APÉNDICE B • Repaso de matemáticas

El propósito de estos apéndices de matemáticas es repasar operaciones y métodos en forma breve. Al principio de este curso usted debió estar totalmente familiarizado con las técnicas algebraicas básicas, la geometría analítica y la trigonometría. Los apéndices sobre cálculo diferencial e integral son más detallados y se dirigen a aquellos estudiantes que tienen dificultades al aplicar los conceptos de cálculo en situaciones físicas.

NOTACIÓN CIENTÍFICA Muchas cantidades con las que trabajan los científicos a menudo tienen valores o muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la rapidez de la luz es aproximadamente de 300 000 000 m/s, y la tinta que se usó para hacer el punto sobre una i en este libro de texto tiene una masa de casi 0.000 000 001 kg. Como es evidente, es muy problemático leer, escribir y recordar números como éstos. Este problema se evita usando un método relacionado con potencias del número 10: 10° =1 101 = 10 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000

v así sucesivamente. El número de ceros corresponde a la potencia a la cual se eleva el 10, llamado exponente de 10. Por ejemplo, la rapidez de la luz, 300 000 000 m/s, puede expresarse como 3 x 108 m/s. En este método algunos números representativos más pequeños que la unidad son 10"1 = — = 0.1 10

io-2 =

io-4 = io-5 =

= 0.01 10x10 1 = 0.001 10x10x10

1

= 0.0001 10x10x10x10 1 = 0.000 01 I Q x l O x l O x l O x 10 A.15

A.16

APÉNDICE

B

En estos casos el número de lugares que el punto decimal está a la izquierda dígito 1 es igual al valor del exponente (negativo). Los números expresados : alguna potencia de 10 multiplicados por otro número entre 1 y 10 se dice que en notación científica. Por ejemplo, la notación científica para 5 943 000 : gativo: 103 x 10'8 = 10'5. Advierta que cuando se dividen números expresados en notación científica.. 10" = 10" xlO"" = 10"""1 10*"

!E2

EJERCICIOS Con la ayuda de las reglas anteriores verifique las siguientes respuestas: 1. 86 400 = 8.64 x 104

2. 9 816 762.5 = 9.816 762 5 x 106 3. 0.000 000 039 8 = 3.98 X 10'8 4. (4 x 108) (9 x 109) = 3.6 x 1018 5. (3 x 107) (6 x 10-12) = 1.8 x 10-4 6.

7.

5 x 10'3

=1.5xlO-

(3xlQ 6 )(8xlQ- 2 ) = 2 x 10-18 (2xl0 1 7 )(6xl0 5 )

ALGEBRA Algunas reglas básicas Cuando se efectúan operaciones algebraicas se aplican las leyes de la aritménc Símbolos como x, y y z se utilizan por lo común para representar cantidades que i están especificadas, las cuales se denominan incógnitas. Comience por considerar la ecuación

Si desea resolver para x, puede dividir (o multiplicar) cada lado de la ecuación pe el mismo factor sin afectar la igualdad. En este caso, si se dividen ambos lados enn 8, se tiene 8x

32

x = 4

B.2 Álgebra

A continuación considere la ecuación En expresiones de este tipo puede sumar o restar la misma cantidad de cada lado. Si se sustrae 2 de cada lado, se obtiene

x+2-2=8-2 x=6 En general, si x + a = b, entonces x = b - a. Considere ahora la ecuación

Si se multiplica cada lado por 5, nos quedamos sólo con x a la izquierda y 45 a la derecha:

'x -

(5) = 9 x 5

En todos los casos cualquier operación que se realice en el lado izquierdo de la igualdad debe efectuarse también en el lado derecho. Las siguientes reglas para multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones deben recordarse, donde a, b y c son tres números: Regla

Ejemplo

ac í-lí-1 ~ ~bd

Multiplicando

UJUJ (a/b) (c/d)

Dividiendo

a+c b d

Sumando

UJUJ

í-lí1]

2/3 4/5

ad be ad± be bd

2 3

4 5

8 15 (2) (5) (4) (3)

10 12

(2) (5) -(4) (3) (3) (5)

2 15

EJERCICIOS En los siguientes ejercicios resuelva para x: Respuestas

l +x

a

2. ?>x - 5 = 13

x =6

3. ax — 5 = bx + 2

x =

4.

