Departamento de Auditoría y Sistemas de Información

 FINANZAS I

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT Santiago - Chile

1

Temario Finanzas I. Valor del dinero en el tiempo.

Valor Actual y Valor Futuro.

Tasa de Interés Simple.

TEMARIO Tasa de Interés Compuesto.

Anualidades.

Inflación y tasas de interés.

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Conceptos Generales Sobre Finanzas. Es la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el período 0, y posponerlo a un período futuro.

Valor del dinero en el tiempo

•Sacrificar consumo hoy, debe compensarse en el futuro. •Un monto hoy, al menos puede invertirse en el banco ganando una rentabilidad. La tasa de interés r, es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos períodos distintos de tiempo.

Cada persona tiene su política de consumo, crédito, inversiones y ahorro.

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Valor del dinero en el tiempo. Ejemplo : una persona obtiene hoy (VA) un ingreso de $1.000 por una sola vez, y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de invertir el dinero en un banco. ¿Cuál será el valor futuro (VF) de ese monto dentro de un año, si la tasa de interés r que obtiene del banco es 10% ? 1.000 x 0,1 = 100 (rentabilidad) 100 + 1.000 = 1.100 (valor dentro de un año VF)

Periodo 0

Si

r = 10%

(Año 0)

Periodo 1 (Año 1)

$1.000

$1.100

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Valor Presente o Actual y Valor Futuro VALOR FUTURO

Sólo 1 período

Año: 0

1

VA

VF

VF  VA * 1  r 

Donde:

r = tasa de interés

Año: 0

Si son 3 períodos

1

2

3

VF

VA

VF  VA * 1  r 1  r 1  r   VA1  r 

3

Caso General:

VF  VA * 1  r 

n

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 Valor Presente o Actual y Valor Futuro VALOR ACTUAL Caso 1 periodo

Año: 0

VA

1

2

VA VA 

Caso General:

VF VF VA  1  r 

Año: 0

Caso 3 periodos

1

Donde:

r = tasa de interés

3

VF

VF VF  1  r * 1  r * 1  r  1  r 3

VF VA  n 1  r  6 Visite : www.mpuga.com

Valor Presente o Actual y Valor Futuro Ejemplos VF y VA: a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: Año 1: Año 2: Año 3:

1.000 1.000 * (1+0,12) = 1.120 1.120 * (1+0,12) = 1.254 1.254 * (1+0,12) = 1.405

Aplicando la fórmula:

VF= 1.000 * (1+0,12)3 VF= 1.000 * 1,4049 = 1.405

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Valor Presente o Actual y Valor Futuro

b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: Año 3: Año 2: Año 1: Año 0:

3.300 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

Aplicando la fórmula: VA= 3.300 / (1+0,15)4 = VA= 3.300 / 1,749 = 1.886,8 8 Visite : www.mpuga.com

Valor Presente o Actual y Valor Futuro

c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual equivalente? VF=

1.000 * (1+r)3 = 1.643 (1+r)3 = 1,643 (1+r) = (1,643)1/3 1+ r r r r

= 1,18 = 1,18 - 1 = 0,18 = 18%

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Tasa de interés compuesto Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor presente o actual (VA) en un valor final (VF), y viceversa.

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.

VF  VA * 1  r 

n

VF VA  n 1  r 

 

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos

(1+r) n : Factor de capitalización 1 (1+r) n : Factor de descuento 10

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Tasa de interés simple Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalicen los intereses ganados periodo a periodo.



