DE LOS RACIONALES A LOS IRRACIONALES Tomás Ortega. Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática Universidad de Valladolid RESUMEN El presente trabajo consta de dos partes bien diferenciadas: en la primera, partiendo de un análisis de los contenidos curriculares desde el 1934, se describen los conceptos relativos a Números y Análisis, se presenta el desarrollo que realizan algunos textos de los planes de 1938 y de 1957 sobre los números decimales, las fracciones y los reales; en la segunda, dentro del marco curricular actual, se hace una propuesta de trabajo de aula para los números racionales, otra para los números reales y se presenta una muestra de resolución de problemas.

1. ANÁLISIS CURRICULAR Si para desarrollar el concepto de número real el punto de partida debe ser el conjunto de los números racionales, se debe tener bien presente que los currículos de Bachillerato lo contemplan como soporte del Análisis Diferencial e Integral. El axioma del extremo superior es el que establece la completitud de y, por tanto, el que permite abordar el concepto de límite funcional y con él el estudio local de funciones y el cálculo integral. Por tanto, en el análisis curricular que se hace, ademas de los conceptos relativos a , deben destacarse los conceptos de partida, , y los de llegada, el Análisis diferencial e integral. Así pues, comenzando en el plan de 1934, se hace un resumen de los conceptos relativos a los conjuntos numéricos y al Análisis hasta el currículo LOGSE.

1.1. PLAN DE 1934 Se incluyen por primera vez nociones de Cálculo Diferencial e Integral (Ibañes, M. 1993). Primer año: Ejercicios de lectura y escritura de números en numeración decimal y romana. Adición, sustracción, multiplicación y división. Propiedades de las desigualdades. Múltiplos y divisores. Indicación de los principales caracteres de divisibilidad. Fracciones ordinarias. Propiedades fundamentales. Números decimales. Adición, sustracción, multiplicación y división. Conversión de una fracción ordinaria en decimal. Aproximación decimal de un cociente hasta un orden dado.

Segundo año: Breve repaso del curso anterior. Potencias de enteros y decimales. Raíz cuadrada. Reglas prácticas para extraer la raíz

1

cuadrada entera y para la aproximación por decimales. Operaciones con fracciones ordinarias. Proporciones. Magnitudes proporcionales. Regla de tres simple y compuesta. ... Longitud de la circunferencia y área del círculo,...

Tercer año: Número natural. Representación geométrica. Numeración decimal. Idea de otros sistemas de numeración. Divisibilidad. Descomposición de un número en factores primos. m.c.d. y m.c.m. Números negativos, representación. Concepto de número entero. Aritmética de números enteros. Potenciación de números enteros. Interpretación de los exponentes cero y negativos. Radicación. Extracción de las raíces cuadradas y cúbicas enteras. Reglas de los signos de la radicación. ... Teorema de Pitágoras. Relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, ...

Cuarto año: Breve repaso del curso anterior. Números fraccionarios. Representación. Concepto de número racional. Propiedades de las fracciones. Conversión de una fracción en irreducible. Mínimo común denominador. Signo de una fracción. Aritmética. Cálculo con potencias de exponente negativo. Ejercicios de operaciones con fracciones de términos literales. Propiedades de las proporciones y series de fracciones iguales. Expresión decimal exacta o aproximada de una fracción ordinaria. Sucesiones monótonas convergentes. Idea de límite de una sucesión. Conversión de fracciones decimales en ordinarias. Potenciación y radicación de fracciones. Condición para que una fracción ireducible tenga raíza exacta. Expresiones decimales aproximadas de una raíz inexacta. Idea de número irracional. Números reales. Interpretación de las potencias con exponente fraccionario. Razón de dos magnitudes,... Segmentos proporcionales. Triángulos semejantes. División áurea de un segmento,...

Quinto año: Expresiones radicales. Operaciones con radicales, Racionalización de denominadores. Resolución de la ecuación de segundo grado. La función cadrática. ... Área de la esfera,... Sexto año:

2

Revisión del concepto de número real. Representación geométrica, postulado de continuidad. Definición de las operaciones con números reales. Operaciones con potencias de exponente fraccionario. Límite de una sucesión de números reales. Aritmética de sucesiones convergentes. Función exponencial y función logarítmica. Progresiones geométricas e interés compuesto. ... Trigonometría,...

