882 C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa Cap.  7:  CIRCUITOS  DE   CORRIENTE   DIRECTA 26.1 Cuatro diferentes formas de conectar navideña; cada b tres resistores. Corriente  directa  (cd):  el  sentido  de  la  corriente  no  cambia  con  el  tiempo   a) R1, R2 y R3 en serie • Ejemplos:  linternas  y  los  sistemas  eléctricos   de  automóviles     R1 R2 R3   x a y b Corriente  alterna  (ca):  la  corriente  oscila  hacia  delante  y  atrás     • La  energía  eléctrica  doméstica  se  suministra   en  forma  de  ca   I I   en paralelo en  un  chip,   R1, R2 yoR  i3ntegrados   CICUITOS  cd  o  cs:  son  conectados  mediante  ab) lambres   incluyan  varias  fuentes,  resistores  y  otros  elementos,  como  cRapacitores,   1 transformadores  y  motores,  interconectados  en  una  red  

circuitos una guir Suponga que muestra cuatro fo Cuando se conec rías y motores — los puntos, se dic capacitores en se todos tenían la m al estudiar circuit por unidad de tiem Se dice que lo R2   882 C A P Í T U LO 2 6 Circuitos de corriente directa a b los puntos a y b. C Resistores  en  serie  y  en  paralelo   elementos de circ I I R3 de cada ele navideña; cada como través resistor, y desd 26.1 Cuatro diferentes formas de conectar Circuitos   contienen   combinaciones   de  resistores   en  serie,   en  bombilla paralelo,  actúa o  ambos   En laes figura tres circuitos una guirnalda de bombillas tan sólo una 26 co   resistores. en serie con R1. E que se tienen tres resistores con resistenc c) RSuponga 1 en serie con una combinación en a) R1, R2 y R3 en serie paralelo con R1. paralelo de R R3 muestra cuatro2 yformas diferentes en que éstos se pueden Para cualquier R1 R2 R3 R2 en secuencia varios elementos de x Cuando se conectan a y b único que podría rías y motores —como en la figura 26.1a— con una y diferencia deso p los puntos, se dice que están conectados en serie. En I I R1 podría remplazarl a b capacitores en serie; vimos que, en virtud princip mara del la misma co b) R1, R2 y R3 en paralelo todos tenían la misma carga si al principio selahallaban les que guirnal I I R R1 al estudiar circuitos3 estemos más interesados en ladecola equivalente por unidad de tiempo. 26.1 por su resist a I

R2

Se dice que los resistores de la figura 26.1b están d) R 1 en paralelo con una combinación y RCada serie de los en puntos a Ry2b. resistor ofrece una trayectoria alte 3 R2 de circuitoR3conectados en paralelo, la difere elementos

b I

R3

dondeseVestudiaro través de cada elemento. En la sección 24.2 ab es la d en en el pa pu En la figura 26.1c, los resistores R2corriente y R3 están   a b en serie con R1. En la figura 26.1d, R2diferencia y R3 estándeenpot se c) R1 en serie con una combinación en pondiente y se ob paralelo con R1. paralelo de R2 y R3 I I R1 Para cualquier combinación de resistores siempre R2 único que podría remplazar la combinación y dar com   Resistores e   y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, una gu Es posible determ Resistor  eRquivalente:   cualquier  combinación   de  resistores   puede   ser  una remplazado   podría remplazarse por sola bombilla elegida de 1 a b por  un  solo  un  resistor  equivalente  ⇒  produce  la  misma  corriente,  y  diferencia   combinación de r mara la misma corriente y tuviera la misma diferencia en la figura 26.1a de  potencial  total   les que la guirnalda original. La resistencia de este resc sección 25.4, la I I R3     equivalente de la combinación. Si se car remplazara V 5 IR a cual cada 26.1 por su resistencia equivalente Req, se podría escri d) R1 en paralelo con una combinación en serie de R2 y R3 R3 R2

 

diferencias d Vab 5 IReq Las o bien, Req 5

1   a

b

cepto para el cas potencial Vabterm a tr es la diferencia de potencial entre las tencial individual

donde Vab corriente en el punto a o b. Para calcular una resisten diferencia de potencial Vab a través de la red real, s

882

C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa

navideña circuitos Resistores  en  serie   Supo a) R1, R2 y R3 en serie muestra La  corriente  I  es  la  misma  en  todos   R1 R2 R3 x Cuando a y b ellos  (la  corriente  no  “se  gasta”  cuando   pasa  a  través  de  un  circuito)   rías y mo los punto I I Los  potenciales  son  diferentes:   capacito b) R1, R2 y R3 en paralelo Vax = IR1 , Vxy = IR2 , Vyb = IR3       todos ten R1 al estudi • La  suma  de  estas  diferencias  de  potencial  debe  ser  igual  a   Vab     por unid Vab = Vax + Vxy + Vyb = I ( R1 + R2 + R3 )       Se di R2 Circuitos de corriente directa 882 C APÍT U LO 26   a b los punto La  razón   Vab I = Req  es  la  resistencia  equivalente  en  serie:   elemento Req = R126.1 + R2 +Cuatro R     diferentes formas de conectar navideña; (7.1)   cada I 3 I R3 través   tres resistores. circuitos unade g N En la Suponga qu • En  general,   Req ( serie) = ∑ Ri   a) R1, R2 y R3 en serie en cuatro serie muestra i R1 serie con R2una combinación R3 en Cuando se con c) R1 en x a ue  cualquiera  de  las   y resistencias   b • La  resistencia  equivalente  es  mayor  q paralelo paralelo de R2 y R3 rías y motores individuales   Req ( serie) > Ri , i = 1…N     Para — R 2 los puntos, se d I I   único qu capacitores en Resistores  en  paralelo   diferen b) R1, R2 y R3 en paralelo   todosytenían la R R podría 1 La  diferencia  de  potencial  entre  las   1 al estudiar circr a b terminales  de  cada  resistor  debe  ser   mara de la t por unidad la  misma  e  igual  a  Vab   Seles dice quel que R2 R I I 3 b a los puntos ayb equivale Las  corrientes  son  diferentes:   elementos de c V V V 26.1 por I I R3   I = ab , I = ab , I = ab     26.1 Cuatro diferentes formas de conectar tres resistores.

través de cada e d) R1 en paralelo con una combinación En la figura   y R en serie de R 2 3 La  corriente  total  I  =  suma  de  las  tres  corrientes  en  los  resistores  (principio  de   en serie con R1 c) R1 en serie con una combinación en R3 R2 la  conservación  de  la  cargas):   paralelo con R1 paralelo de R2 y R3 Para cualqu donde V R2 ⎛ 1 ⎞ 1 1 único que podr       I = I1 + I 2 + I 3 = Vab ⎜ + + corriente ⎝ R1 R2 R3 ⎟⎠ y diferencia de a R b diferenc podría remplaz 1 −1 1 a b Por  definición  de  la  resistencia  equivalente  en  paralelo (Vab I ) =   mara pondien la misma Req I I R1 les que la guirn 1 1 1 I 1 I R3 (7.2)       = + + equivalente de Req R1 R2 R3 Resist 26.1 por su res −1 1

• •

R1

2

R2

3

R3

⎛ N 1⎞ En  general,   Req ( paralelo ) = ⎜ ∑ ⎟  d)   R1 en paralelo con una combinación ⎝ i=1 Ri ⎠ en serie de R2 y R3 La  resistencia  equivalente  siempre  es  menor  Rq2 ue  cualquier   R3 resistencia   individual Req ( paralelo ) < Ri , i = 1…N   a

 

2  

I

b R1

I

Es posib combina en la fig donde Vab es la sección corriente en el car Vde5p diferencia pondiente y se

Las dife

Resistores

[El mismo resultado se obtiene mediante la ecuación (26.3).] De la ecuación (26.1), la combinación en serie de este resistor de 2 V con el resistor de 4 V es equivalente al resistor único de 6 V de la figura 26.3c.

entre los puntos a y c.

Ejemplo 26.2 Para  dos  resistores  en  paralelo  la  resistencia   equivalente   paralelo:     contra combinaciones en Combinaciones en serie R1 R2 (7.3)   Req =Dos bombillas    idénticas se conectan a una fuente con E 5 8 V y resis- ha calculado la corrient tencia R1 +interna R2 despreciable. Cada bombilla tiene una resistencia R 5 tencia entregada a cada 2 V. Calcule la corriente a través de cada bombilla, la diferencia de po- I R 5 V >R. Como   Vab = I1 R1 = I 2 R2     tencial a través de ésta y la potencia que se le entrega, y haga lo mismo para toda la red si las bombillas están conectadas a) en serie y b) en pa- EJECUTAR: a) De acuer I1ralelo. R que una de las bombillas se funde, es decir, su fila- valente de las dos bomb (7.4)       = c)2 Suponga es la suma de sus resiste I 2mentoRse1 rompe y la corriente ya no puede fluir a través de él. ¿Qué pasa con la otra bombilla, para el caso de conexión en serie? ¿Y en el Req de conexión en paralelo? • Las  corrientes  conducidas  por  dos   resistores   en  paralelo  son  inversamente   La corriente es la misma proporcionales  a  sus  resistencias⎯ por  la  trayectoria  de  menor   SOLUCIÓN resistencia  circula  más  corriente   IDENTIFICAR: Las bombillas son resistores conectados en serie y en 2

2

paralelo. PLANTEAR: Las figuras 26.4a y 26.4b muestran los diagramas de Ejemplo   los circuitos en serie y en paralelo, respectivamente. Una vez que se   Comparamos  un  circuito  completo  dos  bombillas  en  serie  y  paralelo   26.4 Diagramas para este problema.   a) Bombillas en serie En  serie:   Req = R + R = 2 ⋅ ( 2Ω ) = 4Ω      

  y  el  corriente:   V 8V   I = ac = = 2A     Req 4Ω

Vab 5 Vb

Ésta es la mitad del vol con la ecuación (25.18),

P 5 I 2R 5 P5

b) Bombillas en paralelo

Como  las  bombillas  tiene  mismo   resistencia   Vab = Vbc = IR = 2A ⋅ 2Ω = 4V       La  potencia  entregada  a  cada     bombilla:   2 P = I 2 R = ( 2A ) ( 2Ω ) = 8W       Y  la  energía  total  entregada  a  las  dos  bombillas   Ptotal = 2P = 16W       En  paralelo:  las  diferencia  de  potencial   Vde = 8V       V 8V Y  el  corriente  (la  misma  en  las  dos  bombillas):   I = de = = 4A   R 2Ω       2 La  potencia  entregada  a  cada  bombilla:   P = I 2 R = ( 4A ) ( 2Ω ) = 32W  para  una   potencia  total   Ptotal = 2P = 64W     R2 1 = R = 1Ω   La  más  alta  potencia  viene  de  la  menor  resistencia:   Req = 2R 2   La  potencia  extra  comparando  con  el  circuito  en  serie  no  es  gratis⎯ la  energía   se  extrae  cuatro  veces  más  rápido  ⇒  conectado  a  una  batería  se  agotará  más   rápido  la  energía        

 

Como las bombillas tien tencial es la misma a tra

3  

Vab2 R

La energía total entre De manera alternativa, la resistencia equivalent I 5 2 A y la diferencia d

