Story Transcript
Guía Docente
Dpto. de Matemática Aplicada.
CÁLCULO INFINITESIMAL Profesores: - P. García Ferrández - M. A. Castro López - J Cabrera Sánchez - P. Cerdán García
i
GUÍA DOCENTE ECTS
Cálculo Infinitesimal
Ingeniería Informática Departamento Matemática Aplicada Universidad de Alicante
GuíaDocente
1.Contextualización 1.1. Perfil de los créditos de la materia. Adecuación al perfil profesional y académico de la titulación
Perfil titulación. Competencias Diseño de redes de comunicación Desarrollo de software y aplicaciones Diseño multimedia Ingeniería de integración y pruebas e implantación y pruebas Especialista en sistemas Desarrollo de investigación y tecnología
Perfil asignatura. Competencias • • • • • •
Cálculo diferencial e integral Sucesiones y series Métodos Numéricos Cálculo diferencial e integral Sucesiones y series Métodos Numéricos
• • •
Cálculo diferencial e integral Sucesiones y series Métodos Numéricos
Dirección de TIC
1
1.2. Ubicación y relaciones en el plan de estudios Ubicación de la asignatura. Esta asignatura es parte de la materia troncal Fundamentos Matemáticos de la Informática. Se cursa como obligatoria anual del primer curso en la titulación Ingeniería Superior en Informática, con una asignación de 9 créditos (11,25 créditos ECTS) y se ha de considerar como básica. Relación con otras asignaturas del plan de estudios. De forma casi evidente, la asignatura de Cálculo Infinitesimal mantiene una fuerte conexión con las asignaturas de Álgebra y Cálculo Numérico. Aunque las tres unidades didácticas que constituyen el programa de la materia troncal son básicas en casi todas las materias, las necesidades específicas de Cálculo Infinitesimal de otras materias troncales pueden resumirse de la siguiente manera:
Estadística Fundamentos Físicos de la Informática Estructura de Computadores Diseño y Análisis de Algoritmos
Lenguajes, Gramáticas y Autómatas
Cálculo diferencial e integral. Números complejos. Cálculo diferencial e integral. Cálculo diferencial. Cálculo diferencial e integral. Sucesiones y series. Cálculo diferencial e integral. Sucesiones y series. Cálculo diferencial e integral.
Arquitectura e Ingeniería de Computadores
Métodos numéricos. Sucesiones y series funcionales.
Fundamentos de Inteligencia Artificial Redes
Cálculo diferencial e integral. Cálculo diferencial e integral. Sucesiones y series.
GuíaDocente En este contexto, las siguientes asignaturas específicas destacan por sus fuertes necesidades de Cálculo Infinitesimal: − Informática Básica. − Fundamentos Físicos de la Informática. − Señales y Sistemas. − Modelos de Fabricación Asistida por Computador. − Gráficos por Computador. − Teoría de la Información y de la Codificación. − Robots y Sistemas Sensoriales. − Ingeniería de Control.
3
2. Objetivos Objetivos generales. -
Conocer el concepto de sucesión y término n-ésimo.
-
Comprender el concepto de convergencia.
-
Conocer los conceptos de monotonía y acotación relativos a sucesiones.
-
Aplicar las propiedades de los límites, infinitésimos e infinitos equivalentes para el cálculo de límites indeterminados de sucesiones.
-
Conocer y aplicar el concepto de serie de números reales para estudiar el carácter y calcular la suma de series.
-
Conocer las propiedades básicas de las series y las específicas para series de términos positivos.
-
Conocer y aplicar los criterios de convergencia para estudiar el carácter de series de términos positivos y series alternadas.
-
Conocer el concepto de función real de variable real, sus principales características y su representación gráfica, aplicandolos a las funciones elementales.
-
Comprender la definición de límite y límites laterales (finito e infinito) de una función.
-
Aplicar las propiedades de los límites, infinitésimos e infinitos equivalentes para el cálculo de límites indeterminados de funciones.
-
Conocer y comprender el concepto continuidad de una función y las propiedades fundamentales de las funciones continuas en un intervalo cerrado.
-
Conocer y comprender el concepto de derivada y diferencial de una función en un punto y su relación con la continuidad.
-
Conocer las funciones derivada de las funciones elementales. Conocer y aplicar las propiedades de derivación para obtener la función derivada y derivadas sucesivas de una función dada.
