Apunte Unidad: II Cátedra: TEORIA DE LOS CIRUITOS Prof.Titular: Ing. Alberto L. Cucueff

Facultad de Ingeniería Carrera de Ingeniería Electromecánica UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE UNNE

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•

Circuito Oscilante Libre Este circuito LC es un oscilador, transfiriendo energía desde el campo eléctrico del condensador, hasta el campo magnético de la inductancia y viceversa. Estas oscilaciones no se terminan (en el caso ideal), y su frecuencia de oscilación ω se conoce como frecuencia natural del circuito (ω0).

El esquema representa un circuito oscilante LC con pérdidas. Las pérdidas están representadas por las pérdidas en una resistencia. En un circuito real, las pérdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero también pueden ser resistencias internas de esos componentes. También puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dieléctrico del condensador o en el núcleo de la bobina (si es ferromagnético). También puede haber pérdidas por radiación de ondas electromagnéticas. La resistencia hará que la tensión sobre la bobina sea diferente de la tensión sobre el condensador. La corriente creada será menor que si no hubiese habido pérdidas y cuado la corriente cargue de nuevo el condensador, la tensión a la cual llegará será menor. Por su parte, la amplitud disminuirá y tenderá hacia cero. 6

Encontrar la respuesta natural de un circuito RLC en serie consiste en determinar la corriente que se genera en los elementos conectados en serie por la liberación de la energía almacenada inicialmente en el inductor, en el capacitor o en ambos. Es de interés la corriente que resulta de la aplicación repentina de una fuente de CC.

4

L

R

C

7

5

I

2

1

2`. 1 3

1`

Los circuitos RLC presentan propiedades interesantes respecto a la forma en que manejan la energía.

2

V

Supongamos el siguiente circuito serie, donde cargamos el capacitor hasta la tensión Vo: C. Vb

Cuando el interruptor está en posición 1-1` la fuente V suministra energía al sistema y el capacitor C se carga hasta la tensión Vo. Cuando volvemos la llave S a 1

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la posición 22` el capacitor se descarga provocando una corriente que genera una f.e.m. en L La tensión entre los terminales de R, L y C cuando s está en 1-1`será respectivamente:

VR = i ⋅ R

VL = −el = − L ⋅

di = fem ; dt

Vc =

1 ⋅ i.dt C ∫

Tomo estos valores en un instante de tiempo así me despreocupo de los distintos ángulos de fase. En la posición 2-2`tendremos que, por Ley de Kirchoff: VR+VL+VC=0

i⋅R + L⋅

di 1 + ⋅ i.dt = 0 Ecuación diferencial de primer orden dt C ∫

(Nota: el signo – de L implica la oposición a un proceso, por tanto en la operatoria lo puedo manejar como quiera; para tener el signo + colocado en la ecuación anterior supongo:

VL = L ⋅

di = − fem ) dt

Para resolver la ecuación diferencial procedemos de la siguiente manera: 1) reordenamos

L⋅

di 1 + i ⋅ R + ⋅ ∫ i.dt = 0 dt C

2) tomamos el término de mayor orden y lo independizo de la corriente (dividimos todo por L)

di R 1 +i⋅ + ⋅ i.dt = 0 L CL ∫ dt 3) derivo respecto a t

d 2i R di 1 + ⋅ + ⋅ i = 0 Ecuación (1) dt 2 L dt CL Definimos por ahora:

ωo =

1 LC

pulsación propia o natural del sistema (propia porque es personal de la constitución del circuito) 2

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ωo = 2 ⋅ π ⋅ fo Definimos también:

α=

R 2L

Factor de amortiguamiento

En este caso, la resistencia hace que la energía del circuito se pierda como calor. Como consecuencia de esto, ya que R está convirtiendo la energía en calor las oscilaciones se amortiguan. Por tanto si se desea que el circuito continúe oscilando debe entregárse energía al circuito.(selector posición 1-1`)

Oscilaciones amortiguadas

d 2i R di 1 + ⋅ + ⋅i = 0 Volviendo a la Ecuación (1): dt 2 L dt CL di d 2i + 2α ⋅ + ωo 2 ⋅ i = 0 2 dt dt

(2)

Hasta aquí lo único que se efectuó fue un cambio de variables. Existen dos tipos de soluciones para esta ecuación: • una solución particular que corresponde al régimen permanente o forzado (es forzado porque le entrego energía para mantenerlo- selector en posición 1-1`) • una solución homogénea que corresponde al régimen transitorio o inicial. Las soluciones de esta ecuación son del tipo: cualquiera.

