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Capítulo 4 Geometría Plana 1) En la figur a: ABCD par alelogr amo AC diagonal. a) Pr obar que D ABC = D ADC. b) Si el ÐB = 110º y ÐBAC = 30º, calcula la amplitud del ÐBAD y del ÐDAC. c) Si el P(D ABC) = 11 cm y el P(ABCD) = 12 cm, halla la longitud de AC . 2) En la figur a: AC y BD se cor tan en O, O es punto medio de AC , B AB // CD . a) Pr obar que D AOB = D COD. b) Si el A(D AOB) = 15 cm 2 , halla el ár ea de la figur a. c) Si el ÐAOD = 140º y ÐD = 50º, clasifica el D AOB.
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3) En el DABC: CD altur a r elativa a AB , AB = 2 AD . a) Pr obar que D ACD = D CDB. b) Clasifica el D ABC según sus lados. c) Si el A(D ABC) = 18 m 2 y AD = 600 cm, calcula CD . 4) En la figur a: EG y HF se cor tan en O, O es punto medio de EG , EF // GH . a) Pr ueba que EF = HG . b) Si el A(EFOGH) = 30 dm 2 , y el A(DEOH) = 6,0 dm 2 , calcula el A(D HOG). c) Si el ÐEOF = 30º y el ÐEFO = 65º, calcula el ÐG. 5) En la figur a: ABCD r ectángulo, E es el punto medio de AB . a) Pr obar que D ADE = D CBE. b) Si el A(ABCD) = 50 m 2 y AB = 100 dm,
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calcula el A(D DEC) y el P(ABCD). c) Clasifica el D ADE según la longitud de sus lados. 6) En el par alelogramo MNPQ: S punto de QP y R punto MN , Q S ÐMRQ = ÐPSN. a) Pr ueba que QR = NS . b) Si el A(DMRQ) = 8,2 cm 2 y el A(MNPQ) = 25 cm 2 , M R N calcula el A(QRNS). c) Si el ÐSNR = 72º y el ÐMQR = 28º, halla los ángulos inter ior es de MNPQ. 7) En el tr apecio isósceles ABCD: D E punto de la base AB , ÐAED = ÐCEB. a) Pr obar que D ADE = D CBE. A E b) Si AB = 10 cm, DC = 8,0 cm y la distancia entr e AB y CD es de 42 mm, calcula el A(ABCD) y el A(D DEC). c) Si el P(ABCD) = 26,6 cm, halla la longitud de BC . 8) En la figur a: MNPQ r ectángulo, R punto de QP y ÐQRM = ÐPRN. a) Pr obar que PQ = 2 QR . b) Si el ÐQMR = 33,7º, calcula el ÐMRN. c) Si MN = 20 m y A(MNPQ) = 300 m 2 , calcula el P(MNPQ) y el A(D MRN). 9) En la figur a: ÐABC = ÐACB, D, B, C y E puntos alineados, DB = EC . a) Pr ueba que el D ADE es isósceles de base DE . b) Si el A(D ADE) = 60 cm 2 , DE = 1,0 dm y BC = 5,0 cm, calcula el A(DADB). c) Si el ÐDAE = 45,2º y el ÐABC = 75,4º, calcula el ÐDAB. 10) En el par alelogramo ABCD: M y N puntos de AD y BC r espectivamente, AM = NC . a) Pr obar que D AMB = D NCD. b) Pr ueba que BMDN es un par alelogr amo. c) Si el P(ABCD) = 24 dm , AB = 0,5 m y MDNB es
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un cuadr ado de 16 dm 2 de ár ea, calcula el A(ABCD). 11) En el D ABC: P, Q y R puntos de AB , BC y AC r espectivamente, D PQR isósceles de base PQ ,
B P
PQ // AC y ÐA = ÐC. a) Pr obar que D APR = D RQC. b) Si AR = PQ y el A(ACQP) = 18 dm 2 , calcula el ár ea del D APR.
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12) En la figur a: D ABC equiláter o, F punto de AC tal que
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AC = 2 y AF
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A C DE par alela media del D ABC. F a) Pr obar que D ADF = D FEC. b) Calcula la amplitud del ÐFDE. c) Si el P(D ABC) = 12 cm, halla la r azón entr e el per ímetr o del D ABC y el del DEDF. 13) En la figur a: O punto de inter sección de las diagonales del cuadr ilátero PBTC, PT = 2 OP , PB ^ BC y ÐBCT = 90º. a) Pr obar que D BOP = D OCT. b) Demuestr a que BTCP es un par alelogramo. c) Pr ueba que A(DBOP) = A(D OCP). d) Si el A(D BOP) = 12 m 2 , calcula el ár ea de BTCP.
P O
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14) En el r ectángulo MNRS: T punto de MN y P punto de SR , ÐMTS = ÐNPR. a) Pr obar que D SMT = D PRN. b) Demuestr a que SPNT es un par alelogr amo. c) Si el A(MNRS) = 60 m 2 , SR = 10 m y MT = 4,5 m, calcula el ár ea de SPNT.
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15) En el D ADE: B y C p untos de DE , DC = BE , ÐABC = ÐACB. a) Pr obar que ÐDAB = ÐCAE.
