Apuntes de Física Matemática (Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales) Licenciatura en Física

Antonio Cañada Villar Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

A. Ca˜ nada, Febrero 2010, EDPF´ISICA ´ Y MOTIVACION ´ CAP´ ITULO I: INTRODUCCION

1 1

Aqu´ı podr´as encontrar los apartados siguientes: conocimientos previos necesarios para seguir adecuadamente este cap´ıtulo, resumen del mismo con la bibliograf´ıa recomendada y actividades complementarias. Al final aparece una relaci´ on de ejercicios. En la p´agina web http://www.ugr.es/∼acanada/ encontrar´as informaci´on adicional sobre la asignatura (ex´amenes, enlaces a p´aginas relacionadas, pr´acticas de ordenador, etc.)

CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Ley de Newton sobre el potencial gravitacional de distribuciones de masas discretas y continuas. 2. Teorema fundamental del c´alculo y teorema de derivaci´ on de una integral param´etrica. 3. C´alculo de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Estos conocimientos se pueden consultar, por ejemplo, en las referencias siguientes: 1. T.M. Apostol. An´alisis Matem´atico. Revert´e, Barcelona, 1960. 2. I. Peral : Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales.Addison-Wesley, Wilmington, 1995. 3. http://mathworld.wolfram.com/ 4. http://scienceworld.wolfram.com/physics/

RESUMEN DEL CAP´ ITULO El objetivo b´asico de este cap´ıtulo es que el alumno conozca el origen de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP), tanto en su relaci´on con otras disciplinas matem´aticas como en el importante papel que juegan en las aplicaciones a diversas materias, especialmente f´ısica e ingenier´ıa. Se pretende de manera especial que el 1

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alumno reconozca adecuadamente los tres tipos b´asicos de EDP: la ecuaci´on de ondas, la ecuaci´on del calor y la ecuaci´on del potencial. Asimismo, el alumno debe prestar una atenci´on especial a los p´arrafos en letra negrita que le informan de problemas que aparecen en f´ısica, ingenier´ıa, etc., relacionados con EDP. El problema de la cuerda vibrante y la ecuaci´ on de ondas El primer problema que presentamos en este cap´ıtulo es el problema de la cuerda vibrante. Puede describirse de la siguiente forma: supongamos que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y que sus extremos se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (π, 0) del eje de abscisas. Entonces se tira de la cuerda hasta que ´ esta adopte la forma de una curva dada por la ecuaci´ on y = f (x) y se suelta. La cuesti´ on es: ¿Cu´ al es el movimiento descrito por la cuerda? Si los desplazamientos de ´ esta se hallan siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular, en cualquier momento, al eje de abscisas, dicho movimiento vendr´ a dado por una funci´ on u(x, t), donde u(x, t) representar´ a el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x ( 0 ≤ x ≤ π ) y el tiempo t (t ≥ 0). El problema que se plantea es obtener u(x, t) a partir de f (x). El primer matem´atico que elabor´o un modelo apropiado para el anterior problema fue Jean Le Rond D’Alembert. Bajo diversas hip´otesis (referentes fundamentalmente a que las vibraciones sean “peque˜ nas”), D’Alembert demostr´o en 1747 (Hist. de l’Acad. de Berlin, 3, 1747, 214-219) que la funci´on u debe satisfacer las condiciones: ∂ 2 u(x, t) ∂t2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂x2

u(x, 0) = f (x),

0 < x < π, t > 0 0≤x≤π (1)

∂u(x, 0) ∂t

= 0,

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0 (1) es un problema de tipo mixto. La primera condici´on en (1) es una ecuaci´on en derivadas parciales de segundo orden, conocida con el nombre de ecuaci´ on de ondas. La segunda relaci´on representa la posici´on inicial de la cuerda, mientras que la tercera significa que la velocidad inicial de la misma es cero. La u ´ltima relaci´on expresa el hecho de que, para cualquier tiempo, la cuerda se mantiene fija en sus extremos. En definitiva, adem´as de la ecuaci´on se consideran dos tipos de condiciones:

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condiciones en el tiempo inicial y condiciones en la frontera de la cuerda (de ah´ı el nombre de problemas de tipo mixto). D’Alembert demostr´o tambi´en que la soluci´on de (1) viene dada por 1 u(x, t) = [f˜(x + t) + f˜(x − t)] 2

(2)

donde f˜ es “una extensi´on conveniente de la funci´on f .” De manera m´as precisa, f˜ se obtiene, a partir de f , realizando una extensi´on a IR, impar y 2π− peri´odica. Esto se ver´a con detalle en el cap´ıtulo II. La f´ormula (2) fue tambi´en demostrada por Euler (Mora Acta Erud., 1749, 512-527), quien difer´ıa fundamentalmente de D’Alembert en el tipo de funciones iniciales f que pod´ıan tenerse en cuenta. De hecho, estas diferencias pueden considerarse como una de las primeras manifestaciones escritas sobre los problemas que ha llevado consigo la definici´on de la noci´on de funci´on. Otra manera de obtener la soluci´on del problema (1) completamente distinta de la vista anteriormente fue propuesta por Daniel Bernoulli en 1753 (Hist. de l’Acad. de Berlin, 9, 1753, 147-172; 173-195). La idea clave es obtener la soluci´on de (1) como superposici´on de ondas sencillas. Estas ondas sencillas pueden obtenerse usando el m´etodo de separaci´on de variables, obteni´endose las funciones un (x, t) = sen(nx) cos(nt), ∀ n ∈ IINI,

(3)

donde IINI es el conjunto de los n´ umeros naturales. Para cada tiempo t fijo, la anterior funci´on es un m´ ultiplo de la funci´on sen(nx), que se anula exactamente en n − 1 puntos del intervalo (0, π). As´ı, si pudi´esemos observar la vibraci´on de la cuerda correspondiente a las ondas un , tendr´ıamos n − 1 puntos, llamados nodos, en los que la cuerda se mantendr´ıa constantemente fija en el eje de abscisas (como en los extremos del intervalo [0, π]). Entre dichos nodos, la cuerda oscilar´ıa de acuerdo con (3). Es trivial demostrar que, ∀ n ∈ IINI, la funci´on definida en (3) satisface tres de las cuatro condiciones que aparecen en (1) (la primera, tercera y cuarta). Claramente la segunda condici´on de (1) no se verifica necesariamente. Pues bien, D. Bernoulli afirm´o que la soluci´on de (1) se representa de la forma: u(x, t) =

∞ X

an sen(nx) cos(nt),

(4)

n=1

donde los coeficientes an han de elegirse adecuadamente para que se satisfagan todas las relaciones de (1). Si la soluci´on propuesta por Bernoulli es correcta, ello obligar´ıa a que u(x, 0) =

∞ X

n=1

an sen(nx)

A. Ca˜ nada, Febrero 2010, EDPF´ISICA y por tanto a que

∞ X

f (x) =

4

an sen(nx), ∀ x ∈ [0, π],

(5)

n=1

para una adecuada elecci´on de los coeficientes an . Las ideas expuestas por Bernoulli en el trabajo mencionado, no tuvieron aceptaci´on en su tiempo. En particular, recibi´o duras contestaciones por parte de D’Alembert y Euler quienes no admit´ıan que cualquier funci´on con una expresi´on anal´ıtica pudiera representarse en la forma (5) (D’Alembert) ni menos a´ un cualquier funci´on (Euler). Representativo de esto que decimos puede ser el art´ıculo de D’Alembert titulado “Fondamental” contenido en el volumen s´eptimo de la famosa “Encyclop´edie”. Las condiciones sobre el problema de la cuerda vibrante original pueden ser m´ as generales. Por ejemplo, la velocidad inicial de la cuerda no tiene que ser necesariamente cero. Tambi´ en la posici´ on de los extremos de la misma puede variar con el tiempo. Esto origina problemas de tipo mixto m´ as generales que (1) de la forma ∂ 2 u(x, t) ∂t2

=

∂ 2 u(x, t) + h(x, t), 0 < x < π, t > 0 ∂x2

u(x, 0) = f (x),

0≤x≤π (6)

∂u(x, 0) ∂t u(0, t) = m1 (t),

= g(x), u(π, t) = m2 (t),

0≤x≤π t≥0

Tambi´ en, problemas de vibraciones en dimensiones superiores a uno (por ejemplo, el problema de la membrana vibrante) conducen a la ecuaci´ on de ondas n− dimensional n ∂ 2 u(x1 , ..., xn , t) X ∂ 2 u(x1 , ..., xn , t) = ∂t2 ∂x2i i=1

(7)

Ecuaciones similares a la de ondas aparecen, adem´ as, en otras muchas situaciones de inter´ es para los estudiantes de f´ısica e ingenier´ıa. Por ejemplo: 1. En el estudio de los desplazamientos longitudinales de una viga, de secci´ on constante S, en las hip´ otesis de la Resistencia de Materiales, la funci´ on u(x, t) que define dichos desplazamientos longitudinales, verifica la ecuaci´ on ρutt = ESuxx + h(x, t)

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donde ρ es la masa por unidad de longitud del medio, E es el m´ odulo de Young y h(x, t) la fuerza por unidad de longitud actuando en el punto x y en el instante t. 2. La ecuaci´ on anterior aparece tambi´ en en el estudio de los desplazamientos en profundidad de un terreno y en el estudio de la torsi´ on de una barra. 3. La ecuaci´ on de Klein-Gordon c2 utt = uxx − µ2 u (onda relativista) y la ecuaci´ on de seno-Gordon utt − uxx + sin u = 0 que se usa para describir familias de part´ıculas elementales y tambi´ en aparece en la teor´ıa de la uni´ on de Josephson (el efecto Josephson es un efecto f´ısico que se manifiesta por la aparici´ on de una corriente el´ ectrica por efecto t´ unel entre dos superconductores separados). La ecuaci´ on del calor y el nacimiento de las series de Fourier Jean Baptiste-Joseph Fourier, matem´atico y f´ısico franc´es, envi´ o en 1807 un art´ıculo a la Academia de Ciencias de Par´ıs, que trataba sobre el tema de la propagaci´on del calor. M´as concretamente, Fourier consider´ o una varilla delgada de longitud dada, digamos π, cuyos extremos se mantienen a 0◦ cent´ıgrados y cuya superficie lateral est´ a aislada. Si la distribuci´ on inicial de temperatura en la varilla viene dada por una funci´ on f (x) (se supone que la temperatura de la varilla en cada secci´ on transversal de la misma es constante), Fourier se plante´ o la siguiente cuesti´ on: ¿cu´ al ser´ a la temperatura de cualquier punto x de la varilla en el tiempo t ? Suponiendo que la varilla satisface condiciones f´ısicas apropiadas, demostr´ o que si u(x, t) representa la temperatura en la secci´ on x y en el tiempo t , entonces la funci´ on u debe satisfacer: ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

0 < x < π, 0 < t < T,

u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u(x, 0) = f (x),

(8)

0 ≤ x ≤ π.

De nuevo estamos ante un problema de tipo mixto. La primera condici´on en (8) es la ecuaci´ on del calor. La segunda significa que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0◦ cent´ıgrados en cualquier tiempo, mientras que la u ´ltima relaci´on representa la distribuci´on inicial de temperatura en la varilla considerada.

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Vamos a comentar a continuaci´on las principales ideas que permiten obtener la ecuaci´on del calor. Para ello, sea u(x, t) la temperatura de una barra unidimensional en el punto de abscisa x y en el tiempo t (a ≤ x ≤ b, t ≥ 0.) Teniendo en cuenta el concepto de integral definida, la temperatura total en el tiempo t para x variando entre a y b, vendr´a dada por una expresi´on (salvo constantes positivas) de la forma Z b a

u(x, t) dx. Asumamos, adem´as, que hay una difusi´on del calor en la direcci´on

positiva de la recta real (por x = a entra calor y por x = b sale), y que esta difusi´on viene dada por una funci´on φ(x, t), que representa el flujo de calor. La derivaci´on de la llamada ecuaci´ on del calor, para el caso que nos ocupa, se basa en la aplicaci´on de dos tipos de leyes fundamentales: - Una ley de conservaci´on, aplicada al crecimiento de la temperatura total respecto del tiempo. - Una ley que relaciona el flujo de calor desde las partes con m´as temperatura a las de menos, con la tasa de variaci´on de la citada temperatura respecto de la variable espacial. Aqu´ı usaremos la ley de Fourier, matem´atico y f´ısico franc´es que puede considerarse como el fundador de la teor´ıa cl´asica del calor a principios del siglo XIX. La ley de conservaci´on que puede aplicarse en este caso, es la siguiente: para cualquier intervalo [a, b], la tasa de crecimiento de la temperatura total, respecto del tiempo t, vendr´ a dado por el flujo de calor en la secci´on a menos el flujo de calor en la secci´on b, o lo que es lo mismo, el flujo total de calor a trav´es de la frontera del intervalo (a, b). Esto se puede escribir como d dt

Z b a

u(x, t) dx = φ(a, t) − φ(b, t)

(9)

Si las funciones u y φ son suficientemente regulares (no debe preocuparnos este aspecto en la deducci´on de la ecuaci´on) entonces: a)

d dt

Z b a

u(x, t) dx =

b) φ(a, t) − φ(b, t) = −

Z b a

Z b a

ut (x, t) dx φx (x, t) dx

donde los sub´ındices indican las derivadas parciales respecto de la correspondiente variable. En suma, tenemos que Z b a