i = K ⋅ e s.t

donde s es una variable

di di 2 s.t = s ⋅ K ⋅ e y 2 = s 2 ⋅ K ⋅ e s.t Ahora reemplacemos en la ecuación (2) dt dt

s 2 ⋅ K ⋅ es.t + 2α ⋅ s ⋅ K ⋅ es.t + ωo 2 ⋅ K ⋅ es.t = 0 Sacando factor común:

K ⋅ es.t (s 2 + 2α ⋅ s + ωo 2 ) = 0 Para que esta igualdad efectivamente sea igual a cero existen dos posibilidades: 1) K ⋅ e s.t = 0 3

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O bien, la otra posibilidad sería: 2)

(s 2 + 2α ⋅ s + ωo 2 ) = 0

Tomando la segunda alternativa se aprecia que lo que se consiguió fue transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, que es de más fácil resolución. Las raíces de la ecuación algebraica serán:

− 2α ± 4α 2 − 4ωo 2 s1 − 2 = 2

s1 − 2 = −α ±

α 2 − ωo 2 α 2 − ωo 2 = ω

Si hacemos

= pulsación

Entonces las raíces serán S1 = −α + ω

S 2 = −α − ω

Y

Se presentan por tanto tres casos bien definidos: 1.

α 2 f ωo 2

caso no oscilatorio (exponencial creciente) – Aperiódica.

2.

α p ωo

2

oscilatorio (raíces imaginarias complejas conjugadas)-

3.

α = ωo

2

2

2

Cuando

Raíces reales. Periódica

crítico

- Aperiódico límite. En este caso las raíces de la ecuación característica serán reales e iguales.

α 2 = ωo 2

⎛ 1 ⎛ R ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ 2L ⎠ ⎝ L.C 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

R2 1 = ; despejando R: 2 L.C 4.L

Rc = 2.

L C

que se denomina

Resistencia crítica

Es decir que cuando

Rc = 2.

L C

se cumple la condición crítica y el

sistema está en el límite entre el aperiódico y periódico.

4

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V(t) oscilatorio

crítico No oscilatorio

4. caso ideal no amortiguado En el Caso hipotético donde R=0 será

α=

R =0 2L

, o sea tenemos un factor de

amortiguamiento nulo y las oscilaciones continuarán indefinidamente con amplitud constante como un péndulo ideal sin rozamiento.

i=

uo

ωL

senω.t

donde

ω = ωo

En régimen libre (S en posición 2-2`) se demuestra que si se cumple que R>1 tendremos una sobretensión.

Representación de la amplitud de la intensidad La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador ⍵ coincide con la frecuencia de resonancia ⍵o. El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z=R, de igual manera en resonancia la admitancia Y será máxima ya que Y=1/Z y variará con una gráfica de la misma forma que la representativa de la corriente I. Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la bobina, se modifica el valor de la resistencia R. 10 U 2

⎛ ⎝

R1 + ⎜ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L−

⎞ ⎟ 2⋅ π ⋅ f ⋅ C ⎠

2

⎞ ⎟ 2⋅ π ⋅ f ⋅ C ⎠

2

⎞ ⎟ 2⋅ π ⋅ f ⋅ C ⎠

2

1

8

Baja R

I (mA), Y (mho)

U 2

⎛ ⎝

R2 + ⎜ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L−

1

6

U 2

⎛ ⎝

R3 + ⎜ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L−

1

4

U 2

R4

1 ⎞ ⎛ + ⎜ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L− ⎟ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C ⎝ ⎠

2 2

100

R1 (alta R) R2 R3 R4 (baja R)

Alta R

150

200

250

300

f

Se construyó el gráfico con: R1>R2>R3>R4

8

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En absisas se representa la frecuencia (o la pulsación ⍵) y en ordenadas I = U/Z y/o la admitancia Y.

