coloquial

Una de cada cuatro personas votarán al candidato Astuto. ……………………………………………………..… mujeres. ……………..…. de cada cuatro personas probaron la bebida Deliciosa Una de cada ………………. No saben a quién votarán. ……………………………………………………….... usan celular. Todos tienen celular.

Fracción del total 1 4 1 2

porcentaje

Cantidad de personas

25%

75

75% 10% 60

2 de cada 10 personas utilizan internet. 48- En cada ítem, pinta con el mismo color las expresiones que son equivalentes. A La mitad de x

50% de x

B

El doble de x

La quinta parte de x 20% de x

49- Escribe la fracción que corresponde a cada letra de la recta numérica. m a c d -1

0

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MARCO TEÓRICO

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos. (Aristóteles)

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NOCIONES GEOMÉTRICAS PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO Punto, recta, plano y espacio son los objetos matemáticos que consideramos inicialmente. Se trata de términos no definibles, son ideas o conceptos primitivos. La matemática no se preocupa por definirlos, nos indica simplemente cómo se usan y cuáles son sus propiedades y relaciones. El punto Ya se dijo que es imposible establecer una definición de punto en el sentido geométrico. Sin embargo, como estamos acostumbrados a asociar las cosas físicas con las ideas geométricas, vinculamos la idea de punto con la de la punta del alfiler, de una aguja o de un lápiz. Convendremos en representar los puntos por la marca que deja la punta del lápiz o de la tiza, por una pequeña cruz o por un círculo pequeño, colocando junto a cada uno, una letra minúscula cursiva o imprenta y así no tendremos dificultades para nombrarlos, sea al hablar o al escribir. Ejemplo: .a

xb

punto a

punto b

El espacio El conjunto de todos los puntos geométricos es el espacio. El concepto de espacio es no definido. Se trata de otra abstracción lo mismo que el punto. Como existen tantos puntos como se quiera, el espacio resulta un conjunto infinito de puntos. El plano Los puntos del espacio están agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos. Si bien podemos afirmar que “Plano es un conjunto infinito de puntos”, no debemos interpretar esto como una definición. Podemos materializar un plano a través de una hoja de papel, la cara del pizarrón, el piso, dando la idea de que continúa en toda dirección y sentido. El plano geométrico es ilimitado, es decir no tiene borde o frontera Cuando necesitamos representar un plano, dibujamos una porción de él con un borde o frontera irregular.

 plano Observamos que hemos designado al plano utilizando una letra griega. Las letras griegas que utilizaremos frecuentemente  alfa  épsilon  beta  omega  gamma  pi  delta Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos la necesidad de representar algunos puntos de un plano. Página 41 de 94

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Gráficamente, la situación quedará expresada así:

*c *b

 Interpretamos que: b y c son dos puntos cualesquiera que pertenecen al plano . Abreviadamente, es conveniente emplear estas expresiones: En símbolos: c  “ c pertenece a  “ o “ contiene a c “ b   “ b pertenece a  “ “ o “ “ contiene a b “ Si indicamos a  b estamos significando que nos referimos al mismo punto. ab

se lee

“a coincide con b”

En cambio si indicamos que los puntos c y d, no coinciden;

anotaremos

c ≠d.

LA RECTA A su vez, podemos agrupar los puntos de cada plano o del espacio, en otros conjuntos parciales que denominaremos RECTA. Una materialización de una recta está dada por un rayo luminoso o el borde de una regla. Pero, una recta geométrica se extiende sin límite en ambos sentidos. No comienza ni termina. Si deslizamos la punta de un lápiz sobre el papel siguiendo el borde de una regla, podemos dibujar trozos de recta. Convengamos en designar las rectas generalmente con letras mayúsculas imprenta.