Séptimo año: Continuidad. Derivada y diferencial -significación física, la velocidad-. El número “e”. Noción de integral definida como expresión de un área.

1.2. PLAN DE 1938 Es el primer plan de la Dictadura Franquista, incluye prácticas e instrucciones metodológicas: los primeros cursos son más ambiciosos y se concede una importancia capital al examen de estado, incluida su preparación.

Primer año: Cálculo mental. Máquina de calcular. Conversión de fracciones a decimales y viceversa. Elevación a potencias: operaciones con potencias de enteras de números enteros y fraccionarios. ... Cálculo aproximado de π...

Segundo año: Repaso del curso anterior utilizando leyes formales. La raíz cuadrada ... Teorema de Pitágoras...

Tercer año: Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m., ... Radicación. Primera idea sobre números incomensurables. Primeros elementos de la teoría de límites. Números negativos. ... Longitud de la circunferencia y área del círculo. Áreas y volúmenes (cilindro, cono esfera)... En segundo y tercero los alumnos se iniciarán en las demostraciones. ... Ante conceptos y figuras nuevas se utilizará el método inductivo y directo.

3

Cuarto año: Nociones elementales sobre el número incomensurable. Nociones elementales sobre los límites. Números aproximados y operaciones abreviadas.

Quinto año: Números complejos, ... Teoría de progresiones y logaritmos. Interés compuesto. ... Trigonometría, ...

Sexto año: Concepto de función. Ecuación de la recta. Noción sobre límites de funciones. Primeras propiedades de funciones continuas Repaso de los cursos anteriores para el Examen de Estado.

Séptimo año: Derivada y diferencial. Ejemplos lo más elementales y sencillos. El número “e” y la función elemental. Nociones elementales sobre cuadraturas como límite de una suma de elementos infinitesimales; su cálculo formal. El currículo de estos dos años es un guión para que los alumnos de mayor nivel científico vislumbren los fundamentos de los contenidos de análisis. Se dejará suficiente tiempo para repasar los cursos anteriores para el Examen de Estado.

1.3. PLAN DE 1953 Es el segundo plan de la Dictadura Franquista, reformula los contenidos del plan anterior, lo reduce un año e incluye orientaciones metodológicas, destacando el sentido intuitivo de los primeros cursos, dejando el rigor maemático para los últimos, para los alumnos que tengan verdadero interés por la matemática (carreras de grado medio desde 4º de Bachillerato). Primer año: Aritmética de los naturales. Fracciones ordinarias, propiedades y operaciones. Números decimales, propiedades y operaciones. Aproximación decimal de un cociente.

Segundo año:

4

Potenciación de exponente natural de naturales y fraccionarios. Propiedades. Divisibilidad. Reglas. La fracción generatriz de un decimal periódico.

Tercer año: Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m... Números negativos. Concepto de función,... ... Teorema de Pitágoras. Longitud de la circunferencia y el número π. Área del círculo... Funciones circulares.

Cuarto año: Potencias con exponente negativo. Cálculo de radicales. Cálculo de potencias con exponente fraccionario. La ecuación de segundo grado. Idea de las funciones potencial y exponencial... Cálculo de áreas de cuerpos geométricos. Nociones elementales sobre los límites. Números aproximados y operaciones abreviadas.

Quinto año: Funciones exponencial y logarítmica. Cálculo con logaritmos. Interés compuesto y anualidades. ...División áurea... Trigonometría,...

Sexto año: Operaciones con números reales. Límite de una sucesión de números reales. Infinitésimos. Cálculo de límites. El número “e” Idea de función continua. Propiedades de funciones continuas. Derivada y diferencial. Aplicaciones ... La curva normal...

1.4. PLAN DE 1957 Es un plan de conceptos. Los cuatro primeros cursos son comunes y en el quinto aparecen las opciones de Ciencias y Letras. Se crea el curso de Preuniversitario con dos opciones. Los

5

conceptos del currículo aparecen estructurados en lecciones y son muy precisos. En el segundo grado de bachillerato se pretende desarrollar una matemática racional extendiendo la construcción deductiva, dando prioridad a la reflexión y al razonamiento, limitando el papel de la memoria a los resultados finales.

Primer año: Aritmética de los naturales. Fracciones ordinarias, propiedades y operaciones. Aproximación decimal de un cociente.

