UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Instituto de Ciencias Básicas Carrera: Ingeniería Civil

ALGEBRA

Profesora: Isabel Arratia Z.

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TRIGONOMETRÍA PLANA

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La palabra trigonometría proviene del griego: trigom que significa triángulo y metra que significa medida. De ahí que la trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, es decir, medidas de los triángulos. La trigonometría se desarrolló a partir de los esfuerzos hechos por avanzar en el campo de la astronomía. El matemático y astrónomo Hiparco (180-125 a.C.) es considerado el padre de la trigonometría, pues encontró algunas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Contribuyeron también en el tema Ptolomeo y Aristarco de Samos.

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En el año 1600, Pitiscus (1561-1613) publica en la Universidad de Heidelberg, Alemania, un texto con el título Trigonometría en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. Los cálculos trigonométricos tuvieron un mayor desarrollo gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617) quien inventó los logarítmos. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía.

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Originalmente, la trigonometría desarrolló la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Se definen las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0°, 180°]. Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos, sino que también responde al interés de describir ciertos fenómenos físicos: el movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, la elasticidad. Para lograr esto, es necesario ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de variable real, que es lo que haremos en esta unidad. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Ángulos y sistemas de medición Un ángulo está formado por un rayo OA fijo y un rayo OB móvil que gira alrededor de O. En cada posición de giro, se determina el ángulo AOB. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la medida del ángulo se considera positiva; si el giro es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida del ángulo es negativa.

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Las unidades habitualmente usadas para medir los ángulos son los grados sexagesimales y los radianes. Un grado es la medida del ángulo AOB que se genera cuando la rotación, en el sentido de las manecillas del reloj, es de la vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 segundos. Un radián es la medida del ángulo AOB que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. En consecuencia, una rotación completa subtiende un arco igual en longitud a . Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Consecuencia de la igualdad Fórmulas de conversión: 1° =

rad

son las siguientes

1 rad =

Ejercicio: a)  Convierta a grados los ángulos dados en radianes

b)  Convierta a radianes los ángulos dados en grados

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Recuerde que cuando se trabaja con calculadora hay que poner atención a la configuración de ella. Si se trata de Class Pad 300, se procede así: En el Menú escoger Principal y tocar Settings, Configuración y Formato Básico.

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Las funciones circulares o trigonométricas Se llama círculo unitario (o círculo trigonométrico o círculo goniométrico) a aquel cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio es la unidad. En este círculo denotemos por C a la circunferencia unitaria.

Si t es un número real, consideremos el ángulo de t radianes en posición normal, esto significa que su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su vértice está en el origen. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Para cada número real t, existe un único punto P(x, y) que es la intersección de la circunferencia unitaria C con el lado terminal del ángulo de t radianes. En estas condiciones se definen las coordenadas de P como, x = cos t,

y = sen t

C

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Una consecuencia inmediata de la definición anterior es el

Teorema de Pitágoras: Además, surgen de inmediato los valores de seno y coseno de ciertos ángulos, por ejemplo,

sen 0 = 0, cos 0 = 1

sen

= 0, cos

¿Cuál es el valor de seno y coseno para

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= -1 ?

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Ejercicio: Usando el Teorema de Pitágoras y con la ayuda de las siguientes figuras, complete los valores de la tabla:

t =30°

Modo DEG

0°

t =60°

t =45°

30°

45°

60°

90°

180° 270° 360°

sin t cos t Modo RAD Verifique lo anterior con su calculadora Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Las funciones seno y coseno Hemos visto que para cada número real t, existen únicos valores (x, y) = (cos t, sen t) en la circunferencia unitaria C. Este hecho nos permite definir las funciones seno y coseno, ambas con dominio el conjunto de los números reales. Además, como , ellas tienen recorrido [-1, 1]. Gráfico de la función seno Observe que, sen t = 0 , con k número entero

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El gráfico lo puede obtener con su calculadora: El gráfico se apreciará mejor al escoger Resize o Zoom

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Gráfico de la función coseno Observe que, cos t = 0 con k número entero

,

La periodicidad: Las funciones seno y coseno son periódicas de período , esto significa que para k número entero,

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¿Y si los ángulos difieren sólo en el signo?

La paridad: P(x, y)

t -t P(x, -y)

La función seno es una función impar, esto significa que sen(-t) = -sen t. La función coseno es una función par, esto significa que cos(-t) = cos t.

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¿Hay más funciones trigonométricas? Las funciones trigonométricas son seis. Hasta ahora hemos mencionado sólo dos; las otras se definen a partir de seno y coseno, a saber,

Tangente:

Cotangente:

Secante:

Cosecante:

Ejercicio: Si

es un ángulo agudo y , determine los valores de las restantes funciones trigonométricas de . Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Gráfico de la función tangente y = f(x) = tan x

Dom f = = Rec f =

Tangente es periódica,

es un período.

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Ejercicio:

Use una calculadora o computadora para graficar las funciones cotangente, secante y cosecante. Determine el dominio y el recorrido de cada una de ellas y si se trata de funciones periódicas, funciones pares o impares.

Ejercicio: Determine el dominio de la función y = senx + tan x y los valores de x tales que y = 0 (ceros de la función). Con su calculadora o computadora grafique esta función y compare los resultados obtenidos de manera gráfica y de modo algebraico.

Ejercicio: ¿Por qué se obtiene un mensaje de error en la calculadora cuando se trata de evaluar

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?

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Propiedades adicionales Ángulos complementarios: Dos ángulos se dicen complementarios si suman (90°).

t= t=

La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

Ejercicio:

Deduzca a qué es igual tangente, cotangente, secante y cosecante de Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Ángulos suplementarios: Dos ángulos se dicen suplementarios si suman (180°). La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

t= t=

Ejercicio:

Haga la deducción para tangente, cotangente, secante y cosecante de Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Gráficos de ondas sinusoidales Se llaman ondas o curvas sinusoidales a aquellas que resultan de trasladar, defasar, ampliar o reducir las curvas seno y coseno. Estas curvas tienen una expresión general, y = A + B sen(Cx + E)

o

y = A + B cos(Cx + E)

Para graficar las curvas antes mencionadas, basta hacer el gráfico de una parte que se extienda por una longitud horizontal igual al período, es decir, graficar un ciclo de la curva. Como Cx + E = C(x +

), analizaremos las curvas

y = f(x) = A + B sen C(x + D)

o

y = f(x) = A + B cos C(x + D)

y de ellas, aquellas con C>0, puesto que si C0 y D unidades a la derecha si D 0 ,

representa una circunferencia.

b) Si D2+E2 - 4F = 0 ,

representa un punto.

a) Si D2+E2 - 4F < 0 ,

no representa una circunferencia.

