Antes que nada gracias a dios. A mis padres, Ramón y Felipa, a mis hermanos y especialmente a mi novia Zulema. A mis amigos y compañeros del ITSON A mis maestros A Héctor mi asesor Por su cariño, motivación y confianza.

ÍNDICE

LISTA DE TABLAS ............................................................................................. a LISTA DE FIGURAS .............................................................................................. i RESUMEN ............................................................................................................. V INTRODUCCIÓN ................................................................................................... A OBJETIVOS ........................................................................................................... B

I.

INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE CORTOCIRCUITO

Importancia de un estudio de corto circuito........................................ 2 Transitorios en circuitos RL en serie................................................... 4 Fuentes de corrientes de corto circuito................................................ 6 Comportamiento de la máquina sincrona durante fallas..................... 7

II

DIAGRAMAS

EQUIVALENTES

PARA

EL

ESTUDIO

CORTOCIRCUITO

2.1

Diagramas equivalentes de los elementos del circuito...................... 18

2.2

Diagramas de impedancia y reactancia............................................. 20

2.3

Cantidades por unidad…………………………………………….. 22

DE

III

IV

V

COMPONENTES SIMÉTRICAS

3.1

Teoría de las componentes simétricas……………………………... 27

3.2

Componentes simétricos de vectores asimétricos………………..… 31

3.3

Impedancias de secuencia y redes de secuencia…………………… 34

3.4

Redes de secuencia positiva y negativa………………………......... 35

3.5

Redes de secuencia cero………………………………………….... 36

MATRIZ DE IMPEDANCIAS DE BARRA

4.1

Introducción…………………………………………………..….…. 46

4.2

Matriz nodal de admitancias………………………………………... 47

4.3

Matriz nodal de impedancias……………………………………….. 49

4.4

Significado de la matriz de impedancias…………………………… 50

4.5

Características de matrices………………………………………….. 52

4.6

Teorema de Thévenin y Zbus……………………………………… 53

4.7

Modificación de una Zbus existente…………………………...…... 60

4.8

Determinación directa de Zbus…………………………………….. 68

CÁLCULO DE FALLAS UTILIZANDO ZBUS

5.1

Introducción……………………………………………………….. 70

5.2

Fallas simétricas(falla trifásica)…………………………………… 72

5.3

Fallas asimétricas………………………………………………….. 78

5.3.1

Falla de fase a tierra.....……………………………….……………. 88

5.3.2

Falla de fase a fase………………….…………………………….… 91

5.3.3 Falla de doble línea a tierra………………………………………… 93

VI

DESCRIPCION DEL PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE LA

CORRIENTE DE CORTOCIRCUITO

6.1

Descripción general del programa ………………………………….……… 97

CONCLUSIONES.................................................................................................. 104 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………….… 105

V

RESUMEN

El contenido de este trabajo trata del estudio de cortocircuito en sistemas eléctricos de potencia, siendo apoyado mediante un programa computacional, para el cálculo del mismo.

El primer capítulo trata de la importancia del estudio de cortocircuito, las fuentes que son aportadoras de corriente y el estudio de la máquina síncrona.

El segundo capítulo comprende los diagramas equivalentes de los diferentes elementos que componen un sistema eléctrico de potencia, así como también de los diagramas de impedancia y reactancia y las cantidades por unidad.

El estudio de las componentes simétricas ocupa el tercer capítulo, al igual que las redes de secuencia del sistema.

En el capítulo cuatro se aborda la matriz de impedancia de barra, su significado y una comparación con la matriz de admitancia de barra, así como también del teorema de Thévenin.

En el quinto capítulo se estudian los diferentes tipos de fallas, como lo son la falla trifásica, falla línea a tierra, falla línea a línea y la falla de dos líneas a tierra, haciendo uso de la matriz de impedancias de barra.

V

VI

En el sexto y último capitulo se describe del programa computacional, en el cual nos apoyaremos para el cálculo de la corriente de cortocircuito, con un ejemplo implementado.

En este trabajo se logra conjuntar la teoría del cálculo y el diseño básico de un software para el análisis de cortocircuito, siendo este para fines académicos.

VI

A

INTRODUCCIÓN El estudio de cortocircuito, es importante para diseñar y operar sistemas eléctricos de potencia, ya que nos permite seleccionar las capacidades de interruptores, cables, así como también, los ajustes de los relevadores que operan a los interruptores.

Un estudio de este tipo tiene que ser exacto, ya que si seleccionamos mal las capacidades de los elementos, podría ser peligroso, en caso de seleccionarlos por debajo de la corriente verdadera de cortocircuito y puede ser muy costosa para el caso de andar muy por encima de la corriente real.

El motivo de este trabajo es disponer de una herramienta que es muy importante en este tipo de estudio y además muy rápida, como lo es un programa computacional, que nos evita el problema de estar realizando largos y cansados cálculos, cada vez que se quiera analizar una falla en un sistema.

Este trabajo será de gran beneficio para los alumnos que quieran analizar las corrientes de cortocircuito en un sistema eléctrico de potencia (SEP), ya que la realización del programa es puramente para fines académicos, y se invita a continuar la mejoría de este.

El objetivo de este proyecto es de presentar

los conocimientos necesarios para

comprender un estudio de cortocircuito y así poder llevar a cabo un análisis mediante un programa para su estudio.

B

OBJETIVOS

Al término de la lectura de este libro, se espera que se comprendan los conceptos que intervienen en el cálculo de cortocircuito, siendo herramienta principal la matriz de impedancia de barra y las componentes simétricas.

Otra de las finalidades es desarrollar un algoritmo para un programa de cortocircuito y que el lector pueda aprovechar el programa que viene con el proyecto, para poder realizar análisis de cortocircuito en diferentes barras en un sistema eléctrico de potencia.

i

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Corriente en función del tiempo en un circuito RL para α - θ = 0…….. 5 Figura 1.2. Corriente en función del tiempo de un circuito RL cuando α - θ = ± π /2………………………………….. 5 Figura 1.3 Diagrama vectorial de un Generador con rotor cilíndrico, con corriente atrasada……………………………………………………………………. 9 Figura 1.4. Circuito equivalente de un generador con rotor de polos lisos………….. 10 Figura 1.5 Diagrama vectorial de un Generador con rotor de polos salientes, con corriente atrasada……………………………………………………...… 11 Figura 1.6 Diagramas vectoriales del generador con rotor polos salientes, con corriente atrasada……………………………………………………… 12 Figura 1.7 Corriente en función del tiempo en un generador cortocircuitado funcionando en vacío. La corriente unidireccional transitoria de la corriente ha sido eliminada………………………………………………. 13 Figura 2.1 Diagrama equivalente de un generador síncrono………………………... 18 Figura 2.2 Diagrama equivalente de un transformador de dos devanados…………. 18 Figura 2.3 Diagramas equivalentes de líneas de transmisión, dependiendo de su longitud. ……………………………………………………………….... 20 Figura 3.1 Conjuntos de vectores equilibrados que son los componentes simétricos de tres vectores desequilibrados…………………………...… 28 Figura 3.2 Suma gráfica de los componentes representados en la figura 3.1 para obtener tres vectores desequilibrados………………………………. 29

ii

Figura 3.3 Diagrama vectorial de las potencias del operador “a”…………………. 30 Figura 3.4 Redes de secuencia cero para cargas conectadas en Y………………… 38 Figura 3.5 Carga conectada en delta y su red de secuencia cero………………….. 39 Figura 3.6 Circuitos equivalentes de secuencia cero de transformadores trifásicos junto con los esquemas de conexiones y símbolos para diagramas unifilares……………………………………………………………….. 43 Figura 3.7 Diagrama unifilar de un sistema de energía pequeño y su red de secuencia cero equivalente………………………………… 44. Figura 3.8 Diagrama unifilar de un sistema de energía pequeño y su red de secuencia cero equivalente………………………………… 44 Figura 4.1 Determinación de la ecuación nodal para el nodo i………………….… 47 Figura 4.2 Distribución de corrientes en un sistema con una sola inyección de Corriente……………………………………………………………….. 51. Figura 4.3. a) Red original con la barra K y el nodo de referencia extraídos ……... 56 Figura 4.4. a) Red original con fuentes de corriente ΔIJ en la barra J y ΔIK en la barra K; b) circuito equivalente de Thévenin; c) conexión de corto circuito; d) impedancia Z b entre las barras J y K………………………………. 59. Figura 4.5. Adición de una barra nueva P que se conecta a través de una impedancia Z b a una barra K existente…………………………………………….. 61 Figura 4.6 Adición de una impedancia Z b entre las barras existentes J y K……. 66 Figura 5.1 Falla trifásica en un sistema de potencia……………………………… 72 Figura 5.2 Diagrama de reactancias del equivalente monofásico de una red trifásica balanceada…………………………………………. … 73 Figura 5.3

Circuito que muestra una falla trifásica en la barra 2 simulada por V f y - V f en serie…………………………………………….…… 74

iii

Figura 5.4 Diagrama unifilar de un sistema trifásico, tres redes de secuencia del sistema y el equivalente de Thévenin de cada red para la falla en P, que se denomina barra K…………………………………………………… 82 Figura 5.5 Falla de fase a tierra en un sistema de potencia……………………….. 88 Figura 5.6 Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia para simular una falla monofásica a tierra de la fase a en la barra K……... 90 Figura 5.7

Falla de fase a fase en un sistema de potencia en la barra K………… 91

Figura 5.8

Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia positiva y negativa para una falla línea a línea entre las fases b y c en la barra K del sistema…………………………………………………… 92

Figura 5.9 Falla de dos fases a tierra en un sistema de potencia. El punto de falla se denomina barra K…………………………………………………….. 93 Figura 5.10 Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia para una falla bifásica a tierra de las fases b y c en la barra K……………. 94 Figura 6.1

Diagrama a bloques de los pasos a seguir del programa de cortocircuito ………………………………………………………………………. 97

Figura 6.2 Sistema eléctrico de potencia pequeño, con falla de línea a tierra en la barra 3……………………………………………………………………………….101

a

LISTA DE TABLAS

Tabla 4.1 Características de las Matrices Y y Z……………………………….. 52

Tabla 4.2

Modificación de la Zbarra existente…………………………………. 67

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE CORTOCIRCUITO

2

1.1 Importancia de un estudio de cortocircuito.

Un cortocircuito es una conexión anormal que genera un camino de baja impedancia, y por lo tanto un excesivo flujo de corriente. En un Sistema Eléctrico de Potencia se considera a los cortocircuitos como FALLAS y se clasifican según su naturaleza; cada tipo de falla involucra distintas condiciones de operación y cada una debe estudiarse en forma separada para lograr comprenderlas de una mejor manera. Los cortocircuitos o fallas más comunes en un sistema eléctrico de energía son las de fase a tierra, debidas a innumerables causas, las más comunes son descargas atmosféricas sobre aisladores y la contaminación orgánica por aves que proporcionan un camino a tierra para la corriente. Este tipo de fallas constituyen entre un 70 y 80% del total de fallas ocurridas. Le siguen en nivel de ocurrencia las fallas de fase a fase y por último representando un 5% del total se encuentran las fallas trifásicas.

Cualquier tipo de cortocircuito provoca un incremento de corriente y abatimiento de voltaje, condiciones indeseables en sistemas eléctricos de energía, de tal forma que los sistemas de protección deben de aislar

la falla en el menor tiempo posible,

desenergizando la sección donde ocurrió la perturbación. Por lo tanto es de vital importancia conocer el valor de la corriente al ocurrir un cortocircuito en cualquier punto del sistema para seleccionar los interruptores de potencia que deberán de interrumpir la corriente para aislar la falla; además para el ajuste de los relevadores y equipo de protección que activan el disparo de los interruptores que deben aislar una parte del sistema cuando la corriente y voltaje salgan de sus límites normales.

3

La corriente que circula por los distintos puntos de la red, inmediatamente después de ocurrir una falla, es diferente de la que circula unos pocos ciclos después, poco antes de enviar la orden de disparo a los interruptores para que corten la corriente a los dos lados de la falla; y ambas corrientes son distintas a la de régimen estacionario, si la falla no se hubiera aislado al abrir interruptores. Para seleccionar un interruptor deben considerarse dos factores indispensables; el primero la corriente máxima que pasa inmediatamente después de presentarse la falla; y el segundo el valor de la corriente que el interruptor debe de cortar. Por ello el estudio de cortocircuito tiene por objeto determinar estas corrientes para los diferentes tipos de fallas, en diferentes puntos de la red, para que a partir de los datos obtenidos se seleccionen interruptores, transformadores de corriente, conductores, etc.; así como los valores de ajustes de los diferentes relevadores de protección para aislar la falla.

La protección inadecuada contra cortocircuito es frecuentemente la causa de fallas de gran magnitud, que ocasionan daños cuantiosos, interrupción de energía, lesiones al personal e interrupciones costosas. Por lo tanto es de suma importancia determinar con exactitud la índole del cortocircuito en un sistema de potencia eléctrico.

4

1.2 Transitorios en circuitos RL en serie.

Cuando se aplica una tensión alterna a un circuito con valores constantes de resistencia e inductancia, considerando V = Vmax Sen (wt + α ), siendo t = 0 en el momento de aplicar la tensión por lo tanto α determina el módulo de la tensión cuando se cierra el circuito. Si la tensión instantánea es cero y aumenta en sentido positivo cuando se aplica, α vale cero. Si la tensión instantánea tiene su valor instantáneo máximo positivo α vale π / 2.

La ecuación diferencial es:

VmaxSen( wt + α ) = Ri + L

di dt

Cuya solución es:

i=

RL − ⎞ Vmax ⎛ ⎜ Sen( wt + α − θ ) − e t Sen(α − θ )⎟ Z ⎝ ⎠

En donde

Z = R 2 + ( wL)

2

⎛ wL ⎞ Y θ = Tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ R⎠

El primer término varía con el tiempo en forma senoidal, el segundo término disminuye exponencialmente con una constante de tiempo L / R; este término se denomina componente continua de la corriente . El término senoidal es el valor de régimen permanente de la corriente en un circuito RL para la tensión aplicada dada.

5

El término continuo no existe si el circuito se cierra en un punto de la onda de tensión tal que α - θ = 0

ó

α - θ = π . La figura 1.1 representa la variación de la corriente,

de acuerdo a la ecuación cuando α - θ = 0.

Figura 1.1. Corriente en función del tiempo en un circuito RL para α - θ = 0.

Si el interruptor se cierra en un punto de la onda de tensión tal que α - θ = ± π /2, la componente continua tiene un valor inicial máximo que es igual a la amplitud máxima de la corriente senoidal. La figura 1.2 muestra la variación de la corriente de acuerdo a la ecuación cuando α - θ = ± π /2.

Figura 1.2. Corriente en función del tiempo de un circuito RL Cuando α - θ = ± π /2.

6

La componente continua puede tener un valor cualquiera desde 0 hasta Vmax / Z, según el valor instantáneo de la tensión al cerrar el circuito y del factor de potencia del circuito. En el instante de aplicar la tensión, las componentes continua y permanente tienen siempre el mismo valor absoluto, pero son de signo opuesto, para expresar el valor cero de la corriente en ese instante.