Segundo año: Divisibilidad. Reglas. La fracción generatriz de un decimal periódico. Teoría de números primos. M.c.d. y m.c.m., ... Fracciones: operaciones y paso a decimales. Potenciación de exponente natura. Operaciones con Potencias (Teorema de Pitágoras). Raíz cuadrada. ...Longitud de la circunferencia y área del círculo. Volúmenes.

Tercer año: Números negativos. Operaciones con números racionales. Relaciones métricas en los triángulos (Teorema de Pitágoras)

Cuarto año: Radicales. Operaciones con radicales. Potenciación de exponente racional. La ecuación de segundo grado. Propiedades de las raíces. ... Cálculo de volúmenes... Quinto año: Iniciación al método racional: hipótesis, tesis, (dedicar ocho capítulos a aritmética y uno a geometría) Metodos de resolución de problemas. Funciones exponencial y logarítmica. Cálculo con logaritmos. Progresiones aritméticas y geométricas. Interés compuesto y anualidades. ... Trigonometría,... Conceptos de función. Clases. Funciones continuas.

6

Noción de derivada. Las funciones de proporcionalidad.

Sexto año: Revisión del número racional. El campo de los números racionales. Permanencia de las leyes formales. El problema de la medida. Ejercicios. El número real. El número irracional: orígenes aritmético y geométrico. El campo de los números reales. Valores decimales aproximados de un número real: errores absoluto y relativo. Representación geométrica de los números reales: postulado de continuidad. Ejercicios. Calculatoria de los números reales. Igualdad y desigualdad de números reales. Operaciones con números reales. Ejercicios. Nociones sobre límites. Sucesiones de números racionales. Infinitésimos. Concepto de límite: propiedades. Sucesiones monótonas acotadas. Infinitos. Ejercicios. Cálculo de límites. Logaritmos neperianos. El número “e” Las funciones (continuidad y propiedades). Derivada de una función. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. Representación gráfica de funciones. Diferencial de una función. La integral definida. El problema del cálculo de áreas. Concepto de integral definida. La relación entre el área y la función primitiva. Integral indefinida. Teorema de la media. Cálculo de áreas sencillas. Ejercicios. Aplicaciones del cálculo integral. Volumen de un cuerpo definido por una integral. Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. Aplicaciones a los cuerpos de revolución. Estudio del movimiento uniformemente variado. Otras aplicaciones físicas del cálculo integral. Ejercicios.

Preuniversitario: Curso de estadística: Estadística descriptiva, números índices, distribuciones y teoría de muestras. Curso de matemáticas: El número natural. Sistemas de numeración. Combinatoria. Potencia de binomios y polinomios. El número entero. Teoría de divisibilidad. Algoritmo de Euclides. Números congruentes. Algoritmo de diferencias. Fórmula de Newton. Progresiones geométricas de orden superior. El número racional. Fracciones continuas finitas. Geometría y Trigonometría...

7

1.5. PLAN DE 1972 Creación de la EGB (preescolar, 1ª etapa y 2ª etapa) y B.U.P. E l currículo ed EGB esta redactado en términos de Objetivos, contenidos y metodología, y ya en la segunda etapa se pretende ir hacia una mayor profundidad en el formalismo matemático y que los alumnos se inicien en el razonamiento lógico; para ello se incluyen las “matemáticas modernas”. El Preuniversitario se sustituye por el COU y se prolonga en un año la enseñanza preuniversitaria.

Sexto de EGB: Construcción del conjunto de los números racionales positivos. Operaciones. Ordenación. Semigrupos. Números decimales. Multiplicación. Propiedades. ... Longitud de la circunferencia. Áreas de figuras planas...

Séptimo de EGB: Construcción del conjunto de los números enteros. Suma. El grupo aditivo Z. Ordenación. Producto. El anillo de los enteros. Funciones de variable entera. Volúmenes de cuerpos estudiados

Octavo de EGB: Construcción del conjunto de los números racionales. Suma. El grupo aditivo q. Ordenación. Producto. El cuerpo de los racionales.

Primero de BUP: Introducción al número real. Aproximación decimal. Radicales. Cuerpo de los números complejos. Funciones polinómicas de variable real. Sucesiones. Progresiones. Interés compuesto y anualidades.

Segundo de BUP: Límite de sucesiones. El número “e”. Cálculo de límites. Función real de variable real. Limite y continuidad. Funciones exponencial, logarítmica y circulares. Representación gráfica y propiedades. Concepto de derivada. Función derivada. Primitivas.