[ut (x, t) + φx (x, t)] dx = 0

para cualquier intervalo [a, b]. Por tanto, se debe tener ut (x, t) + φx (x, t) = 0, ∀ x ∈ IR, ∀ t > 0

(10)

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Esto es una ley de conservaci´on expresada por una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden. En la expresi´on anterior aparecen dos funciones, u y φ, y una sola ecuaci´on. La experiencia sugiere que ambas deben estar relacionadas. En nuestro caso, si se observa emp´ıricamente la difusi´on del calor, generalmente ´este se difunde desde las partes de temperatura alta a las de temperatura baja de una forma proporcional al gradiente de la temperatura (respecto de la variable espacial), y con signo opuesto al de ´este. En efecto, si ux (x0 , t0 ) > 0, esto significa que, fijado el tiempo t0 , la funci´on u, como funci´on de la variable x es creciente en un entorno del punto x0 . Por tanto, hay m´as temperatura a la derecha de x0 que a la izquierda y, l´ogicamente, la difusi´on del calor se produce hacia la izquierda de x0 . As´ı podemos asumir que φ(x, t) = −Dux (x, t)

(11)

que es la mencionada Ley de Fourier (D es una constante positiva, llamada constante de difusi´on, que depende de la situaci´on particular que estemos tratando). Combinando (10) con (11) se obtiene ut (x, t) − Duxx (x, t) = 0,

(12)

que es el modelo cl´asico de difusi´on unidimensional. A esta ecuaci´on se le llama habitualmente en F´ısica ecuaci´ on del calor, puesto que modela muchos tipos de fen´omenos relacionados con la distribuci´on y evoluci´ on de la temperatura en los cuerpos, y en general fen´omenos con difusi´on. Es adem´as el representante t´ıpico de las ecuaciones de tipo parab´olico. En la deducci´on del modelo anterior no se ha tenido en cuenta la influencia que en la evoluci´on de la temperatura pueden tener otros par´ametros, tales como fuentes de calor externas. En general, esto se expresa por una funci´on f (x, t, u), de tal manera que una ecuaci´on m´as general que (12) es ut (x, t) − Duxx (x, t) = f (x, t, u)

(13)

que se conoce con el nombre de ecuaci´ on del tipo reacci´ on-difusi´ on, de gran importancia no s´olo en F´ısica sino tambi´en en Biolog´ıa, Qu´ımica y otras Ciencias. Vamos a intentar ahora trasladar las ideas anteriores al caso n-dimensional. Esto no es tarea f´acil, como sabemos muy bien aquellos que nos dedicamos a la ense˜ nanza del an´alisis matem´atico. El an´alisis de funciones de varias variables reales difiere sensiblemente, tanto en las ideas, como en los resultados, del an´alisis de funciones de una variable real. Baste citar, por ejemplo, el concepto de derivabilidad de una funci´on en un punto o los resultados relacionados con los teoremas integrales del an´alisis vectorial (Barrow, Green, Stokes, etc.). En primer lugar, la temperatura es ahora una funci´on de n + 1 variables: n variables para el espacio y una para el tiempo. As´ı, en general tenemos u(x, t) para dicha

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temperatura, con x ∈ Ω y t ≥ 0, donde Ω es ahora una regi´on acotada de IRn . En este caso, la ley de conservaci´on (9) se expresa como d dt

Z

Z

Ω

u(x, t) dx = −

∂Ω

< φ(s, t), n(s) > ds,

(14)

Z

donde ∂Ω significa la frontera topol´ogica de Ω, Z

m´ ultiple correspondiente,

∂Ω

Ω

u(x, t) dx representa la integral

< φ(s, t), n(s) > ds es una integral de superficie, que

expresa el flujo de calor a trav´es de la frontera de Ω y n(s) es el vector normal exterior a la superficie (o hipersuperficie) ∂Ω en el punto s. En el caso unidimensional, la frontera topol´ogica de Ω = (a, b) est´a formada por el conjunto {a, b}. En s = a la normal exterior es el vector unidimensional −1 y en s = b, la normal exterior es el vector unidimensional 1. Como anteriormente, la ecuaci´on integral (14) puede escribirse, si las funciones que aparecen en ella son regulares, como una ecuaci´on en derivadas parciales. Para ello, lo primero que debemos hacer es escribir la integral de superficie que aparece en la relaci´on anterior, como una integral m´ ultiple. Esto se puede hacer, cuando el dominio Ω considerado es tambi´en bueno, usando el Teorema de la Divergencia, resultado fundamental del an´alisis vectorial, del cual se deduce la expresi´on Z ∂Ω

Z

< φ(s, t), n(s) > ds =

Ω

divx φ(x, t) dx

donde si el flujo φ(x, t) = (φi (x, t)), 1 ≤ i ≤ n, la divergencia de φ, respecto de la variable x, se define como divx φ(x, t) =

n X ∂φi (x, t) i=1

∂xi

Aplicando este teorema y usando las mismas ideas que para el caso unidimensional, llegamos a la ecuaci´on ut (x, t) + divx φ(x, t) = 0, ∀ x ∈ IRn , ∀ t > 0,

(15)

que es la versi´on general de (10). Por u ´ltimo, la ley de Fourier multidimensional, afirmar´ıa ahora que el vector flujo φ(x, t) es directamente proporcional (en sentido negativo) al gradiente de la temperatura respecto de la variable espacial; es decir, φ(x, t) = −D ∇x u(x, t), donde ∇x u(x, t), es el vector gradiente de u, respecto de la variable espacial x. As´ı obtendr´ıamos ut (x, t) − D∆x u(x, t) = 0, (16)

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donde ∆x , el operador Laplaciano respecto de x, viene dado por ∆x u(x, t) =

n X ∂ 2 u(x, t) i=1

∂x2i

A la ecuaci´on anterior se le conoce con el nombre de ecuaci´ on del calor o ecuaci´ on de la difusi´ on n-dimensional. Nuevamente, admitiendo otros factores de influencia en la temperatura, obtendr´ıamos la ecuaci´on ut (x, t) − D∆x u(x, t) = f (x, t, u)

(17)

Volvamos al problema (8). Partiendo de las ideas de Bernoulli para la ecuaci´on de ondas (soluciones con variables separadas), Fourier busc´o las soluciones m´as sencillas que puede presentar la ecuaci´on del calor: aquellas que son de la forma u(x, t) = X(x)P (t). Imponiendo la condici´on de que tales funciones satisfagan formalmente dicha ecuaci´on, obtenemos los dos problemas siguientes de ecuaciones diferenciales ordinarias: X 00 (x) + µX(x) = 0, x ∈ (0, π), X(0) = X(π) = 0, (18) P 0 (t) + µP (t) = 0, 0 < t < T.

(19)

En la expresi´on anterior, µ hace el papel de par´ametro real. Es f´acil ver que (18) tiene soluci´on no trivial si y solamente si µ ∈ {n2 , n ∈ IINI}. Adem´as, si µ = n2 , para alg´ un n natural, el conjunto de soluciones de (18) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno generado por la funci´on sen(nx). An´alogamente, para µ = n2 , el conjunto de soluciones de (19) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno, cuya base la constituye la funci´on exp(−n2 t). As´ı, disponemos de un procedimiento que nos permite calcular infinitas soluciones elementales de la ecuaci´on del calor, a saber, las funciones de la forma an vn , donde an ∈ IR y vn se define como vn (x, t) = exp(−n2 t)sen(nx).

(20)

Es trivial que si la distribuci´on inicial de temperatura f , es alg´ un m´ ultiplo de sen(nx) (o una combinaci´on lineal finita de funciones de este tipo), entonces la soluci´on buscada de (8) es un m´ ultiplo adecuado de vn Ahora bien, f no es, en general de la forma justo mencionada, pero, y aqu´ı demostr´o Fourier, como Bernoulli, una enorme intuici´ on, ¿ser´a posible obtener la soluci´on u de (8), para cualquier f dada, como superposici´on de las anteriores soluciones sencillas vn ? Es decir, ¿ser´a posible elegir adecuadamente los coeficientes an tal que la u ´nica soluci´on de (8) sea de la forma u(x, t) =

∞ X n=1

an exp(−n2 t)sen(nx).

(21)

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como en el caso de la ecuaci´on de ondas? Fourier afirm´o en su art´ıculo que esto era as´ı, obteni´endose de nuevo la relaci´on (5). Las ideas expuestas por Fourier en el libro citado plantearon de manera inmediata innumerables interrogantes que han originado, a lo largo de casi dos siglos, gran cantidad de investigaci´ on y han sido muchas las partes de la Matem´atica que se han desarrollado a partir de ellas. Otras situaciones dan lugar a problemas distintos. Por ejemplo, si se trata de estudiar la temperatura de una varilla delgada, pero donde se sustituye el hecho de que los extremos de la misma est´ en a cero grados cent´ıgrados, por el de que tales extremos se mantengan aislados, tenemos el problema de tipo mixto ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

∂u(0, t) ∂x

=

∂u(π, t) = 0, 0 < t ≤ T, ∂x

u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T, (C2)

0 ≤ x ≤ π.

Problemas relacionados con la propagaci´ on del calor en cuerpos tridimensionales originan la ecuaci´ on del calor en dimensi´ on tres. En general, la ecuaci´ on del calor n− dimensional se expresa de la forma: n ∂u(x1 , ..., xn , t) X ∂ 2 u(x1 , ..., xn , t) = ∂t ∂x2i i=1

(22)

Otras situaciones de inter´ es para los estudiantes de ingenier´ıa, donde aparecen ecuaciones similares a la ecuaci´ on del calor son las siguientes: 1. Difusi´ on de sustancias qu´ımicas en otro medio. 2. En el estudio del flujo de agua en acu´ıferos en un medio no homog´ eneo se obtiene, suponiendo un flujo bidimensional, una ecuaci´ on de la forma 



2 2 ∂u(x1 , x2 , t) X ∂u(x1 , x2 , t)  ∂ X = aij = f (x1 , x2 , t) ∂t ∂xi j=1 ∂xj i=1

Obs´ ervese que si aij = δij (la delta de Kronecker), entonces tenemos la ecuaci´ on del calor bidimensional.

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La ecuaci´ on del potencial La ecuaci´on del potencial tiene su origen en la teor´ıa de Newton de la gravitaci´ on universal. Posteriormente, Gauss, Green y Kelvin, en el siglo XIX, realizaron aportaciones importantes dentro del marco del llamado an´alisis vectorial, no s´olo en el tema del potencial gravitacional sino tambi´en en temas relacionados con electrost´atica e hidrodin´amica. El potencial gravitacional V (x) originado en el punto x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 por una masa m localizada en un punto ξ ∈ IR3 viene dado por V (x) = −G

m kx − ξk

donde G es la constante de gravitacional universal y k · k denota la norma eucl´ıdea. La fuerza gravitacional g(x) viene dada por g(x) = −∇V (x), donde ∇V indica el gradiente de la funci´on V. Trivialmente se comprueba que el potencial es una funci´on arm´onica en IR3 \ {ξ}, esto es, que verifica la ecuaci´ on de Laplace ∆V (x) = 0, ∀ x ∈ IR3 \ {ξ}

(23)

Aqu´ı, ∆V es el laplaciano de la funci´on V, dado por ∆V (x) =

3 X ∂ 2 V (x) i=1

∂x2i

(24)

El potencial gravitacional V (x) originado por un n´ umero finito de masas m1 , ..., mk localizadas en los puntos ξ1 , ...ξk de IR3 se define de manera an´aloga como V (x) = −G

i=k X i=1

mi kx − ξi k

Trivialmente V es arm´onica en IR3 \ {ξ1 , ..., ξk }. Lo anterior se refiere a “distribuciones discretas finitas de masas”. Un salto cualitativo importante se da cuando se trata de definir el potencial gravitacional de una “distribuci´on continua de masa” que se encuentra en el espacio eucl´ıdeo. Aqu´ı la suma finita se transforma en una “suma continua”, dando lugar a una integral en el correspondiente subconjunto de IR3 . M´ as concretamente si tenemos un cuerpo (subconjunto abierto y acotado) de IR3 con una distribuci´ on de masa dada por la funci´ on de densidad ρ : Ω → IR, el potencial gravitacional se define como Z ρ(ξ) V (x) = −G dξ (25) Ω kx − ξk

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Trivialmente V ∈ C ∞ (IR3 \ Ω).Bajo condiciones muy amplias (ρ medible y acotada) se demostrar´a en el cap´ıtulo IV que V ∈ C 1 (IR3 ). Sin embargo, se mencionar´an tambi´en ejemplos en este cap´ıtulo que ponen de manifiesto que aunque ρ sea continua, V no tiene que ser necesariamente de clase C 2 en Ω. Trivialmente ∆V (x) = 0, ∀ x ∈ /Ω

(26)

Demostraremos en el cap´ıtulo IV que si ρ ∈ C 1 (Ω) y adem´as es acotada, entonces ∆V (x) = 4πGρ(x), ∀ x ∈ Ω

(27)

Como curiosidad, puede demostrarse f´acilmente que ∆x

ρ(ξ) = 0, ∀x 6= ξ kx − ξk

con lo que, para obtener las derivadas de segundo orden de V en Ω, no puede intercambiarse la derivaci´on con la integraci´ on en la f´ormula (25). Esto le suele llamar la atenci´ on a los alumnos. No porque crean que siempre se pueden intercambiar ambas operaciones (ya nos encargamos los matem´ aticos de ponerles suficientes ejemplos patol´ ogicos al respecto) sino porque este es un ejemplo muy natural que surge en f´ısica e ingenier´ıa y donde se pone de manifiesto que el rigor matem´ atico es crucial si se quieren hacer las cosas bien. Las disquisiciones anteriores motivan el estudio de la existencia de soluciones radiales no triviales de la ecuaci´on de Laplace (23): soluciones de la forma V (x) = v(kx−ξk). Esto origina la ecuaci´on diferencial ordinaria v 00 (r) +

n−1 0 v (r) = 0, ∀ r ∈ (0, +∞). r

(28)