5

3

2x + 6

4x +

7

a —b 1 1

Potencias Cuando se multiplican potencias de una cantidad dada x, se aplican las siguientes reglas: x"xm=xn + m

(B.3)

A.17

APÉNDICE

A.18

B

Por ejemplo x2x4 = x2 +4 = xñ. Cuando se dividen las potencias de una cantidad dada, la regla es

= x

Por ejemplo, xs/x2 = xs 2 = x&. Una potencia que es una fracción, como ¿, corresponde a una raíz de 1; ra siguiente: TABLA B.1

E:

Reglas de los exponentes x° = 1

"xm = x" xm = xn

Por ejemplo, 41/s = V4 = 1.5874. (En estos cálculos es muy útil una científica.) Por último, cualquier cantidad xn elevada a la potencia m-ésima es (xn)'"= xnm

=. i

La tabla B.l resume las reglas de los exponentes. EJERCICIOS Verifique lo siguiente: 1. 32 X 3a = 243 o

v5v-8

¿,. A A

_

v-3

— A

3 x10/xr3 = x15 4. 51/3 = 1.709 975

(Utilice su calculadora.)

5. 601/4 = 2.783 158

(Utilice su calculadora.)

Factorización Algunas fórmulas útiles para factorizar una ecuación son: ax + ay + az = a(x + y + z)

factor común

a2 + 2ab + b2 = (a+ b)z

cuadrado perfecto

a 2 - ¿2 = (a + b) (a - b)

diferencia de cuadrados

Ecuaciones cuadráticas La forma general de una ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = O

IB?

donde x es la cantidad desconocida, y a, b y c son factores numéricos conocidos ce —•; coeficientes de la ecuación. Esta ecuación tiene dos raíces, dadas por

x—

Si b2 S 4ac, las raíces son reales.

-b ±

- 4ac 2a

E E

B.2

Álgebra

A.19

EJEMPLO 1 La ecuación x2 + 5x+ 4 = O tiene las siguientes raíces que corresponden a los dos signos del término de la raíz cuadrada: -5 ± T 5 2 - (4) (1) (4) -5 ± ^9 2(1) 2 -5-3 -5 + 3

-

-5 ± 3 2

donde x+ se refiere a la raíz que corresponde al signo positivo y x_ se refiere a la raíz que corresponde al signo negativo.

EJERCICIOS Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: Respuestas

x+=l+

3. 2x2 - 4x - 9 = O

*_ = 1 - V22/2

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal tiene la forma general (B.9)

y = mx + b

donde m y b son constantes. Esta ecuación se denomina lineal debido a que la gráfica de y versus x es una línea recta, como se muestra en la figura B.l. La constante b, conocida como ordenada al origen, representa el valor de y al cual la línea recta cruza al eje y. La constante m es igual a la pendiente de la línea recta y también es igual a la tangente del ángulo que la línea forma con el eje x. Si dos puntos cualesquiera en la línea recta se especifican por las coordenadas (x1; y-¡) y (xz, y%), como en la figura B.l, entonces la pendiente de una línea recta puede expresarse como Vo — Ali

A"V

Pendiente = ——— = — = tan 0

Figura B.l

(B.10)

1) ,m>0 b O, la línea recta tiene una pendiente positiva, como en la figura B.l. Si m < O, la línea recta tiene una pendiente negativa. En la figura B.l, tanto m como b son positivas. Otras tres situaciones posibles se presentan en la figura B.2.

2) m< O

3)

m< O

EJERCICIOS 1. Dibuje gráficas de las siguientes líneas rectas: 2. Encuentre las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio 1. Respuestas

a) 5

b) -2

c) -3

Figura B.2

A.20

APÉNDICE

B

3. Encuentre las pendientes de las líneas rectas que pasan por los siguiente? juntos de puntos: a) (O, -4) y (4, 2), b) (O, 0) y (2, -5), y c) (-5, 2) y (4, -2) Respuestas a) 3/2

b) -5/2

c) -4/9

Resolución de ecuaciones lineales simultáneas Considere la ecuación 3x+ 5y = 15, la cual tiene dos incógnitas, xy y. Esta ecuacio» no tiene una solución única. Por ejemplo, advierta que (x = O, y = 3), (x = 5, T = 9 y (x = 2, y = 9/5), son todas soluciones de esta ecuación. Si un problema tiene dos incógnitas, una solución única es posible sólo si se tienen dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su solución requiere n ecuaciones. Con el propósito de resolver dos ecuaciones simultáneas que involucran dos incógnitas, xy y, resuelva una de las ecuaciones respecto de xen función de y y sustituya esta expresión en la otra ecuación.