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b) Si DB = 3,0 cm y la distancia de A hasta DE es de 8,0 cm, calcula el ár ea del DACE. A 16) En la figur a: O AB ^ BC , AC Ç BD = {O}, ÐDCB = 90º, ÐDBC = ÐACB. a) Pr obar que D AOB = D COD. B b) Pr ueba que ABCD es un r ectángulo. c) Si el A(ABCD) = 18 cm 2 y AB = 0,3 dm, calcula el A(D BOC). 17) En el cuadr ado ABCD: E y F puntos de DC , DE = FC , G punto de inter sección de EB y AF . a) Pr ueba que AF = BE . b) Pr ueba que el D AGB es isósceles de base AB . 3 c) Si el A(ABCD) = 100 m 2 y DF = BC , 5 calcula el A(D AFC). d) Si el ÐGAB = 59º , calcula ÐEGA y ÐDEG.
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D E
F C G
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18) En la figur a: C A, D, B y E puntos alineados, CA ^ AE , AD = BE , G ÐC = ÐF, ÐFED = 90º A D G punto de inter sección de CB y DF . a) Pr obar que D ABC = D DEF. b) Sabiendo que DF ^ CB y FE = 4,6 cm, calcula el ár ea del D ABC. 19) En la figur a: AB = AC , DA = AE , O punto de inter sección de BE y DC , D y E puntos de AB y AC r espectivamente. a) Pr obar que CD = BE . b) Pr obar que el D BOC es isósceles de base BC . c) Si el ÐA = 70º y el ÐBOC = 120º, calcula el ÐDBO. 20) En la figur a: ABCD par alelogr amo, AM = CN , M y N puntos de la diagonal AC . a) Pr obar que MDNB es un par alelogr amo.
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A D
E O
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C N
M A
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b) Si el A(DADC) = 80 dm 2 , AC = 10 dm y MN = AM + NC , halla el A(M DNB). D 21) En el par alelogramo ABCD, F DE y BF distancias desde D y B a AC r espectivamente. E A a) Pr obar que DE = BF . b) Pr ueba que DFBE es un par alelogramo. c) Si el P(ABCD) = 70 cm y AC = 25 cm, calcula el P(D ABC).
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22) En la figur a: AB = AC , E punto de BC , D punto de AE , ÐDBC = ÐDCB. a) Pr ueba que AE es altur a del D ABC r elativa a BC . b) Si el ÐBAC = 73,8º y el ÐBDC = 96,8º , calcula ÐABD. c) Si el A(D ABC) = 27 m 2 y DE = 2 AD , halla el ár ea del DBDC.
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23) En el par alelogramo ABCD, AE cor ta a DC en su punto medio F, B, C y E puntos alineados. a) Pr ueba que AD = CE . b) Pr ueba que C es punto medio de BE . c) Pr ueba que el A(ABCD) = A(DABE ).
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24) En la figur a: ABCD cuadr ado, D MDN isósceles de base MN , A y C puntos de MN . a) Pr ueba que D MDA = D DCN. b) Si el A(D MDA) = 4,0 cm 2 y AB = 0,03 m, calcula el ár ea del DMDN. c) Halla la amplitud del ÐM, si ÐMDA = 20º. 25) En la figur a: ABCD r ectángulo, AEDF cuadr ado. a) Pr ueba que el DBEC es isósceles de base BC . b) Si AD = 3,0 cm y DC = 12 cm, calcula A(D DEA) + A(D CEB). c) Si el ÐBEC = 60 º, halla el ÐDEC.
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N D C
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F E A
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26) En la figur a: C punto medio de BD , DACE isósceles de base AE , AE // BD . a) Pr obar que ABDE es un tr apecio isósceles. b) Si el ÐB = 2x + 10º y ÐBAE = 5x – 40º, calcula la amplitud de los ángulos inter ior es del tr apecio. 27) En la figur a: AB = ED , BC = DC , O punto de inter sección de AD y BE A, B, C y C, D, E puntos alineados. a) Pr obar que AD = BE . b) Pr obar que BO = OD . c) Si el ár ea de la figur a es de 19 m 2 y el A(D ACD) = 12 m 2 , calcula el ár ea de BCDO.
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A O B
D C
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28) En la figur a: BE // CD , C BC mediana r elativa a AE en el D ABE, ÐE = ÐEBC. A B D a) Pr obar que D ACD = D DCB. b) Si el A(D ABE) = 24 m 2 , EB ^ AB y BE = 8,0 m, calcula el ár ea del D CBE. 2 c) Si el ÐE = ÐA, halla la amplitud del ÐE y la del ÐA. 3 29) En la figur a, ABCD r ombo, D E y F puntos de DC y BC r espectivamente, E DAFE isósceles de base EF , M ÐDAE = ÐFAB. A M punto de inter sección de BE y DF . a) Demuestr a que DF = BE . F B b) Si A, M y C son puntos alineados, A(ABCD) = 36 m 2 , AC = 120 dm y AM = 7,0 m, calcula el ár ea del D AMD. 30) En el r ectángulo MNPQ, QS y NR bisectr ices de los ángulos MQN y PNQ r espectivamente R y S puntos de QP y MN r espectivamente. a) Pr obar que D MQS = D RPN.