Integrando esta ecuaci´on se obtiene lo que se llama soluci´on fundamental de la ecuaci´on de Laplace   

E(x, ξ) =

 

ln kx − ξk, si n = 2, (29) 1 2−n kx

− ξk2−n , si n > 2.

que, como su nombre indica, desempe˜ nar´ a un papel importante en el estudio de ecuaciones el´ıpticas en el cap´ıtulo IV. El principio del m´aximo-m´ınimo para funciones arm´onicas, que se demostrar´a en el cap´ıtulo IV, motiva el tipo de problemas que “de una manera l´ogica” se pueden asociar a la ecuaci´on del potencial: los problemas de contorno. Este hecho se ve corroborado en las aplicaciones de la teor´ıa de ecuaciones el´ıpticas a la Ciencia, donde tales problemas de contorno se presentan con frecuencia. Por ejemplo, en

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electrost´atica, los problemas de contorno usuales (problema de Dirichlet) responden al planteamiento ∆u(x) = g(x), x ∈ Ω, (30) u(x) = f (x), x ∈ ∂Ω donde Ω es un dominio acotado de IRn , ∂Ω indica su frontera topol´ogica y las funciones f y g son dadas. En cambio, en hidrodin´amica lo usual son problemas de contorno del tipo ∆u(x) = g(x), x ∈ Ω, (31) ∂u(x) = f (x), x ∈ ∂Ω ∂n ∂u(x) donde n indica el vector normal exterior a ∂Ω y =< ∇u(x), n(x) >, ∀ x ∈ ∂Ω. ∂n Estos se conocen con el nombre de problemas de contorno tipo Neumann. La ecuaci´ on de laplace n−dimensional se escribe de la forma ∆V (x) =

n X ∂ 2 V (x) i=1

∂x2i

=0

y se cumple para soluciones estacionarias (soluciones que no dependen de la variable tiempo t) de las ecuaciones n−dimensionales de ondas (7) y del calor (22). Los ejemplos de EDP que se presentan en este cap´ıtulo surgieron en los siglos XVIII y XIX. No obstante, siguen representando un papel fundamental en la teor´ıa moderna de EDP y en torno a ellos, o a variaciones de ellos, existen numerosos interrogantes que se comentar´an en el curso. La teor´ıa moderna de EDP surgi´o a finales del siglo XIX y principios del XX con contribuciones importantes de Poincar´e y Hilbert, alcanzando un grado notable de contenido con el desarrollo en la primera mitad del siglo XX del an´alisis funcional. Desde mediados de los a˜ nos cincuenta del siglo pasado el uso de funciones generalizadas (distribuciones, espacios de Sobolev, etc.) y de la teor´ıa de espacios de Hilbert, ha permitido avances muy importantes. Por u ´ltimo, diremos que en la actualidad hay un inter´es especial (debido a las aplicaciones) por el estudio de EDP no lineales as´ı como por los m´etodos num´ericos de aproximaci´ on a las soluciones de las mismas. A las ecuaciones integrales, cuya teor´ıa fue iniciada por Volterra y desarrollada por Fredholm y Hilbert a comienzos del siglo XX, dedicamos el u ´ltimo cap´ıtulo. Este cap´ıtulo es importante por varios motivos: en primer lugar, problemas de ´ındole muy diversa, que se plantean tanto en e.d.o. como en ecuaciones en derivadas parciales, se pueden reducir, v´ıa una funci´on de Green apropiada, a ecuaciones integrales, proporcionando ´estas una visi´on unificada de aquellos. Tambi´en, la teor´ıa de ecuaciones

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integrales (e.i), presentada desde un punto de vista moderno, proporciona al alumno la posibilidad de entrar en contacto con el lenguaje y m´etodos del An´alisis funcional (espacios de Hilbert, desarrollos de funciones, operadores de diversa clase, etc.), disciplina clave en la investigaci´on moderna de las ecuaciones diferenciales. Precisamente, la teor´ıa de espacios de Hilbert y operadores, tiene su origen en problemas planteados en ecuaciones integrales. Por ejemplo, la ecuaci´on g(x) = f (x) −

Z b a

K(x, y)f (y) dy

fue estudiada por Fredholm, que estableci´o el llamado hoy en d´ıa Teorema de la alternativa de Fredholm. Este estudio fue continuado por Hilbert mediante una serie de art´ıculos publicados entre los a˜ nos 1.904 y 1.910, los cuales permitieron no s´olo avanzar en el conocimiento de las ecuaciones integrales, sino establecer tambi´en los fundamentos de la teor´ıa de espacios de Hilbert. Los m´as curioso (aunque no extra˜ no, pues este tipo de cosas suceden en Matem´aticas), es que, la teor´ıa de espacios de Hilbert y operadores, ha mostrado su utilidad no s´olo en el campo de las ecuaciones integrales, sino que a partir de mediados del siglo XX comenz´o a utilizarse tambi´en en problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales (adem´as, por supuesto, de otras muchas ramas de la Matem´atica). En el cap´ıtulo V se describen los tipos cl´asicos de ecuaciones integrales: de Volterra y de Fredholm, as´ı como los problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville. El tema de las ecuaciones integrales de Fredholm lineales y autoadjuntas alcanza su culminaci´on en el desarrollo de Hilbert-Schmidt, que puede marcar el comienzo de una teor´ıa general de desarrollos en serie de Fourier. El tratamiento de los problemas de contorno, cuyo estudio fue iniciado por Sturm y Liouville en el siglo XIX, lo hacemos con el punto de vista de Hilbert, que mediante el m´etodo de la funci´on de Green, los redujo a ecuaciones integrales. Esto proporciona una extraordinaria econom´ıa de m´etodos y demostraciones y al mismo tiempo es una buena ilustraci´on de la utilidad de las ecuaciones integrales. En particular, se describe de manera muy f´acil el conjunto de valores propios y funciones propias, adem´as de algunas propiedades notables, como la complitud de tales funciones en ciertos espacios de funciones, resultado importante para aplicar el m´etodo de separaci´on de variables en el estudio de numerosos problemas de contorno o de tipo mixto para e.d.p. La bibliograf´ıa recomendada para el desarrollo del cap´ıtulo es la siguiente: 1. A. Ca˜ nada, Series de Fourier y Aplicaciones. Ediciones Pir´amide, Madrid, 2002. 2. M. Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York, 1972. Traducido al castellano: Alianza Editorial, Madrid, 1992.

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3. I. Peral, Primer curso de Ecuaciones en derivadas parciales. Addison-Wesley, Wilmington, 1995. 4. A.N.Tijonov y A.A. Samarsky, Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica. Mir, 1980. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Es muy recomendable que el alumno complete la informaci´ on hist´ orica que se proporciona en el cap´ıtulo con las referencias siguientes: 1. A. Ca˜ nada. Series de Fourier y Aplicaciones. Pir´amide, Madrid, 2002. En la Introducci´on de este libro se pueden consultar algunos hechos relevantes de los m´etodos de Fourier y su relaci´on con las EDP. 2. M. Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York, 1972. Traducido al castellano: Alianza Editorial, Madrid, 1992. Muy recomendable para la historia de las EDP en los siglos XVIII y XIX. 3. P´agina web: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html EJERCICIOS El objetivo fundamental de esta primera relaci´on de ejercicios es que el alumno se familiarice con los tres tipos b´asicos de EDP (ecuaci´on de ondas, ecuaci´on del calor y ecuaci´on de Laplace) as´ı como con algunas soluciones especiales de las mismas. Se pretende, adem´as, que el alumno recuerde algunos hechos b´asicos sobre cambios de variables as´ı como sobre series de funciones que ser´an importantes en los cap´ıtulos siguientes. 1. Consid´erese la ecuaci´on de ondas unidimensional uxx (x, t) = utt (x, t), (x, t) ∈ IR2

(32)

a) Demu´estrese que si se realiza el cambio de variables independientes ξ = x + t, µ = x − t, la ecuaci´on anterior se transforma en uξµ (ξ, µ) = 0, (ξ, µ) ∈ IR2

(33)

b) Usando esto, calcular el conjunto de soluciones u ∈ C 2 (IR2 ) de (33) y usando el cambio de variable indicado, calc´ ulese el conjunto de soluciones de (32).

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c) Demu´estrese que el conjunto de soluciones de (32) y de (33) es un espacio vectorial real de dimensi´on infinita (se pueden encontrar infinitas soluciones linealmente independientes). d ) Comp´arense los resultados anteriores con los que el alumno conoce para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y homog´eneas de segundo orden, es decir, ecuaciones de la forma x00 (t) + a(t)x0 (t) + b(t)x(t) = 0, t ∈ [a, b]. ¿Cu´al es la diferencia fundamental que observa el alumno?. e) Exti´endanse los resultados anteriores para una ecuaci´on de ondas de la forma uxx (x, t) = a2 utt (x, t), (x, t) ∈ IR2 (34) donde a es una constante no nula. 2. Consid´erese la e.d.p. lineal de segundo orden uxy (x, y) + a ux (x, y) + buy (x, y) + abu(x, y) = 0, (x, y) ∈ IR2

(35)

donde a y b son constantes reales y u ∈ C 2 (IR2 , IR). a) Mediante el cambio de variable u(x, y) = v(x, y)e−ay−bx , encu´entrese una f´ormula que proporcione todas las soluciones de (35). 3. Demu´estrese que para cada n ∈ IINI, la funci´on un (x, t) ≡ sen(nx) cos(nt) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas (32). Demu´estrese que cualquier combinaci´ on lineal finita de funciones del tipo anterior es asimismo soluci´on de (32). Dar condiciones suficientes sobre la sucesi´on de n´ umeros reales {an , n ∈ IINI} ∞ X

para que la funci´on u(x, t) ≡ ecuaci´on de ondas.

an un (x, t) sea de clase C 2 (IR2 ) y verifique la

n=1

4. Demu´estrese que para cada n ∈ IINI, la funci´on un (x, t) ≡ sen(nx) exp(−n2 t) es soluci´on de la ecuaci´on del calor. Asimismo, pru´ebese que cualquier combinaci´on lineal finita de funciones del tipo anterior es soluci´on de la ecuaci´on del calor. Dar condiciones suficientes sobre la sucesi´on de n´ umeros reales {an , n ∈ IINI} para que la funci´on u(x, t) ≡ ecuaci´on del calor para t > 0. 5.

∞ X

an un (x, t) sea de clase C 2 y verifique la

n=1

umero finito de a) El potencial gravitacional V (x) que se origina por un n´ masas puntuales m1 , ..., mk localizadas en los puntos ξ1 , ...ξk de IR3 se define como i=k X mi V (x) = −G kx − ξi k i=1

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donde G es la constante de gravitaci´ on universal y k·k es la norma eucl´ıdea en IR3 . Demu´estrese que V es una funci´on arm´onica en IR3 \ {ξ1 , ..., ξk }. b) Sea ρ : Ω → IR, una funci´on dada (medible y acotada), donde Ω ⊂ IR3 es abierto y acotado. Demu´estrese que el potencial gravitacional Z

V (x) = −G

Ω

ρ(ξ) dξ kx − ξk

(36)

est´a bien definido para cualquier x ∈ IR3 . Pru´ebese que V ∈ C ∞ (IR3 \ Ω) y que ∆V (x) = 0, ∀x ∈ IR3 \ Ω.

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´ DE ONDAS1 CAP´ ITULO II: LA ECUACION Aqu´ı podr´as encontrar los apartados siguientes: conocimientos previos necesarios para seguir adecuadamente este cap´ıtulo, resumen del mismo con la bibliograf´ıa recomendada y actividades complementarias. Al final aparece una relaci´ on de ejercicios. En la p´agina web http://www.ugr.es/∼acanada/ encontrar´as informaci´on adicional sobre la asignatura (ex´amenes de cursos anteriores, enlaces a p´aginas relacionadas, pr´acticas de ordenador, etc.)

CONOCIMIENTOS PREVIOS NECESARIOS 1. Noci´on de problema de Cauchy (o problema de valores iniciales, p.v.i.) para una ecuaci´on diferencial ordinaria, e.d.o. 2. Convergencia uniforme de series de funciones 3. Problemas de valores propios para e.d.o. lineales de segundo orden con coeficientes constantes 4. Derivaci´on de integrales param´etricas 5. F´ormula de Green en el plano. Se pueden consultar las referencias: 1. T.M. Apostol. An´alisis Matem´atico. Revert´e, Barcelona, 1.960. 2. A. Ca˜ nada. Series de Fourier y Aplicaciones. Pir´amide, Madrid, 2002. Cap´ıtulo IV 3. http://mathworld.wolfram.com/

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A. Ca˜ nada, Marzo 2010, EDPF´ISICA

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RESUMEN DEL CAP´ ITULO En este cap´ıtulo se estudian diferentes problemas asociados a la ecuaci´on de ondas, comenzando por el llamado problema de Cauchy. En dimensi´on uno este problema se escribe como utt (x, t) − uxx (x, t) = 0, x ∈ IR, t > 0, u(x, 0) = α(x), x ∈ IR, (1) ut (x, 0) = β(x), x ∈ IR. Observemos que para el tiempo inicial t = 0 se dan dos datos: la soluci´on u y el valor de la derivada ut . Indicaremos por Ω al conjunto Ω = { (x, t) ∈ IR2 : t > 0 }. Una soluci´on de (1) es una funci´on u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), que verifica (1) en todo punto. El pr´oximo resultado (f´ormula de D’Alembert) se refiere a la existencia y unicidad de soluciones de (1). Teorema 1 . Si α ∈ C 2 (IR) y β ∈ C 1 (IR), (1) tiene una u ´nica soluci´on dada por 1 1 u(x, t) = [α(x + t) + α(x − t)] + 2 2

Z x+t x−t

β(s) ds, ∀ (x, t) ∈ Ω.