-
Comprender y aplicar los teoremas relativos a la derivabilidad.
GuíaDocente -
Utilizar la regla de L'Hôpital y el desarrollo de Taylor de una función para calcular límites indeterminados e infinitésimos equivalentes.
-
Analizar y obtener la representación gráfica aproximada de una curva.
-
Conocer y comprender el concepto de integral de Riemann.
-
Comprender y aplicar los teoremas relativos a la integral.
-
Utilizar los métodos de integración para el cálculo de primitivas.
-
Conocer el concepto de integral impropia.
-
Utilizar la integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de curvas.
-
Comprender el concepto de solución aproximada de una ecuación no lineal.
-
Utilizar los métodos de resolución aproximada de ecuaciones no lineales.
-
Conocer la interpolación de Lagrange.
-
Conocer y aplicar distintos métodos de obtención del polinomio de interpolación y la influencia de los errores de redondeo en éstos.
-
Conocer y comprender el concepto de integración numérica.
5
3. Prerrequisitos 3.1. Competencias y contenidos mínimos EL ACCESO A LA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR La procedencia de los alumnos que acceden a la E.P.S. debe ser tenida en cuenta, pues determina no sólo los conocimientos de matemáticas que podrán suponerse conocidos a la hora de diseñar los programas de las asignaturas del área, sino también la madurez y los tipos de metodologías y hábitos de trabajo intelectual que pueden esperarse en los alumnos. A los estudios de carreras exclusivamente de primer ciclo, como son las Ingenierías Técnicas en Informática (de Gestión y de Sistemas), se puede acceder tras superar el Bachillerato establecido en la LOGSE, la Formación Profesional de segundo grado o los actuales Ciclos Formativos de grado superior en una especialidad afín a los estudios a seguir, mediante las Pruebas de Acceso para mayores de 25 años, como consecuencia del traslado desde otras Escuelas Universitarias, Escuelas Técnicas Superiores o Facultades o mediante la posesión de un título de diplomatura o licenciatura. También es posible el acceso de estudiantes extranjeros, a los que se supondrá asimilados en conocimientos a cualquiera de los estudiantes de las opciones actualmente existentes en nuestro país. Para los estudiantes que inician carreras superiores es precisa la realización de las correspondientes Pruebas de Acceso a la Universidad (selectividad). En la actualidad, la opción mayoritaria de acceso a la E.P.S. es la de Bachillerato. En las carreras de primer ciclo suele cubrirse el treinta por ciento de plazas reservadas para alumnos de Formación Profesional.
GuíaDocente Los conocimientos esperables en los alumnos provenientes del Bachillerato LOGSE serán los contenidos de la asignatura de Matemáticas II de los Bachilleratos de Tecnología y de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud. De acuerdo con los contenidos mínimos establecidos en la Comunidad Valenciana para estas asignaturas, serían los siguientes:
Resolución de problemas. Fases y estrategias en la resolución de problemas (contenido de carácter transversal a tener en cuenta exclusivamente en relación con el resto de contenidos).
Geometría.
− Problemas métricos. Resolución de problemas sobre posiciones relativas y cuestiones métricas en el plano y en el espacio. Aplicaciones del cálculo vectorial. − Introducción al estudio analítico de las formas geométricas. Relación entre ecuación y características geométricas de las curvas y superficies más simples. Idea de lugar geométrico del plano. En particular, introducción al estudio de las cónicas.
Análisis. − La derivada. La función derivada. Derivada de la suma, producto, cociente y composición de funciones. Derivada de las principales familias funcionales. Resolución de problemas de optimización. − La integral. Introducción al concepto de integral definida. Aproximación intuitiva al teorema fundamental del cálculo integral. Noción de primitiva. Técnicas elementales de integración: cambios de variable sencillos, fórmula de las partes. Aplicaciones de la integral definida.
Estadística y probabilidad. − Regresión lineal y correlación. El coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal. Rectas de regresión. Aplicaciones de las rectas de regresión a la resolución
7
de problemas. Interpolación y predicción en las distribuciones estadísticas bidimensionales. − Distribuciones de probabilidad. Introducción intuitiva al concepto de distribución de probabilidad. La distribución binomial y la distribución normal. Utilización de tablas.
Álgebra lineal. −
Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.
−
Estudio de las matrices como herramienta para manejar datos estructurados en tablas y grafos.