Es importante el conocimiento de transientes en circuitos serie RL, por que el comportamiento del generador síncrono en cortocircuito es similar, ya que su circuito equivalente esta compuesto de una reactancia y una resistencia en serie con un voltaje generado, pero existen unas diferencias que se verán mas adelante

1.3

Fuentes de corrientes de cortocircuito.

La magnitud de las corrientes de cortocircuito depende de las diversas fuentes que las generan, de sus reactancias y de las reactancias del sistema hasta el punto de la falla. Las fuentes de corriente de cortocircuito son: generadores, motores síncronos y de inducción.

Los generadores del sistema están impulsados por motores primarios, como turbinas de vapor o gas, motores diesel y ruedas hidráulicas. Cuando se presenta un cortocircuito, la energía primaria impulsa al generador y este continúa produciendo voltaje, ya que la excitación del campo se mantiene debido a la rotación del generador a velocidad normal. Este voltaje produce una corriente de gran magnitud que fluye hacia la falla.

7

Los motores síncronos se comportan en forma similar a los generadores síncronos Cuando ocurre una falla y el voltaje del sistema se reduce a un valor muy bajo, el motor síncrono deja de tomar energía del sistema para continuar su rotación y comienza a disminuir su velocidad, pero la inercia de la carga tiende a evitar que esta disminución sea muy rápida. De este modo la inercia hace las veces de un motor primario y dado que la excitación se mantiene, el motor se comporta como un generador suministrando corriente de cortocircuito durante varios ciclos después de que ocurre el cortocircuito.

Los motores de inducción aportan corriente de cortocircuito cuando, después de ocurrir una falla, el motor continúa en movimiento debido a la inercia de la carga y el rotor y se comporta como un generador. El flujo de campo del motor de inducción se produce por la inducción del estator. Debido a que este flujo disminuye rápidamente después de la falla, la aportación del motor de inducción disminuye con rapidez y desaparece por completo después de unos pocos ciclos.

1.4

Comportamiento de la máquina síncrona durante fallas

La corriente que circula cuando se cortocircuita un alternador es similar a la que circula cuando se aplica súbitamente una tensión alterna a una resistencia y a una inductancia en serie. Sin embargo hay diferencias significantes, porque la corriente en el inducido afecta al campo giratorio.

8

Los generadores síncronos son de dos tipos, dependiendo de la velocidad de la turbina. Con turbinas de vapor, son posibles altas velocidades 3600, 1800 r.p.m. para 60 Hz con dos y cuatro polos respectivamente; debido a la gran velocidad periférica se requiere que el rotor sea cilíndrico o sea fabricado de una sola pieza de acero forjado con ranuras longitudinales donde se aloja el devanando de los polos.

Con turbinas hidráulicas la velocidad varía en un rango de 150 a 600 r.p.m. a 60 Hz, dependiendo del tipo de rueda móvil de la turbina y de la carga hidrostática; debido a que la velocidad periférica es pequeña, se requiere que el estator sea de gran diámetro con un número grande de polos. Estas máquinas tienen polos laminados sujetos al “Spider” razón por la cual se designan como de “polos salientes “.

Desde el punto de vista eléctrico existen dos diferencias entre las máquinas con rotor de polos lisos y las de polos salientes. La primera: las variaciones cíclicas del rotor con respecto a la velocidad síncrona se amortiguan mediante la producción de corrientes parásitas en el rotor.

La máquina de polos salientes no es autosuficiente para

amortiguar esas desviaciones, es por esto que generalmente se adiciona el devanado amortiguador, que no es otra cosa que una jaula de ardilla ubicada en la superficie de los polos, donde las corrientes inducidas pueden circular. La segunda y más importante diferencia es que la reluctancia del entrehierro en la de rotor liso es casi uniforme en toda la circunferencia del rotor; en la de polos salientes varía enormemente de un valor máximo entre polos (eje q) a un valor mínimo frente a la superficie del polo (eje d); es por esta razón que los dos tipos de máquinas tienen para el análisis de regulación diagramas vectoriales distinto.

9

Una máquina de rotor liso puede ser representada mediante un circuito equivalente previa aceptación de los siguientes razonamientos: El flujo en el entrehierro se considera como la suma vectorial de dos flujos, uno producido por el campo y otro por la reacción de armadura (la corriente de armadura produce este último); éstos flujos se pueden traducir también como fmm generadas y así:

Figura 1.3 Diagrama vectorial de un Generador con rotor cilíndrico, con corriente atrasada.

Er, el voltaje en el entrehierro es la suma vectorial de E, voltaje de excitación y Ea generado por la reacción de armadura.

Entonces: E - j Ia Xm = Er

Xm es una constante de proporcionalidad relacionando Ea con Ia y se denomina reactancia magnetizante.

10

Er, el voltaje en el entrehierro difiere del voltaje terminal (V) sólo por la caída en la resistencia (I a) y la reactancia de dispersión de la armadura (X l) o sea:

Figura 1.4. Circuito equivalente de un generador con rotor de polos lisos

Xl, involucra no sólo el flujo de dispersión sino también el flujo asociado con las armónicas creadas debido a que el flujo no es senoidal.

Xs, se conoce como reactancia síncrona y en este caso (rotor liso) Xd = Xs

Para la máquina de polos salientes los conceptos anteriores no son aplicables por la siguientes razones: el flujo ϕ

e

(con la máquina en vacío produce la fem. E) se

modifica por el flujo ϕ a (reacción de armadura) de tal modo que el flujo resultante ϕv genera el voltaje terminal V.

11

Figura 1.5 Diagrama vectorial de un Generador con rotor de polos salientes, con corriente atrasada.

Este voltaje se obtiene si ϕa se resuelve en dos componentes, una en fase con E (eje en cuadratura q) y otra a 90° (eje directo d).

El ángulo ϕ

q

causa un desfasamiento de ϕ

v

; ϕ

d

refuerza o debilita a ϕe ,

dependiendo del factor de potencia. Evidentemente, la reluctancia en eje en cuadratura (trayectoria en aire) es mayor que la reluctancia en eje directo (trayectoria en hierro) y como cualitativamente

Flujo = fmm / Reluctancia Inductancia = flujo / corriente Xd > Xq X d = X l + Xϕ d X q = X l + Xϕ q

12

Figura 1.6 Diagramas vectoriales del generador con rotor polos salientes, con corriente atrasada.

Cuando el rotor gira para generar el valor máximo de voltajes en orden ABC se dice que la secuencia es ABC. Aceptado que el rotor gira a velocidad síncrona también no habrá movimiento relativo entre el rotor y el campo producido por el estator y por lo tanto no habrá fem inducida en campo ni corrientes parásitas en el hierro del rotor.

Si invertimos la secuencia del estator, existirá una frecuencia relativa entre el campo del estator y los conductores y metal del rotor de 120 ciclos; la máquina se comporta como un transformador con secundario en cortocircuito, operando a 120 ciclos cuya reactancia se llama REACTANCIA DE SECUENCIA NEGATIVA;

es generalmente más

pequeña que Xd ó Xq en la máquina de polos lisos, es igual a ( Xd + Xq) / 2 en la de polos salientes.

Para analizar el efecto de un cortocircuito en las terminales de un alternador sin carga, un procedimiento excelente consiste en tomar un oscilograma de la corriente de corto

13

circuito en una de la fases al presentarse la falla. Como las tensiones generadas en las fases de una máquina trifásica están desfasadas unas de otras en 120° eléctricos, el cortocircuito se aplica en puntos diferentes de la onda de tensión de cada fase. Por esta razón la componente unidireccional o de régimen transitorio de la corriente es diferente en cada fase.

Si se elimina la componente continua de la corriente de cada fase, la representación gráfica de la corriente de cada fase en función del tiempo corresponde a la figura siguiente

Figura 1.7 Corriente en función del tiempo en un generador cortocircuitado funcionando en vacío. La corriente unidireccional transitoria de la corriente ha sido eliminada.

14

La corriente de armadura crece y dado que el factor de potencia de ésta es atrasado y muy pequeño, el efecto de la reacción de armadura es netamente desmagnetizante.

El flujo en el entrehierro es mucho mayor en el instante en que se produce el cortocircuito que unos pocos ciclos más tarde. La reducción del flujo se debe a la fmm de la corriente en la armadura, o sea a la reacción de inducido.

Sin embargo, el flujo en los polos, debido a la inductancia grande del circuito de campo, no puede cambiar instantáneamente y como respuesta natural, se induce una corriente en el campo que se opone al cambio y que tendrá la misma dirección que la corriente If, antes de aplicar el cortocircuito. Al final de cuentas, la reacción de armadura logra modificar el flujo principal, no sólo en el entrehierro sino también en el hierro, de tal modo que la corriente de armadura decrece exponencialmente hasta estabilizarse en un valor.

En la figura 1.7 la distancia oa es el valor máximo de la corriente de cortocircuito en régimen permanente (I). La tensión en vacío del alternador Eg dividida por la corriente I, se llama reactancia síncrona del alternador o reactancia sincrónica directa Xd, puesto que el factor de potencia es bajo durante el cortocircuito se desprecia la resistencia relativamente pequeña del inducido.

Si la envolvente de la onda de corriente se hace retroceder hasta el instante cero y se desprecian unos pocos ciclos en los que el decremento es muy rápido, la intersección determina la distancia ob , este valor de corriente es conocido como corriente en régimen transitorio ( I’ ) o simplemente corriente transitoria, en este caso se puede

15

definir la reactancia transitoria o reactancia transitoria directa X’d , que se obtiene al dividir Eg entre I’ para un generador funcionando en vacío antes del fallo.

El valor eficaz de la corriente determinado por la intersección de la envolvente con el eje de ordenadas en el tiempo cero, se denomina corriente subtransitoria (I ’’), distancia oc en la figura 1.7. A este valor de corriente se le conoce como corriente eficaz simétrica inicial, lo que es más descriptivo porque lleva consigo la idea de despreciar la componente continua y tomar el valor eficaz de la componente alterna de la corriente, inmediatamente después de presentarse el fallo. La reactancia subtransitoria directa X’’d para un alternador que funciona en vacío antes de presentarse la falla trifásico en sus terminales es Eg / I’’.

Las corrientes y reactancias antes estudiadas vienen definidas por las ecuaciones siguientes:

I

I’

=

=

I’’ =

Siendo

oa 2

ob 2

oc 2

=

=

=

Eg Xd

Eg X 'd

Eg X '' d

16

I

=

Corriente permanente, valor eficaz

I’

=

Corriente transitoria, valor eficaz

I’’

= Corriente subtransitoria, valor eficaz. Xd

= Reactancia sincrónica directa

X’d

= Reactancia transitoria directa

X’’d = Reactancia subtransitoria directa Eg

= Valor eficaz de la tensión entre una fase y el neutro, en vacío

CAPÍTULO II

DIAGRAMAS EQUIVALENTES PARA EL ESTUDIO DE CORTOCIRCUITO

18

2.1

Diagramas equivalentes de los elementos del circuito.

Para cada elemento de un sistema eléctrico de potencia existe un modelo o circuito equivalente que asemejan el comportamiento del aparato y nos facilitan el cálculo y la simulación de distintos eventos.

Como se mencionó anteriormente un sistema trifásico balanceado se puede representar con un circuito monofásico, fabricado con los siguientes diagramas equivalentes:

Figura 2.1 Diagrama equivalente de un generador síncrono

La máquina síncrona se puede representar con una fuente de voltaje que asemeja el voltaje generado de línea a neutro y una impedancia que representa la impedancia de líneas a neutro bajo cargas balanceadas. Los devanados de las máquinas se pueden conectar en Delta o Estrella; si la conexión es en delta, se debe reemplazar por una estrella equivalente.

Figura 2.2 Diagrama equivalente de un transformador de dos devanados

19

En el estudio de cortocircuito se desprecian las corrientes de excitación y de pérdidas y el circuito se transforma en el circuito mostrado en la figura 2.2., para el caso del transformador.

Si el estudio se hace en alta tensión, por lo general la resistencia se desprecia y entonces sólo se considera una inductancia. De aquí se concluye que el circuito equivalente que se use debe corresponder a la precisión del problema.

La clasificación de líneas de transmisión

según su longitud, está basada en las

aproximaciones admitidas al operar con los parámetros de la línea. La resistencia, la inductancia y capacitancia están uniformemente repartidas a lo largo de la línea y en el cálculo exacto de líneas largas hay que considerarlo así. En líneas de longitud media se considera que la mitad de la capacitancia está agrupada en cada extremo de la línea, sin que por ello se cometa un error apreciable al calcular voltaje y corriente en sus terminales. Por último en líneas cortas se desprecia la susceptancia capacitiva por ser tan pequeña. Se consideran como líneas cortas las líneas aéreas a 60 Hz, de menos de 50 millas, las líneas de longitud media son aquellas comprendidas entre 50 y 150 millas, aproximadamente, y las líneas de más de 150 millas se consideran líneas de longitud larga.

Las cargas de un sistema eléctrico de potencia son en su inmensa mayoría de factor de potencia atrasado, es decir, se componen de resistencia e inductancia, pero en un estudio de corto circuito se supone que en el sistema no fluye corriente de carga antes de simular una falla, para así simplificar el procedimiento aproximando los resultados a los valores reales.

20

(a)

(b)

Figura 2.3 Diagramas equivalentes de líneas de transmisión, dependiendo de su longitud. (a) Línea corta; (b) Línea media

2.2 Diagramas de impedancia y reactancia.

Para estudiar el comportamiento de un sistema en condiciones de carga o al presentarse un cortocircuito, el diagrama unifilar tiene que transformarse en un diagrama de impedancias que muestre el circuito equivalente de cada componente del sistema, referido al mismo lado de uno de los transformadores.

21

El diagrama de impedancias no incluye las impedancias limitadoras de corriente entre los neutros de los generadores y tierra, porque en condiciones de equilibrio, no circulan corrientes por la tierra y los neutros de los generadores están al mismo potencial que el neutro del sistema.

En este diagrama se hacen las siguientes simplificaciones para efectuar un cálculo de fallas:

La admitancia en paralelo de un transformador se suprime normalmente en el circuito equivalente ya que la corriente magnetizante de éste, es insignificante comparada con la corriente a plena carga.

Las cargas que no incluyen máquinas giratorias, tienen poco efecto sobre la corriente total de la línea durante la falla, por lo que, frecuentemente se omiten.

La resistencia se omite ya que la reactancia inductiva de un sistema es mucho mayor que su resistencia. La resistencia y la reactancia inductiva no se suman directamente y la impedancia no es muy diferente de la reactancia inductiva si es muy pequeña la resistencia.

Se desprecia también la capacitancia de las líneas de transmisión para simplificación.

Estos diagramas de impedancias y reactancias se conocen como diagramas de secuencia positiva, puesto que representan impedancias para las corrientes equilibradas de un sistema trifásico simétrico.

22

Cuando se representa un transformador por un circuito equivalente, no hay transformación de voltaje correspondiente a la transformación de voltaje real. La corriente en ambos extremos del circuito equivalente es idéntica si se desprecia la corriente magnetizante. En un transformador real, la corriente en el devanado primario sería igual a la del devanado secundario únicamente si los dos devanados tuvieran el mismo número de vueltas. En un circuito en el que los transformadores están representados por sus circuitos equivalentes, las impedancias adecuadas son las del circuito real, referido al lado del transformador para el que se construye el circuito equivalente.