(2)

En la demostraci´on se usa en primer lugar el cambio de variables ξ = x + t, µ = x − t, que transforma la ecuaci´on utt − uxx = 0 en uξµ = 0. De aqu´ı se deduce que la soluci´on de (1) debe ser de la forma u(x, t) = H(x + t) + G(x − t), donde H ∈ C 2 (IR, IR) y G ∈ C 2 (IR, IR). Imponiendo las condiciones dadas en el tiempo inicial, obtenemos α0 (x) = H 0 (x) + G0 (x), β(x) = H 0 (x) − G0 (x) De aqu´ı se deduce

H(x) = 12 α(x) +

1 Rx 2 0 β(s)

ds + c1 ,

G(x) = 21 α(x) −

1 Rx 2 0 β(s)

ds + c2

Como H(x) + G(x) = α(x), tenemos que c1 + c2 = 0, con lo que se obtiene (2). Notas de inter´ es sobre la f´ ormula de D’Alembert

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1. La soluci´on dada por (2) se puede escribir de la forma ·

u(x, t) =

1 α(x + t) + 2

Z x+t 0

¸

β(s) ds

·

+

1 α(x − t) − 2

Z x−t 0

¸

β(s) ds ,

o lo que es lo mismo, u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t), donde

·

1 u1 (x, t) = α(x + t) + 2 ·

u2 (x, t) =

1 α(x − t) − 2

Z x+t 0

Z x−t 0

¸

β(s) ds = H(x + t), ¸

β(s) ds = G(x − t).

As´ı, u es “suma o superposici´on de dos ondas” u1 y u2 , que se desplazan, respectivamente, a la izquierda y a la derecha, con velocidad uno. De aqu´ı, que al m´etodo utilizado en la demostraci´on del teorema 1, se le llame m´etodo de propagaci´on de las ondas.

2. Notemos en segundo lugar que la ecuaci´on de ondas no tiene efecto regularizante (para tiempos positivos) sobre los datos iniciales, puesto que de (2) se deduce que u (para t fijo) tiene la misma regularidad que α.

3. De (2), se obtiene que el valor de u en un punto (x0 , t0 ) de Ω, depende de los valores de α en los puntos x0 + t0 y x0 − t0 as´ı como de los valores de β en el intervalo [x0 − t0 , x0 + t0 ]; de aqu´ı que al intervalo [x0 − t0 , x0 + t0 ] se le llame dominio de dependencia del punto (x0 , t0 ). Al tri´angulo determinado por los puntos (x0 , t0 ), (x0 − t0 , 0) y (x0 + t0 , 0) se le denomina tri´ angulo caracter´ıstico del punto (x0 , t0 ). 4) Los efectos de las perturbaciones no son instant´ aneos, sino que ´estas se propagan con velocidad finita. Tal afirmaci´on se puede comprender f´acilmente si se considera el caso en que las funciones α y β son ambas id´enticamente nulas; entonces la u ´nica soluci´on de (1) es la funci´on u ≡ 0. Si mantenemos β ≡ 0 y tomamos una funci´on α que sea no nula y positiva solamente “cerca”de un punto dado x0 ∈ IR, entonces si x1 es cualquier otro punto diferente de x0 , el valor u(x1 , t) ser´a cero para peque˜ nos valores de t, (aunque no para valores “grandes”de t).

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4. Dado (x0 , 0), el dominio de influencia de ´este punto ser´a el conjunto de todos aquellos puntos de Ω tales que su dominio de dependencia incluya al punto x0 . Pasamos a continuaci´on a considerar el problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas no homog´enea: utt (x, t) − uxx (x, t) = f (x, t), x ∈ IR, t > 0, u(x, 0) = α(x), x ∈ IR, ut (x, 0) = β(x), x ∈ IR.

(3)

Como en (1), una soluci´on de (3) es una funci´on u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) que cumple (3) puntualmente. El estudio del problema anterior se va a realizar usando la f´ormula de Green (v´ease la figura 1, en la u ´ltima p´agina).

Lema 2. Sea (x0 , t0 ) ∈ Ω y T su tri´angulo caracter´ıstico. Entonces si u es cualquier funci´on real perteneciente a C 2 (T ), se tiene u(x0 , t0 ) = +

1 [u(x0 + t0 , 0) + u(x0 − t0 , 0) ] + 2 1 2

1 + 2

Z x0 +t0 x0 −t0

ut (x, 0) dx+

(4)

Z T

(utt − uxx )(x, t) dxdt.

Para la demostraci´on se procede como sigue: la f´ormula de Green en el plano, afirma que Z

Z

D

[Qx (x, t) − Pt (x, t)] dxdt =

∂D

[P (x, t)dx + Q(x, t)dt]

para dominios convenientes D del plano y funciones P, Q que sean C 1 (D) Aplicando (5) para el caso D = T, P = −ut , Q = −ux , se obtiene Z T

(5) T

C(D).

Z

(utt − uxx )(x, t) dxdt =

∂T

(−ut (x, t) dx − ux (x, t)) dt,

donde ∂T est´a orientada positivamente. La integral de l´ınea anterior se descompone en tres sumandos, correspondientes,

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5

respectivamente, a los lados del tri´angulo T. Parametrizando cada uno de estos lados, se pueden calcular de manera expl´ıcita las integrales resultantes, obteni´endose Z T

(utt − uxx )(x, t) dxdt = 2u(x0 , t0 ) − u(x0 + t0 , 0) − u(x0 − t0 , 0) −

Z x0 +t0 x0 −t0

ut (x, 0)dx

De aqu´ı se deduce (4). Por u ´ltimo, escribiendo la integral Z T

de la forma

(utt − uxx )(x, t) dxdt

Z t0 Z −t+x0 +t0 0

t+x0 −t0

(utt − uxx )(x, t) dxdt,

se dispone de una f´ormula que proporciona la posible soluci´on de (3). Esto se confirma en el siguiente teorema:

Teorema 3 . Sean α ∈ C 2 (IR), β ∈ C 1 (IR) y f, Entonces la u ´nica soluci´on de (3) es

∂f ∈ C(Ω). ∂x

1 1 u(x, t) = [α(x + t) + α(x − t)] + 2 2 1 + 2

Z t Z x+t−τ 0

x−t+τ

Z x+t x−t

β(s) ds + (6)

f (ξ, τ ) dξdτ, ∀ (x, t) ∈ Ω.

Para llevar a cabo la demostraci´on, conviene que introduzcamos la funci´on H(x, t, τ ) =

Z x+t−τ x−t+τ

f (ξ, τ ) dξdτ

(7)

con lo que 1 1 u(x, t) = [α(x + t) + α(x − t)] + 2 2

Z x+t x−t

β(s) ds +

1 2

Z t 0

H(x, t, τ ) dτ, ∀ (x, t) ∈ Ω. (8)

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6

Entonces, tenemos 1 1 1 ut (x, t) = [α0 (x + t) − α0 (x − t)] + [β(x + t) + β(x − t)] + [H(x, t, t) + 2 2 2 1 0 1 1 [α (x + t) − α0 (x − t)] + [β(x + t) + β(x − t)] + 2 2 2

Z t 0

Z t 0

Ht (x, t, τ ) dτ ] =

(f (x + t − τ, τ ) + f (x − t + τ, τ )) dτ,

1 1 utt (x, t) = [α00 (x + t) + α00 (x − t)] + [β 0 (x + t) − β 0 (x − t)]+ 2 2 1 [f (x, t) + 2

Z t 0

fx (x + t − τ, τ ) dτ + f (x, t) −

Z t 0

fx (x − t + τ, τ ) dτ ],

1 1 1 ux (x, t) = [α0 (x + t) + α0 (x − t)] + [β(x + t) − β(x − t)] + 2 2 2 1 0 1 1 [α (x + t) + α0 (x − t)] + [β(x + t) − β(x − t)] + 2 2 2

Z t 0

Z t 0

Hx (x, t, τ ) dτ ] =

(f (x + t − τ, τ ) − f (x − t + τ )) dτ,

1 1 uxx (x, t) = [α00 (x + t) + α00 (x − t)] + [β 0 (x + t) − β 0 (x − t)]+ 2 2 1 2

Z t 0

(fx (x + t − τ, τ ) − fx (x − t + τ, τ )) dτ

(9) A partir de las expresiones anteriores, es trivial comprobar que la funci´on u definida en (6) es la u ´nica soluci´on de (3). El cap´ıtulo sigue con el estudio de dos problemas de tipo mixto asociados a la ecuaci´on de ondas (unidimensional) ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = ∂x2 ∂t2 El primero de ellos responde a la formulaci´ on ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂t2

u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ π, t > 0 0≤x≤π (10)

∂u(x, 0) ∂t

= g(x),

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0,

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y modela las vibraciones peque˜ nas de una cuerda flexible, con extremos fijos en los puntos (0, 0) y (π, 0), estando la posici´on inicial de la misma dada por la funci´on f y la velocidad inicial por g. Si Ω = (0, π) × (0, +∞), una soluci´on de (10) es cualquier funci´on u ∈ C 2 (Ω) que satisface (10) puntualmente. Demostramos en primer lugar que (10) puede tener, a lo sumo, una soluci´on, usando el de m´etodo de la energ´ıa. Para ello, si u es la diferencia entre dos soluciones de (10), entonces u satisface un problema como (10), con f = g = 0. Si Z consideramos la funci´on de energ´ıa I(t) = I 0 (t)

π

0

³

(ux (x, t))2 + (ut (x, t))2

´

dx, enton-

ces puede probarse que = 0, ∀t > 0. Por tanto, la funci´on I es constante en [0, +∞). Como I(0) = 0, se obtiene I(t) = 0, ∀ t ≥ 0. Ello obliga a que ux (x, t) = ut (x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ Ω. As´ı pues, u debe ser constante en Ω. Como u(x, 0) = 0, ∀ x ∈ [0, π], se obtiene u ≡ 0, en Ω. Una vez que hemos demostrado que (10) puede tener como mucho una soluci´on, habr´a que ver que, por lo menos, hay una. Para tratar de intuir cu´al puede ser la forma de la soluci´on buscada, pensemos que u es una funci´on de dos variables y que las funciones de dos variables m´as sencillas que se pueden presentar son las que vienen dadas por el producto de dos funciones de una variable. Entonces, podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Tendr´ a (10) soluciones de la forma u(x, t) = X(x)T (t),

(11)

para funciones convenientes X : [0, π] → IR, y T : [0, +∞) → IR? Esto origina las dos ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes X 00 (x) − λX(x) = 0, x ∈ [0, π],

(12)

T 00 (t) − λT (t) = 0, t ∈ [0, +∞).

(13)

Adem´as, puesto que la soluci´on buscada u debe ser continua en Ω, se ha de cumplir u(0, t) = X(0)T (t) = u(π, t) = X(π)T (t) = 0, ∀ t ∈ [0, +∞). Esto nos conduce a la “condici´on natural” que ha de satisfacer la funci´on X en los extremos del intervalo : X(0) = X(π) = 0. Todo ello origina el siguiente problema de contorno para X(x) : X 00 (x) − λX(x) = 0, x ∈ [0, π], X(0) = X(π) = 0.