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b) Pr obar que D NQS = D RNQ. c) Si el ár ea de MNPQ es 85 cm 2 , MN = 10 cm y RP = 0,03 m, halla el ár ea de SNRQ. 31) En la figur a: C D ABCD y DEFC tr apecios isósceles, E y F puntos de AB . a) Pr obar que AE = FB . A B F E b) Si el A(DCFE) = 10 cm 2 , AE = 0,2 dm, la altur a del tr apecio es igual a 2,0 cm y AD = 2,3 cm, calcula el P(ABCD). 32) En la figur a: D QRD y D QOD isósceles de base común QD ,
R N
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N y M puntos de QR y DR r espectivamente, O punto de inter sección de QM y DN . Q D a) Pr obar que QN = MD . b) Pr obar que NR = RM . c) Si el P(D QRD) excede en 8 cm al P(D QOD), demuestr a que RQ – QO = 4. D 33) En el r ectángulo ABCD, C CE bisectr iz del ÐDCA, E AF bisectr iz del ÐCAB, F E punto de AD y F punto de BC . A B a) Pr ueba que EAFC es un par alelogramo. b) Si ED = 2,0 m, AB = 8,5 m y el A(ABCD) = 42,5 m 2 , calcula el ár ea de EAFC. c) Si el ÐDCA = 38º, halla el valor del ÐAEC.
34) En la figur a: ABCD cuadr ado, ED = CF , A, O, C y F ; B, O, D y E puntos alineados. a) Pr obar que D AFB = D AEB. b) Pr obar que D AOE = D BOF. c) Pr obar que D ADE = D BCF. d) Si el A(ABC D) = 18 m 2 y CF = 2,0 m, calcula el A(DBOF) y el A(D BCF ). e) Si el ÐE = 28º, calcula el ÐEAD. 35) En el cuadr ado ABCD: AD = 2 AH , EC = FB , E y F puntos de DC y AB r espectivamente. a) Pr obar que ÐDEH = ÐHFA.
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C O
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b) Si BC = 4,0 cm y FB =
1 AB , 4
calcula el ár ea r ayada. 36) En la figur a: C E AC // DE , CB // EF , G AD = BF A, D, B y F puntos alineados, BC y DE se cor tan en G. F A D B a) Pr ueba que BC = EF . b) Si AC = 6,0 cm , CB = 8,0 cm, ÐDGB = 90º y el A(D GDB) = 6,0 cm 2 , calcula el ár ea del cuadr ilátero GBFE. 37) En la figur a: C E ÐGDB = ÐGBD, ÐC = ÐE, G CG = GE BC Ç DE = {G}, A B F D D y B puntos de AF . a) Pr obar que AB = DF . b) Pr obar que AD = BF . c) Si AC // DE , CB = 10 cm, AB = 12 cm y BG = 4,0 cm, calcula el per ímetr o del D DBG. 38) En la figur a: ABCD y ABMN paralelogramos, D, C, M y N puntos alineados. a) Pr ueba que D DAN = D CBM. b) Si AB = 2,0 dm, CN = 0,3 dm y el A(D CBM) = 6,9 dm 2 , calcula el ár ea de ABMD.
C
D
39) En la figur a: D ADC isósceles y r ectángulo en D, B punto medio de AC , BF ^ AD , D BEC r ectángulo en E, F y E puntos de AD y DC r espectivamente. a) Pr obar que FB = BE . A b) Pr ueba que BEDF es un cuadr ado. c) Si AC = 8,0 cm, calcula el ár ea del cuadr ado BEDF.
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D E
F
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40) En la figur a: ABCD y AEFG cuadrados. a) Pr ueba que GD = EB .
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D
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F G
E A
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b) Si el ÐABE = 35º, calcula el ÐGDC. c) Si el P(D AEB) = 16 cm y EB = 7,0 cm, calcula la suma de los per ímetr os de los dos cuadr ados. 41) En el DABC: DÎ AB , EÎ CB , DE ^ CB , ÐA = 90º, CD es la bisectr iz del ÐACB. a) Pr ueba que AD = DE . b) Si el A(D ABC) = 96 cm 2 , y el A(D ADC) r epr esenta el 45% del A(D ABC), calcula el A(D DBE). c) Pr obar que el ÐEDB = 2ÐACD. 42) En la figur a: ABCD par alelogr amo, B punto medio de CF , DE // GF , G y E puntos del lado AB . a) Pr obar que DE = GF . b) Si el P(ABCD) = 52 cm, EB = 4,0 cm y DE = 0,19 m, calcula el P(DEBC).
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E A
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D 43) En la figur a: ABCD y BMNP r ombos ÐABC = ÐPBM, P A, P y N puntos alineados. a) Pr ueba que AP = CM . A b) Si AP = PN , el P(PBMN) = 10 cm y AB = 4,5 cm, halla el per ímetr o del pentágono ABMCD.
44) En el D ABC r ectángulo en C, CFED cuadr ado, M punto de inter sección de CB y EF , D y E puntos de AB . a) Pr ueba que AD = MF . b) Clasifica el cuadr ilátero CMED. c) Si CF = 4,0 m y FM = 300 cm, calcula el ár ea del cuadr iláter o CMED.
C N M B
A D E C
M
B
F D
45) En el r ombo ABCD, O punto de inter sección de sus diagonales, A, C y E puntos alineados. a) Pr obar que DE = BE . b) Si el ÐCDE = 35º y el ÐBEC = 25º, calcula
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O C
E
el ÐBCE y el ÐABC. c) Si CE = 4,0 cm , AC = 0,12 m y el A(ABCD) = 96 cm 2 , calcula el A(D DCE). 46) Sean ABCD y BEFG cuadr ados. a) Demuestr a que CE – AG = 0. b) Si el P(D ABG) = 16 cm, la distancia de C a G es 4,0 cm y AG = 7,0 cm, calcula el P(D CBG).