EJEMPLO 2-.•••••• Resuelva las siguientes dos ecuaciones simultáneas:

Solución alternativa Multiplique cada término en (1) pe» el factor 2 y sume el resultado a (2) :

(1) 5x + y = -8 (2) 2x - 2y = 4 Solución De (2), x = y + 2. La sustitución de esto en (1) produce

12* = -12

5(y + 2) +y = -8

x=-l

6y = -18

y = X - 2 = -3

j = -3 X =y +2 =

-1

Dos ecuaciones lineales que contienen dos incógnitas pueden resolverse también mediante un método gráfico. Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones se granean en un sistema de coordenadas convencional, la intersección de las dos líneas representa la solución. Por ejemplo, considere las dos ecuaciones x-y=2

Éstas se granean en la figura B.3. La intersección de las dos líneas tiene las coordenadas x = 5, y = 3. Esto representa la solución a las ecuaciones. Usted debe comprobar esta solución por medio de la técnica analítica estudiada con antelación.

EJERCICIOS Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que involucran dos incógnitas: Respuestas 1. x+y =

x=5, 3) =3

B.3 Geometría

9 8 - 7 = 10a T-49 = 5a 6x + 2y = 6

T= 65, a =3.27 x = 2, 31 = -3

Logaritmos Suponga que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad de a:

El número a se conoce como base. El logaritmo de x respecto de la base a es igual al exponente al cual debe elevarse la base con el fin de satisfacer la expresión x = a?: y = logax

(B.12)

Por el contrario, el antilogaritmo de y es el número x: x = antilog0 ;y

(B.13)

En la práctica las dos bases que se usan con mayor frecuencia son la base 10, denominada base logarítmica común, y base e= 2.718..., que recibe el nombre de constante de Euler o base logarítmica natural. Cuando se usan logaritmos comunes, y = loglox

(o* =100

(B-14)

Cuando se usan logaritmos naturales,

Por ejemplo, Iog10 52 = 1.716, por lo que antilog10 1.716 = 101716 = 52. De igual modo, In, 52 = 3.951, de modo que antiln, 3.951 = e3951 = 52. En general, observe que usted puede convertir entre la base 10 y la base e con la igualdad In, * = (2-302 585) log]0 x Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son log(ab) = log a+ log b log(a/b) = log a — log b log(an) = n log a In e= 1 In ea = a In — = —In a

GEOMETRÍA La distancia d entre dos puntos que tienen coordenadas (xl} y-¡) y (x2 j)2) es d =

(B.16)

A. 21

APÉNDICE

A.22

B

Medida de radianes: La longitud de arco s de un arco circular (Fig. B.4 porcional al radio r para un valor fijo de 6 (en radianes): i = r8

Figura B.4

La tabla B.2 proporciona las áreas y volúmenes de varias formas geométrica* lizadas a lo largo de este texto:

TABLA B.2 información útil de geometría Forma

Área o volumen

Forma

Área <

Área de la superficie = Área = (w

Volumen ="=?Esfera

Rectángulo

Área de la superficie lateral = 2nrt Volumen =;rr 2 í

Área = (Circunferencia = Z Cilindro

Círculo

Área =

m = pendiente = tan Q

Volumen = fwh

€

I

1

¿X"*'*J^

Caja rectangular

Triángulo

b \"

*

La ecuación de una línea recta (Fig. B.5) es Figura B.5

31= mx+ b

(B.19

donde b es la ordenada al origen y w es la pendiente de la recta. La ecuación de un círculo de radio R centrado en el origen es *2 + / = R2

(B.20I

La ecuación de una elipse que tiene el origen en su centro (Fig. B.6) es

1

Figura B.6

b2

(B.21

donde a es la longitud del eje semimayor (el más largo) y b es la longitud del semimenor (el más corto).

B.4

Trigonometría

A.23

La ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b (Fig. B.7) es y = ax¿ + b

(B.22)

La ecuación de una hipérbola rectangular (Fig. B.8) es xy = constante

(B.23)

TRIGONOMETRÍA La parte de las matemáticas que tiene su fundamento en las propiedades especiales del triángulo recto recibe el nombre de trigonometría. Por definición, un triángulo recto es uno que incluye un ángulo de 90°. Considere el triángulo recto que se muestra en la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ángulo O, el lado b es adyacente al ángulo 9y el lado ees la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas para dicho triángulo son las funciones seno (sen), coseno (eos) :_ingente (tan). En términos del ángulo O estas funciones se definen por medio de lado opuesto 6 a sen O = -—,—*= hipotenusa c

Figura B.7

(B.24)

eos 9 =

lado adyacente a B b = hipotenusa c

(B.25)

tan 9 =

lado opuesto 0 a = lado adyacente a 9 b

(B.26)