−
Suma y producto de matrices. Matriz inversa. Interpretación de las operaciones con matrices. Aplicaciones de las matrices a la resolución de sistemas de ecuaciones.
−
Determinante de una matriz: aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones.
ALUMNOS A LOS QUE VA DIRIGIDA. Los alumnos matriculados en esta asignatura no constituyen un grupo homogéneo. Al considerar el acceso a la Escuela Politécnica Superior, se han relacionado los contenidos mínimos de las asignatura de Matemáticas II del Bachillerato LOGSE, que se podrán suponer conocidos por los alumnos que acceden desde estas modalidades a cualquiera de las tres titulaciones de Informática. No obstante, no debe olvidarse la diversidad, en cuanto a los conocimientos matemáticos iniciales, de los alumnos de primer curso de I.T.I.S. e I.T.I.G., especialmente teniendo en cuenta el porcentaje de alumnos, aproximadamente el 30%, procedentes de Formación Profesional. Por ello, a continuación se indica una relación de conocimientos básicos que es razonable suponer conocidos por la mayoría de los alumnos, pudiendo considerarse
GuíaDocente prerrequisitos de cara a desarrollar el programa de Cálculo Infinitesimal. Se trata, en concreto, de conocimientos elementales sobre: − Teoría elemental de conjuntos. Relaciones binarias. Aplicaciones. − Teoría de números: números naturales, teoría de la divisibilidad, números racionales, ordenación. − Números reales: desigualdades, intervalos. − Números complejos: representación geométrica, operaciones. − Polinomios en una indeterminada: operaciones, teorema de Ruffini, división y factorización. − Equivalencia y reducción de sistemas de ecuaciones lineales. − Estudio de la derivabilidad de una función. Cálculo de la función derivada. − Representación de curvas explícitas. − Cálculo de primitivas. Aplicaciones de la integral definida. En todo caso, los alumnos con una mejor formación matemática inicial tendrán, obviamente, una mayor facilidad para preparar la asignatura, aunque no tanto porque conozcan parcialmente algunos temas del programa como porque posean una mayor madurez matemática en general. Por otra parte, los alumnos con una formación inicial más deficiente podrán contar con una atención especial a través de las tutorías.
9
4. Bloques y temas de contenidos La asignatura de Cálculo Infinitesimal de las titulaciones de Informática se ha dividido en siete bloques temáticos o Temas.
4.1. Bloques de contenido de aprendizaje TEMA
DESCRIPCIÓN I SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
II SERIES DE NÚMEROS REALES III FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL IV CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES V CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES REALES VI INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS
4.2. Temas u unidades de contenido TEMA I: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. 1. Concepto de sucesión. 2. Cotas y extremos de una sucesión. 3. Límite de una sucesión. 4. Propiedades de los límites. 5. Sucesiones monótonas. 6. Cálculo de límites. Indeterminaciones. TEMA II: SERIES DE NÚMEROS REALES. 1. Concepto de serie de números reales. Carácter de una serie. 2. Suma de series. 3. Propiedades de las series. 4. Series de términos positivos. Criterios de convergencia. 5. Series alternadas. Criterio de Leibnitz.
GuíaDocente 6. Convergencia absoluta y convergencia condicional TEMA III: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1. Función real de variable real: concepto, propiedades. Funciones elementales. 2. Límite de una función. Propiedades de los límites. 3. Cálculo de límites. 4. Continuidad de una función. 5. Teoremas de continuidad. TEMA IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES 1. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de derivada y el diferencial. 2. Cálculo de derivadas. Derivadas sucesivas. 3. Teoremas de derivabilidad. 4. Aplicación de la fórmula de Taylor y de la regla de L'Hôpital para el cálculo de límites. 5. Comportamiento local de una función. Representación gráfica aproximada de una curva. TEMA V: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES REALES 1. La integral de Riemann: concepto y propiedades. 2. Teorema del valor medio, teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow. 3. Métodos de integración. 4. Integrales impropias. 5. Aplicaciones geométricas de la integral. TEMA VI: INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1. Resolución aproximada de ecuaciones no lineales. 2. Interpolación polinomial. 3. Integración numérica.