Tercero de BUP:

8

Trigonometría. Estudio de los números complejos. Calculo diferencial. y Cálculo Integral. Aplicaciones.

Matemáticas Comunes de COU: Lógica matemática. Combinatoria. Probabilidad y estadística.

Matemáticas Especiales de COU: Álgebra y Geometría. Análisis. Probabilidad

1.6. LA SEGUNDA ETAPA DE EGB DE 1982 Supone un abandono del estructuralismo, volviendo a potenciar el cálculo. 1. Conjuntos Numéricos: 1.1. Simplificar fracciones numéricas. Distinguir entre fracción y número racional. Distinguir N, Z y Q. Ordenar y representar en una recta N, Z y Q. 1.2. Adquirir el concepto de operación adición y multiplicación en Z y Q. Lograr el automatismo del calculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en Z y Q aplicando las propiedades de la adición y la multiplicación. 1.3. Escribir la fracción decimal de fracciones y viceversa. Adquirir el automatismo del calculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de decimales. 1.4. Adquirir el automatismo de las operaciones con potencias en N, Z y Q (exceptuando potencias que tengan exponente racional y base negativa). Adquirir el concepto de radicación como inversa de potenciación. Escribir raíces en forma de potencia y viceversa. Calcular la expresión decimal de raíces cuadradas.

1.7. LAS MATEMÁTICAS II DE 1988. 2.2 Análisis descriptivo de funciones y gráficas: Funciones y gráficas. Significado, ejemplos y continuidad La derivada. Significado, reglas, aplicaciones. Interpolación. La integral. Primitivas, la integral definida, cálculo de áreas.

1.8. EL CURRÍCULO DE LA LOGSE Enseñanza Secundaria Obligatoria: Contenidos 1. Números y operaciones. Significados, estrategias y simbolización. Significado uso y notación de los números naturales, enteros, decimales y

9

fraccionarios. Significado y uso de las operaciones con los diferentes tipos de números (cálculo mental, algoritmos y calculadora) Proporcionalidad de magnitudes. Porcentajes. Margen de error en la aproximación de cantidades (transformación y aproximación de números. 4. Interpretación, representación y tratamiento de la información. Características globales de las gráficas: continuidad, crecimiento, valores extremos, periodicidad, tendencia (relaciones entre magnitudes, noción de función). El simbolismo algebraico. Fórmulas y ecuaciones.

1º de MACS: 1. Aritmética y Álgebra. Introducción a los números irracionales obtenidos mediante radicales. Números radicales de especial interés: π, e, Φ. Utilización de los números racionales e irracionales mediante estimaciones y aproximaciones, controlando los márgenes de error acorde con las situaciones estudiadas. Utilización de la notación científica para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas. 2. Funciones Funciones en forma de tablas y gráficas. Interpolación. Funciones estándar. Análisis global. 2º de MACS: 2. Análisis. Aproximación al concepto de límite. Derivada. Aplicación del límite y derivada a la determinación e interpretación de propiedades locales. Aplicación del cálculo de derivadas. Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. El problema del cálculo de áreas.

1º de MCNS: 3. Funciones. Familias de funciones... Interpretación de propiedades globales... Tratamiento intuitivo y gráfico de ramas infinitas... 4. Aritmética y Álgebra. Utilización de la notación científica para expresar cantidades muy grandes y

10

muy pequeñas y para realizar cálculos. Introducción al número real. Existencia de medidas y soluciones no racionales. Números irracionales. Utilización de los números racionales e irracionales mediante estimaciones y aproximaciones, controlando los márgenes de error acorde con las situaciones estudiadas.

2º de MCNS: 2. Análisis. Introducción a los conceptos de límite y derivada de una función en un punto. Cálculo de límites y derivadas de las familias de funciones conocidas. Reglas de derivación. Aplicación al estudio de propiedades locales de las funciones, a la representación y al estudio de situaciones susceptibles de ser tratadas mediante las funciones. Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas definidas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.

2. ANÁLISIS DE ALGUNOS TEXTOS Se describen los conceptos relativos a números racionales y reales tratados en algunos textos de los planes de 1938 y 1957.