B
D
G
A
47) En el D MNP: PR altur a r elativa a MN , PSRT r ombo, S y T puntos de MP y PN r espectivamente. a) Pr ueba que D MRS = D RNT. b) Pr ueba que el D MNP es isósceles de base MN . c) Si el P(D MNP) = 26 m y PR = 8,0 m, calcula el P(D MRP). d) Si MRTS es un par alelogramo y MN = 4,0 m, halla el ár ea del r ombo. 48) En la figur a: D ABC isósceles de base AB , AHED par alelogr amo, ÐG = ÐF y ÐGAC = ÐFEC, D, E y H puntos de AC , BC y AB r espectivamente, H, E y F puntos alineados. a) Demuestr a que GH = DF . b) Si el ÐEHB = 65º, halla los ángulos inter ior es del D ABC.
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B E P
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T
M
R
N
C G
D
E
A
49) En el tr apecio isósceles ABCD, D DEC isósceles de base DC , M y N puntos de AB , D, M y E ; C, N y E puntos alineados. a) Pr ueba que el D AEB es isósceles de base AB . b) Si el A(ABCD) = 26 cm 2 , CD = 5,0 cm, AB = 8,0 cm y A(DAEB) = 8,0 cm 2 , halla el A(DDEC). 50) En la figur a: ACED y CBGF cuadrados iguales, AR = PB A, P, R y B puntos alineados. a) Pr obar que el D CPR es isósceles
F
H
B
C
D
M
A
N
B
E
E
F C
D
G
A
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R
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de base PR . b) Si A(ACED) = 16 m 2 y P(CEDAB) = 21 m, calcula el P(D ABC). 51) En la figur a: BFGE y ABCD cuadrados, D, C y F puntos alineados, E punto de AD . a) Pr obar que AE = CF . b) Calcula el ár ea y el per ímetr o del cuadr ilátero EBFD, si el A(BFGE) = 100 cm 2 , el A(ABCD) = 64 cm 2 y AD = 4 DE .
52) En la figur a: BCIH r ectángulo, G punto medio de HI , A, B, C y D puntos alineados, FC y BE se cor tan en G, AF // BE , ED // FC y FG = GE . a) Pr obar que D HGB = D GIC. b) Pr obar que D AFC = D BED. c) Pr obar que A(ABGF) = A(CDEG).
G
D
C
A
B
F
E
E
F
H
G
B
A
I
C
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53) En la figur a: C F D ABC isósceles de base CB , E D AF ^ CB en el punto M, DC = GB , M H E y H puntos de inter sección de DF y GF con CB r espectivamente. A B G a) Pr obar que D ADF = D AGF. b) Pr obar que CE = HB . c) Si el P(D ABC) = 16 m y AF = 8,0 m, halla la longitud de la poligonal FACM.
54) En la figur a: ABCD r ombo, MN // DB , MÎ DC , NÎ BC , P punto de inter sección de MN y AC . a) Pr obar que DM = BN . b) Si la par alela media de BNMD es igual a 12 m, AC = 16 m y P punto medio de OC , calcula el ár ea del cuadr iláter o BNMD.
D M A
P O N B
C
55) En la figur a: B F AB // EF , BN // EM , AC // DF , C M BD = CE , C y D puntos de BE , N D N y M puntos de AC y DF r espectivamente. a) Pr obar que D BCN = D DME. E A b) Pr obar que AEFB es un par alelogr amo. c) Si el P(AEFB) = 60 cm y BE = 200 mm, calcula el P(D BAE). x d) Si el ÐBEF = 80º, ÐABN = – 10º y ÐNBC = x – 30º, halla el ÐABN. 2 56) En la figur a: C D EFC isósceles de base EF , E y F puntos medios de DF y EG r espectivamente, D E F G DG // AB , A, E, C y C, F, B puntos alineados. a) Pr obar que ABGD es un tr apecio isósceles. A B b) Si el A(ABFE) = 22 dm 2 , AB = 8,0 dm y EF = 3,0 dm, halla el ár ea del tr apecio ABGD. 57) En la figur a: PM = PN , ÐPQR = ÐPRQ, STRQ r ectángulo, Q y R puntos de PM y PN r espectivamente a) Pr obar que MS = TN . b) Si el ÐP = 60º, calcula el ÐMQS. c) Si el P(STRQ) = 20 cm y RT = 7,0 cm, halla el P(D QPR).
P
R
Q
N
M S
58) En la figur a: ABCD r ectángulo, AB bisectr iz del ÐCAE, C, B y E puntos alineados. a) Pr ueba que DADC = DABE. b) Si el A(ABCD) = 12 cm 2 , halla el ár ea del cuadr iláter o ADCE. 59) En la figur a: D ABC r ectángulo en A, CD mediana r elativa a AB en el D ABC, ÐACD = 45º y DEFB cuadr ado.
T
D
C
A
B E
C
B A
D
E
F
a) Pr ueba que D ADC = D EFB. b) Si el A(EFBD) = 16 cm 2 y CD = 5,7 cm, halla el P(D ADC). 60) En la figur a: ABCD r ectángulo, CE // BF , DE // AF , E punto de AB . a) Pr ueba que DE = AF . b) Demuestr a que el ár ea del D AFB es igual a la mitad del ár ea del r ectángulo. c) Si el P(ABCD) = 30 dm, DC = 90 cm y
C
D
A
B
E
F
AE 1 = , halla la amplitud del ÐBCE. AB 3
61) En la figur a: MNPQ r ombo, R y T puntos de MQ y PQ r espectivamente, ÐMNT = ÐRNP. a) Pr obar que D RNT es isósceles de base RT . b) Pr obar que D RQT es isósceles de base RT . c) Si el A(D MNR) = 10,5 cm 2 , la altur a r elativa a NR en el D MNR es de 35 mm y NR : RT = 3, halla el per ímetr o del D NRT.