Para transferir el valor óhmico de la impedancia desde el nivel de voltaje sobre un lado del transformador trifásico hasta el nivel de voltaje en el otro lado, el factor de multiplicación es el cuadrado de la relación de los voltajes línea a línea sin importar la conexión de transformador.

2.3

Cantidades por unidad.

Con frecuencia se expresa el voltaje, la corriente, la potencia y la impedancia de un circuito en porcentaje, o bien, por unidad de un valor base o de referencia que se elige para cada una de tales magnitudes. Por ejemplo, si se selecciona un voltaje base de 120 kV, los voltajes cuyos valores sean 108, 120 y 125 kV se transforman en:

108 = 0.9 120

23

120 = 1.0 120 125 = 1.041 120 90, 100 y 104.1 % respectivamente.

El valor por unidad de una magnitud cualquiera se define como el cociente de su valor a un valor base expresado como decimal.

El valor porcentaje es 100 veces el valor por unidad. Los valores por unidad o en porcentaje son mucho más sencillos de manejar que si se usan Volts, amperes o Voltamperios. El método por unidad tiene una ventaja sobre el método en porcentaje, y es que el producto de dos magnitudes que se expresan en aquel, está a su vez expresado por unidad, en tanto que el producto de dos cantidades expresadas en porcentaje tienen que dividirse por 100 para obtener el resultado en porcentaje.

En sistemas monofásicos: Con voltaje y kVA como las dos cantidades base independientes y la base numéricamente igual a la base en kVA, se tienen las siguientes relaciones: Corriente base (A) =

kVAbase kVbase

Impedancia base (Ω) =

Vbase Abase

kVbase 2 x1000 Impedancia base (Ω) = kVAbase

24

Una impedancia Z dada en Ohms se puede expresar en porcentaje o por unidad de impedancia base. Z (%) =

Z (%) =

Zohms * 100 Ωbase

Zomhs * kVAbase kVbase 2 * 10

Y por unidad Z p. u. =

Z ohms Ω base

despejando Zohms

Zohms =

Z%. * kVbase 2 * 10 = kVAbase

Z p.u. * kVbase 2 * 1000 kVAbase

donde kVAbase = kVA monofásicos kV base = Voltaje monofásico en kV

En sistemas trifásicos: Para el equipo trifásico la capacidad se da para las tres fases y el voltaje de línea a línea. Para cálculos en sistemas trifásicos balanceados, el circuito se puede reducir a un circuito monofásico y entonces el voltaje será de línea a tierra.

Las ecuaciones planteadas para sistemas monofásicos se pueden aplicar en circuitos trifásicos conectados en delta, si el voltaje base es línea a línea y los kVA base 1/3 de

25

los kVA trifásicos. En sistemas de potencia trifásicos balanceados el voltaje de línea a línea es √3 veces el voltaje al neutro y las corrientes de los devanados en delta son 1/√3 veces las corrientes de línea que salen de la delta.

En un circuito de línea a neutro , una impedancia al neutro Z que se dé en Ohms se puede calcular en porcentaje o por unidad de la impedancia base al neutro, por ecuaciones que tengan kVA base trifásicos y voltaje base de la línea. Z% =

Zohms * kVAbase kVbae 2 * 10

Z p .u . =

Zohms * kVAbase kVbae 2 * 1000

Zohms =

Zohms =

Z% * kVbase 2 * 10 kVAbae

Z p.u. * kVbase 2 * 1000 kVAbae

donde Z = impedancia al neutro kVA base = kVA trifásicos kV base = Voltaje base de línea a línea

CAPÍTULO III COMPONENTES SIMÉTRICAS

27

3.1 Teoría de las componentes simétricas.

En 1918 C. L. Fortescue, presentó en una reunión del “American Institute of Electrical Engineers”, un trabajo que constituye una de las herramientas más poderosas para el estudio de los circuitos polifásicos desequilibrados. Los fallos asimétricos en sistemas de transmisión, que pueden ser cortocircuitos, impedancia entre líneas, impedancia de una o más líneas a tierra o conductores abiertos, se estudian por el método de las componentes simétricas. La parte fundamental de la teoría es sencilla y como tal, debe entenderse sin complicaciones.

La separación de un vector en componentes para simplificar procedimientos de cálculo es de uso común, así un voltaje o corriente de alterna formado por dos componentes en cuadratura se expresa como: V = V1 + j V2 El número de componentes pudiera ser mayor que dos. Así: E = I Z = ( I1 + I2 ) Z es válido si: I = I1 + I2 E = I Z = ( I1 + I2 + I3) Z se cumple si: I = I1 + I2 + I3

En las relaciones anotadas arriba se puede decir en primer lugar que I1 e I2 son “componentes” de la corriente I, y también que I1 , I2 e I3 son “componentes” de I en el segundo caso.

Con un criterio similar se establece que V a = V a(1) + V a(2) + V a(0)

28

V b = V b(1) + V b(2) + V b(0) V c = V c(1) + V c(2) + V c(0)

o sea, en un sistema trifásico desbalanceado el vector voltaje de cada fase será igual a la suma de tres componentes llamados de secuencia positiva, negativa y cero.

Los componentes de secuencia positiva, acompañados con superíndice 1, son tres vectores de igual magnitud y separación angular de 120° entre ellas con secuencia normal ABC.

Los componentes de secuencia negativa, acompañados con superíndice 2, son tres vectores de igual magnitud y separación angular de 120° con secuencia ACB.

Los componentes de secuencia cero, acompañados con superíndice 0, son tres vectores de la misma magnitud y de la misma dirección.

Se puede considerar que las componentes simétricas de determinado sistema trifásico desbalanceado son las que se anotan enseguida:

Figura 3.1 Conjuntos de vectores equilibrados que son los componentes Simétricos de tres vectores desequilibrados.

29

El sistema trifásico balanceado es fácil de graficar, si aplicamos las relaciones:

V a = V a(1) + V a(2) + V a(0) V b = V b(1) + V b(2) + V b(0) V c = V c(1) + V c(2) + V c(0) Los vectores resultantes se muestran en la siguiente figura:

Figura 3.2 Suma gráfica de los componentes representados en la figura 3.1 para obtener tres vectores desequilibrados.

El operador “a” es un vector de magnitud unitaria y dirección 120°, puesto en forma cartesiana será: a = −

1 3 +j 2 2

De la misma forma el operador a2 será un vector de magnitud unitaria y dirección 240° ó -120° que puesto en forma cartesiana es:

30

a2 = −

1 3 −j 2 2

Finalmente el operador a3 será un vector de magnitud unitaria y ángulo cero grados. Aplicando el operador “a” a un vector particular, éste no cambiará su magnitud, solamente su dirección que será “adelantada” de acuerdo con el ángulo asociado con el operador “a”.

Figura 3.3 Diagrama vectorial de las potencias del operador “a”.

La propiedad de uso más general en el desarrollo de relaciones entre componentes simétricas será la anotada enseguida: a = −

1 3 +j 2 2

a2 = −

1 3 −j 2 2

_____________________ a + a2 = -1 Por lo tanto a2 + a + 1 = 0

31

3.2 Componentes simétricos de vectores asimétricos.

El operador “a” aplicado a las componentes simétricas del sistema trifásico desbalanceado da las siguientes relaciones: V b(1) = a2 V a(1)

V b(2) = a V a(2)

V b(0) = V a(0)

V c(1) = a V a(1)

V c(2) = a2 V a(2)

V c(0) = V a(0)

Por lo que las relaciones: V a = V a(1) + V a(2) + V a(0) V b = V b(1) + V b(2) + V b(0) V c = V c(1) + V c(2) + V c(0) se modifican y quedan: V a = V a(0) + V a(1) + V a(2) V b = V a(0) + a2 V a(1) + a V a(2) V c = V a(0) + a V a(1) + a2 V a(2)

Va =

Vb Vc

1

1

1

V a (0)

1

a2

a

V a (1)

1

a

a2

V a (2)

Si denominamos:

A

=

1

1

1

1

a2

a

32

1

a2

a

La inversa de A será:

A -1

=

1 3

1

1

1

1

a

a2

1

a2

a

Puesto que se cumple A . A -1 = I

I

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Y premultiplicando ambos miembros de ⏐ V fase ⏐ = ⏐A⏐ .⏐V s ⏐ por ⏐ A -1 ⏐ Se tiene: V a (0) V a (1) V a (2)

= 1/3

1

1

1

Va

1

a

a2

Vb

1

a2

a

Vc

O bien: 3 V a (0) = V a + V b + V c 3 V a (1) = V a + a V b + a2 V c 3 V a (2) = V a + a2 V b + a V c

33

La primera ecuación de las últimas tres demuestra que no existe componente de secuencia cero si la suma de los tres vectores desequilibrados es cero. Como la suma de los vectores de tensión entre líneas en un sistema trifásico es siempre cero, los componentes de secuencia cero no existen en las tensiones de línea, cualquiera que sea el desequilibrio. La suma de los vectores de las tres tensiones entre línea y neutro no es necesariamente cero y, por lo tanto, las tensiones, respecto al neutro, pueden tener componentes de secuencia cero.

Estas ecuaciones pueden escribirse también para las corrientes de la misma manera que para los voltajes y son las siguientes:

3 I a (0) = I a + I b + I c 3 I a (1) = I a + a I b + a2 I c 3 I a (2) = I a + a2 I b + a I c

En un sistema trifásico, la suma de las corrientes en las líneas, es igual a la corriente I n en el retorno por el neutro. Por lo tanto, Ia+Ib+Ic=In 3 I a (0) = I n Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifásico, In es cero y las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero. Una carga conectada en Delta no tiene retorno por el neutro y por eso las corrientes que van a una carga conectada en delta no tienen componentes de secuencia cero.

34

3.3 Impedancias de secuencia y redes de secuencia.

La caída de tensión que se origina en cualquier parte del circuito por la corriente de una secuencia determinada, depende de la impedancia de la parte del circuito para la corriente de dicha secuencia. La impedancia de un circuito cuando por él circulan solamente corrientes de secuencia positiva se llama impedancia a la corriente de secuencia positiva o bien impedancia de secuencia positiva. Similarmente, si sólo existen corrientes de secuencia negativa, la impedancia se denomina impedancia de secuencia negativa; y cuando existen únicamente corrientes de secuencia cero, la impedancia se llama impedancia de secuencia cero.

El análisis de una falla asimétrica en un sistema simétrico consiste en la determinación de los componentes simétricos de las corrientes desequilibradas que circulan. Como las corrientes componentes de la secuencia de una fase dan lugar a caídas de tensión solamente de la misma secuencia y son independientes de las corrientes de las otras secuencias, en un sistema equilibrado, las corrientes de cualquier secuencia pueden considerarse circulando en una red independiente formada solamente por las impedancias a la corriente de tal secuencia. El circuito equivalente monofásico formado por las impedancias a la corriente de cualquier secuencia exclusivamente, se denomina red de secuencia para tal secuencia en particular. La red de secuencia incluye las f.e.m. generadas de secuencia igual.

Las redes de secuencia que transportan las corrientes I a (1), I a (2) e I a (0) se interconectan para representar diversas condiciones de fallas desequilibradas. Por lo tanto, para

35

calcular el efecto de un fallo por el método de los componentes simétricos, es esencial determinar las impedancias de secuencia y combinarlas para formar redes de secuencia.

3.4 Redes de secuencia positiva y negativa.

Es sencillo trazar las redes de secuencia; para empezar las tensiones generadas son sólo de secuencia positiva, ya que el generador está proyectado para suministrar tensiones trifásicas. Por lo tanto la red de secuencia positiva de un generador está formada por una f.e.m. en serie con la impedancia de secuencia positiva del generador. Las redes de secuencia negativa no contienen f.e.m. pero incluyen las impedancias del generador a secuencia negativa. La f.e.m. generada en la red de secuencia positiva, es la tensión en las terminales sin carga, respecto al neutro, que es igual a las tensiones detrás de las reactancias transitorias y subtransitorias y a la tensión detrás de la reactancia sincrónica al considerar al generador sin carga. La reactancia del generador en la red de secuencia positiva es la reactancia transitoria, subtransitoria o síncrona, dependiendo del tipo de estudio que se esté realizando.

La barra de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es el neutro del generador. Por lo que respecta a los componentes de secuencia positiva y negativa, el neutro del generador está al potencial de tierra, ya que solamente circula corriente de secuencia cero por la impedancia entre el neutro y tierra.

El paso de una red de secuencia positiva a negativa es sumamente sencillo. Las

36

impedancias de secuencia positiva y negativa son las mismas en un sistema simétrico estático, la conversión de una red de secuencia positiva a negativa se lleva a cabo cambiando, si es necesario, solamente las impedancias que representan máquinas giratorias, y omitiendo las f.e.m. Dado que todos los puntos neutros de un sistema trifásico simétrico están al mismo potencial cuando circulan corrientes trifásicas equilibradas, todos los puntos neutros deben de estar al mismo potencial para las corrientes de secuencia positiva o para las de secuencia negativa. Por lo tanto, el neutro de un sistema trifásico balanceado es el potencial de referencia lógico para especificar las caídas de tensión de secuencia positiva y negativa, y es la barra de referencia de estas redes. La impedancia conectada entre el neutro de una máquina y tierra no es una parte de la red de secuencia positiva ni de la red de secuencia negativa, porque ni la corriente de secuencia positiva, ni la de secuencia negativa pueden circular por una impedancia así conectada.

3.5 Redes de secuencia cero.

Un sistema trifásico funciona como monofásico en cuanto a corrientes de secuencia cero se refiere, ya que las corrientes de secuencia cero tienen el mismo valor en magnitud y dirección en cualquier punto en todas las fases del sistema. Por consiguiente, las corrientes de secuencia cero circularán solamente si existe un camino de retorno por el cual puede completarse el circuito. El punto de referencia para los voltajes de secuencia cero es el potencial de tierra en el punto del sistema en el cual se especifica. Como las corrientes de secuencia cero pueden estar pasando a tierra, dicha tierra no está

37

necesariamente al mismo potencial en todos sus puntos y la barra de referencia de la red de secuencia cero no representa una tierra con potencial uniforme. La de tierra y los cables de toma de tierra están incluidos en la impedancia de secuencia cero de la línea de transporte, y el circuito de retorno de la red de secuencia cero es un conductor de impedancia nula, que es la barra de referencia del sistema. La impedancia de tierra está incluida en la impedancia de secuencia cero, por lo que las tensiones, medidas respecto a la barra de referencia de la red de secuencia cero, dan la tensión correcta respecto de tierra.

Si el circuito está conectado en estrella, sin conexión del neutro a tierra o a otro punto neutro del circuito, la suma de las corrientes que van hacia el neutro en las tres fases es igual a cero. Dado que las corrientes, cuya suma es nula, no tienen componentes de secuencia cero, la impedancia a la corriente de secuencia cero es infinita más allá del punto neutro, lo que se indica por un circuito abierto en la red de secuencia cero entre el neutro de secuencia cero del circuito conectado en estrella y la barra de referencia, como se representa en la figura 3.4a.