Ptotal 5 I 2Req 5 1

Ptotal 5

1 Vac2 5 Req

b) Si las bombillas es ferencia de potencial Vde

r, hay dos términos que usaremos con frecuencia. Una unión en un 26.6 Dos redes que no pueden reducirse o en que se unen tres o más conductores. Las uniones también reci- a combinaciones simples de resistores nodos o puntos de derivación. Una espira es cualquier trayecto- en serie o en paralelo. ducción. En la figura 26.6a los puntos a y b son uniones, pero los a) Unión o son; en la figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero Espira 1 o lo son. Las líneas en color azul de las figuras 26.6a y 26.6b ilusa Reglas  de  Kirchhoff  Gustav  Robert  Kirchhoff  (1824-­‐1887)     as posibles en estos circuitos. Kirchhoff consisten en   los dos siguientes enunciados: 26.2 Reglas de Kirchhoff 887 r2 r1 off de las uniones: la suma algebraica de las corrientes en cualEspira 3 R Espira 2 al a cero. Es decir, Las  leyes  de  Kirchhoff  permiten  determinar  las   + propiedades  +de  circuitos   E1 E2 os con frecuencia.complejos   Una unión enReglas 26.2 de 26.6 Kirchhoff 887 quea  no Dos redes pueden reducirse que   nun o  pueden   ser   reducidos   combinaciones   simples   en  serie  o  

ductores. Las uniones también reciparalelo    

a combinaciones simples de resistores

50 (regla de las uniones, válida en cualquier unión) (26.5) c b d en serie o sen Unaunión espira es cualquier Una en un • Dos Ej.  trayectoCircuito   (a):   e  uparalelo. tiliza  en  muchos  tipos  diferentes  de  medición  y   26.6 redes que nopuente   pueden reducirse No es Unión No es a combinaciones de resistores nes también sistemas   de  control   puntos a y recib son uniones, pero simples los a) unión unión off de las espiras: la suma algebraica de las diferencias de potenen serie o en paralelo. ualquiera,trayectoUnión  son uniones, pero untos b, c las y dasociadas espira, incluso con las fem y las de elementos con reEspira pero los a) b) 1 uluniones, de las figuras 26.6a y 26.6b ilusa igual a cero. Es decir, Unión on uniones, pero (1) Espira 1 a 6.6a y 26.6b ilusa f

guientes enunciados: (regla de las espiras, válida para cualquier espira cerrada) r1 gebraica de las corrientes en cualos:

(26.6)

(2)

r2

R1

(3)

R2

Espira 3 R Rm Espira 2 r r2 r1 orrientes en cual+ + b R c Espira 3 Espirade 2 la carga uniones se basa en la conservación + + + E1eléctrica. En una E2 E E1 por lo que la E 2 acumular carga eléctrica, carga total que entra a ella R3 R4 (4) mpo debe ser igual a la carga total que sale por unidad de tiempo lida en cualquier unión) (26.5) c b d e unión) (26.5) c tiempo es corriente, b .7a). La carga por unidad de por lo quedsi cond positivas las corrientesNoque entran a una unión y negativas las que   No es Unión No es es Unión No es ebraica de las corrientes en la unión debe ser igual a cero. Es como unión unión unión unión rencias braica de depotenlas diferencias de poten   tubería decon agua (figura 26.7b); si entra 1 litro por minuto en un tu- 26.7 a) La regla de Kirchhoff de las elementos re   nr las fem y las de elementos con re- b) de confesar que uniones dice que la cantidad de corriente b) 3 litros por minuto de otros dos tubos. Hemos Se  nlos ecesita   determinar   dos  componentes  del   quecircuito:   llega a una unión es igual a la que sale. (1)con la finalidad de obtelas uniones (sin decirlo) en la sección 26.1 a (1) b) Analogía de agua. • Unión  (nodos  o  puntos  de  derivación)  =  punto   en  una un  tubería circuito   en  que  se   a con 6.2) para los resistores en fparalelo.(2) R2 R f unen   t res   o   m onductores   1 ás  c(3) cerrada) (26.6) Regla deRKirchhoff de las uniones espiras es el enunciado de que la fuerza electrostática es conserva(2) R1 a)(3) 2 • Espira   =   c ualquier   t rayectoria   c errada   d e   conducción   a recorre cualquier espira cerrada) (26.6) una espira y mide las diferencias de potencial entre los exUnión r Rm   tos sucesivos del circuito. Al regresarb al punto de partida, debería c I2 I1 eléctrica. En una Regla   + diferencias de  Kirchhoff   para   las  de uniones:   la  sRuma   algebraica   de  clas  corrientes   en   m a suma algebraica de esas es igual arcero; lo contraE b al que entra acarga ella eléctrica. En una ación de la cualquier   u nión   e s   i gual   a   c ero:   firmar que el potencial en ese punto tiene Run definido. R4 (4)+ 3 valor I1 ! I2 unidad de tiempo E o que la carga total que entra a ella e I = 0 (7.5)       por lo que si conR3 R4 d (4) otal quesigno sale por unidad de tiempo es de para negativas las que   la regla de la espiras e mpo es por lo que si conl a de cero. Es como sePrincipio   gla lascorriente, espiras, necesitan algunas de signos. La físico:   lconvenciones a  ley  de  conservación   de  las  cargas  deléctrica:   b) Analogía de la tubería de agua para 26.7 a) La regla de Kirchhoff de las an a una unión y negativas las que minutoproblemas en un tu- 26.2 describe solver enna   detalle cómo utilizarlas, pero a • En   u u nión   n o   s e   p uede   a cumular   c arga   léctrica   a  cuniones arga  total  que   la reglaede Kirchhoff⇒ de  llas uniones dice que la cantidad de corriente de confesar asuna descripción rápida. Primero suponga un sentido de la corriennión debe serque igual a cero. Es como entra   or  unidad   tiempo   =  la  carga  total  que  sale  por  unidad  de  tiempo     que llega a unapunión es igualdae  la que sale. finalidad deelitro obte26.7 a) La regla de Kirchhoff de las el entra circuito1 indíquelo en el diagrama correspondiente. En seguida, si por b) minuto en un tuAnalogía conpuna agua. • Carga   or  utubería nidad  de de   tiempo  =  corriente   punto del circuito, un recorrido de la que espira uniones dice la cantidad de corriente sierdos tubos. Hemos de confesar que imaginario   realice Kirchhoff las llega uniones a) Regla de ática y losesIRconservaconforme los encuentre. Cuando sede pasa a través de unión una es igual a la que sale.El flujo de agua que a una como  positivas  las  corrientes  que  entran  a  una  uque nión    ntubo egativas  las   cción 26.11,con laConsideramos   finalidad de obtesale y del ncial entre exUnión cuando ión de 2 alos la fem se considera positiva; se va de con 1 a una 2, tubería de agua. b) Analogía es igual al que que   s alen,   l a   s uma   a lgebraica   d e   l as   c orrientes   e n   l a   u nión   d ebe   s er   i gual  a  cero   ealo. partida, negativadebería (figura 26.8a). Cuando un resistor en el I1 se va a través Ide entra. 2 Regla de porKirchhoff de las uniones a) negativo es conservade lo contraeaero; elfuerza que seelectrostática supuso para la corriente, el término IR es rferencias definido. vanza en el sentido del potencial decreciente. Cuando se pasa a trade potencial entre los ex- I1 ! I2 Unión en el sentido opuesto a la corriente que se supuso, el término IR es gresar al punto de partida, debería I2 I1 presenta iras un aumento de potencial (figura 26.8b).

encias es igual a cero; de lo contranes detiene signos. unto un La valor definido.

∑

26.8 b) de la tubería agua b)Analogía Convenciones de signodepara lospara resistores I1 !Uso I2 de las convenciones de signos igno para las fem utilizarlas, pero a cuando se aplica la regla de Kirchhoff de la regla de Kirchhoff de las uniones ido de 2E: la corrien1IR: sentido del recorrido 2IR: recorrido en el sentido del las espiras. En cada parte de la figura “Re   en que imaginamos gla la deespiras recorrido + a –: opuesto al de la corriente: sentido de la corriente: corrido” es el sentido ente. de En seguida,   ir alrededor de la espira, que no necesarianario de convenciones la espira lgunas de signos. La Recorrido Recorrido Recorrido     mentede es agua el sentido El flujo de agua b) Analogía de la tubería para de la corriente. a a través de una + I I en detalle– cómo utilizarlas, – tubo – pero +a que sale del + la regla de Kirchhoff de las uniones o se va de 1 a 2, es igual al que R suponga sentido de la corrienR E el eo un resistor un en grama correspondiente. En seguida, entra. es negativo pornndo recorrido de la espira se pasa a imaginario tra-   4   ,e.elCuando término IR es El flujo de agua se pasa a través de una que sale del tubo ra positiva; cuando se va de 1 a 2, es igual al que

aV 5 0

f

(regla de las espiras, válida para cualquier espira cerrada)

(2)

(26.6) r

La regla de las uniones se basa en la conservación de la carga eléctrica. En una   unión no se puede acumular carga eléctrica, por lo que la carga total que entra a ella por unidad de tiempo debe ser igual a la carga total que sale por unidad de tiempo (véasedla 26.7a). La lcarga por unidad de tiempo es corriente, lo que si Regla   e    figura Kirchhoff   para   as  espiras:   la  suma   algebraica   de  las  dpor iferencias   de  conpotencial   en  como cualquier   espira,   las  aque sociadas   las  unión fem  y  lyas  negativas de  elementos   con   sideramos positivas lasincluso   corrientes entrancon   a una las que resistencia,   debe   ser  igual  a salen, la suma algebraica de  cero   las corrientes en la unión debe ser igual a cero. Es como un ramal T en una tubería de agua (figura = 0     si entra 1 litro por minuto en un tu(7.6)   ∑V26.7b); bo, no pueden salir 3 litros por minuto de los otros dos tubos. Hemos de confesar que   se usó la fregla uniones (sin decirlo) la sección 26.1 con la finalidad de obtePrincipio   ísico:  de la  las fuerza   electrostática   es  en conservativa     ner• la Una   ecuación (26.2) los resistores paralelo. cerrada   espira   es  epara quivalente   a  una  en trayectoria   La regla de las espiras es el enunciado de que la fuerza • Sobre  una  trayectoria  cerrada,  el  trabajo   hecho  electrostática por  fuerzas  es conservativa. Suponga que recorre una espira y mide las diferencias de potencial entre los exconservativas   es  cero     tremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar al punto de partida, debería de encontrar que sumapalgebraica de desas Convenciones   de  lasigno   ara  la  regla   e  la  diferencias espiras   es igual a cero; de lo contra   rio, no se podría afirmar que el potencial en ese punto tiene un valor definido. Metodo:   • 1)  Suponga  un  de sentido   de  la  para corriente   en  cada  de ramal   el  circuito  e   Convenciones signo la regla ladespiras indíquelo  en  el  diagrama  correspondiente   Para aplicar la regla de las espiras, se necesitan algunas convenciones de signos. La • 2)  A  partir  de  cualquier  punto  del  circuito,  realice  un  recorrido  de  la  espira   Estrategia para resolver problemas 26.2 describe en detalle cómo utilizarlas, pero a sumando  las  fem  y  los  IR  conforme  los  encuentre  siguiendo  las   continuación se da una   descripción rápida. Primero suponga un sentido de la corrienconvenciones:   te en cadaoramal e dindíquelo en elediagrama correspondiente. Si  pdel asa  circuito a  través   e  una  fuente   n  la  dirección   de  –  a  +,  la  fEn em  seguida, >  0   a partir deocualquier punto del circuito, realice un recorrido imaginario de la espira Cuando  se  va  de  +  a  –,  la  fem  <  0     sumando o las fem y los IR conforme los encuentre. Cuando se pasa a través de Cuando  se  va  a  través  de  un  resistor  en  el  mismo  sentido  que  se   una fuente en la dirección 2laa  1, la fem se positiva;avanza   cuandoese de 1 a d2, supuso  pde ara   corriente,   IR  considera <  0,  la  corriente   n  eva l  sentido   el   la fem se considera negativa (figura 26.8a). Cuando se va a través de un resistor en el potencial   decreciente   mismo sentido que el que se supuso para corriente, IR oespuesto   negativo o Cuando   se  pasa   a  través   de  la un   resistor  eeln  término el  sentido   a  la  porque la corriente avanza en elssentido delIR   potencial decreciente. Cuando se pasa ade   tracorriente   que   e  supuso,   >  0  porque   representa   un  aumento   vés de un resistor en el sentido opuesto a la corriente que se supuso, el término IR es potencial   positivo porque   representa un aumento de potencial (figura 26.8b).  