El teorema de Pitágoras brinda la siguiente relación entre los lados de un triángulo recto: c2 = a2 + b2 (B.27) A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras se deduce que Figura B.8

sen2 9 + eos2 9 = 1 sen 6 eos, 9

Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas por CSC tí =

sen 0

secf? =

1 eos 6

cotfl =

tan 9

Las relaciones siguientes surgen directamente del triángulo recto mostrado en la figura B.9: sen 6 = eos (90° - 9)

a = lado opuesto b = lado adyacente c = hipotenusa

eos 9 = sen (90° - 9) cot 9 = tan (90° - 9)

Algunas propiedades de las funciones trigonométricas son: sen (-9) - -sen 9 eos (-9) = eos 9 tan (-9) - -tan 6

Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo, como se muestra en la figura B. 10: a + (3 + y = 180°

Figura B.9

A.24

APÉNDICE

B

a¿ = ¿>2 + c¿ - '¿be eos a Lev de los cosenos

tí2 = a 2 + c2 - 2ac eos /3 c1 = a2 + ¿>2 - 2«fr eos -y

Ley de los senos

sen

La tabla B.3 registra varias identidades trigonométricas útiles.

TABLA B.3 Algunas identidades trigonométricas

Figura B.10

sen2 6 + eos2 0=1

ese2 8= I + cot20

sec2 0 = 1 + tan2 6

sen2 — = •!• (1 -

sen 20 = 2 sen 0 eos 0

1 - eos 0 = 2 sen2 •

eos 20 = eos2 0 - sen2 6 tan 20=

2tan0 r— 1 - tan2 0

sen(A ± B) = sen A eos B ± eos A sen B cos(A ± B) - eos A eos B + sen A sen B sen A ± sen 5= 2 sen [|(A ± B)] eos [|(A ? 5)] eos A + eos B = 2 eos [|(A + B)] eos [|(A - B)] eos A - eos B = 2 sen [|(A + B)] sen [|(5- A)]

EJEMPLO 3 Considere el triángulo recto en la figura B.ll, en el cual a = 2, b = 5 y c se desconoce. A partir del teorema de Pitágoras se tiene =

,

donde tan l (0.400) es la notación para "ángulo cuva gente es 0.400", escrito algunas veces como arctan •'. Jiflll

22 + 52 = 4 + 25 = 29

= 5.39

Para encontrar el ángulo 0, advierta que tan 6 = - = - = 0.400 b 5

Figura B.ll

De una tabla de funciones o de una calculadora se tiene 0=tan-' (0.400) = 21.8°

EJERCICIOS 1. En la figura B.12 identifique a) el lado opuesto a 6 y b) el lado adyacen luego c) eos 6, d) sen 4> Y e) tan $• Respuestas a) 3, b) 3, c) \ d) \ e) | 2. En cierto triángulo recto los dos lados que son perpendiculares entre sí y 7 m de largo. ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Figura B.12

Respuesta 8.60 m

B.6 Cálculo diferencial

I. Un triángulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de longitud y uno de sus ángulos es de 30°. ¿Cuál es la longitud de a) el lado opuesto al ángulo de 30° y b) el lado adyacente al ángulo de 30o? Respuestas

a) 1.5 m, b) 2.60 m

DESARROLLOS DE SERIES

(a 2!

x)n =

— -2!

ex = 1 + x + — + — + ••• 2! 3!

sen x = x

--- 1 --- • 3! 5!

eos x — 1 --- 1 --- • 2! 4!

•x en radianes

tan x = x H --- 1 --- 1 ---- \ ~ H/2 3 15 Para x « 1 pueden usarse las siguientes aproximaciones:1 (1 + x)n ~ 1 + nx

sen x = x

e* = 1 + x

eos x ~ 1

In (1 ± x) ~ ±x

tan x = x

CALCULO DIFERENCIAL

En diversas ramas de la ciencia en ocasiones es necesario usar las herramientas básicas del cálculo, inventadas por Newton, para describir los fenómenos físicos. El uso del cálculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecánica newtoniana, la electricidad y el magnetismo. En esta sección sólo se establecen algunas propiedades básicas y reglas prácticas que le conviene al estudiante repasar. Primero debe especificarse una función que relacione una variable con otra (por ejemplo, una coordenada como función del tiempo). Suponga que una de las variables se denomina y (la variable dependiente) y la otra x (la variable independiente) . Podría tener una relación de función como y(x) =

+ bx- + cx+ d

Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para cualquier valor de x. Por lo común se trata con funciones continuas, es decir, aquellas para las cuales y varía "uniformemente" con x 'Las aproximaciones para las funciones sen x, eos x y tan * son para x < 0.1 rad.