Ejemplo: ¿La ecuación x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 representa una circunferencia? Esta ecuación equivale a: x2 + 2x +1 + y2 – 4y + 4 = 11 + 1 + 4 que es (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Por lo tanto, se trata de la circunferencia centrada en (-1, 2) con radio 4. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Ejercicio:

Demuestre el teorema precedente. Además determine el centro y el radio de las circunferencias,

a)  x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 b)  x2 + y2 - 8x + 6y + 22 = 0 Observación: La circunferencia cuyo centro está en el eje X tiene ecuación general de la forma x2 + y2 + Dx + F = 0. Si el centro está en el eje Y, esta ecuación toma la forma x2 + y2 + Ey + F = 0.

Ejercicio: Determine la ecuación de la circunferencia a) Centrada en C(5, -2) y que pasa por el punto P(2, 1). b) Centrada en C(-4, 2) y tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0.

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¡Más ejercicios! (1) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2, 3) y B(-1, 1) y tiene su centro en la recta L de ecuación x – 3y = 11. (2) Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por A(-2, 1) y es tangente a la recta 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3). (3) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5, 3), B(6, 2) y C(3, -1).

Problema: Un punto se mueve de tal modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y (-1, 0) es siempre igual a 5. Identificar el lugar geométrico que esto describe.

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Recta tangente a una circunferencia Mostraremos, a través de ejemplos, cómo encontrar la recta tangente a una circunferencia a)  en un punto de ella, b)  con una pendiente dada c)  que pase por un punto exterior dado. Ejemplo 1: Hallemos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 8x – 6y + 20 = 0 en el punto P(3, 5). La recta que pasa por P tiene ecuación y – 5 = m(x – 3). Reemplazamos y = m(x - 3) + 5 en la ecuación de la circunferencia y reordenamos para obtener: x2(1 + m) – (6m2 + 4m + 8)x + (9m2 – 12m + 15) = 0

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Esta ecuación cuadrática debe tener una solución real, es decir su discriminante D debe ser cero; resolvemos D = 0 para obtener m = ½. Luego la recta tangente pedida es y – 5 = ½(x – 3). Ejemplo 2:

Hallemos la ecuación de la recta tangente a la

circunferencia de ecuación x2 + y2 = 13 con pendiente La recta con pendiente

tiene ecuación

. .

Reemplazando y en la ecuación x2 + y2 = 13 y reordenando, obtenemos la ecuación cuadrática

que

debe tener discriminante D = 0 para que tenga una solución real para x. Resolvemos D = 0 y obtenemos

; luego el

problema tiene las soluciones

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Ejemplo 3: Encontremos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 que pasa por

.

La recta que pasa por P tiene ecuación

.

Siguiendo el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores llegamos a obtener

; luego las rectas tangentes son

dos:

Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación 2x2 + 2y2 - 8x - 4y -15 = 0 que pasa por P(6, -4) .

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La parábola Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) que equidistan de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama directriz de la parábola. La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje de simetría. El eje corta la parábola en un punto V llamado vértice y que está a la misma distancia del foco y de la directriz.

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La cuerda con extremos en la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto y su longitud (diámetro focal) es 4 veces la distancia entre el vértice y el foco. Para encontrar una expresión algebraica que represente a una parábola P, escogeremos aquellas cuyo vértice es el origen (0, 0). Si F(p, 0) es el foco y P(x, y)

P

x = -p

es la ecuación de la directriz,

d(P, F) = d(P, d)

Por lo tanto,

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La ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) y eje coincidiendo con el eje X es de la forma El foco está en F(p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha y si p < 0 abre hacia la izquierda. El lado recto tiene longitud 4|p|

foco

directriz Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Si el vértice de la parábola está en (0, 0) y el eje coincide con el eje Y, la ecuación de ella es de la forma El foco está en F(0, p) y la ecuación de la directriz es y = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba y si p < 0, abre hacia abajo. El lado recto tiene longitud 4|p|

, p) = -p

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Ejemplos: (1) La ecuación representa una parábola con vértice V(0, 0) que abre hacia la derecha. Su foco es , la ecuación de la directriz es y el lado recto tiene longitud . El gráfico de la parábola está realizado con calculadora:

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(2) Encontremos la ecuación de la parábola que abre hacia la izquierda, con vértice V(0, 0) y cuya directriz es la recta x = 3. En este caso, |p| = d(V, d) = 3; como la parábola abre hacia la izquierda, p = -3. Luego la ecuación de la parábola es:

Confirma los puntos de interés de la parábola con Resolución G

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Cuando el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje de simetría es paralelo al eje X, la ecuación de ella es de la forma: , con |p| = d(V, F). Si el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación de ella es de la forma: , con |p| = d(V, F).

Ejercicio:

Procediendo como en el caso V(0, 0), demuestre las afirmaciones anteriores.

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Ejemplos: (1)  La ecuación

representa una parábola.

Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:

En consecuencia, la parábola abre hacia la izquierda, p = -2 y tiene vértice V(-4, 3). El eje de simetría es y = 3, el foco está en F(-6, 3), la directriz tiene ecuación x = -2.

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(2) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco es F(6, -2) y tiene a la recta x = 2 como directriz? Los puntos P(x, y) de la parábola satisfacen: d(P, F) = d(P, d)

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Ejercicio: Determine el vértice, foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto y grafique cada una de las siguientes parábolas.

Ejercicio: En cada caso, encuentre la ecuación de la parábola que satisface lo pedido. a)  Vértice V(-2, 1) y directriz de ecuación x = 1. b)  Foco F(2, 2) y directriz de ecuación x = -2. c)  Vértice V(0, 2), eje de simetría el eje Y y pasa por P(4, 1). d)  Directriz la recta y = 1, eje de simetría el eje Y, abre hacia abajo y tiene lado recto de longitud 8. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Problema: Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta de ecuación x – 2y + 3 = 0. Calcule la longitud de la cuerda.

