Contenidos Unidad I: Funciones de variable compleja. Operaciones. Analiticidad, integrales, singularidades, residuos.

Transformación conforme

Funciones de variable real a valores complejos. Funciones de valores complejos de una variable compleja. Limite, continuidad, diferenciabilidad, derivada, analiticidad, integral compleja. Ecuaciones de Cauchy- Riemann, funciones armónicas. Integrales de funciones analíticas: Teoremas integrales de Cauchy. Fórmulas integrales de Cauchy. Series de Taylor y de Laurent. Singularidades aisladas, ceros y polos. El punto infinito. Residuos. Teorema de los Residuos de Cauchy. Residuo en el infinito. Residuos Logarítmicos. Principio del argumento. Evaluación de integrales reales. Transformaciones conformes. Unidad II: Transformada de Laplace. Aplicaciones. Definición. Funciones de orden exponencial. Condiciones suficientes de existencia. Transformada de Laplace de las funciones de Heaviside (escalón unitario) y delta de Dirac (impulso). Propiedades: linealidad, transformada de la derivada, teoremas de traslación, derivada de la transformada. Transformada de un producto. Transformada inversa. Propiedades. Aplicaciones a la solución de ecuaciones diferenciales lineales. Función de transferencia. Respuesta al impulso. Estabilidad de sistemas. Unidad III: Series de Fourier. Transformada de Fourier. Aplicaciones. Forma compleja de la serie de Fourier. Teorema de Parseval. Espectro de frecuencia discreta. Espectro de potencia. Serie de Fourier generalizada. Transformada de Fourier. Definición. Integral de Fourier. Espectro continuo. Propiedades: linealidad, transformada de la derivada, simetría, de corrimiento con respecto al tiempo, de corrimiento con respecto a la frecuencia. Convolución. Transformada del producto. Funciones generalizadas (delta de Dirac). Transformada de Fourier de la delta de Dirac (impulso). Aplicaciones: Respuesta en frecuencia. Energía. Potencia. Convolución en dominio temporal. Convolución en el dominio frecuencial.

Conocimientos previos para este tema? • • • • • •

Algebra de números. Complejos. Funciones de variable compleja. Funciones analíticas. Condiciones necesarias y suficientes. Reglas de derivación Funciones armónicas y relación con funciones analíticas. Ecuación de Laplace.

Importancia del tema • Las transformaciones conformes se utilizan con el objetivo de simplificar un problema. • Son muy útiles para resolver problemas de física, química, ingeniería y matemáticas en general, entre otros.

Funciones de variable compleja Terna : ( f , D, S ) z = x + iy / z ∈ D ⊂ ℂ

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Aplicaciones de funciones de variable compleja Funciones de variable compleja

w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) / w ∈ S ⊂ ℂ f : D→S Desde la Interpretación geométrica: Transformaciones

Funciones analíticas: Satisfacen ec. de C-R. Derivadas parciales continuas

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Transformaciones • Dilatación-contracción-Rotación

ω = Az

Transformaciones • Inversión

ω =1 z

• Traslación

ω=z+B • Transformación lineal general

ω = Az + B

• Transformación racional lineal

ω=

Az + B Cz + d

(ad - bc ≠ 0)

Transformaciones

Transformaciones que conservan ángulos • Definición:

• Transformaciones que conservan ángulos • Transformaciones que conservan la orientación

f :D→S f conserva ángulos si para cualquier z0 ∈ D dos curvas suaves en D que se intersectan en z0 formando en este punto un ángulo: α las imágenes de estas curvas se cortan en f ( z0 ) ∈ S formando el mismo ángulo.

Transformación que conserva ángulo

Transformaciones que conservan la orientación • Definición:

f (c2 )

f :D→S α

zo

α

f ( zo )

f (c1 )

f conserva la orientación si una rotación en sentido antihorario en D se transforma por f en una rotación en sentido antihorario en S.

Transformación que conserva orientación

TRANSFORMACIÓN CONFORME f :D→S

α

α

• Es una transformación conforme si preserva ángulo y orientación.

f ( zo )

zo

• Observación: La conservación de los ángulos y la orientación son conceptos independientes. Una transformación que preserva solo la conservación de los ángulos se denomina isogonal.

Teorema: Transformación conforme Sea f : D → S

Hipótesis: f es analítica en D

f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D

Si f(z) es analítica en un dominio D y

f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D Entonces: f es conforme en D .

∂u ∂v  ∂u ∂v  ∂ x = ∂ y , ∂y = − ∂x   derivadas parciales continuas  ∂u ∂v  f '( z ) = +i ∂x ∂x 

• Para demostrar el teorema : 1) Obtener el ángulo de inclinación de la recta dirigida tangente en el punto zo para un curva suave y de su imagen en f(zo). • 2) Determinar el ángulo que forman dos curvas suaves en un punto zo y el que forman sus imágenes en f(zo).