38

Figura 3.4 Redes de secuencia cero para cargas conectadas en Y.

Si el neutro del circuito conectado en Y se une a tierra a través de una impedancia nula, se inserta una conexión de impedancia cero para unir el punto neutro y la barra de referencia de la red de secuencia cero como se ve en la figura 3.4b.

Si la impedancia Zn se intercala entre el neutro y tierra de un circuito conectado en Y, debe colocarse una impedancia 3Zn entre el neutro y la barra de referencia de la red de secuencia cero, como se aprecia en la figura 3.4c. La caída de tensión de secuencia cero, originada en la red de secuencia cero por el paso de Ia(0) por 3Zn, es la misma que en el

39

sistema real en el que pasa 3 I a (0), por Zn La impedancia formada por una resistencia o una reactancia se conecta directamente entre el neutro de un generador y tierra para limitar la corriente de secuencia cero durante un fallo. La impedancia de tal resistencia o reactancia limitadora de corriente se representa en la red de secuencia cero de la manera descrita.

Un circuito conectado en delta, por no disponer de camino de retorno, presenta una impedancia infinita a las corrientes de línea de secuencia cero. La red de secuencia cero está abierta en el circuito con conexión en triángulo. Las corrientes de secuencia cero pueden circular dentro del circuito delta, puesto que éste es un circuito serie cerrado para la circulación de corrientes monofásicas. Tales corrientes, sin embargo, tendrían que ser producidas en el delta, por inducción de una fuente exterior o por las tensiones generadas de secuencia cero.

En la figura 3.5 se representa un circuito delta y su red de secuencia cero. Aun cuando se generan tensiones de secuencia cero en las fases del circuito delta, no existe tensión de secuencia cero en las terminales, porque la elevación de tensión en cada fase del generador es igual a la caída de tensión en la impedancia de secuencia cero de cada fase.

Figura 3.5 Carga conectada en delta y su red de secuencia cero

40

Merecen una atención especial los circuitos equivalentes de secuencia cero de los transformadores trifásicos. Las diversas combinaciones posibles de los devanados primario y secundario en estrella y delta varían la red de secuencia cero. La teoría de los transformadores hace posible la construcción del circuito equivalente de la red de secuencia cero. Se sabe que en el circuito primario no circula corriente, a menos que circule una corriente en el secundario, si se desprecia la corriente magnetizante que es relativamente pequeña; además la corriente primaria se determina por la corriente secundaria y la relación de transformación de los arrollamientos, despreciando la corriente magnetizante.

Las distintas conexiones se presentan en la figura 3.6, las flechas indican los caminos posibles para la circulación de la corriente de secuencia cero. La no existencia de flecha indica que la conexión del transformador es tal que no puede circular la corriente de secuencia cero. Para cada conexión se presenta el circuito equivalente de secuencia cero, con resistencia y un camino para la corriente magnetizante omitida. Las letras P y Q identifican los puntos correspondientes en el diagrama de conexiones y el circuito equivalente.

CASO 1. Conexión estrella - estrella. Un neutro a tierra. Si uno de los dos neutros de un banco estrella - estrella no está puesto a tierra, la corriente de secuencia cero no puede circular en ninguno de los dos arrollamientos. La ausencia de camino por un arrollamiento impide la corriente en el otro. Para la corriente de secuencia cero existe un circuito abierto entre las dos partes del sistema conectado por el transformador.

41

CASO 2. Conexión estrella - estrella. Ambos neutros a tierra. Cuando los dos neutros están puestos a tierra, existe un camino en los dos arrollamientos para las corrientes de secuencia cero. Si la corriente de secuencia cero puede seguir un circuito completo fuera del transformador y en ambos lados de él, puede circular en ambos arrollamientos del transformador. En la red de secuencia cero, los puntos de ambos lados del transformador se unen por la impedancia de secuencia cero del transformador.

CASO 3. Conexión estrella - delta. Puesto a tierra neutro de Y. Si el neutro de la Y se pone a tierra, las corrientes de secuencia cero tienen camino a tierra a través de la conexión en estrella, ya que las corrientes inducidas correspondientes pueden circular en la conexión delta. La corriente de secuencia cero que circula en la delta para equilibrar la corriente de secuencia cero en la estrella, no puede circular en las líneas conectadas al delta. El circuito equivalente proporciona un camino desde la línea en el lado estrella, a través de la resistencia equivalente y reactancia de pérdida del transformador, hasta la barra de referencia. Es preciso que exista un circuito abierto entre la línea y la barra de referencia en el lado delta. Si la conexión del neutro a tierra contiene una impedancia Zn, el circuito equivalente de secuencia cero debe tener una impedancia 3Zn en serie con la resistencia equivalente y la reactancia de pérdida del transformador para conectar la línea en el lado Y a tierra.

CASO 4. Conexión estrella - delta. Sin aterrizar neutro. Si la Y no se aterriza, la impedancia Zn entre el neutro y la barra de referencia es infinita. La impedancia 3Zn en el circuito equivalente del caso anterior para la

42

impedancia de secuencia cero, se hace infinita. La corriente de secuencia cero no puede circular por los devanados del transformador.

CASO 5. Conexión delta - delta. Un circuito delta - delta no proporciona camino de retorno a la corriente de secuencia cero, por lo tanto no existe corriente de secuencia cero en el transformador, aunque puede circular dentro de los arrollamientos delta.

Los circuitos equivalentes de secuencia cero, determinados para diversas partes del sistema separadamente, se combinan fácilmente para formar la red completa de secuencia cero.

Las figuras 3.7 y 3.8 representan diagramas unifilares de dos sistemas de energía pequeños y sus correspondientes redes de secuencia cero, simplificadas, suprimiendo las resistencias y admitancias en paralelo.

43

Figura 3.6 Circuitos equivalentes de secuencia cero de transformadores trifásicos junto con los esquemas de conexiones y símbolos para diagramas unifilares.

44

Figura 3.7 Diagrama unifilar de un sistema de energía pequeño y su red de secuencia cero equivalente.

Figura 3.8 Diagrama unifilar de un sistema de energía pequeño Y su red de secuencia cero equivalente

CAPÍTULO IV MATRIZ DE IMPEDANCIAS DE BARRAS

46

4.1 Introducción.

El análisis nodal ha tomado gran fuerza en los últimos años exponiéndose como la técnica más utilizada para el estudio de los sistemas de potencia. Lo anterior debido a las ventajas disponibles hoy en día para el manejo y el almacenamiento de las matrices que representan las redes eléctricas. Un análisis nodal se basa en aplicar el balance de corrientes en cada nodo del sistema, siendo las variables de interés los voltajes nodales y las inyecciones de corriente.

Un problema en un sistema eléctrico de potencia puede simularse eficientemente mediante cambios en las inyecciones nodales. Así, un cambio de carga o generación equivale a modificar las inyecciones de corriente o potencia en el sistema. Otras modificaciones en la red de transmisión exigen alterar y determinar las inyecciones en diferentes puntos del sistema.

En especial para el estudio de fallas y flujos de potencia en un SEP, las técnicas modernas utilizan el análisis de nodos como base para las formulaciones utilizadas.

47

4.2 Matriz nodal de admitancias.

El análisis de la distribución de corrientes en una red permite establecer ecuaciones que definen el comportamiento del sistema. En el caso multinodo se genera la matriz de admitancias para representar la red eléctrica.

La ecuación matricial utilizada para el análisis de nodos es la siguiente: [Y].[V] = [I] Donde: I

Vector de inyecciones de corriente nodales

V

Vector de voltajes nodales

Y

Matriz nodal de admitancias

En la ecuación anterior el vector de corrientes (I) representa la excitación del sistema y el vector de voltajes (V) es el vector de respuesta ante un estímulo. La matriz de admitancias representa la topología de la red.

Para comprender mejor la ecuación se desarrolla en detalle la ecuación de corriente para el nodo i, de la figura siguiente.

48

Figura 4.1 Determinación de la ecuación nodal para el nodo i.

La ecuación para el nodo i se obtiene del balance nodal de corrientes I i = I i j + I i k + I i ref A la vez, cada corriente en una rama del sistema se puede expresar en función de los voltajes nodales (V i, V j , V k ) y de las admitancias de rama ( Y i j , Y i k , Y i ref ). I ij= Y ij ( V i - V j ) I ik= Y ik( V i - V k ) I i ref = Y i ref ( V i - V ref ) Sustituyendo en la ecuación de corrientes, se obtiene: I i = Y i j ( V i - V j )+ Y i k ( V i - V k )+ Y i ref ( V i - V ref ) Agrupando términos: I i = (Y i j + Y i k + Y i ref ) V i - Y i j V j - Y i k V k - Y i ref V ref

De la ecuación anterior se obtienen las reglas para la formación de la matriz de admitancias:

El elemento propio (diagonal) está compuesto por la suma de las admitancias de los elementos conectados a un nodo. Para el nodo i, el elemento es Y i i = Y i j + Y i k + Yref.

Los elementos fuera de la diagonal se definen como el negativo de la admitancia entre un nodo y sus nodos vecinos. Para la conexión entre los nodos i, j, el elemento es Y i j = - Y ij .

49

De las reglas anteriores se observa que la matriz de admitancias

[Y] contiene

información de conectividad de la red eléctrica, es decir, el elemento ( i , j ) tendrá valor si existe la rama ( i , j ). El caso común en los sistemas de potencia es que cada nodo sólo está conectado a unos cuantos nodos vecinos, por lo que la matriz de admitancias será dispersa ( contiene muchos elementos nulos ). En sistemas reales, sólo alrededor del 5% de los elementos de la matriz contienen información diferente de cero.

4.3 Matriz nodal de impedancias

La ecuación de admitancia puede representarse en forma alterna de la manera siguiente: [V] = [Z].[I] donde : [ Z ] = [ Y ] -1 representando la matriz nodal de impedancias.

Es importante notar que las ecuaciones que relacionan el voltaje y la corriente por medio de admitancia e impedancia son equivalentes en forma matemática, sólo que desde el punto de vista computacional y conceptual hay diferencias importantes.

La ecuación de impedancia permite un cálculo directo de los voltajes nodales en función de las inyecciones de corriente. En el caso lineal, los voltajes se expresan como una combinación lineal de las corrientes nodales inyectadas. La matriz Z se puede interpretar como una matriz de coeficientes de sensitividad. Si el vector de corriente se divide en dos o más partes se puede expresar como:

50

[ I ] = [ I 1 ] + [ I 2 ] + ... + [ I n ] Sustituyendo está expresión en la ecuación de impedancia, se obtiene: [ V ] = [ Z ] .( [ I1 ] + [ I2 ] + ... + [ I n ]) Se puede apreciar en la ecuación anterior que los voltajes nodales se pueden evaluar calculando la respuesta a cada estímulo de corriente y después superponer los efectos. [ V ] = [ Z ] [ I 1 ] + [ Z ] [ I 2 ] + ... +[ Z ] [ I n ]

4.4 Significado de la matriz de impedancias.

A diferencia de la matriz de admitancias, que se forma por inspección, la matriz de impedancias no se forma directamente y requiere de un proceso más elaborado. Generalmente en la matriz Z todos los elementos tienen valor, lo cual hace que el voltaje nodal en un punto del sistema dependa de todas las inyecciones nodales. Esto indica que la matriz de impedancias contiene información relacionada con la distribución de corrientes en toda la red.

Si se supone que sólo existe una inyección de corriente en el sistema (nodo j), los voltajes nodales se calculan mediante: V 1 = Z 1jI j V 2 = Z 2jI j V x = Z xjI j V n = Z njI j

51

En la siguiente figura se ilustra el caso de tener una sola inyección de corriente en el sistema.

Figura 4.2 Distribución de corrientes en un sistema con una sola inyección de corriente.

La corriente que entra en el nodo j se distribuye en la red eléctrica de acuerdo a las impedancias de las ramas, y completa el circuito mediante las conexiones del sistema a la referencia.

Las impedancias Z

xj

se pueden interpretar como el cociente del voltaje en el nodo x

debido a la inyección de corriente en el nodo j.

V Z xj = I x j En el caso de tener una corriente unitaria las impedancias son numéricamente iguales a los voltajes nodales.

Se puede concluir que la matriz Z contiene información de la distribución de corrientes en el sistema. Así, si se desea obtener la circulación de corriente en la rama r - s, al inyectar una corriente unitaria en el nodo k, se calcula de la siguiente forma:

52

I rs =

Z rk − Z sk Z rs

4.5 Características de matrices.

El análisis nodal se puede realizar utilizando las matrices de admitancias o de impedancias, cada una de las cuales tiene características propias. En la siguiente Tabla se resume lo más importante de la comparación.

Tabla 4.1 Características de las Matrices Y y Z

Topología

Elementos con Información Local

Relación Directa Matriz Circuito Si

Sensitividad

Sistema

No

Matriz

Determinación

Tipo

Información

Y

Inspección

Dispersa

Llena

( fácil ) Z

Algoritmo (complicado)

V-I

De esta tabla se observan características deseables de ambas matrices. De la matriz de admitancias, su fácil obtención y dispersidad. Por otro lado, la matriz de impedancias contiene información muy valiosa a nivel sistema.

En aplicaciones reales, la selección de matrices depende de aspectos computacionales y de la eficiencia y tiempo de respuesta en el proceso de solución. En general, se desea

53

obtener las ventajas de ambas matrices, mediante el manejo de matrices dispersas y el diseño de algoritmos eficientes.

4.6 Teorema de Thévenin y Zbus.

La matriz de impedancias de barra brinda información importante, relacionada con la red de sistemas de potencia, que puede ser usada para obtener ventaja en los cálculos de redes.

Para establecer una notación se designará a los voltajes de barra que corresponden a los valores iniciales I0 de las corrientes de barra I mediante V0 = Zbus I0. Los voltajes V01 a V0N son los voltajes efectivos de circuito abierto que pueden medirse por un voltímetro entre las barras de la red y el nodo de referencia. Cuando las corrientes de barra cambian de sus valores iniciales a sus nuevos valores I0 = ΔI, los nuevos voltajes de barra están dados por la siguiente ecuación de superposición:

V = Zbus ( I0 + ΔI ) = Zbus I0 + Zbus ΔI = V0 + ΔV

donde ΔV representa los cambios que hay en los valores originales de los voltajes de barra.

En la figura 4.3a se muestra la forma esquemática de un sistema de gran escala con una barra K representativa que se ha extraído del sistema junto con el nodo de referencia.

En principio se considera que el circuito no está energizado, de modo que las corrientes de barra I0 y los voltajes V0 son cero. Entonces, una corriente de ΔIk amperes (o de ΔIk

54

por unidad cuando Zbus está en por unidad) se inyecta dentro del sistema por medio de una fuente de corriente que se conecta al nodo de referencia.

Los cambios de voltaje resultantes en las barras de la red (indicadas por las cantidades incrementales ΔV1 a ΔVN ) están dadas por 1

2

K

N

ΔV1

1

Z11

Z12

. . .

Z1K

. . .

Z1N

0

ΔV2

2

Z21

Z22

. . .