11
5. Programación de la asignatura Se detallan a continuación, agrupados por temas, los objetivos detallados, el desarrollo de las sesiones de teoría, los ejercicios que se realizarán en éstas y los trabajos de teoría que se proponen a los alumnos para la realización en las correspondientes horas de estudio. Es necesario señalar que de los contenidos relativos a los objetivos de cada tema parte se realizan en clase y parte se proponen al alumno para su desarrollo fuera de clase. Es por ello fundamental el seguimiento personalizado y continuado del trabajo del alumno. Este seguimiento se llevará a cabo en las clases de tutorías.
TEMA I: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Objetivos: -
Conocer el concepto de sucesión.
-
Calcular el término n-ésimo de una sucesión.
-
Conocer y aplicar el principio de inducción para el cálculo del término general de una sucesión.
-
Comprender el concepto de convergencia.
-
Conocer los conceptos de cota y extremos de una sucesión.
-
Conocer el concepto de sucesión monótona y su relación con la convergencia de una sucesión.
-
Conocer y aplicar los conceptos de infinitos e infinitésimos equivalentes para el cálculo de límites.
-
Aplicar las propiedades de los límites para el cálculo de límites indeterminados.
Sesiones de clase de teoría. Sesión 1. -
Concepto de sucesión. Ejemplos.
-
Término general: Cálculo. Principio de inducción. Ejercicios.
-
Progresiones aritméticas, geométricas, recurrencia y caso general.
GuíaDocente Trabajo para casa: Definición de cotas y extremos. Ejemplos. (que jueguen con el Maple).
Sesión 2. -
Estudio de la monotonía de una sucesión. Ejemplos.
-
Convergencia. Definición de límite.
-
Límite de las sucesiones monótonas. Ejercicio 3 de la relación.
Trabajo para casa: Límites directos. Ejemplos. Confeccionar una relación de propiedades algebráicas de los límites, con ejemplos (Resolución de límites sencillos que no son indeterminados).
Sesión 3.
∞ ,∞ − ∞ . ∞
-
Indeterminaciones.
-
Infinitésimos e infinitos. Equivalencias. (contar la teoría)
Trabajo para casa. Realizar ejemplos de límites. Ampliación del concepto de equivalencia en infinitos e infinitésimos. Orden y parte principal. Poner algún ejemplo.
Sesión 4. -
Ejercicios de equivalencia.
-
Límites exponenciales.
-
Criterios de Stolz.
Trabajo para casa. Investigar el criterio de la media aritmética, media geométrica y criterio de la raíz, apoyado con ejemplos varios. Problemas de límites.
13
Ejercicios: Sesión 1: 1 Obtener el término general de las sucesiones: a) 3, 7, 11, 15, 19, ... b)
1 3 5 7 9 , , , , , ... 5 10 20 40 80
c) 2, 2, 6, 5, 18, 8, 54, 11, ... d) –1, 1, 11, 35, 79, 149, ... e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 2 Demostrar por inducción : a) 1 + 2 + L + n =
n ( n + 1) 2
b) 12 + 2 2 + L + n 2 =
n ( n + 1)( 2n + 1) 6
Sesión 2: 1 monotonía 2 acotación 3 monotonía y acotación + limite Sesión 3: n 3 + 3n − 5 n →∞ −2n 2 − 2n + 1
1. lim 2. lim n →∞
3n − 5 n − 2n + 1
3. lim n →∞
2
4n − 3 n 2 + 2n + 1
4. lim n 2 + n − 2 − ( n + 3) n →∞
Sesión 4:
3⎞ ⎛ 1. lim n 2 ⎜ 1 − cos ⎟ n →∞ n⎠ ⎝ 2. lim n n →∞
sen
π n
GuíaDocente n 2 −5
⎛ n 2 + 3n − 5 ⎞ n +1 3. lim ⎜ 2 ⎟ n →∞ n − 2n + 1 ⎝ ⎠ 4. lim n →∞
1 + 2 2 + 1 + 32 + L + 1 + n 2 n2 + 1
TEMA II: SERIES DE NÚMEROS REALES Objetivos: -
Conocer el concepto de serie de números reales y carácter de una serie.
-
Aplicar el concepto de serie para estudiar el carácter y calcular la suma de series, para series con suma parcial simplificable.
-
Conocer y aplicar la condición necesaria de convergencia para series.
-
Conocer las propiedades básicas de las series.
-
Reconocer los distintos tipos de series según el signo del término general.
-
Saber que las series de términos positivos son convergentes o divergentes y cómo afecta esta propiedad al estudio de la convergencia.
