´ DISPERSION DE LUZ

1.

´ meno de dispersio ´ n de luz Fundamentos del feno

1.1. La dispersi´on (o difusi´on) de la luz es el fen´omeno mediante el cual la radiaci´on electromagn´etica, al chocar con peque˜ nas part´ıculas de tipo coloidal o incluso molecular, es desviada en su direcci´on de propagaci´on, de forma aparentemente ca´otica, en cada uno de los n´ ucleos de dispersi´on, por tener un ´ındice de refracci´on diferente al del medio. La medida de la luz dispersada (o difusa) da lugar a t´ecnicas muy u ´tiles en la determinaci´on de la concentraci´on de sustancias en suspensi´on, as´ı como en la caracterizaci´on de la forma y del tama˜ no de las part´ıculas coloidales y macromoleculares. Estas t´ecnicas son de dos tipos: Turbidimetr´ıa 1 y Nefelometr´ıa 2. La aparici´on de turbidez en un medio en el que tiene lugar cierta reacci´on qu´ımica, es un hecho que ha sido explotado, como medio de identificaci´on de determinadas sustancias, desde muy antiguo. Se sab´ıa, por ejemplo, que la acidificaci´on de una disoluci´on de prote´ınas provoca su precipitaci´on (floculaci´on, coagulaci´on), y por lo tanto, genera turbidez. La medida de esta turbidez se utiliza en la actualidad para la determinaci´on cuantitativa de prote´ınas en l´ıquidos biol´ogicos. Los m´etodos turbidim´etricos y nefelom´etricos, con los que, de forma diferente pero an´aloga, se mide la turbidez de un medio, se utilizan indistintamente en medidas de concentraci´on. Cuando el objetivo es la determinaci´on de la forma y tama˜ no de las part´ıculas en suspensi´on, los m´etodos nefelom´etricos son indudablemente mucho m´as ventajosos. 1.2. Cualquier medio s´olido, l´ıquido o gaseoso es capaz de dispersar luz en mayor o menor grado. Este fen´omeno se conoce como efecto Tyndall 3, quien lo describi´o por primera vez en 1854. Sin embargo fu´e Rayleigh4 en 1871 quien propuso el primer modelo f´ısico que interpreta de forma notable el fen´omeno de dispersi´on en sistemas dilu´ıdos, y que constituye la base fundamental de los m´etodos turbidim´etricos y nefelom´etricos. 1.3. Durante la propagaci´on de la luz en un medio cualquiera, la acci´on del vector campo el´ectrico de la onda electromagn´etica produce la polarizaci´on del medio, es decir, las mol´eculas adquieren un momento dipolar cuya polaridad cambia de forma oscilante con la misma frecuencia que la del campo. De acuerdo con las leyes de la electrodin´amica cl´asica, los dipolos oscilantes se convierten en fuentes emisoras de radiaci´on. La radiaci´on emitida, sin embargo, puede tener la misma o distinta frecuencia que la radiaci´on incidente. En este sentido, la dispersi´on se describe como: Dispersi´on cl´asica, ´el´astica o est´atica, si la frecuencia no cambia sensiblemente; Dispersi´on cuasi-el´astica, o din´amica, si la frecuencia se modifica ligeramente (normalmente en el margen de unas decenas de Hz); y Dispersi´on inel´astica o, m´as propiamente, Raman, si la frecuencia se modifica de forma importante, involucrando normalmente otros tipos de energ´ıa molecular en el proceso. 1Del

lat´ın turbidus, turbio; y ´este de turbo, as, are, alborotar griego νεϕελη, nube. 3 John Tyndall (1820-1893), f´ısico irlandes, colaborador de Faraday y profesor en la Royal Institution. 4 J S Rayleigh (1842-1919), eminente f´ısico brit´anico, Premio N´obel de F´ısica de 1904 2Del

1

´ DE LUZ DISPERSION

2

2.

´ n de luz esta ´ tica. Dispersio

En un medio homog´eneo, las ondas reemitidas se producen en la direcci´on de propagaci´on del haz incidente, sin embargo, en un medio no homog´eneo, constituido por part´ıculas en suspensi´on o zonas microheterog´eneas –macromol´eculas, fluctuaciones de densidad, etc.–, parte de la radiaci´on sufre difracci´on en estos puntos, lo que da lugar a la aparici´on de la opalescencia t´ıpica del efecto Tyndall. El caso m´as simple es el de la dispersi´on de luz por part´ıculas aproximadamente esf´ericas con un tama˜ no mucho menor que la longitud de onda de la luz (< λ/10), no absorbentes de radiaci´on y en concentraci´on baja. Si se utiliza luz visible, como es habitual, esto corresponde a part´ıculas de tama˜ nos del orden de 50 nm o inferiores . En este caso, dado que la part´ıcula es tan peque˜ na, toda ella estar´a sometida a un campo el´ectrico de la misma magnitud, y el momento dipolar inducido ser´a proporcional al volumen de la part´ıcula (a trav´es de su polarizabilidad5. 2.1. En estas circunstancias, la intensidad de luz dispersada a una distancia r de la fuente donde se origina resulta proporcional al cuadrado de la polarizabilidad e inversamente proporcional a r2 . Seg´ un este modelo, la relaci´on de la intensidad de luz dispersada, Iθ , con la intensidad de la luz incidente, I0 en la direcci´on que forma un a´ngulo θ con ella, est´a dada por la siguiente expresi´on:  2 π 2 α2 N 8π 4 α N Iθ (1 + cos2 θ) = 2 2 4 (1 + cos2 θ) (2) = 2 4 I0 r λ 4π0 V 20 r λ V donde α es la polarizabilidad de la part´ıcula, 0 es la permitividad del vac´ıo, λ es la longitud de onda de la radiaci´on en el medio en el que se encuentra la part´ıcula, La C relaci´on, N =M NA , donde NA es el n´ umero de Avogadro, C la concentraci´on o densidad V del medio y M la masa molecular, representa la concentraci´on de part´ıculas por unidad de volumen. La anterior ecuaci´on, 2, da la intensidad de luz dispersada por unidad de volumen. 2.2.