Z2K

. . .

Z2N

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ΔVK

=

K ZK1

ZK2

. . . ZKK

. . . ZKN

ΔIK

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ΔVN

N ZN1

ZN2

. . . ZNK

. . . ZNN

0

Siendo ΔIK en la fila K el único elemento diferente de cero en el vector de corriente. Los voltajes de barra incrementales se obtienen a través de la multiplicación de filas por columnas en la ecuación matricial anterior quedando

55

ΔV1

1

Z1K

ΔV2

2

Z2K

.

.

.

. =

.

ΔVK

. K

ZKK

.

.

.

.

.

.

ΔVN

N

ΔIK

ZNK

Que son numéricamente iguales a los elementos en la columna K de Zbus multiplicados por la corriente ΔIk . El voltaje en la barra K se obtiene al sumar estos cambios de voltaje a los voltajes originales de las barras en la forma

VK = V0K + ZKK ΔIK

El circuito que corresponde a esta ecuación se muestra en la figura 4.3b de donde se aprecia que la impedancia de Thévenin Zth en la barra K del sistema está dada por

Zth = ZKK

donde ZKK es elemento diagonal en la fila K y en la columna K de Zbus.

56

Figura 4.3. a) Red original con la barra K y el nodo de referencia extraídos. b) Circuito equivalente de Thévenin en el nodo K.

De la misma manera se puede determinar la impedancia de Thévenin entre dos barras J y K de la red. La red que de otra forma sería pasiva se energiza por la inyecciones de corriente ΔIJ en la barra J y ΔIK en la barra K, como se indica en la figura 4.4a. Si se designa a los cambios en los voltajes de barra, que resultan de la combinación de estas dos inyecciones de corriente como ΔV1 a ΔVN , se obtiene

57

1

ΔV1

1

Z11

.

.

. .

ΔVJ ΔVK

=

J

J

K

. . . Z1J

Z1K

. . . Z1N

0

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZJ1

K ZK1

. . .

N

ZJK

. . . ZJN

ΔIJ

. . . ZKJ ZKK

. . . ZKN

ΔIK

. . . ZJJ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ΔVN

N ZN1

. . . ZNJ ZNK

. . . ZNN

0

en donde los voltajes incrementales son iguales al producto de ΔIJ por la columna J sumado al producto de ΔIK por la columna K del sistema de Zbus, como se indica

ΔV1

1

.

ΔVJ ΔVK .

Z1J ΔIJ + Z1K ΔIK .

=

J

ZJJ ΔIJ + ZJK ΔIK

K ZKJ ΔIJ + ZKK ΔIK .

58

ΔVN

N ZNJ ΔIJ + ZNK ΔIK

Al sumar estos cambios de voltaje a los voltajes de barra originales, se obtienen para las barras J y K VJ = V0J + ZJJ ΔIJ + ZJK ΔIK

VK = V0K + ZKJ ΔIJ + ZKK ΔIK Al sumar y restar ZJK ΔIJ a la primera ecuación y de la misma forma, ZKJ ΔIK en la segunda ecuación se obtiene VJ = V0J + ( ZJJ - ZJK ) ΔIJ + ZJK ( ΔIJ + ΔIK )

VK = V0K + ZKJ ( ΔIJ + ΔIK ) + ( ZKK - ZKJ ) ΔIK

Los elementos ZJK y ZKJ son iguales porque Zbus es simétrica y el circuito que corresponde a estas dos ecuaciones se muestra en la figura 4.4b, que representa el circuito equivalente de Thévenin del sistema entre las barras J y K. La inspección de la figura muestra que el voltaje de circuito abierto de la barra K a la barra J es V0K - V0J y la impedancia que se encuentra por la corriente de cortocircuito Isc de la barra K a la J en la figura 4.4c es la impedancia de Thévenin

Zth,JK = ZJJ + ZKK - 2ZJK

La figura 4.4b representa el efecto sobre el sistema original, en lo que se refiere a las conexiones externas en las barras J y K. Se puede trazar la impedancia de Thévenin que hay entre la barra J y el nodo de referencia, cuyo valor es ZJJ = ( ZJJ - ZJK ) + ZJK , así

59

como el voltaje en circuito abierto V0J; también de la barra K al nodo de referencia se tiene la impedancia de Thévenin ZKK = ( ZKK - ZKJ ) + ZKJ y el voltaje de circuito abierto V0K. Finalmente, cuando la impedancia de rama se conecta entre las barras J y K de la figura 4.4d, la corriente resultante I b está dada por

VK0 − V J0 V − VJ = K Ib = Z th , JK + Z b Zb

Figura 4.4. a) Red original con fuentes de corriente ΔIJ en la barra J y ΔIK en la barra K; b) circuito equivalente de Thévenin; c) conexión de corto circuito; c) impedancia Z b entre las barras J y K.

60

4.7

Modificación de una Zbus existente.

Como la matriz Zbus es una herramienta importante en el análisis de sistemas de potencia, se debe examinar como se puede modificar una matriz de impedancias de barra existente para añadir nuevos buses o para conectar nuevas líneas a las barras establecidas. Se podría crear una nueva Ybus e invertirla, pero existen métodos directos para modificar Zbus que son mucho más simples que una inversión de matriz, aún para un número pequeño de barras.

Se conocen varios tipos de modificaciones en los que una rama que tiene una impedancia Zb se añade al sistema con una Zbus definida. La matriz de impedancias de barra original es una matriz de N x N y se identifica como Zorig.

En la notación para usarse en el análisis, las barras existentes se designan con números o con las letras H, I, J y K. Las letras P o Q, designan la nueva barra que se añade a la red. El voltaje original de las barras se designa V0K y el nuevo voltaje después de modificar la matriz Zbus es VK .

CASO 1. Añadir la impedancia Zb de una barra nueva P al nodo de referencia. La adición de una nueva barra P que se conecta al nodo de referencia a través de Z b sin que haya conexión con cualquiera de las otras barras de la red original no altera los voltajes originales de barra cuando una corriente I

P

voltaje VP en la nueva barra es igual a IP Z b. Entonces,

se inyecta a la nueva barra. El

61

V01

0

I1

V02

0

I2

.

.

.

.

.

.

.

.

V0N

0

IN

Zb

IP

.

VP

=

Zorig.

0

0

. . .

0

Se observa que el vector columna de corrientes multiplicado por la nueva Zbus no altera los voltajes de la red original y da como resultado el voltaje correcto en la nueva barra P.

CASO 2. Añadir la impedancia Z b de una nueva barra P a una barra existente K. La adición de una nueva barra P conectada a través de Z b de a una barra existente K, con una corriente inyectada IP a la barra P, ocasionará que la corriente que entra a la red original por la barra K se convierta en la suma de la IK, que se inyecta a la barra K, más la corriente IP que llega a través de Z b, como se indica en la figura 4.5.

Figura 4.5. Adición de una barra nueva P que se conecta a través de una impedancia Z b a una barra K existente.

62

La corriente IP que fluye dentro de la red en la barra K incrementa el voltaje original V0K en una cantidad dada por el voltaje ZKK I P, esto es, VK = V0K + ZKK I P y VP es mayor que la nueva VK por una cantidad dada mediante el voltaje Z b I P. Así, VP = V0K + ZKK I P + Z b I P y al sustituir el valor de V0K se obtiene VP = ZK1 I1 + ZK2 I2 + . . . + ZKN IN + IP ( ZKK + Z b ) La nueva fila que hay que añadir a la matriz Zorig. con el fin de encontrar el valor de VP es ZK1 ZK2 . . . ZKN

( ZKK + Z b )

Como Zbus debe ser una matriz cuadrada alrededor de la diagonal principal, se debe sumar una nueva columna que es la transpuesta de la nueva fila. En la nueva columna se tiene en cuenta el incremento, debido a I P, de todos los voltajes de barra. La ecuación matricial es

V01

ZK1

I1

V02

ZK1

I2

.

.

.

.

.

.

.

.

V0N

ZK1

IN

ZKK + Zb

IP

.

VP

=

Zorig.

ZK1

ZK1

. . .

ZK1

63

Se observa que los primeros N elementos de la nueva fila son los elementos de la Késima fila de Zorig y que los primeros N elementos de la nueva columna son los elementos de la K-ésima columna de Zorig.

CASO 3. Añadir la impedancia Z b desde una barra existente K al nodo de referencia. Se añade una nueva barra ficticia P conectada, a través de Z b, a la barra K. Entonces, se cortocircuita la barra P al nodo de referencia haciendo que VP sea igual a cero para obtener la misma ecuación matricial del caso anterior, con la excepción de que VP es cero. Así, con el propósito de realizar la modificación, se crean una nueva fila y columna, al igual que el caso anterior, pero se deben eliminar la fila y la columna ( N + 1 ) con ayuda de la reducción de Kron. Esto es posible por el cero en la matriz columna de voltajes. Se debe encontrar cada elemento Zhi (nuevo) en la nueva matriz, donde Z hi ( nueva ) = Z hi −

Z h ( N +1) Z ( N +1)i Z KK + Z b

CASO 4. Añadir la impedancia Z b entre dos barras existentes J y K. Se examina la figura 4.6 que muestra las barras que se han extraído de la red original. El cambio en el voltaje en cada barra H, causado por la inyección de Ib en la barra J y - I b en la barra K, está dado por

ΔVH = ( ZHJ - ZHK ) Ib

lo que significa que el vector de los cambios de voltaje de barra ΔV se encuentra al restar la columna K de la columna J de Zorig. y multiplicar el resultado por I b. Los voltajes de barra se obtienen V1 = V01 + ΔV1

64

y usando la ecuación anterior se obtiene

V1 = Z11 I1 + . . . + Z1J IJ + Z1K IK + . . . + Z1N IN + I b ( Z1J - Z1K )

De manera similar en las barras J y K.

VJ = ZJ1 I1 + . . . + ZJJ IJ + ZJK IK + . . . + ZJN IN + I b ( ZJJ - ZJK )

VK = ZK1 I1 + . . . + ZKJ IJ + ZKK IK + . . . + ZKN IN + I b ( ZKJ - ZKK )

Se necesita una ecuación extra porque se desconoce el valor de Ib. Esta ecuación es la siguiente que se define con el equivalente de Thévenin en la sección anterior, que puede arreglarse de la forma

0 = V0J - V0K + I b ( Zth,JK + Z b )

V0J es igual al producto de la fila J de la matriz Zorig y la matriz columna de corrientes, así como V0K es igual a la fila K de la matriz Zorig multiplicada por I. Al sustituir las expresiones para V0J y V0K en la ecuación anterior se obtiene

65

I1 . . . 0

=

( fila J - fila K ) de Zorig

IJ

+

( Zth,JK + Z b )Ib

IK . . . IN

Se puede escribir la siguiente ecuación matricial

V1

I1

.

.

.

.

.

.

VJ VK

=

Zorig.

.

(col. J - col. K)

IJ

de Zorig..

IK

.

.

.

.

.

.

VN

IN

0

. (col. J - col. K) de Zorig.

Z bb

Ib

66

en la que el coeficiente de Ib en la última fila se denota por Z b b = ZTH,JK + Z b = ZJJ + ZKK - 2ZJK + Z b La nueva columna es la columna J menos la columna K de la matriz Zorig. con Z bb en la fila (N+1). La nueva fila es la transpuesta de la nueva columna. Se eliminan la fila y la columna (N+1) de la matriz cuadrada de la ecuación anterior, de la forma que se hizo previamente, y se observa que cada elemento ZHI en la nueva matriz es

Z HI ( nueva ) = Z HI −

Z H ( N +1) Z ( N +1) I Z JJ + Z KK − 2 Z JK + Z b

No se necesita el caso de introducir dos barras nuevas conectadas a través de la impedancia Zb porque siempre se puede conectar una de estas barras nuevas, a través de una impedancia, a una barra existente o bien, la de referencia antes de añadir la segunda barra nueva.

Figura 4.6 Adición de una impedancia Z b entre Las barras existentes J y K. Quitando una rama. Una sola rama de impedancia Z

b

colocada entre dos nodos se

puede quitar de la red al añadir el negativo de Z b entre los mismos nodos terminales. La razón es que la combinación paralelo de la rama existente ( Z b ) y la rama que se añade ( - Z b ) dan como resultado un circuito abierto efectivo.

67

La tabla 4.2 resume los procedimientos de los casos del 1 al 4. Tabla 4.2 Modificación de la Zbarra existente

Caso

Adición de la rama Z b desde

Z barra (nueva)

El nodo de referencia a la nueva barra P 1

La barra existente K a la nueva barra P

2

La barra existente K al nodo de referencia

3

‰

Se repite el Caso 2

‰

Se quita la fila P y la columna

P por reducción de Kron ( El nodo P es temporal )

La barra existente J a la barra existente K

‰ Formar la matriz

4 donde Z th,JK = Z JJ + Z KK - 2 Z JK ( El nodo Q es temporal )

‰ Quitar la fila Q y la columna Q por reducción de Kron.

68

4.8 Determinación directa de Zbus.

La formulación de Zbus usando un algoritmo directo para su construcción es un proceso rápido en la computadora. En la salida se tiene una lista de las impedancias de rama que muestra las barras a las que están conectadas. Se empieza por escribir la ecuación para una barra que se conecta a través de una impedancia Za a la de referencia, como

V1

=

Za

I1

y ésta se puede considerar como una ecuación que incluye tres matrices, cada una de las cuales tiene una fila y una columna. Ahora se puede añadir una nueva barra conectada a la primera o al nodo de referencia. Por ejemplo, si la segunda barra se conecta al nodo de referencia a través de Z b, se tiene la ecuación matricial

V1

Za

0

I1

0

Za

I2

= V2

y se procede a modificar la matriz Zbus desarrollada añadiendo otras barras y ramas según los procedimientos descritos en la sección anterior. La combinación de estos procedimientos constituye el algoritmo de construcción de Zbus. Por lo general, las barras de una red deben ser renumeradas internamente por el algoritmo de la computadora para que concuerden con el orden en el que se añaden a la Zbus conforme ésta se va construyendo.

CAPÍTULO V CÁLCULO DE FALLAS UTILIZANDO ZBUS

70

5.1 Introducción

En forma general se puede definir una falla como cualquier conexión anormal que cambie las condiciones de funcionamiento normales de un sistema. Esta situación puede deberse a una carga desbalanceada u otra condición asimétrica. Es conveniente distinguir entre dos tipos de falla:

a) Una falla serie es un desbalance en las impedancias en las líneas y no involucra el neutro o la tierra y tampoco involucra ninguna interconexión entre fases.

b) Una falla shunt es un desbalance entre fases o entre fases y neutro. Las fallas shunt son conocidas comúnmente como cortocircuitos.

Los tipos de fallas shunt de mayor interés general son las siguientes:

1. Falla trifásica balanceada 2. Falla de línea a tierra. 3. Falla de línea a línea. 4. Falla de dos líneas a tierra.

La falla de línea a tierra es usualmente la más común, llegando a constituir quizá el 70% de todas las fallas en líneas de transmisión.