(14)

Obviamente, los u ´nicos valores interesantes del par´ametro real λ son aquellos para los que (14) tiene soluci´on no trivial. As´ı, diremos que λ es valor propio de (14) si (14) admite alguna soluci´on no trivial. La manera de calcular los valores propios de los problemas anteriores es sencilla,

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puesto que las ecuaciones consideradas son lineales y tienen coeficientes constantes. Para ello, recordemos que, fijado λ, el conjunto de soluciones (reales) de la ecuaci´on X 00 (x) − λX(x) = 0, x ∈ [0, π], es un espacio vectorial real de dimensi´on dos. Adem´as: - Si λ = 0, una base de tal espacio vectorial est´a constituida por las funciones X 1 (x) = 1, X 2 (x) = x, ∀ x ∈ [0, π]. √ - Si λ √ > 0, una base est´a formada por las funciones X 1 (x) = exp( λx), X 2 (x) = exp(− λx), ∀ x ∈ [0, π]. √ 1 2 - Si λ √< 0, una base est´a formada por las funciones X (x) = cos( −λx), X (x) = sen( −λx), ∀ x ∈ [0, π]. Cualquier soluci´on de (14) es de la forma X(x) = c1 X 1 (x)+c2 X 2 (x), ∀ x ∈ [0, π], donde c1 , c2 son n´ umeros reales cualesquiera. Imponiendo las condiciones de contorno llegamos al siguiente sistema de ecuaciones: - Si λ = 0, c1 = 0, c1 + c2 π = 0, cuya u ´nica soluci´on es c1 = c2 = 0. Por tanto, λ = 0, no es valor propio de (14). - Si λ > 0, √ c1 + c2 = 0, √ c1 exp( λπ) + c2 exp(− λπ) = 0. √ √ El determinante de los coeficientes de este sistema es exp(− λπ) − exp( λπ), que es distinto de cero. Por tanto la u ´nica soluci´on del sistema es la soluci´on trivial c1 = c2 = 0. Consecuentemente, no existe ning´ un valor propio positivo de (14). - Si λ < 0, c1 = 0, √ √ c1 cos( −λπ) + c2 sen( −λπ) = 0. √ Este sistema tiene soluci´on no trivial si y solamente si sen( −λπ) = 0; o lo que es lo mismo, si y solamente si λ = −n2 , para alg´ un n ∈ IINI. En este caso, es decir λ = −n2 , para alg´ un n natural, el conjunto de soluciones de (14) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno, engendrado por la funci´on Xn (x) = sen(nx), ∀ x ∈ [0, π]. En resumen, el conjunto de valores propios de (14) es el conjunto {−n2 , n ∈ IINI}. Si λ = −n2 , para alg´ un n natural, el conjunto de soluciones de (14) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno, cuya base est´a formada por la funci´on Xn (x) = sen(nx), ∀ x ∈ [0, π]. Por otra parte, la constante λ ha de ser la misma en (12) y (13). Para λ = −n2 , n ∈ IINI, el conjunto de soluciones reales de (13) es un espacio vectorial real de dimensi´on dos engendrado por las funciones Tn1 (t) = cos(nt), Tn2 (t) = sen(nt). Por tanto, cuando λ = −n2 , n ∈ IINI, cualquier soluci´on de (13) es de la forma Zn (t) = An cos(nt) + Bn sen(nt), con An , Bn n´ umeros reales arbitrarios.

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El procedimiento anterior permite calcular la u ´nica soluci´on de (10) en casos sencillos. En efecto, si las funciones f y g son de la forma f (x) = g(x) =

p X

ai sen(ni x),

i=1 q X

bj sen(mj x),

j=1

siendo ai , 1 ≤ i ≤ p, bj , 1 ≤ j ≤ q, n´ umeros reales dados y ni , 1 ≤ i ≤ p, mj , 1 ≤ j ≤ q, n´ umeros naturales distintos, entonces (10) tiene una u ´nica soluci´on dada por u(x, t) =

p X

ai cos(ni t)sen(ni x) +

i=1

q X bj j=1

mj

sen(mj t)sen(mj x)

Usando algunos resultados sobre convergencia de Series de Fourier (v´eanse los ejercicios 5 y 6 del cap´ıtulo IV del libro de A. Ca˜ nada, mencionado en la bibliograf´ıa), extendemos las ideas anteriores a casos m´as generales, obteniendo el resultado siguiente: Teorema 4 . Si f y g satisfacen las condiciones f ∈ C 3 [0, π], f (0) = f (π) = 0, f 00 (0+ ) = f 00 (π − ) = 0, g ∈ C 2 [0, π], g(0) = g(π) = 0, entonces (10) tiene una u ´nica soluci´on u dada por la f´ormula u(x, t) =

∞ X

(An cos(nt) + Bn sen(nt)) sen(nx),

n=1

donde 2 An = π

Z π 0

2 f (x) sen(nx) dx, Bn = nπ

Z π 0

g(x) sen(nx) dx, ∀ n ∈ IINI.

El otro problema de tipo mixto que estudiamos responde a la formulaci´ on: ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂t2

u(x, 0) = f (x), ∂u(x, 0) ∂t

0 ≤ x ≤ π, t > 0 0≤x≤π (15)

= g(x),

∂u (0, t) = ∂x

0≤x≤π

∂u (π, t) = 0, t ≥ 0, ∂x

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que se corresponde con el caso en que los extremos de la cuerda est´an libres. Estudiamos la existencia (m´etodo de separaci´on de variables) y unicidad (m´etodo de la energ´ıa) de las soluciones de (15) de forma an´aloga a como hemos hecho para (10), obteniendo el resultado siguiente. Teorema 5 . si f y g satisfacen las condiciones f ∈ C 3 [0, π], f 0 (0+ ) = f 0 (π − ) = 0, g ∈ C 2 [0, π], g 0 (0+ ) = g 0 (π − ) = 0,

(16)

entonces (15) tiene una u ´nica soluci´on u dada por la f´ormula u(x, t) =

∞ X A0 B0 + t+ (An cos(nt) + Bn sen(nt)) cos(nx) 2 2 n=1

(17)

donde Z

2 π An = fn = f (x)cos(nx) dx, ∀ n ∈ IINI ∪ {0}, π 0 Z π Z π 2 gn 2 = g(x)dx, Bn = g(x)cos(nx) dx, ∀ n ∈ IINI. B0 = g0 = π 0 n nπ 0

(18)

La bibliograf´ıa recomendada para el desarrollo del cap´ıtulo es la siguiente: 1. A. Ca˜ nada. Series de Fourier y Aplicaciones. Madrid, Pir´amide, 2002. Cap´ıtulo IV 2. A.N. Tijonov y A.A. Samarsky. Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica. Mir, 1980. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1. Es de gran inter´es el estudio del problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas en dimensiones superiores a uno. Comentemos detalladamente los casos n = 2 y n = 3, representativos de lo que ocurre, respectivamente, para n par e impar, generales. Sea el problema uxx + uyy + uzz = utt , (x, y, z) ∈ IR3 , t > 0, u(x, y, z, 0) = φ(x, y, z), (x, y, z) ∈ IR3 , ut (x, y, z, 0) = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ IR3 .

(19)

Si Ω = { (x, y, z, t) ∈ IR4 : t > 0 }, una soluci´on de (19) es una funci´on u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) que satisface (19) en todo punto.

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11

El m´etodo que vamos a utilizar para solucionar (19) se denomina m´etodo de las medias esf´ericas y sus ideas fundamentales son las siguientes: 1) Si u es cualquier soluci´on de (19) y (x, y, z) ∈ IR3 es un punto dado, se puede definir la funci´on I(r, t) =

1 4πr2

Z S((x,y,z); r)

u(y1 , y2 , y3 , t) ds,

donde S((x, y, z); r) es la esfera centrada en (x, y, z), de radio r, y la integral anterior es una integral de superficie en las variables (y1 , y2 , y3 ). Claramente, la funci´on anterior, llamada media esf´erica de u, est´a definida para cualquier r > 0 y cualquier t ≥ 0. Adem´ as, los valores I(r, 0), It (r, 0), se calculan a partir de los datos iniciales de (19); en efecto, 1 I(r, 0) = 4πr2 It (r, 0) =

1 4πr2

Z S((x,y,z); r)

φ(y1 , y2 , y3 ) ds ≡ F (r),

Z S((x,y,z); r)

ψ(y1 , y2 , y3 ) ds ≡ G(r).

2) El objetivo es, a partir de las funciones F y G, calcular I(r, t). Posteriormente, observando que la continuidad de u, implica u(x, y, z, t) = l´ım I(r, t), r→0+

llegar´ıamos a una expresi´on para la funci´on u, que tendr´ıamos que demostrar que define una soluci´on de (19). La anterior discusi´on permite enunciar y probar el siguiente teorema sobre existencia y unicidad de soluciones de (19):

Teorema 6. Si φ ∈ C 3 (IR3 ) y ψ ∈ C 2 (IR3 ), el problema de Cauchy (19) tiene una u ´nica soluci´on u dada, para t > 0, por "

Z

∂ 1 u(x, y, z, t) = φ(Y ) dsY ∂t Z4πt S((x,y,z); t) 1 + ψ(Y ) dsY , 4πt S((x,y,z); t)

#

+ (20)

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Merece la pena realizar algunos comentarios sobre la conclusi´on del teorema anterior, y compararlos con los que hicimos sobre la soluci´on del problema de Cauchy para la ecuaci´on de ondas homog´enea en dimensi´on uno. Por ejemplo, el valor u(X, t) depende de los valores de ψ, φ y de los de las derivadas parciales de primer orden de la funci´on φ en la esfera centrada en X y de radio t (principio de Huygens). As´ı, este conjunto puede considerarse ahora como el dominio de dependencia de un punto (X, t). Rec´ıprocamente, los datos iniciales φ y ψ cerca de un punto X0 del hiperplano t = 0, s´olo tienen influencia en los valores u(X, t) para aquellos puntos (X, t) que est´an “cerca”del cono |X −X0 | = t. Por tanto, si φ y ψ tienen soporte contenido en alg´ un subconjunto 3 D de IR , para que u(X, t) no sea cero, el punto X debe pertenecer a alguna esfera de radio t con centro en alg´ un punto Y ∈ D. La uni´on de todas estas esferas contiene al soporte de la funci´on u en el tiempo t. Esto es t´ıpico de las soluciones de la ecuaci´on de ondas en dimensiones impares. Seguidamente se pueden aprovechar los resultados obtenidos sobre el problema (19), para estudiar el problema de Cauchy en dimensi´on dos: uxx + uyy = utt , (x, y) ∈ IR2 , t > 0, u(x, y, 0) = φ(x, y), (x, y) ∈ IR2 , ut (x, y, 0) = ψ(x, y), (x, y) ∈ IR2 .

(21)

Si Ω = { (x, y, t) ∈ IR3 : t > 0 }, una soluci´on de (21) es cualquier funci´on u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) que satisfaga (21) en todo punto. A partir de la f´ormula que proporciona la u ´nica soluci´on de (19), aplicaremos el llamado m´ etodo del descenso para encontrar la f´ormula de la soluci´on de (21). Teorema 7 . Si φ ∈ C 3 (IR2 ) y ψ ∈ C 2 (IR2 ), el problema (21) tiene una u ´nica soluci´on dada por u(x, y, t) =

t 2π

Z

"

|ξ|≤1

∂ t + ∂t 2π

ψ(x + tξ1 , y + tξ2 ) dξ1 dξ2 + (1 − ξ12 − ξ22 )1/2 #

Z |ξ|≤1

(22)

φ(x + tξ1 , y + tξ2 ) dξ1 dξ2 . (1 − ξ12 − ξ22 )1/2

Quiz´as la novedad m´as importante sea lo que es ahora el dominio de dependencia de un punto (x, y, t) de Ω. Claramente se observa, a partir de las dos

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f´ormulas anteriores, que ´este debe ser la bola eucl´ıdea cerrada de centro (x, y) y radio t. Esto marca una profunda diferencia entre los casos n = 3 (donde es v´alido el principio de Huygens) y n = 2 (donde tal principio no se verifica). 2. La soluci´on del problema (10) puede escribirse de una manera m´as conveniente, usando el m´etodo de propagaci´on de las ondas. Con esto puede probarse que se pueden rebajar las condiciones de regularidad sobre f y g. M´as concretamente, si f y g satisfacen las condiciones f ∈ C 2 [0, π], f (0) = f (π) = 0, f 00 (0+ ) = f 00 (π − ) = 0, g ∈ C 1 [0, π], g(0) = g(π) = 0, entonces la u ´nica soluci´ on u de (10) est´ a dada por la f´ ormula (llamada f´ ormula de d’Alembert) 1 1 u(x, t) = [F1 (x + t) + F1 (x − t)] + 2 2

Z x+t x−t

G1 (z) dz,

donde F1 y G1 son, respectivamente, las extensiones impares y 2π−peri´ odicas de f y g, a IR. Para este aspecto puede consultarse: A. Ca˜ nada. Series de Fourier y Aplicaciones. Pir´amide, 2002 (cap´ıtulo IV, ejercicio 9). 3. Puede demostrarse la equivalencia entre la ecuaci´on de ondas y una cierta ecuaci´on en diferencias, que ayuda a la aproximaci´ on num´erica de las soluciones de dicha ecuaci´on, as´ı como al c´alculo efectivo de la soluci´on de ciertos problemas de tipo mixto. En efecto, si u ∈ C 2 (IR2 , IR), entonces son equivalentes: 1) utt (x, t) − uxx (x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ IR2 . 2) u(P1 )+u(P4 ) = u(P2 )+u(P3 ), para cualquier cuaterna de puntos P1 , P2 , P3 , P4 , de IR2 , que sean v´ertices de paralelogramos caracter´ısticos (sus lados son rectas caracter´ısticas) arbitrarios, situados de tal forma que P1 y P4 sean v´ertices opuestos (y por tanto, P2 y P3 ). No deja de llamar la atenci´on de los alumnos el hecho de que en 2) no aparezca ninguna expresi´on diferencial. Para este aspecto puede consultarse: F. John. Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1982. 4. Es muy recomendable que el alumno consulte la bibliograf´ıa recomendada para estudiar los principales hechos de las series de Fourier en varias variables (especialmente en dos y tres variables), as´ı como sus aplicaciones al estudio de problemas de tipo mixto para la ecuaci´on de ondas en dimensiones superiores a uno. Hay nociones que son similares (por ejemplo la noci´on de base del espacio de Hilbert L2 (Ω), donde Ω es un dominio acotado de IRn ). Otras en cambio, se van complicando a medida que la dimensi´on aumenta, como por ejemplo los criterios de convergencia puntual de la serie de Fourier.