 

1IR: sentido del recorrido 2IR: recorrido en el opuesto al de la corriente: sentido de la corriente:

1E: sentido del recorrido de – a +:

2E: sentido del recorrido de + a –:

Recorrido – +

Recorrido – +

Recorrido I – +

Recorrido I – +

E

E

R

R

5  

+ e

26.7 a) La regla uniones dice que que llega a una u b) Analogía con

a) Regla de K I1

b) Analogía d la regla de Ki

26.8 Uso de las cuando se aplica las espiras. En ca corrido” es el sen ir alrededor de la mente es el senti

b) Convenciones de signo para los resistores

a) Convenciones de signo para las fem

E

 

terior se utiliza lamismo trayectoria superior, resultante es:la corriente, elEl sentido que la el ecuación que se supuso para término por- es muy parecid circuitoIRdeeslanegativo figura 26.10a corriente en A el2 sentido potencial decreciente. Cuandounseacumulador pasa a tra-de automóvil de cuando se emplea 1 0.5 2 2 1 0.5 1 3 V 2 5del Vab 5 12 Vque 2 la A 2 1 2 Vavanza 9.5 V vésIRde unnegativos resistor porque en el sentido a lavacorriente se supuso, el término IR es (figura 26.10b batería sin carga de otro vehículo Aquí, los términos son nuestraopuesto trayectoria en el laque 3 V y 726.8b). V de la figura 26.10a representan las resist positivo porque representa aumento de potencial sentido de la corriente, con disminuciones de un potencial a través de los (figura para pasar corriente y de la trayectoria de conducció resistores. El resultado es el mismo que con la trayectoria inferior, comóvil de consigno la batería (Los26.8 valores Usode de Convenciones para losdescargada. resistores mo debe ser paraa)que el cambio total de potencial alrededor de lab)espiConvenciones de signo para las fem los automóviles y cables reales para pasar corriente cuando se ap ra completa sea igual a cero. En cada caso, los aumentos de potencial 2IR: en el 1IR: sentidoque del se recorrido sentido del 1E: sentido del utilizan en esterecorrido ejemplo.) las espiras. E se toman como positivos, y las caídas como 2E: negativas. recorrido de + a –: opuesto al de la corriente: sentido de la corriente: corrido” es e recorrido de – a +: ir alrededor 26.10 a) En este ejemplo la espira se recorre en el mismo sentidoRecorrido que el que se supuso para la corriente, por lo que to Recorrido Recorrido Recorrido mente es el s – + que se pasa de I1 a 2 a través de la fem – + disminuye a medida I inferior, pero se increment IR son negativos. El potencial –

+

a través de la fem superior. b) Ejemplo de la vida real de un circuito de esta clase. E E a) Ejemplo:  una  sola  espira  ⇒  sin  uniones  b)  

2 V 12 V +

3V

I

I Recorrido

b

I

R

Batería muerta

–

+

R

Batería con carga

7V

I a

+ 4V 4V

+

    Supongamos  el  corriente  en  sentido  contra-­‐horario     Regla  de  las  espiras:  empieza  a  a  y  se  va  en  el  sentido  del  corriente  sumando  los   incrementos   disminuciones   de  potenciales:   Ejemplo 26.4 Cargay  de una batería −I ( 4Ω ) − 4V − I ( 7Ω ) + 12V − I ( 2Ω ) − I ( 3Ω ) = 0 En el circuito que fuente energía 26.11 En este   se ilustra en la figura 26.11, una     circuito, una fuente de energía el ⇒ 8V = I (de 16Ω ) eléctrica de 12 V con resistencia interna desconocida r está conectada batería que se quedó sin carga y enciende una bo ⇒ I = 0.5A a una batería recargable descargada con fem E desconocida y resisten- cho una suposición acerca de la polaridad de la f   ¿Es correcta esa suposición? cia interna de 1Para   V, y daeterminar   una bombilla 3 V a  agotada. el  pindicadora otencial  econ ntre  resistencia a  y  b,  se  ede mpieza   b  y  se  suman   los  cambios   de   que transporta una corriente de 2 A. La corriente a través de la batería (1) potencial  a  medida  que  se  avanza  a  a   a descargada es igual a 1 A en el sentido que se indica. Calcule la co   rriente desconocida resistencia interna fem) (E.7Ω ) + 4V + ( 0.5A ) ( 4Ω ) = 9.5V     (3) (2) Por  eI,l  la camino   inferior     V r=y (la 0.5A ab

E

Por  el  camino  superior   Vab = 12V − ( 0.5A ) ( 2Ω ) − ( 0.5A ) ( 3Ω ) = 9.5V     2A 3V 1A SOLUCIÓN   1V potencial    0  ⇒más  el  pde unto    tiene  ppor otencial   IDENTIFICAR:El   Este circuito>tiene unaaespira, lo que m seás   de-alto  que  b   be aplicar tanto   la regla de las uniones como la regla de las espiras. b La  salida  de  potencia  de  la  fem  de  la  batería  de  12V  es     P= 12V (de 0.5A     ) = 6WEJECUTAR: PLANTEAR: El   sentido de la corriente a través deElaI =fuente poder Primero se aplica la regla de las union   de 12 V se supone como se ilustra. Hay tres variables que se buscan, al punto a. Se obtiene La  salida   de  ecuaciones. potencia  de  la  fem  de  la  batería  de  4V  es   por lo que se necesitan tres 2I 1 1 A 1 2 A 5 0 por lo que   P = E I = −4V ( 0.5A ) = −2W       El  signo  negativo  de   E  para  la  batería  de  4  V  se  debe  a  que  la  corriente  en  realidad   va  del  lado  de  mayor  potencial  de  la  batería  al  de  menor  potencial   • P  <  0  porque  que  se  está  recargando  la  batería  de  4  V        

6  

26.11 En este circuito, una fuente de energía eléctrica carga una batería que se quedó sin carga y enciende una bombilla. Se ha hecho una suposición la polaridad de la fem E de la batería Ejemplo:   más  dacerca e  una  deespira     agotada. ¿Es correcta esa suposición?  

2A

3V

1A

E 1V

(3)

+

(2)

por lo que se dede las espiras.

a fuente de poder es que se buscan,

(1)

a

+

fuente de energía a r está conectada nocida y resistenesistencia de 3 V avés de la batería ca. Calcule la coE.

I

b

12 V r

 

  EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones, ecuación (26.5), alSe   punto a. a Seplicar   obtieneaquí  ambas  reglas  –  unión  y  espiras     debe  

  2I 1 1 A 1 2 A 5 0 por lo que I53A A  través  de  la  fuente  de  poder  de  12  V  se  supone  la  fem  positiva;  hay  tres   continúa variables,  I,  r  y   E por  lo  que  se  necesita  3  ecuaciones       1)  Se  aplica  la  regla  de  las  uniones  al  punto  a   −I + 1A + 2A = 0       por  lo  que   I = 3A       2)  Se  aplica  la  regla  de  las  espiras  a  la  espira  (1)  para  determinar  r     12V − ( 3A ) r − ( 2A ) ( 3Ω ) = 0     por  lo  que   r = 2Ω       3)  Para  determinar   E se  aplica  la  regla  de  las  espiras  a  la  espira  (2)     −E + (1A ) (1Ω ) − ( 2A ) ( 3Ω ) = 0     por  lo  que   E = −5V         El  valor  negativo  demuestra  que  la  polaridad  real  de  esta  fem  es  opuesta  a  la   que  se  supuso       La  salida  de  potencia  de  la  fem  de  12V  es   P12V = E12V I = 12V ⋅ 3A = 36W       2 Se  disipa  una  cuantidad  de  energía   Pr = I 2 r = ( 3A ) ⋅ 2Ω = 18W       Por  lo  tanto  la  potencia  total  es   Ptotal = P12V − Pr = 18W       La  potencia  de  salida  de  la  fem  de  la  batería  que  se  carga  es   Pbateria = Ebateria I bateria = −5V ⋅1A = −5W     2 Se  disipa  una  cuantidad  de  energía   Pr,bateria = I 2 r = (1A ) ⋅1Ω = 1W     Por  lo  tanto  la  potencia  de  alimentación  total  a  la  batería  es   1W + −5W = 6W   donde  solamente  5W  son  almacenada  en  la  batería            

 

7  

bombilla. I

ba fuente

5 (6 V)(3 A) 5 18 W

na red compleja

Ejemplo:  red  compleja  

n circuito “puente” del tipo descrito al princie la figura 26.6b). Calcule   la corriente en cada quivalente de la red de cinco resistores.

alcular cinco diferentes corrientes, pero apliones a los nodos a y b, es posible representarorrientes desconocidas, como se aprecia en la batería es I1 1 I2.

(2)

c (3)

I1 (1)

1V

+

no se puede representar en términos de comparalelo. De ahí que se deben utilizar las recontrar los valores de las variables buscadas.

26.12 Circuito con varios resistores.

13 V

a 1V

I1 + I2

1V I3

I2 1V b 2V I2 + I3

I1 – I3 d

  Hay  que  calcular  cinco  diferentes  corrientes,  pero  aplicando  la  regla  de  las   uniones  a  los  nodos  a  y  b,  es  posible  representarlas  en  términos  de  tres  corrientes   desconocidas     La  corriente  en  la  batería  es  I1  +  I2     Se  aplica  la  regla  de  las  espiras  a  las  tres  espiras  que  se  indican,  con  lo  que  se   obtienen  las  siguientes  tres  ecuaciones:   1)

 

13V − I1 (1Ω ) − ( I1 − I 3 ) (1Ω ) = 0

2) −I 2 (1Ω ) − ( I 2 + I 3 ) ( 2Ω ) + 13V = 0     3)

−I1 (1Ω ) − I 3 (1Ω ) + I 2 (1Ω ) = 0

 De  la  tercera  ecuación  deducimos  que   I 2 = I1 + I 3  ,  substituyendo     1′ ) 13V = I1 ( 2Ω ) − I 3 (1Ω )

 

2′ ) 13V = I1 ( 3Ω ) + I 3 ( 5Ω )    

Eliminando  I3,  encontramos  que   I1 (13Ω ) = 78V ⇒ I1 = 6A  substituyendo  se   encuentra   I 3 = −1A  y   I 2 = 5A y  la  corriente  total   I1 + I 2 = 11A       13V La  resistencia  equivalente  de  la  red  es   Req = = 1.2Ω     11A    Para  determinar  el  cambio  de  potencial  de  a  a  b,  se  comienza  en  el  punto  b  y  se   sigue  cualquier  de  las  trayectorias  posible  entre  b  y  a     La  trayectoria  más  sencilla  es  a  través  de  la  resistencia  de  1Ω:  porque   I 3 = −1A  el   sentido  de  la  corriente  es  de  de  b  a  a;  la  caída  de  potencial   IR = 1A ⋅1Ω = 1V  que   sugiere  que   Vab = −1V  (el  punto  a  tiene  menor  potencial  que  le  punto  b)          

 

8  

892

C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa

de full scale o escala com (lo común es del orden d bobina) de la bobina (lo n La desviación del med Que  se  mide  son  la  diferencia  de  potencial,  magnitud la  corriente   y  ryesistencia   usando   ce la ley de Ohm, la corrie uniforme, el resorte proporciona un par de torsión restaurador que se opone instrumentos  de  medición  eléctrica     nales de la bobina, y la al par de torsión del campo magnético. potencial. Por ejemplo, c El par del campo Galvanómetro  de  d’Arsonval   El par de torsión 20.0 V y que se desvía la magnético del resorte empuja mA. La diferencia de pote   26.14 Galvanómetro de d’Arsonval con

una bobina de pivote o articulada a la que Instrumentos  de  medición  eléctrica   está adherida una aguja; un imán permanen   te suministra un campo magnético de

•

empuja la aguja lejos del cero.

la aguja hacia el cero.