Cuando R➝0 la I➝∞ . De la misma manera ocurre la variación de Y) O sea la corriente se vuelve infinita en el punto de resonancia. Encontrándose Intensidad y tensión en fase cuando f=fr (ya que Z=R, circuito resistivo puro) Para valores menores que la fr I está en avance de π/2 sobre la tensión (circuito de característica capacitiva). Para valores mayores que fr la corriente se retrasa en π/2 respecto a la tensión (circuito inductivo). Análisis de Tensiones

∴I =

U = I ⋅ jω ⋅ L

I=

−j U U U ⋅ = −j⋅ = 1 ⎞ ω⋅L ⎛ 1 j⋅X ⎞ ⎛ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜ω ⋅ L − ⎟ ω ⋅C ⎠ ⎝ ω ⋅ L ⋅C ⎠ ⎝

U 1 ⎛ ⎞ j ⋅ ω ⋅ L ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ω ⋅ L⋅C ⎠

Y por tanto:

UL =

U 1 ⎛ ⎞ j ⋅ ω ⋅ L ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ω ⋅ L ⋅C ⎠

⋅ j ⋅ω ⋅ L =

U 1 ⎛ ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ ⎝ ω ⋅ L ⋅C ⎠

Y lo propio para:

UC = I ⋅ j ⋅

1 1 ⎛ ⎞ = U ⋅⎜ ⎟ 2 ω ⋅C ⎝1− ω ⋅ L ⋅ C ⎠

Vemos que las tensiones poseen una diferencia de fase de π, o sea

e j ⋅π = −1

Q de una bobina: Definimos: ωo ⋅ L Qo = R

Qo =

(1) factor de mérito para una frecuencia definida, por ejemplo la de resonancia

ωo (2) factor de agudeza referido a la escala horizontal de la ω1 − ω 2 curva universal

U L o UC o = Qo = (3) factor de sobretensión U U 9

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Qo =

energía..acumulada..a..la. frecuencia..de..resonancia energía..disipada..a..la. frecuencia..de..resonancia

A Q también se lo conoce como factor de calidad de la bobina, nos da idea de la rapidez con la que disminuye Z . Resonancia paralelo con ⍵ variable Características del circuito: Los circuitos resonantes serie y paralelo tienen un comportamiento dual, es decir por ejemplo la impedancia del circuito serie se comportará frente a las variaciones de la frecuencia de modo idéntico que la admitancia del circuito paralelo. a) Presenta alta Z en resonancia b) Los diagramas son iguales, pero las corrientes reemplazan a las tensiones y viceversa. c) La curva de resonancia es la misma pero representa la admitancia de entrada en vez de impedancia de entrada d) Las componentes son G y B en vez de R y X. La ecuación de la admitancia es:

Y = G + j ⋅ω ⋅C +

1 ⎞ ⎛ = G + j ⋅ ⎜ω ⋅ C − ⎟ j ⋅ω ⋅ L ω⋅L⎠ ⎝ 1

También por dualidad vemos que: Qo serie: Qo =

Qo paralelo:

ωo ⋅ L Ro

Qo =

ωo ⋅ C G

=

Ro ω⋅L

esto nos indica que un circuito paralelo de baja pérdida tiene una gran resistencia en paralelo para que Qo paralelo resulte elevado.

10

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10 G −1

5

G, B, Y

2⋅ π ⋅ f ⋅ L 2⋅ π ⋅ f ⋅ C

⎛ 2⋅ π ⋅ f ⋅ C− 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L ⎠ ⎝ 2

⎛ ⎝

G + ⎜ 2⋅ π ⋅ f ⋅ C−

0

100

200

2

⎞ −5 ⎟ 2⋅ π ⋅ f ⋅ L ⎠ 1

300

G BL BC B Y

− 10 f

Fig 3 En la figura observamos que G es constante para todas las frecuencias; BC crece linealmente con la frecuencia, BL crece exponencialmente con la frecuencia (desde menos infinito para f=0 hasta cero para f = infinito). El módulo de la admitancia total |Y| decrece hasta su valor mínimo= G en la frecuencia de resonancia y luego vuelve a crecer. Para la frecuencia de resonancia la admitancia es mínima y vale 1/R (curva en marrón) y su argumento es cero, es decir su valor es real. Esto quiere decir que en resonancia un circuito RLC paralelo la corriente inyectada y la tensión que aparece en sus bornes están en fase. En resonancia un circuito LC en paralelo se comportará como un circuito abierto.

I = U ⋅ B = U ⋅ ω ⋅C − Donde

IL = U ⋅

1 ωL π

− j⋅ 1 ⋅e 2 ω⋅L

π j

IC = U ⋅ ω ⋅ C ⋅ e

2

Y la representación de las corrientes será:

11

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40

IL, IC. I

20 IL( f ) IC( f ) I( f ) 0

100

200

− 20 f

Como se observa en un circuito resonante en paralelo la corriente total del circuito es mínima y coincide con la que circula por la resistencia El diagrama de tensiones será:

VL( f )

4×10

3

2×10

3

VC( f ) V( f )

0

− 2×10

10

20

30

40

50

3

f

Curvas de admitancia Como se observa en la figura 1, la curva de impedancia Z tiene una forma en V ligeramente redondeada en la parte inferior hasta ser tangente a R. Las gráficas de admitancia (Figura 2) nos permiten hacer un estudio más claro del vértice redondeado de la V de resonancia.