-
Aplicar los criterios de convergencia para estudiar el carácter de series de términos positivos.
-
Aplicar el criterio de Leibnitz para estudiar el carácter de una serie alternada y acotar su suma.
-
Conocer los conceptos de convergencia absoluta y condicional.
Sesiones de clase de teoría. Sesión 1. -
Concepto de serie. Carácter y suma de una serie. (Sólo definiciones)
-
Obtención de Sn y cálculo de la suma de series geométricas. (Ejemplos inmediatos y geométicas)
Trabajo para casa: obtener la fórmula de la suma de una serie geométrica.
Sesión 2. -
Obtención de Sn y cálculo de la suma de series aritmético-geométricas.
-
Obtención de Sn y cálculo de la suma de series telescópicas.
15
-
Obtención de Sn y cálculo de la suma de series por descomposición en fracciones simples.
Trabajo para casa: obtener la fórmula de la suma de una serie aritmético-geométrica y telescópica.
Sesión 3. -
Condición necesaria, ejemplos de aplicación. Contraejemplo: serie armónica.
-
Clasificación de las series según el signo del término general. Ejemplos de reconocer.
-
Series de términos positivos. Monotonía y acotación.
Trabajo para casa. Propiedades básicas: linealidad, asociatividad y añadir y suprimir un número finito de términos.
Sesión 4. -
Criterios para series de términos positivos (distinguir entre basados en comparar con la serie geométrica y con la armónica generalizada). Enunciado de criterios.
-
Ejemplos de: -
Criterios de la serie mayorante y minorante.
-
Criterio de la raíz.
-
Criterio del cociente.
Trabajo para casa. Demostración del criterio de la serie mayorante y de la serie minorante.
Sesión 5. -
Ejemplos del criterio de Pringsheim.
-
Series alternadas. Criterio de Leibnitz (explicar acotación de la suma nésima). Ejemplos.
GuíaDocente
Trabajo para casa. Convergencia absoluta y condicional, relación con la convergencia.
Ejercicios: Sesión 1: 1 Estudiar la convergencia 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + L (simplificando la expresión de Sn ). 2 Estudiar la convergencia
∑ ( −1)
n
(simplificando la expresión de Sn ).
1 1 1 1 + + + +L 2 4 8 16
3 Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie (simplificando la expresión de Sn ). +∞
4 Estudiar la convergencia de la serie
n
⎛ 3⎞ ∑ ⎜ ⎟ (simplificando la expresión de Sn ). n =1 ⎝ 2 ⎠
Sesión 2: +∞
1. Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie
n
∑3
n
n =1
(simplificando la
expresión de Sn ). +∞
2. Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie
∑ ln n =1
n +1
n +1 (simplificando n
n
la expresión de Sn ). +∞
3. Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie
∑n n =6
2
1 − 6n + 5
(simplificando la expresión de Sn ) Nota: repasar brevemente la descomposición en fracciones simples. +∞
4. Estudiar la convergencia y calcular la suma de la serie
1
∑ ( 2n − 1)( 2n + 1) n =1
(simplificando la expresión de Sn ) como telescópica y como descomposición en fracciones simples. (Opcional)
17
Sesión 3: 1. Ejemplos condición necesaria de convergencia:
n +1
a)
∑n+2
b)
∑ sen ( n )
c)
∑ n−2
n2 + 3
2. Contraejemplo condición necesaria de convergencia
1
∑n
3. Clasificar las siguientes series según el signo de su término general: a)
ln n
∑n
, p∈
p
αn
b)
∑ n +1−
c)
e nα ∑ n ( n + 1)( n + 2 ) , α ∈ R
d) e)
∑ ∑
cos
4
n
( −1) ( 2 x ) n +1
n
sen 2n 1. ∑ n 3 n + 2 ln n n2
∑
3.
∑3
n
1 +1
⎛ n +1 ⎞ 4. ∑ ⎜ ⎟ ⎝ n + 3⎠
( n !) ∑ ( qn )! 3
5.
, α ∈R
πn
Sesión 4:
2.
n
n2
n
, x∈R
GuíaDocente Sesión 5: 1. Estudiar el carácter de las siguientes series: 3n − 1
a)
∑ n ( n + 1)( n + 2 )
b)
∑n
n 3 + 2n − 3 3
n 5 − 4n 2 − 1
2. Estudiar el carácter de las siguientes series: a)
b)
∑
( −1)
∑
( −1)
n +1
n n
2n
3. Estudiar según los valores de α ∈ R la convergencia de la serie
∑
α nn! nn
.