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En general, al aplicar el m´ etodo de separaci´ on de variables a estos problemas se llegar´ıa a problema de valores propios del tipo ∆X(x) + λX(x) = 0, x ∈ Ω, X(x) = 0, x ∈ ∂Ω, donde Ω es un dominio acotado de IRn . Se puede consultar para este tema: A.N. Tijonov y A.A. Samarsky: Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica. Mir, 1980. EJERCICIOS En esta relaci´on de ejercicios se plantean al alumno diversos problemas asociados a la ecuaci´on de ondas, tanto homog´enea como no homog´enea. Se pretende que el alumno adquiera suficiente destreza como para poder resolver diferentes problemas de valores iniciales y problemas de tipo mixto. La interpretaci´ on f´ısica de estos problemas se ha detallado en el resumen te´orico anterior y es muy conveniente que el alumno conozca de manera adecuada dicha interpretaci´ on para su posible aplicaci´on en otras asignaturas. 1. Si f ∈ C 1 (IR2 , IR), demu´estrese que la funci´on 1 v(x, t) ≡ 2

Z t µZ x+t−s 0

x−t+s

¶

f (y, s) dy ds

verifica vtt (x, t) − vxx (x, t) = f (x, t) ,

∀(x, t) ∈ IR2

(23)

Teniendo en cuenta el ejercicio previo, encontrar una f´ormula que proporcione todas las soluciones de (23). (Sugerencia: recu´erdese que

∂

³R t 0

´

H(x, t, s) ds ∂t

= H(x, t, t) +

Z t ∂H(x, t, s) 0

∂t

ds).

2. Calcular la u ´nica soluci´on del problema de Cauchy utt − c2 uxx = x2 , t > 0, x ∈ IR, u(x, 0) = x, ut (x, 0) = 0, x ∈ IR, donde c ∈ IR \ {0}. Sugerencia: resu´elvase en primer lugar el caso en el que c = 1 y a continuaci´on h´agase un cambio de variable adecuado para resolver 2 2 2 4 el caso en el que c es arbitrario. La soluci´on es u(x, t) = x + x 2t + c12t . 3. Encu´entrese la u ´nica soluci´on del problema de Cauchy utt − uxx = senx,

x ∈ IR, t > 0

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15

u(x, 0) = x2 , ∀ x ∈ IR; ut (x, 0) = x2 ,

∀ x ∈ IR

Si u es la funci´on soluci´on del problema anterior, ¿cu´anto vale l´ım u(x, t)? Nota: la soluci´on es u(x, t) = x2 + t2 + x2 t +

t3 3

t→+∞

+ senx − senx cos t.

4. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂t2

u(x, 0) = f (x), ∂u(x, 0) ∂t

= g(x),

0 ≤ x ≤ π, t > 0 0≤x≤π 0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0. cuando f (x) = sen3 (x), g(x) = x(π − x), ∀ x ∈ [0, π]. 5. Demu´estrese que el problema ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) − senx, 0 ≤ x ≤ π, t > 0 ∂t2

u(x, 0) = 2 senx, ∂u(x, 0) ∂t

0≤x≤π

= 0,

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0,

t≥0

tiene una u ´nica soluci´on u. Def´ınase la energ´ıa de la onda u, en el tiempo t. Demu´estrese que dicha energ´ıa no es constante. 6. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on del problema ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = , 0 ≤ x ≤ π, t > 0 ∂x2 ∂t2 u(x, 0) = f (x),

∂u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ π ∂t

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0, donde

   x, 0 ≤ x ≤ π/2,

f (x) =

  (π − x), π/2 ≤ x ≤ π.

(24)

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16

7. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de ∂ 2 u(x, t) ∂x2

∂ 2 u(x, t) − cos x, 0 ≤ x ≤ π, t > 0 ∂t2

=

u(x, 0) = senx,

0≤x≤π (25)

∂u(x, 0) ∂t

= 0,

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0,

t ≥ 0.

Sugerencia: b´ usquese la soluci´on u de (1) de la forma u(x, t) = v(x, t) + s(x). 8. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on del problema ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = , 0 ≤ x ≤ π, t > 0 ∂x2 ∂t2 u(x, 0) = senx,

∂u(x, 0) = sen2 x, 0 ≤ x ≤ π ∂t

(26)

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0, 9. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂t2

u(x, 0) = f (x), ∂u(x, 0) ∂t

= g(x),

∂u (0, t) = ∂x

0 ≤ x ≤ π, t > 0 0≤x≤π 0≤x≤π

∂u (π, t) = 0, t ≥ 0, ∂x

cuando tomamos las funciones f (x) = cos2 x, g(x) = 2x− sen(2x), ∀ x ∈ [0, π]. 10. Obt´engase, de manera razonada, la f´ormula que proporciona la u ´nica soluci´on

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del problema c2

∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂ 2 u(x, t) , ∂t2

u(x, 0) = f (x), ∂u(x, 0) ∂t

= g(x),

a ≤ x ≤ b, t > 0 a≤x≤b a≤x≤b

u(a, t) = u(b, t) = 0, t ≥ 0,

A.Q..a",)c^

,

f(-+?e

2o/o/

€o? FtJica

C'("rto) t *

\\

(r"t(o, o )

Fic . / F

A. Ca˜ nada, Abril 2010, EDPFISICAS ´ DEL CALOR CAP´ ITULO III: LA ECUACION

1 1

Aqu´ı podr´as encontrar los apartados siguientes: conocimientos previos necesarios para seguir adecuadamente este cap´ıtulo, resumen del mismo con la bibliograf´ıa recomendada y actividades complementarias. Al final aparece una relaci´ on de ejercicios. En la p´agina web http://www.ugr.es/∼acanada/ encontrar´as informaci´on adicional sobre la asignatura (ex´amenes de cursos anteriores, enlaces a p´aginas relacionadas, pr´acticas de ordenador, etc.) CONOCIMIENTOS PREVIOS NECESARIOS 1. Noci´on de problema de Cauchy (o problema de valores iniciales, p.v.i.) para una e.d.o. 2. Problemas de valores propios para e.d.o. lineales de segundo orden con coeficientes constantes. 3. Teorema de derivaci´on de integrales param´etricas. 4. Si f : [a, b] → IR es C 1 [a, b] y alcanza el m´aximo en un punto x0 ∈ (a, b), entonces f 0 (x0 ) = 0. Si x0 = b, entonces f 0 (x0 ) ≥ 0. 5. Si f : [a, b] → IR es C 2 [a, b] y alcanza el m´aximo en un punto x0 ∈ (a, b), entonces f 0 (x0 ) = 0 y f 00 (x0 ) ≤ 0. Se pueden consultar las referencias: 1. T.M. Apostol. An´alisis Matem´atico. Revert´e, Barcelona, 1.960. 2. A. Ca˜ nada. Series de Fourier y aplicaciones: un tratado elemental con notas hist´oricas y ejercicios resueltos. Pir´amide, Madrid, 2002. 3. http://mathworld.wolfram.com/ RESUMEN DEL CAP´ ITULO El cap´ıtulo comienza con el estudio del problema de Cauchy, o problema de valores iniciales, para la ecuaci´on del calor ut (x, t) = ∆x u(x, t), x ∈ IRn , t > 0, u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ IRn . 1

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(1)

A. Ca˜ nada, Abril 2010, EDPFISICAS Aqu´ı, ∆x u(x, t) =

2

n X ∂ 2 u(x, t) i=1

∂x2i

Si Ω = {(x, t) ∈ IRn+1 : t > 0}, una soluci´on de (1) es una funci´on u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) que verifica (1) puntualmente. En consonancia con esto, suponemos ϕ ∈ C(IRn ). Usando el principio del m´aximo-m´ınimo para la ecuaci´on del calor puede probarse que (1) tiene, a lo sumo, una soluci´on acotada. Una versi´ on de este principio es el objeto del pr´oximo teorema. Teorema 1 . Sea ω un abierto acotado de IRn y T > 0. Notemos Ω = {(x, t) ∈ IRn+1 : x ∈ ω, 0 < t < T }. Entonces si u ∈ Cx2 (Ω) ∩ Ct1 (Ω) ∩ C(Ω) verifica ut (x, t) − ∆x u(x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ Ω,

(2)

m´ax u = m´ax u, m´ın u = m´ın u,

(3)

se tiene que Ω

∂1 Ω

Ω

∂1 Ω

donde ∂1 Ω es la denominada frontera parab´olica de Ω que se define como ∂1 (Ω) = {(x, t) ∈ IRn+1 : x ∈ ∂ω, 0 ≤ t ≤ T } ∪ {(x, t) ∈ IRn+1 : x ∈ ω, t = 0}. Demostremos, por ejemplo, el principio del m´aximo. Se recomienda encarecidamente al alumno que, previamente, pinte las situaciones: 1. n = 1, ω = (a, b), 2. n = 2, ω un c´ırculo arbitrario. con el objeto de familiarizarse con la noci´on de frontera parab´olica. V´ease tambi´en, la u ´ltima p´agina de estas notas, donde se muestran algunos dibujos para clarificar el concepto de frontera parab´olica. La demostraci´on consta de varias etapas: 1. Primero se considera la situaci´on donde se tiene una desigualdad estricta negativa en (2) y el dominio es Ωε = {(x, t) ∈ IRn+1 : x ∈ ω, 0 < t ≤ T − ε}. Es decir, ut (x, t) − ∆x u(x, t) < 0, ∀ (x, t) ∈ Ωε En este caso, sea (x0 , t0 ) ∈ Ωε tal que u(x0 , t0 ) = m´axΩε u. Entonces necesariamente (x0 , t0 ) ∈ ∂1 Ωε . En efecto, si no fuese as´ı, entonces caben dos posibilidades

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3

a) (x0 , t0 ) ∈ Ωε . Entonces se tiene ut (x0 , t0 ) = 0, uxi xi (x0 , t0 ) ≤ 0, ∀ i, 1 ≤ i ≤ n. Por tanto, ut (x0 , t0 ) − ∆x u(x0 , t0 ) ≥ 0 lo que contradice que tengamos una desigualdad estricta negativa en (2). b) (x0 , t0 ) es tal que x0 ∈ ω y t0 = T − ε. Entonces se tiene ut (x0 , t0 ) ≥ 0, uxi xi (x0 , t0 ) ≤ 0, ∀ i 1 ≤ i ≤ n. Por tanto, de nuevo tenemos ut (x0 , t0 ) − ∆x u(x0 , t0 ) ≥ 0 lo que contradice que tengamos una desigualdad estricta negativa en (2). En resumen, en esta primera etapa hemos probado que si tenemos una desigualdad estricta negativa en (2), entonces m´ ax u = m´ax u. Ωε

∂1 Ωε

2. En una segunda etapa, hacemos tender ε a cero por la derecha, obteniendo que, si tenemos una desigualdad estricta negativa en (2), entonces m´ax u = l´ım m´ax u = l´ım m´ax u = m´ax u Ω

ε→0+ Ωε

ε→0+ ∂1 Ωε

∂1 Ω

3. Para el caso en el que en (2) se tiene una igualdad, se considera la funci´on auxiliar v k (x, t) = u(x, t) − kt, con k positivo. Entonces vtk − ∆x v k = ut − ∆x u − k = −k < 0. Por lo anterior, tendremos que m´ ax v k = m´ax v k . Ω

∂1 Ω

Si ahora se hace tender k a cero por la derecha, tendremos (3). Usando el principio del m´aximo-m´ınimo en dominios de la forma Ω = BIRn (0; R) × (0, T ), puede probarse la unicidad de soluciones acotadas de (1). En efecto, tenemos el resultado siguiente.

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Lema 2 . El problema de Cauchy (1) tiene, a lo sumo, una soluci´on acotada. Si (1) tuviese dos soluciones acotadas, entonces la diferencia de ambas verifica un problema como (1) con ϕ ≡ 0. As´ı pues, el lema estar´ıa demostrado si probamos que, en el caso ϕ ≡ 0, la u ´nica soluci´on acotada de (1) es la funci´on id´enticamente cero. Estas son las principales ideas para el caso n = 1 (la modificaci´on para el caso n general es obvia). Sea u una soluci´on acotada de (1). Entonces existe alguna constante positiva M tal que |u(x, t)| ≤ M, ∀ x ∈ IR, ∀ t ≥ 0. Consideremos ahora el dominio A = (−l, l) × (0, T ) con l > 0 y la funci´on 2M v(x, t) = 2 l

Ã

!

x2 +t . 2

Es f´acil comprobar que v es soluci´on del calor en el dominio A y que en la frontera parab´olica de A se tienen las desigualdades −v ≤ u ≤ v, o lo que es lo mismo, |u| ≤ v. Por el principio del m´aximo-m´ınimo tendr´ıamos que |u| ≤ v en A. Si ahora hacemos l → +∞, tendr´ıamos que u ≡ 0. La existencia de soluciones acotadas de (1) es cosa aparte. Por cierto, que para motivar la f´ormula que define la soluci´on se usan algunas nociones elementales de la transformada de Fourier. De hecho, esta es una de las motivaciones m´as bonitas que conozco de la noci´on de transformada de Fourier, donde se pone de manifiesto el paso del caso discreto (series), al caso continuo (transformada integral). Las ideas fundamentales son las siguientes: En primer lugar, simplificamos la situaci´on suponiendo que n = 1 y que para ϕ acotada, buscamos soluciones u acotadas. La b´ usqueda de soluciones de la forma particular u(x, t) = X(x)T (t), da lugar a las e.d.o. X 00 (x) − λX(x) = 0, x ∈ IR, T 0 (t) − λT (t) = 0, t > 0. Es elemental probar que la primera ecuaci´on tiene soluciones no triviales acotadas si y solamente si λ ≤ 0, de tal manera que, en adelante, s´olo nos interesar´ an estos valores del par´ametro λ. As´ı pues, las anteriores ecuaciones pueden escribirse de la forma X 00 (x) + λ2 X(x) = 0, x ∈ IR, T 0 (t) + λ2 T (t) = 0, t > 0. Esto permite afirmar que, para λ un n´ umero real cualquiera, la funci´on A(λ)e−λ

2 t+iλx

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con A(λ) una constante (que depende de λ), es una soluci´on (compleja) acotada de la ecuaci´on del calor. Si la funci´on ϕ(x) fuese de la forma ϕ(x) = c eiλx para alg´ un λ y c reales, el problema estar´ıa resuelto; ahora bien, esto no es as´ı en general, de tal forma que la pregunta b´asica puede ser la siguiente: ¿ Ser´a posible calcular la (´ unica) soluci´on acotada de (1) teniendo en cuenta de alguna manera todas las soluciones acotadas anteriores?. Una manera intuitiva de hacer esto es “sumar” todas las soluciones, es decir, considerar la funci´on u(x, t) =

Z +∞ −∞

2 t+iλx

A(λ)e−λ

dλ,

donde A(λ) se debe escoger para que u(x, 0) = ϕ(x) =

Z +∞ −∞

A(λ)eiλx dλ.