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Por otro lado es innecesario mostrar el diagrama completo de la admitancia (porque a frecuencias fuera de la de resonancia la admitancia es muy pequeña) por lo que se utilizan diagramas logarítmicos obteniendo figuras simétricas respecto a ⍵o que abarcan un 10% de la gráfica real. Otra información de interés es el ángulo de admitancia. El ángulo de I relativo a V es positivo a baja frecuencia, cero a la frecuencia de resonancia y negativo para frecuencias más altas.

Mucha Pérdida Poca Pérdida Sin Pérdida

Y1( f ) Y2( f ) Y3( f )

1×10

100

3

f

Poca pérdida Mucha Pérdida Angulo de Admitancia

Magnitud de Admitancia

El efecto de alta o baja resistencia (altas o bajas pérdidas), se determina fácilmente. La altura de la curva depende de la resistencia del circuito solamente, el valor de cresta es 1. La curva de alta pérdida es más achatada que la de baja pérdida. Si no hubiera pérdida (R=0) la curva de resonancia seria infinitamente alta.

Φ 1( f )

wo

Φ 2( f )

f

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Análisis en las proximidades de la resonancia

1 ⎞ ⎛ Z = R + j ⎜ ω .L − ⎟ ; ω.C ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ jX = j ⎜ ω ⋅ L − ⎟ ω ⋅C ⎠ ⎝

L, C y la frecuencia se relacionan para resonancia por:

(1)

XR = ωo ⋅ L =

1 ωo ⋅ C

Reemplazando en (1):

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 X R ⎟ = ⎛⎜ ω ⋅ XR − ωo ⋅ XR ⎞⎟ X = ⎜ω ⋅ − 1 ⎟ ⎝ ωo ω ⎜ ωo ⎠ ω⋅ ⎟ ⎜ ω o ⋅ XR ⎠ ⎝

⎛ ω ωo ⎞ − ⎟ (2) X = XR ⋅ ⎜ ⎝ ωo ω ⎠ Ó en términos de frecuencia:

⎛ f fo ⎞ X = XR ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ fo f ⎠

Si tomamos un valor próximo a la resonancia, definimos la resintonización como:

δ=

ω − ωo ωo

∴1 + δ = ωωo

(3)

⎛ ⎝

Por lo tanto reemplazando en (2) nos queda: X = XR ⋅ ⎜1 + δ −

Si suponemos que δ < 0.1

∴1 +1δ ≅ 11 +− δδ

(

Y por lo tanto: X = XR ⋅ 1 + δ directa con δ (desintonización).

2

2

1 ⎞ ⎟ 1+ δ ⎠

=1−δ

− 1 + δ ) = 2 ⋅ δ ⋅ XR

o sea que X varía en razón

Análisis con pérdidas La impedancia es

1 ⎞ ⎛ Z = R + j ⎜ ω .L − ⎟ ω.C ⎠ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎞ Ro ⎛ ω . L − o Z = R + j ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⋅ Y en resonancia: ⎜ ωo.C ⎠ ⎟⎠ Ro ⎝ ⎝

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⎛ Ro ω Ro ωo ⋅ ωoL ⎞⎞ ⎛ Z = ⎜⎜ R ⋅ + j ⎜ ωo.L ⋅ − ⋅ Ro ⎟ ⎟⎟ Ro ⋅ ω ωo Ro ⎝ ⎠⎠ ⎝ Ro Q=

ωo ⋅ L Ro

⎡R ⎛ Ro ω ωo ⎞ ⎞ ⎛ ω ωo ⎞ ⎤ ⎛ + j⎜ Q ⋅ Ro ⎟ ⎟⎟ = Ro ⋅ ⎢ + j ⋅ Q⎜ Z = ⎜⎜ R ⋅ Ro − Q ⋅ − ⎟⎥ R ω R o o o o ω ω ω ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ Y reemplazando por la expresión de la resintonización expresada en (3):

⎡R 1 ⎛ Z = Ro ⋅ ⎢ + j ⋅ Q⎜1 + δ − 1+ δ ⎝ ⎣ Ro

2+δ ⎤ ⎞⎤ ⎡R ⎟⎥ = Ro ⋅ ⎢ + j ⋅ Q ⋅ δ ⋅ 1 + δ ⎥⎦ ⎠⎦ ⎣ Ro

Entonces la fórmula general será:

2+δ ⎤ ⎡R Z = Ro ⋅ ⎢ + j ⋅ Q ⋅ δ ⋅ (1) 1 + δ ⎥⎦ ⎣ Ro Aproximaciones: 1. La resistencia es constante respecto a la frecuencia, entonces: R=Ro

2+δ ⎤ ⎡ Z = R ⋅ ⎢1 + j ⋅ Q ⋅ δ ⋅ 1 + δ ⎥⎦ ⎣

Buena aproximación para AF (audiofrecuencias)

2. La resistencia efectiva puede ser proporcional a la frecuencia (ej: muy a menudo para radiofrecuencia)

R ω = = 1+ δ Ro ωo

,luego la (1):

2+δ ⎤ ⎡ Z = Ro ⋅ ⎢(1 + δ ) + j ⋅ Q ⋅ δ ⋅ 1 + δ ⎥⎦ ⎣

Buena aproximación para RF

3. Con rangos muy cercanos a la resonancia la desintonización δ es despreciable frente a 1, luego:

Z = Ro ⋅ [1 + 2 ⋅ j ⋅ Q ⋅ δ ] Nota: en resonancia δ = 0 y Z = Ro En definitiva la agudeza de la cresta depende del Q del circuito. Por tanto un circuito de baja pérdida tiene una cresta alta (baja R del circuito).

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Curva Universal de Resonancia La curva universal de resonancia es esencialmente la misma para todos los circuitos, por ello puede representarse la respuesta de todos en una sola curva.

Y=

1 Yo 1 ∴Y = = Z 1 + 2 ⋅ j ⋅ Q ⋅δ Yo 1 + 2 ⋅ j ⋅ Q ⋅ δ

Y graficaremos:

Y = F (Q, δ ) Yo

Las componentes real e imaginaria de esta curva se encuentra racionalizando la ecuación anterior:

Y Y0

Re[Y/ Y0] =

Im[Y/ Y0] =

G

=

Y0 B

=

Y0

=

1 - j2 Q 0 δ 1 = 1 + j2 Q 0 δ 1 + (2 Q 0 δ )2

1 1 + (2 Q0 δ )2

(componente real)

- 2 Q0 δ 1 + (2 Q0 δ )2

(componente imaginaria)

la magnitud total será:

|Y| Y0

1 + (2 Q0 δ )2 = = 1 + (2 Q0 δ )2

1 1 + (2 Q0 δ )2

En estas expresiones aproximadas el error es bastante pequeño.

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|Y|/Y0 |Z|/Z0

1.0

0.707 0.5 0.4

Total

0.2

Real

0.0 -2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.

1.

1.5

2.0 α=δQ Imag

-0.5 Curva Universal de Resonancia Características: a) La curva llamada total es Y/Yo , tiene un valor máximo de 1 a la frecuencia de resonancia. b) La escala horizontal indica la frecuencia fuera de la resonancia, es la llamada

desintonización fraccional relativa

Q ⋅δ = α

c) La desintonización es más efectiva (para destruir la resonancia) en un circuito de alto Q (curvas más estrechas). d) Para circuitos de baja Q las curvas serán anchas, correspondiendo a poca selectividad. Componentes de la Admitancia En el punto en que la conductancia G y la susceptancia B se cortan, poseen valores iguales y numéricamente se cumple para Q ⋅ δ = ±1 / 2 Cuando:

G 1 = ∴ Yo 2

Q ⋅ δ = −1 / 2

Y la magnitud de

Y Yo

=

y

B 1 = Yo 2

1 ⋅ 2 = 0.707 2

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El ángulo de Y es de π/4=45º En función de la corriente esto significa que cuando la desintonización desde la resonancia es tal que Q ⋅ δ = ±1 / 2 la corriente es menor que la corriente en resonancia, asumiendo voltaje igual según el factor

1 ⋅ 2 = 0.707 . Por esto a los 2

puntos sobre la curva de resonancia se los llama “puntos del 70%”. En función de la potencia estos puntos se llaman de ½ potencia, con la idea de que si el circuito se resintoniza en Q ⋅ δ = ±1 / 2 , la potencia de salida útil queda recortada al 50%. La distancia horizontal entre los puntos de ½ potencia se llama ancho de banda.

Q0(δ2 - δ1) = 1

18