Como se sabe, la polarizabilidad del medio se relaciona con el ´ındice de refracci´on:   30 n2 − 1 α = NA C (3) 2+2 n M

donde n = nn01 , es el ´ındice de refracci´on relativo. Teniendo en cuenta que en la mayor parte de los casos este valor relativo es pr´oximo a la unidad: 0 α = NA C (n2 − 1) (4) M

y si se expresa como funci´on lineal de la concentraci´on:   dn n ≈ 1+ C dC 0   dn 2 n ≈ 1+2 C dC 0

(5)

la ecuaci´on 4, queda: 20 α≈ NA 5El



dn dC

 M

(6)

0

momento dipolar inducido es:

µind = αE   α La polarizabildad se suele expresar en la forma 4π , con dimensiones de volumen 0

(1)

´ DE LUZ DISPERSION

3

con lo cual, la intensidad de luz dispersada, de la ecuaci´on 2, se puede expresar:
dn 2 2π 2 2 dC Iθ 0 = (1 + cos2 θ)M C I0 r2 λ4 NA

(7)

o bien:
dn 2 2π 2 2 dC MC Iθ r2 0 = (8) Rθ = 2 4 I0 (1 + cos θ) λ NA El factor Rθ se conoce como cociente Rayleigh. La intensidad de luz dispersada depende, a trav´es de la polarizabilidad, de la diferencia de ´ındices de refracci´on, del medio dispersor, n1 , y de la fase continua, n0 –cuanto mayor sea esta diferencia mayor ser´a la intensidad de dispersi´on–; depende, as´ımismo, inversamente de la cuarta potencia de la longitud de onda, λ14 , resultando que la luz m´as fuertemente dispersada es la del extremo azul del espectro visible. Es decir, si una suspensi´on de part´ıculas de tama˜ no coloidal se ilumina con luz blanca, la luz dispersada es fundamentalmente de tonalidad azulada, mientras que la luz transmitida es preferentemente rojiza. Esta es la causa de la coloraci´on azul del firmamento y del aspecto rojizo del sol poniente6. 2.3. Cuando la dispersi´on se produce en disoluci´on, debido a las fluctuaciones de concentraci´on de compuestos de alto peso molecular, π 2 δα2 Iθ = 2 4 2 (1 + cos2 θ) I0 20 λ r

(9)

Las fluctuaciones en polarizabilidad, δα, se relacionan con las fluctuaciones en ´ındice de refracci´on y en concentraci´on, de modo que se obtiene: 2π 2 [n0 dn ]2 Iθ dc = (1 + cos2 θ) I0 NA λ4 r2 ( M1 + 2Bc)

(10)

que en t´erminos del cociente de Rayleigh, Rθ , y de la denominada constante ´optica, K, Iθ r2 Rθ = I0 (1 + cos2 θ)

2π 2 [n dn ]2 dc K= NA λ4

(11)

la expresi´on queda: Kc 1 = + 2Bc Rθ M

(12)

2.4. La intensidad total de luz dispersada en un entorno esf´erico, denominada turbibez, τ , del sistema, se obtiene mediante la integraci´on desde − π2 ≤ θ ≤ π2 : τ=

Is 16πKc = I0 3(1/M + 2Bc)

(13)

que a veces se escribe: Hc 1 = + 2Bc τ M donde se ha introducido una nueva constante ´optica, H = 6La

(14) 16πK , 3

ligeramente modificada.

interpretaci´ on de estos fen´ omenos proporcionaron una enorme popularidad a este modelo desarrollado por Rayleigh.