De la teor´ıa de Transformada de Fourier se sabe que, cuando ϕ y A cumplen algunas condiciones adicionales (por ejemplo, ϕ, A ∈ L1 (IR)), entonces A(λ) =

1 2π

Z +∞ −∞

ϕ(y)e−iλy dy.

Sustituyendo la anterior expresi´on, agrupando convenientemente y teniendo en cuenta que Z Z +∞

−∞

2

e−(u−iα) du =

+∞

−∞

2

e−u du = (π)1/2 , ∀ α ∈ IR,

llegamos finalmente a que la u ´nica soluci´on acotada de (1) podr´ıa ser (esto hay que confirmarlo rigurosamente) la funci´on u(x, t) =

Z +∞ −∞

K(x, ξ, t)ϕ(ξ) dξ, para t > 0,

donde

2 /4t

K(x, ξ, t) = (4πt)−1/2 e−(x−ξ)

.

Para n arbitrario, la funci´on que se obtiene en el proceso anterior, es K(x, ξ, t) = (4πt)−n/2 e

−kx−ξk2 /4t

,

a la que se llama n´ ucleo (o soluci´on fundamental) de la ecuaci´on del calor. El teorema de existencia de soluciones acotadas de (1) queda como sigue.

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Teorema 3 . Si ϕ : IRn → IR es continua y acotada, la u ´nica soluci´on acotada de (1) viene dada por la f´ormula Z   (4πt)−n/2 exp(−kx − ξk2 /4t)ϕ(ξ) dξ, t > 0, u(x, t) = IRn 

ϕ(x), t = 0

(4)

Adem´as, u es de clase C ∞ para t > 0. La demostraci´on usa las siguientes propiedades (de comprobaci´on inmediata) del n´ ucleo K : n n ∞ 1) K µ ∈ C (IR ¶ × IR × (0, ∞)). ∂ 2) − ∆x K(x, ξ, t) = 0, ∀ t > 0. ∂t Z 3) K(x, ξ, t) > 0, ∀ t > 0 y

IRn

K(x, ξ, t) dξ = 1, ∀ x ∈ IRn , ∀ t > 0.

4) Para cualquier δ > 0, se tiene Z

l´ım

t→0+ kξ−xk>δ

K(x, ξ, t) = 0,

de manera uniforme para x ∈ IRn . Una vez puestas de manifiesto las propiedades b´asicas de K, la comprobaci´on de que u ∈ C ∞ (Ω) es trivial as´ı como que u satisface el problema (1). La continuidad de u en Ω puede probarse teniendo en cuenta la igualdad Z

u(x, t) − ϕ(ξ) =

IRn

K(x, y, t)(ϕ(y) − ϕ(ξ)) dy

y a continuaci´on expresando la integral anterior como suma de dos sumandos, donde en el primero de ellos, ξ est´a “cerca”de x; por u ´ltimo, teniendo en cuenta la continuidad de ϕ se prueba que u ∈ C(Ω). El cap´ıtulo continua con el estudio de dos problemas de tipo mixto asociados a la ecuaci´on del calor. M´as concretamente, dedicamos nuestra atenci´on a los problemas: ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T,

u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ π,

(C1)

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7

∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

∂u(0, t) ∂x

=

∂u(π, t) = 0, 0 < t ≤ T, ∂x

u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T, (C2)

0 ≤ x ≤ π.

El inter´es por estos problemas proviene de la F´ısica. En t´erminos elementales, el problema (C1) modela la siguiente situaci´on: Tenemos una varilla delgada de longitud π, cuyos extremos se mantienen a 0◦ cent´ıgrados y cuya superficie lateral est´a aislada. Si la distribuci´on inicial de temperatura est´a dada por la funci´on f (x), entonces la funci´on u(x, t) representa la temperatura de la varilla en la secci´on transversal de abscisa x y en el tiempo t. Por su parte, el problema (C2) modela una situaci´on parecida, donde se sustituye el hecho de que la varilla se mantenga en sus extremos a cero grados cent´ıgrados, por el de que tales extremos se mantengan aislados. La ecuaci´on en derivadas parciales que aparece en ambos problemas, ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = 2 ∂x ∂t

(C)

es una de las m´as importantes de la F´ısica Matem´atica y se conoce con el nombre de ecuaci´ on del calor. Aparece con generalidad en fen´omenos de difusi´on y es el ejemplo m´as elemental de ecuaci´on parab´olica. La interpretaci´on f´ısica de (C1) y (C2) sugiere que la soluci´on de ambos problemas debe existir y ser u ´nica. Esto lo probamos con detalle en este cap´ıtulo. No obstante, tambi´en se puede intuir desde el principio alguna diferencia cualitativa importante en lo que se refiere al comportamiento asint´ otico (cuando el tiempo tiende a +∞) de las soluciones de ambos problemas: mientras que para (C1) se tendr´a l´ımt→+∞ u(x, t) = 0, para (C2) se cumple l´ımt→+∞ u(x, t) = b, constante que, en general, no es cero. Designemos por Ω al conjunto Ω = {(x, t) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T }. Una soluci´on de (C1) es cualquier funci´on u : Ω → IR, tal que u ∈ C(Ω) ∩ Cx2 (Ω) ∩ Ct1 (Ω) y que satisface (C1) puntualmente. Usando el principio del m´aximo-m´ınimo para la ecuaci´on del calor puede probarse f´acilmente que (C1) tiene, a lo sumo, una soluci´on.

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Pasemos a continuaci´on a comentar el tema de la existencia de soluciones de (C1). El proceso es similar al que se realiza para la ecuaci´on de ondas. En una primera etapa, usaremos el m´etodo de separaci´on de variables para encontrar soluciones de (C1) de la forma u(x, t) = X(x)T (t). As´ı obtenemos el problema de valores propios X 00 (x) − µX(x) = 0, x ∈ [0, π], X(0) = X(π) = 0,

(P V P 1)

y la familia uniparam´etrica de e.d.o. T 0 (t) − µT (t) = 0, t ∈ (0, T ]. Obviamente, los u ´nicos valores interesantes del par´ametro real µ son aquellos para los que (PVP1) tiene soluci´on no trivial. As´ı, diremos que µ es valor propio de (PVP1) si (PVP1) admite alguna soluci´on no trivial. La manera de calcular los valores propios de los problemas anteriores es sencilla, puesto que las ecuaciones consideradas son lineales y tienen coeficientes constantes. Para ello, recordemos que, fijado µ, el conjunto de soluciones (reales) de la ecuaci´on X 00 (x) − µX(x) = 0, x ∈ [0, π], es un espacio vectorial real de dimensi´on dos. Adem´as: - Si µ = 0, una base de tal espacio vectorial est´a constituida por las funciones X 1 (x) = 1, X 2 (x) = x, ∀ x ∈ [0, π]. √ - Si µ > 0, una base est´a formada por las funciones X 1 (x) = exp( µx), X 2 (x) = √ exp(− µx), ∀ x ∈ [0, π]. √ - Si µ < 0, una base est´a formada por las funciones X 1 (x) = cos( −µx), X 2 (x) = √ sen( −µx), ∀ x ∈ [0, π]. Cualquier soluci´on de (PVP1) es de la forma X(x) = c1 X 1 (x) + c2 X 2 (x), ∀ x ∈ [0, π], donde c1 , c2 son n´ umeros reales cualesquiera. Imponiendo las condiciones de contorno llegamos al siguiente sistema de ecuaciones: - Si µ = 0, c1 = 0, c1 + c2 π = 0, cuya u ´nica soluci´on es c1 = c2 = 0. Por tanto, µ = 0, no es valor propio de (PVP1). - Si µ > 0, c1 + c2 = 0, √ √ c1 exp( µπ) + c2 exp(− µπ) = 0. √ √ El determinante de los coeficientes de este sistema es exp(− µπ) − exp( µπ), que es distinto de cero. Por tanto la u ´nica soluci´on del sistema es la soluci´on trivial c1 = c2 = 0. Consecuentemente, no existe ning´ un valor propio positivo de (PVP1). - Si µ < 0, c1 = 0, √ √ c1 cos( −µπ) + c2 sen( −µπ) = 0.

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√ Este sistema tiene soluci´on no trivial si y solamente si sen( −µπ) = 0; o lo que es lo mismo, si y solamente si µ = −n2 , para alg´ un n ∈ IINI. En este caso, es decir µ = −n2 , para alg´ un n natural, el conjunto de soluciones de (PVP1) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno, engendrado por la funci´on Xn (x) = sen(nx), ∀ x ∈ [0, π]. En resumen, el conjunto de valores propios de (PVP1) es el conjunto {−n2 , n ∈ IINI}. Si µ = −n2 , para alg´ un n natural, el conjunto de soluciones de (PVP1) es un espacio vectorial real de dimensi´on uno, cuya base est´a formada por la funci´on Xn (x) = sen(nx), ∀ x ∈ [0, π]. El m´etodo de separaci´on de variables permite calcular la u ´nica soluci´on de (C1) en casos sencillos que son aquellos en los que la funci´on f de (C1) es de la forma f (x) = m X

ai Xni (x), siendo m ∈ IINI, a1 , ..., am n´ umeros reales cualesquiera y n1 , .., nm ,

i=1

n´ umeros naturales distintos. En estos casos, la u ´nica soluci´on de (C1) es la funci´on u(x, t) =

m X

ai sin(ni x) exp(−n2i t), ∀ (x, t) ∈ Ω.

i=1

En una segunda etapa, usando tales casos previos y el desarrollo en serie de Fourier de la condici´on inicial f , respecto de la base (r

)

2 sin(n(·)), n ∈ IINI π

probamos un teorema general sobre existencia y unicidad de soluciones de (C1): Teorema 4 . Si f ∈ C[0, π] es C 1 a trozos en [0, π] y f (0) = f (π) = 0, entonces la u ´nica soluci´on de (C1) viene dada por la f´ormula:  ∞ X   an sin(nx) exp(−n2 t), si t > 0, u(x, t) =   n=1

f (x), si t = 0

donde an =

2 π

Z π 0

f (x) sin(nx) dx, ∀n ∈ IINI.

A continuaci´on mostramos algunas propiedades referentes al comportamiento cualitativo de la soluci´on: dependencia continua de la u ´nica soluci´on de (C1) respecto de la temperatura inicial f , regularidad C ∞ de tal soluci´on para cualquier tiempo positivo y el hecho de que, sea cual sea la temperatura inicial, la u ´nica soluci´on de (C1) tiende a cero cuando el tiempo diverge a +∞.

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En lo que respecta al problema (C2), una soluci´on es cualquier funci´on u ∈ C(Ω) ∩ Cx2 (Ω) ∩ Ct1 (Ω) que satisface (C2) puntualmente. Respecto de la unicidad de soluciones, el principio del m´aximo-m´ınimo no parece ahora directamente aplicable, puesto que las condiciones de contorno, para x = 0 y x = π, son distintas de las consideradas en (C1). La idea b´asica para demostrar la unicidad de soluciones de (C2) es considerar una cierta integral de energ´ıa, definida por 1 E(t) = 2

Z π 0

u2 (x, t) dx +

¶ Z t "Z π µ ∂u(x, s) 2 0

0

∂x

#

dx

ds

Puede demostrarse que si u es cualquier soluci´on de (C2), entonces E(t) es constante. Como consecuencia se obtiene trivialmente que (C2) puede tener, a lo m´as, una soluci´on. Nuevamente, aplicando el m´etodo de separaci´on de variables, encontramos la u ´nica soluci´on de (C2) en casos sencillos, y usando ´estos y el desarrollo en serie de Fourier de la condici´on inicial f , respecto de la base (

1 √ , π

r

)

2 cos(n(·)), n ∈ IINI , π

mostramos un teorema general sobre existencia y unicidad de soluciones de (C2): Teorema 5 . Si f ∈ C[0, π] es C 1 a trozos en [0, π], entonces la u ´nica soluci´on de (C2) viene dada por la f´ormula:  ∞ X   b0 + bn cos(nx) exp(−n2 t), si t > 0, u(x, t) = 2 n=1  

f (x), si t = 0

donde

2 bn = π

Z π 0

f (x) cos(nx) dx, ∀n ∈ IINI ∪ {0}.

