Ecuaciones Diferenciales (MA-841) Ecuaciones Diferenciales Exactas Departmento de Matemáticas / CSI

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Ecuaciones Diferenciales Exactas En el curso de cálculo de varias variables se definió el diferencial total de una función de dos variables f (x, y) por la ecuación (3.1) siguiente: ∂f (x, y) ∂f (x, y) dx + dy df (x, y) = ∂x ∂y

(3.1)

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

Para saber el valor del diferencial total en un punto (x0 , y0 ), hay que conocer los diferenciales de las variables independientes, esto es dx y dy para posteriormente evaluar. En esta evaluación puede ser que el valor encontrado para el diferencial total sea diferente de cero o bien, idénticamente cero.

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Sin embargo, existe una función f (x, y) para la cual el valor de su diferencial total simpre será igual a cero, sin importar el punto (x0 , y0 ) y los correspondientes dx y dy. Esta función f (x, y) esta definida por la ecuación (3.2) f (x, y) = cte

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

(3.2)

No es difícil probar la aseveración anterior, ya que cuando una función es igual a una constante, el incremento de la función f (x, y) y el diferencial total tienen exactamente el mismo valor de cero.

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Esto es, si f (x, y) = cte entonces

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

df (x, y) = ∆f (x, y) = f (x+∆x, y+∆y)−f (x, y) = cte−cte = 0 (3.3)

La ecuación (3.3) es una prueba general, para mostrar de forma específica lo anterior, considere el siguiente ejemplo.

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Ejemplo 1 Si f (x, y) = ex+y = 1, muestre que su diferencial total vale cero. Solución Lo primero que tenemos que hacer para mostrar que el diferencial vale cero, es determinar el dominio de f (x, y). Para que la función ex+y sea simpre igual a 1, se requiere que el exponente x + y sea siempre igual a cero, para con ello tener

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

ex+y = e0 = 1 luego el dominio de la función es el conjunto de puntos tales que x + y = 0 o bien la recta y = −x

Aplicando diferenciales a la ecuación que define el dominio de f (x, y) encontramos un relación entre los diferenciales dada por aciones Diferenciales Exactas Ecuaciones Diferenciales - p. 5/15

Ahora, calculemos el diferencial total de f (x, y) = ex+y y apliquemos dy = −dx (x,y) (x,y) df (x, y) = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )dy df (x, y) = (ex+y )dx + (ex+y )(−dx)

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

luego df (x, y) = 0 que es lo que se deseaba mostrar.

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Se puede modificar el valor de la constante y veremos que el resultado que se encuentre simpre será cero, aunque en algunas ocasiones será más fácil que en otras mostrar lo que nos piden. En lo sucesivo, consideraremos que si f (x, y) = cte, su diferencial total siempre vale cero sin importar el valor de la constante y el punto en que se pida.

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Ejemplo 2 Determine el diferencial total de cada función de dos variables. 1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Ejemplo 2 Determine el diferencial total de cada función de dos variables. 1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5 (x,y) (x,y) df (x, y) = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy df (x, y) =     2x

x2 +3y

+ sen(y) dx +

2. f (s, t) = tan−1 ( st ) =

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3

x2 +3y

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

+ xcos(y) dy = 0

π 2

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Ejemplo 2 Determine el diferencial total de cada función de dos variables. 1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5 (x,y) (x,y) df (x, y) = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy df (x, y) =     2x

x2 +3y

+ sen(y) dx +

3

x2 +3y

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

+ xcos(y) dy = 0

2. f (s, t) = tan−1 ( st ) = π2 (s,t) (s,t) df (s, t) = ∂f∂s ds + ∂f∂t dt

−t s df (s, t) = s2 +t2 ds + s2 +t2 dt = 0 3. f (r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4

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Ejemplo 2 Determine el diferencial total de cada función de dos variables. 1. f (x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5 (x,y) (x,y) df (x, y) = ∂f∂x dx + ∂f∂y dy df (x, y) =     2x

x2 +3y

+ sen(y) dx +

3

x2 +3y

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

+ xcos(y) dy = 0

2. f (s, t) = tan−1 ( st ) = π2 (s,t) (s,t) df (s, t) = ∂f∂s ds + ∂f∂t dt

−t s df (s, t) = s2 +t2 ds + s2 +t2 dt = 0

3. f (r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4 (r,θ) (r,θ) df (r, θ) = ∂f∂r dr + ∂f∂θ dθ df (r, θ) = sec(θ)dr + (rsec(θ)tan(θ) − sen(θ))dθ = 0

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Ecuación Diferencial Exacta Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que: ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

∂f (x, y) = N (x, y) ∂y

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Ecuación Diferencial Exacta Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que: ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

∂f (x, y) = N (x, y) ∂y

y además M (x, y) y N (x, y) cumplen con la siguiente igualdad ∂N (x, y) ∂M (x, y) = ∂y ∂x