Demostración

Considero zo que pertenece a D:

z0 = z (t0 )

• Sea • C: arco suave Representación paramétrica:

C : z = z (t )

ω (t0 ) = f ( z (t0 ))

a≤t≤b

Por hipótesis: f es analítica en zo y f '( z0 ) ≠ 0

Sea f(z) definida en todos los puntos de C. Representación paramétrica de la imagen de C bajo ω = f ( z )

Γ : ω = f ( z (t ))

a ≤ t0 ≤ b

a≤t ≤b

Entonces:

w '(t0 ) = f '( z (t0 )).z '(t0 )

∂u ∂v  ∂u ∂ v Hipótesis:  ∂ x = ∂y , ∂ y = − ∂ x

arg(ω '(t0 )) = arg( f '( z (t0 ))) + arg( z '(t0 ))

φ0 =

ψ0

ψ 0 = arg( f '( z (t0 ))

+

θ0

Ángulo de rotación

f es analítica en D :

  derivadas parciales continuas  ∂u ∂v  f '( z ) = +i ∂x ∂x 

f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D

• Para demostrar el teorema : 1) Obtener el ángulo de inclinación de la recta dirigida tangente en el punto zo para un curva suave y de su imagen en f(zo). • 2) Determinar el ángulo que forman dos curvas suaves en un punto zo y el que forman sus imágenes en f(zo).

Ángulo entre dos curvas

Ejemplo : Determinar si f ( z ) = e z es conforme en ℂ

φ1 = φ2 =

ψ0 ψ0

θ1

+ +

Analizar si ω=z 2 es conforme en z=0

θ2

φ2 -φ1 = θ 2 − θ1 = α

Ejemplo • Analizar si w=z2 es conforme en z=0 Solución: En z=0 existe un punto crítico. No es conforme en z=0

conforme Implica 1 a 1 • Una transformación conforme en zo tiene una inversa local allí: z = f −1 ( w ) 0

∂u ∂ (u , v) ∂x J= = ∂ ( x, y ) ∂v ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y

0

Jacobiano de la transformación

Condiciones suficientes para la existencia de la inversa • Continuidad de u,v y de sus derivadas parciales. • Jacobiano distinto de cero.

x = x (u , v ) y = y (u , v ) z= f

−1

(w)

df

−1

(w) 1 = df ( z ) dw dz

• Por ser analítica en zo: ∂u ∂ (u , v) ∂x J= = ∂ ( x, y ) ∂v ∂x

• Por ser

∂u ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v 2 = − = f '( z ) ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y

f '( z0 ) ≠ 0

Conclusiones • La transformación conforme transforma una región del dominio D, en otra región diferente en S, es decir, a cada punto • z = x + iy del plano complejo z. • le asocia un único punto • w=f(z) = u(x, y)+iv(x, y) del plano complejo w. • y viceversa.

Aplicaciones de Transformación conforme: Φ ( x, y ) armónica en D Ψ ( x, y ) ármonica conjugada de Φ ( x, y ) en D. f ( z ) = Φ ( x, y ) + iΨ ( x, y ) analítica en D. Toda función armónica de (x, y) se transforma en otra función armónica de (u,v) bajo una transformación conforme.

• -Muchos problemas de la ciencia y de la ingeniería se modelizan mediante la ecuación de Laplace: • ∂ 2 Φ ( x, y ) ∂ 2 Φ ( x, y ) 2 ∇ Φ ( x, y ) = + =0 ∂x 2 ∂y 2

Aplicaciones de Transformación conforme • • • •

- Dinámica de los fluidos: Bajo hipótesis: -Flujo bidimensional (x,y). -Flujo estacionario o uniforme (no depende de t). • -Componentes de la velocidad derivan de un potencial: ∂Φ ( x, y ) ∂Φ ( x, y ) Vx = , Vy = ∂x ∂y

• -Flujo incompresible: es decir la densidad del constante. (Cantidad de fluido constante). • -Fluido no viscoso: no tiene viscosidad o fricción interna.

Potencial complejo: • Potencial complejo: Ω ( z ) = Φ ( x, y ) + i Ψ ( x, y )

d Ω( z ) ∂Φ ( x, y ) ∂Ψ ( x, y ) = +i = Vx − iVy dz dx ∂x

Líneas equipotenciales y líneas de flujo Ω ( z ) = Φ ( x, y ) + i Ψ ( x, y ) • • Dinámica de los fluidos: Flujo alrededor de obstáculos. • -Aplicaciones a la electrostática: Potencial de electrostático complejo. • -Aplicaciones a lo que se denoniminada: flujo de calor.