A.25

APÉNDICE

A.26

B

La derivada de y respecto de x se define como el límite, conforme Ax tiei cero, de las pendientes de las cuerdas dibujadas entre dos puntos en la curva sus x. Matemáticamente, esta definición se escribe como

- y(x)

. = Km 1. = Km dx A^° A* A'^°

Ax

i E :••

donde Ají y A a: se definen como A A: — x% - xl y A;y = yz - yt (Fig. B.13). Es impor advertir que dy/'dx no significa dy dividida entre dx, sólo que es una notación del UP». ceso del límite de la derivada según la define la ecuación B.28. Una expresión útil que debe recordarse cuando y(x) = axn, donde a es una •-vitante y n es cualquier número positivo o negativo (entero o fraccionario), es

xl Figura B.13

dy dx

= nax

16 2'r

Si y(x) es una función polinomial o algebraica de x, aplique la ecuación B.iV cada término en el polinomio y tome ¿[constante]/dx = 0. En los ejemplos del 4 7 se evalúan las derivadas de varias funciones.

EJEMPLO 4 Suponga que y(x) (es decir, y como una función de x) está

por lo que

Ají = y(x + A*) - y(x) = a(3x2 (x) = axs+bx+c +b£^x

Sustituyendo esto en la ecuación B.28 se obtiene

donde a y b son constantes. Así, se concluye que y(x+ Aje) = a(x+ A*)3 + b(x + AJÍ) + c

+ b(x + AJÍ) + c

EJEMPLO 5 y(x) = 8x5 + 4x!> dx

Solución Al aplicar la ecuación B.29 a cada término independientemente, y recordando que d/ dx (constante) = O, se tiene

dx

O

Propiedades especiales de la derivada A. Derivada del producto de dos funciones Si una función f ( x ) está dada por d producto de dos funciones, por ejemplo, g(x) y h(x), entonces la derivada de se define como

7dx

dx

dx

dx

(B.:

B.7 Cálculo integral

A.27

E. Derivada de la suma de dos funciones Si una función f ( x ) es igual a la suma de dos funciones, entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:

dx

-

(B.31)

^ +-

dx

dx

dx

C Regla de la cadena del cálculo diferencial Si y=f(x) y x = g ( z ) , entonces dy/dx puede escribirse como el producto de dos derivadas: dy

dy dx

dz

dx dz

(B.32)

D. La segunda derivada La segunda derivada de y respecto de x se define como la derivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Suele escribirse

d | dy (B.33)

dx \

dx1

EJEMPLO é? Encuentre la derivada de y (x) = xí/(x + I) 2 respecto de x. Solución Puede reescribir esta función como y(x) = xs(x + 1)~2 y aplicar la ecuación B.30: — dx

dx

d dx

(x + I)2

(x + I)3

— dx

EJEMPLO 7 Una fórmula útil que se desprende de la ecuación B.30 es la derivada del cociente de dos funciones. Demuestre que dg

"

dx

dh

dx

q dh dx

, dg dx

= -gh-2 - + /T1 -2-

dx\_h(x) Solución Puede escribir el cociente como gh~l y después aplicar las ecuaciones B.29 y B.30:

_

, dg dh h—-g — dx

Algunas de las derivadas de funciones que se usan más comúnmente se listan en tabla B.4.

CALCULO INTEGRAL

La integración se considera como la inversa de la diferenciación. Como ejemplo, sea la expresión f(x) =

-= dx

que fue el resultado de diferenciar la función

y(x) = ax3 + bx+ c

dx

1,2

(B.34)

Tdx

A.28

APÉNDICE

TABLA S,4

Derivadas para diversas funciones

B

en el ejemplo 4. Puede escribir la ecuación B.34 corno dy = f(x)dx = (Sowc2 + bt obtener y(x) "sumando" sobre todos los valores de x. Matemáticamente, esta op ción inversa se escribe

y(x) = I f(x) dx

-(«) = o Para la función/(x) dada por la ecuación B.34 se tiene — (axn) = naxn~l dx

y(x)

=

I (3a*2 + b)dx — ax3 + bx + c J

— (eax) = ae" dx — (sen ax) = a eos ax dx dx

donde c es una constante de la integración. Este tipo de integral se conoce comí: tegral indefinida debido a que su valor depende de la elección de c. Una integral indefinida general I(x) se define como

(eos ax) = —a sen ax

x) =

f(x)dx

— (tan ax) = a sec2 ax dx — (cot ax) = -a ese2 ax dx — (sec x) = tan x sec x dx dx

(cscx) = —cotxcscx

— (In ax) = — dx x

donde f(x) recibe el nombre de integrando y f ( x ) —

(B 25 dl(x) dx

Para una función continua generalf(x) la integral puede describirse como el área bajo la curva acotada por f ( x ) y el eje x, entre dos valores especificados de x, ejemplo, xl y x O, se obtiene el área real bajo la curva acotada por f ( x ) y x, entre los límites x Área = ™ I/(*,.)Ax,- =

Nota: Las letras a y n son constantes.