71

La falla trifásica balanceada aún cuando es la más rara en ocurrencia (aproximadamente el 5% del total de fallas en sistemas eléctricos de potencia) es importante por diversas razones entre las que se encuentran las siguientes: a) Es frecuentemente el tipo de falla más severa y en consecuencia debe ser tomada en cuenta para verificar que los interruptores tengan los valores nominales de capacidad interruptiva adecuados. b) Es la falla más simple de analizar y en consecuencia es la única calculada en algunos casos en que se carece de información compuesta del sistema.

La falla de línea a tierra es más severa que la falla trifásica balanceada en las siguientes situaciones:

a) Los generadores tienen neutros sólidamente aterrizados o tienen bajas impedancias en el neutro. b) En el lado estrella aterrizado de un banco de transformadores estrella aterrizada - delta.

72

5.2 Fallas simétricas (falla trifásica).

Una falla trifásica es la de menor probabilidad de ocurrencia; pero su estudio es importante, ya que es la que somete al equipo al mayor esfuerzo, y representa además una falla simétrica, lo cual da mayor simplicidad a su análisis.

Figura 5.1 Falla trifásica en un sistema de potencia.

La red que se muestra a continuación puede ser considerada como un equivalente monofásico de un sistema trifásico balanceado. Si se selecciona la barra 2 para hacer el estudio de cortocircuito, se designa Vf como el voltaje real en la barra 2 antes de que la falla ocurra.

73

Figura 5.2 Diagrama de reactancias del equivalente monofásico de una red trifásica balanceada.

Una falla trifásica en la barra 2 se simula con la red de la figura 5.3, donde las fuentes de voltaje V f y - V f conectadas en serie constituyen una rama en cortocircuito. La fuente de voltaje V f que actúa sola en esta rama es igual al voltaje prefalla en la barra 2 y, por lo tanto, no originaría un flujo de corriente en la rama. Con V f y - V f en serie, la rama se convierte en un cortocircuito y, como se muestra, la corriente de la rama es I f. Por lo tanto, es evidente que I f se origina cuando se añade la fuente - V f. La corriente I f se distribuye a través del sistema, desde el nodo de referencia, antes de fluir hacia afuera de la barra 2 por medio de la fuente - V f. Al hacer esto, produce cambios en los voltajes de barra que ocurren en el sistema debido a la falla. Si Ea, Eb y Vf se cortocircuitan, entonces - V f actúa sola y la corriente - I f hacia la barra 2 es la única corriente que entra a la red desde fuentes externas. Con - V

f

como la única fuente, la red tiene las ecuaciones de impedancias de

nodo en la forma de la matriz Zbus, con lo que

74

Δ V1

Δ V1

Δ V2 = - V f

=

Z11

Z12

Z13

Z14

0

Z21

Z22

Z23

Z24

-If

Δ V3

Δ V3

Z31

Z32

Z33

Z34

0

Δ V4

Δ V4

Z41

Z42

Z43

Z44

0

El prefijo Δ se seleccionó para indicar los cambios en los voltajes en las barras debidos a la corriente - If que se inyecta dentro de la barra 2 por la falla.

Figura 5.3 Circuito que muestra una falla trifásica en la barra 2 simulada por V f y - V f en serie.

El cambio en los voltajes de barra debido a –If está dado por

75

Δ V1 Δ V2

Δ V1

=

-Vf

- Z12 I f

=

-If

Columna 2

=

- Z22 I f

Δ V3

Δ V3

De

- Z32 I f

Δ V4

Δ V4

Zbus

- Z42 I f

La segunda fila de esta ecuación muestra que If =

Vf Z 22

Z22 es el elemento en la diagonal de Zbus que representa la impedancia de Thévenin de la red en la barra 2. Al sustituir la expresión para If en la ecuación matricial anterior, se obtiene

Δ V1 Δ V2

- (Z12/ Z22) V f

=

-Vf

Δ V3

- (Z32/ Z22) V f

Δ V4

- (Z42/ Z22) V f

Cuando el voltaje del generador, - V f, se cortocircuita en la red de la figura 5.3 y las fuentes E a, E

b

y V f se vuelven a insertar en la red, las corrientes y voltajes en cualquier

parte de la red serán iguales a las que había antes de la falla. Por el principio de

76

superposición, estos voltajes prefalla se suman a los cambios dados por la ecuación anterior para obtener los voltajes totales que hay después de que la falla ocurre.

Por lo general la red que falla se supone sin carga antes de ocurrir la falla. En ausencia de cargas no fluyen corrientes prefalla y no hay diferencias de voltaje a través de las impedancias de las ramas, entonces, todos los voltajes de la red son iguales a V f, esto es, al voltaje en el punto de falla antes de ocurrir la falla. La suposición de que no se presenta corriente prefalla simplifica el trabajo de manera considerable, y si se aplica el principio de superposición, se obtienen los voltajes de barra en la forma

V1 V2

Δ V1

Vf =

Vf

+

Δ V2

1 - (Z12/ Z22)

V f - Z12 I f =

V f– V f

=Vf

0

V3

Vf

Δ V3

V f - Z12 I f

1 - (Z32/ Z22)

V4

Vf

Δ V4

V f - Z12 I f

1 - (Z42/ Z22)

Así, los voltajes en todas las barras de la red se pueden calcular por medio del voltaje prefalla V f de la barra que falla y los elementos en la columna de Zbus que corresponden a la misma barra. Los valores calculados de los voltajes de barra conducirán al cálculo de las corrientes en las ramas de la red, dependiendo de los valores de reactancia con que se ha formado Zbus.

77

En términos generales, cuando una falla trifásica ocurre sobre una barra K de una red de gran escala, se tiene If =

Vf Z KK

y si se desprecian las corrientes de carga prefalla, se puede entonces escribir para el voltaje en cualquier barra J durante la falla

V J = V f - ZJK I f = V f - V f

Z JK Z KK

donde ZJK y ZKK son elementos en la columna K de Zbus del sistema. Entonces, si el voltaje prefalla V

f

de la barra J no es igual al voltaje prefalla de la barra K, simplemente se

reemplaza V f del lado izquierdo de la ecuación por el voltaje prefalla real de la barra J. Al conocer los voltajes de barra durante la falla se pueden calcular las corrientes IIJ de la barra I a la barra J en la línea de impedancia Z b que conecta las dos barras,

IIJ =

V f ⎛ Z IK − Z JK ⎞ Z IK − Z JK VI − V J ⎜ ⎟ = − If = − Zb Zb Z b ⎝ Z KK ⎠

Esta ecuación muestra a IIJ como la fracción de la corriente de falla If que aparece como un flujo de la línea desde la barra I a la barra J en la red que ha fallado. Si la barra J está directamente conectada a la barra K que falla a través de una línea de impedancia serie Z b, entonces la contribución de la corriente desde la barra J a la corriente en la barra K que ha fallado es simplemente VJ / Z b .

78

5.3 Fallas asimétricas

La mayoría de las fallas que ocurren en los sistemas de potencia, son fallas asimétricas que consisten en cortocircuitos asimétricos. Las fallas asimétricas que pueden ocurrir son: fallas monofásicas a tierra o a línea a tierra, fallas línea a línea y fallas línea a línea y a tierra. El método de las componentes simétricas es útil en un análisis para determinar las corrientes y voltajes en todas las partes del sistema después de que ha ocurrido la falla, por que cualquier falla asimétrica da origen a que fluyan corrientes desbalanceadas en el sistema. Se considerarán las fallas en sistemas de potencia, mediante la aplicación del teorema de Thévenin que permite encontrar la corriente en la falla al reemplazar el sistema por un generador y una impedancia en serie. También se mostrará como se aplica la matriz de impedancias de barra al análisis de las fallas asimétricas.

En el desarrollo de las ecuaciones para las componentes simétricas de corrientes y voltajes de una red general, se designarán las corrientes que fluyen de las fases a, b y c, hacia afuera del sistema original balanceado como I afa, I bf, I cf, respectivamente.

Se designarán como VJ a , VJ b y VJ c los voltajes línea a tierra durante la falla en cualquier barra J del sistema ; y se continuará usando los superíndices 1, 2 y 0 para denotar las cantidades de secuencia positiva, negativa y cero, respectivamente. El voltaje de línea a neutro de la fase a en el punto de falla antes de que ocurra la falla, se designará como Vf, que es un voltaje de secuencia positiva porque el sistema está balanceado.

79

En la figura 5.4 se muestra un diagrama unifilar de un sistema de potencia, así como sus redes de secuencia. El punto donde se supone la falla es el punto P y, en este ejemplo en particular, se le llama barra K en el diagrama unifilar y en las redes de secuencia.

En la sección anterior se utilizó la matriz de impedancias de barra, compuesta por las impedancias de secuencia positiva, para determinar las corrientes y voltajes al ocurrir una falla trifásica simétrica. El método se puede extender fácilmente al caso de las fallas asimétricas, entendiendo que las redes de secuencia negativa y cero también se pueden representar por matrices de impedancia de barra. La matriz de impedancias de barra para la red de secuencia positiva se escribirá ahora en la siguiente forma :

ZBUS(1) =

Z11(1)

Z12(1)

...

Z1K(1)

...

Z1N(1)

Z21(1)

Z22(1)

...

Z2K(1)

...

Z2N(1)

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

ZK1(1) ZK2(1)

. . . ZKK(1) . . . ZKN(1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZN1(1) ZN2(1)

. . . ZNK(1) . . . ZNN(1)

De manera similar, las matrices de impedancias de barra para las redes de secuencia negativa y cero se escribirán :

80

ZBUS(2) =

Z11(2)

Z12(2)

...

Z1K(2)

...

Z1N(2)

Z21(2)

Z22(2)

...

Z2K(2)

...

Z2N(2)

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

ZK1(2) ZK2(2)

ZBUS(0) =

. . . ZKK(2) . . . ZKN(2)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZN1(2) ZN2(2)

. . . ZNK(2) . . . ZNN(2)

Z21(0)

Z22(0)

...

.

...

Z2K(0)

...

Z2N(0)

.

.

.

.

.

.

.

.

ZK1(0) ZK2(0)

. . . ZKK(0) . . . ZKN(0)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZN1(0) ZN2(0)

. . . ZNK(0) . . . ZNN(0)

81

Así, ZIJ(1), ZIJ(2)y ZIJ(0), son elementos representativos de las matrices de impedancias de barra para las redes de secuencia positiva, negativa y cero, respectivamente. Si así se desea, cada una de las redes se puede reemplazar por su equivalente de Thévenin entre cualquiera de las barras y el nodo de referencia.

82

Figura 5.4 Diagrama unifilar de un sistema trifásico, tres redes de secuencia del sistema y el equivalente de Thévenin de cada red para la falla en P, que se denomina barra K. En la figura 5.4, se muestra el circuito equivalente de Thévenin entre el punto de falla P y el nodo de referencia, en cada red de secuencia, junto al diagrama de la red que le

83

corresponde. La fuente de voltaje en la red de secuencia positiva y de su circuito equivalente de Thévenin tienen el valor Vf que es el voltaje prefalla al neutro en el punto de falla P. La impedancia de Thévenin que se mide entre el punto P y el nodo de referencia de la red de secuencia positiva es ZKK(1), cuyo valor depende de las reactancias usadas en la red.

No hay corrientes de secuencia negativa y cero que fluyan antes de que ocurra la falla y los voltajes prefalla son cero en todas las barras de secuencia negativa y cero. Las impedancias de secuencia negativa y cero entre el punto P y el nodo de referencia en las redes respectivas se representan por las impedancias ZKK(2) y ZKK(0), respectivamente.

Como I

f a

simétricas I

es la corriente que fluye desde el sistema hacia la falla, sus componentes fa

(1)

,I

fa

(2)

,I

fa

(0)

, fluyen hacia afuera de sus respectivas redes de secuencia ,

como se muestra en la figura 5.4.

Así, las corrientes - I f a(1), - I f a(2), - I f a(0), representan corrientes que se inyectan, debido a la falla en la barra K, en las redes de secuencia positiva, negativa y cero. Estas inyecciones son la causa de que cambien los voltajes en las redes de secuencia positiva, negativa y cero y se pueden calcular a partir de las matrices de impedancias de barra. Por ejemplo, los cambios de voltaje, debidos a la inyección de la corriente - I f a(1) en la barra K, en la red de secuencia positiva del sistema de N barras, están dados, en términos generales, por :

84

Δ V1a(1)

Z11(1) Z12(1) . . .

Z1K(1)

...

Z1N(1)

0

- Z1K(1) I f a(1)

Δ V2a(1)

Z21(1) Z22(1) . . .

Z2K(1)

...

Z2N(1)

0

- Z2K(1) I f a(1)

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZKN(1)

- Ifa(1)

- ZKK(1) I f a(1)

.

Δ VKa(1)

=

...

ZK1(1) ZK2(1) . . . ZKK(1)

...

=

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ZNN(1)

0

- ZNK(1) I f a(1)

Δ VNa(1)

ZN1(1) ZN2(1) . . . ZNK(1)

...

En situaciones prácticas, es costumbre considerar como cero las corrientes prefalla y designar el voltaje Vf como el voltaje de secuencia positiva en todas las barras del sistema antes que la falla ocurra. Al sumar los cambios de voltaje de la ecuación anterior con los voltajes prefalla, se obtienen los voltajes totales de secuencia positiva de la fase a en cada barra durante la falla,

85

V1a(1)

Vf

Δ V1a(1)

V f - Z1K(1) I f a(1)

V2a(1)

Vf

Δ V2a(1)

V f - Z2K(1) I f a(1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

=

.

+

.

=

.

VKa(1)

Vf

Δ VKa(1)

V f - ZKK(1) I f a(1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

VNa(1)

Vf

Δ VNa(1)

V f - ZNK(1) I f a(1)

Las ecuaciones para los cambios de voltaje de secuencias negativa y cero debidos a la falla en la barra K de un sistema de N barras se escriben de manera similar que la ecuación anterior, cambiando superíndices y considerando los voltajes prefalla iguales a cero para la secuencia negativa y cero, y así se obtiene

V1a(2)

- Z1K(2) I f a(2)

V2a(2)

- Z2K(2) I f a(2)

.

=

.

VKa(2)

- ZKK(2) I f a(2)

.

.

VNa(2)

- ZNK(2) I f a(2)

86

V1a(0)

- Z1K(0) I f a(0)

V2a(0)

- Z2K(0) I f a(0)

.

.

.

=

.

VKa(0)

- ZKK(0) I f a(0)

.

.

.

.

VNa(0)

- ZNK(0) I f a(0)

Así, al conocer las componentes simétricas I f a(0), I f a(1) , I f a(2), de las corrientes de falla en la barra K, se pueden determinar los voltajes de secuencia de cualquier barra J del sistema a partir de las filas J-ésimas de las ecuaciones anteriores. Esto es, durante la falla en la barra K, los voltajes en cualquier barra J son VJa(0) = - ZJK(0) I f a(0)

VJa(1) = Vf - ZJK(1) I f a(1)

VJa(2) = - ZJK(2) I f a(2)

87

Similarmente, para la barra K se tiene

Vka(0) = - ZkK(0) I f a(0)

Vka(1) = Vf – ZkK(1) I f a(2) ecs (5.1)

Vka(2) = - ZkK(2) I f a(2)

y éstas son las ecuaciones para el voltaje en terminales a usarse en los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia mostradas en la figura 5.4.