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Ecuación Diferencial Exacta Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se dice que es una ECUACION DIFERENCIAL EXACTA si existe una función f (x, y) = cte tal que: ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

∂f (x, y) = N (x, y) ∂y

y además M (x, y) y N (x, y) cumplen con la siguiente igualdad ∂N (x, y) ∂M (x, y) = ∂y ∂x y la solución de dicha ecuación diferencial es f (x, y) = cte

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En la teoría del cálculo en varias variables la igualdad ∂M/∂x = ∂N/∂y resulta ser una condición necesaria y suficiente para la existencia de f (x, y). Es decir, existe f (x, y) tal que su diferencial total es

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

M (x, y) dx + N (x, y) dy si y solamente ∂f (x, y) ∂f (x, y) = M (x, y) y = N (x, y) ∂x ∂y Aquí juega un papel importante del teorema de Clairaut que dice que las parciales cruzadas, en caso de existir y ser continuas, son iguales.

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Ejemplo 3 Indique el valor de b para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:
2 2 b x y + 3 x y dx + x2 (x + 3 y) dy = 0

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Método de Solución El método de solución de una ecuación exacta M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 consiste la determinación de la función f (x, y) cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Método de Solución El método de solución de una ecuación exacta M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 consiste la determinación de la función f (x, y) cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED. El procedimiento es prestado del curso de cálculo en varias variables.

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Método de Solución El método de solución de una ecuación exacta M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 consiste la determinación de la función f (x, y) cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED. El procedimiento es prestado del curso de cálculo en varias variables.

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

Paso 1. Verifique que la ED sea exacta: Nx = M y

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Método de Solución El método de solución de una ecuación exacta M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 consiste la determinación de la función f (x, y) cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED. El procedimiento es prestado del curso de cálculo en varias variables.

Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

Paso 1. Verifique que la ED sea exacta: Nx = M y

Paso 2. La función buscada f (x, y) es casi la integral parcial de M (x, y) respecto a x: Z f (x, y) = M (x, y) dx + h(y)

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Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente respecto a y la integral anterior e igualando a M (x, y): Z ∂f (x, y) ∂ = N (x, y) = M (x, y) dx+h′ (y) ∂y ∂y

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente respecto a y la integral anterior e igualando a M (x, y): Z ∂f (x, y) ∂ = N (x, y) = M (x, y) dx+h′ (y) ∂y ∂y Z ∂ ′ M (x, y) dx h (y) = N (x, y) − ∂y

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15

Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente respecto a y la integral anterior e igualando a M (x, y): Z ∂f (x, y) ∂ = N (x, y) = M (x, y) dx+h′ (y) ∂y ∂y Z ∂ ′ M (x, y) dx h (y) = N (x, y) − ∂y Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y a h′ (y).

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

Ecuaciones Diferenciales - p. 13/15

Paso 3. Determine h′ (x) derivando parcialmente respecto a y la integral anterior e igualando a M (x, y): Z ∂f (x, y) ∂ = N (x, y) = M (x, y) dx+h′ (y) ∂y ∂y Z ∂ ′ M (x, y) dx h (y) = N (x, y) − ∂y Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y a h′ (y). Paso 5. Forme f (x, y): Z f (x, y) = M (x, y) dx + h(y)

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Ejemplo 4 Determine la solución general a:
2 2 24 x y + 8 x y dx + x2 (8 x + 8 y) dy = 0

A

72 x3 y + 4 x2 y 2 = C

B

24 x3 y + 8 x2 y 2 = C

C

72 x3 y + 16 x2 y 2 = C

D

8 x3 y + 4 x2 y 2 = C

E

24 x3 y + 4 x2 y 2 = C

F

8 x3 y + 16 x2 y 2 = C

G

16 x3 y + 4 x2 y 2 = C

H

8 x3 y + 8 x2 y 2 = C

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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Ejemplo 5 Determine la solución general a:

2 2 2 −6 x + 9 y dx + 18 x y + 12 y dy = 0

A

−2 x3 + 9 x y 2 + 4 y 3 = C

B

−2 x3 + 9 x y 2 + 12 y 3 = C

C

−6 x3 + 9 x y 2 + 12 y 3 = C

D

−6 x3 + 9 x y 2 + 4 y 3 = C

E

−6 x3 + 18 x y 2 + 12 y 3 = C

F

−18 x3 + 36 x y 2 + 81 y 3 = C

G

−2 x3 + 18 x y 2 + 4 y 3 = C

H

−2 x3 + 18 x y 2 + 4 y 3 = C

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Diferencial Total Ejemplo 1 Ejemplo 2 ´ Exacta Ecuacion Ejemplo 3 ´ Metodo de ´ Solucion Ejemplo 4 Ejemplo 5

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