(E

Las integrales del tipo definidas por la ecuación B.36 se conocen como integ definidas. /(*)

„•"

^

/(*,•>

*

3£2



n +l

Este resultado es evidente, pues la diferenciación del lado derecho respecto de x produce directamente f ( x ) = xn. Si se conocen los límites de integración, esta integral se vuelve una integral definida y se escribe xn dx =

.

n +l

(n ^ -1)

(B.38;

B.7 Cálculo integral

EJEMPLOS

1. *5/2

2 5

5/2 X

3.

52 -3 2

2

Integración parcial Algunas veces es útil aplicar el método de integración pardal (llamado también "integración por partes") para evaluar ciertas integrales. Este método aprovecha la propiedad de que i u dv = uv - I v du (B.39) donde u y v se eligen con sumo cuidado de manera que se reduzca una integral compleja a una más simple. En muchos casos es necesario efectuar varias reducciones. Considere la función I(x) = I x'2e* dx

Esta puede evaluarse integrando por partes dos veces. Primero, si elige u = x-, v = e", se obtiene dx = \xz d(ex) = x2ex - 2l e"x dx Ahora, en el segundo término escoja u = x, v= ex, lo que produce

r

ex dx = xzex - 2xe" + 21 ex dx + cl

x2e* dx = xzex — 2xex + 2e" + c9

La diferencial perfecta Otro método útil que se debe recordar es el empleo de la diferencial perfecta, en la cual se busca un cambio de variable de modo que la diferencial de la función sea la diferencial de la variable independiente que aparece en el integrando. Por ejemplo, considere la integral . I(x) = eos2 x sen x dx Ésta se vuelve más fácil de evaluar si reescribe la diferencial como ¿(eos x) = -sen x dx. La integral se vuelve entonces

rI eos x sen x dx = - Ir eos x d(cos x) 2

2

Si después de esto se cambian las variables, dejando y = eos x, se obtiene C

a

I

y1

eos2 x sen x dx = -\2 dy = --—\- c = }}

y

3

ÍJ

COS %

3

\- c

A.29

APÉNDICE

A.30

B

La tabla B.5 lista algunas integrales indefinidas útiles. La tabla B.6 proporción la integral de probabilidades de Gauss y otras integrales definidas. Una lista rná completa puede encontrarse en varios manuales, como The Handbook ofChemistry an Physics, CRC Press.

TABLA B.5 Algunas integrales indefinidas (se debe añadir una constante arbitraria a cada una de estas integrales)

x" dx =

r dx _ f J x =-J x

í

(siempre que n ^ —1)

n+ 1

In ax dx — (x\n ax) — x xeax dx =

dx = In x

dx x — a + becx a

—J— = - j - l n ( a + bx) a + bx b

x dx x = a + bx b

a 5-ln(a + bx) b

dx (a + bx)2

eos ax dx = — sen ax a

1 b(a + bx)

tan ax dx = — ln(cos ax) = — ln(sec ax) a a

dx TT = — tan ' — a9 +i x 2 a dx

1

a+ x

— a 2—9xz~ = Ti2a 'n a — x

í

dx x2 - a2 x dx

1 x —a In 2a

cot ax dx = — In(senax) a (a 2 - x2 > 0)

1 1 / ax 77 sec ax dx = — Inísec ax + tan ax) = — In tañí 1 I

(x 2 - a 2 > 0)

1 1 / ax ese ax dx = — Inícsc ax — cot ax) = — In tan

dx r— = sen — = - eos Va 2 - x2 a

V7T7

a

x sen 2 ax 1 2 4a

dx 5 = sen ax

1 cot ax a

dx 1 5 = — tan ax eos' ax a

x dx Va 2 - x2

Ja 9 — x 9 dxi = J1 I x"Va 9 — x9 + a'sen / 9 / 9 I x va — x9 axT — — 1 (a — x 9)\ S / 2

sen 2 ax 4a

eos ax ax =

a

xdx

a

x ax ax = 2

9

= ln(x + A/x2 ± a 2 )

a

a

9 sen¿

= ±|ln(a2±x2

dx

I in (a T" 06 ) ac 1 eos ax a

sen ax dx =

1 x+ a In a x

dx = x(x + a)