M
R
N
Q T
P
62) En la figur a: O punto de inter sección de las diagonales D C del par alelogr amo ABCD, E y F puntos de AD y BC r espectivamente, F E E, O y F puntos alineados. O a) Pr obar que EO = OF . A B b) Si G es un punto del lado AB , tal que 1 BG = AG y el ár ea del DCGB = 6,0 cm 2 , halla el ár ea del par alelogr amo ABCD. 2 63) En la figur a: A, E y C puntos alineados, CA bisectr iz del ÐBCD, BA ^ AD , ÐCAD = ÐCDA, ÐB = 60º y ÐAED = 120º. a) Pr ueba que D ABC = D ECD. b) Halla la amplitud del ÐADE.
B C
E
A
D
64) En la figur a : AC // EB , CE = 2 CD , D punto de inter sección de AB y CE . a) Pr ueba que CD es mediana r elativa al lado AB en el D ABC. b) Si el ár ea del D DEB = 12 dm 2 , halla el ár ea del pentágono ADEBC.
C
A
E
65) En la figur a: ABCD r ombo, DE = BF , E y F puntos de DC y BC r espectivamente. a) Pr ueba que AC es la bisectr iz del ÐEAF. 1 b) Si DE = DC y el ár ea del r ombo es 40 cm 2 , halla el 4 área del D ABF. c) Si el ÐD = 40º y el ÐDAE = 20º, halla la amplitud del ÐEAF. 66) En la figur a: MNFE r ectángulo, MNCB cuadrado, ÐAEF = ÐDFE, M y N puntos de AD . a) Pr ueba que EFDA es un tr apecio isósceles. b) Pr ueba que EB = FC . c) Si el ÐMFC = 50º, halla la amplitud del ÐFMC. d) Si el ár ea del D FMC es de 12 cm 2 , halla el ár ea de EFCB.
67) En la figur a: EBFC r ombo, AD // CB , O punto de inter sección de las diagonales del r ombo, E punto medio de AD . a) Pr obar que AB = DC . b) Si ABCD es un cuadr ado de 121 dm 2 de área,
B
D
D E A
D E
C
A
F B
B
M
C
N
A
D
E
F
C O B
F
halla el ár ea del r ombo EBFC. c) Si el ÐCFB = 78,6º , halla el ÐDCE.
68) En el cuadr iláter o MNPQ: R punto medio de MN , QP // MN , QR = RP ,
Q
P
a) Pr ueba que QM = NP . b) Demuestr a que el A(D QMR) =
A( D QRP ) 2
c) Si el ÐQRP = 3x + 10º y el ÐRQP =
M
.
N
R
x + 45º, 2
halla la amplitud del ÐQRM. 69) En la figur a: R y S puntos de QP y MN r espectivamente, MSPR par alelogr amo, ÐQMN = ÐQPN. a) Pr ueba que QP = MN .
Q
b) Pr ueba que QM // NP .
M
R
P
S
N
c) Si MS = NP = 3,0 cm, MN ^ NP y el ár ea de MNPQ es 12 cm 2 , halla el ár ea del D SNP. 70) En la figur a: D MNP equiláter o, M NPQT tr apecio de bases NP y QT , ÐTNP = ÐQPN S S y R puntos de inter sección de MN y MP T con TQ r espectivamente. a) Pr ueba que D TNS = D PRQ. N b) Si NM es bisectr iz del ÐTNP, halla la amplitud del ÐT. c) Si NP = 15 cm y NS = 2,0 cm, halla el per ímetr o de NPQT.
71) En la figur a: ABCD r ectángulo, D AGB isósceles de base AB , ÐDAE = ÐCBF, G punto de inter sección de AF y BE , E y F puntos de DC .
D
E
F
R
P
C
G
A
B
Q
a) Pr ueba que D AEG = D BGF. b) Si el A(ABCD) = 80 dm 2 , halla el A(D ABE). c) Si el ÐGAB = 36º y el ÐDAE = 30º, halla la amplitud del ÐAEB. 72) En la figur a: RSPQ tr apecio isósceles de bases RS y QP , ÐRTP = ÐQTS, T punto de RS . a) Pr ueba que el DQPT es isósceles de base QP .
Q
P
R T S b) Si el A(RSPQ) = 28 dm 2 , RQ = 5,0 dm y la distancia entr e las bases del tr apecio es de 40 cm, halla el per ímetr o del tr apecio. 73) En la figur a: E D ACDE tr apecio r ectángulo de bases AC y ED , DB ^ AC en el punto B, DC // EF , G F punto medio de AB , A F B G punto de DB , B punto de AC . a) Pr ueba que EFCD es un par alelogramo. b) Si el A(D AFE) = 20 dm 2 y el A(D FBG) = 800 cm 2 , halla el ár ea r ayada. 74) En la figur a: ABCD cuadr ado, B, D y E puntos alineados, a) Pr ueba que EB es la bisectr iz del ÐAEC. b) Si EB = 18 cm y ED = 0,12 m, calcula el ár ea del D ADE y la del cuadr ado. c) Si el ÐAEC = 20º, halla la amplitud del ÐECB. 75) En la figur a: ABCD r ombo, HGFE cuadr ado, E y H puntos de AD y AB r espectivamente, AC mediatr iz de GF , EF I DC = {M } y BC I HG = {N } . a) Pr ueba que D MFC = D NGC. b) Demuestr a que DM = NB . c) Si el per ímetr o de HGFE es igual a 24 cm y EF = 3 MF , halla el ár ea r ayada. 76) En el r ectángulo ABCD: MN y AC se cor tan E, NB = DM , M y N puntos de DC y AB r espectivamente.