Problema :

Demuestre que la

ecuación de la recta tangente a la parábola es

x2 = 4py en el punto (a, b)

Ejercicio: Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 8x = 0 cuya pendiente es -1.

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Problema: El arco de una ventana de una iglesia tiene forma parabólica. La altura del arco por el punto medio es de 16 pies y el ancho en la base es de 7 pies. Se quiere deslizar a través de esta ventana una caja rectangular. Si la caja tiene una altura de 12 pies, ¿cuál es el máximo ancho que puede tener la caja?

Problema: La trayectoria de un proyectil disparado hacia arriba desde el suelo es una parábola que logra una altura máxima de 80 metros y su alcance horizontal es de 640 metros. Si una persona está en el suelo a 200 metros del punto donde fue lanzado el proyectil y en su dirección, ¿a qué altura de la persona pasa el proyectil?

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La elipse Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 son los focos de la elipse y el punto medio del segmento es el centro C de la elipse. La recta que contiene a los focos F1 y F2 corta la elipse en dos puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento es el eje mayor y el segmento determinado por la perpendicular a que pasa por C es el eje menor. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Elipse

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La elipse se puede definir también como el conjunto de puntos tales que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es igual al número e < 1

llamado

excentricidad de la elipse. El punto fijo es un foco y la recta d1 o d2 son las directrices de la elipse. El concepto de excentricidad lo abordaremos más adelante. Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más sencilla que represente a una elipse E. Para este objetivo escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.

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Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la elipse es C(0, 0).

Por comodidad llamaremos a la (constante)

suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos como 2a. Entonces tenemos que: P(x, y)

E

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos

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Como necesariamente a > c, tenemos que a2 - c2 > 0; luego podemos dividir por a2(a2 – c2) la última igualdad para obtener:

Llamemos b2 = a2 – c2; entonces b > 0, b2 < a2, b < a y la ecuación precedente se reescribe como:

Por lo tanto estamos en condiciones de enunciar lo siguiente:

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(1) La ecuación de la elipse con centro en (0, 0) y eje mayor en el eje X es

(2)  Si el eje mayor está sobre el eje Y, la ecuación de la elipse es

En el caso (1) los vértices son V1(-a, 0) y V2(a, 0) y el eje mayor tiene longitud 2a. El eje menor tiene extremos B1(0, -b) y B2(0, b), y por tanto longitud 2b. Los focos están sobre el eje mayor en F1(-c, 0) y F2(c, 0), donde

.

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En el caso (2) los vértices son V1(0, -a) y V2(0, -a), el eje mayor tiene longitud 2a y el eje menor tiene longitud 2b. Los focos están sobre el eje mayor en siempre .

F1(0, -c)

y

F2(0, c), donde c es

La elipse será más ancha o se aproximará a una circunferencia dependiendo de cuan cerca esté c

e = 0,5

de a. Esta desviación de la elipse se mide por la razón

llamada

excentricidad. Observe que 0< e < 1.

e = 0,85

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.

Tanto en el caso (1) como en el (2), la cuerda perpendicular al eje mayor en los focos tiene longitud es la razón

, la excentricidad

, siempre menor que 1, y

las directrices son perpendiculares al eje mayor a distancias mismo, a distancias

o, lo que es lo del centro.

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x = d1

x = d2

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Ejemplo La ecuación

representa una elipse con centro

en el origen (0, 0). En este caso a = 5 (denominador mayor) y la elipse tiene eje mayor en el eje Y, es decir, es larga verticalmente. Además b = 2 y por tanto

.

La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 4. Los focos son

y los vértices

La excentricidad es Como

. .

, las directrices tienen ecuación

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El gráfico de la elipse calculadora:

está realizado con

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Cuando el centro de la elipse está en el punto ecuación de ella toma la forma

C(h, k), la

con a > b si el eje mayor es paralelo al eje X, y será

con a > b cuando el eje mayor sea paralelo al eje Y. La longitud del eje mayor sigue siendo 2a y la del eje menor 2b.

Los focos se encuentran a

distancia c del centro, donde

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.

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Ejemplo La ecuación

representa una elipse con

centro en el punto (4, -2). En este caso a = 5 (denominador mayor) y la elipse tiene eje mayor paralelo al eje X, es decir, es larga horizontalmente. Además b = 3 y de ahí

.

La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 6. Los focos están a distancia 4 del centro; por lo tanto ellos son F1(0, -2) y F2(8, -2). Los vértices son V1(-1, -2) y V2(9, -2) y el eje menor tiene extremos B1(4, -5) y B2(4, 1). La excentricidad es distancias

y las directrices están a del centro; luego sus ecuaciones son

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El gráfico de la elipse con calculadora:

está realizado

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Ejemplo La ecuación representa una elipse. Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:

Por lo tanto la elipse tiene centro en C(1, -1) y continuamos su análisis como se hizo en el ejemplo anterior. Verificamos con la calculadora escogiendo Análisis y luego Resolución G.

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Ejemplo Determinemos la ecuación de la elipse cuyo centro es C(3, 1), un foco en F(0, 1) y un vértice en V(-1, 1). Como los focos están siempre en el eje mayor y dada la posición del vértice V (o del centro C), la elipse tiene eje mayor paralelo al eje X y de longitud 2a = 8 puesto que a = 4 es la distancia que separa C de V. Además la distancia entre F y C es c = 3; luego

Por lo tanto la ecuación de la elipse es:

Ejercicio:

Grafique la elipse encontrada antes. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Ejercicio: Determine el centro, vértices, focos, longitud de los ejes, excentricidad, ecuación de las directrices y grafique cada una de las siguientes elipses.

Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la elipse que satisface lo siguiente, a)  Centro C(0, 0), un foco en F(2, 0) y eje menor de longitud 6. b)  Focos en

y longitud del eje mayor igual a 4.

c)  Extremos del eje mayor en (4, 2), (4, 13) y un foco en (4, 4). d)  Excentricidad

y focos en

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Ejercicio:

Demuestre que todas las

elipses representadas por la ecuación

con k > 0, tienen los mismos focos, independientemente del valor de k.