R

Q recta Q recta R

Establecimos al comienzo que hay infinitos puntos. Ahora decimos que las rectas son conjuntos infinitos de puntos. Conclusión: hay infinitas rectas Si en algunas ocasiones necesitamos representar algún punto de una recta visualizaremos la situación así:

R

● a

● b

a y b son puntos de la recta R En símbolos: “a  R“ y “ b  R” A la recta R dibujada también podemos anotar Rab (se lee recta R que contiene a los puntos a y b ) Tengamos presente que la expresión R  S está indicando que se trata de la misma recta. Página 42 de 94

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Para R ≠ S significa que son distintas es decir, existe al menos un punto que pertenece a R y no a S. Prestemos atención a las maneras que hemos convenido en utilizar para notar las figuras. En otros textos tal vez encontremos otra forma de hacerlo. Son convenciones por eso nos pondremos de acuerdo. Nombremos

con:

Los puntos Los planos Las rectas

letras minúsculas imprentas o cursivas. letras griegas. letras mayúsculas imprentas.

RELACIONES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS A continuación consideraremos algunas relaciones importantes que vinculan los puntos, las rectas y los planos. Ubiquemos el borde de la regla de manera de poder trazar todas las rectas posibles entre dos puntos a y b distintos. ● a

R

● b

Solamente podemos dibujar una recta. Probemos con otros pares de puntos distintos. La conclusión es siempre la misma y muy importante: Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta que los contiene. También se enuncia: Dos puntos distintos determinan una recta a la que pertenecen. Si a  b y b  R también diremos que R pasa por a y por b. Diremos que 3 o más puntos están alineados sí y sólo sí pertenecen a una misma recta. Ejemplo: ● c

● b

R

● a

a, b y c están alineados. a, b y d no están alineados

● d

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Existen otras líneas que no son rectas, a ellas las llamaremos curvas y se clasifican en:

SIMPLE

CRUZADA

ABIERTA

CERRADA

Entre todas las curvas la recta es abierta simple. Es corriente decir que una recta está incluida en un plano. Con la palabra incluida admitimos que la recta es una parte del plano, es decir todo punto de la recta pertenece al plano. Se puede anotar:

R

Sea la recta R y el plano :

 T

Diremos que dos o más rectas son coplanares sí y sólo sí están incluidas en un mismo plano. De acuerdo con el dibujo anterior: R y T son coplanares. Encontramos ya la manera “intuitiva” de distinguir una superficie plana de cualquier otra superficie. Siempre, un plano incluye a toda recta determinada por cualquier par de puntos distintos que pertenecen a él. En otras superficies no ocurre lo mismo. ● b ● a

R

Estas superficies no planas también son conjuntos de puntos. Llamaremos figura a todo conjunto de puntos. Recordemos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, podemos concluir: Dos figuras son iguales si y sólo si tienen los mismos puntos.

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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS COPLANARES Si A y B son rectas incluidas en un plano , pueden presentarse únicamente las situaciones indicadas a continuación: B A

A

a

A

B

A

(1)

(2) B

B

A // B

(3) A=B

Que se puede resumir así: (1) A y B tienen un único punto en común, entonces las llamamos secantes. (2) A y B no tienen ningún punto en común, entonces las llamamos paralelas disjuntas. (3) A y b tienen todos sus puntos comunes, entonces las llamamos paralelas coincidentes. Concluyendo: (1) Dos rectas coplanares son secantes si y sólo si tienen un único punto común. En símbolos de acuerdo con el gráfico:

(2) (3) Dos rectas coplanares son paralelas si y sólo si no son secantes, es decir no tienen ningún punto común (paralelas disjuntas) o tienen todos sus puntos comunes (paralelas coincidentes). En símbolos de acuerdo con el gráfico:

Para el trazado de paralelas: Con una regla y una escuadra, como se observa en la figura, podemos dibujar rectas paralelas.