C
E
D
C
A
B
D M F
E
C
A H
N
G
B
D M
C E
A
N
B
a) Pr ueba que E es punto medio de MN . b) Pr ueba que AMCN es un par alelogr amo. c) Si AB = 10 cm, BC = 4,0 cm y AN = 0,08 m, calcula el ár ea r ayada. 77) En la figur a: N ABCD r ectángulo, C D CM es la bisectr iz del ÐACB, BN es la bisectr iz del ÐDBC, ÐNDC = ÐMAB, O O punto de inter sección de las A diagonales del r ectángulo. B a) Pr ueba que D NDB = D AMC M b) Si ÐDBN + ÐMAC = 90º , demuestr a que DN ^ BN . c) Si el ÐCAB = 30º, halla la amplitud del ÐDOA. d) Si el P(D DAO) = 30 cm y AB = 17 cm, calcula el ár ea y el per ímetr o de ABCD.
78) En la figur a: ABCD par alelogr amo, BEFC cuadr ado. a) Pr ueba que AE = DF . b) Si el ÐADC = 40º, halla la amplitud del ÐABF. c) Si el A(ABCD) = 15 dm 2 y el A(BEFC) = 20 dm 2 , halla el ár ea AEFD.
79) En la figur a: MNPQ r ectángulo, R punto medio de QP , S y T puntos de las prolongaciones de MQ y NP r espectivamente, ÐSRP = ÐTRQ. a) Pr obar que MS = NT . b) Si el P(MNPQ) = 28 cm, NP = 4,0 cm y el ÐS = 45º, halla el ár ea del DSQR.
80) En la figur a: PQ es la mediatr iz de MN , ÐAMN = ÐBNM, ÐMAP = ÐPBN, C punto de inter sección de MN y AP , D punto de inter sección de MN y PB , a) Pr obar que PA = PB .
D F
C A
E B
T
S
P
Q
R
M
N
P
M
N C
A
D
Q
B
b) Si el ÐPMN = 36º y el ÐMPA = 16º, halla el ÐAPB. c) Si PC = 6,0 cm, PA = 9,0 cm y AB = 150 mm, halla per ímetr o del D PCD. 81) En la figur a: ABCD , EFGH y HMCN cuadrados, N y M puntos de DC y BC r espectivamente, NÎ EH y MÎ BC . a) Pr obar que D DEN = DMBG. b) Si el A(ABCD) = 64 dm 2 , el A(HGFE) = 16 dm 2 y el P(HMCN) = 8,0 dm, halla el ár ea del D BMG.
82) En la figur a: A, B, C y D puntos alineados, D BGC isósceles de base BC , FG = EG , D FAB r ectángulo en A, ED ^ AD . a) Pr ueba que AB = CD . b) Si el ÐF = 46,4º, calcula el ÐG. c) Si BC = 2 AB y el A(D AFB) = 10 dm 2 , halla el ár ea del cuadr iláter o ADEF.
D
el
F
N C H M
A
G
B
E
F
A
B
C
D
G
83) En la figur a: AD y EC se cor tan en B, G y F puntos de BD y AB r espectivamente, EF // GC , B punto medio de FG . a) Pr ueba que B es punto medio de EC . b) Demuestr a que FCGE es un par alelogr amo. c) Si el A(D EFB) = 4,6 cm 2 , halla el ár ea de FCGE. d) Si el ÐEFA = 100º y ÐFBE = 2ÐFEB – 20º , halla la amplitud del ÐGBC.
84) En la figur a: ABCD cuadr ado, ABFE y AHGD r ectángulos, C punto de inter sección de FB y DG , D y B puntos de EA y AH r espectivamente, ÐBGH = ÐFEC. a) Pr obar que: DEDC = D BCG. b) Si el P(ABFE) = 20 dm y AE = 7,0 dm, halla el ár ea de la figur a.
E
E
D G
B F A
C
E
D
A
F
C
B
G
H
c) Si el ÐAEC = 35º , halla la amplitud del ÐECA. 85) En la figur a: MNPQ r ombo, QT = QU ,
Q
R
S
RT // SU // QN , RN Ç TQ = {M} y QU Ç NS = {P}. P M a) Pr obar que RT = SU . b) Si el ÐMQP = 60º, halla la T U N amplitud del ÐR. c) Si el P(MNPQ) = 28 cm, QT = 9,0 cm y RT = 3,5 cm, halla el per ímetr o del DTMR. 86) En la figur a: D DFE y DEGC son equiláter os e iguales, AE = BE , D, E y C puntos alineados, F punto de AE y G punto de EB . a) Pr ueba que D ADF = D BGC. b) Si el P(D DFE) = 30 cm, halla el per ímetr o del cuadr ilátero FGCD. c) Si el ÐADE = 80º , halla la amplitud del ÐA.