2.1. TEXTOS DEL PLAN DE 1938. Primer curso. Julio Cenzano. Lección 12. Números decimales. Lección 18. Operaciones con decimales. Lección 35. Las fracciones. Lección 36. Números mixtos. Lección 40. Transformación de fracciones. Lección 42. Fracciones decimales. Lección 45. Suma de fracciones. Lección 47. Sustracción de fracciones. Lección 50. Multiplicación de fracciones. Lección 52. División de fracciones.

Segundo curso. Julio Cenzano. Lección 10. Raíz Cuadrada. Lección 14. Las fracciones. Lección 15. Igualdad de fracciones. Lección 16. Desigualdad de fracciones. Lección 17. Fracciones decimales. Lección 18. Suma de fracciones. Lección 19. Resta de fracciones. Lección 20. Multiplicación de fracciones. Lección 21. División de fracciones. Lección 22. Potenciación y radicación de fracciones. Lección 23. Razones. Lección 24. Proporciones.

Cuarto curso. Julio Cenzano. Lección 5. Radicación. Propiedades. Lección 6. Raíces aproximadas. Lección 7.

11

Sucesiones de números. Lección 8. Idea de número irracional (como limite oelemento de separación de las sucesiones monótonas convergentes). Se llama número irracional a toda expresión decimal, no periódica, de infinitas cifra decimales.

Cuarto curso. Julio Cenzano. Lección 1. Potencias de exponente fraccionario. Lecciones 2, 3 y 4: logaritmos, Logaritmos decimales, cálculos logarítmicos.

2.2. TEXTOS DEL PLAN DE 1957. Primer curso. A. Rodríguez Sanjuán. Lección 12. Números decimales. Lección 19. Las fracciones ordinarias. Lecciones 2022: Aritmética de las fracciones.

Tercer curso. Julio Cenzano. Dedica 4 capítulos a los números racionales que define como el conjunto formado por los enteros y los fraccionarios.

Cuarto curso. Salvador Segura. Lección 5. Radicales. Lección 6. Operaciones con radicales. Lección 7. Potenciación de exponente racional.

Sexto curso. S.M. Lección 1. Los números reales: sucesivas ampliaciones del concepto de número, el problema de la medida, magnitudes inconmensurables, concepto de número irracional, números real, igualdad, desigualdad, operaciones, cálculo con números aproximados.

Preuniversitario. Puig Adam. Lección 6. El número racional: Origen de las fracciones, construcción algebraica de Q, elementos canónicos, la suma y sus propiedades, el producto y sus propiedades, números racionales enteros, representación, orden, numerabilidad.

3. LOS NÚMEROS RACIONALES El cuadro siguiente presenta la selección y organización de los contenidos en torno al número racional.

12

La idea más sencilla para introducir el concepto de número racional es la de repartir. Esta primera aproximación, aún muy lejana, permite definir, de forma natural, las fracciones de denominador natural. Se pueden repartir bienes o “deudas” pero siempre entre debe haber alguien a quien repartir.

REPRESENTACIONES

SIGNIFICADOS Fracción Relación parte/todo División Razón y proporción Operador Porcentaje

NUMERO RACIONAL

Figurada Gráficas Geométricas Recta racional

Equivalencia Orden Densidad

Aproximación Aproximaciones Estimaciones

Simbólica Fracción Fracción decimal Escritura con coma Porcentajes

Operaciones Suma Producto

Cuadro 1. Significado y representación del número racional. No voy a insistir en los conceptos que ya están en la ilustración 1, pero sí voy a destacar aspectos puntuales respecto a metodología y objetivos. Metodología - La clase debe ser activa, participativa y comunicativa. - Los alumnos deben construir su propio conocimiento y para ello se deben combinar tareas de significados con tareas de representaciones. Ellos son los que deben hacer las tareas. - La aritmética simbólica debe ser concisa, utilizando las propiedades de las operaciones. - La evocación de conocimientos previos y la resolución de problemas debe ser la práctica continua. Objetivos Que los alumnos entiendan y sean capaces de aplicar el significado de fracción. Saber usar las propiedades de las operaciones: Eliminación de paréntesis

13

Sacar factor común y jerarquía Afianzar la aritmética. ⎧3 x + 2 y = 17 Arrastrar el simbolismo: ¿Gauss? ⎨ ⎩ 5x − 3 y = 3

4. LOS NÚMEROS REALES Es de todos conocida definición axiomática de los números reales, definición que reproduzco para guiar la exposición posterior: 1. Al menos existen dos números reales. 2. Existe una relación “menor que” denotada por “