5

V 5 Ifs R

Amperímetros 10

En  el  campo  magnético  de  un   imán  permanente  se  coloca  una   bobina  de  pivote  de  alambre   delgado    

Un instrumento medidor miliamperímetro, microa • Unido  a  la  bobina  está  un   siempre mide la corriente Resorte resorte,  similar  a  la  espiral  del   se estudió en la sección 2 cluyera en un ramal de u volante  de  un  reloj   mal. Los amperímetros r   Campo que sea tan pequeña com • En  la  posición  de  equilibrio,  sin   magnético Un medidor puede ad corriente  en  la  bobina,  la  aguja   Imán Núcleo de Bobina cala completa si se conec permanente hierro suave articulada está  en  el  cero       te de la corriente de la bo   derivación o simplemen O N L I N E • Cuando  hay  una  corriente  en  la  bobina,  el  campo  magnético  ejerce  un  par  shunt, que en inglés sign Suponga que se desea de  torsión  sobre  la  bobina  que  es  proporcional  a  la  corriente   12.4 Uso de amperímetros y voltímetros resistencia de bobina Rc   determinar la resistencia • A  medida  que  la  bobina  gira,  el  resorte  ejerce  un  par  de  torsión  restaurador   viación de escala comple que  es  proporcional  al  desplazamiento  angular   Ia, la corriente a través de   de la derivación es la dif La  desviación  angular  de  la  bobina  y  la  aguja  es  directamente  proporcional  para a   ambas trayectorias; 0

 

||

|||

|||||||||||||

||

||

|

la  corriente  en  la  bobina   Ifs Rc 5   Se  necesita  calibrarlo  para  que  mida  la  corriente:   a) Amperímetro de bobin 26.15 Uso del mismo medidor para • Desviación  máxima  90¡  =  desviación  medir de  escala   completa   a) corriente y b) voltaje. • Características  eléctricas  esenciales  del  medidor:   o La  corriente  Ifs  (“full  scale”)  que  se  requiere  para  la  desviación  de   escala  completa  (~  10  µA  a  10  mA)     o La  resistencia  Rc  (“coil”)  resistencia  de  la  bobina  (~  10  a  1000   Ω)   Rc   Si  la  bobina  obedece  la  ley  de  Ohm,  la  corriente  es  proporcional  a  la  diferencia   + Rsh de  potencial  entre  las  terminales  de  la  bobina,  y  la  desviación  también  es   a I proporcional  a  esta  diferencia  de  potencial   • Ejemplo,  un  medidor  cuya  bobina  tenga  Rc  =  20.0  Ω  y  Ifs  =  1.00  mA,  la   diferencia  de  potencial     V = I fs Rc ≈ 0.0200V       Ejemplo 26.8 Diseño de un amperímetro     ¿Qué resistencia de derivación se requiere para hacer que el medidor de 1.00 mA y 20.0 V descrito antes sea un amperímetro con una escala de 0 a 50.0 mA?

SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, sus conexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscada es la resistencia de derivación Rsh.

 

9  

PLANTEAR: Se desea que el amperímetro sea capaz de manejar una corriente máxima Is 5 50.0 mA 5 50.0 3 1023 A. La resistencia de la bobi-

na ple resi

EJE

cala completa si se conecta a él un resistor en paralelo (figura te de la corriente de la bobina del medidor. El resistor en paral derivación o simplemente derivación, y se denota como R ONLINE shunt, que en inglés significa derivación). Suponga que se desea convertir un medidor con corriente 12.4 Uso de amperímetros y voltímetros resistencia de bobina Rc en un amperímetro con lectura de e Amperímetros   determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, o   de escala completa, la corriente total a través de la com Amperímetro  =  instrumento  medidor  dviación e  corriente   (o  miliamperímetro,   I , la corriente a través de la bobina del medidor es Ifs, y la cor a microamperímetro,  etc.  según  la  escala)   deque   la derivación es dlae  diferencia Ia 2 Ifs. La diferencia de po • El  amperímetro  mide  la  corriente   pasa  a  través   él     parauambas trayectorias; lo tanto, o Amperímetro  ideal  ⇒  tiene   na  resistencia   igual  por a  cero;   cuando  se   incluye  en  un  ramal  de  un  circuito  no  se  afecta   l a   c orriente   Ifs Rc 5 1 Ia 2 Ifs 2 Rsh (para un amperím o Amperímetros  reales  tienen  resistencia  finita,  pero  tan  pequeña   como  sea  posible   b) Voltímetro d a) Amperímetro de bobina móvil 26.15 Uso del mismo medidor para   medir a) corriente y b) voltaje. Un  medidor  puede  adaptarse  para  medir   corrientes  mayores  que  su  lectura  de   ||||||||||||| || ||| | | || escala  completa  si  se  conecta  a  él  un   resistor  en  paralelo,    resistor  de   derivación  o  derivación  (“shunt”,  Rsh)   Rc que  desvíe  parte  de  la  corriente  de  la   bobina  del  medidor   articulada

a

I

Rsh

||

||

+

||

|

|

permanente hierro suave

– b

+

  EJ.  Se  desea  convertir  un  medidor  con  corriente  de  escala  completa  Ifs  y  resistencia   de  bobina  Rc  en  un  amperímetro  con  lectura  de  escala  completa  Ia   • Ia = la corriente total a través de la combinación en paralelo Ejemplo Diseño de un amperímetro • I26.8 fs = la corriente a través de la bobina del medidor I a − I fs la corriente que pasa a través de la derivación •

(

a

I Va

E d

I

)

¿Qué resistencia de derivación se requiere para hacer que el medidor na es Rc 5 20.0 V, y el medidor presenta una • yLa20.0 diferencia de potencial Vabamperímetro es la mismacon para ambas de 1.00 mA V descrito antes sea un una esca- trayectorias pleta cuando la corriente a través de la bobina la de 0 a 50.0 mA? resistencia de derivación se calcula con la ecu

(

)

I fs Rc = I a − I fs Rsh     (7.7)   SOLUCIÓN EJECUTAR: Se despeja Rsh en la ecuación (2   IDENTIFICAR: Como el medidor se emplea como amperímetro, sus 1 1.00 3 10 2 Ej.  Para  el  medidor  de  antes  (Rc  =  20.0  Ω  y  Ifs  =  1.00  mA),  queremos  transformar   Ifs Rlco   conexiones internas se ilustran en la figura 26.15a. La variable buscada 5 5 R en  un  amperímetro  con  una  escala  de  0  a  50.0  mA  ;  la  corriente  máxima  shes I 2 I 50.0 3 10 23 A 2 a fs es la resistencia de derivación Rsh. I a = 50.0mA por  lo  que  la  resistencia  de  derivación  debe  ser     5 0.408 V PLANTEAR: Se desea que el amperímetro sea capaz I fs Rc de manejar una co23   máxima Is 5 50.0 mA 5 50.0 3 10 Rsh =A. La resistencia = 0.408Ω de la    bobirriente I a − I fs  La  resistencia  equivalente  del  amperímetro  es     RR   Req = c sh = 0.400Ω     Rc + Rsh La  resistencia  de  derivación  es  tan  pequeña  en  comparación  con  la  del   medidor  que  la  resistencia  equivalente  está  muy  cerca  de  ella    

 

 

10  

para

Ia, la corriente a través de la bobina del medidor es Ifs, y la corriente que pasa a través de la derivación es la diferencia Ia 2 Ifs. La diferencia de potencial Vab es la misma para ambas trayectorias; por lo tanto,

Voltímetros  

Ifs Rc 5 1 Ia 2 Ifs 2 Rsh

(para un amperímetro)

(26.7)

b) Voltímetro de bobina móvil

a)   Amperímetro de bobina móvil

|

||

|

||

||

||

Voltímetro  =  dispositivo  que  mide  el   voltaje  (también   milivoltímetro,  etc.   ||||||||||||| ||||||||||||| || ||| || ||| | || | según  sea  la  | e| scala  de   medición)     • Un  voltímetro  mide  la  diferencia   Rc Rc entre  dos  puntos  a   de  potencial   Rs los  que  deben  conectarse  sus   terminales   + – + – • Voltímetro   i deal:   t iene   R a b sh a b I I no   resistencia  infinita,  para   alterar  ninguna  de  las  corrientes   Vb Va Elemento • Voltímetros  reales:  tienen   resistencia  finita,  pero   de circuito suficientemente  grande  para  no   I I   e un amperímetroalterar  las  corrientes  de  manera   apreciable   equiere para hacer   que el medidor na es Rc 5 20.0 V, y el medidor presenta una desviación de escala comRcla=bobina 0.0200V Para   l  medidor   ejemplo,   on   I fsde uede  3extender   la   sea un amperímetro contransformar   una esca- epleta cuandodlael  corriente a ctravés es I  fsse   5p1.00 1023 A. La deRderivación calcula con la   ecuación (26.7). escala  conectando  resistencia un  resistor   con   la  bobina   s  en  serie  se • Sólo  una  fracción  de  la  diferencia  de  potencial  total  parece  cruzar  la  bobina,   EJECUTAR: Se despeja Rsh en la ecuación (26.7) para obtener y  el  resto  parece   atravesar   Rs   se emplea como amperímetro, • Para  sus un  voltímetro  con  lectura   completa   3 10V23V  sAe  2 n1 ecesita   20.0 V 2un  resistor   Ifs Rcde  escala  1 1.00 figura 26.15a. La variableen   buscada serie:   5 Rsh 5 Ia 2 Ifs 50.0 3 10 23 A 2 1.00 3 10 23 A VV = I fs ( Rc + Rs )     (7.8)   5 0.408 V metro sea capaz de   manejar una co3 1023 A. La resistencia de u lana   bobiEj.  Para   escala  máxima  de  10.0V   V   Rs = V − Rc = 9980Ω     I fs La  resistencia  equivalente  es   Req = Rs + Rc = 10000Ω  muy  cerca  de    Rs    

• •

 

 

Un  medidor  de  este  tipo  se  describe  como  “un  medidor  de  1000ohms  por   volt”,  en  referencia  a  la  razón  entre  la  resistencia  y  la  desviación  de  escala   completa   En  operación  normal,  la  corriente  que  cruza  el  elemento  de  circuito  que  se   mide  es  mucho  mayor  que  0.00100  A,  y  la  resistencia  entre  los  puntos  a  y  b   en  el  circuito  es  mucho  menor  que  10,000  V  ⇒  el  voltímetro  sólo  retira  una   pequeña  fracción  de  la  corriente  y  casi  no  interfiere  con  el  circuito  sujeto  a   medición    