D
E
F
C
G B
A
87) En la figur a: ABCD par alelogr amo, D G C DG = FB , ÐEFH = ÐGHF = 90º, E F, E, G y H puntos de los lados del H par alelogr amo. a) Pr ueba que EF = GH . F B A b) Clasifica el cuadr ilátero EFHG. c) Si el A(D AEF) = 6,5 dm 2 y el A(ABCD) = 36,5 dm 2 , calcula el ár ea r ayada. 88) En la figur a: D ABD isósceles de base DB , AC ^ DB en el punto E. a) Pr ueba que D ADC = D ABC. b) Sea F un punto de AC , tal que ABFD sea un cuadr ado y DB = 6,0 dm, halla el per ímetro del D ABD.
D
A
C E B
C
89) En la figur a: F punto medio AB , DE paralela media del D ABC r elativa al lado AB . a) Pr obar que D DEC = D FEB.
E
D
A
F
B
b) Si el P(AFED) = 14 cm, AB = 6,0 cm y CB = 8,0 cm, halla el P(D ABC). 90) En la figur a: D ABCD cuadr ado, ANCM par alelogramo, ÐEDM = ÐNBF, M M punto de inter sección de AD y EC , N punto de inter sección de BC y AF . E a) Pr obar que D DEC = D ABF. A b) Si el A(ABCD) = 16 cm 2 y NC = 0,01 m, calcula el ár ea de ANCM. c) Si el ÐECD = 37º, calcula el ÐCAN. 91) En la figur a: DMNP equiláter o, MN bisectr iz del ÐPMS, NM bisectr iz del ÐPNT, Q y R puntos de PM y PN r espectivamente, PQ = PR y ÐPQS = ÐPRT.
C F N
B
P
Q
R
N
M
a) Pr ueba que QS = RT . S
b) Si el ÐPQS = 150º , MS = 1,2 dm, ÐMPS = 15º y P(D MPN) = 8,1 dm, halla el P(D MQS).
T
92) En la figur a: D ABC r ectángulo en A, C AGED tr apecio, E D F D punto de AC , FG // AC , DE = EG , ÐB = ÐBEG, A G E y F puntos de CB y G punto de AB . a) Pr ueba que D CDE = D FGB. b) Si AB = 12 cm y AD = 3,0 cm, calcula el ár ea del tr apecio AGED. c) Si el ÐGBF = 15,9º, halla la amplitud del ÐEGF.
93) En la figur a: MNPQ cuadrado, SN = RQ , S y R puntos de MN y MQ r espectivamente. a) Pr ueba que D MPR = DMPS. b) Si el ÐQPR = 37º, halla el ÐRPS.
Q
P
R M
S
N
B
c) Si el P(D RPM) = 11,7 dm, RP = 5,0 dm y MS = 1,0 dm, calcula el ár ea del cuadr ado. 94) En la figur a: D ABC isósceles y r ectángulo en B, DCGF tr apecio r ectángulo de bases CG y DF , ÐGFE = 45º, B punto de DF y E punto de CG , A, D y C puntos alineados. a) Pr ueba que D ADB = D FEG. b) Si el A(D ABC) = 36 cm 2 y el A(DCGF) = 45 cm 2 , halla el ár ea del cuadr iláter o BCEF. c) Halla la longitud de AC . 95) En la figur a: MBNE r ombo, D AEC isósceles de base AC , E punto de DF y B punto de AC , D y F puntos de las pr olongaciones de BM y BN r espectivamente, MÎ AE y NÎ EC . a) Pr ueba que B es el punto medio de AC . b) Si el P(D AEC) = 32 cm, AE = 10 cm y EB = 8,0 cm, calcula el ár ea del DAMB. 96) En la figur a: ∆ ABC equiláter o, CGEF par alelogr amo, ABFG tr apecio isósceles de bases AB y GF . a) Pr ueba que GC = CF . b) Si ÐE = 40º, ÐFBC = 20º y CE ^ GF , pr ueba que FE es bisectr iz del ÐGFB. c) Si el A(D ABC) = 15cm 2 , GF = 2,2 cm y CE = 6,0 cm, calcula el ár ea sombreada.
97) En la figur a: ABCD cuadr ado, ABGF r ectángulo, F y G p untos de AC y BD r espectivamente, E punto medio de DC . a) Pr ueba que FE = GE .
G
E
F
B
A
D
D
E
C
F
M
N
A
B
C
C
F
G A
B E
C
F A
E
D
G B
b) Si EF = 10,0 cm y el per ímetr o del tr iángulo EFG es de 340 mm, calcula el ár ea del cuadr ado ABCD. 98. En la figur a: B B, C y D puntos alineados, CE ^ ED , ∆ABC r ectángulo en C, C ÐB = ÐD. a) Selecciona cuál de las siguientes A condiciones es necesar io agr egar a los datos del ejer cicio D par a probar que el ∆ABC = ∆ECD. E ___ C punto medio de BD . ___ CE es la bisectr iz del ÐACD. ___ ÐCAE = ÐCEA. ___ AB // CE . b) Pr ueba la igualdad utilizando la condición seleccionada. c) Si el A(AEDB) = 60 cm 2 , AC = 120 mm y BC = 4,0 cm, halla el ár ea del ∆ AEC. 99. En la figur a: QP // MN ,
S
Q
S punto de QP , R punto de MN , STRV r ombo, T y V puntos de QR y PR r espectivamente. a) Selecciona cuál de las siguientes condiciones es necesar io agr egar a los datos del ejer cicio par a probar que el ∆QST = ∆SVP. ___ R punto medio de MN . ___MNPQ tr apecio isósceles. ___ ÐQRM = ÐPRN. ___ÐMQR = ÐRPN.