Ejercicio: Un punto se mueve y es tal que la suma de sus distancias a los puntos A(4, 2) y B(-2, 2) es constante 8. Encuentre la ecuación y el tipo de cónica que esta situación determina.

Ejercicio:

Determine el lugar geométrico de un punto en

movimiento tal que su distancia al punto A(4, 0) es siempre la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0.

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Problema: Desarrolle una técnica para dibujar elipses sobre una tabla de madera, usando 2 tachuelas, una cuerda y un lápiz. ¿Qué longitud debe tener la cuerda?

Problema: Un carpintero desea cortar una pieza de madera rectangular en forma elíptica con el fin de confeccionar la cubierta de una mesa de comedor con esa forma. Si la pieza de madera rectangular mide 5 pies por 4 y quiere utilizar toda la longitud y el ancho disponible, cuál debería ser la longitud de la cuerda que utilice y donde debería situar las tachuelas para dibujar la elipse según la técnica desarrollada en el problema precedente?

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Problema:

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol tiene forma elíptica. Si la longitud del eje mayor es de 186 millones de millas y la excentricidad es e = 0,017, estime la distancia más cercana de la Tierra al Sol.

Problema: El arco de un puente es semielíptico con eje mayor horizontal. Si la base del arco abarca los 20 metros de ancho que tiene la carretera y la parte más alta del puente está a 8 metros sobre la carretera, calcule la altura del arco a cuatro metros del centro de la carretera. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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La hipérbola Es el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos F1 y F2 son los focos de la hipérbola y el punto medio del segmento es el centro C de la hipérbola. El segmento corta la hipérbola en dos puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento se llama eje transverso.

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Hipérbola

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139

También se puede definir la hipérbola como el conjunto de puntos tales que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es igual al número e > 1

llamado

excentricidad de la hipérbola. El punto fijo es un foco y la recta d1 o d2 son las directrices de la elipse.

Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más sencilla que represente a una hipérbola H, para ello escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.

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Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la hipérbola es el punto medio de

, es decir, C(0, 0). Llamemos

a la diferencia (constante) de las distancias a los focos 2a. Sea P(x, y) un punto de la rama derecha de la hipérbola; entonces P(x, y)

H

d(P, F1) - d(P, F2) = 2a

Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos

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141

Del triángulo que se aprecia en la figura concluimos que d(P, F2) + d(F1, F2) > d(P, F1), es decir, d(F1, F2) > d(P, F1) - d(P, F2) Luego 2c > 2a y de aquí, c > a, c2 > a2 y c2 – a2 > 0. Dividiendo por a 2 (c 2 - a 2 ) la última igualdad obtenemos:

Llamemos b2 = c2 – a2; entonces la última ecuación queda:

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142

Por lo tanto podemos enunciar lo siguiente: (1)

La ecuación de la hipérbola con centro en (0, 0) y eje transverso sobre el eje X es

(2)  Si el eje transverso está sobre el eje Y, la ecuación de la hipérbola es

En el caso (1) los vértices son transverso tiene longitud 2a. F2(c, 0), donde

V1(-a, 0)

y

V2(a, 0)

y el eje

Los focos están en F1(-c, 0) y .

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143

El segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola, perpendicular al eje transverso y con extremos B1(0, -b) y B2(0, b) se llama eje conjugado. Los extremos del eje conjugado no están sobre la hipérbola pero son útiles cuando se quiere graficarla. En el caso (2) los vértices son

V1(0, -a)

y

transverso está en el eje Y y tiene longitud 2a.

V2(0, -a), el eje Los focos son

F1(0, -c) y F2(0, c), donde c es siempre

.

La excentricidad de una hipérbola se define como la razón

, es decir, distancia

entre los focos es a distancia entre los vértices y ella es siempre mayor que 1. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

144

.

¿Qué relación hay entre los valores cercanos a 1 o lejanos a 1 que alcance la excentricidad con la forma que adquieren sus ramas (gráfica)?

¿?

Tanto en el caso (1) eje transverso en el eje X, como en el caso (2) en que el eje transverso está en el eje Y, la cuerda perpendicular a la recta que contiene al eje transverso y que pasa por los focos (ancho focal) tiene longitud

, la excentricidad es

mayor que

1 y las directrices son perpendiculares al eje transverso a distancias

del centro.

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145

Las rectas

son las asíntotas de la hipérbola centrada

en el origen con eje transverso en el eje X.

Si el eje transverso está en el eje Y, las asíntotas de la hipérbola son

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146

Ejemplo La ecuación

representa

una hipérbola con centro en el origen (0, 0). En este caso el eje transverso está en el eje Y, tiene longitud 2a = 6 (a = 3) y los vértices de la hipérbola son conjugado tiene extremos distancias

. Como b = 5, el eje . Los focos están en eje Y a del centro; ellos son

La excentricidad es Las directrices tienen ecuación

.

. o bien

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147

El gráfico de la hipérbola calculadora:

está realizado con

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148

Cuando el centro de la hipérbola está en el punto C(h, k), la ecuación de ella toma la forma

si el eje transverso es paralelo al eje X, y será

cuando el eje transverso sea paralelo al eje Y. La longitud del eje transverso será 2a y la del eje conjugado 2b.

Los focos se encuentran a

distancia c del centro, donde

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.

149

Ejemplo La ecuación

, que podemos darle

la forma,

representa una hipérbola con

centro en el punto (-3, 1) y eje transverso paralelo al eje X de longitud 2a = 6; luego los vértices de la hipérbola son V1(-6, 1) y V2(0, 1).

.

El eje conjugado tiene longitud 2b = 8 y extremos B1(-3, -3) y B2(-3, 5). Los focos están a distancia

c = 9 + 16 = 5 del centro;

por lo tanto ellos son F1(-8, 1) y F2(2, 1).

La excentricidad es

y las directrices están a distancias

€

del centro; luego sus ecuaciones son

y

Las asíntotas son las rectas Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

150

El gráfico de la hipérbola con calculadora:

está realizado

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151

Ejercicio:

Determine el centro, los vértices, los focos, la excentricidad, y las asíntotas de cada una de las siguientes hipérbolas. Además grafíquelas.

Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la hipérbola que satisface lo siguiente, a)  Centro C(0, 0), un foco en F(5, 0) y un vértice en V(3, 0). b)  Focos en (2, -4) y (2, 2) y un vértice en (2, -3) c)  Vértices en

y asíntotas

d)  Centro C(-2, 3), eje transverso vertical de longitud 6 y foco en F(-2, 7). Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

152

Ejercicio: Se dice que dos hipérbolas son conjugadas si el eje transverso de cada hipérbola es el eje conjugado de la otra. Encuentre la ecuación de la hipérbola que es conjugada de 9x2 – 4 y2 = 324 . ambas hipérbolas.

Grafique

Ejercicio:

Se dice que una hipérbola es rectangular si sus asíntotas son perpendiculares. Demuestre que la hipérbola de ecuación x2 – y2 +5x – 3y – 1 = 0 es rectangular.

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153

Problema:

Algunos cometas, como el Halley, son parte permanente del sistema solar y describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Otros atraviesan el sistema solar sólo una vez y describen una trayectoria hiperbólica, con el Sol en uno de sus focos. Si la trayectoria de uno de esos cometas es la rama de la hipérbola que se muestra en la gráfica, deduzca la ecuación de ella suponiendo que lo máximo que se acerca el cometa al Sol es de 2 x 109 mi y que la trayectoria que traía antes de acercarse al sistema solar forma ángulo recto con la trayectoria con que continúa después de dejar ese sistema. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

154

Problema:

El sonido de una explosión se oye a diferentes horas en dos puntos A y B. De esto se deduce que la explosión ocurrió 1.000 metros más cerca de A que de B. Si A y B están a 2.600 metros de distancia el uno del otro, muestre que la ubicación de la explosión está en una rama particular de una hipérbola y encuentre la ecuación de ella. P(x, y)

(-1300, 0)

(1300, 0)

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155

La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si se une cualquier punto P de la hipérbola con sus focos el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. Esta propiedad es usada en la construcción de espejos de luz y sonido. La emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.

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156

La elipse también tiene la propiedad: Si se une cualquier punto P de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales. Este hecho también se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco. Tangente en P

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157

LENGUAJES SIMBÓLICOS Y NÚMEROS NATURALES

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158

Lógica de proposiciones La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas con el fin de determinar si un argumento dado es válido. En este curso, nos ocuparemos de la lógica usada en matemática que, además de servirnos de base al razonamiento matemático, contribuirá a mejorar nuestra expresión escrita y oral. Los elementos básicos con que trabaja la lógica son las proposiciones.

Una proposición es una oración gramatical (enunciado), con sentido en un lenguaje, de la cual se puede afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

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159

Por ejemplo, son proposiciones, •  Mario Toral es un diputado chileno. •  El IPC del mes recién pasado fue de 0,8. •  13 es un número primo. No son proposiciones: •  Me das un dulce. •  La dinámica rotacional de un cuerpo rígido. •  5x + 3 Se acostumbra denotar a las proposiciones con las letras p, q, r. Si p es una proposición verdadera, se dice que p tiene el valor de verdad V. Cuando p es falsa, su valor de verdad es F.

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160

Observe que la frase correspondiente a la negación de una proposición p, también es una proposición, que será denotada Np, y ella será verdadera cuando p sea falsa. En el lenguaje común y, en particular, en el lenguaje matemático es habitual encontrar expresiones como las siguientes: •  Los ingenieros estudian matemática y física. •  Galileo Galilei hizo contribuciones a la Física y a la Astronomía. •  Si el objeto es más pesado, entonces caerá más aprisa •  Si x es un número negativo, entonces log(x) no existe. Estos enunciados están conformados por dos proposiciones unidas por “y” , “o”, o condicionadas “si ……, entonces ……”

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161

Conectivos y su álgebra Los conectivos son símbolos que conectan dos proposiciones dando origen a las llamadas proposiciones compuestas. Los conectivos más usados se simbolizan: y los describimos en la siguiente tabla: Nombre

Símbolo

Notación

Se lee

Conjunción

p y q

Disyunción

p o q

Implicación

p implica q Si p entonces q

Equivalencia

p equivalente a q p si y sólo si q

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162

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones p y q lo son. En cambio, basta que una de las proposiciones p o q sea verdadera para que la disyunción también lo sea. En la proposición , p se llama antecedente y q se llama consecuente. La proposición es falsa sólo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. La equivalencia es verdadera cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.

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163

Ejercicio: Considere las proposiciones p: 245 es un múltiplo de 7 q: 2 + 3 = 6 5 + 9 es un número par ¿Cuál es el valor de verdad de

?

Ejercicio: Muestre que las proposiciones y tienen los mismos valores de verdad. Concluya que la proposición es siempre verdadera.

Ejercicio: Si p es una proposición verdadera, q es falsa y r es falsa, determine el valor de verdad de la proposición compuesta

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164

Una proposición que es siempre verdadera, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la forman se llama tautología. Por ejemplo, es una tautología. En cambio, una proposición que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen se llama contradicción o absurdo. Por ejemplo, es un absurdo. De la gran cantidad de tautologías que existen, algunas de ellas se distinguen por la incidencia que tienen en temas posteriores; entre ellas están las leyes del álgebra proposicional. Dos proposiciones compuestas P, Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, en cuyo caso se anota

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165

Se recomienda que las siguientes tautologías sean analizadas hasta lograr reconocerlas positivamente como elementos propios del razonamiento y lenguaje cotidianos.

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166

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167

Si denotamos por T a una tautología y por C a una contradicción, entonces

Ejercicio: Exprese de

en términos

y/o negación.

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168

Ejercicio: tabla,

Se define el conectivo & mediante la siguiente

p

q

p&q

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

a)  Demuestre que (p&p) Np. Demuestre que b)  c) Exprese sólo en términos de & y negación.

Ejercicio:

Demuestre usando las leyes del “álgebra proposicional” que,

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169

Lógica de cuantificadores Un término es una expresión con la que se nombra o designa un objeto, por ejemplo, 1, A U B, 5x - 9xy. Cuando las letras se utilizan como términos pero sin que representen objetos particulares, se denominan variables. Si x es una variable y p es una proposición que depende de la variable x, se escribe cuando exactamente todos los elementos x del conjunto A satisfacen la proposición p. El símbolo se llama cuantificador universal y se lee, indistintamente, todo o para todo, cada o para cada, cualquier o para cualquier.