11  

tos de corriente directa

Amperímetros y voltímetros en combinación

Con amperímetros y voltímetros prácticos esto no es tan sencillo como parece. En laPodemos   figura 26.16a, eluamperímetro la corriente I en   el resistor R. El voltímetro V, utilizar   n  voltímetro  yA  alee mperímetro   juntos   sin embargo, lee la suma de la diferencia de potencial Vab a través del resistor y la di• La  resistencia  R  de  un  resistor  es  igual  a  la  diferencia   de  potencial   Vab  entre   ferencia sus   de potencial Vbcdaividida   travésedel amperímetro. terminales,   ntre   la  corriente  I Si ⇒ se R =transfiere Vab I     la terminal del voltímetro b, como la figura 26.16b, entonces el voltímetro lee correctamente la • de La  cpaotencia   de  en alimentación   P  a  cualquier   elemento   de  circuito   es  el   diferencia de potencial el amperímetro lee la de la corriente producto   de  la  dViferencia   de  potencial   que  lo  cruza   y  lsuma a  corriente   que  pasa  I en ab, pero ahora el resistor y la corriente por   él ⇒ P = Vab IIV     en el voltímetro. De cualquier forma, se tiene que corregir la lectura deprincipio,   uno u otro a menos que las tan pequeñas • En   la  finstrumento orma  más  directa   de  m edir   R  ocorrecciones  P  es  con  la  msean edición   que se puedan ignorar. simultánea   de  Vab  e  I    

o-voltímetro

b)

a) a

R

b

RA A

a

c

R

b

A

c

I

I

IV V

V

RV

RV

  Con  amperímetros  y  voltímetros  prácticos  esto  no  es  tan  sencillo  como  parece   a) IEl  amperímetro  A  lee  la  corriente  I  en  el  resistor  R;  El  voltímetro  V  lee  la   ón de la resistencia suma  de  la  diferencia  de  potencial  Vab  a  través  del  resistor  y  la  diferencia   de  potencial   Vbc  a  través   del  obtener amperímetro.     V a través del amperímetro a a resistencia desconocida R utilizando PLANTEAR: Para el voltaje bc b)son Si  R se  t5 ransfiere   a  terminal   del  yvoltímetro   e  c  a  b,  el  vseoltímetro   lee  de Ohm. Las resistencias del medidor partirlde su corriente resistencia dconocidas, utiliza la ley V correctamente   l a   d iferencia   d e   p otencial   V ,   p ero   a hora   e l   a mperímetro   ab RA 5 2.00 V (para el amperímetro). Si Después se despejan Vab y la resistencia R. Así, se estará en posibilidad lee  la  A, suma   de  la  corriente  I  en  el  resistor  y  la  corriente  I  en  el   2.0 V y el amperímetro otra de 0.100 de calcular la potencia P que alimenta al resistor. V voltímetro   potencia disipada en el resistor?   EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, Vbc 5 IRA 5 (0.100 A) De  cualquier  forma,  s(2.00 e  tiene   ue  0.200 corregir   ectura   e  uno  de u  oéstas tro  ies nstrumento     V)q5 V y Vla   IR. Ladsuma V 5 12.0 V,apor ab l5 menos  que  las  correcciones  sean  tan  pequeñas  que  se  puedan  ignorar   o da una lectura de la corriente I 5 lo que la diferencia de potencial a través del resistor es Vab 5 V 2 Vbc     voltímetro da la lectura de la diferen- 5 (12.0 V) 2 (0.200 V) 5 11.8 V. Por lo tanto, la resistencia es

s a y c. Si el amperímetro fuera ideal diferencia de potencial igual a cero entro V 5 12.0 V sería igual a la diferenresistor, y la resistencia simplemente )>(0.100 A) 5 120 V. Sin embargo, el stencia es RA 5 2.00 V), por lo que la ad es la suma de las diferencias de poetro) más Vab (a través del resistor).

R5

Vab 11.8 V 5 5 118 V I 0.100 A

La potencia disipada en este resistor es P 5 Vab I 5 1 11.8 V 2 1 0.100 A 2 5 1.18 W

EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia si se utiliza la fórmula alternativa P 5 I 2R. ¿Obtiene usted la misma respuesta?

ón de la resistencia II

ejemplo 26.10 están conectados a un ue se ilustra en la figura 26.16b, y que son las mismas que las del ejemplo e esta nueva resistencia R y de la po-

 

26.10 el amperímetro leía la corriente

EJECUTAR: Se tiene IV 5 V >RV 5 (12.0 V)>(10,000 V) 5 1.20 mA. La corriente real I en el resistor es I 5 IA 2 IV 5 0.100 A 2 0.0012 A 5 0.0988 A, y la resistencia es Vab 12.0 V 5 5 121 V R5 0.0988 A 12   I La potencia disipada en el resistor es

tímetro

ferencia de potencial Vbc a través del amperímetro. Si se transfiere la terminal del voltímetro de c a b, como en la figura 26.16b, entonces el voltímetro lee correctamente la diferencia de potencial Vab, pero ahora el amperímetro lee la suma de la corriente I en el resistor y la corriente IV en el voltímetro. De cualquier forma, se tiene que corregir la lectura de uno u otro instrumento a menos que las correcciones sean tan pequeñas que se  puedan ignorar. Ejemplo    

b)

a) a

R

b

RA A

a

c

R

b

A

c

I

I

IV V

V

RV

RV

  ¿Cuál  es  la  resistencia  desconocida  en  (a)?       de la resistencia I Si  RV  =  10000Ω,  RA  =  2.00Ω,  e  si  el  voltímetro  da  una  lectura  de  12.0V  y  el   0.100A   stencia desconocidaamperímetro   R utilizando I  =PLANTEAR: Para obtener el voltaje Vbc a través del amperímetro a   son RV 5 partir de su corriente y resistencia conocidas, se utiliza la ley de Ohm. istencias del medidor V = 12.0V Usando  la  lSi ey  de   Ohm:   Vse   Vab = IR la   uma  sees       = IRA = 0.200V bc despejan 2.00 V (para el amperímetro). Después Vab y la  yresistencia R.sAsí, estará en posibilidad por   que  A, y  la  resistencia     Vab =de V −calcular Vbc = 11.8V y el amperímetro otra delo   0.100 la potencia P que alimenta al resistor. cia disipada en el resistor? Vab R = con = la 118Ω EJECUTAR: De acuerdo ley  de Ohm, Vbc 5 IRA 5 (0.100 A) I (2.00 V) 5 0.200 V y Vab 5 IR. La suma de éstas es V 5 12.0 V, por       lo que la diferencia de potencial a través del resistor es Vab 5 V 2 Vbc una lectura de la corriente I 5 Ahora,  en  la  configuración  (b)  la  respuesta  será  diferente;   metro da la lectura  de la diferen- 5 (12.0 V) 2 (0.200 V) 5 11.8 V. Por lo tanto, la resistencia es c. Si el amperímetro fuera ideal Usando   la  regla  de  la  uniones   I A = I + IVV ab  donde     V 11.8 R5 5 5 118 V ncia de potencial igual a cero enIV = V RV = 12.0V I 10000Ω 0.100 =A1.2mA   5 12.0 V sería igual   a la diferenLa potencia disipada en este resistor es or, y la resistenciaLa   simplemente corriente  real  I  en  el  resistor  es   I = I A − IV = 0.0988A  y  la  resistencia     00 A) 5 120 V. Sin embargo, el P 5 Vab I 5 V1ab11.8 V 2 1 0.100 A 2 5 1.18 W a es RA 5 2.00 V),   por lo que la R= = 121Ω     I la suma de las diferencias de po- EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia si se utili2   resistor). más Vab (a través del za la fórmula alternativa P 5 I R. ¿Obtiene usted la misma respuesta? El  hecho  que  los  valores  son  casi  igual  es  porque  los  instrumento  de  medición   son  casi  ideal  –  pero  en  practica  debe  tomar  en  cuenta  el  modo  de  utilización         de la resistencia II

plo 26.10 están conectados a un ilustra en la figura 26.16b, y que as mismas que las del ejemplo nueva resistencia R y de la po-

el amperímetro leía la corriente a del voltímetro no era la misma del resistor. Ahora la situación es 5 12.0 V indica la diferencia de pero la lectura del amperímetro I a través del resistor?

de las uniones en b en la figura del volV es la corriente a través   lores dados de V y la resistencia para determinar la corriente I en

EJECUTAR: Se tiene IV 5 V >RV 5 (12.0 V)>(10,000 V) 5 1.20 mA. La corriente real I en el resistor es I 5 IA 2 IV 5 0.100 A 2 0.0012 A 5 0.0988 A, y la resistencia es R5

Vab 12.0 V 5 5 121 V I 0.0988 A

La potencia disipada en el resistor es P 5 Vab I 5 1 12.0 V 2 1 0.0988 A 2 5 1.19 W

EVALUAR: Nuestros resultados para R y P no son demasiado distintos de los resultados del ejemplo 26.10, en que los medidores estaban conectados en forma diferente. Eso es porque el amperímetro y el voltímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en estudio, la resistencia del amperímetro13   RA es muy pequeña, y la del voltímetro RV es muy grande. No obstante, los resultados de los dos ejemplos son diferentes, lo que demuestra que al interpretar las lecturas de amperímetros y

|

|||

ncia es utilizar un medidor de d’Arsonval 26.17 Circuito del óhmetro. El resistor Rs o, que consiste en un medidor, un resistor tiene una resistencia variable, como indica de linterna) conectados en serie (figura la flecha a través del símbolo del resistor. Para emplear el óhmetro, primero se e conecta entreÓhmetros   las terminales x y y.   conecta x directamente y y se ajusta Rs 2 6 . 3 Instrumentos de medicióncon eléctrica 895 ajusta de manera que cuando las terminaÓhmetro   =  método   alternativo   para  m edir   l a   r esistencia     hasta que la lectura del instrumento sea ando R 5 0), el medidor muestre des• Consiste   en  un  muna edidor,   un  resistor  y  una  fuente  (batería  de  linterna)   de cero. Después se conectan x y y a conectados   en  serie   nada conectado a las terminales x y  y, de través del resistor R y se lee la escala. o para medir la (es resistencia utilizar unR medidor de d’Arsonval 26.17 Circuito del óhmetro. El resistor Rs stá abierto decir,  escuando S `), no onocida como óhmetro, en unRmedidor, un resistor • que La  consiste resistencia    se  conecta   entre   tiene una resistencia variable, como indica hay desviación. cualquier valor interecuencia, una bateríaPara de linterna) conectados serie (figura la flecha a través del símbolo del resistor. las   terminales   x  y  y  en Para emplear el óhmetro, se | | | | | | primero | R que del se vavalor a medirde se conecta entre las terminales x y y. || ende R,   y su escala se puede | || | conecta x directamente con y y se ajusta Rs manera queen   cuando erie Rs es variable; se ajusta • mayores La  deresistencia   serie  las Rs  eterminas   ncia R. Corrientes corresponden hasta que la lectura del instrumento sea 0 ` ocircuito (es decir, cuando variable;   R 5 0), elsmedidor una dese  ajusta  muestre de  m anera   de cero. Después se conectan x y y a escala lee hacia atrás en comparación con mpleta. Cuando no hay nada conectado a las terminales x y y, de través del resistor R y se lee la escala. que  cuando  las  terminales  x  y  y  