Probamos, adem´as, algunas propiedades sobre la dependencia continua de la u ´nica soluci´on de (C2), respecto de la temperatura inicial f . Asimismo, se cumple en este caso la regularidad C ∞ de las soluciones, para cualquier tiempo positivo. En cambio, el comportamiento asint´ otico de las soluciones es ahora distinto del mostrado para el problema (C1). Para (C2) demostramos que, cuando el tiempo diverge a +∞, las soluciones convergen a una constante, en general no nula. Esto se corresponde con el hecho de que, al estar en (C2) los extremos y la superficie lateral de la varilla aislada, entonces no puede entrar ni salir calor de la misma, con lo que ´este no se pierde; lo que s´ı tiende es a difundirse el calor, de manera homog´enea, por la varilla. La bibliograf´ıa recomendada para el desarrollo del cap´ıtulo es la siguiente:

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1. A. Ca˜ nada. Series de Fourier y Aplicaciones. Madrid, Pir´amide, 2002. 2. H.F. Weinberger. Curso de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Revert´e, 1986. 3. A.N. Tijonov y A.A. Samarsky: Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica. Mir, 1980. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1. En este cap´ıtulo se han estudiado dos problemas de tipo mixto para la ecuaci´on del calor. En ambos se daba como dato inicial una determinada temperatura f. Adem´as, en el primero de ellos se supon´ıa conocida la temperatura en los extremos de [0, π], mientras que en el segundo se daba como dato el flujo de calor a trav´es de tales extremos. La clave para poderlos resolver, usando la teor´ıa de Series de Fourier, se ha encontrado en el hecho de que, en ambos casos, la temperatura inicial admit´ıa un desarrollo en serie, usando precisamente como sumandos de tal desarrollo las funciones propias de los problemas de valores propios correspondientes. Es claro que, desde el punto de vista f´ısico, pueden plantearse otros tipos de problemas. Por ejemplo, en un extremo de la varilla puede darse como dato la temperatura en cualquier tiempo, y en el otro, el flujo de calor, o incluso una combinaci´on de ambos. Adem´as, se puede suponer que la superficie lateral de la varilla no est´a aislada, de tal forma que puede entrar o salir calor. La intuici´on f´ısica sugiere que tales problemas han de tener soluci´on u ´nica. Otra cosa es demostrarlo rigurosamente. Desde el punto de vista matem´atico, los problemas citados se pueden plantear de la forma ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) + g(x, t), 0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T, = ∂x2 ∂t α1 u(0, t) + α2 ux (0, t) = a(t), 0 < t ≤ T, β1 u(π, t) + β2 ux (π, t) = b(t), 0 < t ≤ T, u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π,

(sl1)

donde f representa la temperatura inicial y la presencia de g significa que hay una fuente externa de calor, mientras que las otras dos condiciones en (sl1) son condiciones de contorno que combinan la temperatura y el flujo de calor en los extremos de la varilla (ux indica la funci´on derivada parcial de u, respecto de la variable x). Bajo ciertas restricciones de regularidad sobre las funciones f, g, a y b, y sobre el signo de los coeficientes αi , βi , 1 ≤ i ≤ 2, puede demostrarse, bien usando

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el m´etodo de la energ´ıa, bien usando principios del m´aximo adecuados, que (sl1) tiene, a lo m´as, una soluci´on. Ya sabemos que a continuaci´ on viene la siguiente pregunta: ¿tambi´en a lo menos? Esto es harina de otro costal. No todos los problemas de la forma (sl1) pueden resolverse por el m´etodo de separaci´on de variables; pero combinando ´este con otros m´etodos (como aquellos que buscan la soluci´on como suma de dos m´as elementales, una de ellas estacionaria), puede resolverse un buen n´ umero de problemas similares a (sl1). Se puede consultar para ello la bibliograf´ıa recomendada (especialmente H.F. Weinberger o A.N. Tijonov-A.A. Samarsky). En general, la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables a aquellos problemas como (sl1) que sean adecuados conduce a la posibilidad del desarrollo en serie de una cierta funci´on h, definida en [0, π], usando como sumandos de tal desarrollo las funciones propias (soluciones no triviales) de problemas de contorno de la forma: Z 00 (x) − λZ(x) = 0, x ∈ [0, π], γ1 Z(0) + γ2 Z 0 (0) = 0, δ1 Z(π) + δ2 Z 0 (π) = 0,

(sl2)

donde γi , δi , 1 ≤ i ≤ n, son constantes dadas. Los problemas de contorno como (sl2), donde las condiciones de contorno aparecen por separado, en los dos puntos extremos de [0, π], se llaman problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville. Sorprendentemente, el conjunto de funciones propias de (sl2), convenientemente ortonormalizado, forma siempre (con ciertas restricciones sobre los coeficientes γi , δi , 1 ≤ i ≤ n) una base del espacio L2 [0, π].

EJERCICIOS 1. El n´ ucleo (o soluci´on fundamental) de la ecuaci´on del calor se define como 2 /4t

K(x, ξ, t) = (4πt)−1/2 e−(x−ξ) en dimensi´on uno y como K(x, ξ, t) = (4πt)−n/2 e

−kx−ξk2 /4t

,

para dimensi´on n arbitraria. Aqu´ı, kx−ξk2 representa el cuadrado de la norma eucl´ıdea del vector x−ξ, es decir, si x = (x1 , . . . , xn ), ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), entonces kx − ξk2 =

n X

(xi − ξi )2

i=1

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Pru´ebese que para cada ξ ∈ IRn fijo, el n´ ucleo K(x, ξ, t), como funci´on de las variables (x, t) es soluci´on de la ecuaci´on del calor para t > 0, es decir que se verifica µ ¶ ∂ − ∆x K(x, ξ, t) = 0, ∀ t > 0. ∂t 2. Encontrar la u ´nica soluci´on acotada de los problemas siguientes: a) ut = ux1 x1 , u(x1 , 0) = cos x1 , t ≥ 0. Soluci´on: u(x1 , t) = cos x1 e−t . b) ut = ∆(x1 x2 ) u, u(x1 , x2 , 0) = cos(x1 + x2 ), t ≥ 0. Soluci´on: u(x1 , x2 , t) = cos(x1 + x2 )e−2t . c) ut = ∆(x1 ...xn ) u, u(x1 , ..., xn , 0) = cos(x1 + ... + xn ), t ≥ 0. Soluci´ on: u(x1 , . . . , xn , t) = cos(x1 + . . . + xn )e−nt . √ d ) ut = ux1 x1 , u(x1 , 0) = cos x1 − 5 sin(8x1 ) + 3 cos( 4 5x1 ), t√≥ 0. Solu√ ci´on: u(x1 , t) = cos x1 e−t − 5 sin(8x1 )e−64t + 3 cos( 4 5x1 )e− 5t . Intenta generalizar este resultado para datos u(x1 , 0) m´as generales. e) ut = uxx , u(x, 0) = exp(−λx2 ), x ∈ IR, t ≥ 0, λ > 0. Soluci´on: u(x, t) = λx2 − 1 √ e 1 + 4λt . Intenta generalizar este resultado para datos u(x, 0) 1 + 4λt m´as generales. 3. (Examen del 21/12/2005) a) Escr´ıbase de manera precisa la formulaci´ on de problema de Cauchy para la ecuaci´ on del calor n−dimensional, as´ı como el concepto de soluci´on del mismo. b) En´ unciese un teorema de existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy anterior, proporcionando adem´as la f´ormula que da la u ´nica soluci´on. ulese la u ´nica soluci´on acotada del problema de Cauchy c) Calc´ ut (x, t) = uxx (x, t), x ∈ IR, t > 0, u(x, 0) = exp(−3x2 ), x ∈ IR.

(5)

4. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T,

u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u(x, 0) = f (x), si f (x) = cos(x) − 1 +

2x . π

0 ≤ x ≤ π,

(6)

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5. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de (6) si f (x) =

 π  0, si 0 ≤ x ≤ ,

2  sin(2x), si π ≤ x ≤ π, 2

6. (Propuesto en Matem´ aticas el 28/06/06) Consid´erese el problema de tipo mixto (6). Si f ≡ 0, la u ´nica soluci´on de (6) es u ≡ 0. Si f (x) = sin(2x), la u ´nica soluci´on de (6) es u(x, t) = sin(2x)e−4t . Si, como en el ejercicio previo, f (x) =

 π  0, si 0 ≤ x ≤ ,

2  sin(2x), si π ≤ x ≤ π. 2

¿Es la funci´on u(x, t) =

 π  0, si 0 ≤ x ≤ ,

2  sin(2x)e−4t , si π ≤ x ≤ π. 2

soluci´on de (6)? Si la respuesta es negativa, raz´onese adecuadamente cu´al (o cu´ales) de las condiciones en (6) no se cumplen. 7. Consid´erese el problema ∂ 2 u(x, t) ∂x2

∂u(x, t) , ∂t

=

u(0, t) = c1 ,

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T,

u(π, t) = c2 , 0 ≤ t ≤ T,

u(x, 0) = f (x),

(7)

0 ≤ x ≤ π.

Demu´estrese que si f ∈ C 1 ([0, π]) satisface f (0) = c1 , f (π) = c2 , entonces (7) tiene una u ´nica soluci´on. 8. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on de ∂ 2 u(x, t) ∂x2

=

∂u(x, t) , ∂t

∂u(0, t) ∂x

=

∂u(π, t) = 0, 0 < t ≤ T, ∂x

u(x, 0) = f (x), si f (x) = sin(x).

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T,

0 ≤ x ≤ π,

(8)

A. Ca˜ nada, Abril 2010, EDPFISICAS

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9. Encu´entrese la u ´nica soluci´on de (8) cuando f (x) = ax + b, ∀x ∈ [0, π], siendo a y b n´ umeros reales dados. 10. (Propuesto en el examen del 03/02/06) a) En´ unciese de manera precisa el segundo problema de tipo mixto asociado a la ecuaci´on del calor, as´ı como la f´ormula que proporciona la u ´nica soluci´on del mismo. b) C´alculese la u ´nica soluci´on del problema ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = ; 2 ∂x ∂t

0 ≤ x ≤ π, 0 < t ≤ T

∂u(0, t) ∂u(π, t) = = 0; ∂x ∂x u(x, 0) = sen3 (x);

0 2.

es una funci´on arm´onica en IRn \ {ξ}. 7. Calc´ ulese la u ´nica soluci´on del problema de contorno para la ecuaci´on de Poisson ∆u(x, y, z) = g(x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω; u(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ ∂Ω, para los casos siguientes: a) g(x, y, z) = 1, Ω = BIR3 (0; a), a > 0. b) g(x, y, z) = Ar +B, A, B ∈ IR, r = (x2 +y 2 +z 2 )1/2 , Ω = BIR3 (0; a), a > 0. c) g(x, y, z) = 1, Ω = BIR3 (0; a) \ BIR3 (0; b), a > b > 0. 8. (Examen de Caminos, 03/02/2005) a) Consid´erese la ecuaci´on de Laplace n-dimensional ∆u(x) = 0

(24)

Demu´estrese que si u ∈ C 2 (IRn \ {0}) es soluci´on de (24) de la forma u(x) = v(kxk), con v : (0, +∞) → IR una funci´on de clase C 2 (0, +∞), entonces v verifica la e.d.o. n−1 0 v 00 (r) + v (r) = 0, ∀ r ∈ (0, +∞). (25) r Rec´ıprocamente, si v verifica (25) entonces u(x) = v(kxk) verifica (24) en IRn \ {0}.

A. Ca˜ nada, Mayo 2010, EDPFISICAS

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b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, calc´ ulese la u ´nica soluci´on del problema ∆u(x, y) = 1, b2 < x2 + y 2 < a2 , u(x, y) = 0, si x2 + y 2 = b2 ´ o x2 + y 2 = a2 9. (Examen de Caminos, 07/09/2005) Consid´erese el problema de Dirichlet ∂2u ∂2u + 2 = 0, (x, y) ∈ Ω ≡ {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 < 1}, ∂x2 ∂y u(x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ ∂Ω.

(26)

Demu´estrese que mediante un cambio a coordenadas polares x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, el problema anterior se transforma en ∂u 1 ∂(ρ ∂ρ ) 1 ∂2u + 2 = 0, 0 < ρ < 1, φ ∈ IR, ρ ∂ρ ρ ∂φ2

(27)

u(1, φ) = g(φ), φ ∈ IR, donde g : IR → IR est´a definida como g(φ) = f (cosφ, senφ). 10. (Examen de Caminos, 07/09/2005) Apl´ıquese el m´etodo de separaci´on de variables para resolver el problema de contorno uxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < π, u(0, y) = 0, u(1, y) = f (y), u(x, 0) = 0, u(x, π) = 0 11. (Examen de Caminos, 03/02/06) a) En´ unciese de manera precisa el Principio del M´aximo-M´ınimo para funciones arm´onicas (o para la ecuaci´on de Laplace). b) Demu´estrese que si Ω ⊂ IRN es un dominio acotado y las funciones T u1 , u2 ∈ C 2 (Ω) C(Ω) satisfacen ∆u1 (x) = ∆u2 (x) , si x ∈ Ω u1 (x) ≤ u2 (x) , si x ∈ ∂Ω entonces se verifica u1 (x) ≤ u2 (x) , ∀x ∈ Ω. c) Sea Ω el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1). Usando el apartado anterior, demu´estrese que xy 3 + x2 + y ≤ x3 y + y 2 + x ,

∀(x, y) ∈ Ω.