4

´ DE LUZ DISPERSION

2.5. Cuando se ilumina con luz monocrom´atica una suspensi´on de sustancia no absorbente, pero con capacidad de dispersi´on de luz, la intensidad de la luz transmitida, It = I0 - Is , est´a dada por una relaci´on del tipo de la ecuaci´on de Bouguer-Lambert: It = I0 e−a

l

(15)

donde a es el coeficiente neperiano de dispersi´on, que puede relacionarse con la turbidez, τ , y l representa el paso o´ptico de la muestra. Cuando en un medio dispersor se mide la luz transmitida (o, de modo equivalente, la luz a un a´ngulo θ = 0o ) , la t´ecnica se conoce como Turbidimetr´ıa. El procedimiento puede llevarse a cabo mediante un espectrofot´ometro de absorci´on convencional y resulta de cierta utilidad en la determinaci´on de la concentraci´on de part´ıculas en suspensi´on. La determinaci´on no solo de la concentraci´on de part´ıculas, sino de su forma y tama˜ no, se suele llevar a cabo midiendo la luz dispersada en un ´angulo θ 6= 0o . En este caso la t´ecnica recibe el nombre de Nefelometr´ıa y requiere un tipo de instrumento espec´ıfico, denominado nefel´ometro, capaz de determinar la intensidad de luz dispersada, Iθ , a diferentes ´angulos, si bien lo m´as corriente es realizar la medida a 90o . En este caso, la intensidad de luz es proporcional directamente a la concentraci´on. 2.6. Cuando el tama˜ no de la part´ıcula es mayor que el l´ımite establecido hasta ahora, (> λ/10), el modelo anterior deja de ser aplicable, teniendo que introducir un factor de correcci´on, P(θ), que compensa la interferencia de la luz dispersada en distintas zonas de una misma part´ıcula:   Kc 1 1 + 2Bc (16) = Rθ P (θ) M Puede demostrarse que el valor de la correcci´on es: 1 P (θ) = 1 + (qRg )2 (17) 3 donde q = 4πn sen( 2θ ) y Rg es el radio medio hidrodin´amico de la part´ıcula. La ecuaci´on λ queda:    Kc 1 16π 2 n2 2 2 θ = + 2Bc 1 + Rg sen ( ) (18) Rθ M 3λ2 2 La representaci´on de los resultados seg´ un la ecuaci´on anterior, lo que se conoce como diagrama de Zimm, permite la determinaci´on conjunta de la masa molecular, M, y del tama˜ no de la part´ıcula macromolecular. El tama˜ no puede determinarse de forma m´as simple mediante la medida de la luz dispersada a dos ´angulos diferentes, por ejemplo, a 45o y 135o . De su relaci´on: I45 P (45) 1 + (16π 2 n2 /3)(Rg /λ)2 sen2 22, 5o z= = = (19) I135 P (135) 1 + (16π 2 n2 /3)(Rg /λ)2 sen2 67, 5o se obtiene m´as f´acilmente el valor de Rg

´ DE LUZ DISPERSION

3.

5

´ n de luz dina ´ mica Dispersio

En las medidas de dispersi´on de luz est´atica, la intensidad de luz, para un determinado a´ngulo, es el resultado de un promedio a lo largo de un amplio per´´iodo de observaci´on. Sin embargo, con las t´ecnicas hoy en d´ıa accesibles, es posible medir la intensidad de luz dispersada en tiempos muy breves, en el margen del microsegundo, de tal forma que puede detectarse el movimiento ca´otico (browniano) de las part´ıculas emisoras, como consecuencia de su energ´ıa t´ermica. Esta informaci´on, que por efecto Doppler se manifiesta en un ensanchamiento de la banda de frecuencia de la luz dispersada, puede ser utilizada para la determinaci´on del coeficiente de difusi´on de las part´ıculas y de su radio hidrodin´amico. 3.1. En un experimento de Dispersi´on de luz din´amica (tambi´en denominado Photon correlation spectroscopy), se mide la luz dispersada en intervalos de tiempo, τ , pudi´endose observar que la intensidad fluct´ ua alrededor de un valor medio, como consecuencia del movimiento aleatorio de las part´ıculas. Este comportamiento puede racionalizarse a trav´es de la denominada funci´on de autocorrelaci´on, g(τ ), g(τ ) = ∆Iθ (t)∆Iθ (t + τ )

(20)

que representa el promedio de los valores de la intensidad de luz medida a diferentes valores del intervalo de tiempo, τ . Puede demostrarse que la evoluci´on g(τ ) es decreciente de forma exponencial a medida que crece el valor de τ , de la siguiente forma: g(τ ) = g(0)Exp(−Γτ ) donde Γ = q 2 D y D =

kT 6πηRg

(21)

es el coeficiente de difusi´on.

3.2. Cuando se trata de part´ıculas con carga el´ectrica, lo cual es com´ un a todas las part´ıculas de tipo coloidal, la medida de la luz dispersada por dichas particulas cuando se mueven bajo el efecto de un campo el´ectrico, T´ecnica denominada Dispersi´on de luz electrofor´etica, la funci´on de autocorrelaci´on:   2 θ g(τ ) = g(0) quEf cos Exp(−Γτ ) (22) 2 permite la determinaci´on simult´anea del coeficiente de difusi´on y de la movilidad electrofor´etica. Este u ´ltimo par´ametro est´a relacionado con el potencial Zeta, ζ, o potencial electrocin´etico, de las part´ıculas en suspensi´on.