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170

Ejemplos: 1.  La proposición “Todos los científicos estiman la edad del Universo en años” admite la simbología 2.  La proposición es verdadera. 3.  La proposición es falsa. Si solamente algunos elementos x del conjunto A satisfacen la proposición p se escribe . El símbolo se llama cuantificador existencial y se lee existe, hay, algún (a).

Ejemplos: 1.  La proposición “Algunas ingenieros crean sus propias empresas” tiene una expresión simbólica 2.  La proposición es verdadera. 3.  La proposición es falsa. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

171

¿Cómo negar una proposición que tiene cuantificador? La respuesta la entregan la “Leyes de De Morgan” que enunciamos a continuación. Proposición

Negación

Ejercicio:

Extraiga de titulares de los periódicos de la semana dos proposiciones que contengan cuantificador.

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172

Ejercicio: La proposición “Algunas empresas se dedican a las importaciones” tiene una expresión simbólica donde A es el conjunto de empresas y p es la “función proposicional” o “proposición abierta”, p = dedicarse a las importaciones. Su negación, en símbolos, es que se lee “Todas las empresas no se dedican a las exportaciones”

,

Ejercicio: Escriba la frase que corresponde a la negación de las siguientes proposiciones: 1.  Todos los chilenos están alfabetizados. 2.  Algunas universidades están en proceso de acreditación. 3.  Ningún Ministro de Estado es ingeniero. 4.  Existen números complejos que tienen parte real cero. 5.  Todas las ecuaciones de segundo grado tienen soluciones reales. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

173

Consideraciones finales – Reglas de deducción Las proposiciones relativas a los objetos o términos de una teoría matemática deben encadenarse de acuerdo a reglas que constituyen un proceso de deducción. Es común que las proposiciones verdaderas de una teoría reciban el nombre de teorema. Si t es una teorema, se entiende por demostración de t a una sucesión a, b, c, …., t de proposiciones donde cada una de ellas es un axioma o un teorema ya demostrado o se obtiene de una proposición que la precede en la sucesión usando alguna regla de deducción. Mencionamos a continuación algunas Reglas de deducción: 1. Modus ponens: 2.  Reducción al absurdo:

, donde C es una contradicción.

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174

3. Transitividad de la implicación: 4. Contrarecíproco o contrapositivo: 5. Hipótesis auxiliar: 6. Descomposición en casos:

Los contraejemplos:

Cuando se quiere establecer que la proposición es falsa, basta encontrar un x en A que cumpla Np; este elemento x constituye el contraejemplo.

Ejercicio: Demuestre, a través de un contraejemplo, que la siguiente afirmación es falsa: movimiento están en equilibrio”.

“Todos los cuerpos en

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175

Elementos de la Teoría de conjuntos ¿Qué es un conjunto?

Conjunto es un concepto primitivo, no se define, pero admitiremos que colección es un sinónimo de conjunto. Ejemplos: 1. Las vocales 2. Los números reales positivos 3. Las chilenos menores de 18 años

Ejercicio: Muestre tres ejemplos de conjuntos. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

176

Las componentes individuales de un conjunto constituyen los elementos del conjunto. ¿Cómo anotamos los conjuntos?

Nombre del conjunto

Elementos del conjunto

Conjunto definido por extensión Conjunto definido por comprensión

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177

Ejercicio: Muestre un ejemplo de un conjunto a)  Que se escriba por extensión pero que sea imposible expresarlo por comprensión. b)  Que se exprese por comprensión y no se pueda expresar por extensión. Es habitual llamar a los conjuntos con las letras mayúsculas A, B, C, ……. Y a sus elementos con letras minúsculas. Si x es un elemento del conjunto A se escribe y si x no pertenece al conjunto A se anota VoF

Ejercicio: Si A = { a, b, {c} }, indique si es verdadero o falso que:

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178

El conjunto vacío Existen conjuntos que no tienen elementos, por ejemplo, Tales conjuntos se dicen vacíos y se denotan

El conjunto universal El conjunto universal es aquel que contiene a todos los conjuntos que se consideran en un análisis dado; lo denotaremos U. Por ejemplo, el conjunto de los números reales se puede considerar como conjunto universal para aquellos problemas relacionados con conjuntos de números.

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179

Igualdad e inclusión de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. En símbolos esto se expresa así:

Por ejemplo, los conjuntos son iguales. Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:   A = A   A = B

B=A

  (A = B

B = C)

A=C

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180

Se dice que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B (o que A esta contenido en B o que B contiene a A) si y sólo si todos los elementos de A pertenecen a B. En símbolos esto se expresa así:

Por ejemplo, el conjunto A = { x IN / x < 9 } está contenido en el conjunto B = { / x es dígito }. Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:  

A

A

  (   (   (

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181

¿Cuándo usamos la notación ?

Y se dice que A es un subconjunto propio de B.

Ejercicio: Si A = { 2, 3, 6, 8, 9 },

B = { x / x es entero positivo} y C = { x / x divisible por tres y 0 < x < 12 } , indique si es verdadero o falso que:

Ejercicio: Escriba todos los subconjuntos de A = { a, b, c }

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182

Diagramas de Venn-Euler Muchos de los conceptos relacionados con los conjuntos se pueden representar mediante ciertos diagramas. En ellos se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal y dentro de él, los conjuntos como figuras planas (círculos, elipses, rectángulos). Estos diagramas se denominan Diagramas de Venn- Euler.

A

A

B

A

U

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BB U

183

Ejercicio: Construya conjuntos A, B, C, D que verifiquen el siguiente diagrama:

B A

C

D

U

Si el número de elementos de un conjunto se puede determinar, el conjunto se dice finito. Si un conjunto finito A posee n elementos, se dice que A tiene cardinalidad n y, en este caso, se anota card (A) = n o bien #(A) = n. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

184

Uniones e intersecciones Con los conjuntos A y B de un universo U se pueden realizar ciertas operaciones dando origen a nuevos conjuntos, a saber, La unión de A y B es el conjunto La intersección de A y B es el conjunto

Por lo tanto,

Ejemplo: Consideremos los conjuntos A y B siguientes A = { x IN / x es par y x 1.

está tal

El número real d se llama diferencia de la progresión aritmética puesto que Observe que en la P. A.