+

+

|||

|

o entre tales puntos está abierto (es decir, cuando R S `), no están  en  cortocircuito  ( R = 0  ),   onsiguiente, tampoco hay desviación. Para cualquier valor intere mucha precisión, los instrumentos conse puede mvalor edidor   una   | | | | | |E | ación del medidor dependeel   del dem R,uestre   y su escala ||| | || desviación   d e   e scala   c ompleta   R instrumentos electrónicos que dan lectuorma directa la resistencia R. Corrientes mayores corresponden 0 ` s   lee hacia atrás en comparación con queñas, por lo que esta escala os, estables y confiables mecánicamente x y • Cuando  no  hay  nada  conectado   la corriente. metros digitales se fabrican con resistenR → ∞  ),  no   (circuito   abierto,   en las que se requiere mucha precisión, los oinstrumentos con E Rs MV. figura por 26.18 muestra uny  multímehay   corriente   tampoco   nval seLa sustituyen instrumentos electrónicos que dan lectuson máscorriente precisos, estables y confiables en mecánicamente desviación   x irÉstos voltaje, o resistencia un y d’Arsonval. Los voltímetros digitales se fabrican con resisten   R   ada, del orden de 100 MV. La figura 26.18 muestra un multíme• Para   c ualquier   v alor   i ntermedio   d e   R ,   l a   d esviación   d el   m edidor   d epende   mento capaz de medir voltaje, corriente o resistencia en un del  valor  de  R,  y  su  escala  se  puede  calibrar  para  leer  eRn  forma  directa  la   o.

resistencia     tro para medir la  fem de una fuente sin 26.18 Este multímetro digital puede utiliza • útiles. Corrientes   ayores   orresponden   resistencias   más  pequeñas,   por   que   un instrumento que se utiliza para medir fem de cuna fuente usarse sin a  26.18 Estevoltímetro multímetro digital puede como (escala enlo  color otras aplicaciones En mlaesencia, un escala  lee   hacia   atrás   en  comparación   con  lvoltímetro a  escala  q(escala ue  muestra   la   como en color ésta; también tiene otras esta   aplicaciones útiles. En esencia, un usarse rojo), amperímetro (escala amarilla) y potencial desconocida contra una diferenrojo), amperímetro (escala amarilla) y corriente   ensa una diferencia de potencial desconocida contra una diferenóhmetro (escala óhmetro (escalaverde). verde). able y mensurable.   otenciómetro se ilustra laUn figura 26.19a. resisEn  sen ituaciones   que  se  Un requiere   mde ucha   en la figura 26.19a. alambre dealambre resisa las terminales ncia total Rab está conectado precisión,  permanentemente se  usan  instrumentos   a lasdeslizante terminales un contacto c adigitales   través del mectado conocidapermanentemente E1. Se conecta electrónicos   que  dan   lecturas   ecta un fuente contacto deslizante c a través del habrá de medirse. A medida que el a segunda cuya fem E directas  2   afem lo largo alambre la resistencia habrá de de medirse. medida elRcby  entre E2 del •resistencia, Son  mA ás  varía p recisos,   eque stables   es proporcional aq laue   lonalambre de resistencia es uniforme, R cb mecánicamente   de resistencia, laconfiables   resistencia , se desliza el re los puntos c y b.varía Para determinar el valor R decbEentre 2 los  medidores  de  d’Arsonval   seesencuentra una posición en la que el galvanómetro no muestra uniforme, R   cb es proporcional a la lon. Con I2 5 esponde a una corriente nula ade través de seE2desliza el0, la rera determinar el valor E2d,igitales   Los   voltímetros   se  fabrican   as espiras da con   resistencia  interna   uy  elevada  ~   ión en la que el galvanómetro no mmuestra 5 IRcb E2 100MΩ   te nula a través de E2. Con I2 5 0, la re   riente I producida por la fem E1 tiene el mismo valor sin impor     de la fem E2. El dispositivo se calibra sustituyendo E2 por una   da; después, es posible encontrar cualquier fem E2   desconocida 26.19 a) Circuito del potenciómetro.

IR delcbalambre cb con la cual I

5 0 (véase el ejercicio 26.35). b) Símbolo que en un circuito representa un potenciómetro (resistor variable). o funcione, Vab debe ser mayor que E2. la fem E tiene el mismo valor sin impor1 iómetro también se utiliza para cualquier resistor variable, por lo a) E1 sitivo se calibra sustituyendo por una ento de resistencia circular y un contactoEdeslizable controlado + 2 26.19 a) Circuito del potenciómetro. y una perilla. En la figurafem 26.19b ilustra el símbolo para eorio encontrar cualquier E2 sedesconocida 2

representa a cual I2 5 0 (véase el ejercicio 26.35). b) SímboloI que enI Iun circuito I un potenciómetro (resistor variable). er mayor que E26.3 2. sión de la sección Se desea medir la corriente y b aliza a través resistor   de 2 Vresistor que se ilustra en la figurapor 26.12lo 14   a) a paradelcualquier variable, EI1 ! 0 c ción 26.2). a) Para hacer eso, ¿cómo se deben conectar un amperímetro 2 cular y un contacto deslizable + mperímetro y el voltímetro se conectan en seriecontrolado con el resistor de 2 V; necta en serie26.19b con el resistor de 2 V y elel voltímetro se conecta la figura se ilustra símbolo paraentre

go del alambre de resistencia, varía la resistencia Rcb entre e de resistencia es uniforme, Rcb es proporcional a la lonpuntos c y b. Para determinar el valor de E2, se desliza el entra una posición en la que el galvanómetro no muestra e a una corriente nula a través de E2. Con I2 5 0, la reas da

El potenciómetro

E2 5 IRcb

producida por la Potenciómetro   fem E1 tiene el mismo valor sin impor=  instrumento   para  medir  la  fem  de  una  fuente  sin  extraer   se calibra sustituyendo por em E2. El dispositivo corriente   de  ésta   (también  Etiene   ouna tras  aplicaciones  útiles)   2 26.19 a) Circuito del potenciómetro. pués, es posible encontrar cualquier • En   esencia,  fem un  pEotenciómetro   2 desconocida compara  una  diferencia  de  potencial   b) Símbolo que en un circuito representa 0 (véase el cejercicio 26.35). ambre cb con la cual I2 5 desconocida   ontra  una   diferencia  de  potencial  ajustable  y  mensurable   un potenciómetro (resistor variable). que E2. ione, Vab debe ser mayor   o también se utilizaUn   para cualquier variable, por lo a) E1 alambre   de  rresistor esistencia   ab  con   resistencia circular y un contacto deslizable controlado + resistencia   total  R ab  está  conectado   una perilla. En la figura 26.19b se ilustra el tsímbolo para permanentemente   a  las   erminales   de   una  fuente  de  fem  conocida   E1     I I I I   e la sección 26.3 Se  Se desea medir la corriente y conecta   un  contacto   deslizante   c  a   a b és del resistor de 2 Vtravés   que sedilustra en la figura 26.12 el  galvanómetro  G  a  una   c I2 ! 0 2). a) Para hacer eso,segunda   ¿cómo sefdeben un amperímetro uente  conectar cuya  fem   E2  habrá  de   etro y el voltímetro se conectan en serie con el resistor de 2 V; medirse   serie con el resistor de 2 V y el voltímetro se conecta entre G +   etro se conecta entre los puntos b y d y el voltímetro en serie r A  medida   que   contacto   G perímetro y el voltímetro•se conectan entre losel   puntos b y d.c  se   E 2, r desliza   a   l o   l argo   d el   a lambre   d e   sistencia que deben tener estos instrumentos? i) Las resistencias resistencia,   varía  la  rdel esistencia   deben ser mucho mayores que 2 V; ii) la resistencia ampeb) R     cb menor que 2 V; iii) la resisque 2 V y la del voltímetro mucho Si  evoltímetro l  alambre   de  resistencia   es   mucho menor que 2 V y•la del mucho mayor Rcb  es  que proporcional   a   ambos instrumentos deben seruniforme,   mucho menores 2 V. ❚   la  longitud  del  alambre  entre  los   puntos  c  y  b     • Para  determinar  el  valor  de   E2 ,  se  desliza  el  contacto  c  hasta  que  se   encuentra  una  posición  en  la  que  el  galvanómetro  no  muestra  desviación;   esto  corresponde  a  una  corriente  nula  a  través  de   E2     • Con   I 2 = 0  ,  la  regla  de  Kirchhoff  de  las  espiras  da E2 = IRcb     o Con   I 2 = 0 ,  la  corriente  I  producida  por  la  fem   E1  tiene  el  mismo   valor  sin  importar  cuál  sea  el  valor  de  la  fem   E2   o El  dispositivo  se  calibra  sustituyendo   E2 por  una  fuente  de  fem   conocida   o Después,  es  posible  encontrar  cualquier  fem  midiendo  la  longitud   del  alambre  cb  con  la  cual   I 2 = 0       Note:  para  que  esto  funcione,  Vab  debe  ser  mayor  que   E2     El  término  potenciómetro  también  se  utiliza  para  cualquier  resistor  variable  (b),   por  lo  general  con  un  elemento  de  resistencia  circular  y  un  contacto  deslizable   controlado  mediante  un  eje  giratorio  y  una  perilla      

 

15  

26.21 Carga de un capacitor. a) Antes de

C U I DA D O

La

La 26.21 muestralauncarga circuito un hem ca quefigura se cierre el circuito, q es simple igual para estecargar momento Pulmón Pulmón éste, que un elresistor y unsecapacitor en seriu a cero. b) tiene Cuando interruptor cierra conectados tantes, y hemos (enha t 5idealizado 0), la corriente pasa de a E>R. Se la batería (ocero fuente de energía eléctrica) p dades. Para difere A medida que transcurre el tiempo, constante y una resistencia eléctrica igual a cero (r 5 letras 0), y m s usaremos q se acerca a Q , y la corriente i se f varían con el tiem de todos los conductores de conexión. acerca a cero. Se comienza con el capacitor descargado (figura 26.21a Circuitos  R-­‐C   Corazón Como el cap mento inicial, t 5 0, sealcierra a) Capacitor descargado inicio el interruptor, lo que completa e   potencial vbc a t corriente alrededor desituación   la espira ecomience Interruptor En  el  acto  de  cargar  o  descargar  un  capacitor   se  encuentra   una   n  la  que   a cargar el capacito deen Kirchhoff E abierto los efectos prácticos, la corriente comienza el mismodei las  corrientes,  los  voltajes  y  las  potencias  sí  dos cambian   + con  el  tiempo   batería E. La conductoras del circuito, y en todo momento la corriente es co la   dada por la ley d Muchos  dispositivos  importantes  incorporan  circuitos  en  los  que  un  capacitor  se   C U I DA D O Las letras minúsculas significan que 26.21 Carga de un capacitor. a) Antes de hay varia A medida qu carga  y  descarga  alternativamente:  Ej.  marcapasos  cardiacos,  semáforos   que se cierre el circuito, la carga q es igual este momento hemos trabajado con diferencias decial potencial (voltaje v a través ab intermitentes,   luces   e  emergencia   de  los  automóviles  y  unidades  de  flash   a cero. b) Cuando el dinterruptor se cierra tantes, y hemos utilizado letras mayúsculas V, I y Q, respectivame La suma de esto q50 i50 electrónico   (en t 5 0), la corriente pasa de cero a E>R. dades. Para diferenciar entre cantidades que varían con el tiempo el capacitor esty   A medida que transcurre el tiempo, usaremos letras minúsculas, v, i y q para voltajes, corrientes potencial vabyaca t a b c R el tiempo. Carga   de  un  acapacitor   q se acerca Qf, y la corriente i se varían con Se sugiere al lector que en su trabajo siga esta C de la fem E de l acerca a cero. Sea qestá la carg Comodelelcapacitor capacitor de la figura 26.21 al principio des b) Carga a) Capacitor descargado al inicio después de habe potencial vbc aInterruptor través suyo es igual a cero en t 5 0. En ese Interruptor E te en del correspond de Kirchhoff de las espiras, el voltaje vab a través resisto cerrado E + abierto como apreci + batería E. La corriente inicial Cuando(tel5 0) a través delseresistor, y vbc son se dada por la ley de Ohm: Iinterruptor 0 5 vab>R 5 E>R. i