VF  VA* (1  r * n)

VF VA  1 r * n 



VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos

(1+r*n) : Factor acumulación simple 1 (1+r*n) : Factor descuento simple 11

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Tasa de interés compuesta vs interés simple Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Con tasa interés compuesta: C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405 1000

1120 1+r

1254 1+r

1405 1+r

Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 134 Año 3: $ 151

Con tasa interés simple: C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360 1000

1360 1+r*3

Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 120 Año 3: $ 120 12

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Tasa de interés equivalente Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de interés mensual equivalente rm, puede ser calculada usando las siguientes expresiones: Con interés compuesto:

Con interés simple:

r m  1  ra  rm



1 12

1

ra 12

Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo. 13 Visite : www.mpuga.com

Anualidades Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga al final de todos los años por un período de tiempo n,

a una tasa

r. 0

Año: Flujos Actualizados:

F1

1

2

3

n-1

n

F1

F1

F1

F1

F1

(1+r)

F1

(1+r)2

F1

(1+r)3

F1

(1+r)n-1

F1

(1+r)n 14 Visite : www.mpuga.com

Anualidades El Valor Actual de esa anualidad (F1), que implica la suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se define como: VA  F1 *

1 (1  r )

 F1 *

1 (1  r )

2

 ...  F1 *

1 (1  r )

n



(1  r ) n  1  F1 * n r * (1  r ) 1  (1  r )  n VA  F1 * r 15 Visite : www.mpuga.com

Anualidades Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene: El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma de todos esos flujos llevados al periodo n y se define como:

VF  F1 * (1  r )

n

 F1 * (1  r )

n 1

 ...  F1 

(1  r )  1 VF  F1 * r n

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Anualidades Ejemplo a) Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual. ¿ Cuál fue el valor del préstamo?

1  (1  0,01) VA  250.000 * 0,01

24

 5.310.846,814

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Anualidades Ejemplo b) Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?

(1  0,005)360  1 VF  20.000 *  20.090.301 0,005

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Anualidades Ejemplo c): Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?

Si:

1  (1  r )  n VA  F1 * r

r F1  VA * n 1  ( 1  r ) Entonces:

0,005 F1  20 .000 .000 *  168 .771 180 1  (1,005 ) 19 Visite : www.mpuga.com

Perpetuidad Perpetuidad Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad. Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes. El Valor actual de esa anualidad se define como:

F1 VA  r 20 Visite : www.mpuga.com

Perpetuidad Ejemplo perpetuidad: Suponga que usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés equivalente es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95, o porqué no 100 años). ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?

50 .000 VA   5.000 .000 0,01

En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría: Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858 Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803 Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones 21 Visite : www.mpuga.com

Inflación y tasas de interés Inflación: Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC. En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más. Periodo 0

Periodo 1

(Año 0)

(Año 1)

$100

$100 Si π = 25%

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Inflación y tasas de interés La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar: A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación) La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:

1  i   1   * 1  r  B

A

Donde : i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real  = Tasa de inflación

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Inflación y tasas de interés RESUMEN: 2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación) Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10% Año 0

Si

r = 10%

$1000

Año 1

$1100

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25% Año 1

Si

π = 25%

$1100

Año 1

$1375 24 Visite : www.mpuga.com

Inflación y tasas de interés Ejemplo: Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual. ¿ cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?

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Inflación y tasas de interés Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r ) Donde =0,25

y

i =0,375

Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10% Si el capital inicial es C0 = $ 500

Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5

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Inflación y tasas de interés Importante

La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro, con el consiguiente problema de incertidumbre.

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Inflación y tasas de interés Ejemplo: Deflactar, inflactar Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2006 son $ 7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2008. Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Índice de Precios al Consumidor (IPC):

Si:

Así:

IPC promedio 2006 = 108,67 IPC promedio 2007 = 111,38

Costot  Costot 1 * (1  cambioIPC ) CambioIPC 

IPC t 1 IPC t 1

111,38 Costot  7.000 * (1  (  1)  7.174,6 108 ,67 28 Visite : www.mpuga.com

Inflación y tasas de interés Ejemplo: Deflactar, inflactar Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2008 son $15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo real en el año 2007 Se deberá deflactar dicho costo según variación en Índice de Precios al Consumidor (IPC): Si:

Así:

IPC promedio 2007 = 108,67 IPC promedio 2008 = 111,38

Costot  Costot 1 * (1  cambioIPC ) Costot 1 

Costot (1  cambioIPC )

Costot 1 

15.000  14.635 111,38 (1  (  1) 108,67 29 Visite : www.mpuga.com

FIN ……descansemos?......

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FIN FIN

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