Lo cual sugiere la siguiente expresión para el término general de la P. A.:

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220

Ejemplo: Los 6 primeros términos de la P. A. cuyo primer término es -5 y diferencia d = 4 son -5, -1, 3, 7, 11, 15. El término general de esta P. A. es Con la expresión del término general podemos calcular cualquier término de la progresión; por ejemplo, el término 83° de esta P. A. es O simplemente, ¿Qué lugar ocupa el número 175 en esta progresión?

Ocupa el lugar 46°

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221

Es posible obtener una expresión para la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética

En efecto,

Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente teorema

Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresión Aritmética, cuyo primer término es

y con diferencia d, es:

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222

Ejercicio: Calcule la suma de a)  Los primeros 72 números pares positivos. b)  Los 48 primeros múltiplos positivos de 6 . c)  Los primeros 35 términos de la progresión 13, 4, -5, -14 . . .

Ejercicio:

¿Cuántos términos de la progresión -2, -0.5, 1, . . . . . . deben considerarse para que la suma sea 2712.5?

Problema:

Un padre ofrece a su pequeño hijo ahorrar en su alcancía $10 el 1° de enero, $11 el 2 de enero, $12 el 3 de enero, y así sucesivamente hasta llegar al 31 de diciembre. ¿Cuánto dinero reunirá el hijo al completar el año?

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223

Se dice que la sucesión de números reales o forma una progresión geométrica (P. G.) si existe tal que

está

para todo n > 1.

El número real r se llama razón de la progresión geométrica ya que

Observe que en la P. G.

Esto sugiere la siguiente expresión para el término general de la P. G.:

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224

Si el tercer término de una P. G. es 3 y el séptimo es 3/16, ¿cuál es el noveno término de esta progresión?

Entonces el noveno término es

Ejercicio: números geométrica.

Determine el valor de k de modo que los 2k + 2, 5k - 11, 7k – 13 estén en progresión

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225

Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresión geométrica cuyo primer término es

y razón

es:

Ejercicio:

Demuestre el teorema anterior. ¿Cuál es el valor de la suma Sn si la razón es r = 1?

Ejercicio:

En una progresión geométrica la suma de los 10 primeros términos es 244 veces la suma de los 5 primeros términos. ¿Cuál es la razón de esta progresión?

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226

Con ayuda de la calculadora resuelva

Ejercicio:

En cada caso, determine la razón, el décimo término y la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas,

Entregue los resultados en su expresión exacta y, si corresponde, con una aproximación decimal con 4 cifras decimales.

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227

Problema: Un paciente es víctima de una infección que esta afectando su motricidad. Se ha encontrado una colonia bacteriana con 8 x 107 bacterias. Se ha determinado que con un tratamiento adecuado se eliminan 800.000 bacterias por día devorándose entre sí. ¿Cuántos días habrá que tratar la infección con el fin de eliminarla?

Problema: Un cuerpo al caer recorre 4 metros en el primer segundo. Si en cada segundo la distancia recorrida aumenta en 1,6 veces. ¿De qué altura cae este cuerpo si demoró 10 segundos en tocar el suelo?

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228

Los términos ubicados entre dos términos de una progresión aritmética (respectivamente progresión geométrica) se llaman medios aritméticos (respectivamente medios geométricos). Es común el siguiente problema:

Problema: Interpolar 5 medios aritméticos entre 43 y 79. Se trata de completar la siguiente progresión aritmética: 43, ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 79 Como el primer término es 43 y el séptimo es 79, se tiene que 43 + 6 d = 79, de donde 6d = 36 y d =6 . Luego, los 5 medios aritméticos buscados son 49, 55, 61, 67 y 73. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

229

De manera análoga resuelva lo siguiente, Interpolar 3 medios geométricos entre 27/8 y 2/3. Cuando se interpola un medio aritmético M entre los números a y b, este M se llama promedio o media aritmética. Si a, M, b están en progresión aritmética, b – M = M – a, aquí, a + b = 2M; luego

de

es la media aritmética.

Cuando se interpola un medio geométrico P entre los números a y b, este P se llama media geométrica o media proporcional.

Problema: Muestre que

es la media geométrica

entre a y b.

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230

Una progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética. Entonces resulta evidente que los problemas que tratan de progresiones armónicas se pueden resolver considerando la progresión aritmética correspondiente. Por ejemplo, 1/3, 3/8, y 3/7 son los tres primeros términos de una progresión armónica. ¿Cuál es el 15° término? En este caso, la progresión aritmética correspondiente tiene como primeros términos a 3, 8/3 y 7/3; su diferencia es -1/3 y el término 15° de ella es -5/3. Por lo tanto, el 15° término de la progresión armónica es -3/5.

Problema: a)  Interpolar 4 medios armónicos entre -1/2 y 1/13. b)  ¿Cuál es la media armónica entre los números a y b?

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231

Factoriales y números combinatorios El producto de los n primeros números naturales se llama n factorial o factorial de n y se anota n!

Por ejemplo,

Observe que

, igualdad que para n = 1 nos da

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232

Para

se definen los números

(se lee “n sobre k”) llamados números combinatorios. El número n sobre k indica, justamente, el número de combinaciones que se pueden realizar con n elementos tomados de a k. Por ejemplo, si queremos saber cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar en un curso de 20 alumnos, calculamos:

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233

Comúnmente, las calculadoras científicas traen a la vista el botón n!. En la Class Pad 300, usted encontrará n!, y también el cálculo directo de “n sobre r”, al escoger Principal en el Menú, abrir el teclado y luego tocar CALC.

Escribir directamente n!

To c a r y e s c r i b i r (valor de n, valor de r) Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

234

Ejercicio: Simplifique Se puede demostrar que:

Los números combinatorios también son llamados coeficientes binomiales; la razón quedará establecida al observar los desarrollos de las potencias del binomio .

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235

Si en cada línea rescatamos los coeficientes, podemos ordenar estos de la siguiente manera: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

3 6

Triángulo de Pascal

1 1 4

1

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236

Los valores que aparecen en el Triángulo de Pascal, corresponden a los números combinatorios:

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237

En consecuencia, no debería sorprendernos lo que nos asegura el Teorema siguiente respecto al desarrollo de : •  Tiene n+1 sumandos. •  El primer término es an y el último es bn. •  La suma de los exponentes de a y de b en cada término es n.