r (ax - 1)

tan2 ax dx = — (tan ax) — x cot2 ax dx =

a

(cot ax) — x

sen * ax dx = x(sen J ax) +

r

~JXZ ± a2 ¿x=l rWx 2 ± a 2 ± a 2 ln(x + V*2 ± a 2 )]

eos

1

ax dx = x(cos

1

ax) —

J dx + a2)3/2 :dx

= — eax a

í-

x dx + a 2 ) 3/2

x 1

\_

\

\

B.7 Cálculo integral

TABLA B.6

o

Integral de probabilidad de Gauss y otras integrales definidas

j x n e - «dx —

f"

/o = I e Jo

-

"

ax~

nl

d I

Í~7T

dx = — "VI— 2 " a

aa

(Integral de probabilidad de Gauss)

4

8

Xa

a

A.31

Conversiones" Longitud

Fuerza

1 N = 0.224 8 Ib 1 Ib = 4.448 N

1 pulgada (pulg) = 2.54 cm (exacto) 1 m = 39.37 pulg = 3.281 pie 1 pie = 0.304 8 m 12 pulg = 1 pie 3 pie = 1 yarda 1 yarda = 0.914 4 m 1 km = 0.621 milla 1 milla = 1.609 km 1 milla = 5 280 pie 1 Á = 10-10m 1 ¿un = 1 n = 10-6 m = 103 nm 1 año luz = 9.461 x 1015 m

Velocidad

1 milla/h = 1.47 pie/s = 0.447 m/s = 1.61 km/h 1 m/s = 100 cm/s = 3.281 pie/s 1 milla/min = 60 milla/h = 88 pie/s Aceleración

1 m/s2 = 3.28 pie/s2 = 100 cm/s2 1 pie/s2 = 0.304 8 m/s2 = 30.48 cm/s2 Presión

1 1 1 1

Área

1 m2 = 104 cm2 = 10.76 pie2 1 pie2 = 0.092 9 m2 = 144 pulg2 1 pulg2 = 6.452 cm2

bar = 105 N/m 2 = 14.50 lb/pulg2 atm = 760 mm Hg = 76.0 cm Hg atm = 14.7 lb/pulg2 = 1.013 x-105 N/m 2 Pa = 1 N/m 2 = 1.45 x 10~4 lb/pulg2

Tiempo

1 año = 365 días = 3.16 x 10' s 1 día = 24 h = 1.44 x 103 min = 8.64 x 104 s

Volumen

1 1 1 1 1

m3 = 106 cm3 = 6.102 x 104 pulg3 pie3 = 1 728 pulg3 = 2.83 x 10~2 m3 L = 1 000 cm3 = 1.057 6 qt (cuartos) = 0.035 3 pie3 pie 3 = 7.481 galón (gal) = 28.32 L = 2.832 x lO'2 m3 gal = 3.786 L = 231 pulg3

Masa

Energía

1J = 0.738 pie-Ib 1 cal = 4.186 J 1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103J 1 eV = 1.6 x 10-19J 1 kWh = 3.60x 106J Potencia

1 000 kg = 1 t (tonelada métrica) 1 slug = 14.59 kg 1 u = 1.66 x 10"27 kg = 931.5 MeV/c2

1 hp = 550 pie-lb/s = 0.746 kW 1 W = 1 J/s = 0.738 pie • Ib/s 1 Btu/h = 0.293 W

Algunas aproximaciones útiles para problemas de estimación 1 m 1 m/s « 2 millas/h 1 yarda I k g = 2 Ib 1 año « n x 107 s 60 millas/h = 100 pies/s 1 N *\b 1 L'

1 Véase

1 km = 5 milla

i gal

la tabla A.l del apéndice A para una lista más completa.

El alfabeto griego Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta

Theta

A B

r

A E Z H

e

a P

y s

Iota Kapa Lambda

e

c

Mu Nú Xi

17

e

Omicron Pi

p

I

L

Rho

P

K A M N

K

Sigma

2

A

Tau

M

Upsilon

T Y $ X

X*

^ n

* ta

B

0

n

eo

Fi Chi Psi

77

Omega

V

a T V

Algunas constantes fundamental Cantidad

Símbolo

Unidad de masa atómica

u

Número de Avogadro

NA

1.660 540 2(10) x 10"27 kg 931.49432(28) MeV/c2 6.022 136 7(36) x 1023 partículas/mol

