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Capítulo 4. INTERACCIÓN ENTRE PARTÍCULAS Y FLUIDOS
4.1.
Introducción
En los Capítulos 2 y 3 hemos visto la caracterización de partículas, lo cual es importante para la producción, manejo, almacenamiento, transporte y venta de sistemas particulados. En un proceso que involucra sólidos, el primer paso es la caracterización de las partículas, sin embargo el comportamiento dinámico de las partículas en relación al fluido que las rodea es de suma importancia en la mayoría de los procesos.
4.2.
Fluidodinámica de partículas individuales
Cuando una partícula cae en un fluido viscoso, existen tres fuerzas que actúan sobre ella (ver Figura 4.1):
La fuerza gravitacional (peso) que actúa hacia abajo (W).
La fuerza de empuje (U).
La fuerza de arrastre (FD). Arrastre (FD) Empuje (U)
x
Peso (W) Movimiento
Figura 4.1. Balance de Fuerzas
Para el sistema de la Figura 4.1, la ecuación de movimiento resulta: W − U − FD = m
du = ma dt
(4.1)
4.1
donde m es la masa de la partícula, u la velocidad de la misma y a la aceleración. La ecuación (4.1) puede reescribirse como sigue:
mg − m f g − FD = m
du dt
(4.2)
donde mf es la masa de fluido desalojada por la partícula (es decir, la masa del fluido que tiene igual volumen que la partícula).
Si las partículas son pequeñas se aceleran rápidamente hasta llegar a una velocidad constante (se requiere sólo del orden de ms) definida como velocidad terminal, bajo estas condiciones la aceleración es nula y la ecuación (4.2) se
transforma en :
mg − m f g − FD = 0
(4.3)
Para una esfera conocemos que su masa está dada por: m=
π 3 x ρp 6
(4.4)
donde ρp es la densidad de la partícula (detalles de las propiedades de una partícula individual se presentan en el Anexo A del presente capítulo). x representa el diámetro de la partícula, si es una esfera x será su diámetro, en cambio si se trata de una partícula no esférica en las ecuaciones (4.4) y (4.5) x es el dv (diámetro de una esfera equivalente que tiene igual volumen que la partícula bajo análisis). La masa del fluido desplazado está dada por:
mf =
π 3 x ρf 6
(4.5)
donde ρf es la densidad del fluido donde se mueve la partícula. Teniendo en cuenta las ecuaciones (4.3) a (4.5), la fuerza de arrastre puede escribirse como: FD =
(
)
π ρp − ρ f g x 3 6
(4.6)
Cuando se trata de partículas que son irregulares (no esféricas), el valor de x que debemos usar en la fuerza de arrastre es el dV, es decir el diámetro de una esfera que posee igual volumen que la partícula original (para que se mantenga la masa de la partícula y la del medio desplazado).
4.2
La fuerza de arrastre está relacionada con un factor de fricción, que en este caso se llama, factor de arrastre (CD). La fuerza de arrastre en términos del coeficiente de arrastre es: FD =
1 CD ρ f u2 A p 2
(4.7)
donde Ap es el área proyectada de la partícula, en el caso de una esfera el área proyectada de la partícula está dada por el área del círculo. Igualando las expresiones (4.6) y (4.7), el CD puede expresarse como sigue:
(
)
π ρp − ρ f g x 3 3 CD = ρ f u2 A p
Si consideramos que para una esfera A p =
(4.8)
πx 2 , la ecuación (4.8) puede 4
reescribirse como:
(
)
4 ρp − ρ f g x CD = 3 ρ f u2
(4.9)
Esfera!
Si se conoce el valor del factor de arrastre es posible determinar la velocidad terminal. A partir de datos experimentales se ha comprobado que el coeficiente CD (que es un factor adimensional) es función del número de Reynolds de la partícula, el cual se define como: ρ ux Rep = f μ
Esfera!
(4.10)
Obviamente si se trata de una esfera, x representa su diámetro.
El CD no puede calcularse teóricamente, las correlaciones que algunos autores han desarrollado dependen del producto CD Rep, el cual se puede expresar como:
(
)
4 ρp − ρ f g x 2 3 CD Rep = μu
4.2.1.
Esfera!
(4.11)
Ley de Stokes
La Figura 4.2 muestra una tabla de datos experimentales, y su expresión gráfica. Para números de Reynolds muy bajos se verifica que el producto de los grupos
4.3
funcionales CDRep resulta aproximadamente constante. Para esta condición se dice que se verifica el régimen de Stokes, para el cual es válida la siguiente relación: CD =
24 Re p
para Re p < 0.2 − 0.25
(4.12)
Reemplazando la ecuación (4.12) en la (4.11): ut =
(ρp − ρ f )g x 2 18 μ
para Re p < 0.2 − 0.25
(4.13)
Esfera!
donde ut es la velocidad terminal. Cd 2400 1200 484 304 244 123 51.4 33.3 27.2 15 7.12 4.35 2.74 1.56 1.1 0.808 0.568 0.46 0.42
CdRe 24 24 24.2 24.32 24.4 24.6 25.7 26.64 27.2 30 35.6 43.5 54.8 78 110 161.6 284 460 840
10000
1000
100 Cd
Re 0.01 0.02 0.05 0.08 0.1 0.2 0.5 0.8 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000
10
1
0.1 0.01
0.1
1
10
100
1000
10000 100000 1E+06
Re p
Figura 4.2. Datos experimentales de la relación entre el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds para una esfera en un líquido. Fuente: Allen (2003).
4.2.2.
Predicción del coeficiente de arrastre fuera del régimen de Stokes.
Fuera del régimen de Stokes (Rep> 0.2-0.25), el CD debe calcularse por correlaciones. Para el rango de Rep