A A`

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POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO Dado dos planos cualesquiera  y  puede ocurrir:

(1)

(2)

 R

( 3)









( 1 )  y  tienen en común sólo los puntos de una recta, son planos secantes. ( 2 )  y  no tienen puntos en común, son planos no secantes o paralelos disjuntos. ( 3 )  y  tienen todos sus puntos comunes, son planos no secantes o paralelos coincidentes Es decir: Dos planos son secantes si y sólo si tienen en común únicamente los puntos de una recta llamada recta de intersección. En símbolos (de acuerdo con el gráfico):

Dos planos son paralelos si y sólo si no son secantes, es decir no tienen ningún punto en común (paralelos disjuntos) o tienen todos sus puntos comunes (paralelos coincidentes) En símbolos (de acuerdo con gráfico): En símbolos de acuerdo con el gráfico:

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dadas dos rectas del espacio, existe la posibilidad de que estén incluidas en un mismo plano o no. Cuando están incluidas en un mismo plano pueden cortarse como la recta A y B de la figura, o ser paralela como B y A. Pero si no son coplanares como C y D, por ejemplo, ni son secantes ni son paralelas, a estas rectas del espacio no incluidas en un mismo plano las llamaremos rectas alabeadas.

A

D B

C



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Por consiguiente, las posiciones relativas de dos rectas cualesquiera del espacio son las siguientes: Rectas paralelas. Rectas secantes. Rectas alabeadas. Paralelismo de recta y plano Dada una recta A y un plano  puede ocurrir: 1) Que la recta A y el plano  se corten en un único punto. Decimos que A es secante con el plano.

A



2 ) Que la recta A esté incluida en  . Diremos que A es paralela a .



A

3 ) Que la recta A y el plano  no tengan ningún punto común. Diremos que la recta A es paralela al plano .

A 

Subconjuntos: Recordando que un conjunto A es subconjunto o parte de otro B si y sólo si todos los elementos de A pertenecen a B. Diremos: Una recta es un subconjunto de un plano. Un plano es un subconjunto del espacio. Las figuras son subconjuntos del espacio. Página 47 de 94

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El conjunto A del gráfico es una figura plana, porque todos sus puntos pertenecen a un mismo PLANO. Las figuras planas son subconjuntos del plano. Para ello podemos tener en cuenta tres situaciones:

-

-

considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior (zona rayada) o al borde o frontera (línea continua), FIGURA CERRADA.

-

considerar el conjunto formado únicamente por los puntos del borde, FRONTERA. considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior solamente, FIGURA ABIERTA. A

El conjunto B dibujado es una figura del espacio. Todos sus puntos no pertenecen a un mismo plano. Las figuras del espacio no son subconjuntos de un plano, son subconjuntos del espacio.

B

Sobre figuras podemos recordar que dos figuras son iguales si tienen los mismos puntos. Así la figura F1

y

F2:

F1

F2

Son distintas pues no tienen los mismos puntos.

F1  F2

En cambio diremos que F1 es congruente con F2 y anotemos F1  F2. Podemos expresar que una figura A es congruente con otra B si y sólo si existe un movimiento que a A le hace corresponder B (intuitivamente al superponerlas coinciden). Ejemplos de figuras congruentes: Son los 4 lados de un cuadrado (que no son iguales), las 6 caras de un cubo (que no son iguales).

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Profesoras: María Loreto Calot, Silvina Fondere y Flavia Minatelli

La recta como conjunto ordenado. Consideremos una recta R y los puntos a, b, c, y d del gráfico. R ● d

● c ● b ● a

Es evidente que podemos relacionar dichos puntos por la relación “  “ (es anterior a) así: a  b,

a  c,

a  d,

b  c,

b  d,

c  d.

La recta es un conjunto de puntos totalmente ordenado por “  “. De acuerdo con lo anterior: Si

xR

e

yR

se cumple una y sólo una de estas afirmaciones:

x  y

( x es anterior a y )

x  y

( x es posterior a y )

x  y

( x es coincidente con y )

Si los puntos de una recta están ordenados, sólo pueden sucederse en uno de los dos sentidos: de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda. Relación entre Dados los puntos p y q de la recta R, siendo “ p “ anterior o coincidente con “q” (p  q) diremos que el punto “ a “ de R está entre p y q si y sólo si se cumple que “a” es posterior o coincidente con “p” (p  a) y “a” es anterior o coincidente con “q” (a  q). En símbolos:

Sean p, q, a puntos de la recta R: p  a  q 

p  a  a  q.