cierra,sea carga, medida su voltaje v aumenta A medida que el capacitor bc que transcurre el cial vab a través del resistor disminuye, lo que corresponde a tiempo, la carga 1q 2q i La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E. Desp en el capacitor q50 i50 Con la regla de incrementa y el capacitor está cargadosepor completo, la corriente baja a a b c la corriente potencialR vab a través a b c C del resistor se vuelve cero. En ese mom R C de la fem E de la batería adisminuye. través del capacitor y vbc 5 E.     Sea q la carga en el capacitor e i la corriente el circuito   b) Carga del capacitor El en potencial cae después de haberse cerrado el interruptor. Asignamos el isen Circuito  R-­‐C:  tiene   u n   r esistor   y   u n   c apacitor   c onectados   e n   s erie   Al despejar en Interruptor E te en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la plac   cerrado + Se  comienza  con  el  capacitor   descargado     como se aprecia en la figura 26.21b. Las diferencias de p Cuando el seinicial,  ty  =v  0 bc,  son • Después,  ei n  cierto  interruptor momento   se  cierra  el  interruptor,  lo  que   cierra, a medida completa  el  circuito  y  permite  que  la  corriente  alrededor  de  la  espira   q vbc 5 vab 5 iR comience  a  cargar  que el  ctranscurre apacitor  el   C tiempo, la carga 1q los   2qefectos   i todos   • Para   rácticos,  la  corriente  comienza  en  el  mismo  instante   en el pcapacitor la regla Kirchhoff de las se obtiene en  todas  las  partes  conductoras  del  cCon ircuito,   y  en  de todo   momento   la  cespiras, orriente  

a

• • •

 

se incrementa y

b es  Rla  misma   en  ctodas   ellas   q la corriente C E 2 iR 2 50 disminuye. Al  principio  el  capacitor  está  descargado,  y  la  diferencia  de  potencial  vbc  a   C través  suyo  es  igual  a  cero  en  t  =  0   El potencial cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y En  ese  momento,  la  regla  de  Kirchhoff  de  las  espiras  implica  que  el  voltaje   Al despejar i en la ecuación (26.9), se encuentra que: vab  a  través  del  resistor  R  es  igual  a  la  fem  de  la  batería   E     q La  corriente  inicial  (t  =  0)  a  través  del  resistor,  I0,  está  dada  por  la  ley  de   E 2 i 5 Ohm:   I 0 = vab R = E R       R RC

16  

que se cierre el circuito, la carga q es igual a cero. b) Cuando el interruptor se cierra (en t 5 0), la corriente pasa de cero a E>R. A medida que transcurre el tiempo, q se acerca a Qf, y la corriente i se acerca a cero.

este momento hemos trabajado con diferencias decial potencial vab a (voltaje través tantes, y hemos utilizado letras mayúsculas V, I y Q, respectivame La suma de esto q50 i50 dades. Para diferenciar entre cantidades que varían el tiempo elcon capacitor esty usaremos letras minúsculas, v, i y q para voltajes, corrientes potencial vabyaca t a b c R el tiempo. varían con Se sugiere al lector que en su trabajo siga esta C

de la fem E de l Sea qestá la carg Comodelelcapacitor capacitor de la figura 26.21 al principio des b) Carga después de habe potencial vbc aInterruptor través suyo es igual a cero en t 5 0. En ese E te en del correspond de Kirchhoff de las espiras, el voltaje vab a través resisto cerrado + como se apreci batería E. La corriente inicial Cuando(tel5 0) a través del resistor, dada por la ley de Ohm: Iinterruptor 5 v >Rse5 E>R. y vbc son

a) Capacitor descargado al inicio +

E

Interruptor abierto

i

0

ab

cierra,sea carga, medida su voltaje v aumenta A medida que el capacitor bc que transcurre el cial vab a través del resistor disminuye, lo que corresponde a tiempo, la carga 1q 2q i La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E. Desp en el capacitor q50 i50 Con la regla de incrementa y el capacitor está cargadosepor completo, la corriente baja a a b c la corriente potencialR vab a través a b c C del resistor se vuelve cero. En ese mom R C de la fem E de la batería adisminuye. través del capacitor y vbc 5 E.     Sea q la carga en el capacitor e i la corriente el circuito • A   m edida   q ue   e l   c apacitor   s e   c arga,   s u   v oltaje   v   a umenta   y   l a   d iferencia   d e   El en potencial cae bc b) Carga del capacitor después de haberse cerrado el interruptor. Asignamos el sen potencial   vab  a  través  del  resistor  disminuye,  lo  que  corresponde  a  una  baja   Al despejar i en Interruptor E te en correspondencia al flujo de carga positiva hacia la plac de   l a   c orriente   cerrado + como se aprecia • La  suma  de  estos  dCuando os  voltajes   es  constante   e  igual   a   Een   la figura 26.21b. Las diferencias de p el y vbc son interruptor se el  capacitor   • Después  de  un  periodo   largo,   está  cargado  por  completo,  la  

i

cierra, ad medida corriente  baja  a  cero   y  la   iferencia  de  potencial  vab  a  través  del  resistor  se   q que transcurre el 5 iR v 5 v ab bc vuelve  cero   C tiempo, la carga 2q • En  i ese  m1q omento   aparece   la  totalidad  de  la  fem   E  de  la  batería  a  través  del   en el capacitor Con la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene capacitor  y   vbc = E se     incrementa y a b c q la corriente   R C E 2 iR 2 5 0 disminuye. C • Sea  q  la  carga  en  el  capacitor  e  i  la  corriente  en  el  circuito  al  cabo  de  cierto   tiempo  t  después  de  haberse  cerrado  Elel  potencial interruptor   cae en una cantidad iR conforme se va de a a b, y • Asignamos  el  sentido  positivo  a  la  corriente   e n   c orrespondencia   al  flujo   e   Al despejar i en la ecuación (26.9), sedencuentra que: carga  positiva  hacia  la  placa  izquierda  del  capacitor   q E • Las  diferencias  de  potencial  instantáneas  vab  y  vbc  son   i5 2 R RC q   vab = iR     vbc =     C • Con  la  regla  de  Kirchhoff  de  la  espiras  se  obtiene     q (7.9)   E − iR − = 0     C • El  potencial  cae  en  una  cantidad  iR  conforme  se  va  de  a  a  b,  y  en   q C  al   pasar  de  b  a  c   • Al  despejar  i  en  la  ecuación  se  encuentra  que:   E q (7.10)       i= − R RC • Conforme  la  carga  se  incrementa,  el  término   q RC se  hace  más  grande  y  la   carga  del  capacitor  tiende  a  su  valor  final,  Qf   • La  corriente  disminuye  y  finalmente  se  vuelve  cero   i = 0     E Qf (7.11)   = ⇒ Q f = CE     R RC Este  resultado  no  depende  de  R      

 

17  

ne corriente pasa de

como funciones del tiempo para el circuito de la figura 26.21. Al principio, la corriente e a cero. La carga dq inicial esdtI y la carga del capacitor vale 52 0 final dado por la corriente tiende a cero en forma q 2 CEcero. LaRC asintótica, y la carga del capacitor se riente lados. i comoPodemos fun- aproxima mbos cambiarenlas variables de aintegración a qr y forma asintótica su corriente (figura valor final Q . f utilizar q y t para los límites superiores. Los límites inferiores

izquierda (positin en la ecuación

RC

O

t

 

a) Gráfica de la corriente contra el tiempo para un capacitort en proceso de carga dtr 5 2i 3

dqr 3 0 qr 2 CE q

carga, la corriente disminuye en forma exponencial con respecto al tiempo.

/ /

I0 2 I0 e

ión y se obtiene:

1

0

I0

2

b) Gráfica de la carga de un capacitor contra el tiempo para un capacitor en proceso de carga q

RC

Qf

q 2 CE t I05 ln /2 2 2CE I0 /e RC

/

Qf e

Conforme el capacitor se carga, la corriente disminuye en forma exponencial con respecto al tiempo.

/

Qf 2

xponencial (es decir, se toma el logaritmo inverso) y se despeja

integración a q r y límites inferiores

RC

O

t

 

O

La carga en el capacitor se incrementa en forma exponencial con respecto al tiempo hacia el valor final Qf. t RC  

q 2 CE 2t/RC Las   geráficas   se  mdeuestran   como   b) 5 Gráfica de la carga un capacitor contralaelcorriente y la carga del capacitor cambian con el 2CEtiempo tiempo para un capacitor en proceso de carga q

• En  el  instante  en  que  el  interruptor  se  cierra  (t  =  0),  la  corriente  pasa  de   /RC 2 5 Qf 1 1 2 e2t/RC 2 Qf (circuito R-C, con E(26.12) capacitor carga) Qaf /  esu  ven cero   alor   inicial  La I 0carga = ;  Después  de  eso,  tiende  gradualmente  a  cero   R en el capacitor se incrementa en forma nea i tan sólo es la derivada con respecto al tiempo de la ecua-en  cero  y  poco  a  poco  se  acerca  al  valor   La  carga  del  capacitor  comienza   Q• f /2 exponencial con final   Q f = CE respecto al tiempo hacia el valor final Qf. generales para q e i: t (26.13) (circuito R-C, RC

erso) y se despeja

dq E Expresión O 5 e2t/RC 5 I0e2t/RC capacitor en carga) dt R Con  el  sentido  positivo  para  la  corriente,  i  es  igual  a  la  tasa  a  la  que  la  carga   positiva   llega  a  la  placa   zquierda   del  capacitor,  por  lo  que     nte son ambas funciones exponenciales del itiempo. La(positiva)   figura dq E q 1 e la ecuación (26.13), y la figura 26.22b es la gráfica de=la ecua   i = − = − ( q − CE )     (26.12) dt R RC RC ) Esto es una ecuación diferencial a variables separables

5

empo de la ecua-

rga)

dq dt =−     q − CE RC

  (26.13)

iempo. La figura gráfica de la ecua-

Podemos  integrar  

∫

 

q

0

t dt ′ dq′ = −∫     0 RC q′ − CE

Como  resultado:     Para  la  carga:   (7.12)  

t − t q − CE ⎛ q − CE ⎞ RC ln ⎜ =− ⇒ = e     ⎝ −CE ⎟⎠ RC −CE

q = CE (1− e−t RC ) = Q f (1− e−t RC )    

La corriente instantánea es la derivada (7.13)  

 

i=

dq E −t RC = e = I 0 e−t RC     dt R

18  

Constante  de  tiempo   Si  R  está  en  ohms  y  C  en  farads,  t  está  en  segundos  