Las fallas que se analizarán pueden involucrar la impedancia Z f entre líneas y desde una a dos líneas a tierra. Cuando Z f = 0, se tiene un cortocircuito directo, que se denomina falla de punto. Aunque tales circuitos directos dan como resultado el valor más alto de corriente de falla, y por lo tanto, son los valores más conservadores por ser utilizados cuando se determinan por anticipado los efectos de la falla, la impedancia de falla tiene rara vez el valor de cero.

Para fallas trifásicas, la corriente de falla se calcula : Siendo K la barra fallada. I f a (1) =

Vf (1) Z KK + Zf

88

5.3.1 Falla de fase a tierra.

Este tipo de falla, es la que tiene una mayor probabilidad de ocurrencia en los sistemas eléctricos de potencia; y por lo mismo, de las que constituyen un elemento de estudio cotidiano, ya sea para planeación y proyectos o para ajuste de relevadores de protección. Es una falla asimétrica e intervienen las impedancias de secuencia negativa y cero además de la impedancia de secuencia positiva. barra K

Figura 5.5 Falla de fase a tierra en un sistema de potencia De la figura siguiente se obtienen tres ecuaciones de variables físicas para la falla.

I bf = I cf = 0

Va f = Zf Iaf

Aplicando las componentes simétricas para los voltajes y las corrientes se tienen las ecuaciones :

89

I a f (0) =

1 ( I af + 0 + 0 ) 3

I a f (1) =

1 ( I a f + a2 (0) + a (0) ) 3

I a f (2) =

1 ( I a f + a (0) + a2 (0) ) 3

De estas ecuaciones se tiene que :

I a f (0) = I a f (1) = I a f (2) = I a f /3

Al sustituir I a f

(0)

por I a f

(1)

e Iaf

(2)

(0)

, se llega a que I a f = 3 I a f

. y de las

ecuaciones 5.1 se tiene

Vka(0) = - ZkK(0) I a f(0)

Vka(1) = Vf – ZkK(1) I a f (0)

Vka(2) = - ZkK(2) I a f (0) Se suman estas ecuaciones y se obtiene:

Vka = Vka(0) + Vka(1) + Vka(2) = Vf - ( Zkk(0) + Zkk(1) + Zkk(2) ) I a f (0) = 3 Zf I a f (0)

90

Al encontrar la solución para I a f(0) se tiene: I a f(0) = I a f(1) = I a f(2) = Vf / (Zkk(1) + Zkk(2) + Zkk(0) + 3Zf ) ( Ec. De corriente de falla para este caso particular de falla)

Iaf(1)

Zkk(1) Vka(1)

Vf

Iaf(1) = Iaf(2) = Iaf(0) Zkk(2)

Iaf(2)

Zkk(0)

Iaf(0)

Vka(2)

Vka(0)

Fig 5.6 Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia para simular una falla monofásica a tierra de la fase a en la barra K.

91

5.3.2 Falla de Fase a Fase. Falla de fase a fase en un sistema de potencia.

Esta falla no es muy frecuente, sin embargo es una de las más severas que pueden acontecer en un sistema de potencia.

Figura 5.7 Falla de fase a fase en un sistema de potencia en la barra K. Las tres ecuaciones en esta condición de falla son :

I af = 0

I bf = - I cf V kb – V kc = I bf Zf

Aplicando teoría de componentes simétricas se tiene :

I af(0) = 0 I af(1) = - I af(2)

Para satisfacer los requisitos de que I

af

(1)

= - I

af

(2)

se conectaran los equivalentes de

Thévenin de las redes de secuencia positiva y negativa en paralelo como se muestra en la figura 5.8.

92

I

(1)

I af(2)

af

K

+ Vf

Zf

K

Zkk(1)

Zkk(2) V ka(1)

Vka(2) referencia

-

Fig. 5.8 Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia positiva y negativa para una falla línea a línea entre las fases b y c en la barra K del sistema.

La ecuación para la corriente de secuencia positiva en la falla se puede determinar directamente de la figura 5.8, así que

I af(1) = - I af(2 = Vf / ( Zkk(1) + Zkk(2) + Zf )

93

5.3.3 Falla de doble línea a tierra

Falla de dos fases a tierra en un sistema de potencia. K

Figura 5.9 Falla de dos fases a tierra en un sistema de potencia. El punto de falla se denomina barra K. Las tres ecuaciones de falla son : Iaf = 0 V kb = V kc = (Ibf + Icf ) Zf ec(2) Como Iaf es cero, la corriente de secuencia cero esta dada por Iaf

(0)

= ( Ibf + Icf )/ 3 y los

voltajes de la ecuación (2) dan V kb = V kc = 3ZfIaf

(0)

ec(3)

Al sustituir Vkb en lugar de Vkc en la transformación de las componentes simétricas, se encuentra que Vka(0) Vka(1) Vka(2)

= 1/3

1

1

1

Vka

1

a

a2

Vkb

1

aa

a

Vkb

94

La segunda y tercera fila de esta ecuación muestran que Vka(1) = Vka(2)

ec(4)

Mientras la primera fila y la ecuación (3) muestran que 3Vka(0) = Vka + 2Vkb = ( Vka(0) + Vka(1) + Vka(2) ) + 2 ( 3Zf I af (0) ) Se factorizan los términos de secuencia cero en un lado de la ecuación, haciendo Vka(2) = Vka(1) se obtiene Vka(1) = Vka(0) - 3Zf I af (0) ec(5) Al colocar juntas las ecuaciones (4) y (5) y al observar nuevamente que Iaf = 0 se llega a los siguientes resultados Vka(1) = Vka(2) = Vka(0) - 3Zf I af (0 Iaf(0) + Iaf(1) + Iaf(0) = 0 Las ecuaciones características de la falla bifásica a tierra se satisfacen cuando las tres redes de secuencia se conectan en paralelo como se muestra en la figura 5.10

Iaf(2)

Iaf(1)

Iaf(0)

K +

Zkk(1)

Vka(1)

K Zkk(2)

Vka(2)

Vf

K Zkk(0)

Vka(0)

3Zf

Fig. 5.10 Conexión de los equivalentes de Thévenin de las redes de secuencia para una falla bifásica a tierra de las fases b y c en la barra K.

95

A partir de este diagrama se tiene Vf

I af(1) =

Zkk(2) ( Zkk(0) + 3Zf ) Zkk(1) + Zkk(2) + Zkk(0) + 3Zf

Zkk(0) + 3Zf Iaf(2) = - Iaf(1) Zkk(2) + Zkk(0) + 3Zf

Zkk(2) Iaf(2) = - Iaf(1) Zkk(2) + Zkk(0) + 3Zf

CAPÍTULO VI DESCRIPCION DEL PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE LA CORRIENTE DE CORTOCIRCUITO

97

6.1 Descripción general del programa Para llevar a cabo un programa, se requiere de un orden lógico de ciertas instrucciones. A continuación, se describen de manera general los pasos a seguir para la formación de un programa del cálculo de la corriente de cortocircuito. Lectura de los datos del sistema eléctrico de potencia

1

Obtención del número de nodos y ordenación de los datos.

2

Formación de las matrices de impedancia de barra

3

Selección del tipo de falla del sistema

4

Cálculo de la corriente de cortocircuito y los voltajes nodales

5

Despliegue de la corriente y los voltajes

6

Figura 6.1. Diagrama a bloques de los pasos a seguir del programa de cortocircuito

98

Para poder hacer un programa computacional en cualquier lenguaje, es necesario tener en claro un orden que llevar para la obtención del mismo y de ahí en adelante lo que restaría sería la aplicación de instrucciones, según el lenguaje a usar.

A continuación se explicará el diagrama a bloques , de una manera general y también será referido cómo es que se usó en MATLAB, para llevar a cabo el cálculo.

1. - El primer paso de todo programa es la lectura de los datos, que son los que vamos a manipular para la obtención de nuestro objetivo. Para este programa los datos se pueden introducir uno por uno e irlos guardando para su posterior aplicación, aquí se deben de introducir los elementos del sistema, que tipo de elemento son (generador, transformador, línea de transmisión, motor), los nodos entre los que se encuentran conectados, las conexiones, las impedancias de secuencia positiva, negativa y cero. En el programa presentado al final del proyecto, los datos del sistema se introducen en un archivo llamado datosred, y dentro de este se encuentra una matriz llamada datos que contiene los datos del sistema.

2. - Una vez que tenemos los datos, es necesario identificar el numero de nodos de nuestro sistema, así como también es necesario ordenar los datos, antes de empezar a formar las matrices de impedancia de barra, en sus diferentes secuencias.

3. – Lo que se busca aquí es la formación de las matrices de impedancia. Aquí es muy importante saber como modificar una Zbarra existente, esto viene resumido en la tabla

99

4.2, en nuestro programa la formación de Zbarra se formó añadiendo elemento por elemento.

Aquí hay algo muy interesante, por que para la formación de la matriz de secuencia cero hay que tomar en cuenta las conexiones de los elementos (máquinas y transformadores), si están o no conectados a tierra, ya que el código se complica cuando se presenta un circuito abierto.

En el programa anexo a este proyecto, las funciones formaZ12 y formaZ0 son las que se encargan de formar las matrices de impedancia de barra de secuencia positiva, negativa y cero..

4. – Aquí se debe tener un menú, para la selección del tipo de falla a calcular, Este paso es de los más sencillos, ya que el código que se necesita es muy corto. Al ejecutarse nuestro programa, este mismo pide los datos como lo son tipo de falla, barra fallada y el valor de la impedancia de falla.

5. – En este punto se calculan las corrientes de falla, en base a fórmulas del capítulo 5 de cálculo de fallas y al mismo tiempo se hace el cálculo de los voltajes en todas las barras, haciendo uso de las componentes simétricas.

6. – Por último es necesario desplegar los resultados que se obtienen del programa, mostrando las corrientes de cortocircuito y los voltajes de las barras de nuestro sistema.

100

SIMULACIÓN DE UNA FALLA DE LÍNEA A TIERRA EN UN SEP Ahora se tiene un sistema eléctrico de potencia pequeño en el cual se simulará una falla de fase a tierra en nuestro programa.

Dos máquinas sincrónicas se conectan a través de transformadores trifásicos a la línea de transmisión que se muestra en la figura 6.2. Los valores nominales y las reactancias de las máquinas y de los transformadores son:

G1 Y M1

100 MVA, 20 KV X´´d = X1 = X2 = 20% X0 = 4% Xn = 5%

Transformadores T1 y T2 100 MVA, 20 Y / 345 KV ; X = 8%

Ambos transformadores están sólidamente aterrizados en los dos lados. Sobre la base de 100MVA y 345 KV en el circuito de la línea de transmisión, las reactancias son X1 = X2 = 15% y X0 = 50%. El sistema está operando a voltaje nominal sin corrientes prefalla cuando una falla de punto(Zf=0) monofásica a tierra, ocurre en la fase A en la barra 3. Determinar la corriente subtransitoria en la falla y los voltajes de línea a tierra en todos los nodos.

101

G1

1

2

4

3

M1

falla

L1

T2

T1

Figura 6.2 Sistema eléctrico de potencia pequeño, con falla de línea a tierra en la barra 3.

Los datos se introducen de esta manera en el archivo datosred que se encuentra dentro de la carpeta de trabajo de MATLAB.

# n1 n2

sec(+) sec(0) tipo conexn1 conexn2

ZN

datos = [ 1

0

1

j*0.2

j*0.04

-1

-1.2

0

j*0.05,

2

1

2

j*0.08

j*0.08

-2

-2.1

-2.1

0

,

3

2

3

j*0.15

j*0.5

-3

0

0

0

,

4

3

4

j*0.08

j*0.08

-2

-2.1

-2.1

0

,

5

4

0

j*0.2

j*0.04

-4

-4.2

0

j*0.05 ];

Enseguida se teclea la palabra calcula en el espacio de trabajo del programa y entonces se empezara a simular la falla. Luego nos pide los siguientes datos de entrada:

102

>> calcula ¿que falla quieres simular?==> tecleamos el 1(1 es para falla línea a tierra)

dame la barra fallada==>3

¿cual es el valor de la impedancia de falla(Zf)?==>0

El programa nos arroja los siguientes resultados:

Ifalla = 0 - 5.5653i

Va =

0.6159 0.4603 0.0000 0.2896

Vb =

-0.4452 - 0.8660i -0.4252 - 0.8660i -0.5562 - 0.8660i

103

-0.5362 - 0.8660i

Vc =

-0.4452 + 0.8660i -0.4252 + 0.8660i -0.5563 + 0.8660i -0.5363 + 0.8660i

INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS

Como puede verse, la corriente de falla en la fase A y barra 3, es - 5.5653i, que es un valor en p.u,, ya que todos los datos introducidos en nuestro programa están en p.u. Para obtener el valor de la corriente de falla en amperes solo basta con multiplicar el valor en por unidad por el valor base de corriente. Como era de esperarse, el voltaje de la fase A en la barra 3 es cero, ya que no puede haber diferencia de potencial en un mismo punto, además de que la impedancia de falla fue de cero.

104

CONCLUSIONES

Al haber concluido el trabajo, podemos decir que se han logrado los objetivos del mismo, ya que se presenta la teoría para comprender el estudio de cortocircuito, así como también se muestra el algoritmo del programa para el análisis de cortocircuito.

No hubo limitaciones para llevar a cabo el proyecto, ya que hay bastante información bibliográfica, así como también hay disposición de lenguajes para programar, que cada vez son más amigables.

En lo que se refiere al programa, esta hecho para fines académicos, para que los alumnos en la materia lo aprovechen y lo mejoren, ya que se hicieron muchas omisiones en el cálculo, como no tomar en cuenta la resistencia y la capacitancia de las lineas de transmisión, desfasamientos de transformadores.

Todavía hace falta mejorar el programa, haciéndolo mas amigable en cuanto a la forma en como introducir los datos del sistema y en la forma de mostrar las opciones de falla, así como también los resultados, se invita a mejorar este programa..

105

BIBLIOGRAFÍA

HAYT William: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA; Editorial Mc Graw Hill, México, 1995: tercera edición; 710 páginas.

STEVENSON William : ANÁLISIS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. Editorial Mc Graw Hill, México, 1998: segunda edición; 390 páginas.

GUERRERO Rafael: CÁLCULO DE FALLAS EN SISTEMAS DE POTENCIA, Editorial del sector eléctrico C.F.E., México, 1978; 223 páginas

MANUAL DE MATLAB. Universidad de Navarra. Javier García, José Rodríguez, Alfonso Brazález.

105

APÉNDICE A

Código del programa Estructura del archivo de datos (datosred) %

#

n1

n2 sec(+)

sec(0) tipo conexn1 conexn2

datos = [ 1

0

1

j*0.2

j*0.04 -1

-1.2

0

j*0.05 ,

2

1

2

j*0.08 j*0.08 -2

-2.3

-2.1

0

,

3

2

3

j*0.15 j*0.5

0

0

0

,

4

3

4

j*0.08 j*0.08 -2

-2.2

-2.3

0

,

5

4

0

j*0.2

-4.2

0

j*0.05] ;

% columna 6(tipo de elemento)

-3

j*0.04 -4

ZN

conexión del generador

-1 = generador.