Ejemplo. R

● p

● a

● b

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Otras consideraciones: En la recta no existe ni primero ni último punto. Esto significa que dado un punto existen infinitos otros que le preceden e infinitos que le siguen. Esto expresa que la recta es un CONJUNTO ABIERTO. Por otra parte dados dos puntos distintos, existen infinitos puntos entre ambos, es decir la recta es un conjunto DENSO.

Segmento Dados los puntos a y b de una recta R tal que “a“ es anterior o coincidente con “ b “

(a b)

Llamaremos segmento de extremos “a“ y “b“ al conjunto formado por los puntos de R que están entre “a“ y “b“. En símbolos: Gráficamente:

Sean los puntos a y b de R: Seg. ab=ab   x / x  R  a  x  b R

a R, p R, b  R. ● p

● a

● b

Los puntos a y b son los extremos del segmento. Los infinitos puntos que están entre “a” y “b”, distintos de “a” y “b”, son los puntos interiores del seg. ab. Puede ocurrir que a = b. A este segmento especial lo llamaremos segmento nulo. En símbolo es: Seg. aa=aa

Si un segmento es nulo es un conjunto unitario (formado por un solo punto). Segmentos colineales Llamaremos segmentos colineales a los que están incluidos en una misma recta. Con respecto al gráfico: A

● a

● b

● c

● d

● e

● f

B

ab y cd son colineales pues, ab  A y cd  A.

ef es colineal con ef pues, ef  B.

ab y ef no son colineales pues, ab  A y ef  B y A  B. Página 50 de 94

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Segmentos consecutivos Dos segmentos son consecutivos si y sólo si tienen un extremo común y ningún otro punto común. . Con respecto al gráfico: b c

a

p

ab y bc son consecutivos pues, ab  bc  b .

n

no son consecutivos pues tienen un punto común pero no es extremo de ambos. m

q

Dados tres o más segmentos distintos tomados en un cierto orden, diremos que son consecutivos si y sólo si cada uno es consecutivo al anterior, excepto el primero, por su extremo libre.

b a

c d e

ab , bc , cd y de son consecutivos

Poligonal

Se llama poligonal a la FIGURA UNIÓN de segmentos consecutivos no colineales. . Con respecto al gráfico

d

a

b

ab  bc  cd  poligonal abcd

c

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Tipos de poligonales: ABIERTA

CERRADA

SIMPLE

CRUZADA

Dada una poligonal cerrada simple incluida en un plano quedan determinadas tres partes del plano : a) El borde o frontera ( poligonal cerrada simple ) b) El conjunto de los puntos interiores c) El conjunto de los puntos exteriores.

Borde Región interior Región exterior

El conjunto de los puntos interiores es una figura abierta. El conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior o los de la frontera es una figura cerrada.

Figura convexa Una figura es convexa si y sólo si para TODO par de puntos distintos que pertenecen a ella el segmento que ellos determinan está incluido en ella. Ejemplos gráficos F

F es una figura convexa

● p

R

● q

R es una figura convexa

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Una figura es cóncava si y sólo si EXISTE al menos un par de puntos distintos que pertenecen a la figura y el segmento que ellos determinan NO está incluido en la figura.

Ejemplos gráficos: A

B

p

D

p

q

p

q

q

A es cóncava

B es cóncava

D es cóncava

Semirrecta Dado un punto “o”, que pertenece a una recta R y los puntos “a” y “b” de R, siendo “a” anterior a “o” (a  o) y “b” posterior a “o” (o  b) llamaremos, SEMIRRECTA DE ORIGEN “o” QUE CONTIENE a “b” ( ) al conjunto formado por los puntos de R posteriores o coincidentes con “o” y SEMIRRECTA DE ORIGEN “ o “ QUE CONTIENE A “a” ( )al conjunto formado por los puntos de R anteriores o coincidentes con “o“. En símbolos:

Sean o, a, b de R, a