Cuando   t = RC  la  corriente  en  el  circuito  R-­‐C   ha  disminuido   (~  0.368)   de  su   directa 898 C A P Í T U LOa  216e  Circuitos de corriente valor  inicial     26.23 Descarga de un capacitor. a) Antes En  ese  momento  la  carga  del  capacitor  ha  alcanzado   el   1− 1 e  0.632  de  su  valor   Constante d de que el interruptor esté cerrado en el Una vez que el tie final   momento t 5 0, la carga del capacitor es (alrededor de 0.3   Q0 y la corriente es igual a cero. b) En el alcanzado el (1 2 momento t, una queeel El  producto  RC  es  una  medida  de  la  rapidez   con  que   se  cvez arga   l  cinterruptor apacitor   se ha cerrado, la carga del capacitor es q y es una medida de   la corriente es i. El sentido real de la cobre de constante La  constante  de  tiempo  o  tiempo  de  relajación     rriente es opuesto al sentido que se ilustra; (7.14)   τ = RC     t i es negativa. C APÍT U LO 26 Circuitos de corriente directa Después de un tiempo   898 prolongado, tanto q como i tienden a cero. Cuando t es pequ • Cuando  τ  es  pequeña,  el  capacitor  se  carga  con  rapidez     cargado y  el   de carga toma má o Si  la  resistencia  es  pequeña,  ea) s  fCapacitor ácil  que  inicialmente fluya  la  corriente   26.23 Descarga de un capacitor. a) Antes Constante de tiempo Interruptor y el capacitor se capacitor  se  carga  rápido   de que el interruptor esté cerrado en el abierto la figuraen 2 • Cuando  τ  es  grande,  el  proceso  de  carga  toma   ás  que tiempo   Una m vez el tiempo es igual a RC, laEn corriente momento t 5 0, la carga del capacitor es to, i nunca llegam o Más  grande  la  capacitancia  y  más  t(alrededor iempo  se  toma   para  cargar   de 0.368) de suel  valor inicial. En ese Q0 y la corriente es igual a cero. b) En el acercará a ese va capacitor     alcanzado el (1 2 1>e) 5 0.632 de su valor final Qf momento t, una vez que el interruptor se jado a 0.000045 d   ha cerrado, la carga del capacitor es q y es una medida de la rapidez con que se carga el cap Descarga  de  un  capacitor   acerca a la asínto la corriente es i. El sentido real de la co+ Q0 – Q0 de tiempo, o tiempo de relajació brei ! de0 constante   exacto, pero desp rriente es opuesto al sentido que se ilustra; Una   cargado   el  capacitor   retira  la  batería  del  circuito  R-­‐C  yt  s5 e  cRC onectan   los   de 0.000045 (constante de tiempovec pa i esvez   negativa. Después de unse  tiempo a b c R puntos  a  y  c  a  un  interruptor  abierto     RC está expresad C prolongado, tanto q como i tienden a cero.   Cuando t es pequeña, el capacitor se carga con rap a) Capacitor inicialmente cargado Interruptor abierto

+Q0 –Q0

i!0 a

b

R

b) Descarga del capacitor de carga toma más tiempo. Si la resistencia es peq Descarga de Interruptor y el capacitor se carga rápido. Si R está en ohms y Ahora suponga q cerrado

En la figura 26.22a, el eje horizontal es una así Cuando se cierra el carga Q0, se retir to, i nunca llegaráinterruptor, exactamente a cero. Pero cuan tanto la rruptor abierto (fi i acercará a ese valor. Después de que un el tiemp carga en el capacitor se pasa reajusta cro como corriente jado a 0.000045 de su la valor inicial.descarga De manera sim a través –q i disminuyen con el vez, i y Q q acerca a +laq asíntota, la recta horizontalOtra punteada tiempo. to instante despu exacto, bpero después de un tiempo igual a 10 RC c R delalsent C veces el valor de Q. elección de 0.000045 Se invita le regla de Kirchho   RC está expresado en unidades de tiempo.

a

c C

  La corriente i y la carga q del a   Después   s e   c ierra   e l   i nterruptor;     a  t  =  0,  q  =26.24  Q0;  luego,   el  capacitor   se  descarga   b) Descarga del capacitor capacitor como funciones del tiempo para Descarga de un capacitor través  del  resistor  y  su  carga  disminuye  finalmente   a  cero   el circuito de la figura 26.23. La corriente Interruptor La corriente i aho   inicialAhora es I0 y suponga la carga inicial capacitor que del después de que el capacitor d cerrado la placa izquierda     es Q0.carga Tanto Q i como q tienden a cero de R-C yal se 0, se retira la batería del circuito Cuando se cierra manera el do opuesto quec asintótica. cierraese interruptor, tanto la rruptor abierto (figura 26.23a). Después rrienteseinicial i a) Gráfica de la corriente contra el tiempo carga en el capacitor se reajusta el cronómetro a t 5 0; enPara ese encontra momen para un capacitor en descarga como la corriente descarga a través del resistor y su carga disminuye vo se cambian lo i +q –q i disminuyen con el los límites Otra vez, i y q representan la corriente y lapara cargq tiempo.

a

 

R

b

c C

19   I0 /e

/

I0 2

26.24 La corriente i y la carga q del

RC

t se hizo la conexión. En instante después de que elección del sentidoLapositivo corriente para la corriente qu regla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (2 disminuye en forma

O to

exponencial a medida que se descarga el capacitor. (La

dq

q

carga en el capacitor se reajusta el cr

to, i nunca llegará exactamente Pero cuanto más tiempo comoa lacero. corriente descarga a travé acercará a iese valor. de que pasa igual a 10RC, + q Después –q disminuyen conuneltiempo Otra vez, i y jado a 0.000045 de su valor inicial. De manera similar, la curva de tiempo. to instante desp acerca a a laRasíntota, b la recta c horizontal punteada Qf. La carga q nu +Q0 –Q0 elección del sen exacto, pero despuésC de un tiempo igual a 10 RC, la diferencia e i!0 regla de Kirchho Usando  la  misma  dirección  que  antes  para   a  corriente,   la  rel egla   de  K de  las  al lector a comprob de l0.000045 veces valor deirchhoff   Q. Se invita a b c R = 0está espiras  da  la  ecuación   (6.10)  pero  con   ERC     expresado en unidades de tiempo. C dq 26.24 q La corriente i y la carga q del (7.15)       como funciones del tiempo para i = = − capacitor b) Descarga del capacitor dtDescarga RC un capacitor el circuito dede la figura 26.23. La corriente Interruptor La corriente i ah   inicial es I y la carga inicial 0 Ahora suponga que después de del quecapacitor el capacitor de la figura 26.21 cerrado • La  corriente  i  ahora  es  negativa;  esto   se  0.dTanto ebe  ai  qcomo ue  la  qcarga   positiva    está   la placa izquierd es Q tienden a ceroqde carga Q0, se retira la batería del circuito R-C y se conectan los pun Cuando se cierra el do opuesto al qu saliendo  de  la  placa  izquierda  del  cmanera apacitor,   por  lo  que  la  corriente  va  en   asintótica. interruptor, tanto la rruptor abierto (figura 26.23a). Después se cierra el interruptor y en i sentido  opuesto     rriente inicial es carga en el capacitor se reajusta el de cronómetro t 5 0;el en ese momento, q 5 Q0. Lue a) Gráfica la corrienteacontra tiempo • En  el  momento  como t  =  0,  laccorriente uando  q  =  Qdescarga Para encontr 0,  la  corriente  inicial  es   I 0 = −Q0 RC     través delenresistor para una capacitor descargay su carga disminuye finalmente a ce –q disminuyen con el vo como se cambian • iPara  e+q ncontrar   q  en  función   del  tiempo   e  reordena   la  ecuación   (6.15)  cyon   Otraisvez, i y q representan la corriente la carga funciónl tiempo. loslalímites para límites  de  integración  de  Q0  a  q   to instante después de que se hizo la conexión. En figura 26.23b a b c q dq′ R 1 telección del q sentido t RC positivo para la tcorriente que en la figura 26 C       dt ′ ⇒Oln =− ∫Q0 q′ = − RC ∫0regla Q0 RCde las espiras da la ecuación (26.10) pero con E de Kirchhoff La corriente I e 0/   dq q disminuye en forma I 2 26.24 La corriente i y la carga q del i 5 que5 2 (7.16)   q = Q0 e0−t/ RC     exponencial a medida dt RC capacitor como funciones del tiempo para se descarga el capacitor. (La  el circuito de la figura 26.23. La corriente iaahora negativa; esto su se sendebe a que la carga positiva corriente esesnegativa porque La  corriente   es  lcapacitor a  derivada  cLa on  corriente rIespeto   l  tiempo     inicial es I0 y lainstantánea   carga inicial del 0 tido es opuesto al que sede ilustra en la 26.23b, por lo que la co del capacitor la figura es Q0. Tanto i como q tienden a cero de dq la placa Q0 −tizquierda RC figura 26.22.) (7.17)       i = = − e do opuesto al que se ilustra en la figura. En el momento t 5 0, cuaq manera asintótica. dt RC rriente inicial es I0 5 2Q0>RC. b) Gráfica de la carga del capacitor contra a) Gráfica de la corriente contra el tiempo La corriente ins Para encontrar q como función del tiempo se reordena la ecuaci el tiempo para un capacitor en descarga para un capacitor en descarga vo se cambian los nombres de las variables a qr y tr, y se procede q i los límites para qr son de Q0 a q. Se obtiene RC

O

/ /

I0 e I0 2

I0

t

La corriente disminuye en forma exponencial a medida que se descarga el capacitor. (La corriente es negativa porque su sentido es opuesto al que se ilustra en la figura 26.22.)

Q0

/ /

Q0 2 Q0 e O

i5

La carga en el capacitordqr disminuye1 dtr 52 3 en forma exponencial a medida RC 30 Q0 qr que el capacitor se t En la figura 26.2 descarga.q q

t

ln

RC

q 5 Q0e2t/RC

Q0 t

52

RC

cero en forma ex ecuaciones (26. idénticas, aparte

  (circuito R-C, capacitor en descar

  Las   e cuaciones   c omo   l as   g raficas   s on   el  opuesto  que  se  obtuvo  para  la  carga  del   b) Gráfica de la carga del capacitor contra La corriente instantánea i es la derivada de ésta con respecto al tiem capacitor     el tiempo para un capacitor en descarga •q La  carga  del  capacitor  tiende  a  cero  de  manera  asintótica;  en  tanto  que  en  la   (circuito R-C, ecuación  (6.12)  es  la  diferencia  entre  q  y  Q  la  que  dq tiende  aQ  c0ero   en  forma   i5 e2t/RC 5 I0e2t/RC 52 Q0 capacitor en de asintótica   La carga en el capacitor disminuye dt RC en forma exponencial a medida     Q 0 /2 que el capacitor se En la figura 26.24 están graficadas la corriente y la carga; ambas ca Q0 /e descarga. cero en forma exponencial con respecto al tiempo. Al comparar los ecuaciones (26.12) y (26.13), se observa que las expresiones pa t O RC idénticas, aparte del signo de I0. En la ecuación (26.16), la carga de

 

20  

Hay  consideraciones  sobre  la  energía  que  amplían  nuestra  comprensión  del   comportamiento  de  un  circuito  R-­‐C   • Mientras  el  capacitor  se  carga,  la  tasa  instantánea  a  la  que  la  batería  entrega   energía  al  circuito  es   P = Ei     • La  tasa  instantánea  de  disipación  de  energía  es   i 2 R     q • La  tasa  a  que  la  energía  se  almacena  en  el  capacitor  es   ivbc = i     C   Al  multiplicar  la  ecuación  (6.9)  por  i  se  obtiene:   iq (7.18)   Ei = i 2 R +     C   Esto  significa  que  de  la  potencia   P = Ei  suministrada  por  la  batería,  una  parte i 2 R se  disipa  en  el  resistor  y  otra  parte   i q C se  almacena  en  el  capacitor     • La  energía  total  suministrada  por  la  batería  durante  la  carga  del  capacitor   es  igual  a  la  fem  de  la  batería   E  multiplicada  por  el  total  de  la  carga  Qf,  o EQ f    

 

 

•

La  energía  total  almacenada  en  el  capacitor,  es   EQ f 2  (ver  capitulo  4  sobre  

•

energía  potencial  eléctrica),  exactamente  la  mitad  de  la  energía   suministrada  por  la  batería     Esta  división  por  la  mitad  de  la  energía  no  depende  de  C,  R  o   E    

21