T M
P
V R
N
b) Pr ueba la igualdad utilizando la condición seleccionada. c) Si el P(∆QRP ) = 24 cm y el P(STRV) = 18 cm, halla el P(∆QST ). 100. En la figur a: ABCD par alelogr amo, F punto medio de AD , BC = 2 GC , E y H puntos de AB y DC r espectivamente.
D
H
F
A
C G
E
B
a) Selecciona cuál de las siguientes condiciones es necesar io agr egar a los datos del ejercicio para probar que el ∆ AFE = ∆HCG.
___ HE bisectr iz del ÐDHG. ___ ∆EHG isósceles de base HG . ___ DH = EB . ___ FEGH cuadr iláter o. b) Pr ueba la igualdad utilizando la condición seleccionada. c) Si el A(ABCD) = 72 dm 2 , AB = 12 dm y 4 EB = 3 AB , calcula el ár ea del ∆ AFE. 101. En la figur a: A punto de la cir cunfer encia de centr o O, BE diámetr o, EDCB r ectángulo, DC tangente a la cir cunfer encia en G, DF ^ CF .
B
C
G O A
F
a) Selecciona cuál de las siguientes condiciones es necesar io agr egar a los datos del ejer cicio par a probar que el ∆ABE = ∆CDF.
E
D
___ CD bisectr iz del ÐECF. ___ AB // EC . ___ El ar co AE mide la mitad del ar co EG. ___ ÐABC = ÐBCF. b) Pr ueba la igualdad utilizando la condición seleccionada. c) Si el A(BEDC) = 40 dm 2 y ED = 4,0 dm, calcula la longitud de la cir cunfer encia. 102. En la figur a: B y D p untos de la cir cunfer encia de centr o O, AC diámetr o, AC bisectr iz del ÐBAD.
B
A
C O
a) Pr obar que ∆ ABC = ∆ ADC. b) Si AB = 4,0 cm y BC = 30 mm, calcula el ár ea de la super ficie r ayada. c) Si el ÐBAC = 36,9º, halla la amplitud del ar co AB. 103. En la figur a: N punto de la cir cunfer encia de centr o O, R punto del diámetr o MP ,
D
Q R M
P O
N
MQ tangente a la cir cunfer encia en M, QR // MN , ∆MNR isósceles de base NR . a) Pr ueba que MQ = NP . b) Si la longitud de la cir cunfer encia es igual a 10p dm y MN = 8,0 dm, halla el ár ea r ayada. c) Si el ar co MN mide 106º, calcula la amplitud del ÐQMN.
104. En la figur a: B y C p untos de la cir cunfer encia de centr o O, AD diámetr o, BC ^ AD en el punto E.
B
A O
a) Pr ueba que ∆ AEB = ∆ AEC. b) Si el ar co BD mide 60º, halla la amplitud del ÐABE. c) Si BE = 4,0 cm, halla el ár ea y el per ímetr o del ∆ABC.
105. En la figur a: D y C puntos de la circunfer encia de centr o O, E punto de inter sección de AC y BD , AB diámetr o, los ar cos AD y BC tienen igual amplitud.
E
D
C
D
C E
A
B O
a) Pr ueba que ∆ ABC = ∆ ADB. b) Si el A(∆AEB) = 20 dm 2 , AB = 13 dm y AD = 5,0 dm, halla el ár ea del ∆ADE. c) Si el ÐCAB = 22,6º, halla la amplitud del ÐAED.
106. En la figur a: B y E son puntos de la circunfer encia de centr o O, AC diámetr o, DO ^ AC , AC bisectr iz del ÐBAD, AC = 2 AB .
B
A
O
E
a) Pr ueba que AC = AD . b) Si el ar co CE mide 120º, halla la amplitud del ángulo AOE.
D
C
c) Si la longitud de AC excede en 8 cm a la de AB y BC = 16 cm, halla la r azón entr e los valor es numér icos del ár ea del cír culo y su longitud.
107. En la figur a: P y Q p untos de la cir cunfer encia de centr o O, MN es una cuer da, R es el punto de inter sección de MQ y NP , los ar cos MP y NQ tienen la misma amplitud.
P
Q R O N
M
a) Pr ueba que PR = RQ . b) Si el ar co MN mide 80º y ÐP = 2ÐPMR, halla la amplitud del ÐPRM. c) Pr ueba que las ár eas de los tr iángulos MPR y QRN son iguales.
108. En la figur a: A, B y C puntos de la cir cunfer encia de centr o O, AB = BC , AD = CE , BO bisectr iz del ÐABC. a) Pr ueba que ∆ DOB = ∆ BOE. b) Si OD es la distancia de O a AB , el A(∆DOB) = 96 cm 2 y DB = 16 cm, halla el 75% del ár ea del cír culo. c) Si el ÐDOB = 53º, halla la amplitud del ar co AC.
B
D
a) Pr ueba que ∆PSN = ∆MTN. b) Pr ueba que ∆MON = ∆NOP. c) Si el ár ea del cír culo es 225p cm 2 y MQ = 18 cm, halla el per ímetro del cuadr iláter o NMOP.
E
A
C
109. En la figur a: M y P puntos de la cir cunfer encia de centr o O, NQ diámetr o, MS = PT , S y T puntos de MN y NP r espectivamente, los ar cos MQ y QP son de igual amplitud .
. O
N
S
T O P
M Q