El Teorema del Binomio de Newton Para n número natural se tiene que:

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238

Además, el término ocupa el lugar (k+1)-ésimo en este desarrollo.

Ejemplo: El 8° término en el desarrollo de

Como el desarrollo de

es

tiene n+1 términos, cuando n

es un número par, el término central es

.

Cuando n es impar, los términos centrales son

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y

.

239

Ejercicio: Determine el término central del desarrollo de

Ejercicio: Determine el término independiente de x y el término que contiene a

en el desarrollo de

Ejercicio: Obtenga el coeficiente de

en el desarrollo de

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240

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241

NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS

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242

Números complejos La ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los números reales. Las soluciones de esta ecuación se encuentran en el conjunto de los números complejos que presentamos a continuación. El término se llama unidad imaginaria, se le representa con el símbolo i y tiene la propiedad . Un número complejo es una expresión de la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. El conjunto de todos los números complejos lo denotaremos por C. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Observe que el número complejo i es una solución de la ecuación ; la otra es -i. Más aún, todas las ecuaciones cuadráticas tienen sus dos soluciones en C. Si z = a+bi C, el número real a se llama parte real de z y, el número real b, es la parte imaginaria del número complejo z; anotaremos Re(z) = a y Im(z) = b. En consecuencia, z = Re(z) + i Im(z) Por ejemplo, los números complejos z = 7–2i, w = 4i, u = 5 son tales que Re(z) = 7, Im(z) = -2, Re(w) = 0, Im(w) = 4, Re(u) = 5 y Im(u) = 0.

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Se han usado las palabras “imaginaria” e “imaginario” para referirse a ciertos números complejos, pero no en el sentido literal de ellas. Es momento de comentar que todos los números son creaciones (“imaginados”) de la mente humana. Los números complejos se justifican no sólo por su utilidad en matemática, a saber, en el estudio de las ecuaciones polinomiales en el álgebra, sino también en otras ciencias, como la física, en ingeniería eléctrica y aeroespacial. La calculadora Class Pad 300 tiene la unidad imaginaria en su teclado:

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Configuremos la calculadora en Formato complejo. En el Menú de su calculadora elija el ícono Principal, escoja Acción, Complejo y encontrará los comandos re e im:

Parte real: re(a + bi) Parte imaginaria: im(a + bi)

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Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. a + bi = c + di (a = c b = d) Sea z = a + bi

C.

El conjugado de z es el número complejo El módulo de z es el número real Por ejemplo, si z = 9 – 2i,

= 9 + 2i

. .

y

Ejercicio:

Use su calculadora para determinar la parte real, la parte imaginaria, el conjugado y el módulo de los números complejos z = 7 – 5i, z = -2 y z = 3i. Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Operaciones en el conjunto C Los números complejos se suman (restan) y se multiplican (dividen) del mismo modo que se suman y multiplican las expresiones algebraicas a +bx con c + dx, sólo hay que tener presente que . (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i por reducción de términos semejantes (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bd i2 = ac + (ad + bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i agrupando términos semejantes y recordando que .

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Sean z = a+bi, w = c+di dos elementos de C. La suma de z y w es el número complejo z + w = (a+c) + (b+d)i La multiplicación de z y w es el número complejo

La suma de números complejos es asociativa y conmutativa, posee elemento neutro (cero) 0 = 0 + 0i y cada elemento z = a + bi posee inverso aditivo -z = -a – bi. La multiplicación de números complejos es asociativa y conmutativa, posee elemento neutro (unidad) 1 = 1 + 0i y cada elemento, no cero, z = a + bi, posee inverso multiplicativo

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Además se verifica la ley distributiva, es decir,

C, z· (u + v) = zu + zv. En consecuencia, C es un cuerpo. A diferencia de los números reales, el cuerpo de los números complejos no es ordenado.

Ejercicio:

Realice las operaciones indicadas; para ello

tenga presente que (2 + 7i) – 3i + (-4 + 12i),

3(3 + 2i) - (5 – i)2,

(6 + 5i)(6 – 5i) + 2i2

(5 + i) : (4 - 3i).

y

Problema: Determine las primeras nueve potencias enteras positivas de i. ¿Descubre algún patrón de comportamiento? Calcule i23, i57 e (-i)94.

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Existe una manera bastante cómoda de realizar la división de dos números complejos; la mostraremos al dividir 5 - 2i con 4 + 3i.

En ciertos problemas ni siquiera es necesario realizar una división; por ejemplo,

Problema: Si z es el número complejo

, muestre

que Tenemos que Entonces

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Se puede demostrar que si z y u son elementos de C,

Por ejemplo, demostremos 6) Sea z = a + bi un elementos de C, entonces

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Problema: Determinemos los números complejos z que verifican Sea z = a + bi un elementos de C, entonces

Por otra parte, Reemplazando tenemos

y la solución es

Ejercicio: Demuestre las siguientes afirmaciones, C C Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas

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Representación gráfica de C Un número complejo queda determinado por dos números reales: su parte real y su parte imaginaria. Entonces podemos definir una correspondencia biunívoca entre C y

C a+bi

(a, b)

Y además, esto nos sugiere representar a C en un sistema rectangular XY, donde las partes reales se indicarán en el eje X, que pasará a llamarse eje real, y en el eje Y estarán las partes imaginarias por lo que será llamado eje imaginario. El plano determinado por estos dos ejes se conoce como plano complejo.

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El plano complejo:

Eje imaginario

b

· z=a+bi a

Eje real

La expresión z = (a, b) para el número complejo z = a + bi se llama notación cartesiana de z. Recuerde que en este par ordenado, la primera componente es siempre la parte real de z y, la segunda componente, es la parte imaginaria de z.

Ejercicio:

Escriba con notación cartesiana y normal, y

luego grafique, en un mismo plano los números z, 2z, -z y el conjugado de z, si a) z = i

b) z = (-5, 0)

c) 2 – 3i

d) z = (-6,

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Subconjuntos del plano complejo: Grafiquemos el subconjunto de C, S = { z /

< 3 }.

S = { a + bi / } =