Magnetón de Bohr

(h>=~—

9.274015 4(31) x 10-24J/T

Radio de Bohr

0.529 177 249 (24) x 1Q-'0 m

Constante de Boltzmann

1.380658 (12) xlO- 2 5 J/K

Longitud de onda Compton

2.426 310 58(2 2) x 10'12 m

Constante de Coulomb

k, =

4tre0

Masa del deuterón

8.987 551 787 x 109 X • m- .'C2 (exacto) 3.343 586 0(20) x 10"" kg 2.013 553 214 (24) u 9.109 389 7(54) x 1Q-31 kg 5.485 79903(1 3) x 10^ u 0.51099906(1 5) MeV 1.602 177 33(49) x 1Q-19J 1.602 177 33(4 9) x lO'1* C 8.314510 (70) J/K-mol 6.672 59(8 5) x 10"11 X-rrr kg2

Masa del electrón

Electrón-volt Carga elemental Constante de los gases Constante gravitacional

eV e R G

Energía del estado base del hidrógeno

EI=-

Proporción frecuencia-voltaje de Josephson

2e/h

4.835 976 7(14) x 10H Hz/V

Cuanto de flujo magnético

$0 = —

2.06783461(6 1) x 10-15 T-m 2

Masa del neutrón

mn

1.674 928 6(10) x 10~27 kg 1.008 664 904 (14) u 939.565 63(2 8) MeV/r 2

Magnetón nuclear

At n = -^— 2mp

5.0507866(17) x 10-27J/T

Permeabilidad del espacio libre Permitividad del espacio libre

/u0 €0 = l/At 0 f 2

Constante de Planck

h

47T x 10~7 T-m/A (exacto) 8.854 187 817 x 10^12 C 2 /N-m 2 (exacto) 6.626075(40) x lQ- 34 J-s

Masa del protón

Constante de Rydberg Rapidez de la luz en el vacío

2a0

-13.605 698 (40) eV

1.054572 66(63) x 10~ 34 J-s 1.672 623 (10) x 10~27 kg 1.007 276470 (12) u 938.272 3(28) MeV/c2 1.097373 1534(13) x 107 nr1 2.997 924 58 x 108 m/s (exacta)

Estas constantes son los valores recomendados en 1986 por la CODATA, están basados en un ajuste de mínimos cuadrados de datos de distintas mediciones. Para una lista más completa véase E. R. Cohén y B. X. Tavlor, Rev. Mari. Plns. 59:1121., 1987. b Los números entre paréntesis para los valores en esta columna representan las incertidumbres de los últimos dos dígitos. a

Datos del Sistema Solar Cuerpo

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón Luna Sol

Masa (kg)

3.18 x 4.88 x 5.98 x 6.42 x 1.90 x 5.68 x 8.68 x 1.03 x «1.4 x 7.36 x 1.991 x

1023 1024 1024 1023 1027 1026 1025 1026 1022 1022 1030

Radio medio (m)

Periodo (s)

2.43 x 106 6.06 x 106 6.37 x 106 3.37 x 106 6.99 x 107 5.85 x 107 2.33 x 107 2.21 x 107 « 1.5 x 106 1.74 x 106 6.96 x 108

7.60 1.94 3.156 5.94 3.74 9.35 2.64 5.22 7.82

x x x x x x x x x

Distancia desde el Sol (m)

106 107 107 107 108 108 109 109 109

— —

5.79 x 1.08 x 1.496 x 2.28 x 7.78 x 1.43 x 2.87 x 4.50 x 5.91 x — —

1010 10" 10" 1011 1011 1012 1012 1012 1012

Datos físicos usados con frecuencia3 3.84 x 108 m 1.496x 10" m 6.37 x 106 m 1.29 kg/m3 1.00 x 103 kg/m3 9.80 m/s2 5.98 x 1024 kg 7.36 x 1022 kg 1.99x 1030kg 1.013 x 105 Pa

Distancia promedio Tierra-Luna Distancia promedio Tierra-Sol Radio promedio de la Tierra Densidad del aire (0°C y 1 atm) Densidad del agua (20°C y 1 atm) Aceleración de caída libre Masa de la Tierra Masa de la Luna Masa del Sol Presión atmosférica estándar aEstos

son los valores de las constantes como se usan en el texto.

Algunos prefijos para las potencias de diez Potencia 1Q-24

io-21 10-18

io-15 io-12 io-9 io-6 io-3 io-2 lo-1

Prefijo yocto zepto ato femto pico nano micro mili centi deci

Abreviatura

Potencia

Prefijo

Abreviatura

y

101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

deca hecto kilo mega giga tera peta exa zeta yota

da h k M G T P E Z Y

z a f P n M m c d