-1.1 = delta.

-2 = transformador.

-1.2 = estrella aterrizada.

-3 = línea de transmisión.

- 1.3 = estrella no aterrizada.

-4 = motor conexión del transformador

conexión del motor

-2.1 = estrella aterrizada

-4.1 = delta.

-2.2 = estrella no aterrizada

-4.2 = estrella aterrizada.

-2.3 = delta

-4.3 = estrella no aterrizada.

Formación de las matrices de impedancia de barra Z1 y Z2 datosred; % obtención del numero de nodos

m=max(datos(:,2)); n=max(datos(:,3));

if (m>n) nn=m; else nn=n;

end

Zbus=zeros(nn+1,nn+1);

[nf nc]=size(datos); datosord=zeros(nf,nc); [datosord] = ordena(datos,nf);

%comienzo de la formación de Zbus.

exist=0; nuevo=0;

p=0; q=0; r=0; s=0; opc=0; for t=1 :nf, p=0; q=0; r=0; s=0; opc=4;

%para caso de impedancia conectada a referencia.

if((datosord(t,3)==0)) nodo = datosord(t,2); [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,

if(t==1) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,t,opc );

else [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,t ); if(p==0 & q==0) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,t,opc );

end if(p==1 | q==1) n1=0; n2=0; for w=1 : t-1, if(datosord(w,2)>n1) n1=datosord(w,2); end if(datosord(w,3)>n2) n2=datosord(w,3); end end if(n1>n2) n=n1; else n=n2; end %llamar a función funcNRNE. [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,t,opc );

end end end

if(datosord(t,2)==0)

nodo=datosord(t,3); if(t==1); [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,t,opc ); else [ exist,r,s ] = fun2( datosord,exist,r,s,t ); if(r==0 & s==0) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,t,opc ); end if(r==1 | s==1) n1=0; n2=0; for z=1 : t-1, if(datosord(z,2)>n1) n1=datosord(z,2); end if(datosord(z,3)>n2) n2=datosord(z,3); end if(n1>n2) n=n1; else n=n2; end %llamar a función funcNRNE. [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,t,opc );

end end end

if((datosord(t,2)>0) & (datosord(t,3)>0)) %llamar a función1. [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,t ); %llamar a función2. [ exist,r,s ] = fun2( datosord,exist,r,s,t ); if(((p==1) | (q==1)) & ((r==1) | (s==1))) e1=datosord(t,3); e2=datosord(t,2); n1=0; n2=0; for g=1 : t-1, if(datosord(g,2)>n1) n1=datosord(g,2); end if(datosord(g,3)>n2) n2=datosord(g,3); end end if(n1>n2) n=n1;

else n=n2; end [ Zbus ] = NENE( Zbus,e1,e2,datosord,n,t,nn,opc );

end

if(((p==0) & (q==0)) & ((r==1) | (s==1))) nuevo= datosord(t,2); exist= datosord(t,3); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,t,opc);

end

if(((p==1) | (q==1)) & ((r==0) & (s==0))) nuevo= datosord(t,3); exist= datosord(t,2); [ Zbus ] = NENN( Zbus,nuevo,exist,datosord,t,opc ); end end end

Z1=zeros(nn,nn);

for d=1 : nn, for c=1: nn, Z1(d,c)=Zbus(d,c); Z2(d,c)=Zbus(d,c); end end

Formación de la matriz de impedancia de barra Z0. % función para la formación de la red de secuencia cero.

datosred; % obtención del número de nodos

m=max(datos(:,2)); n=max(datos(:,3));

if (m>n) nn=m; else nn=n;

end

Zbus=zeros(nn+1,nn+1);

[nf nc]=size(datos); datosord=zeros(nf,nc); [datosord] = ordena0(datos,nf);

for z=1 :nf,

p=0; q=0; r=0; s=0; exist=0; nuevo=0; nodo=0; opc=8; %(-1 se refiere a cuando es generador). if( datosord(z,6)==(-1))

if(datosord(z,7)==(-1.2)) nodo = datosord(z,2); [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,z ); n1=0; n2=0; for w=1 : z-1, if(datosord(w,2)>n1) n1=datosord(w,2); end if(datosord(w,3)>n2) n2=datosord(w,3); end end if(n1>n2) n=n1; else n=n2; end if(z==1) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc );

else [te,quiero,conex,conex2,mucho] = checatr(datosord,z); if((quiero==1) & (conex==-2.1)) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if((quiero==1) & (conex ~=-2.1)) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end if((quiero==2) & (conex==-2.1)) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if((quiero==1) & (conex ~=-2.1)) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end end end end

%(-2 se refiere cuando es transformador). if( datosord(z,6)==(-2)) if(datosord(z,8)==(-2.1)) tierra =1; else tierra = 2; end if((datosord(z,7)==(-2.1)) & (datosord(z,8)==(-2.1))) [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,z ); [ exist,r,s ] = fun2( datosord,exist,r,s,z ); if(((p==1) | (q==1)) & ((r==1) | (s==1))) e1=datosord(z,2); e2=datosord(z,3); n1=0; n2=0; for g=1 : z-1,

if(datosord(g,2)>n1) n1=datosord(g,2); end if(datosord(g,3)>n2) n2=datosord(g,3); end end if(n1>n2) n=n1; else n=n2; end [ Zbus ] = NENE( Zbus,e1,e2,datosord,n,z,nn,opc ); end if(((p==0) & (q==0)) & ((r==1) | (s==1))) nuevo= datosord(z,2); exist= datosord(z,3); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc); end

if(((p==1) | (q==1)) & ((r==0) & (s==0))) nuevo= datosord(z,3); exist= datosord(z,2); [ Zbus ] = NENN( Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc ); end end if((datosord(z,7)==(-2.1)) & (datosord(z,8)==(-2.3))) exist=0; [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,z ); if(p==1 | q==1) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if(p==0 & q==0) nodo=datosord(z,2);

[ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end end if((datosord(z,7)==(-2.3)) & (datosord(z,8)==(-2.1))) [ exist,r,s ] = fun2( datosord,exist,r,s,z ); if(r==1 | s==1) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if(r==0 & s==0) nodo = datosord(z,3); [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end end end

%(-3 se refiere a una linea de transmisión). if(datosord(z,6)==(-3)) datosord(z,10) = datosord(z,5); [te,quiero,conex,conex2,mucho] = checatr(datosord,z);

% principia código para cuando se mete una línea entre una barra nueva y una existente. %con conexión Y aterrizada, en el lado del TR. if((quiero==1) & (mucho==0)) if(conex==(-2.1)) nuevo=datosord(z,3); exist=datosord(z,2); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc); end end if((quiero==2) & (mucho==0)) if(conex==(-2.1)) nuevo=datosord(z,3);

exist=datosord(z,2); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc); end end if((quiero==0) & (mucho==1)) if(conex2==(-2.1)) nuevo=datosord(z,2); exist=datosord(z,3); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc); end end if((quiero==0) & (mucho==2)) if(conex2==(-2.1)) nuevo=datosord(z,2); exist=datosord(z,3); [ Zbus ] = NENN (Zbus,nuevo,exist,datosord,z,opc); end end

% termina código para cuando se mete una línea entre una barra nueva y una existente.

%principia código para cuando el devanado del lado de la línea no esta aterrizado. if(quiero==1 & mucho==0) if(conex ~= (-2.1)) [z,Zbus] = flota ( datosord,z,Zbus) end end if(quiero==2 & mucho==0) if(conex ~= (-2.1)) [z,Zbus] = flota ( datosord,z,Zbus) end end if(quiero==0 & mucho==1)

if(conex2 ~= (-2.1)) [z,Zbus] = flota ( datosord,z,Zbus) end end if(quiero==0 & mucho==2) if(conex2 ~= (-2.1)) [z,Zbus] = flota ( datosord,z,Zbus) end end end

%(-4 se refiere a cuando el elemento es un motor). if(datosord(z,6)==-4) if(datosord(z,7)==(-4.2)) ; nodo = datosord(z,2); [ exist,p,q ] = fun1( datosord,exist,p,q,z ); n1=0; n2=0; for w=1 : z-1, if(datosord(w,2)>n1) n1=datosord(w,2); end if(datosord(w,3)>n2) n2=datosord(w,3); end end if(n1>n2) n=n1; else n=n2; end if(z==1) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc );

else [te,quiero,conex,conex2,mucho] = checatr(datosord,z); if(te==1) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); else if((quiero==1) & (conex==-2.1)) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if((quiero==1) & (conex ~=-2.1)) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end if((quiero==2) & (conex==-2.1)) [ Zbus ] = NRNE( Zbus,datosord,exist,n,nn,z,opc ); end if((quiero==1) & (conex ~=-2.1)) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end end

if(p==0 & q==0) [ Zbus ] = NRNN( Zbus,datosord,nodo,z,opc ); end end end end

end

Zbuscero=zeros(nn,nn);

for d=1 : nn, for c=1: nn, Z0(d,c)=Zbus(d,c); end

end

Selección del tipo de falla.

for h=1 :nn, Vprefalla(h,1) = 1; end opc = input('¿que falla quieres simular?==>')

if(opc==1) [Ifalla] = faset ( Z1,Z2,Z0,Vprefalla,nn); end if(opc==2) [Ifalla] = fasefase (Z1,Z2,Z0,Vprefalla,nn); end if(opc==3) [Ifalla] = fasefaset (Z1,Z2,Z0,Vprefalla,nn); end

Falla trifásica. function [Ifalla,Venfalla] = ftrif

formaZ12;

for h=1 :nn, Vprefalla(h,1) = 1; end

bf = input('dame la barra fallada==>');

Zf = input('cual es el valor de la impedancia de falla(Zf)==>');

Ifalla = Vprefalla(bf,1)/Z1(bf,bf); for x=1 : nn, incV(x,1) = -((Z1(x,bf)/Z1(bf,bf)) * (Vprefalla(bf,1))); end

for c=1 : nn, Venfalla(c,1) = Vprefalla(c,1) + incV(c,1) ; end Falla línea a tierra. %funcion para calcular fallas asimétricas de línea a tierra.

function [Ifalla,Va,Vb,Vc] = faset formaZ12; formaZ0;

for h=1 :nn, Vprefalla(h,1) = 1; end

bf = input('dame la barra fallada==>'); Zf = input('cual es el valor de la impedancia de falla(Zf)==>'); If0a = (Vprefalla(bf,1)) / (Z1(bf,bf) + Z2(bf,bf) + Z0(bf,bf) + 3*Zf) ; If1a = If0a; If2a = If0a; Ifalla = 3*If0a a = -0.5+i*0.866; for zu=1 : nn,

V0a(zu,1) = -Z0(zu,bf)*If0a; V0b(zu,1) = V0a(zu,1);

V0c(zu,1) = V0a(zu,1);

V1a(zu,1) = Vprefalla(bf,1) - Z1(zu,bf)*If1a; V1b(zu,1) = a*a*V1a(zu,1); V1c(zu,1) = a*V1a(zu,1);

V2a(zu,1) = -Z2(zu,bf)*If2a; V2b(zu,1) = a*V2a(zu,1); V2c(zu,1) = a*a*V2a(zu,1);

end

for mel=1 : nn,

Va(mel,1) = V0a(mel,1) + V1a(mel,1) + V2a(mel,1); Vb(mel,1) = V0b(mel,1) + V1b(mel,1) + V2b(mel,1); Vc(mel,1) = V0c(mel,1) + V1c(mel,1) + V2c(mel,1); end

Falla entre dos líneas. %función para calcular fallas entre dos lineas. function [Ifa,Ifb,Ifc,Va,Vb,Vc] = fasefase

formaZ12; FormaZ0;

for h=1 :nn, Vprefalla(h,1) = 1; end

bf = input('dame la barra fallada==>') Zf = input('cual es el valor de la impedancia de falla(Zf)==>')

If0a=0; If1a = Vprefalla(bf,1) / (Z1(bf,bf) + Z2(bf,bf) + Zf ); If2a = -If1a;

a = -0.5+i*0.866;

Ifa = If0a +If1a +If2a; Ifb = a*a*If1a +a*If2a; Ifc = -Ifb; Ifalla=Ifb

a = -0.5+i*0.866; for zu=1 : nn,

V0a(zu,1) = -Z0(zu,bf)*If0a; V0b(zu,1) = V0a(zu,1); V0c(zu,1) = V0a(zu,1);

V1a(zu,1) = Vprefalla(bf,1) - Z1(zu,bf)*If1a; V1b(zu,1) = a*a*V1a(zu,1); V1c(zu,1) = a*V1a(zu,1);

V2a(zu,1) = -Z2(zu,bf)*If2a; V2b(zu,1) = a*V2a(zu,1); V2c(zu,1) = a*a*V2a(zu,1);

end

for mel=1 : nn,

Va(mel,1) = V0a(mel,1) + V1a(mel,1) + V2a(mel,1); Vb(mel,1) = V0b(mel,1) + V1b(mel,1) + V2b(mel,1); Vc(mel,1) = V0c(mel,1) + V1c(mel,1) + V2c(mel,1); End

Falla de dos fases a tierra

% función para calcular fallas entre dos lineas a tierra. function [Ifalla] = fasefaset (Z1,Z2,Z0,Vprefalla,nn)

bf = input('dame la barra fallada==>') Zf = input('cual es el valor de la impedancia de falla(Zf)==>') If1a = Vprefalla(bf,1) / [Z1(bf,bf) + [ (Z2(bf,bf)*(Z0(bf,bf) + 3*Zf)) / (Z2(bf,bf) + Z0(bf,bf) + 3*Zf)]];

If2a = -If1a * [ (Z0(bf,bf) + 3*Zf) / ( Z2(bf,bf) + Z0(bf,bf) + 3*Zf) ];

If0a = -If1a * [ (Z2(bf,bf)) / ( Z2(bf,bf) + Z0(bf,bf) + 3*Zf) ];

a = -0.5+i*0.866;

IFA = If0a +If1a +If2a; IFB = If0a + a*a*If1a +a*If2a; IFC = If0a + a*If1a +a*a*If2a;

Ifalla = IFB +IFC

a = -0.5+i*0.866; for zu=1 : nn,

V0a(zu,1) = -Z0(zu,bf)*If0a; V0b(zu,1) = V0a(zu,1); V0c(zu,1) = V0a(zu,1);

V1a(zu,1) = Vprefalla(bf,1) - Z1(zu,bf)*If1a; V1b(zu,1) = a*a*V1a(zu,1); V1c(zu,1) = a*V1a(zu,1);

V2a(zu,1) = -Z2(zu,bf)*If2a; V2b(zu,1) = a*V2a(zu,1); V2c(zu,1) = a*a*V2a(zu,1);

end

for mel=1 : nn,

Va(mel,1) = V0a(mel,1) + V1a(mel,1) + V2a(mel,1); Vb(mel,1) = V0b(mel,1) + V1b(mel,1) + V2b(mel,1); Vc(mel,1) = V0c(mel,1) + V1c(mel,1) + V2c(mel,1); end