TEMA III: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Objetivos: -
Conocer el concepto de función real de variable real y el significado de su dominio e imagen.
-
Conocer y aplicar las operaciones con funciones.
-
Conocer los conceptos de acotación y monotonía global de una función.
-
Conocer las funciones elementales, sus principales características y su representación gráfica.
-
Comprender la definición de límite (finito e infinito) de una función en un punto a donde a ∈ R o a = ±∞ , así como sus propiedades.
-
Comprender la definición de límites laterales de una función en un punto y su relación con el concepto de límite.
-
Calcular límites por aplicación de sus propiedades, reconocer los límites indeterminados y calcularlos utilizando equivalencias entre infinitésimos y/o infinitos.
-
Estudiar la continuidad de una función en su dominio clasificando sus discontinuidades en caso de que existan.
19
-
Conocer la relación entre monotonía y continuidad.
-
Conocer y comprender las propiedades fundamentales de las funciones continuas en un intervalo cerrado.
Sesiones de clase de teoría. Sesión 1. -
Concepto función, dominio e imagen. Ejemplos.
-
Monotonía y acotación. Ejemplos.
Trabajo para casa: -
Estudio de las funciones elementales.
-
Operaciones con funciones (suma, producto por escalar, producto, cociente y potencia).
Sesión 2. -
Concepto de límite y límites laterales en a ∈ R . Ejemplos. (Hacer una práctica de Maple sobre el concepto de límite).
-
Función compuesta.
-
Límite de la función compuesta.
-
Ejercicios de cálculo de límites: -
Transformaciones sencillas.
-
Infinitésimos e infinitos equivalentes.
Trabajo para casa: -
Definiciones de límite para el resto de casos.
-
Propiedades aritméticas de los límites.
-
Orden de un infinitésimo. Infinitésimos equivalentes. Parte principal de un infinitésimo.
GuíaDocente Sesión 3. -
Continuidad en un punto. Ejemplos.
-
Continuidad en un intervalo. Hacer hincapié en continuidad en intervalos cerrados.
-
Teorema de Bolzano: enunciado y ejemplo.
Trabajo para casa: -
Tipos de discontinuidades. Continuidad de la función parte entera.
-
Teoremas de continuidad: enunciados.
Ejercicios: Sesión 1: 1 Calcular el rango de aplicación de las siguientes fórmulas: a) y =
1 x +4
b) y =
1 x −1
2
c) y = ln (1 − x ) d) y =
x2 − 4 x +1
e) y = x 3 − 1 (Opcional) f)
y = x + 1 (Opcional)
2 Estudiar si las siguientes funciones están acotadas. a) f ( x ) =
1 x −1
b) f ( x ) = sen ( x ) c)
f ( x) = 1 + ex
d) f ( x ) =
2 x +1 2
21
Sesión 2: 1. Calcular los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican, calculando los límites laterales. ⎧ 2 ⎪ a) f ( x ) = ⎨ x − 1 2 ⎩⎪ x − x
x≤2
en el punto x = 2 .
x>2
1
b) f ( x ) = e x en x = 0 . c)
f ( x) = 2
−
1 x2
en x = 0 . (Opcional)
2. Dadas las siguientes funciones calcular f o g y g o f : a) f ( x ) = x 2 + 1 y g ( x ) =
1 . x
b) f ( x ) = x 2 y g ( x ) = senx . 3. Calcular los siguientes límites:
x2 − 1 x→ 1 x 3 − 3x 2 + 3x − 1
a) lim b)
2x −1 x → −∞ 5 x 2 + x − 1 lim
c) lim
x→ 2
d) lim
x −1 −1 x−2 senx ⋅ arctgx (1 − e x ) 2 x3
x→ 0
e) lim
x→ 1
f)
x −1 (Opcional) x2 − 1
x2 − 1 (Opcional) lim x → +∞ 2 x 2 + x + 1
x − x3 (Opcional) g) lim x → +∞ x − 1 Sesión 3: 1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f ( x ) =
senx en x = 0 . x
GuíaDocente ⎧ ln ( x − 1) ⎪ b) f ( x ) = ⎨ x 2 − 4 x + 4 ⎪ ⎩ x−2 c)
f ( x) =
x≥2 x